Adja meg a differenciálegyenlet sorrendjét online. A legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek megoldása

I. Közönséges differenciálegyenletek

1.1. Alapfogalmak és definíciók

A differenciálegyenlet egy független változóra vonatkozó egyenlet x, a kívánt funkciót yés származékai vagy differenciáljai.

Szimbolikusan a differenciálegyenlet a következőképpen van felírva:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Egy differenciálegyenletet közönségesnek nevezünk, ha a kívánt függvény egy független változótól függ.

A differenciálegyenlet megoldásával olyan függvénynek nevezzük, amely ezt az egyenletet azonossággá alakítja.

A differenciálegyenlet sorrendje a legmagasabb derivált sorrendje ebben az egyenletben

Példák.

1. Tekintsük az elsőrendű differenciálegyenletet

Ennek az egyenletnek a megoldása az y = 5 ln x függvény. Sőt, helyettesítéssel y" az egyenletbe, kapunk - egy azonosságot.

Ez pedig azt jelenti, hogy az y = 5 ln x– függvény ennek a differenciálegyenletnek a megoldása.

2. Tekintsük a másodrendű differenciálegyenletet y" - 5y" + 6y = 0. A függvény a megoldás erre az egyenletre.

Igazán, .

Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve az egyenletbe a következőt kapjuk: , - azonosság.

Ez pedig azt jelenti, hogy a függvény ennek a differenciálegyenletnek a megoldása.

Differenciálegyenletek integrálása a differenciálegyenletek megoldásának folyamata.

A differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvényének nevezzük , amely annyi független tetszőleges állandót tartalmaz, amennyi az egyenlet sorrendje.

A differenciálegyenlet részleges megoldása tetszőleges állandók különböző számértékeinek általános megoldásából kapott megoldásnak nevezzük. A tetszőleges állandók értékei az argumentum és a függvény bizonyos kezdeti értékeinél találhatók.

Egy differenciálegyenlet adott megoldásának grafikonját ún integrálgörbe.

Példák

1. Keressen egy adott megoldást egy elsőrendű differenciálegyenletre!

xdx + ydy = 0, ha y= 4 at x = 3.

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát integrálva azt kapjuk, hogy

Megjegyzés. Az integráció eredményeként kapott tetszőleges C konstans bármilyen további transzformációhoz alkalmas formában ábrázolható. Ebben az esetben, figyelembe véve a kör kanonikus egyenletét, célszerű egy tetszőleges С állandót a formában ábrázolni.

a differenciálegyenlet általános megoldása.

Egy egyenlet sajátos megoldása, amely kielégíti a kezdeti feltételeket y = 4 at x = 3-at kapunk az általánosból, ha a kezdeti feltételeket behelyettesítjük az általános megoldásba: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

C=5-öt behelyettesítve az általános megoldásba, azt kapjuk x2+y2 = 5 2 .

Ez az általános megoldásból adott kezdeti feltételek mellett kapott differenciálegyenlet egy speciális megoldása.

2. Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!

Ennek az egyenletnek a megoldása tetszőleges alakú függvény, ahol C tetszőleges állandó. Valójában az egyenletekbe behelyettesítve a következőket kapjuk: , .

Ezért ennek a differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van, mivel a C állandó különböző értékei esetén az egyenlőség az egyenlet különböző megoldásait határozza meg.

Például közvetlen helyettesítéssel ellenőrizhető, hogy a funkciók működnek egyenlet megoldásai.

Probléma, amelyben meg kell találni egy adott megoldást az egyenletre y" = f(x, y) kielégíti a kezdeti feltételt y(x0) = y0, az úgynevezett Cauchy-probléma.

Egyenlet megoldás y" = f(x, y), kielégíti a kezdeti feltételt, y(x0) = y0, a Cauchy-probléma megoldásának nevezzük.

A Cauchy-probléma megoldásának egyszerű geometriai jelentése van. Valójában e meghatározások szerint a Cauchy-probléma megoldására y" = f(x, y) azzal a feltétellel y(x0) = y0, az egyenlet integrálgörbéjének megtalálását jelenti y" = f(x, y) amely áthalad egy adott ponton M0 (x0,y 0).

II. Elsőrendű differenciálegyenletek

2.1. Alapfogalmak

Az elsőrendű differenciálegyenlet a forma egyenlete F(x,y,y") = 0.

Az elsőrendű differenciálegyenlet tartalmazza az első deriváltot, és nem tartalmazza a magasabb rendű deriváltokat.

Az egyenlet y" = f(x, y) a deriváltra vonatkozóan megoldott elsőrendű egyenletnek nevezzük.

Egy elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása a forma függvénye, amely egy tetszőleges állandót tartalmaz.

Példa. Tekintsünk egy elsőrendű differenciálegyenletet.

Ennek az egyenletnek a megoldása a függvény.

Valójában, ha ezt az egyenletet az értékével helyettesítjük, azt kapjuk

vagyis 3x=3x

Ezért a függvény az egyenlet általános megoldása bármely C állandóra.

Keresse meg ennek az egyenletnek azt a megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételt y(1)=1 A kezdeti feltételek helyettesítése x=1, y=1 az egyenlet általános megoldásába, honnan kapjuk C=0.

Így az általános megoldásból egy konkrét megoldást kapunk, ha ebbe az egyenletbe behelyettesítjük a kapott értéket C=0 ez magándöntés.

2.2. Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Az elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet a következő alakú egyenlet: y"=f(x)g(y) vagy differenciálokon keresztül, hol f(x)és g(y) funkciókat kapnak.

Azoknak y, amelyre , az egyenlet y"=f(x)g(y) egyenlő az egyenlettel amelyben a változó y csak a bal oldalon van jelen, az x változó pedig csak a jobb oldalon. Azt mondják: „az egyenletben y"=f(x)g(y elválasztva a változókat.

Típusegyenlet elválasztott változó egyenletnek nevezzük.

Az egyenlet mindkét részének integrálása után tovább x, kapunk G(y) = F(x) + C az egyenlet általános megoldása, ahol G(y)és F(x) néhány antiderivatíva, illetve a funkciók és f(x), C tetszőleges állandó.

Algoritmus elválasztható változókkal rendelkező elsőrendű differenciálegyenlet megoldására

1. példa

oldja meg az egyenletet y" = xy

Megoldás. Függvény származéka y" Cseréld ki

elválasztjuk a változókat

Integráljuk az egyenlőség mindkét részét:

2. példa

2yy" = 1-3x2, ha y 0 = 3 nál nél x0 = 1

Ez egy elválasztott változó egyenlet. Ábrázoljuk differenciálokban. Ehhez átírjuk ezt az egyenletet a formába Innen

Az utolsó egyenlőség mindkét részét integrálva azt találjuk

Kezdő értékek helyettesítése x 0 = 1, y 0 = 3 megtalálja TÓL TŐL 9=1-1+C, azaz C = 9.

Ezért a kívánt parciális integrál lesz vagy

3. példa

Írj egyenletet egy ponton átmenő görbére! M(2;-3)és lejtős érintője van

Megoldás. Az állapot szerint

Ez egy elválasztható változó egyenlet. A változókat elosztva a következőt kapjuk:

Az egyenlet mindkét részét integrálva kapjuk:

A kezdeti feltételeket felhasználva, x=2és y=-3 megtalálja C:

Ezért a kívánt egyenletnek megvan a formája

2.3. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet a forma egyenlete y" = f(x)y + g(x)

ahol f(x)és g(x)- néhány megadott függvény.

Ha egy g(x)=0 akkor a lineáris differenciálegyenletet homogénnek nevezzük, és a következő alakja van: y" = f(x)y

Ha akkor az egyenlet y" = f(x)y + g(x) heterogénnek nevezzük.

Lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása y" = f(x)y képlet adja meg: hol TÓL TŐL egy tetszőleges állandó.

Különösen, ha C \u003d 0, akkor a megoldás az y=0 Ha a lineáris homogén egyenletnek van alakja y" = ky ahol k valamilyen konstans, akkor általános megoldása a következő alakú: .

Lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása y" = f(x)y + g(x) képlettel adott ,

azok. egyenlő a megfelelő lineáris homogén egyenlet általános megoldásának és ezen egyenlet konkrét megoldásának összegével.

A forma lineáris inhomogén egyenletére y" = kx + b,

ahol kés b- néhány szám és egy adott megoldás állandó függvény lesz. Ezért az általános megoldás alakja .

Példa. oldja meg az egyenletet y" + 2y +3 = 0

Megoldás. Az egyenletet a formában ábrázoljuk y" = -2y - 3 ahol k=-2, b=-3 Az általános megoldást a képlet adja meg.

Ezért ahol C tetszőleges állandó.

2.4. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása Bernoulli módszerrel

Általános megoldás megtalálása egy elsőrendű lineáris differenciálegyenletre y" = f(x)y + g(x) redukál két differenciálegyenlet megoldására egymástól elválasztott változókkal a helyettesítés segítségével y=uv, ahol ués v- ismeretlen függvények x. Ezt a megoldási módszert Bernoulli-módszernek nevezik.

Algoritmus elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására

y" = f(x)y + g(x)

1. Adjon meg egy helyettesítést y=uv.

2. Differenciáld ezt az egyenlőséget! y"=u"v + uv"

3. Helyettesítő yés y" ebbe az egyenletbe: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) vagy u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Csoportosítsa az egyenlet tagjait úgy, hogy u vedd ki a zárójelből:

5. A zárójelből nullával egyenlővé téve keresse meg a függvényt

Ez egy elválasztható egyenlet:

Osszuk el a változókat, és kapjuk:

Ahol . .

6. Cserélje be a kapott értéket v az egyenletbe (a 4. tételből):

és keresse meg a függvényt Ez egy elválasztható egyenlet:

7. Írja le az általános megoldást a következő formában: , azaz .

1. példa

Keressen egy adott megoldást az egyenletre y" = -2y +3 = 0 ha y=1 nál nél x=0

Megoldás. Oldjuk meg helyettesítéssel y=uv,.y"=u"v + uv"

Helyettesítés yés y" ebbe az egyenletbe kapjuk

Az egyenlet bal oldalán a második és harmadik tagot csoportosítva kivesszük a közös tényezőt u zárójelből

A zárójelben lévő kifejezést nullával egyenlővé tesszük, és az eredményül kapott egyenlet megoldása után megtaláljuk a függvényt v = v(x)

Kaptunk egy egyenletet elválasztott változókkal. Ennek az egyenletnek mindkét részét integráljuk: Keresse meg a függvényt v:

Cserélje be a kapott értéket v az egyenletbe kapjuk:

Ez egy elválasztott változó egyenlet. Az egyenlet mindkét részét integráljuk: Keressük meg a függvényt u = u(x,c) Keressünk egy általános megoldást: Keressük az egyenletnek egy olyan megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételeket y=1 nál nél x=0:

III. Magasabb rendű differenciálegyenletek

3.1. Alapfogalmak és definíciók

A másodrendű differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely másodrendűnél nem magasabb származékokat tartalmaz. Általános esetben a másodrendű differenciálegyenletet a következőképpen írjuk fel: F(x,y,y,y") = 0

Egy másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvénye, amely két tetszőleges állandót tartalmaz C1és C2.

A másodrendű differenciálegyenlet speciális megoldása az általánosból kapott megoldás tetszőleges állandók bizonyos értékeire C1és C2.

3.2. Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletek -val állandó arányok.

Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatókkal formaegyenletnek nevezzük y" + py" + qy = 0, ahol pés qállandó értékek.

Algoritmus konstans együtthatós másodrendű homogén differenciálegyenletek megoldására

1. Írja fel a differenciálegyenletet a következő formában: y" + py" + qy = 0.

2. Állítsa össze a karakterisztikus egyenletét, jelölve! y" keresztül r2, y" keresztül r, y 1-ben: r2 + pr +q = 0

Ez az online számológép lehetővé teszi differenciálegyenletek online megoldását. Elég, ha a megfelelő mezőbe beírod az egyenletedet, a „függvény származékát" aposztrófpal jelölve, és rákattintasz az „egyenlet megoldása" gombra. A népszerű WolframAlpha weboldal alapján megvalósított rendszer pedig részletes leírást ad. differenciálegyenlet megoldása teljesen ingyenes. Azt is beállíthatja, hogy a Cauchy-probléma a lehetséges megoldások teljes halmazából válasszon egy adott kezdeti feltételeknek megfelelőt. A Cauchy-probléma egy külön mezőbe kerül.

Differenciálegyenlet

Alapértelmezés szerint az egyenletben a függvény y egy változó függvénye x. A változó jelölését azonban beállíthatja, ha például y(t)-t ír be egy egyenletbe, a számológép automatikusan felismeri, hogy y egy változó függvénye t. A számológéppel megteheti differenciálegyenleteket megoldani bármilyen bonyolultságú és típusú: homogén és inhomogén, lineáris vagy nemlineáris, elsőrendű vagy másodrendű és magasabb rendű, elválasztható vagy nem elválasztható változókkal rendelkező egyenletek stb. Megoldás diff. az egyenlet elemző formában van megadva, részletes leírása van. A differenciálegyenletek nagyon gyakoriak a fizikában és a matematikában. Számításuk nélkül lehetetlen sok problémát megoldani (főleg a matematikai fizikában).

A differenciálegyenletek megoldásának egyik lépése a függvények integrálása. A differenciálegyenletek megoldására szabványos módszerek léteznek. Az egyenleteket y és x elválasztható változókkal formába kell vinni, és az elválasztott függvényeket külön integrálni. Ehhez néha bizonyos cserét kell végrehajtania.

A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely egy függvényt és annak egy vagy több származékát tartalmazza. A legtöbb gyakorlati feladatban a függvények fizikai mennyiségek, ezeknek a mennyiségeknek a változási sebességének a deriváltjai felelnek meg, és az egyenlet határozza meg a köztük lévő kapcsolatot.

Ez a cikk néhány közönséges differenciálegyenlet-típus megoldásának módszereit tárgyalja, amelyek megoldásai a következő formában írhatók fel: elemi függvények, azaz polinomiális, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus függvények, valamint ezek inverz függvényei. Ezen egyenletek közül sok a valós életben is előfordul, bár a legtöbb más differenciálegyenlet nem oldható meg ezekkel a módszerekkel, és ezekre a választ speciális függvényként vagy hatványsorként írják fel, vagy numerikus módszerekkel találják meg.

A cikk megértéséhez ismernie kell a differenciál- és integrálszámítást, valamint a parciális deriváltakat. A differenciálegyenletekre, különösen a másodrendű differenciálegyenletekre alkalmazott lineáris algebra alapjainak ismerete is ajánlott, bár ezek megoldásához elegendő a differenciál- és integrálszámítás ismerete.

Előzetes információ

• A differenciálegyenletek kiterjedt osztályozással rendelkeznek. Ez a cikk arról szól közönséges differenciálegyenletek, vagyis olyan egyenletekről, amelyek egy változó függvényét és származékait tartalmazzák. A közönséges differenciálegyenleteket sokkal könnyebb megérteni és megoldani, mint parciális differenciálegyenletek, amelyek több változó függvényeit tartalmazzák. Ez a cikk nem foglalkozik a parciális differenciálegyenletekkel, mivel az egyenletek megoldásának módszereit általában az adott formájuk határozza meg.
  • Az alábbiakban néhány példa látható a közönséges differenciálegyenletekre.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Az alábbiakban néhány példa látható parciális differenciálegyenletekre.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Rendelés differenciálegyenletet az ebben az egyenletben szereplő legmagasabb derivált sorrendje határozza meg. A fenti közönséges differenciálegyenletek közül az első elsőrendű, míg a második másodrendű. Fokozat Egy differenciálegyenlet azon legnagyobb hatványát nevezzük, amelyre az egyenlet valamelyik tagját felemeljük.
  • Például az alábbi egyenlet harmadrendű és másodlagos hatvány.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ jobb)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• A differenciálegyenlet az lineáris differenciálegyenlet ha a függvény és annak összes deriváltja az első hatványban van. Ellenkező esetben az egyenlet nemlineáris differenciálegyenlet. A lineáris differenciálegyenletek abból a szempontból figyelemre méltóak, hogy megoldásaikból lineáris kombinációk készíthetők, amelyek egyben ennek az egyenletnek a megoldásai is lesznek.
  • Az alábbiakban néhány példa látható a lineáris differenciálegyenletekre.
  • Az alábbiakban néhány példát mutatunk be nemlineáris differenciálegyenletekre. Az első egyenlet a szinusztag miatt nemlineáris.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Közös döntés A közönséges differenciálegyenlet nem egyedi, hanem magában foglalja tetszőleges integrációs állandók. A legtöbb esetben a tetszőleges állandók száma megegyezik az egyenlet sorrendjével. A gyakorlatban ezeknek az állandóknak az értékeit adottak határozzák meg kezdeti feltételek, vagyis a függvény és származékai értékeivel at x = 0. (\displaystyle x=0.) A megtaláláshoz szükséges kezdeti feltételek száma magándöntés differenciálegyenlet, a legtöbb esetben megegyezik ennek az egyenletnek a sorrendjével is.
  • Ez a cikk például az alábbi egyenlet megoldásával foglalkozik. Ez egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet. Általános megoldása két tetszőleges állandót tartalmaz. Ezen állandók megtalálásához ismerni kell a kezdeti feltételeket x (0) (\displaystyle x(0))és x′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Általában a kezdeti feltételeket a ponton adják meg x = 0, (\displaystyle x=0,), bár ez nem kötelező. Ez a cikk azt is megvizsgálja, hogyan lehet konkrét megoldásokat találni az adott kezdeti feltételekre.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Lépések

1. rész

A szolgáltatás használatakor bizonyos információk átkerülhetnek a YouTube-ra.

1. Elsőrendű lineáris egyenletek. Ez a rész az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldásának módszereit tárgyalja általános és speciális esetekben, amikor néhány tag nullával egyenlő. Tegyünk úgy, mintha y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))és q (x) (\displaystyle q(x)) függvények x . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\megjelenítési stílus (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) A matematikai elemzés egyik fő tétele szerint a függvény deriváltjának integrálja is függvény. Így elég egyszerűen integrálni az egyenletet a megoldás megtalálásához. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy a határozatlan integrál kiszámításakor egy tetszőleges állandó jelenik meg.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) A módszert használjuk a változók szétválasztása. Ebben az esetben különböző változók kerülnek át az egyenlet különböző oldalaira. Például átviheti az összes tagot innen y (\displaystyle y) egy, és az összes tagot x (\displaystyle x) az egyenlet másik oldalára. A tagok is áthelyezhetők d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)és d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), amelyeket a származékos kifejezések tartalmaznak, de ne feledjük, hogy ez csak egy konvenció, ami kényelmes egy összetett függvény megkülönböztetésekor. E kifejezések tárgyalása, amelyeket ún differenciálművek, nem tartozik e cikk hatálya alá.

   • Először is el kell mozgatnia az egyenlőségjel ellentétes oldalán lévő változókat.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\megjelenítési stílus (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Az egyenlet mindkét oldalát integráljuk. Az integrálást követően mindkét oldalon tetszőleges állandók jelennek meg, amelyek átvihetők az egyenlet jobb oldalára.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Példa 1.1. Az utolsó lépésben a szabályt alkalmaztuk e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))és kicserélték e C (\displaystyle e^(C)) a C (\displaystyle C), mert ez is egy tetszőleges integrációs állandó.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1) (2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(igazított)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Az általános megoldás megtalálásához bemutattuk integráló tényező függvényében x (\displaystyle x) hogy a bal oldalt közös deriválttá redukáljuk és így megoldjuk az egyenletet.

   • Szorozd meg mindkét oldalt ezzel μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Ahhoz, hogy a bal oldalt közös deriválttá redukáljuk, a következő átalakításokat kell végrehajtani:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Az utolsó egyenlőség azt jelenti d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ez egy olyan integráló tényező, amely elegendő bármely elsőrendű lineáris egyenlet megoldásához. Most levezethetünk egy képletet ennek az egyenletnek a vonatkozásában µ , (\displaystyle \mu ,) bár a képzéshez hasznos az összes közbenső számítás elvégzése.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Példa 1.2. Ebben a példában megvizsgáljuk, hogyan találhatunk megoldást egy differenciálegyenletre adott kezdeti feltételek mellett.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\megjelenítési stílus \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(igazított)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(igazított)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Elsőrendű lineáris egyenletek megoldása (felvétele: Intuit - National Open University).

2. Nemlineáris elsőrendű egyenletek. Ebben a részben néhány elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet megoldásának módszereit tárgyaljuk. Bár nincs általános módszer az ilyen egyenletek megoldására, néhányuk megoldható az alábbi módszerekkel.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Ha a funkció f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) felosztható egy változó függvényeire, egy ilyen egyenletet nevezünk elválasztható differenciálegyenlet. Ebben az esetben használhatja a fenti módszert:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • 1.3. példa.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\megjelenítési stílus (\) kezdődik(igazított)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1) (2))y^(2)&=(\frac (1) (4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(igazítva)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Tegyünk úgy, mintha g (x, y) (\displaystyle g(x, y))és h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) függvények x (\displaystyle x)és y . (\displaystyle y.) Akkor homogén differenciálegyenlet egy egyenlet, amelyben g (\displaystyle g)és h (\displaystyle h) vannak homogén függvények ugyanaz a fok. Vagyis a függvényeknek ki kell elégíteniük a feltételt g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) ahol k (\displaystyle k) homogenitási foknak nevezzük. Bármely homogén differenciálegyenlet megadható megfelelővel változók változása (v = y / x (\displaystyle v=y/x) vagy v = x / y (\displaystyle v=x/y)) elválasztható változókat tartalmazó egyenletté alakítani.

   • Példa 1.4. A homogenitás fenti leírása homályosnak tűnhet. Nézzük meg ezt a koncepciót egy példán keresztül.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Először is meg kell jegyezni, hogy ez az egyenlet nemlineáris a következőhöz képest y . (\displaystyle y.) Azt is látjuk, hogy ebben az esetben lehetetlen a változókat szétválasztani. Ez a differenciálegyenlet azonban homogén, mivel mind a számláló, mind a nevező homogén 3 hatványával. Ezért változtathatunk a változókon v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Ennek eredményeként van egy egyenletünk v (\displaystyle v) megosztott változókkal.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) azt Bernoulli differenciálegyenlet- egy speciális, elsőfokú nemlineáris egyenlet, melynek megoldása elemi függvényekkel írható fel.

   • Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac () (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • A bal oldalon egy komplex függvény differenciálási szabályát használjuk, és az egyenletet lineáris egyenletté alakítjuk a y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) amely a fenti módszerekkel megoldható.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) azt teljes differenciálegyenlet. Meg kell találni az ún potenciális funkció φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), ami kielégíti a feltételt d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Ennek a feltételnek a teljesítéséhez rendelkeznie kell teljes származék. A teljes derivált figyelembe veszi a többi változótól való függést. A teljes derivált kiszámításához φ (\displaystyle \varphi ) tovább x , (\displaystyle x,) azt feltételezzük y (\displaystyle y) attól is függhet x . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • A kifejezések összehasonlítása ad nekünk M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))és N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ez tipikus eredmény a többváltozós egyenleteknél, ahol a sima függvények vegyes deriváltjai egyenlők egymással. Néha ezt az esetet ún Clairaut tétele. Ebben az esetben a differenciálegyenlet a teljes differenciálegyenlet, ha a következő feltétel teljesül:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • A teljes differenciálegyenletek megoldásának módszere hasonló a potenciális függvények megtalálásához több derivált jelenlétében, amelyet röviden tárgyalunk. Először integráljuk M (\displaystyle M) tovább x . (\displaystyle x.) Mert a M (\displaystyle M) egy függvény és x (\displaystyle x), és y , (\displaystyle y,) integrálásakor hiányos függvényt kapunk φ , (\displaystyle \varphi ,) címkével ellátva φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Az eredményben benne van a függő is y (\displaystyle y) integrációs állandó.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Ezek után kapni c (y) (\displaystyle c(y)) figyelembe veheti a kapott függvény parciális deriváltját y , (\displaystyle y,) egyenlővé tenni az eredményt N (x, y) (\displaystyle N(x, y))és integrálni. Először is lehet integrálni N (\displaystyle N), majd vegyük a részleges deriváltot a vonatkozásban x (\displaystyle x), amely lehetővé teszi, hogy tetszőleges függvényt találjunk d(x). (\displaystyle d(x).) Mindkét módszer alkalmas, és általában az egyszerűbb függvényt választják az integrációhoz.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) részleges (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • 1.5. példa. Felvehet részleges deriváltokat, és ellenőrizheti, hogy az alábbi egyenlet egy teljes differenciálegyenlet.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(igazított)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(igazított)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\megjelenítési stílus x^(3)+xy^(2)=C)
   • Ha a differenciálegyenlet nem teljes differenciálegyenlet, bizonyos esetekben találhat olyan integráló tényezőt, amely lehetővé teszi, hogy teljes differenciálegyenletté konvertálja. Az ilyen egyenleteket azonban ritkán használják a gyakorlatban, és bár az integráló tényező létezik, megtörténik Nem könnyű, ezért ezeket az egyenleteket ez a cikk nem veszi figyelembe.

2. rész

1. Homogén lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. Ezeket az egyenleteket a gyakorlatban széles körben alkalmazzák, így megoldásuk kiemelten fontos. Ebben az esetben nem homogén függvényekről beszélünk, hanem arról, hogy az egyenlet jobb oldalán 0. A következő részben megmutatjuk, hogy a megfelelő heterogén differenciál egyenletek. Lent a (\displaystyle a)és b (\displaystyle b)állandók.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Karakterisztikus egyenlet. Ez a differenciálegyenlet abból a szempontból figyelemre méltó, hogy nagyon könnyen megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy megoldásai milyen tulajdonságokkal rendelkezzenek. Az egyenletből látható, hogy y (\displaystyle y)és származékai arányosak egymással. A korábbi példákból, amelyeket az elsőrendű egyenletekről szóló részben tárgyaltunk, tudjuk, hogy csak az exponenciális függvény rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Ezért lehetséges előterjeszteni ansatz(tanult találgatás) arról, hogy mi lesz az adott egyenlet megoldása.

   • A megoldás egy exponenciális függvény formáját ölti majd e r x , (\displaystyle e^(rx),) ahol r (\displaystyle r) egy konstans, amelynek az értéke keresendő. Helyettesítse be ezt a függvényt az egyenletbe, és kapja meg a következő kifejezést
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Ez az egyenlet azt jelzi, hogy egy exponenciális függvény és egy polinom szorzatának nullának kell lennie. Ismeretes, hogy a kitevő nem lehet egyenlő nullával a fok egyetlen értékénél sem. Ebből arra következtetünk, hogy a polinom egyenlő nullával. Így a differenciálegyenlet megoldásának problémáját redukáltuk egy sokkal egyszerűbb algebrai egyenlet megoldási feladatra, amelyet egy adott differenciálegyenletre jellemző egyenletnek nevezünk.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Két gyökerünk van. Mivel ez a differenciálegyenlet lineáris, általános megoldása részmegoldások lineáris kombinációja. Mivel ez egy másodrendű egyenlet, tudjuk, hogy ez az igazánáltalános megoldás, és nincs más. Ennek szigorúbb indoklása a megoldás létezésére és egyediségére vonatkozó, a tankönyvekben található tételekben rejlik.
   • Hasznos módszer annak ellenőrzésére, hogy két megoldás lineárisan független-e a számítás Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- ez annak a mátrixnak a determinánsa, amelynek oszlopaiban függvények és azok egymást követő deriváltjai vannak. A lineáris algebra tétele kimondja, hogy a Wronski-függvények lineárisan függőek, ha a Wronski egyenlő nullával. Ebben a részben tesztelhetjük, hogy két megoldás lineárisan független-e, ha megbizonyosodunk arról, hogy a Wronskian nem nulla. A Wronski-féle nemhomogén, állandó együtthatójú differenciálegyenletek paramétervariációs módszerrel történő megoldásában fontos.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • A lineáris algebra szempontjából egy adott differenciálegyenlet összes megoldásának halmaza egy vektorteret alkot, amelynek mérete megegyezik a differenciálegyenlet nagyságrendjével. Ezen a téren lehet bázist választani lineárisan független döntéseket egymástól. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a függvény y (x) (\displaystyle y(x))érvényes lineáris operátor. Derivált van lineáris operátor, mivel a differenciálható függvények terét az összes függvény terévé alakítja. Az egyenleteket homogénnek nevezzük olyan esetekben, amikor valamilyen lineáris operátorra L (\displaystyle L) az egyenletre megoldást kell találni L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Most nézzünk néhány konkrét példát. A karakterisztikus egyenlet többszörös gyökének esetét kicsit később, a sorrendcsökkentésről szóló részben tárgyaljuk.

   Ha a gyökerek r ± (\displaystyle r_(\pm )) különböző valós számok, a differenciálegyenletnek a következő megoldása van

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\megjelenítési stílus y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Két összetett gyökér. Az algebra alaptételéből következik, hogy a valós együtthatós polinomegyenletek megoldásainak valós gyökei vannak, vagy konjugált párokat alkotnak. Ezért ha a komplex szám r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) akkor a karakterisztikus egyenlet gyöke r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) ennek az egyenletnek a gyökere is. Így a megoldás formába írható c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) ez azonban egy összetett szám, és gyakorlati problémák megoldásában nem kívánatos.

   • Ehelyett használhatja Euler képlet e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), amely lehetővé teszi a megoldás trigonometrikus függvények formájában történő felírását:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ béta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Most ahelyett, hogy állandó c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))írd le c 1 (\displaystyle c_(1)), és a kifejezés i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) kicserélve c 2. (\displaystyle c_(2).) Ezek után a következő megoldást kapjuk:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Van egy másik módszer is a megoldás megírására amplitúdó és fázis tekintetében, ami jobban megfelel a fizikai problémáknak.
   • Példa 2.1. Keressük az alábbiakban megadott differenciálegyenlet megoldását adott kezdeti feltételek mellett. Ehhez a kapott oldatot kell venni, valamint származéka, és behelyettesítjük őket a kezdeti feltételekbe, ami lehetővé teszi, hogy tetszőleges állandókat határozzunk meg.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\megjelenítési stílus r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )én)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\megjelenítési stílus x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 ( − 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobb)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra)\end(igazított)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1=-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra))
   
   N-edrendű differenciálegyenletek megoldása állandó együtthatókkal (Intuit - National Open University felvétele).

2. Leminősítési sorrend. A sorrendredukció egy módszer differenciálegyenletek megoldására, ha egy lineárisan független megoldás ismert. Ez a módszer abból áll, hogy eggyel csökkentjük az egyenlet sorrendjét, ami lehetővé teszi az egyenlet megoldását az előző részben leírt módszerekkel. Legyen ismert a megoldás. A sorrend csökkentésének fő gondolata, hogy megoldást találjunk az alábbi formában, ahol meg kell határozni a funkciót v (x) (\displaystyle v(x)), behelyettesítve a differenciálegyenletbe és megtalálni v(x). (\displaystyle v(x).) Nézzük meg, hogyan használható a sorrendcsökkentés egy állandó együtthatós és többszörös gyökös differenciálegyenlet megoldására.

   
   

   Több gyökér homogén differenciálegyenlet állandó együtthatókkal. Emlékezzünk vissza, hogy egy másodrendű egyenletnek két lineárisan független megoldással kell rendelkeznie. Ha a karakterisztikus egyenletnek több gyöke van, a megoldások halmaza nem teret képez, mivel ezek a megoldások lineárisan függőek. Ebben az esetben sorrendcsökkentést kell alkalmazni egy második lineárisan független megoldás megtalálásához.

   • Legyen a karakterisztikus egyenletnek több gyöke r (\displaystyle r). Feltételezzük, hogy a második megoldás így írható fel y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), és behelyettesítjük a differenciálegyenletbe. Ebben az esetben a legtöbb tag, kivéve a függvény második deriváltjával rendelkező tagot v , (\displaystyle v,) csökkenni fog.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Példa 2.2. Adott a következő egyenlet, amelynek több gyöke van r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Cserekor a legtöbb kifejezés törlődik.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(igazítva)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(igazított )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(igazított)))
   • Mint az ansatzunk egy állandó együtthatójú differenciálegyenlethez, ebben az esetben csak a második derivált lehet nulla. Kétszer integráljuk, és megkapjuk a kívánt kifejezést v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Ekkor egy állandó együtthatós differenciálegyenlet általános megoldása, ha a karakterisztikus egyenletnek több gyöke van, a következő formában írható fel. A kényelem kedvéért ne feledje, hogy a lineáris függetlenség eléréséhez elegendő a második tagot egyszerűen megszorozni x (\displaystyle x). Ez a megoldáskészlet lineárisan független, így ennek az egyenletnek minden megoldását megtaláltuk.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Rendeléscsökkentés alkalmazható, ha a megoldás ismert y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), amely megtalálható vagy megadható a problémafelvetésben.

   • Formában keresünk megoldást y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))és csatlakoztassa ebbe az egyenletbe:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Mert a y 1 (\displaystyle y_(1)) megoldása a differenciálegyenletre, minden kifejezés -vel v (\displaystyle v) zsugorodnak. Ennek eredményeként megmarad elsőrendű lineáris egyenlet. Hogy ezt tisztábban lássuk, változtassuk meg a változókat w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\jobbra)(\mathrm (d) )x\jobbra))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ha az integrálok kiszámíthatók, akkor az általános megoldást elemi függvények kombinációjaként kapjuk. Ellenkező esetben a megoldás integrált formában hagyható.

3. Cauchy-Euler egyenlet. A Cauchy-Euler egyenlet egy példa egy másodrendű differenciálegyenletre változók együtthatók, amelynek pontos megoldásai vannak. Ezt az egyenletet a gyakorlatban például a Laplace-egyenlet gömbkoordinátákban történő megoldására használják.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Karakterisztikus egyenlet. Amint látható, ebben a differenciálegyenletben minden tag tartalmaz egy teljesítménytényezőt, amelynek mértéke megegyezik a megfelelő derivált sorrendjével.

   • Így meg lehet próbálni a formában keresni a megoldást y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) hol kell meghatározni n (\displaystyle n), mint ahogy exponenciális függvény formájában kerestünk megoldást egy állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletre. A differenciálás és helyettesítés után azt kapjuk
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\megjelenítési stílus x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • A karakterisztikus egyenlet használatához azt kell feltételeznünk x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Pont x = 0 (\displaystyle x=0) hívott szabályos szinguláris pont differenciálegyenlet. Az ilyen pontok fontosak a differenciálegyenletek hatványsoros megoldásánál. Ennek az egyenletnek két gyöke van, amelyek lehetnek különbözőek és valósak, többszörösek vagy összetettek.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)

   Két különböző valódi gyökér. Ha a gyökerek n ± (\displaystyle n_(\pm )) valódiak és különbözőek, akkor a differenciálegyenlet megoldása a következő alakú:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\megjelenítési stílus y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Két összetett gyökér. Ha a karakterisztikus egyenletnek gyökei vannak n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), a megoldás egy összetett függvény.

   • Ahhoz, hogy a megoldást valós függvénnyel alakítsuk át, megváltoztatjuk a változókat x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) vagyis t = ln ⁡ x , (\megjelenítési stílus t=\ln x,)és használja az Euler-képletet. Hasonló műveleteket hajtottak végre korábban tetszőleges állandók meghatározásakor.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Ekkor az általános megoldás így írható fel
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Több gyökér. Egy második lineárisan független megoldás eléréséhez ismét csökkenteni kell a sorrendet.

   • Elég sok számítást igényel, de az elv ugyanaz: helyettesítjük y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) egy egyenletbe, amelynek első megoldása az y 1 (\displaystyle y_(1)). A redukciók után a következő egyenletet kapjuk:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Ez egy elsőrendű lineáris egyenlet ehhez képest v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Az ő megoldása az v (x) = c 1 + c 2 ln⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Így a megoldás a következő formában írható fel. Nagyon könnyű megjegyezni – a második lineárisan független megoldáshoz csak egy további kifejezésre van szükség ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\megjelenítési stílus y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Inhomogén lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. A nemhomogén egyenleteknek van alakja L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) ahol f (x) (\displaystyle f(x))- ún ingyenes tag. A differenciálegyenletek elmélete szerint ennek az egyenletnek az általános megoldása egy szuperpozíció magándöntés y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))és kiegészítő megoldás y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) A konkrét megoldás azonban ebben az esetben nem a kezdeti feltételek által adott megoldást jelenti, hanem inkább az inhomogenitás (szabadtag) jelenlétéből adódó megoldást. A komplementer megoldás a megfelelő homogén egyenlet megoldása, amelyben f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Az általános megoldás e két megoldás szuperpozíciója, hiszen L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), és azóta L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) az ilyen szuperpozíció valóban általános megoldás.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   A határozatlan együtthatók módszere. A határozatlan együtthatók módszerét olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a szabad tag exponenciális, trigonometrikus, hiperbolikus vagy hatványfüggvények kombinációja. Csak ezeknek a függvényeknek garantáltan véges számú lineárisan független deriváltjuk van. Ebben a részben az egyenletre egy sajátos megoldást találunk.

   • Hasonlítsa össze a kifejezéseket f (x) (\displaystyle f(x)) az állandó tényezők figyelmen kívül hagyásával járó kifejezésekkel. Három eset lehetséges.
     • Nincsenek egyforma tagok. Ebben az esetben egy speciális megoldás y p (\displaystyle y_(p)) a kifejezések lineáris kombinációja lesz y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) tagot tartalmaz x n (\displaystyle x^(n)) és egy tagja y c , (\displaystyle y_(c),) ahol n (\displaystyle n) nulla vagy pozitív egész szám, és ez a tag a karakterisztikus egyenlet egyetlen gyökének felel meg. Ebben az esetben y p (\displaystyle y_(p)) függvény kombinációjából fog állni x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) lineárisan független származékai, valamint egyéb kifejezései f (x) (\displaystyle f(x))és ezek lineárisan független származékai.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) tagot tartalmaz h (x) , (\displaystyle h(x),) ami egy mű x n (\displaystyle x^(n)) és egy tagja y c , (\displaystyle y_(c),) ahol n (\displaystyle n) egyenlő 0-val vagy pozitív egész számmal, és ez a kifejezés megfelel a többszörös a karakterisztikus egyenlet gyöke. Ebben az esetben y p (\displaystyle y_(p)) a függvény lineáris kombinációja x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(ahol s (\displaystyle s)- a gyök többszöröse) és lineárisan független származékai, valamint a függvény többi tagja f (x) (\displaystyle f(x))és lineárisan független származékai.
   • Írjuk fel y p (\displaystyle y_(p)) a fenti kifejezések lineáris kombinációjaként. Ezen együtthatók lineáris kombinációja miatt ezt a módszert "határozatlan együtthatók módszerének" nevezik. A benne foglaltak megjelenése után y c (\displaystyle y_(c)) tagjaik eldobhatók tetszőleges állandók jelenléte miatt y c . (\displaystyle y_(c).) Utána cserélünk y p (\displaystyle y_(p)) egyenletbe, és hasonló kifejezéseket egyenlővé tenni.
   • Meghatározzuk az együtthatókat. Ebben a szakaszban egy algebrai egyenletrendszert kapunk, amely általában különösebb probléma nélkül megoldható. Ennek a rendszernek a megoldása lehetővé teszi a megszerzését y p (\displaystyle y_(p))és ezzel oldja meg az egyenletet.
   • 2.3. példa. Tekintsünk egy inhomogén differenciálegyenletet, amelynek szabad tagja véges számú lineárisan független származékot tartalmaz. Egy ilyen egyenlet sajátos megoldását a határozatlan együtthatók módszerével találhatjuk meg.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = Ae 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\megjelenítési stílus y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 Ae 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(igazított)))
     • ( 9 A + 6 A = 2, A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1, B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0, C = 0 (\displaystyle (\begin(esetek)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ vége(esetek)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrange módszer. A Lagrange-módszer, vagy tetszőleges állandók variációs módszere egy általánosabb módszer inhomogén differenciálegyenletek megoldására, különösen olyan esetekben, amikor a szabad tag nem tartalmaz véges számú lineárisan független derivált. Például ingyenes tagokkal tan⁡ x (\displaystyle \tan x) vagy x − n (\displaystyle x^(-n)) egy adott megoldás megtalálásához a Lagrange-módszert kell használni. A Lagrange-módszerrel akár változó együtthatós differenciálegyenletek is megoldhatók, bár ebben az esetben a Cauchy-Euler egyenlet kivételével ritkábban alkalmazzák, mivel a kiegészítő megoldást általában nem elemi függvényekkel fejezik ki.

   • Tegyük fel, hogy a megoldás alakja a következő. Származékát a második sorban adjuk meg.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\megjelenítési stílus y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ' = v 1 ' y 1 + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 + v 2 y 2 ' (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Mivel a javasolt megoldás tartalmazza két ismeretlen mennyiségeket kell előírni továbbiállapot. Ezt a kiegészítő feltételt a következő formában választjuk ki:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Most megkaphatjuk a második egyenletet. A tagok helyettesítése és újraelosztása után csoportosíthatja a tagokat v 1 (\displaystyle v_(1))és tagjai a v2 (\displaystyle v_(2)). Ezeket a feltételeket töröljük, mert y 1 (\displaystyle y_(1))és y 2 (\displaystyle y_(2)) a megfelelő homogén egyenlet megoldásai. Ennek eredményeként a következő egyenletrendszert kapjuk
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(igazítva)))
   • Ez a rendszer átalakítható mátrix egyenletté A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) amelynek megoldása az x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Mátrixhoz 2 × 2 (\displaystyle 2\x 2) az inverz mátrixot a determinánssal való osztással, az átlós elemek permutálásával és az átlón kívüli elemek előjelének megfordításával találjuk meg. Valójában ennek a mátrixnak a meghatározója egy Wronski-féle.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmátrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmátrix)))
   • Kifejezések a v 1 (\displaystyle v_(1))és v2 (\displaystyle v_(2)) alább felsoroljuk. Akárcsak a sorrendredukciós módszernél, ebben az esetben is megjelenik egy tetszőleges állandó az integráció során, amely a differenciálegyenlet általános megoldásában egy további megoldást is tartalmaz.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   A National Open University Intuit előadása "N-edrendű lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal".

Gyakorlati használat

A differenciálegyenletek összefüggést hoznak létre egy függvény és egy vagy több deriváltja között. Mivel az ilyen összefüggések olyan gyakoriak, a differenciálegyenletek széles körben alkalmazhatók számos területen, és mivel négy dimenzióban élünk, ezek az egyenletek gyakran differenciálegyenletek. magán származékai. Ez a rész az ilyen típusú legfontosabb egyenleteket tárgyalja.

• Exponenciális növekedés és hanyatlás. radioaktív bomlás. Kamatos kamat. A kémiai reakciók sebessége. A gyógyszerek koncentrációja a vérben. Korlátlan népességnövekedés. Newton-Richmann törvény. A való világban sok olyan rendszer létezik, ahol a növekedés vagy hanyatlás mértéke egy adott időpontban arányos az akkori mennyiséggel, vagy jól közelíthető egy modellel. Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása, az exponenciális függvény ugyanis a matematika és más tudományok egyik legfontosabb függvénye. Általánosabban, szabályozott népességnövekedés mellett a rendszer további kifejezéseket is tartalmazhat, amelyek korlátozzák a növekedést. Az alábbi egyenletben az állandó k (\displaystyle k) lehet nagyobb vagy kisebb nullánál.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmonikus rezgések. Mind a klasszikus, mind a kvantummechanikában a harmonikus oszcillátor az egyik legfontosabb fizikai rendszer, egyszerűsége és széleskörű alkalmazása bonyolultabb rendszerek, például egyszerű inga közelítésére. A klasszikus mechanikában a harmonikus rezgéseket egy egyenlet írja le, amely az anyagi pont helyzetét a gyorsulásához köti a Hooke-törvény alapján. Ebben az esetben a csillapítás és a hajtóerő is figyelembe vehető. Az alábbi kifejezésben x ˙ (\displaystyle (\pont (x)))- idő deriváltja x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) olyan paraméter, amely leírja a csillapító erőt, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- a rendszer szögfrekvenciája, F (t) (\displaystyle F(t)) időfüggő hajtóerő. A harmonikus oszcillátor jelen van az elektromágneses oszcillációs áramkörökben is, ahol nagyobb pontossággal valósítható meg, mint a mechanikus rendszerekben.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\pont (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Bessel-egyenlet. A Bessel-differenciálegyenletet a fizika számos területén használják, beleértve a hullámegyenlet, a Laplace-egyenlet és a Schrödinger-egyenlet megoldását is, különösen hengeres vagy gömbszimmetria esetén. Ez a változó együtthatós másodrendű differenciálegyenlet nem Cauchy-Euler egyenlet, így megoldásai nem írhatók fel elemi függvényként. A Bessel-egyenlet megoldásai a Bessel-függvények, amelyek jól tanulmányozottak, mivel számos területen használatosak. Az alábbi kifejezésben α (\displaystyle \alpha ) egy konstans, amely megegyezik rendelés Bessel-függvények.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwell-egyenletek. A Lorentz-erő mellett a Maxwell-egyenletek képezik a klasszikus elektrodinamika alapját. Ez négy parciális differenciálegyenlet az elektromosság számára E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))és mágneses B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) mezőket. Az alábbi kifejezésekben ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- töltéssűrűség, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) az áramsűrűség, és ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))és μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) az elektromos, illetve a mágneses állandók.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\c)\dotnabla(igazítva) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(igazított)))
• Schrödinger egyenlet. A kvantummechanikában a Schrödinger-egyenlet a mozgás alapegyenlete, amely leírja a részecskék mozgását a hullámfüggvény változása szerint. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) idővel. A mozgásegyenletet a viselkedés írja le Hamiltoni H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operátor, amely a rendszer energiáját írja le. A Schrödinger-egyenlet egyik jól ismert példája a fizikában az egy nem relativisztikus részecske egyenlete, amely potenciálnak van kitéve. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Sok rendszert az időfüggő Schrödinger-egyenlet ír le, a bal oldalon lévő egyenlettel E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) ahol E (\displaystyle E) a részecske energiája. Az alábbi kifejezésekben ℏ (\displaystyle \hbar ) a redukált Planck-állandó.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\jobbra)\Psi )
• hullámegyenlet. A fizikát és a technikát elképzelhetetlen hullámok nélkül, ezek minden típusú rendszerben jelen vannak. Általában a hullámokat az alábbi egyenlet írja le, amelyben u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) a kívánt funkció, és c (\displaystyle c)- kísérletileg meghatározott állandó. d'Alembert volt az első, aki felfedezte, hogy az egydimenziós esetre a hullámegyenlet megoldása Bármi függvény argumentummal x − c t (\displaystyle x-ct), amely egy tetszőleges, jobbra terjedő hullámot ír le. Az egydimenziós eset általános megoldása ennek a függvénynek a lineáris kombinációja egy argumentummal rendelkező második függvényrel x + c t (\displaystyle x+ct), amely egy balra terjedő hullámot ír le. Ezt a megoldást a második sorban mutatjuk be.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x, t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\megjelenítési stílus u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes egyenletek. A Navier-Stokes egyenletek a folyadékok mozgását írják le. Mivel a folyadékok a tudomány és a technológia szinte minden területén jelen vannak, ezek az egyenletek rendkívül fontosak az időjárás előrejelzésében, a repülőgépek tervezésében, az óceáni áramlatokban és sok más alkalmazásban. A Navier-Stokes egyenletek nemlineáris parciális differenciálegyenletek, és a legtöbb esetben nagyon nehéz megoldani őket, mivel a nemlinearitás turbulenciához vezet, és ahhoz, hogy numerikus módszerekkel stabil megoldást kapjunk, szükséges nagyon kis cellákra való felosztás, ami jelentős számítási teljesítményt igényel. A hidrodinamika gyakorlati céljaira a turbulens áramlások modellezésére olyan módszereket alkalmaznak, mint az időátlagolás. Az olyan alapvető kérdések, mint a nemlineáris parciális differenciálegyenletek megoldásainak megléte és egyedisége összetett problémák, és a Navier-Stokes egyenletek megoldásainak háromdimenziós létezésének és egyediségének bizonyítása az ezredforduló matematikai problémái közé tartozik. . Az alábbiakban látható az összenyomhatatlan folyadékáramlás egyenlete és a folytonossági egyenlet.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (u)bf (u)bf )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Sok differenciálegyenlet egyszerűen nem oldható meg a fenti módszerekkel, különösen az utolsó részben említettekkel. Ez akkor érvényes, ha az egyenlet változó együtthatókat tartalmaz, és nem Cauchy-Euler egyenlet, vagy ha az egyenlet nemlineáris, kivéve néhány nagyon ritka esetet. A fenti módszerek azonban lehetővé teszik számos fontos differenciálegyenlet megoldását, amelyek gyakran előfordulnak a tudomány különböző területein.
• A differenciálástól eltérően, amely lehetővé teszi bármely függvény deriváltjának megtalálását, sok kifejezés integrálja nem fejezhető ki elemi függvényekben. Ezért ne pazarolja az időt az integrál kiszámítására ott, ahol ez lehetetlen. Nézd meg az integrálok táblázatát. Ha egy differenciálegyenlet megoldása nem fejezhető ki elemi függvényekkel, akkor néha integrál formában is ábrázolható, és ebben az esetben nem mindegy, hogy ez az integrál analitikusan kiszámítható-e.

Figyelmeztetések

• Megjelenés a differenciálegyenlet félrevezető lehet. Az alábbiakban például két elsőrendű differenciálegyenlet látható. Az első egyenlet könnyen megoldható a cikkben leírt módszerekkel. Első ránézésre kisebb változás y (\displaystyle y) a y 2 (\displaystyle y^(2)) a második egyenletben nemlineárissá teszi, és nagyon nehéz lesz megoldani.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

6.1. ALAPVETŐ FOGALMAK ÉS DEFINÍCIÓK

A matematika és a fizika, a biológia és az orvostudomány különböző problémáinak megoldása során gyakran nem lehet azonnal megállapítani a funkcionális függőséget a vizsgált folyamatot leíró változókat összekötő képlet formájában. Általában olyan egyenleteket kell használni, amelyek a független változó és az ismeretlen függvény mellett annak deriváltjait is tartalmazzák.

Meghatározás. Egy független változóra, egy ismeretlen függvényre és annak különböző rendű származékaira vonatkozó egyenletet nevezzük differenciális.

Az ismeretlen függvényt általában jelölik y(x) vagy egyszerűen y, származékai pedig azok y", y" stb.

Más jelölések is lehetségesek, például: ha y= x(t), akkor x"(t), x""(t) származékai, és t egy független változó.

Meghatározás. Ha a függvény egy változótól függ, akkor a differenciálegyenletet közönségesnek nevezzük. Általános forma közönséges differenciálegyenlet:

vagy

Funkciók Fés f nem tartalmazhat néhány argumentumot, de ahhoz, hogy az egyenletek differenciálisak legyenek, elengedhetetlen a derivált jelenléte.

Meghatározás.A differenciálegyenlet sorrendje a benne foglalt legmagasabb derivált sorrendje.

Például, x 2 y"- y= 0, y" + sin x= 0 elsőrendű egyenletek, és y"+ 2 y"+ 5 y= x egy másodrendű egyenlet.

A differenciálegyenletek megoldásánál az integrációs műveletet alkalmazzuk, amely egy tetszőleges állandó megjelenéséhez kapcsolódik. Ha az integrációs műveletet alkalmazzák n alkalommal, akkor nyilván a megoldás tartalmazni fog n tetszőleges állandók.

6.2. ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK

Általános forma elsőrendű differenciálegyenlet kifejezés határozza meg

Az egyenlet nem tartalmazhatja kifejezetten xés y, de szükségszerűen y-t tartalmaz."

Ha az egyenlet úgy írható fel

akkor a deriváltra vonatkozóan megoldott elsőrendű differenciálegyenletet kapunk.

Meghatározás. A (6.3) (vagy (6.4)) elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása a megoldások halmaza , ahol TÓL TŐL egy tetszőleges állandó.

A differenciálegyenlet megoldására szolgáló gráfot ún integrálgörbe.

Tetszőleges állandó megadása TÓL TŐL különböző értékekkel, lehetőség van egyedi megoldások elérésére. A felszínen xOy az általános megoldás az egyes megoldásoknak megfelelő integrálgörbék családja.

Ha pontot tesz A(x0, y0), amelyen az integrálgörbének át kell haladnia, akkor általában a függvényhalmazból egyet lehet kiemelni – egy adott megoldást.

Meghatározás.Magán döntés egy differenciálegyenlet megoldása, amely nem tartalmaz tetszőleges állandókat.

Ha egy általános megoldás, akkor a feltételből

állandót találhatsz TÓL TŐL. A feltétel az ún kezdeti állapot.

A (6.3) vagy (6.4) differenciálegyenlet egy adott megoldásának megtalálásának problémája, amely kielégíti a kezdeti feltételt nál nél hívott a Cauchy-probléma. Ennek a problémának mindig van megoldása? A választ a következő tétel tartalmazza.

Cauchy-tétel(a megoldás létezésének és egyediségének tétele). Adjuk be a differenciálegyenletet y"= f(x, y) funkció f(x, y)és ő

részleges származéka meghatározott és egyesekben folyamatos

területeken D, pontot tartalmaz Aztán a környéken D létezik

az egyenlet egyetlen megoldása, amely kielégíti a kezdeti feltételt nál nél

Cauchy tétele kimondja, hogy bizonyos feltételek mellett létezik egy egyedi integrálgörbe y= f(x), ponton áthaladva Pontok, ahol a tétel feltételei nem teljesülnek

A macskákat hívják különleges. Szakadások ezeken a pontokon f(x, y) vagy.

Egy szinguláris ponton vagy több integrálgörbe megy át, vagy egy sem.

Meghatározás. Ha a (6.3), (6.4) megoldás megtalálható az űrlapban f(x, y, c)= 0 nem megengedett y-ra vonatkozóan, akkor hívjuk közös integrál differenciálegyenlet.

Cauchy tétele csak azt garantálja, hogy létezik megoldás. Mivel nincs egyetlen módszer a megoldás megtalálására, csak néhány elsőrendű differenciálegyenlet-típust fogunk figyelembe venni, amelyek integrálhatók négyzetek.

Meghatározás. A differenciálegyenletet ún négyzetbe integrálható, ha a megoldásának keresését a funkciók integrálására redukáljuk.

6.2.1. Elsőrendű differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Meghatározás. Az elsőrendű differenciálegyenletet egyenletnek nevezzük elválasztható változók,

A (6.5) egyenlet jobb oldala két függvény szorzata, amelyek mindegyike csak egy változótól függ.

Például az egyenlet egyenlet elválasztással

változók átadása
és az egyenlet

nem ábrázolható a (6.5) formában.

Tekintettel arra , átírjuk (6.5) így

Ebből az egyenletből egy elválasztott változókkal rendelkező differenciálegyenletet kapunk, amelyben a differenciálok olyan függvényeket tartalmaznak, amelyek csak a megfelelő változótól függenek:

Megvan a terminusonkénti integrálás

ahol C= C 2 - C 1 tetszőleges állandó. A (6.6) kifejezés a (6.5) egyenlet általános integrálja.

Ha a (6.5) egyenlet mindkét részét elosztjuk -vel, elveszíthetjük azokat a megoldásokat, amelyekre Valóban, ha nál nél

akkor nyilvánvalóan a (6.5) egyenlet megoldása.

1. példa Keress egy kielégítő megoldást az egyenletre

állapot: y= 6 órakor x= 2 (y(2) = 6).

Megoldás. Cseréljük nál nél" azért . Szorozd meg mindkét oldalt ezzel

dx, hiszen a további integrációban nem lehet távozni dx a nevezőben:

majd mindkét részt elosztjuk azzal megkapjuk az egyenletet,

amely integrálható. Integráljuk:

Akkor ; potencírozva azt kapjuk, hogy y = C . (x + 1) - ob-

megoldás.

A kiindulási adatok alapján meghatározunk egy tetszőleges állandót úgy, hogy behelyettesítjük őket az általános megoldásba

Végre megkapjuk y= 2(x + 1) egy speciális megoldás. Vegyünk még néhány példát az egyenletek elválasztható változókkal való megoldására.

2. példa Keress megoldást az egyenletre

Megoldás. Tekintettel arra , kapunk .

Az egyenlet mindkét oldalát integrálva megkaptuk

ahol

3. példa Keress megoldást az egyenletre Megoldás. Az egyenlet mindkét részét elosztjuk azokkal a tényezőkkel, amelyek olyan változótól függenek, amely nem esik egybe a differenciáljel alatti változóval, azaz és integrálni. Akkor kapunk

és végül

4. példa Keress megoldást az egyenletre

Megoldás. Tudva, mit kapunk. Szakasz-

lim változók. Akkor

Integrációt kapunk

Megjegyzés. Az 1. és 2. példában a kívánt függvény y kifejezetten kifejezve (általános megoldás). A 3. és 4. példában - implicit módon (általános integrál). A jövőben a határozat formája nem kerül pontosításra.

5. példa Keress megoldást az egyenletre Megoldás.

6. példa Keress megoldást az egyenletre kielégítő

állapot y(e)= 1.

Megoldás. Az egyenletet a formába írjuk

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva ezzel dxés tovább, megkapjuk

Az egyenlet mindkét oldalát integrálva (a jobb oldali integrált részekre szedjük), megkapjuk

De feltételek szerint y= 1 at x= e. Akkor

Cserélje be a talált értékeket! TÓL TŐLáltalános megoldásban:

Az így kapott kifejezést a differenciálegyenlet sajátos megoldásának nevezzük.

6.2.2. Elsőrendű homogén differenciálegyenletek

Meghatározás. Az elsőrendű differenciálegyenletet ún homogén ha úgy ábrázolható

Bemutatunk egy homogén egyenlet megoldására szolgáló algoritmust.

1. Ehelyett y vezessen be egy új funkciót és innentől

2. Funkció szempontjából u a (6.7) egyenlet felveszi a formát

azaz a helyettesítés a homogén egyenletet elválasztható változókkal rendelkező egyenletté redukálja.

3. A (6.8) egyenlet megoldása során először megtaláljuk az u-t, majd azután y= ux.

1. példa oldja meg az egyenletet Megoldás. Az egyenletet a formába írjuk

Cseréljük:
Akkor

Cseréljük

Szorzás dx-el: Oszd el xés tovább akkor

Az egyenlet mindkét részét a megfelelő változókra integrálva megkaptuk

vagy a régi változókhoz visszatérve végre megkapjuk

2. példaoldja meg az egyenletet Megoldás.Hadd akkor

Oszd el az egyenlet mindkét oldalát! x2: Nyissuk meg a zárójeleket, és rendezzük át a kifejezéseket:

A régi változókra áttérve a végeredményhez jutunk:

3. példaKeress megoldást az egyenletre azzal a feltétellel

Megoldás.Normál csere végrehajtása kapunk

vagy

vagy

Tehát az adott megoldásnak megvan a formája 4. példa Keress megoldást az egyenletre

Megoldás.

5. példaKeress megoldást az egyenletre Megoldás.

Önálló munkavégzés

Keressen megoldást elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletekre (1-9).

Keressen megoldást homogén differenciálegyenletekre! (9-18).

6.2.3. Az elsőrendű differenciálegyenletek néhány alkalmazása

A radioaktív bomlás problémája

Az Ra (rádium) bomlási sebessége minden pillanatban arányos a rendelkezésre álló tömegével. Keresse meg az Ra radioaktív bomlásának törvényét, ha ismert, hogy a kezdeti pillanatban Ra volt, és Ra felezési ideje 1590 év.

Megoldás. Legyen pillanatnyilag az Ra tömeg x= x(t) g, és Ekkor Ra bomlási sebessége az

A feladatnak megfelelően

ahol k

Az utolsó egyenletben szereplő változókat elválasztva és integrálva azt kapjuk

ahol

Meghatározására C a kezdeti feltételt használjuk: .

Akkor és ezért,

Arányossági tényező k a kiegészítő feltétel alapján határozzák meg:

Nekünk van

Innen és a kívánt képletet

A baktériumok szaporodási sebességének problémája

A baktériumok szaporodási sebessége arányos számukkal. A kezdeti pillanatban 100 baktérium volt. 3 óra alatt számuk megduplázódott. Határozza meg a baktériumok számának időbeli függését! Hányszorosára nő a baktériumok száma 9 órán belül?

Megoldás. Hadd x- a baktériumok száma pillanatnyilag t. Ezután a feltételeknek megfelelően

ahol k- arányossági együttható.

Innen Az állapotból ismert, hogy . Eszközök,

A kiegészítő feltételtől . Akkor

Kötelező funkció:

Szóval, at t= 9 x= 800, azaz 9 órán belül a baktériumok száma 8-szorosára nőtt.

Az enzim mennyiségének növelésének feladata

A sörélesztő tenyészetében az aktív enzim növekedési üteme arányos annak kezdeti mennyiségével. x. Az enzim kezdeti mennyisége a egy órán belül megduplázódott. Találd meg a függőséget

x(t).

Megoldás. Feltétel szerint a folyamat differenciálegyenlete alakja

innen

De . Eszközök, C= aés akkor

Az is ismert, hogy

Következésképpen,

6.3. MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK

6.3.1. Alapfogalmak

Meghatározás.Másodrendű differenciálegyenlet A független változót, a kívánt függvényt és annak első és második deriváltját összekötő relációnak nevezzük.

Speciális esetekben előfordulhat, hogy x hiányzik az egyenletből, nál nél vagy y". A másodrendű egyenletnek azonban szükségszerűen tartalmaznia kell y-t". Általános esetben a másodrendű differenciálegyenletet a következőképpen írjuk fel:

vagy ha lehetséges, a második származéknál megengedett formában:

Mint egy elsőrendű egyenlet esetében, a másodrendű egyenletnek is lehet általános és sajátos megoldása. Az általános megoldás így néz ki:

Privát megoldás keresése

kezdeti feltételek mellett – adott

szám) hívják a Cauchy-probléma. Geometriailag ez azt jelenti, hogy meg kell találni az integrálgörbét nál nél= y(x), adott ponton áthaladva és ezen a ponton egy érintője van, ami kb

pozitív tengelyirányú villák Ökör adott szög. e. (6.1. ábra). A Cauchy-feladatnak egyedi megoldása van, ha a (6.10) egyenlet jobb oldala, elő-

nem folytonos és folytonos parciális származékai vannak a tekintetében u u" a kiindulópont valamely szomszédságában

Állandót találni egy adott megoldásban szerepel, engedélyezni kell a rendszert

Rizs. 6.1. integrálgörbe