Hajlítás (mechanika). Tervezési sémák gerendákhoz

itthon

Dokumentáció

Egyenes kanyar. Lapos keresztirányú hajlítás 1.1. A gerendák belső erőtényezőinek diagramjainak felépítése 1.2. Q és M diagramok felépítése az 1.3 egyenletek szerint. Q és M diagramok felépítése jellemző metszetekre (pontokra) 1.4. Szilárdsági számítások a gerendák közvetlen hajlításánál 1.5. Fő hajlítófeszültségek. A gerendák teljes szilárdsági ellenőrzése 1.6. A kanyar középpontjának fogalma 1.7. A gerendák elmozdulásának meghatározása hajlítás közben. A gerendák alakváltozásának fogalmai és merevségük feltételei 1.8. A gerenda hajlított tengelyének differenciálegyenlete 1.9. A közvetlen integráció módszere 1.10. Példák a gerendák elmozdulásának meghatározására közvetlen integrálással 1.11. Az integrálási állandók fizikai jelentése 1.12. A kezdeti paraméterek módszere (a gerenda hajlított tengelyének univerzális egyenlete) 1.13. Példák nyaláb elmozdulásának meghatározására a kezdeti paraméterek módszerével 1.14. Mozgások meghatározása Mohr-módszerrel. A.K. szabálya Verescsagin 1.15. A Mohr integrál számítása A.K. szerint. Verescsagin 1.16. Példák az elmozdulások meghatározására Mohr-integrál segítségével Irodalom 4 1. Egyenes kanyar. Lapos keresztirányú hajlítás. 1.1. A gerendák belső erőtényezőinek ábrázolási diagramja A közvetlen hajlítás az alakváltozás egyik fajtája, amelyben a rúd keresztmetszetein két belső erőtényező lép fel: egy hajlítónyomaték és egy keresztirányú erő. Egy adott esetben a keresztirányú erő nulla lehet, ekkor a hajlítást tisztának nevezzük. Lapos keresztirányú hajlításnál minden erő a rúd egyik fő tehetetlenségi síkjában helyezkedik el, és merőleges a hossztengelyére, a nyomatékok ugyanabban a síkban helyezkednek el (1.1. ábra, a, b). Rizs. 1.1 A keresztirányú erő a gerenda tetszőleges keresztmetszetében numerikusan egyenlő a vizsgált szakasz egyik oldalán ható összes külső erő nyaláb tengelyének normáljára vetületeinek algebrai összegével. A keresztirányú erőt a gerenda m-n szakaszában (1.2. ábra, a) pozitívnak tekintjük, ha a külső erők eredője a szakasztól balra felfelé, jobbra - lefelé, negatív - ellenkező esetben. (1.2. ábra, b). Rizs. 1.2 Egy adott szakaszon a keresztirányú erő kiszámításakor a szakasztól balra eső külső erőket plusz előjellel vesszük, ha felfelé irányulnak, és mínuszjellel, ha lefelé irányulnak. A gerenda jobb oldalához - fordítva. 5 A hajlítónyomaték tetszőleges gerenda keresztmetszetben számszerűen egyenlő a vizsgált szakasz egyik oldalán ható összes külső erő metszetének középtengelye körüli z nyomatékok algebrai összegével. A hajlítónyomaték a gerenda m-n szakaszában (1.3. ábra, a) pozitívnak tekinthető, ha a külső erők eredő nyomatéka az óramutató járásával megegyező irányban a szakasztól balra, az óramutató járásával ellentétes irányban pedig jobbra, negatívnak pedig ellenkező esetben (1.3. ábra, b). Rizs. 1.3 Egy adott szakaszon a hajlítónyomaték kiszámításakor a szakasz bal oldalán fellépő külső erők nyomatékait akkor tekintjük pozitívnak, ha azok az óramutató járásával megegyező irányba irányulnak. A gerenda jobb oldalához - fordítva. A hajlítónyomaték előjelét célszerű a gerenda deformációjának jellege alapján meghatározni. A hajlítónyomaték akkor tekinthető pozitívnak, ha a vizsgált szakaszon a gerenda levágott része domborúan lefelé hajlik, azaz az alsó szálak megfeszülnek. Ellenkező esetben a szakaszon a hajlítónyomaték negatív. Az M hajlítónyomaték, a Q keresztirányú erő és a q terhelés intenzitása között differenciális függőségek vannak. 1. A keresztirányú erő első deriváltja a szelvény abszcissza mentén megegyezik az elosztott terhelés intenzitásával, azaz. . (1.1) 2. A szelvény abszcissza menti hajlítónyomaték első deriváltja egyenlő a keresztirányú erővel, azaz (1.2) 3. A szelvény abszcissza második deriváltja egyenlő az elosztott terhelés intenzitásával, azaz (1.3) A felfelé irányuló megosztott terhelést pozitívnak tekintjük. Az M, Q, q közötti különbségi függőségekből számos fontos következtetés következik: 1. Ha a gerenda szakaszon: a) a keresztirányú erő pozitív, akkor a hajlítónyomaték nő; b) a keresztirányú erő negatív, ekkor a hajlítónyomaték csökken; c) a keresztirányú erő nulla, akkor a hajlítónyomaték állandó értékű (tiszta hajlítás); 6 d) a keresztirányú erő nullán halad át, az előjelet pluszról mínuszra változtatja, max M M, egyébként M Mmin. 2. Ha nincs megosztott terhelés a gerenda szakaszon, akkor a keresztirányú erő állandó, és a hajlítónyomaték lineárisan változik. 3. Ha egyenletes eloszlású terhelés éri a gerendametszetet, akkor a keresztirányú erő lineáris törvény szerint változik, a hajlítónyomaték pedig a négyzetes parabola törvénye szerint, konvex a terhelés felé fordítottan (ábrázolás esetén M feszített szálak oldaláról). 4. A koncentrált erő alatti szakaszon a Q diagramnak van egy ugrása (az erő nagyságával), az M diagramnak az erő irányában van törése. 5. Abban a szakaszban, ahol koncentrált nyomatékot alkalmazunk, az M diagramnak ennek a nyomatéknak az értékével megegyező ugrása van. Ez nem tükröződik a Q diagramon. Komplex terhelés esetén a gerendák a Q keresztirányú erőket és az M hajlítónyomatékokat ábrázolják. A Q(M) diagram egy grafikon, amely a keresztirányú erő (hajlítónyomaték) változásának törvényét mutatja a gerenda hossza mentén. Az M és Q diagramok elemzése alapján megállapítják a gerenda veszélyes szakaszait. A Q diagram pozitív ordinátáit felfelé, a negatív ordinátákat lefelé a nyaláb hossztengelyével párhuzamosan húzott alapvonaltól ábrázoljuk. Az M diagram pozitív ordinátáit lefektetjük, a negatív ordinátákat pedig felfelé ábrázoljuk, azaz az M diagramot a megfeszített szálak oldaláról építjük fel. A gerendák Q és M diagramjainak felépítését a támaszreakciók meghatározásával kell kezdeni. Az egyik fix végű és a másik szabad végű gerenda esetében a Q és M ábrázolása a szabad végről kezdhető anélkül, hogy a beágyazásban reakciókat határoznánk meg. 1.2. A Q és M diagramok felépítése a Balk-egyenletek szerint szakaszokra oszlik, amelyeken belül a hajlítónyomaték és a nyíróerő függvényei állandóak (nincs folytonossági hiányuk). A szakaszok határai a koncentrált erők alkalmazási pontjai, az erőpárok és az elosztott terhelés intenzitásának változási helyei. Minden szakaszon egy tetszőleges metszetet veszünk az origótól x távolságra, és ehhez a szakaszhoz Q és M egyenleteket készítünk. A Q és M diagramokat ezekkel az egyenletekkel építjük fel 1.1 példa A Q nyíróerők és a hajlítónyomatékok diagramjainak összeállítása M adott gerendára (1.4a ábra). Megoldás: 1. Hordozók reakcióinak meghatározása. Összeállítjuk az egyensúlyi egyenleteket: amiből megkapjuk A hordozók reakciói helyesen vannak definiálva. A gerenda négy részből áll Fig. 1.4 betöltések: CA, AD, DB, BE. 2. Ploting Q. Plot SA. A CA 1 szakaszon egy tetszőleges 1-1 szakaszt rajzolunk a gerenda bal végétől x1 távolságra. Q-t az 1-1 szakasztól balra ható külső erők algebrai összegeként határozzuk meg: 1 Q 3 0 kN. A mínusz jelet azért veszik, mert a szakasz bal oldalán ható erő lefelé irányul. A Q kifejezés nem függ az x1 változótól. A Q diagram ebben a szakaszban az x tengellyel párhuzamos egyenesként lesz ábrázolva. Kr. telek. A helyszínen tetszőleges 2-2 szakaszt rajzolunk a gerenda bal végétől x2 távolságra. Q2-t a 2-2 szakasztól balra ható külső erők algebrai összegeként definiáljuk: Q értéke állandó a szakaszon (nem függ az x2 változótól). A Q ábrázolás az x tengellyel párhuzamos egyenes. DB webhely. A helyszínen tetszőleges 3-3 szakaszt rajzolunk a gerenda jobb végétől x3 távolságra. A Q3-at a 3-3 szakasztól jobbra ható külső erők algebrai összegeként határozzuk meg: . Az eredményül kapott kifejezés egy ferde egyenes egyenlete. Telek B.E. A helyszínen a gerenda jobb végétől x4 távolságra 4-4 szakaszt rajzolunk. Q-t a 4-4 szakasztól jobbra ható külső erők algebrai összegeként definiáljuk: Itt a pluszjelet veszik, mert a 4-4 szakasztól jobbra eredő terhelés lefelé irányul. A kapott értékek alapján Q diagramokat építünk (1.4. ábra, b). 3. Ábrázolás M. Telek SA m1. Az 1-1 szakaszban a hajlítónyomatékot az 1-1 szakasztól balra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként határozzuk meg. az egyenes egyenlete. Cselekmény. 3 A 2-2 szakaszban a hajlítónyomatékot a 2-2 szakasztól balra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként definiáljuk. az egyenes egyenlete. Cselekmény. 4 A 3-3 szakaszban a hajlítónyomatékot a 3-3 szakasztól jobbra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként határozzuk meg. a négyzetes parabola egyenlete. 9 Három értéket találunk a metszet végén és az xk koordinátájú pontban, ahol itt már kNm van. Cselekmény. 1A 4-4 szakaszban a hajlítónyomatékot a 4-4 szakasztól jobbra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként definiáljuk. - a négyzetes parabola egyenlete három M4 értékét találja: A kapott értékek alapján építünk egy M parcellát (1.4. ábra, c). A CA és AD szakaszokon a Q diagramot az abszcissza tengellyel párhuzamos egyenesek, a DB és BE szakaszokban pedig ferde egyenesek határolják. A Q diagram C, A és B szakaszaiban a megfelelő erők nagyságával ugrások találhatók, ami a Q diagram felépítésének helyességének ellenőrzésére szolgál. Azokon a szakaszokon, ahol Q 0, a nyomatékok balról nőnek. jobbra. Azokon a szakaszokon, ahol Q 0, a nyomatékok csökkennek. A koncentrált erők alatt az erők hatásának irányában törések keletkeznek. A koncentrált pillanat alatt pillanatnyi érték ugrás történik. Ez jelzi az M diagram felépítésének helyességét. 1.2. példa Szerkessze meg a Q és M diagramokat két támaszon lévő, megosztott teherrel terhelt gerendára, amelynek intenzitása egy lineáris törvény szerint változik (1.5. ábra, a). Megoldás Támogatási reakciók meghatározása. Az elosztott terhelés eredője megegyezik a terhelési diagramot ábrázoló háromszög területével, és ennek a háromszögnek a súlypontjára vonatkozik. Az A és B pontokhoz viszonyított összes erő nyomatékának összegét képezzük: Q ábrázolása. Rajzoljunk egy tetszőleges szakaszt a bal oldali támasztól x távolságra. A metszetnek megfelelő terhelési diagram ordinátáját a háromszögek hasonlóságából határozzuk meg A terhelés azon részének eredője, amelyik a szelvénytől balra helyezkedik el A metszetben lévő nyíróerő nullával egyenlő: Q diagram a ábra. 1,5, b. A hajlítónyomaték tetszőleges szakaszon egyenlő a A hajlítónyomaték a köbös parabola törvénye szerint változik: A hajlítónyomaték maximális értéke abban a szakaszban van, ahol Q 0, azaz 1,5, c. 1.3. Q és M diagramok ábrázolása jellemző metszetekre (pontokra) Az M, Q, q közötti differenciális összefüggések és az azokból adódó következtetések felhasználásával célszerű Q és M diagramokat jellemző metszetenként (egyenletek megfogalmazása nélkül) felépíteni. Ezzel a módszerrel a Q és M értékeit jellemző szakaszokban számítják ki. A jellemző szakaszok a szelvények határszelvényei, valamint azok a szakaszok, ahol az adott belső erőtényező szélsőértékkel bír. A karakterisztikus szakaszok közötti határokon belül a diagram 12. vázlata az M, Q, q közötti differenciális függőségek és az ezekből adódó következtetések alapján kerül megállapításra. 1.3. példa Szerkessze meg a Q és M diagramokat az ábrán látható gerendához. 1.6, a. A Q és M diagramok ábrázolását a nyaláb szabad végétől kezdjük, míg a beágyazási reakciók elhagyhatók. A gerendának három terhelési területe van: AB, BC, CD. Az AB és BC szakaszokon nincs megosztott terhelés. A keresztirányú erők állandóak. A Q diagramot az x tengellyel párhuzamos egyenesek határolják. A hajlítási nyomatékok lineárisan változnak. Az M grafikon az x tengelyre hajló egyenesekre korlátozódik. A CD szakaszon egyenletesen elosztott terhelés van. A keresztirányú erők lineárisan változnak, a hajlítónyomatékok pedig a négyzetes parabola törvénye szerint, amelynek konvexitása az elosztott terhelés irányában van. Az AB és BC szakaszok határán a keresztirányú erő hirtelen megváltozik. A BC és CD szakaszok határán a hajlítónyomaték hirtelen megváltozik. 1. Q ábrázolás. Kiszámoljuk a Q keresztirányú erők értékeit a szelvények határoló szakaszaiban: A számítások eredményei alapján elkészítjük a gerenda Q diagramját (1. ábra, b). A Q diagramból következik, hogy a keresztirányú erő a CD szakaszban nullával egyenlő a szakasz elejétől qa a q  távolságra lévő szakaszban. Ebben a szakaszban a hajlítónyomaték maximális értéke van. 2. M diagram felépítése. A szelvények határoló szakaszaiban kiszámítjuk a hajlítónyomatékok értékeit: Kx3-nál a legnagyobb nyomaték a szelvényen A számítások eredményei alapján elkészítjük az M diagramot (5.6. ábra, c). 1.4. példa A gerenda hajlítónyomatékainak adott diagramja (1.7. ábra, a) alapján (1.7. ábra, b) határozza meg a ható terheléseket, és ábrázolja Q-t. A kör a négyzetes parabola csúcsát jelöli. Megoldás: Határozza meg a gerendára ható terheléseket. Az AC szakasz egyenletes eloszlású terheléssel van terhelve, mivel az M diagram ebben a szakaszban négyzetes parabola. A B referenciaszelvényben egy koncentrált nyomatékot alkalmazunk a sugárra, az óramutató járásával megegyező irányban, mivel az M diagramon a nyomaték nagyságával felfelé ugrunk. Az ÉK-i szakaszon a gerenda nincs terhelve, mivel ezen a szakaszon az M diagramot egy ferde egyenes határolja. A B támasz reakcióját abból a feltételből határozzuk meg, hogy a C szakaszban a hajlítónyomaték nulla, azaz az elosztott terhelés intenzitásának meghatározásához az A szakaszban lévő hajlítónyomatékot a hajlítónyomatékok összegeként állítjuk össze. Most határozzuk meg az A támasz reakcióját. Ehhez a szakasz hajlítónyomatékaira egy kifejezést készítünk a bal oldali erőnyomatékok összegeként, ahonnan 1. ábra. 1.7 Ellenőrzés A terheléses gerenda tervezési diagramja a 2. ábrán látható. 1.7, c. A gerenda bal végétől kiindulva kiszámítjuk a keresztirányú erők értékeit a szakaszok határszakaszaiban: A Q grafikon a 2. ábrán látható. 1.7, d) A vizsgált probléma megoldható úgy, hogy minden szakaszban összeállítjuk M, Q funkcionális függőségeit. Válasszuk ki a koordináták origóját a gerenda bal végén. Az AC szakaszon az M parabolát egy négyzetes parabola fejezi ki, melynek egyenlete Konstansok a, b, c alakú, abból a feltételből kapjuk, hogy a parabola három ismert koordinátájú ponton halad át: a pontokat a parabola egyenletbe kapjuk: A hajlítónyomaték kifejezése a következő lesz. Az M1 függvényt differenciálva megkapjuk a keresztirányú erő függését A Q függvény differenciálása után az elosztott terhelés intenzitásának kifejezését kapjuk. Az ÉK szakaszban a hajlítónyomaték kifejezése lineáris függvényként van ábrázolva Az a és b állandók meghatározásához azokat a feltételeket használjuk, hogy ez az egyenes áthalad két olyan ponton, amelyek koordinátái ismertek Két egyenletet kapunk: amelyből 10, b  20. A hajlítónyomaték egyenlete a CB szakaszban a következő lesz. nyomatékok és keresztirányú erők a gerendára. Az elosztott terhelés mellett három szakaszban koncentrált erők fejtik ki a gerendát, ahol a Q diagramon vannak ugrások, és koncentrált nyomatékok abban a szakaszban, ahol az M diagramon van ugrás. 1.5. példa Egy gerendához (1.8. ábra, a) határozzuk meg a C csukló racionális helyzetét, amelynél a fesztávban a legnagyobb hajlítónyomaték egyenlő a beágyazás hajlítónyomatékával (abszolút értékben). Készítsen Q és M diagramot. Megoldás Tartók reakcióinak meghatározása. Annak ellenére, hogy a támasztó linkek száma összesen négy, a nyaláb statikusan meghatározott. A C csuklóban a hajlítónyomaték nullával egyenlő, ami lehetővé teszi egy további egyenlet felállítását: a csuklópánt egyik oldalán ható összes külső erő csuklójára vonatkozó nyomatékok összege nulla. Állítsa össze az összes erő nyomatékának összegét a C csuklótól jobbra. A Q diagramot a gerendára egy ferde egyenes korlátozza, mivel q = const. Meghatározzuk a keresztirányú erők értékeit a gerenda határoló szakaszaiban: A szakasz xK abszcisszáját, ahol Q = 0, abból az egyenletből határozzuk meg, amelyből a gerenda M ábráját négyzetes parabola határolja. A hajlítónyomatékok kifejezéseit szakaszokban, ahol Q = 0, illetve a beágyazásban a következőképpen írjuk fel: A nyomatékegyenlőség feltételéből a kívánt x paraméterre vonatkozó másodfokú egyenletet kapunk: Valós érték. Meghatározzuk a keresztirányú erők és a hajlítónyomatékok számértékeit a gerenda jellemző szakaszaiban. 1.8, c - M diagram. A vizsgált probléma megoldható úgy, hogy a csuklós gerendát az 1. ábrán látható módon felosztjuk alkotóelemeire. 1.8, d. Kezdetben meghatározzuk a VC és VB hordozók reakcióit. A Q és M parcellák az SV függesztőgerenda számára a rá kifejtett terhelés hatására készültek. Ezután az AC főgerenda felé haladnak, és azt további VC erővel terhelik, ami a CB gerenda AC gerendára ható nyomóereje. Ezt követően a Q és M diagramokat építjük fel az AC gerendára. 1.4. Szilárdsági számítások gerendák közvetlen hajlítására Szilárdsági számítás normál és nyírófeszültségekre. A gerenda közvetlen meghajlítása esetén a keresztmetszetein normál és nyírófeszültségek keletkeznek (1.9. ábra). A normál feszültségek a hajlítónyomatékhoz, a nyírófeszültségek a nyíróerőhöz kapcsolódnak. Közvetlen tiszta hajlításnál a nyírófeszültségek nullával egyenlőek. A normál feszültségeket a gerenda keresztmetszetének tetszőleges pontjában az (1.4) képlet határozza meg, ahol M a hajlítónyomaték az adott szakaszon; Iz a szakasz tehetetlenségi nyomatéka a z semleges tengelyhez képest; y a távolság a normálfeszültség meghatározásának pontjától a semleges z tengelyig. A normál feszültségek a szelvény magassága mentén lineárisan változnak, és a legnagyobb értéket a semleges tengelytől legtávolabbi pontokban érik el Ha a metszet a semleges tengelyre szimmetrikus (1.11. ábra), akkor 1.11 a legnagyobb húzó- és nyomófeszültségek megegyeznek, és a képlet határozza meg - tengelymetszet modulus hajlításban. B szélességű és h magasságú téglalap alakú metszetnél: (1.7) d átmérőjű körszelvénynél: (1.8) gyűrű alakú szakasznál (1.9), ahol d0 és d a gyűrű belső és külső átmérője. A műanyagból készült gerendáknál a legracionálisabbak a szimmetrikus 20 szelvényes formák (I-gerenda, doboz alakú, gyűrűs). A rideg anyagokból készült gerendáknál, amelyek nem egyformán ellenállnak a feszültségnek és a nyomásnak, a z semleges tengelyre aszimmetrikus szakaszok (ta-br., U alakú, aszimmetrikus I-gerenda) racionálisak. Szimmetrikus keresztmetszetű műanyagból készült állandó keresztmetszetű gerendákra a szilárdsági feltételt a következőképpen írjuk fel: (1.10) ahol Mmax a legnagyobb modulo hajlítónyomaték; - az anyag megengedett feszültsége. Az aszimmetrikus keresztmetszetű, képlékeny anyagból készült, állandó keresztmetszetű gerendáknál a szilárdsági feltételt a következőképpen írjuk fel: yP,max, yC,max a semleges tengely és a feszített és összenyomott zónák legtávolabbi pontjai közötti távolság. a veszélyes szakaszt, ill. - megengedett feszültségek húzásban és nyomóerőben. 1.12. ábra. 21 Ha a hajlítónyomaték-diagram különböző előjelű metszeteket tartalmaz (1.13. ábra), akkor az 1-1 szakasz ellenőrzése mellett, ahol Mmax hat, ki kell számítani a 2-2 szakasz maximális húzófeszültségeit (a az ellenkező előjel legnagyobb mozzanata). Rizs. 1.13 A normál feszültségekre vonatkozó alapszámítás mellett bizonyos esetekben szükség van a gerenda szilárdságának ellenőrzésére a nyírófeszültségekre. A nyírófeszültségeket a gerendákban D. I. Zhuravsky (1.13) képletével számítjuk ki, ahol Q a keresztirányú erő a gerenda figyelembe vett keresztmetszetében; Szots a z tengellyel párhuzamos, az adott ponton áthúzott egyenes egyik oldalán elhelyezkedő szakaszrész területének a semleges tengely körüli statikus nyomaték; b a szakasz szélessége a vizsgált pont szintjén; Iz a teljes szakasz tehetetlenségi nyomatéka a z semleges tengely körül. A maximális nyírófeszültségek sok esetben a gerenda semleges rétegének (téglalap, I-gerenda, kör) szintjén jelentkeznek. Ilyen esetekben a nyírófeszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételt a következőképpen írjuk fel: (1.14), ahol Qmax a legnagyobb modulusú keresztirányú erő; - az anyag megengedett nyírófeszültsége. Téglalap alakú gerendaszakasz esetén a szilárdsági állapot 22 (1,15) A alakú - a gerenda keresztmetszete. Körkörös metszet esetén a szilárdsági feltételt a következőképpen ábrázoljuk: (1.16) I-szelvény esetén a szilárdsági feltételt a következőképpen írjuk fel: (1.17) d az I-gerenda falvastagsága. Általában a gerenda keresztmetszetének méreteit a normál feszültségekre vonatkozó szilárdsági feltétel alapján határozzák meg. A gerendák szilárdságának ellenőrzése nyírófeszültségekre kötelező rövid és tetszőleges hosszúságú gerendák esetén, ha a támasztékok közelében nagy erők koncentrálódnak, valamint fa, szegecselt és hegesztett gerendáknál. 1.6. Példa Ellenőrizze egy dobozszelvényű gerenda szilárdságát (1.14. ábra) normál és nyírófeszültségekre, ha 0 MPa. Építsen diagramokat a gerenda veszélyes szakaszán. Rizs. 1.14 23. döntés 1. Ábrázoljon Q és M diagramokat a jellemző metszetekből. A gerenda bal oldalát figyelembe véve azt kapjuk.. A keresztirányú erők diagramja a 2. ábrán látható. 1,14, c. . A hajlítási nyomatékok diagramja a 2. ábrán látható. 5.14, g 2. A keresztmetszet geometriai jellemzői 3. A legnagyobb normálfeszültségek a C szakaszban, ahol Mmax hat (modulo): A gerendában a maximális normálfeszültségek közel megegyeznek a megengedettekkel. 4. A legnagyobb nyírófeszültségek a C (vagy A) szakaszban, ahol hat - a félmetszet területének statikus nyomatéka a semleges tengelyhez képest; b2 cm a szakasz szélessége a semleges tengely szintjén. 5. Tangenciális feszültségek egy pontban (a falban) a C szakaszban: Itt a K1 ponton átmenő egyenes feletti szakasz területének statikus nyomatéka; b2 cm a falvastagság a K1 pont szintjén. ábrán láthatók a gerenda C szakaszának diagramjai. 1.15. 1.7. példa Az ábrán látható gerendához. 1.16, a, szükséges: 1. Készítsen keresztirányú erők és hajlítónyomatékok diagramjait jellemző metszetek (pontok) mentén! 2. Határozza meg a keresztmetszet méreteit kör, téglalap és I-gerenda alakban a normál feszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételből, hasonlítsa össze a keresztmetszeti területeket! 3. Ellenőrizze a gerenda szakaszok kiválasztott méreteit nyírófeszültségek szempontjából. Megoldás: 1. Határozza meg a gerendatartók reakcióit, ahonnan Ellenőrizzük: 2. Ábrázoljuk a Q és M diagramokat! Ezért ezeken a szakaszokon a Q diagram a tengelyhez képest ferde egyenesekre korlátozódik. A DB szakaszban az elosztott terhelés intenzitása q \u003d 0, ezért ebben a szakaszban a Q diagram egy, az x tengellyel párhuzamos egyenesre korlátozódik. ábrán látható a gerenda Q diagramja. 1.16b. Hajlítónyomatékok értékei a gerenda jellemző szakaszaiban: A második szakaszban meghatározzuk a szelvény x2 abszcisszáját, amelyben Q = 0: A második szakaszban a maximális nyomaték a gerenda M diagramja a 1. ábrán látható. . 1,16, c. 2. Állítsa össze a normál feszültségekre a szilárdsági feltételt, amelyből meghatározzuk a szükséges tengelymetszeti modulust a meghatározott kifejezésből egy körmetszetű gerenda szükséges d átmérője Körmetszet területe Téglalap alakú gerendához Szükséges szelvény magasság Négyszög keresztmetszet terület A GOST 8239-89 táblázatai szerint megtaláljuk az axiális ellenállási nyomaték legközelebbi nagyobb értékét, amely megfelel egy 33-as I-gerenda a következő jellemzőkkel: Tűrésellenőrzés: (alulterhelés a megengedett 5 1%-ával %) a legközelebbi 30-as I-gerenda (Sz  472 cm3) jelentős túlterheléshez (több mint 5%) vezet. Végül elfogadjuk a 33. számú I-gerenda. A kör- és téglalap alakú szakaszok területét összehasonlítjuk az I-gerenda legkisebb A területével: A három figyelembe vett szakasz közül az I-szelvény a leggazdaságosabb. 3. Kiszámítjuk a legnagyobb normálfeszültségeket az I-gerenda 27. veszélyes szakaszában (1.17. ábra, a): Normál feszültségek a falban az I-gerenda szakasz karimája közelében. 1.17b. 5. Meghatározzuk a legnagyobb nyírófeszültségeket a gerenda kiválasztott szakaszaira. a) a gerenda téglalap alakú metszete: b) a gerenda körmetszete: c) a gerenda I-szelvénye: Nyírófeszültségek a falban az I-gerenda karimája közelében az A veszélyes szakaszban (jobb oldalon) (at 2. pont): Az I-gerenda veszélyes szakaszaiban jelentkező nyírófeszültségek diagramja a 2. ábrán látható. 1,17, in. A gerendában a maximális nyírófeszültségek nem haladják meg a megengedett feszültségeket. 1.8. példa Határozza meg a gerenda megengedett terhelését (1.18. ábra, a), ha a keresztmetszeti méretek adottak (1.19. ábra, a). Készítsen diagramot a normál feszültségekről a gerenda veszélyes szakaszában a megengedett terhelés mellett! 1.18. ábra 1. A gerendatartók reakcióinak meghatározása. A rendszer szimmetriája miatt VVB A8qa . 29 2. Q és M diagramok felépítése jellemző metszetekre. Nyíróerők a gerenda jellemző szakaszaiban: A gerenda Q diagramja az 1. ábrán látható. 5.18b. Hajlítónyomatékok a gerenda jellemző szakaszaiban A gerenda második felében az M ordináták a szimmetriatengelyek mentén vannak. ábrán látható a gerenda M diagramja. 1.18b. 3. A szelvény geometriai jellemzői (1.19. ábra). Az ábrát két egyszerű elemre osztjuk: egy I-gerenda - 1 és egy téglalap - 2. ábra. 1.19 A 20-as számú I-gerenda választékának megfelelően egy téglalaphoz: A metszetterület statikus nyomatéka a z1 tengelyhez viszonyítva Távolság a z1 tengelytől a metszet súlypontjáig A metszet relatív tehetetlenségi nyomatéka a teljes szakasz z fő központi tengelyéhez a párhuzamos tengelyekre való átmenet képletei szerint az I. veszélyes szakaszban (1.18. ábra) veszélyes pont "a" (1.19. ábra): Számadatok behelyettesítése után 5. Megengedett alatt q terhelés a veszélyes szakaszban, a normál feszültségek az "a" és "b" pontokban egyenlőek lesznek: Ábrázolja a normál feszültségeket az 1-1 veszélyes szakaszra. 1.19b. 1.9. példa Határozza meg az öntöttvas gerenda szükséges keresztmetszeti méreteit (1.20. ábra), a szelvény racionális elrendezése után. Döntés 1. A gerendatartók reakcióinak meghatározása. 2. A Q és M parcellák építése. A telkeket a 2. ábra mutatja. 1,20, in, g. A legnagyobb (modulo) hajlítónyomaték a "b" szakaszban jelentkezik. Ebben a szakaszban a feszített szálak a tetején helyezkednek el. Az anyag nagy részének a nyújtási zónában kell lennie. Ezért ésszerű a gerendaszakasz elrendezése az ábrán látható módon. 1,20, b. 3. A szelvény súlypontjának helyzetének meghatározása (az előző példával analóg módon): 4. A szelvény tehetetlenségi nyomatékának meghatározása a semleges tengelyhez képest: 5. A gerenda szükséges méreteinek meghatározása szakasz a szilárdsági feltételtől normál feszültségekre. Jelölje y-val a semleges tengely és a legtávolabbi pontok távolságát a feszítési és összenyomódási zónákban (B szakasznál): , akkor a feszített zóna semleges tengelytől legtávolabb eső pontjai veszélyesek. Az m pont szilárdsági feltételét a B szakaszban állítjuk össze: vagy számértékek behelyettesítése után, ebben az esetben a semleges tengelytől legtávolabbi n pontban az összenyomott zónában (B szakaszban) a feszültségek MPa lesznek. Az M telek kétértelmű. A gerenda szilárdságát a C szakaszban kell ellenőrizni. Itt a B pillanat, de az alsó szálak megfeszülnek. Az n pont veszélyes pont lesz: Ebben az esetben az m pontban lévő feszültségeket végül a számításokból veszik A normálfeszültségek diagramja egy veszélyes C szakaszra a 2. ábrán látható. 1.21. Rizs. 1,21 1,5. Fő hajlítófeszültségek. A gerendák szilárdságának teljes ellenőrzése A fentiekben a gerendák normál- és nyírófeszültségek szerinti szilárdsági számításának példáit szemléltetjük. Az esetek túlnyomó többségében ez a számítás elegendő. Az I-gerenda, T-gerenda, csatorna- és dobozszakasz vékonyfalú gerendáiban azonban jelentős nyírófeszültségek lépnek fel a fal és a karima találkozásánál. Ez azokban az esetekben történik, amikor a gerendára jelentős keresztirányú erő hat, és vannak olyan szakaszok, amelyekben M és Q egyszerre nagy. Ezen szakaszok egyike veszélyes lesz, és az egyik szilárdsági elméletet használó főfeszültségek ellenőrzik. A gerendák szilárdságának ellenőrzését normál, tangenciális és főfeszültségekre a gerendák teljes szilárdsági ellenőrzésének nevezzük. Az alábbiakban egy ilyen számítást tárgyalunk. A fő a gerenda számítása a normál feszültségek szerint. Az olyan gerendák szilárdsági feltétele, amelyek anyaga egyformán ellenáll a feszültségnek és a nyomásnak, a forma [ ]─ megengedett normál feszültség az anyagra. A szilárdsági feltételből (1) határozza meg a gerenda keresztmetszetének szükséges méreteit. A gerenda szakasz kiválasztott méreteit nyírófeszültségekre ellenőrzik. A nyírófeszültségekre vonatkozó szilárdsági feltétel a következőképpen alakul (D. I. Zhuravsky képlete): ahol Qmax a Q diagramból vett legnagyobb keresztirányú erő; Szots.─ a keresztmetszet levágott részének statikus nyomatéka (a semleges tengelyhez viszonyítva), amely annak a szintnek az egyik oldalán található, amelyen a nyírófeszültségek meghatározásra kerülnek; I z ─ a teljes keresztmetszet tehetetlenségi nyomatéka a semleges tengelyhez képest; b─ gerenda metszetszélessége azon a szinten, ahol a nyírófeszültségeket meghatározzák; ─ az anyag megengedett nyírófeszültsége hajlítás közben. A normál igénybevételi teszt a semleges tengelytől legtávolabbi pontra vonatkozik azon a szakaszon, ahol az Mmax érvényes. A nyírószilárdsági vizsgálat egy olyan pontra vonatkozik, amely a semleges tengelyen található azon a szakaszon, ahol a Qmax érvényes. A vékonyfalú gerendáknál (I-gerenda stb.) a falban azon a szakaszon található pont, ahol M és Q egyaránt nagy, veszélyes lehet. Ebben az esetben a szilárdsági vizsgálatot a fő igénybevételek szerint kell elvégezni. A fő és szélső nyírófeszültségeket a testek síkfeszültségi állapotának elméletéből nyert analitikai függőségek határozzák meg: Például a legnagyobb nyírófeszültségek harmadik elmélete szerint a fő feszültségek értékeinek behelyettesítése után végül megkapjuk (1.23) A negyedik szilárdsági energiaelmélet szerint a szilárdsági feltétel alakja (1.24) ) Az (1.6) és (1.7) képletekből látható, hogy az Eqv tervezési feszültség attól függ. Ezért a gerenda anyagának egy elemét ellenőrizni kell, amelyhez egyidejűleg nagyok lesznek. Ez az alábbi esetekben történik: 1) a hajlítónyomaték és a keresztirányú erő ugyanabban a szakaszban éri el maximális értékét; 2) a gerenda szélessége drámaian megváltozik a szakasz szélei közelében (I-gerenda stb.). Ha ezek a feltételek nem teljesülnek, akkor több olyan keresztmetszetet kell figyelembe venni, amelyekben a legmagasabb ekv. 1.10. példa Egy l = 5 m fesztávú I-gerenda keresztmetszetű hegesztett gerendát, amely a végein szabadon van megtámasztva, egyenletesen eloszló q intenzitású terheléssel és P 5qa koncentrált erővel van megterhelve a = távolságból. 1 m-re a jobb oldali támasztól (ábra). 1.22). Határozza meg a gerenda megengedett terhelését a szilárdsági feltételből normál feszültségekre, és ellenőrizze a tangenciális és főfeszültségeket a 4. (energia) szilárdságelmélet 36. pontja szerint. Készítsen diagramokat egy veszélyes szakaszon a főfeszültségek szerint, és vizsgálja meg a falban kiválasztott elem feszültségi állapotát a karima közelében a megadott szakaszon. Megengedett húzó- és nyomófeszültség: hajlításnál 160 MPa; és 100 MPa váltáshoz. Rizs. 1.22 Megoldás 1. Gerendatartók reakcióinak meghatározása: 2. M és Q diagramok felépítése jellemző metszetekre (pontokra): 3. A gerenda szakasz geometriai jellemzőinek számítása. a) A szelvény tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka a semleges tengelyhez képest z: 37 b) A tengelyirányú ellenállási nyomaték a semleges tengelyhez képest z: 4. A gerenda megengedett terhelésének meghatározása a szilárdsági feltételből normál feszültségeknél: Megengedett terhelés a gerendán 5. A gerenda szilárdságának ellenőrzése nyírófeszültségekre a képlet szerint D.I.Zhuravsky Egy I-gerenda statikus félmetszet-nyomatéka a semleges tengelyhez képest z: Metszetszélesség a 3. pontszinten: Maximális keresztirányú erő Maximális nyírófeszültségek a gerendában 6. A gerenda szilárdságának ellenőrzése a főfeszültségek szerint. A főfeszültségek szempontjából veszélyes a D szakasz, amelyben M és Q egyaránt nagy, ezen a szakaszon pedig a veszélyes pontok a 2. és 4. pont, ahol  és  egyaránt nagy (1.23. ábra). A 2. és 4. pontban a 4. szilárdságelmélet segítségével ellenőrizzük a fő feszültségekre vonatkozó szilárdságot, ahol  (2) és (2) a normál, a nyírófeszültségek pedig a 2 (4) pontban (1.2. ábra). Rizs. 1.23 távolság a semleges tengelytől a 2. pontig ahol Sz po (lk ─) a polc statikus nyomatéka a z semleges tengelyhez képest. cm ─ szelvényszélesség a 3. ponton átmenő egyenes mentén. Ekvivalens feszültségek a 4. szilárdságelmélet szerint a D szakasz 2. pontjában: A 4. szilárdságelmélet szerinti szilárdsági feltétel teljesül. 7. Normál, érintő, fő és extrém nyírófeszültségek diagramjainak készítése a veszélyes D szakaszban (főfeszültségek alapján). a) kiszámítjuk a D szakasz (1-5) pontjaiban a feszültségeket a megfelelő képletek alapján. 2. pont (falban) Korábban a normál és a nyírófeszültségek értékeit a 2. pontban számoltuk. A fő és szélső nyírófeszültségeket ugyanabban a 2. pontban találjuk: 3. pont Normál és nyírófeszültségek a 3. pontban: A fő és szélső nyírófeszültségek a 3. pontban: Hasonlóan a feszültségek a 4. és 5. pontban találhatók. A kapott adatok alapján diagramokat készítünk, max. 8. A D szelvény 2. pontja közelében kiválasztott elem feszültségi állapotát a ábra mutatja. 1.24, a fő peronok dőlésszöge 1.6. A hajlítási középpont fogalma Mint fentebb említettük, a vékonyfalú rudak keresztmetszetein a hajlítás során fellépő nyírófeszültségeket (például I-gerenda vagy csatorna) az alábbi képlet határozza meg. A 194. ábra nyírófeszültségek diagramjait mutatja egy I-metszetben. A 63. bekezdésben leírt technikával a 41-et is ábrázolhatja a csatornára. Tekintsük azt az esetet, amikor a csatorna a falba van ágyazva, és a másik végén a szelvény súlypontjában kifejtett P erővel terheljük. Rizs. 1.25 A τ diagram általános nézete bármely szakaszban az ábrán látható. 1,25 a. A τу nyírófeszültségek a függőleges falban jelennek meg. A τу feszültségek hatására teljes T2 nyíróerő keletkezik (1.25. ábra, b). Ha figyelmen kívül hagyjuk a τу tangenciális feszültségeket a polcokban, akkor közelítő egyenlőséget írhatunk fel A vízszintes polcokon τx nyírófeszültségek keletkeznek, amelyek vízszintesen irányulnak. A legnagyobb nyírófeszültség a karimában τx max itt: S1OTS a karima területének statikus nyomatéka az Ox tengelyhez képest: Ezért a karimában a teljes nyíróerőt úgy határozzuk meg, mint a nyírófeszültség diagram területét megszorozzuk Az alsó karimára pontosan ugyanolyan nyíróerő hat, mint a tetejére, de az ellenkező irányba. Két T1 erő egy párt alkot az (1.25) nyomatékkal. Így a τу és τх nyírófeszültségek hatására három belső nyíróerő jelenik meg, amelyeket a 2. ábra mutat be. 1,25 b. Ezen az ábrán látható, hogy a T1 és T2 erők a csatornaszakaszt a súlyponthoz képest ugyanabba az irányba forgatják. Rizs. 1.25 Következésképpen a csatorna szakaszán belső nyomaték van, amely az óramutató járásával megegyező irányban van irányítva. Tehát amikor egy csatorna gerendát a szakasz súlypontjában kifejtett erő meghajlít, a gerenda egyidejűleg el is csavarodik. A három érintőleges erő a fővektorra és a főnyomatékra redukálható. A főnyomaték nagysága annak a pontnak a helyzetétől függ, amelybe az erők érkeznek. Kiderül, hogy választhatunk egy A pontot, amelyre nézve a főmomentum egyenlő nullával. Ezt a pontot a kanyar középpontjának nevezzük. A tangenciális erők nyomatékát nullával egyenlővé téve: megkapjuk Az (1.25) kifejezést figyelembe véve végül megtaláljuk a függőleges fal tengelye és a hajlítás középpontja közötti távolságot: Ha külső erőt nem a súlypontban fejtünk ki. szakaszon, de a kanyar közepén, akkor a súlyponthoz képest ugyanazt a nyomatékot hozza létre, mint a belső érintőerőket, de csak ellenkező előjelű. Ilyen terhelésnél (1.25. ábra, c) a csatorna nem csavarodik, hanem csak elhajlik. Ezért nevezzük az A pontot a kanyar középpontjának. A vékonyfalú rudak számításának részletes bemutatása a Ch. XIII. 1.7. A gerendák elmozdulásának meghatározása hajlítás közben. A gerendák alakváltozásának fogalmai és merevségük feltételei Külső terhelés hatására a gerenda deformálódik, tengelye elhajlik. Azt a görbét, amelybe a terhelés alkalmazása után a gerenda tengelye befordul, rugalmas vonalnak nevezzük, feltéve, hogy a gerenda feszültségei nem lépik túl az arányossági határt. A terhelés irányától, a diagramok elhelyezkedésétől függően a rugalmas vonal felfelé (1.26. ábra, a), lefelé (1.26. ábra, b) vagy aggregátummal (1.26. ábra, c) kidudorodhat. Ebben az esetben a keresztmetszetek súlypontjai vagy felfelé vagy lefelé mozognak, és maguk a szakaszok a semleges tengelyhez képest forognak, merőlegesek maradva a gerenda ívelt tengelyére (1.26. ábra, a). Szigorúan véve a keresztmetszetek súlypontjai is a gerenda hossztengelye irányába mozognak. Tekintettel azonban ezeknek a gerendáknak az elmozdulásainak kicsinyére, figyelmen kívül hagyják őket, azaz úgy ítélik meg, hogy a szakasz súlypontja merőlegesen mozog a gerenda tengelyére. Jelöljük ezt az elmozdulást y-n keresztül, és a jövőben a gerenda elhajlásaként fogjuk érteni (lásd 1.26. ábra). A gerenda elhajlása egy adott szakaszon a szelvény súlypontjának a gerenda tengelyére merőleges irányú elmozdulása. Rizs. 1.26 A különböző gerendaszakaszokban az elhajlás a szakaszok helyzetétől függ, és változó érték. Tehát egy gerenda esetében (1.26. ábra, a) a B pontban az elhajlás maximális értéke lesz, a D pontban pedig nulla. Mint már említettük, a szakasz súlypontjának elmozdulásával együtt a szakaszok a szakasz semleges tengelyéhez képest forognak. Azt a szöget, amellyel a szakasz az eredeti helyzetéhez képest el van forgatva, a metszet elfordulási szögének nevezzük. Jelöljük az elforgatás szögét (1.26. ábra, a). Mivel a gerenda hajlítása során a keresztmetszete mindig merőleges a hajlított tengelyére, a forgásszöget a hajlított tengely egy adott pontban lévő érintője és a gerenda eredeti tengelye közötti szögként is ábrázolhatjuk. 1.26, a) vagy merőleges a gerenda eredeti és hajlított tengelyére a kérdéses pontban. A gerendák metszetének elfordulási szöge is változó. Például egy gerendánál (1.26. ábra, b) maximális értéke csuklós támasztékban van, minimális értéke 0 olyan szakasznál, amelyben az elhajlásnak van maximális értéke. Egy konzolos gerendánál (1.26. ábra, a) a legnagyobb elfordulási szög a szabad végén, azaz a B pontban lesz. A gerendák normál működésének biztosításához nem elég, ha megfelelnek a szilárdsági feltételnek. Az is szükséges, hogy a gerendák kellő merevséggel rendelkezzenek, vagyis a maximális elhajlás és elfordulási szög ne haladja meg a gerendák működési feltételei által meghatározott megengedett értékeket. Ezt a helyzetet a gerendák hajlítási merevségének feltételének nevezzük. Röviden matematikai formában a merevségi feltételeknek a következő alakja van: ahol [y] és ennek megfelelően a megengedett elhajlás és elfordulási szög. 45 A megengedett elhajlást általában a gerenda támaszai közötti távolság részeként adják meg (l fesztávolság), azaz ahol m egy olyan együttható, amely annak a rendszernek az értékétől és működési feltételeitől függ, amelyben ezt a gerendát használják. A gépészet minden ágában ezt az értéket a tervezési szabványok határozzák meg, és széles tartományban változik. Az alábbiak szerint: - daru gerendáknál m = 400 - 700; - vasúti hidaknál m = 1000; - esztergaorsóknál m= 1000-2000. A gerendák megengedett elfordulási szögei általában nem haladják meg a 0,001 rad-t. Az (1.26) egyenletek bal oldala tartalmazza az ymax maximális elhajlást és a max elfordulási szöget, amelyeket számítással határoznak meg ismert módszerek alapján: analitikus, grafikus és grafikus, amelyek közül néhányat az alábbiakban tárgyalunk. 1.8. A gerenda hajlított tengelyének differenciálegyenlete Külső erők hatására a gerenda tengelye meghajlik (lásd 1.26. ábra, a). Ekkor a gerenda hajlított tengelyének egyenlete felírható alakba, és a  elfordulási szög bármely szakaszra egyenlő lesz a hajlított tengely érintőjének adott pontban lévő dőlésszögével. Ennek a szögnek az érintője numerikusan egyenlő az x áramszakasz abszcisszája menti elhajlás deriváltjával, azaz mivel a nyaláb elhajlásai kicsik az l hosszához képest (lásd fent), ezért feltételezhető, hogy a nyaláb szöge forgás (1.27) A hajlítási normálfeszültségek képletének levezetése során azt találtuk, hogy a semleges réteg görbülete és a hajlítónyomaték között a következő összefüggés áll fenn: Ez a képlet azt mutatja, hogy a görbület a gerenda hossza mentén változik ugyanaz a törvény, amely megváltoztatja az Mz értékét. Ha egy állandó keresztmetszetű gerenda tiszta hajlítást tapasztal (5.27. ábra), amelynél a hossz mentén a nyomaték nem változik, a görbülete: Ezért egy ilyen gerendánál a görbületi sugár is állandó érték és a gerenda ebben tok egy körív mentén elhajlik. Általános esetben azonban nem lehetséges közvetlenül alkalmazni a görbület változásának törvényét az elhajlások meghatározására. A feladat analitikus megoldására a matematikából ismert görbületi kifejezést használjuk. (1.29) Az (1.28)-at (1.29) behelyettesítve megkapjuk a gerenda hajlított tengelyének pontos differenciálegyenletét: . (1.30) Az (1.30) egyenlet nemlineáris, integrálása nagy nehézségekkel jár. Tekintettel arra, hogy a gépészeti, építőipari stb. használt valódi gerendák elhajlásait és elfordulási szögeit. kicsi, az érték elhanyagolható. Ezt szem előtt tartva, valamint azt, hogy a jobb koordinátarendszernél a hajlítási nyomaték és a görbület azonos előjelű (1.26. ábra), akkor a jobb oldali koordinátarendszernél az (1.26) egyenletben a mínusz előjel elhagyható. . Ekkor a közelítő differenciálegyenlet alakja 1.9. Közvetlen integrációs módszer Ez a módszer az (1.31) egyenlet integrálásán alapul, és lehetővé teszi, hogy megkapjuk a nyaláb rugalmas tengelyének egyenletét y f (x) elhajlások és az elforgatási szögek egyenletének formájában. Az (1.31) egyenlet integrálásával először megkapjuk a forgási szögek (1.32) egyenletét, ahol C az integrációs állandó . Másodszor integrálva megkapjuk az elhajlási egyenletet, ahol D a második integrációs állandó. A C és D állandókat a gerenda támasztékának peremfeltételeiből és szakaszainak peremfeltételeiből határozzuk meg. Tehát egy gerendánál (1.26. ábra, a) a beágyazás helyén (x l) a szelvény kihajlása és elfordulási szöge nulla, a gerendánál pedig (lásd 1.26. ábra, b) az y ill. yD 0 elhajlás, konzolos támaszték x .l-nél (1.28. ábra), amikor a koordináták origója a bal oldali támasz végéhez igazodik és a jobb oldali koordinátarendszert választjuk, a peremfeltételek a következőt öltik: figyelembe véve a peremfeltételeket, meghatározzák az integráció állandóit. Az integrálási állandók behelyettesítése után az elfordulási szögek (1,32) és az elhajlások (1,33) egyenleteibe, kiszámítjuk egy adott szakasz elfordulási szögeit és elhajlásait. 1.10. Példák a gerendák elmozdulásának meghatározására közvetlen integrációval 1.11. példa Határozza meg a konzolos gerenda maximális elhajlását és elfordulási szögét (1.26. ábra, a). Megoldás A koordináták origója a gerenda bal végéhez igazodik. A hajlítási nyomatékot a gerenda bal végétől x távolságra lévő tetszőleges szakaszban a következő képlettel számítjuk ki. A nyomatékot figyelembe véve a közelítő differenciálegyenlet először Integrálás alakot ölt, van (1.34) Integrálva a Másodszor a C és D integráció talált állandóival a forgási szögek és az elhajlások egyenlete így fog kinézni: Amikor (lásd 1.26. ábra, a) az elfordulás és az elhajlás szögének maximális értéke van: óramutató. A negatív y érték azt jelenti, hogy a szakasz súlypontja lefelé mozog. 1.11. Az integrációs állandók fizikai jelentése Ha rátérünk a fenti példák (1.32), (1.33) és (1.34), (1.35) egyenleteire, könnyen belátható, hogy x 0 esetén ezek következnek. Így arra a következtetésre juthatunk, hogy a C és D integrációs állandók a gerenda merevségének szorzata a 0 elfordulási szöggel és az origóban lévő y0 elhajlással. Az (1,36) és (1,37) függőségek mindig egy terhelő szakaszú gerendákra érvényesek, ha a szelvény és az origó között fellépő erőkből számítjuk a hajlítónyomatékot. Ugyanez vonatkozik a tetszőleges számú terhelési szakaszú gerendákra is, ha speciális módszereket alkalmazunk a gerenda hajlított tengelyének differenciálegyenletének integrálására, amelyről az alábbiakban lesz szó. 1.12. A kezdeti paraméterek módszere (a gerenda hajlított tengelyének univerzális egyenlete) Az elhajlások és elfordulási szögek közvetlen integrálással történő meghatározásakor két C és D integrációs állandót kell találni olyan esetekben is, amikor a gerendának egy terhelési szakasza van. A gyakorlatban több terhelési szakaszú gerendákat használnak. Ezekben az esetekben a hajlítónyomaték törvénye a terhelés különböző területein eltérő lesz. Ezután össze kell állítani a görbe tengely differenciálegyenletét a gerenda minden szakaszára, és mindegyikhez meg kell találni a C és D integrációs állandókat. Nyilvánvaló, hogy ha a gerendának n terhelési szakasza van, akkor az integrációs állandók száma megegyezik a szakaszok számának kétszeresével. Meghatározásukhoz 2 egyenletet kell megoldani. Ez a feladat munkaigényes. Az egynél több betöltési területtel rendelkező problémák megoldására elterjedt a kezdeti paraméterek módszere, amely a közvetlen integrációs módszer továbbfejlesztése. Kiderült, hogy bizonyos feltételek betartásával, az egyenletek szakaszokon történő összeállításának és integrálásának módszereivel lehetséges az integrációs állandók számát a terhelési szakaszok számától függetlenül kettőre csökkenteni, ami az elhajlást és az elfordulás szögét jelenti eredet. Tekintsük ennek a módszernek a lényegét egy konzolos gerenda példáján (1.28. ábra), amely tetszőleges terheléssel van megterhelve, de pozitív nyomatékot hoz létre a gerenda bármely szakaszán. Legyen adott egy állandó keresztmetszetű gerenda, miközben a metszetnek van egy szimmetriatengelye, amely egybeesik az y tengellyel, és a teljes terhelés egy ezen a tengelyen áthaladó síkban helyezkedik el. Tegyük fel a feladatot olyan függőségek megállapítására, amelyek meghatározzák a nyaláb tetszőleges szakaszának elfordulási és elhajlási szögét. Rizs. 1.29 A feladatok megoldásánál megegyezünk: 1. A koordináták origója a gerenda bal végéhez lesz társítva, és ez minden szakaszra közös. 2. A hajlítónyomaték egy tetszőleges szakaszban mindig a gerenda szakasztól balra, azaz az origó és a szakasz közötti szakaszára lesz számítva. 3. Az íves tengely differenciálegyenletének integrálása az összes szegmensre egyes zárójeleket tartalmazó kifejezések zárójeleinek kinyitása nélkül történik. Így például a P x(b) formájú kifejezés integrálása zárójelek nyitása nélkül történik, mégpedig a következő képlet szerint. tetszőleges állandó. 4. Az M külső koncentrált nyomaték által okozott tetszőleges szakaszon a hajlítónyomaték kifejezésének összeállításakor az (x)a0 1 tényezőt adjuk hozzá. Ezeket a szabályokat betartva hozzávetőleges differenciálegyenletet állítunk össze és integrálunk az 1. ábrán látható gerenda mind az öt szakaszára. 1,28 római számokkal. A közelítő differenciálegyenlet ezekre a szakaszokra ugyanaz: (1.38), de minden szakaszra a hajlítónyomatéknak megvan a saját változási törvénye. A szakaszokra vonatkozó hajlítónyomatékok alakja: Ha a hajlítónyomaték kifejezéseit behelyettesítjük az (1.38) egyenletbe, az integráció után minden szakaszra két egyenletet kapunk: a forgásszögek egyenletét és az elhajlási egyenletet, amely magában foglalja két integrációs állandójuk Ci és Di . Tekintettel arra, hogy a gerenda öt szakaszból áll, tíz ilyen integrációs állandó lesz. Figyelembe véve azonban, hogy a gerenda hajlított tengelye folytonos és rugalmas vonal, akkor a szomszédos szakaszok határain az elhajlás és az elfordulás szöge azonos értékű, azaz at stb. Emiatt a a szomszédos szakaszok elfordulási szögeinek és lehajlásainak egyenleteit összehasonlítva azt kapjuk, hogy az integrációs állandók Így tíz integrációs állandó helyett a feladat megoldásához csak két C és D integrációs állandót kell meghatározni. Az első szakasz integrálegyenleteinek figyelembevételéből az következik, hogy x 0 esetén: i.e. ugyanazt a függést képviselik (1,36) és (1,37). A kezdeti 0 és y0 о paraméterek a peremfeltételekből kerülnek meghatározásra, amelyekről az előző részben volt szó. Az y elfordulási szögekre és elhajlásokra kapott kifejezéseket elemezve azt látjuk, hogy az egyenletek legáltalánosabb formája az ötödik szakasznak felel meg. Figyelembe véve az integráció állandóit, ezek az egyenletek a következőképpen alakulnak: Az egyenletek közül az első a forgásszögek egyenletét, a második pedig az elhajlásokat jelenti. Mivel egy gerendára egynél több koncentrált erő hathat, egy nyomatéknak vagy egy gerendának több szakasza is lehet elosztott terhelés mellett, ezért általános esetre az (1.38), (1.39) egyenleteket a következő formában írjuk fel: Egyenletek ( Az 1.41), (1.42) univerzális egyenleteket a nyaláb görbe tengelyének nevezzük. Ezen egyenletek közül az első a forgási szög egyenlet, a második pedig az elhajlási egyenlet. Ezen egyenletek segítségével bármely olyan statikailag meghatározott gerendához meg lehet határozni a szakaszok elhajlásait és elfordulási szögeit, amelyeknél a merevség hosszuk mentén állandó EI  konst. Az (1.41), (1.42) egyenletekben: M , P , q , qx ─ külső terhelés a koordináták origója és az elmozdulások meghatározásának szakasza között (elfordulás és elhajlás szöge); a, b, c, d ─ távolságok a koordináták origójától az M nyomaték, a koncentrált P erő, az egyenletesen eloszló terhelés kezdete és az egyenetlenül eloszló terhelés hatópontjaiig. Figyelni kell: 53 1. Az univerzális egyenletek levezetésénél elfogadott külső terhelés ellentétes irányával az egyenletek megfelelő tagja előtti előjel az ellenkezőjére, azaz mínuszra változik. 2. Az (1.41), (1.42) egyenletek utolsó két tagja csak akkor érvényes, ha az elosztott terhelés nem szakad meg azon szakasz előtt, amelyben az elhajlást és a forgásszöget meghatározzuk. Ha a terhelés nem éri el ezt a szakaszt, akkor ezt a szakaszt kell folytatni, és egyidejűleg hozzá kell adni ugyanazt az elosztott terhelést, de ellentétes előjellel a kiterjesztett szakaszhoz, ezt az ötletet magyarázza az ábra. 1.30. A szaggatott vonal a kiterjesztett szakaszon a hozzáadott megosztott terhelést mutatja. Rizs. 1.30 Az  elforgatási szögek és az y elhajlások meghatározásakor a koordináták origóját a gerenda bal végére kell helyezni, az y tengelyt felfelé, az x tengelyt ─ jobbra irányítva. A forgásszögek és az elhajlások egyenletében csak azok az erők szerepelnek, amelyek a szelvénytől balra helyezkednek el, pl. a gerenda azon szakaszán, amely az origó és az a szakasz között van, amelyben az elhajlást és az elfordulási szöget meghatározzák (beleértve az origóval egybeeső szakaszban ható erőket is). 1.13. Példák a gerenda elmozdulásának meghatározására a kezdeti paraméterek módszerével 1.12. példa A bal végével megszorított és koncentrált P erővel terhelt gerendához (1.31. ábra) határozza meg a forgási és elhajlási szöget a az erőt, valamint a szabad végét (D szakasz). A gerenda merevsége Fig. 1.31 A statika egyensúlyi egyenletének megoldása: 1) Figyeljük meg, hogy a reaktív nyomaték az óramutató járásával ellentétes irányban irányul, tehát mínusz előjellel fog belépni a görbe tengely egyenletébe. 2. Összevonjuk a koordináták origóját a B ponttal, és beállítjuk a kezdeti paramétereket. A ()B becsípésnél hiányzik az elhajlás és az elforgatási szög, azaz. 0 0. Felírjuk a második szakasz tetszőleges szakaszára az elfordulási szögek és az elhajlások egyenletét, a koordináták origójától x távolságra helyezkedik el. Figyelembe véve a reaktív erőket, valamint a nulla kezdeti paramétereket, ezek az egyenletek olyan alakúak, mint a fesztáv közepén koncentrált erővel terhelt gerenda jobb oldali támasza ( 1.32. ábra). Megoldás 1. Határozzuk meg a támaszreakciókat A statika egyenleteiből B 2. Helyezzük el az origót a gerenda bal végére (B pont). Rizs. 1.32 3. Állítsa be a kezdeti paramétereket. Kihajlás az origónál 0, mivel a támaszték nem teszi lehetővé a függőleges mozgást. Megjegyzendő, hogy ha a támasz rugós terhelésű lenne, akkor az origónál az elhajlás megegyezik a rugó alakváltozási huzatával. Az origó elforgatási szöge nem egyenlő nullával, azaz 4. Határozzuk meg az origó elfordulási szögét 0 . Ehhez azt a feltételt használjuk, hogy x l-nél az elhajlás egyenlő nullával yD 0: 3 Mivel a gerenda a P terheléshez képest szimmetrikus, a jobb oldali támaszon lévő elfordulási szög megegyezik a tartón lévő elfordulási szöggel. bal oldali támasz. 2 BD 16z Pl EI . A maximális elhajlás a sugár közepén lesz x pontban. Ezért 1.14. példa Határozza meg az elhajlást a fesztáv közepén és a gerenda jobb végén (1.33. ábra), ha a gerenda 10-es számú I-gerenda (tehetetlenségi nyomaték Iz 198 csmm4), terhelt elosztott terhelés mellett q 2, N / m, koncentrált nyomaték M erő. P kkNN Fig. 1.33 1. megoldás. Meghatározzuk a támaszreakciókat Honnan A reakciók meghatározásának helyességének ellenőrzése 2. Összevonjuk a koordináták origóját a B ponttal és beállítjuk a kezdeti paramétereket. ábrából. 1.33-ból következik, hogy a koordináták origójában az y0 0 elhajlás és az elforgatás szöge. 57 3. Határozza meg az y0 és 0 kezdeti paramétereket. Ehhez a peremfeltételeket használjuk, amelyek: A peremfeltételek megvalósításához összeállítjuk egy görbe tengely egyenletét. két szakasznál: BC szelvény 0 mm1: Az egyenlet felírásakor figyelembe vettük, hogy a C pontban megszakadt az elosztott terhelés, ezért a fentiek szerint ezt folytattuk, és bevezettünk egy azonos nagyságú kompenzáló terhelést. a kiterjesztett szakaszon, de az ellenkező irányba. A peremfeltételeket (3. tétel) és a terhelést figyelembe véve az (1.43) és (1.44) egyenlet alakja: Ezen egyenletek együttes megoldásából 4. Meghatározzuk az elhajlást a K és E szakaszokban. A K x 2 mm-es szakaszhoz 1,14-et kapunk. Mozgások meghatározása Mohr-módszerrel A.K. szabály. Vereshchagin Mohr módszere egy általános módszer az elmozdulások meghatározására rudas lineárisan deformálható rendszerekben. Az elmozdulások (lineáris, szögletes) meghatározása a számított szakaszokban a Mohr-formula (integrál) szerint történik, amely a munka kölcsönösségére vonatkozó tétel (Betty-tétel) és a reciprocitási tétel alapján könnyen megszerezhető. elmozdulások (Maxwell-tétel). Adjunk meg például egy sík rugalmas rendszert gerenda formájában (1.34. ábra), lapos kiegyensúlyozott tetszőleges terheléssel terhelve. A rendszer adott állapotát rakományállapotnak nevezzük, és P betűvel jelöljük. Külső terhelés hatására deformáció lép fel, és elmozdulások következnek be a K pontban, különösen a tengelyre merőleges irányban - elhajlás cr. Vezessünk be egy új (segéd)állapotot ugyanennek a rendszernek, de a K pontban a kívánt elmozdulás  (cr) irányában egyetlen dimenzió nélküli erővel terhelve (1.34. ábra). A rendszer ezen állapotát i betűvel jelöljük, és egyetlen állapotnak nevezzük. 59 Fig. 1.34 A Betti-tétel alapján a rakományállapotú pi A és az egyállapotú pi A erők lehetséges munkája egyenlő (1.45) ), (1.47) az (1.45)-ből van (1.48) ahol M p , Qp, Np ─ hajlítónyomaték, keresztirányú és hosszirányú erők, amelyek a rendszerben külső terhelésből erednek; Mi, Qi , Ni a hajlítónyomaték, a keresztirányú és a hosszirányú erők, amelyek a rendszerben a meghatározott elmozdulás irányában alkalmazott egységterhelésből erednek; k ─ együttható, figyelembe véve a nyírófeszültségek egyenetlenségét a szakaszon; I ─ tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték a fő központi tengely körül; A─ a rúd keresztmetszete a szakaszban; 60 E , G ─ az anyag rugalmassági modulusai. A nyírófeszültségek egyenetlen eloszlása a szelvényben a szelvény alakjától függ. Téglalap- és háromszögszelvényeknél k 1.2, körszelvénynél k 1.11, körgyűrűs metszetnél k 2. Az (1.48) képlet lehetővé teszi az elmozdulás meghatározását egy lapos rugalmas rendszer bármely pontján. A (K) szelvényben az elhajlás meghatározásakor egységnyi erőt (dimenzió nélküli) alkalmazunk ezen a ponton. A K pontban lévő szelvény elfordulási szögének meghatározásakor egyetlen méretnélküli nyomatékot kell alkalmazni

A modern épületek és építmények tervezésének folyamatát számos különféle építési szabályzat és előírás szabályozza. A legtöbb esetben a szabványok megkövetelik bizonyos jellemzők teljesítését, például a födémek gerendáinak deformációját vagy elhajlását statikus vagy dinamikus terhelés hatására. Például az SNiP No. 2.09.03-85 meghatározza a gerenda eltérítését az alátámasztások és a felüljárók esetében, legfeljebb a fesztávolság 1/150-ében. A tetőtéri padlók esetében ez az érték már 1/200, a padlóközi gerendák esetében pedig még kevesebb - 1/250. Ezért az egyik kötelező tervezési szakasz a gerenda eltérítésének kiszámítása.

A számítás és az elhajlásvizsgálat végrehajtásának módjai

Az ok, amiért az SNiP-k ilyen drákói korlátozásokat állítanak fel, egyszerű és nyilvánvaló. Minél kisebb az alakváltozás, annál nagyobb a szerkezet biztonsági és rugalmassági határa. 0,5%-nál kisebb elhajlás esetén a csapágyelem, gerenda vagy födém továbbra is megtartja rugalmas tulajdonságait, ami garantálja az erők normál újraelosztását és a teljes szerkezet épségének megőrzését. A lehajlás növekedésével az épület váza meggörbül, ellenáll, de áll, a megengedett érték határának túllépése esetén a kötések megszakadnak, a szerkezet lavinaszerűen veszít merevségéből, teherbíró képességéből.

Használja a szoftveres online számológépet, amelyben a szabványos feltételek „védettek”, és semmi több;
Használjon kész referenciaadatokat a különféle típusú és típusú gerendákhoz, a terhelési diagramok különféle támaszaihoz. Csak helyesen kell azonosítani a gerenda típusát és méretét, és meghatározni a kívánt elhajlást;
A megengedett elhajlást kézzel és fejjel számolja ki, a legtöbb tervező ezt csinálja, míg az építészeti és építési ellenőrzések ellenőrzői a második számítási módot részesítik előnyben.

Jegyzet! Ahhoz, hogy valóban megértsük, miért olyan fontos tudni az eredeti helyzettől való eltérés mértékét, érdemes megérteni, hogy az elhajlás mértékének mérése az egyetlen elérhető és megbízható módszer a nyaláb állapotának meghatározására a gyakorlatban.

Megmérve, hogy a mennyezeti gerenda mennyit süllyedt, 99%-os biztonsággal megállapítható, hogy a szerkezet leromlott-e vagy sem.

Elhajlás számítási módszer

A számítás megkezdése előtt fel kell idézni néhány függőséget az anyagok szilárdságának elméletéből, és számítási sémát kell készíteni. Attól függően, hogy a sémát milyen helyesen hajtják végre, és figyelembe veszik a terhelési feltételeket, a számítás pontossága és helyessége függ.

A diagramon látható terhelt gerenda legegyszerűbb modelljét használjuk. A gerenda legegyszerűbb analógiája lehet egy fából készült vonalzó, fotó.

Esetünkben a gerenda:

Négyszögletes metszete van S=b*h, a nyugalmi rész hossza L;
A vonalzót a hajlítási sík súlypontján áthaladó Q erő terheli, aminek következtében a végei kis θ szögben elfordulnak, a kezdeti vízszintes helyzethez képest elhajlással. , egyenlő f-vel;
A gerenda végei szabadon és csuklósan támaszkodnak rögzített támasztékokra, a reakciónak nincs vízszintes összetevője, és a vonalzó végei tetszőleges irányban mozoghatnak.

A test terhelés alatti alakváltozásának meghatározásához a rugalmassági modulus képletét használjuk, amelyet az E \u003d R / Δ arány határoz meg, ahol E egy referenciaérték, R az erő, Δ az a test deformációja.

Kiszámoljuk a tehetetlenségi nyomatékokat és az erőket

A mi esetünkben a függőség így fog kinézni: Δ \u003d Q / (S E) . A gerenda mentén elosztott q terhelés esetén a képlet így fog kinézni: Δ \u003d q h / (S E) .

A legfontosabb pont következik. Young fenti diagramja a gerenda elhajlását vagy a vonalzó deformációját mutatja, mintha egy erős prés alatt összetörték volna. Esetünkben a gerenda hajlított, ami azt jelenti, hogy a vonalzó végein a súlyponthoz képest két különböző előjelű hajlítónyomatékot alkalmazunk. Az alábbiakban egy ilyen gerenda terhelési diagramja látható.

Ahhoz, hogy Young-függést átszámítsuk a hajlítónyomatékra, az egyenlet mindkét oldalát meg kell szorozni az L karral. Δ*L = Q·L/(b·h·E) .

Ha elképzeljük, hogy az egyik támasz mereven van rögzítve, és a második M max \u003d q * L * 2/8 egyenértékű kiegyenlítő erőnyomatékot alkalmazunk, akkor a gerenda deformációjának nagyságát a következőképpen fejezzük ki: a függőség Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E). A b·h 2 /6 értéket tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük, és W-vel jelöljük. Ennek eredményeként Δx = M x / (W E) kapjuk, amely az alapvető képlet a gerenda kiszámításához a W = M / E hajlításhoz a tehetetlenségi nyomatékon és a hajlítónyomaton keresztül.

Az elhajlás pontos kiszámításához ismernie kell a hajlítási nyomatékot és a tehetetlenségi nyomatékot. Az előbbi értéke kiszámítható, de a gerenda elhajlásának kiszámításának konkrét képlete függ a tartókkal való érintkezés körülményeitől, amelyeken a gerenda található, és a terhelés módjától megosztott vagy koncentrált terhelés esetén. . Az elosztott terhelésből származó hajlítási nyomatékot az Mmax \u003d q * L 2 / 8 képlettel számítjuk ki. A fenti képletek csak elosztott terhelésre érvényesek. Abban az esetben, ha a gerendára ható nyomás egy bizonyos ponton koncentrálódik, és gyakran nem esik egybe a szimmetriatengellyel, az elhajlás kiszámításának képletét integrálszámítással kell levezetni.

A tehetetlenségi nyomaték a gerenda hajlítóterheléssel szembeni ellenállásának megfelelőnek tekinthető. Egy egyszerű téglalap alakú gerenda tehetetlenségi nyomatéka a W=b*h 3 /12 egyszerű képlettel számítható, ahol b és h a gerenda szakasz méretei.

A képletből látható, hogy ugyanannak a téglalap keresztmetszetű vonalzónak vagy táblának teljesen eltérő tehetetlenségi nyomatéka és kihajlása lehet, ha hagyományos módon támasztékokra helyezzük, vagy élre rakjuk. Nem ok nélkül a tetőrácsrendszer szinte minden eleme nem 100x150-es, hanem 50x150-es deszkából készül.

Az épületszerkezetek valódi részei sokféle profillal rendelkezhetnek, a négyzettől, a körtől az összetett I-gerenda vagy csatorna alakúig. Ugyanakkor a tehetetlenségi nyomaték és az elhajlás mértékének manuális, „egy papírra” történő meghatározása ilyen esetekre nem triviális feladattá válik egy nem profi építő számára.

Képletek gyakorlati használatra

A gyakorlatban leggyakrabban fordított probléma merül fel - a padló vagy a falak biztonsági határának meghatározása egy adott esetben ismert elhajlási érték alapján. Az építőiparban nagyon nehéz a biztonsági határt más, roncsolásmentes módszerekkel felmérni. Gyakran az elhajlás nagyságától függően számítást kell végezni, értékelni az épület biztonsági határát és a tartószerkezetek általános állapotát. Sőt, az elvégzett mérések alapján megállapítható, hogy a számítás szerint megengedett-e az alakváltozás, vagy az épület vészhelyzetben van.

Tanács! A sugár határállapotának az elhajlás nagyságával történő kiszámításában az SNiP követelményei felbecsülhetetlen értékű szolgáltatást nyújtanak. A lehajlási határérték relatív értékben, például 1/250-ben történő beállításával az építési előírások sokkal könnyebbé teszik a gerenda vagy födém vészhelyzetének meghatározását.

Például, ha olyan kész épületet kíván vásárolni, amely sokáig állt problémás talajon, akkor célszerű ellenőrizni a padló állapotát a meglévő lehajlásnak megfelelően. A megengedett legnagyobb elhajlási sebesség és a gerenda hosszának ismeretében számítás nélkül is felmérhető, hogy mennyire kritikus a szerkezet állapota.

Az építési vizsgálat az elhajlás és a padló teherbíró képességének felmérése során bonyolultabb módon történik:

Kezdetben megmérik a födém vagy gerenda geometriáját, rögzítik az elhajlás mértékét;
A mért paraméterek szerint meghatározzuk a gerenda választékot, majd a referenciakönyvből kiválasztjuk a tehetetlenségi nyomaték képletét;
Az elhajlásból és a tehetetlenségi nyomatékból határozzuk meg az erőnyomatékot, amely után az anyag ismeretében ki lehet számítani a valós feszültségeket fém-, beton- vagy fagerendában.

A kérdés az, hogy miért olyan nehéz, ha az elhajlást az egyszerű gerenda képletével kaphatjuk meg csuklós támaszokon f = 5/24 * R * L 2 / (E * h) elosztott erő hatására. Egy adott padlóanyaghoz elegendő ismerni az L fesztávot, a profilmagasságot, az R tervezési ellenállást és az E rugalmassági modulust.

Tanács! Használja számításaiban a különböző tervező szervezetek meglévő osztálygyűjteményeit, amelyekben a végső terhelési állapot meghatározásához és kiszámításához szükséges összes képlet tömörített formában össze van foglalva.

Következtetés

A legtöbb komoly épület fejlesztője és tervezője ugyanezt teszi. A program jó, segít nagyon gyorsan kiszámítani a födém lehajlását és a fő terhelési paramétereket, de fontos, hogy a kapott eredményeket dokumentáltan igazolja a megrendelő papíron meghatározott szekvenciális számítások formájában.

számol gerenda hajlításhoz több lehetőség is van:
1. Az elviselhető maximális terhelés kiszámítása
2. A gerenda szakaszának kiválasztása
3. A legnagyobb megengedett feszültségek kiszámítása (ellenőrzés céljából)
fontoljuk meg a gerenda szakasz kiválasztásának általános elve két egyenletesen elosztott teherrel vagy koncentrált erővel terhelt támasztékon.
Először is meg kell találnia egy pontot (szakaszt), amelynél a maximális pillanat lesz. Ez függ a gerenda tartásától vagy annak lezárásától. Az alábbiakban a legelterjedtebb sémák hajlítási nyomatékainak diagramja látható.

A hajlítónyomaték megállapítása után meg kell találnunk ennek a szakasznak a Wx modulusát a táblázatban megadott képlet szerint:

Továbbá, ha a maximális hajlítási nyomatékot elosztjuk az adott szakasz ellenállási nyomatékával, azt kapjuk maximális feszültség a gerendábanés ezt a feszültséget össze kell hasonlítanunk azzal a feszültséggel, amelyet egy adott anyagból készült gerendánk általában elvisel.

Műanyag anyagokhoz(acél, alumínium stb.) a maximális feszültség egyenlő lesz anyag folyáshatára, a törékenynek(öntöttvas) - szakítószilárdság. A folyáshatárt és a szakítószilárdságot az alábbi táblázatokból találhatjuk meg.

Nézzünk pár példát:
1. [i] Azt szeretné ellenőrizni, hogy egy 2 méter hosszú, mereven falba ágyazott I-gerenda No. 10 (St3sp5 acél) kibírja-e, ha rálóg. Legyen a tömege 90 kg.
Először is ki kell választanunk egy számítási sémát.

Ez a diagram azt mutatja, hogy a maximális nyomaték a lezárásban lesz, és mivel az I-gerenda van ugyanaz a szakasz teljes hosszában, akkor a maximális feszültség a lezárásban lesz. Keressük meg:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Az I-gerenda választéktáblázata szerint a 10. számú I-gerenda ellenállási nyomatékát találjuk.

39,7 cm3 lesz. Köbméterre átváltva 0,0000397 m3-t kapunk.
Továbbá a képlet szerint megtaláljuk a gerendában lévő maximális feszültségeket.

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Miután megtaláltuk a gerendában fellépő maximális feszültséget, összehasonlíthatjuk az St3sp5 acél folyáshatárával megegyező legnagyobb megengedett feszültséggel - 245 MPa.

45,34 MPa - helyes, tehát ez az I-gerenda 90 kg tömeget bír el.

2. [i] Mivel elég nagy ráhagyást kaptunk, megoldjuk a második feladatot, amelyben megtaláljuk azt a maximális tömeget, amelyet ugyanaz a 10-es számú, 2 méter hosszú I-nyaláb elbír.
Ha meg akarjuk találni a maximális tömeget, akkor a gerendában fellépő folyáshatár és feszültség értékeit egyenlővé kell tenni (b \u003d 245 MPa \u003d 245 000 kN * m2).

hajlít deformációnak nevezzük, amelyben a rúd tengelye és minden szála, azaz a rúd tengelyével párhuzamos hosszanti vonal külső erők hatására meghajlik. A hajlítás legegyszerűbb esete akkor érhető el, ha a külső erők a rúd központi tengelyén átmenő síkban fekszenek, és nem nyúlnak ki erre a tengelyre. Az ilyen hajlítási esetet keresztirányú hajlításnak nevezzük. Megkülönböztetni a lapos hajlítást és a ferde.

lapos kanyar- olyan eset, amikor a rúd hajlított tengelye ugyanabban a síkban van, amelyben külső erők hatnak.

Ferde (összetett) hajlítás- olyan hajlítási eset, amikor a rúd hajlított tengelye nem esik a külső erők hatássíkjába.

A hajlítórudat általában ún gerenda.

A gerendák sík keresztirányú hajlításával egy y0x koordinátarendszerű szakaszon két belső erő léphet fel - egy Q y keresztirányú erő és egy M x hajlítónyomaték; a következőkben bemutatjuk a jelölést Kés M. Ha a gerenda szakaszán vagy szakaszán nincs keresztirányú erő (Q = 0), és a hajlítónyomaték nem egyenlő nullával, vagy M állandó, akkor az ilyen hajlítást általában ún. tiszta.

Nyíróerő a gerenda bármely szakaszában számszerűen egyenlő a szakasz egyik (bármelyik) oldalán elhelyezkedő összes erő (beleértve a támasztóreakciókat is) tengelyére való vetületek algebrai összegével.

Hajlító nyomaték a nyalábszakaszban számszerűen egyenlő az e szakasz súlypontjához, pontosabban a tengelyhez viszonyított metszet egyik oldalán (bármelyik) elhelyezkedő összes erő nyomatékának algebrai összegével (beleértve a támogatási reakciókat is). a rajz síkjára merőlegesen haladva át a megrajzolt metszet súlypontján.

Q-erő képviseli eredő elosztva a belső keresztmetszetében nyírófeszültségek, a pillanat M– pillanatok összege X belső szakasz középtengelye körül normál stresszek.

A belső erők között különbség van

amelyet a Q és M diagramok felépítésénél és ellenőrzésénél használnak.

Mivel a gerenda szálai egy része megnyúlik, más része összenyomódik, és az átmenet a feszültségből az összenyomódásba zökkenőmentesen, ugrások nélkül megy végbe, a gerenda középső részében van egy réteg, amelynek szálai csak meghajlanak, de nem tapasztalják feszültség vagy kompresszió. Az ilyen réteget ún semleges réteg. Azt a vonalat, amely mentén a semleges réteg metszi a gerenda keresztmetszetét, nevezzük semleges vonal th or semleges tengely szakaszok. Semleges vonalak vannak felfűzve a gerenda tengelyére.

A gerenda oldalfelületén a tengelyre merőleges vonalak hajlításkor laposak maradnak. Ezek a kísérleti adatok lehetővé teszik, hogy a képletek következtetéseit a síkszelvények hipotézisére alapozzuk. E hipotézis szerint a gerenda szakaszai laposak és merőlegesek a tengelyére hajlítás előtt, laposak maradnak, és hajlításkor merőlegesek lesznek a gerenda hajlított tengelyére. A gerenda keresztmetszete hajlításkor eltorzul. A keresztirányú deformáció következtében a gerenda összenyomott zónájában a keresztmetszet méretei megnőnek, a feszítőzónában pedig összenyomódnak.

Feltételezések a képletek levezetéséhez. Normál feszültségek

1) A síkszelvények hipotézise teljesül.

2) A hosszanti szálak nem nyomják egymást, ezért normál feszültség hatására lineáris feszültségek vagy összenyomások működnek.

3) A szálak alakváltozásai nem függenek a metszet szélességében elfoglalt helyzetüktől. Következésképpen a normál feszültségek, amelyek a metszet magassága mentén változnak, a szélességben változatlanok maradnak.

4) A sugárnak legalább egy szimmetriasíkja van, és minden külső erő ezen a síkon fekszik.

5) A gerenda anyaga engedelmeskedik a Hooke-törvénynek, és a rugalmassági modulus feszültségben és összenyomódásban megegyezik.

6) A gerenda méretei közötti arányok olyanok, hogy lapos hajlítási körülmények között, vetemedés vagy csavarodás nélkül működjön.

Csak egy gerenda tiszta hajlításával az emelvényeken a szakaszában normál stresszek, a következő képlet határozza meg:

ahol y a szakasz tetszőleges pontjának koordinátája, a semleges vonaltól mérve - az x fő központi tengely.

A normál hajlítófeszültségek a szakasz magassága mentén eloszlanak lineáris törvény. A szélső szálakon a normálfeszültségek elérik maximális értéküket, a súlypontban pedig a keresztmetszetek nullával egyenlőek.

A szimmetrikus szakaszok normálfeszültség-diagramjainak jellege a semleges vonalhoz képest

A normál feszültségdiagramok természete azokra a szakaszokra, amelyeknek nincs szimmetriája a semleges egyenesre

A veszélyes pontok azok, amelyek a legtávolabb vannak a semleges vonaltól.

Válasszunk egy szakaszt

A szakasz bármely pontját nevezzük pontnak Nak nek, a gerenda szilárdsági feltétele normál feszültségekre a következő formában van:

, ahol i.d. - ez semleges tengely

ez axiális szakasz modulusa a semleges tengelyről. Mérete cm 3, m 3. Az ellenállási nyomaték a keresztmetszet alakjának és méreteinek a feszültségek nagyságára gyakorolt hatását jellemzi.

Erősségi feltétel normál igénybevételekhez:

A normál feszültség egyenlő a maximális hajlítónyomaték és az axiális metszet modulusának a semleges tengelyhez viszonyított arányával.

Ha az anyag egyenlőtlenül ellenáll a nyújtásnak és a nyomásnak, akkor két szilárdsági feltételt kell alkalmazni: egy megengedhető húzófeszültséggel rendelkező nyújtási zónához; a megengedhető nyomófeszültségű kompressziós zónához.

Keresztirányú hajlítás esetén a peronok gerendái a szakaszában úgy működnek, mint Normál, és érintők feszültség.

Egy kN / m intenzitású elosztott teherrel és kN m koncentrált nyomatékkal terhelt konzolos gerendához (3.12. ábra) szükséges: a nyíróerők és a hajlítónyomatékok diagramjainak elkészítéséhez válasszon ki egy megengedett kör keresztmetszetű gerendát. normál feszültség kN / cm2 és ellenőrizze a gerenda szilárdságát a nyírófeszültségek szerint a megengedett kN/cm2 nyírófeszültség mellett. A gerenda méretei m; m; m.

Tervezési séma a közvetlen keresztirányú hajlítás problémájára

Rizs. 3.12

A "közvetlen keresztirányú hajlítás" problémájának megoldása

Támogató reakciók meghatározása

A vízszintes reakció a beágyazásban nulla, mivel a z tengely irányú külső terhelések nem hatnak a gerendára.

Megválasztjuk a beágyazásban fellépő fennmaradó reaktív erők irányait: irányítsuk a függőleges reakciót például lefelé, a pillanatot pedig az óramutató járásával megegyező irányba. Értéküket a statika egyenletei határozzák meg:

Ezeket az egyenleteket összeállítva az óramutató járásával ellentétes forgásban a nyomatékot pozitívnak tekintjük, az erő vetülete pedig akkor pozitív, ha iránya egybeesik az y tengely pozitív irányával.

Az első egyenletből megtaláljuk a pillanatot a befejezésben:

A második egyenletből - függőleges reakció:

Az általunk pillanatnyilag kapott pozitív értékek és a befejezésben a függőleges reakció azt jelzi, hogy kitaláltuk az irányukat.

A gerenda rögzítésének és terhelésének jellegének megfelelően a hosszát két részre osztjuk. Az egyes szakaszok határai mentén négy keresztmetszetet vázolunk (lásd 3.12. ábra), amelyekben a metszet módszerével (ROZU) kiszámítjuk a nyíróerők és a hajlítónyomatékok értékeit.

1. szakasz. Gondolatban dobjuk el a gerenda jobb oldalát. Cseréljük ki a hatását a megmaradt bal oldalon vágóerővel és hajlítónyomatékkal. Értékük kiszámításának kényelme érdekében az általunk kidobott gerenda jobb oldalát papírlappal lezárjuk, a lap bal szélét a vizsgált szakaszhoz igazítva.

Emlékezzünk vissza, hogy a bármely keresztmetszetben fellépő nyíróerőnek ki kell egyensúlyoznia az összes külső (aktív és reaktív) erőt, amely a gerenda általunk vizsgált (vagyis látható) részére hat. Ezért a nyíróerőnek egyenlőnek kell lennie az általunk látott erők algebrai összegével.

Adjuk meg a nyíróerőre vonatkozó előjelek szabályát is: a gerenda vizsgált részére ható külső erő, amely ezt a részt a metszethez képest az óramutató járásával megegyező irányban „forgatni” kívánja, pozitív nyíróerőt okoz a szakaszon. Az ilyen külső erő a definíció algebrai összegében pluszjellel szerepel.

Esetünkben csak a támasz reakcióját látjuk, amely a gerenda látható részét az első szakaszhoz képest (a papírlap széléhez viszonyítva) az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja. Ezért

kN.

A hajlítónyomatéknak bármely szakaszban ki kell egyensúlyoznia a külső erők által létrehozott nyomatékot, amelyet a vizsgált szakaszra vonatkozóan látunk. Ezért egyenlő az összes erőkifejtés nyomatékának algebrai összegével, amely a nyaláb általunk vizsgált részére hat, a vizsgált szakaszhoz (más szóval a papírlap széléhez) viszonyítva. Ebben az esetben a gerenda vizsgált részét domborúan lefelé hajlító külső terhelés pozitív hajlítónyomatékot okoz a szakaszon. Az ilyen terhelés által létrehozott pillanat pedig a definíció algebrai összegében pluszjellel szerepel.

Két erőfeszítést látunk: a reakciót és a befejezés pillanatát. Azonban az erő karja az 1. szakaszhoz képest nullával egyenlő. Ezért

kN m

A pluszjelet azért vettük, mert a reaktív nyomaték a nyaláb látható részét domborúan lefelé hajlítja.

2. szakasz. Mint korábban, a gerenda teljes jobb oldalát lefedjük egy papírral. Most az első szakasztól eltérően az erőnek van egy válla: m. Ezért

kN; kN m

3. szakasz A gerenda jobb oldalát bezárva azt találjuk

kN;

4. szakasz Zárjuk le a gerenda bal oldalát egy levéllel. Akkor

kN m

A kapott értékek alapján diagramokat készítünk a nyíróerőkről (3.12. ábra, b) és a hajlítónyomatékokról (3.12. ábra, c).

Terheletlen szakaszokon a nyíróerők diagramja a gerenda tengelyével párhuzamosan, q megosztott terhelés esetén pedig egy ferde egyenes mentén halad felfelé. A diagramon a támaszreakció alatt ennek a reakciónak az értékével, azaz 40 kN-nal lefelé ugrás látható.

A hajlítási nyomatékok diagramján a támasztó reakció alatt törést látunk. A törési szög a támasz reakciója felé irányul. Elosztott q terhelés mellett a diagram egy másodfokú parabola mentén változik, amelynek konvexitása a terhelés felé irányul. A diagram 6. szakaszában van egy szélsőség, mivel a nyíróerő diagramja ezen a helyen átmegy a nulla értéken.

Határozza meg a gerenda keresztmetszetének szükséges átmérőjét

A normál feszültségek szilárdsági feltétele a következő:

hol van a gerenda hajlítási ellenállási nyomatéka. Egy kör keresztmetszetű gerendánál ez egyenlő:

A legnagyobb abszolút értékű hajlítónyomaték a gerenda harmadik szakaszában fordul elő: kN cm

Ezután a kívánt gerenda átmérőt a képlet határozza meg

cm.

Elfogadjuk mm. Akkor

kN/cm2 kN/cm2.

A "túlfeszültség" az

mit szabad.

Ellenőrizzük a gerenda szilárdságát a legnagyobb tangenciális feszültségeknél

A körgerenda keresztmetszetében fellépő legnagyobb nyírófeszültségeket a képlet számítja ki

hol van a keresztmetszeti terület.

A diagram szerint a nyíróerő legnagyobb algebrai értéke egyenlő kN. Akkor

kN/cm2 kN/cm2,

vagyis a szilárdsági és nyírófeszültségek feltétele, ráadásul nagy ráhagyással teljesül.

Példa a 2. számú „közvetlen keresztirányú hajlítás” probléma megoldására

A problémapélda feltétele közvetlen keresztirányú hajlításhoz

A kN / m intenzitású megosztott teherrel, kN koncentrált erővel és kN m koncentrált nyomatékkal terhelt csuklós gerendához (3.13. ábra) meg kell rajzolni a nyíróerő és hajlítónyomaték diagramokat, és ki kell választani az I-gerenda keresztmetszetét. kN/cm2 megengedett normál feszültséggel és kN/cm2 megengedett nyírófeszültséggel. Nyaláb fesztáv m.

Példa egy egyenes kanyar feladatára - egy tervezési séma

Rizs. 3.13

Egyenes kanyar probléma példájának megoldása

Támogató reakciók meghatározása

Egy adott csuklósan alátámasztott gerendához három támaszreakciót kell találni: , és . Mivel csak függőleges terhelések hatnak a gerendára, annak tengelyére merőlegesen, a rögzített A csuklós támasz vízszintes reakciója nullával egyenlő: .

A függőleges reakciók irányait és tetszőlegesen választják meg. Irányítsuk például mindkét függőleges reakciót felfelé. Értékük kiszámításához két statikai egyenletet állítunk össze:

Emlékezzünk vissza, hogy az eredő lineáris terhelés, egyenletesen elosztva egy l hosszúságú szakaszon, egyenlő, azaz egyenlő a terhelés diagramjának területével, és ennek a diagramnak a súlypontjára vonatkozik, vagyis a hossz közepén.

;

kN.

Ellenőrizzük: .

Emlékezzünk vissza, hogy az y tengely pozitív irányával egybeeső erők plusz előjellel erre a tengelyre vetülnek (vetülnek):

az igaz.

Nyíróerők és hajlítónyomatékok diagramjait készítjük

A gerenda hosszát külön szakaszokra bontjuk. Ezen szakaszok határai a koncentrált (aktív és/vagy reaktív) erők alkalmazási pontjai, valamint az elosztott terhelés kezdetének és végének megfelelő pontok. A mi problémánkban három ilyen terület van. E szakaszok határai mentén hat keresztmetszetet vázolunk, amelyekben a nyíróerők és a hajlítónyomatékok értékeit számítjuk ki (3.13. ábra, a).

1. szakasz. Gondolatban dobjuk el a gerenda jobb oldalát. Az ezen a szakaszon fellépő nyíróerő és hajlítónyomaték kiszámításának kényelme érdekében a gerenda általunk eldobott részét papírlappal lezárjuk, a papírdarab bal szélét magával a metszethez igazítva.

A nyíróerő a nyalábszakaszban egyenlő az összes általunk látott külső erő (aktív és reaktív) algebrai összegével. Ebben az esetben a támasz és a q lineáris terhelés reakcióját látjuk végtelenül kis hosszon elosztva. Az eredő lineáris terhelés nulla. Ezért

kN.

A pluszjelet azért vesszük, mert az erő a nyaláb látható részét az első szakaszhoz (a papírlap széléhez) képest az óramutató járásával megegyező irányban elforgatja.

A hajlítási nyomaték a gerenda szakaszában megegyezik az általunk látott erők nyomatékainak algebrai összegével a vizsgált szakaszhoz (vagyis egy papírlap széléhez) képest. Látjuk a támasz és a q lineáris terhelés reakcióját, végtelenül kis hosszon elosztva. Az erő tőkeáttétele azonban nulla. Az eredő lineáris terhelés is egyenlő nullával. Ezért

2. szakasz. Mint korábban, a gerenda teljes jobb oldalát lefedjük egy papírral. Most azt látjuk, hogy a reakció és a q terhelés egy hosszúságú szakaszra hat. Az eredő lineáris terhelés egyenlő . Egy hosszúságú szakasz közepére van rögzítve. Ezért

Emlékezzünk vissza, hogy a hajlítási nyomaték előjelének meghatározásakor gondolatban megszabadítjuk a gerenda azon részét az összes tényleges tartórögzítéstől, és úgy képzeljük el, mintha a vizsgált szakaszon (azaz a darab bal szélén) megszorulna. a papírt lelkileg merev pecsétként ábrázoljuk).

3. szakasz Zárjuk be a jobb oldali részt. Kap

4. szakasz. A gerenda jobb oldalát egy levéllel zárjuk le. Akkor

Most, hogy ellenőrizzük a számítások helyességét, fedjük le a gerenda bal oldalát egy papírral. Látjuk a P koncentrált erőt, a jobb oldali támasz reakcióját és a q lineáris terhelést végtelenül kis hosszon elosztva. Az eredő lineáris terhelés nulla. Ezért

kN m

Vagyis minden helyes.

5. szakasz. Még mindig zárja le a gerenda bal oldalát. Lesz

kN;

kN m

6. szakasz. Zárjuk újra a gerenda bal oldalát. Kap

kN;

A kapott értékek alapján diagramokat készítünk a nyíróerőkről (3.13. ábra, b) és a hajlítónyomatékokról (3.13. ábra, c).

Meggyőződésünk, hogy a tehermentes szakaszon a nyíróerő diagram a gerenda tengellyel párhuzamosan, q megosztott terhelés esetén pedig lefelé mutató egyenes mentén fut. A diagramon három ugrás található: a reakció alatt - felfelé 37,5 kN-nal, a reakció alatt - felfelé 132,5 kN-nal és a P erő alatt - lefelé 50 kN-nal.

A hajlítónyomatékok diagramján a koncentrált P erő hatására és a támasztóreakciók alatt töréseket látunk. A törési szögek ezekre az erőkre irányulnak. A q intenzitású elosztott terhelés mellett a diagram egy másodfokú parabola mentén változik, amelynek konvexitása a terhelés felé irányul. A koncentrált nyomaték alatt 60 kN m-es ugrás történik, vagyis magának a pillanatnak a nagyságával. A diagram 7. szakaszában van egy szélsőség, mivel ennek a szakasznak a nyíróerő diagramja átmegy a nulla értéken (). Határozzuk meg a 7-es szakasz és a bal oldali támasz távolságát.

szakaszok