Amikor a másodfokú egyenletben nincsenek gyökök. Másodfokú egyenletek

Képletek másodfokú egyenlet gyökére. A valódi, többszörös és összetett gyökerek eseteit vizsgáljuk. Négyzetes trinom tényezõzése. Geometriai értelmezés. Példák a gyökerek meghatározására és a faktorizációra.

Alapképletek

Tekintsük a másodfokú egyenletet:
(1) .
Másodfokú egyenlet gyökerei(1) a következő képletekkel határozzák meg:
; .
Ezeket a képleteket a következőképpen lehet kombinálni:
.
Ha a másodfokú egyenlet gyökei ismertek, akkor a másodfokú polinom a faktorok szorzataként ábrázolható (faktorált):
.

Továbbá feltételezzük, hogy ezek valós számok.
Fontolgat másodfokú egyenlet diszkriminánsa:
.
Ha a diszkrimináns pozitív, akkor az (1) másodfokú egyenletnek két különböző valós gyöke van:
; .
Ekkor a négyzetes trinomiális faktorizálása a következőképpen alakul:
.
Ha a diszkrimináns nulla, akkor az (1) másodfokú egyenletnek két többszörös (egyenlő) valós gyöke van:
.
Faktorizáció:
.
Ha a diszkrimináns negatív, akkor az (1) másodfokú egyenletnek két összetett konjugált gyöke van:
;
.
Itt van a képzeletbeli egység, ;
és a gyökerek valós és képzeletbeli részei:
; .
Akkor

.

Grafikus értelmezés

Ha ábrázoljuk a függvényt
,
ami egy parabola, akkor a gráf tengellyel való metszéspontjai lesznek az egyenlet gyökei
.
Amikor , a gráf két pontban metszi az abszcissza tengelyt (tengelyt).
Amikor , a grafikon egy ponton érinti az x tengelyt.
Amikor , a grafikon nem keresztezi az x tengelyt.

Az alábbiakban példákat mutatunk be ilyen grafikonokra.

Hasznos képletek a másodfokú egyenlethez

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Másodfokú egyenlet gyökeinek képletének levezetése

Transzformációkat hajtunk végre és alkalmazzuk az (f.1) és (f.3) képleteket:




,
ahol
; .

Tehát megkaptuk a másodfokú polinom képletét a következő formában:
.
Ebből látható, hogy az egyenlet

órakor előadták
és .
Vagyis és a másodfokú egyenlet gyökerei
.

Példák másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározására

1. példa

(1.1) .

Megoldás

.
Az (1.1) egyenletünkkel összehasonlítva megtaláljuk az együtthatók értékeit:
.
A diszkrimináns megtalálása:
.
Mivel a diszkrimináns pozitív, az egyenletnek két valós gyökere van:
;
;
.

Innen megkapjuk a négyzetháromság faktorokra való felosztását:

.

Az y = függvény grafikonja 2 x 2 + 7 x + 3 két pontban metszi az x tengelyt.

Ábrázoljuk a függvényt
.
Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Két pontban metszi az x tengelyt (tengelyt):
és .
Ezek a pontok az eredeti (1.1) egyenlet gyökerei.

Válasz

;
;
.

2. példa

Keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit:
(2.1) .

Megoldás

A másodfokú egyenletet általános formában írjuk fel:
.
Az eredeti (2.1) egyenlettel összehasonlítva megtaláljuk az együtthatók értékeit:
.
A diszkrimináns megtalálása:
.
Mivel a diszkrimináns nulla, az egyenletnek két többszörös (egyenlő) gyöke van:
;
.

Ekkor a trinomiális faktorizálása a következőképpen alakul:
.

Az y = x függvény grafikonja 2-4 x + 4 egy ponton érinti az x tengelyt.

Ábrázoljuk a függvényt
.
Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Egy ponton érinti az x tengelyt (tengelyt):
.
Ez a pont az eredeti (2.1) egyenlet gyöke. Mivel ez a gyökér kétszeres tényező:
,
akkor az ilyen gyökeret többszörösnek nevezzük. Vagyis úgy gondolják, hogy két egyenlő gyökér van:
.

Válasz

;
.

3. példa

Keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit:
(3.1) .

Megoldás

A másodfokú egyenletet általános formában írjuk fel:
(1) .
Írjuk át az eredeti (3.1) egyenletet:
.
Az (1)-el összehasonlítva megtaláljuk az együtthatók értékeit:
.
A diszkrimináns megtalálása:
.
A diszkrimináns negatív, . Ezért nincsenek igazi gyökerek.

Összetett gyökereket találhat:
;
;
.

Akkor


.

A függvény grafikonja nem keresztezi az x tengelyt. Nincsenek igazi gyökerek.

Ábrázoljuk a függvényt
.
Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Nem keresztezi az abszcisszát (tengelyt). Ezért nincsenek igazi gyökerek.

Válasz

Nincsenek igazi gyökerek. Összetett gyökerek:
;
;
.

Dolgozzunk vele másodfokú egyenletek. Ezek nagyon népszerű egyenletek! Legáltalánosabb formájában a másodfokú egyenlet így néz ki:

Például:

Itt a =1; b = 3; c = -4

Itt a =2; b = -0,5; c = 2,2

Itt a =-3; b = 6; c = -18

Nos, érted az ötletet...

Hogyan lehet másodfokú egyenleteket megoldani? Ha van egy másodfokú egyenlete ebben a formában, akkor minden egyszerű. Emlékezz a varázsszóra diszkriminatív . Ritka középiskolás diák nem hallotta ezt a szót! A „dönts a megkülönböztetőn keresztül” kifejezés megnyugtató és megnyugtató. Mert nem kell várni a diszkrimináló trükkjére! Használata egyszerű és problémamentes. Tehát a másodfokú egyenlet gyökereinek megkeresésére szolgáló képlet így néz ki:

A gyökérjel alatti kifejezés ugyanaz diszkriminatív. Amint látja, az x megtalálásához használjuk csak a, b és c. Azok. együtthatók a másodfokú egyenletből. Csak óvatosan cserélje ki az értékeket a, b és c ebbe a képletbe, és fontolja meg. Helyettes a jeleiddel! Például az első egyenlethez a =1; b = 3; c= -4. Itt írjuk:

A példa majdnem megoldva:

Ez minden.

Milyen esetekben lehetséges ez a képlet? Csak három eset van.

1. A diszkrimináns pozitív. Ez azt jelenti, hogy kivonhatja belőle a gyökeret. Az egy másik kérdés, hogy a gyökeret jól vagy rosszul kinyerték-e ki. Fontos, hogy elvileg mit vonnak ki. Ekkor a másodfokú egyenletnek két gyöke van. Két különböző megoldás.

2. A diszkrimináns nulla. Akkor van egy megoldás. Szigorúan véve ez nem egyetlen gyökér, hanem két egyforma. Ez azonban szerepet játszik az egyenlőtlenségekben, ahol részletesebben megvizsgáljuk a kérdést.

3. A diszkrimináns negatív. A negatív szám nem veszi fel a négyzetgyököt. Hát rendben. Ez azt jelenti, hogy nincsenek megoldások.

Minden nagyon egyszerű. És mit gondolsz, nem tévedhetsz? Hát igen, hogyan...
A leggyakoribb hibák az értékek összetévesztése a, b és c. Vagy inkább nem a jeleikkel (hol lehet összetéveszteni?), hanem a negatív értékek behelyettesítésével a gyökszámítási képletben. Itt a képlet részletes nyilvántartása adott számokkal menthető. Ha problémák vannak a számításokkal, akkor csináld!

Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő példát:

Itt a = -6; b = -5; c=-1

Tegyük fel, hogy tudja, hogy az első alkalommal ritkán kap választ.

Nos, ne légy lusta. 30 másodpercet vesz igénybe egy extra sor beírása és a hibák száma erősen csökkenni fog. Tehát részletesen írjuk, minden zárójellel és jellel:

Hihetetlenül nehéznek tűnik ilyen gondosan festeni. De csak úgy tűnik. Próbáld ki. Nos, vagy válassz. Melyik a jobb, gyors vagy jobb? Ráadásul boldoggá teszlek. Egy idő után nem kell mindent olyan gondosan festeni. Csak úgy fog kiderülni. Különösen, ha gyakorlati technikákat alkalmaz, amelyeket alább ismertetünk. Ez a rossz példa egy csomó mínuszokkal egyszerűen és hiba nélkül megoldható!

Így, hogyan kell megoldani a másodfokú egyenleteket a diszkrimináns révén, amelyre emlékeztünk. Vagy tanult, ami szintén jó. Tud-e helyesen azonosítani a, b és c. Tudod hogyan gondosan cserélje be őket a gyökérképletbe és gondosan számolja meg az eredményt. Megértetted, hogy itt a kulcsszó: gondosan?

A másodfokú egyenletek azonban gyakran kissé eltérően néznek ki. Például így:

azt hiányos másodfokú egyenletek . A diszkrimináns segítségével is megoldhatók. Csak helyesen kell kitalálnia, hogy mi egyenlő itt a, b és c.

Megvalósult? Az első példában a = 1; b = -4; a c? Egyáltalán nem létezik! Hát igen, ez így van. A matematikában ez azt jelenti c = 0 ! Ez minden. Helyettesítsd be a nullát a képletbe helyette c,és minden sikerülni fog nekünk. Hasonlóan a második példával is. Csak nulla nincs itt Val vel, a b !

De a nem teljes másodfokú egyenletek sokkal könnyebben megoldhatók. Mindenféle megkülönböztetés nélkül. Tekintsük az első hiányos egyenletet. Mit lehet tenni a bal oldalon? Az X-et kiveheti a zárójelből! Vegyük ki.

És mi van belőle? És az, hogy a szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha bármelyik tényező nullával egyenlő! Nem hiszed? Nos, akkor jöjjön ki két nem nulla szám, amelyeket szorozva nullát adunk!
Nem működik? Valami...
Ezért bátran írhatjuk: x = 0, vagy x = 4

Minden. Ezek lesznek az egyenletünk gyökerei. Mindkettő passzol. Ha bármelyiket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor a helyes azonosságot 0 = 0 kapjuk. Mint látható, a megoldás sokkal egyszerűbb, mint a diszkrimináns révén.

A második egyenlet is könnyen megoldható. 9-et mozgunk a jobb oldalra. Kapunk:

Marad a gyökér kivonása a 9-ből, és ennyi. Kap:

két gyökér is . x = +3 és x = -3.

Így oldódik meg az összes hiányos másodfokú egyenlet. Vagy úgy, hogy kiveszi az X-et a zárójelekből, vagy egyszerűen átviszi a számot jobbra, majd kivonja a gyökeret.
Rendkívül nehéz összekeverni ezeket a módszereket. Egyszerűen azért, mert az első esetben ki kell húzni a gyökeret az X-ből, ami valahogy érthetetlen, a második esetben pedig nincs mit kivenni a zárójelekből ...

Most vegye figyelembe azokat a gyakorlati technikákat, amelyek drámaian csökkentik a hibák számát. Pont azokat, amelyek a figyelmetlenségből fakadnak... Amiért aztán fájdalmas és sértő...

Első fogadás. Ne legyen lusta, mielőtt megoldana egy másodfokú egyenletet, hogy szabványos formára hozza. Mit is jelent ez?
Tegyük fel, hogy bármilyen átalakítás után a következő egyenletet kapjuk:

Ne rohanjon megírni a gyökerek képletét! Szinte biztosan összekevered az esélyeket a, b és c.Építsd fel helyesen a példát. Először x négyzet, majd négyzet nélkül, majd szabad tag. Mint ez:

És még egyszer: ne rohanjon! Az x négyzet előtti mínusz nagyon felzaklathat. Elfelejteni könnyű... Szabadulj meg a mínusztól. Hogyan? Igen, ahogy az előző témában tanítottuk! Az egész egyenletet meg kell szoroznunk -1-gyel. Kapunk:

És most nyugodtan felírhatja a gyökök képletét, kiszámíthatja a diszkriminánst és kiegészítheti a példát. Döntse el egyedül. A 2-es és a -1-es gyökökhöz kell jutnia.

Második fogadás. Ellenőrizze a gyökereit! Vieta tétele szerint. Ne aggódj, mindent elmagyarázok! Ellenőrzés utolsó dolog az egyenlet. Azok. az, amivel felírtuk a gyökök képletét. Ha (mint ebben a példában) az együttható a = 1, ellenőrizze a gyökereket könnyen. Elég megsokszorozni őket. Szabad termet kellene kapnod, pl. esetünkben -2. Figyelj, ne 2, hanem -2! ingyenes tag a jeleddel . Ha nem sikerült, az azt jelenti, hogy már elrontották valahol. Keressen hibát. Ha sikerült, össze kell hajtania a gyökereket. Utolsó és utolsó ellenőrzés. Arány kellene b Val vel szemben jel. Esetünkben -1+2 = +1. Egy együttható b, amely az x előtt van, egyenlő -1-gyel. Szóval minden stimmel!
Kár, hogy csak olyan példáknál ilyen egyszerű, ahol x négyzet tiszta, együtthatóval a = 1. De legalább ellenőrizze az ilyen egyenleteket! Kevesebb lesz a hiba.

Fogadás harmadik. Ha az egyenletednek törtegyütthatói vannak, szabadulj meg a törtektől! Szorozzuk meg az egyenletet a közös nevezővel az előző részben leírtak szerint. Ha törtekkel dolgozik, a hibák valamilyen oknál fogva mászni ...

Egyébként egy gonosz példát ígértem egy rakás mínuszos leegyszerűsítés végett. Kérem! Itt van.

Annak érdekében, hogy ne keveredjünk össze a mínuszokban, megszorozzuk az egyenletet -1-gyel. Kapunk:

Ez minden! Dönteni szórakoztató!

Tehát ismételjük a témát.

Gyakorlati tippek:

1. Megoldás előtt a másodfokú egyenletet a standard formára hozzuk, felépítjük jobb.

2. Ha a négyzetben az x előtt van negatív együttható, akkor azt úgy szűrjük ki, hogy a teljes egyenletet -1-gyel megszorozzuk.

3. Ha az együtthatók törtek, akkor a törteket úgy távolítjuk el, hogy a teljes egyenletet megszorozzuk a megfelelő tényezővel.

4. Ha x négyzet tiszta, az együttható eggyel egyenlő, a megoldás könnyen ellenőrizhető Vieta tételével. Csináld!

Törtegyenletek. ODZ.

Folytatjuk az egyenletek elsajátítását. Már tudjuk, hogyan kell lineáris és másodfokú egyenletekkel dolgozni. Az utolsó nézet marad törtegyenletek. Vagy sokkal szilárdabbnak is nevezik őket - tört racionális egyenletek. Ez ugyanaz.

Törtegyenletek.

Ahogy a neve is sugallja, ezek az egyenletek szükségszerűen tartalmaznak törteket. De nem csak a töredékek, hanem a töredékek, amelyek rendelkeznek a nevezőben ismeretlen. Legalábbis az egyikben. Például:

Hadd emlékeztesselek, ha csak a nevezőkben számok, ezek lineáris egyenletek.

Hogyan döntsünk törtegyenletek? Először is szabadulj meg a törtektől! Ezt követően az egyenlet leggyakrabban lineáris vagy másodfokúvá válik. És akkor tudjuk, mit tegyünk... Bizonyos esetekben ez identitássá válhat, például 5=5, vagy helytelen kifejezéssé, például 7=2. De ez ritkán történik meg. Az alábbiakban megemlítem.

De hogyan lehet megszabadulni a törtektől!? Nagyon egyszerű. Az összes azonos transzformáció alkalmazása.

Az egész egyenletet meg kell szoroznunk ugyanazzal a kifejezéssel. Hogy minden nevező csökkenjen! Minden azonnal könnyebb lesz. egy példával magyarázom. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk az egyenletet:

Hogyan tanították őket az általános iskolában? Mindent egy irányba viszünk át, közös nevezőre redukáljuk stb. Felejtsd el, milyen rossz álom! Ezt kell tennie, amikor törtkifejezéseket ad hozzá vagy kivon. Vagy dolgozz az egyenlőtlenségekkel. Az egyenletekben pedig azonnal megszorozzuk mindkét részt egy kifejezéssel, amely lehetőséget ad az összes nevező csökkentésére (vagyis lényegében egy közös nevezőre). És mi ez a kifejezés?

A bal oldalon a nevező csökkentéséhez szoroznia kell x+2. A jobb oldalon pedig 2-vel kell szorozni, tehát az egyenletet meg kell szorozni 2 (x+2). Megszorozzuk:

Ez a törtek szokásos szorzása, de részletesen leírom:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy még nem nyitom ki a zárójelet. (x + 2)! Tehát teljes egészében leírom:

A bal oldalon teljesen lecsökkent (x+2), jobb oldalon pedig 2. Igény szerint! Csökkentés után kapjuk lineáris az egyenlet:

Ezt az egyenletet bárki meg tudja oldani! x = 2.

Oldjunk meg egy másik, kicsit bonyolultabb példát:

Ha emlékszünk arra, hogy 3 = 3/1, és 2x = 2x/ 1 írható:

És ismét megszabadulunk attól, amit nem igazán szeretünk - a törtekből.

Látjuk, hogy a nevező x-szel való csökkentéséhez meg kell szorozni a törtet (x - 2). És az egységek nem jelentenek akadályt számunkra. Nos, szorozzuk. Összes bal oldali és összes jobb oldal:

Ismét zárójelek (x - 2) nem árulom el. A zárójel egészével dolgozom, mintha egy szám lenne! Ezt mindig meg kell tenni, különben semmi sem csökken.

A mély elégedettség érzésével vágunk (x - 2)és az egyenletet tört nélkül, vonalzóban kapjuk!

És most kinyitjuk a zárójeleket:

Hasonlókat adunk, mindent áthelyezünk a bal oldalra, és megkapjuk:

Klasszikus másodfokú egyenlet. De az előttünk álló mínusz nem jó. Mindig megszabadulhatsz tőle, ha -1-gyel szorozod vagy osztod. De ha alaposan megnézi a példát, észre fogja venni, hogy a legjobb, ha ezt az egyenletet elosztja -2-vel! Egy csapásra eltűnik a mínusz, szebbek lesznek az együtthatók! -2-vel osztjuk. A bal oldalon - kifejezésenként, a jobb oldalon - csak ossza el a nullát -2-vel, nullát, és kapja meg:

A diszkriminánson keresztül oldjuk meg és ellenőrizzük a Vieta-tétel szerint. Kapunk x=1 és x=3. Két gyökér.

Mint látható, az első esetben a transzformáció utáni egyenlet lineárissá vált, itt pedig másodfokú. Előfordul, hogy miután megszabadultunk a törtektől, minden x csökken. Maradt valami, például 5=5. Ez azt jelenti x bármi lehet. Bármi is legyen, akkor is csökkenni fog. És kapd meg a tiszta igazságot, 5=5. De miután megszabadultunk a törtektől, kiderülhet, hogy ez teljesen valótlan, például 2=7. Ez pedig azt jelenti nincsenek megoldások! Bármely x esetén hamisnak bizonyul.

Rájött a megoldás fő módjára törtegyenletek? Ez egyszerű és logikus. Megváltoztatjuk az eredeti kifejezést, hogy minden, ami nem tetszik, eltűnjön. Vagy beavatkozni. Ebben az esetben törtekről van szó. Ugyanezt fogjuk tenni mindenféle összetett példával logaritmusokkal, szinuszokkal és egyéb borzalmakkal. Mi mindig megszabadulunk ettől az egésztől.

Az eredeti kifejezést azonban a szükséges irányba kell változtatnunk szabályok szerint, igen ... Amelynek fejlesztése a matematika vizsgára való felkészítés. Itt tanulunk.

Most megtanuljuk, hogyan lehet megkerülni az egyiket a fő lesek a vizsgán! De előbb lássuk, beleesik-e vagy sem?

Vegyünk egy egyszerű példát:

A dolog már ismerős, mindkét részt megszorozzuk (x - 2), kapunk:

Ne feledje, zárójelekkel (x - 2)úgy dolgozunk, mint egy, integrál kifejezéssel!

Itt már nem azt írtam a nevezőkbe, méltatlanul ... És nem húztam zárójelet a nevezőkbe, kivéve x - 2 nincs semmi, nem tudsz rajzolni. Lerövidítjük:

Kinyitjuk a zárójeleket, mindent balra mozgatunk, hasonlókat adunk:

Megoldjuk, ellenőrizzük, két gyökeret kapunk. x = 2és x = 3. Kiváló.

Tegyük fel, hogy a feladat azt mondja, hogy ha több gyökér van, írjuk fel a gyökért vagy azok összegét. Mit fogunk írni?

Ha úgy dönt, hogy a válasz 5, akkor Ön lesben álltak. És a feladat nem számít bele. Hiába dolgoztak... A helyes válasz a 3.

Mi a helyzet?! És megpróbálod ellenőrizni. Helyettesítsd be az ismeretlen értékeit a kezdeti példa. És ha at x = 3 minden csodálatosan összenő, 9 = 9-et kapunk, majd azzal x = 2 oszd el nullával! Amit végképp nem lehet megtenni. Eszközök x = 2 nem megoldás, és nem veszik figyelembe a válaszban. Ez az úgynevezett idegen vagy extra gyökér. Csak eldobjuk. Csak egy végső gyökér van. x = 3.

Hogy hogy?! Felháborodott felkiáltásokat hallok. Azt tanították nekünk, hogy egy egyenletet meg lehet szorozni egy kifejezéssel! Ez ugyanaz az átalakulás!

Igen, azonos. Kis feltétel mellett - a kifejezés, amellyel szorozunk (osztunk) - különbözik a nullától. DE x - 2 nál nél x = 2 egyenlő nullával! Szóval minden igazságos.

És most mit tehetek?! Ne szorozzon kifejezéssel? Minden alkalommal ellenőrzi? Megint homályos!

Nyugodtan! Semmi pánik!

Ebben a nehéz helyzetben három varázslevél ment meg minket. Tudom, mire gondoltál. Helyesen! azt ODZ . Érvényes értékek területe.

Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az egyenleteket az ember ősidők óta használja, és azóta használatuk csak nőtt. A diszkrimináns lehetővé teszi bármely másodfokú egyenlet megoldását a következő általános képlettel:

A diszkrimináns képlet a polinom mértékétől függ. A fenti képlet a következő formájú másodfokú egyenletek megoldására alkalmas:

A diszkrimináns a következő tulajdonságokkal rendelkezik, amelyeket tudnia kell:

* "D" 0, ha a polinomnak több gyöke van (egyenlő gyöke);

* A "D" szimmetrikus polinom a polinom gyökéhez képest, ezért együtthatóiban polinom; ezen túlmenően ennek a polinomnak az együtthatói egész számok, függetlenül attól, hogy milyen kiterjesztéssel veszik fel a gyököket.

Tegyük fel, hogy a következő formájú másodfokú egyenletet kapjuk:

1 egyenlet

A képlet szerint a következőket kapjuk:

Mivel \, akkor az egyenletnek 2 gyöke van. Határozzuk meg őket:

Hol tudom megoldani az egyenletet a diszkrimináns online megoldón keresztül?

Az egyenletet a https: // weboldalunkon tudja megoldani. Az ingyenes online megoldó segítségével másodpercek alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Csak annyit kell tennie, hogy beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon megtekintheti a videós útmutatót és megtanulhatja az egyenlet megoldását, és ha kérdése van, felteheti a Vkontakte csoportunkban http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.

A másodfokú egyenletre vonatkozó feladatokat az iskolai tantervben és az egyetemeken is tanulmányozzák. Ezek a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 alakú egyenletek értendők, ahol x- változó, a,b,c – állandók; a<>0 . A probléma az egyenlet gyökereinek megtalálása.

A másodfokú egyenlet geometriai jelentése

A másodfokú egyenlettel ábrázolt függvény grafikonja parabola. A másodfokú egyenlet megoldásai (gyökei) a parabola és az x tengellyel való metszéspontok. Ebből következik, hogy három eset lehetséges:
1) a parabolának nincs metszéspontja az x tengellyel. Ez azt jelenti, hogy a felső síkban van ágakkal felfelé, vagy az alsó síkban lefelé ágakkal. Ilyen esetekben a másodfokú egyenletnek nincs valódi gyöke (két összetett gyöke van).

2) a parabolának van egy metszéspontja az Ox tengellyel. Az ilyen pontot a parabola csúcsának nevezzük, és a benne lévő másodfokú egyenlet elnyeri minimális vagy maximális értékét. Ebben az esetben a másodfokú egyenletnek egy valós gyöke (vagy két azonos gyöke) van.

3) Az utolsó eset a gyakorlatban érdekesebb - a parabolának két metszéspontja van az abszcissza tengellyel. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek két valódi gyöke van.

A változók hatványaihoz tartozó együtthatók elemzése alapján érdekes következtetések vonhatók le a parabola elhelyezéséről.

1) Ha az a együttható nullánál nagyobb, akkor a parabola felfelé, ha negatív, akkor a parabola ágai lefelé irányulnak.

2) Ha a b együttható nullánál nagyobb, akkor a parabola csúcsa a bal oldali félsíkban, ha negatív értéket vesz fel, akkor a jobb oldalon.

Másodfokú egyenlet megoldására szolgáló képlet levezetése

Vigyük át az állandót a másodfokú egyenletből

egyenlőségjelre a kifejezést kapjuk

Mindkét oldalt megszorozzuk 4a-val

Ha teljes négyzetet szeretne kapni a bal oldalon, adjon hozzá b ^ 2-t mindkét részhez, és hajtsa végre az átalakítást

Innen találjuk

A diszkrimináns képlete és a másodfokú egyenlet gyökei

A diszkrimináns a gyökkifejezés értéke, ha pozitív, akkor az egyenletnek két valós gyöke van, a képlettel számolva Ha a diszkrimináns nulla, a másodfokú egyenletnek egy megoldása van (két egybeeső gyök), amely könnyen megkapható a fenti képletből D=0 esetén. Ha a diszkrimináns negatív, akkor nincsenek valódi gyökök. Azonban a másodfokú egyenlet megoldásainak komplex síkban történő tanulmányozása és értékük kiszámítása a képlettel történik

Vieta tétele

Tekintsünk egy másodfokú egyenlet két gyökét, és ezek alapján alkossunk másodfokú egyenletet Maga a Vieta-tétel is könnyen következik a jelölésből: ha megvan a forma másodfokú egyenlete akkor gyökeinek összege egyenlő az ellenkező előjellel vett p együtthatóval, és az egyenlet gyökeinek szorzata egyenlő a q szabad taggal. A fenti képlet így fog kinézni. Ha a klasszikus egyenletben az a konstans nem nulla, akkor el kell osztania vele a teljes egyenletet, majd alkalmaznia kell a Vieta-tételt.

A másodfokú egyenlet ütemezése faktorokon

Legyen kitűzve a feladat: a másodfokú egyenlet faktorokra bontása. Ennek végrehajtásához először megoldjuk az egyenletet (keressük meg a gyököket). Ezután a talált gyököket behelyettesítjük a másodfokú egyenlet kibővítésére szolgáló képletbe, és ez a probléma megoldódik.

Feladatok másodfokú egyenlethez

1. feladat. Keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit!

x^2-26x+120=0 .

Megoldás: Írja fel az együtthatókat és helyettesítse be a diszkrimináns képletbe

Ennek az értéknek a gyöke 14, számológéppel könnyen megtalálható, vagy gyakori használat mellett megjegyezhető, azonban a kényelem kedvéért a cikk végén felsorolok számnégyzeteket, amelyek gyakran előfordulhatnak. megtalálható az ilyen feladatokban.
A talált értéket a rendszer behelyettesíti a gyökképletbe

és megkapjuk

2. feladat. oldja meg az egyenletet

2x2+x-3=0.

Megoldás: Van egy teljes másodfokú egyenletünk, írjuk ki az együtthatókat és keressük meg a diszkriminánst


Ismert képletek segítségével megtaláljuk a másodfokú egyenlet gyökereit

3. feladat. oldja meg az egyenletet

9x2 -12x+4=0.

Megoldás: Van egy teljes másodfokú egyenletünk. Határozza meg a diszkriminánst

Azt az esetet kaptuk, amikor a gyökerek egybeesnek. A gyökök értékeit a képlet alapján találjuk meg

4. feladat. oldja meg az egyenletet

x^2+x-6=0 .

Megoldás: Azokban az esetekben, ahol kicsi az együttható x-hez, célszerű a Vieta-tételt alkalmazni. Feltételével két egyenletet kapunk

A második feltételből azt kapjuk, hogy a szorzatnak -6-nak kell lennie. Ez azt jelenti, hogy az egyik gyökér negatív. A következő lehetséges megoldáspárunk van(-3;2), (3;-2) . Az első feltételt figyelembe véve a második megoldáspárt elutasítjuk.
Az egyenlet gyökerei a következők

5. feladat Határozza meg egy téglalap oldalainak hosszát, ha kerülete 18 cm, területe 77 cm 2!

Megoldás: Egy téglalap kerületének fele egyenlő a szomszédos oldalak összegével. Jelöljük x-et - a nagyobb oldalt, majd 18-x a kisebbik oldala. Egy téglalap területe egyenlő a következő hosszúságok szorzatával:
x(18x)=77;
vagy
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Keresse meg az egyenlet diszkriminánsát!

Kiszámoljuk az egyenlet gyökereit

Ha egy x=11, akkor 18x=7, fordítva is igaz (ha x=7, akkor 21-x=9).

6. feladat Tényezőzzük a másodfokú 10x 2 -11x+3=0 egyenletet!

Megoldás: Számítsa ki az egyenlet gyökereit, ehhez megtaláljuk a diszkriminánst

A talált értéket behelyettesítjük a gyökképletbe, és kiszámítjuk

Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet gyökekkel való bővítésének képletét

A zárójeleket kibontva megkapjuk az azonosságot.

Másodfokú egyenlet paraméterrel

Példa 1. A paraméter mely értékeire a , az (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 egyenletnek egy gyöke van?

Megoldás: Az a=3 érték közvetlen helyettesítésével azt látjuk, hogy nincs megoldása. Továbbá azt a tényt fogjuk használni, hogy nulla diszkrimináns esetén az egyenletnek a 2 multiplicitás egyik gyöke van. Írjuk ki a diszkriminánst

leegyszerűsítjük és egyenlővé kell tenni a nullával

Az a paraméterre vonatkozóan egy másodfokú egyenletet kaptunk, melynek megoldása a Vieta-tétel segítségével könnyen megkapható. A gyökök összege 7, szorzatuk 12. Egyszerű felsorolással megállapítjuk, hogy a 3.4 számok lesznek az egyenlet gyökerei. Mivel a számítások elején már elvetettük az a=3 megoldást, az egyetlen helyes megoldás a következő lesz: a=4.Így a = 4 esetén az egyenletnek egy gyöke van.

Példa 2. A paraméter mely értékeire a , az egyenlet a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 egynél több gyökér van?

Megoldás: Tekintsük először a szinguláris pontokat, ezek az a=0 és a=-3 értékek lesznek. Ha a=0, az egyenlet 6x-9=0 alakra egyszerűsödik; x=3/2 és egy gyökér lesz. A= -3 esetén a 0=0 azonosságot kapjuk.
Számítsa ki a diszkriminánst!

és keresse meg a értékeit, amelyekre ez pozitív

Az első feltételből a>3-at kapunk. A másodikhoz megtaláljuk a diszkriminánst és az egyenlet gyökereit


Határozzuk meg azokat az intervallumokat, ahol a függvény pozitív értékeket vesz fel. Az a=0 pontot behelyettesítve azt kapjuk 3>0 . Tehát a (-3; 1/3) intervallumon kívül a függvény negatív. Ne felejtsd el a pontot a=0 amit ki kell zárni, mivel az eredeti egyenletnek egy gyöke van.
Ennek eredményeként két olyan intervallumot kapunk, amely kielégíti a probléma feltételét

A gyakorlatban sok hasonló feladat lesz, próbáljon meg maga is megbirkózni a feladatokkal, és ne felejtse el figyelembe venni az egymást kölcsönösen kizáró feltételeket. Tanulmányozza jól a másodfokú egyenletek megoldására szolgáló képleteket, gyakran van rájuk szükség a számításokban különféle problémákban és tudományokban.

Másodfokú egyenlet - könnyen megoldható! *Tovább a "KU" szövegben. Barátaim, úgy tűnik, hogy a matematikában ez könnyebb lehet, mint egy ilyen egyenlet megoldása. De valami azt súgta nekem, hogy sok embernek problémája van vele. Úgy döntöttem, megnézem, hány megjelenítést ad a Yandex kérésenként havonta. Íme, mi történt, nézze meg:

Mit jelent? Ez azt jelenti, hogy havonta körülbelül 70 ezren keresik ezt az információt, és ez a nyár, és mi lesz a tanév során - kétszer annyi kérés lesz. Ez nem meglepő, mert azok a fiúk és lányok, akik már régen végeztek az iskolában, és vizsgára készülnek, keresik ezeket az információkat, és az iskolások is igyekeznek felfrissíteni az emlékezetüket.

Annak ellenére, hogy sok olyan oldal van, amely megmondja, hogyan kell megoldani ezt az egyenletet, úgy döntöttem, hogy én is hozzájárulok és közzéteszem az anyagot. Először is szeretném, ha látogatók érkeznének webhelyemre erre a kérésre; másodszor, más cikkekben, amikor megjelenik a „KU” beszéd, linket adok ehhez a cikkhez; harmadszor, kicsit többet mesélek a megoldásáról, mint azt más oldalakon szokták mondani. Kezdjük el! A cikk tartalma:

A másodfokú egyenlet a következő alakú egyenlet:

ahol az a együtthatók,btetszőleges számokkal pedig a≠0-val.

Az iskolai tanfolyamon az anyagot a következő formában adják meg - az egyenletek három osztályra való felosztása feltételesen történik:

1. Legyen két gyökere.

2. * Csak egy gyökere van.

3. Nincsenek gyökerei. Itt érdemes megjegyezni, hogy nincsenek valódi gyökereik

Hogyan számítják ki a gyökereket? Éppen!

Kiszámoljuk a diszkriminánst. E „szörnyű” szó alatt egy nagyon egyszerű képlet rejlik:

A gyökérképletek a következők:

* Ezeket a képleteket fejből kell tudni.

Azonnal leírhatod és eldöntheted:

Példa:

1. Ha D > 0, akkor az egyenletnek két gyöke van.

2. Ha D = 0, akkor az egyenletnek egy gyöke van.

3. Ha D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Nézzük az egyenletet:

Ebben az esetben, amikor a diszkrimináns nulla, az iskolai kurzus azt mondja, hogy egy gyökér keletkezik, itt kilenc. Így van, így van, de...

Ez az ábrázolás némileg téves. Valójában két gyökere van. Igen, igen, ne lepődj meg, kiderül, hogy két egyenlő gyök, és hogy matematikailag pontosak legyünk, akkor két gyöket kell írni a válaszba:

x 1 = 3 x 2 = 3

De ez így van - egy kis kitérő. Az iskolában leírhatod és elmondhatod, hogy csak egy gyökér van.

Most a következő példa:

Mint tudjuk, a negatív szám gyökét nem vonjuk ki, így ebben az esetben nincs megoldás.

Ez az egész döntési folyamat.

Másodfokú függvény.

Így néz ki a megoldás geometriailag. Ennek megértése rendkívül fontos (a jövőben az egyik cikkben részletesen elemezzük a másodfokú egyenlőtlenség megoldását).

Ez az űrlap függvénye:

ahol x és y változók

a, b, c olyan számok, ahol a ≠ 0

A grafikon egy parabola:

Vagyis kiderül, hogy egy olyan másodfokú egyenlet megoldásával, ahol "y" egyenlő nullával, megtaláljuk a parabola és az x tengellyel való metszéspontjait. Ezek közül kettő lehet (a diszkrimináns pozitív), egy (a diszkrimináns nulla) vagy egy sem (a diszkrimináns negatív). Bővebben a másodfokú függvényről Megnézheti Inna Feldman cikke.

Vegye figyelembe a példákat:

1. példa: Döntse el 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Válasz: x 1 = 8 x 2 = -12

* Azonnal eloszthatja az egyenlet bal és jobb oldalát 2-vel, azaz egyszerűsítheti. A számítások könnyebbek lesznek.

2. példa: Döntsd el x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Azt kaptuk, hogy x 1 \u003d 11 és x 2 \u003d 11

A válaszban megengedhető, hogy x = 11 legyen.

Válasz: x = 11

3. példa: Döntsd el x 2 – 8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

A diszkrimináns negatív, valós számokban nincs megoldás.

Válasz: nincs megoldás

A diszkrimináns negatív. Van megoldás!

Itt az egyenlet megoldásáról lesz szó abban az esetben, ha negatív diszkriminánst kapunk. Tudsz valamit a komplex számokról? Nem részletezem itt, hogy miért és hol keletkeztek, és mi a konkrét szerepük és szükségességük a matematikában, ez egy nagy külön cikk témája.

A komplex szám fogalma.

Egy kis elmélet.

A z komplex szám alakja

z = a + bi

ahol a és b valós számok, ott az i az úgynevezett imaginárius egység.

a+bi EGY SZÁM, nem kiegészítés.

A képzeletbeli egység egyenlő mínusz egy gyökével:

Most nézzük meg az egyenletet:

Szerezzen két konjugált gyökeret.

Hiányos másodfokú egyenlet.

Tekintsünk speciális eseteket, amikor a "b" vagy "c" együttható nulla (vagy mindkettő nulla). Könnyen, megkülönböztetés nélkül megoldhatók.

1. eset. b = 0 együttható.

Az egyenlet a következő alakot ölti:

Alakítsuk át:

Példa:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2. eset. Együttható c = 0.

Az egyenlet a következő alakot ölti:

Átalakítás, faktorizálás:

*A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla.

Példa:

9x2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 vagy x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3. eset: b = 0 és c = 0 együtthatók.

Itt jól látható, hogy az egyenlet megoldása mindig x = 0 lesz.

Az együtthatók hasznos tulajdonságai és mintái.

Vannak olyan tulajdonságok, amelyek nagy együtthatójú egyenletek megoldását teszik lehetővé.

ax 2 + bx+ c=0 egyenlőség

a + b+ c = 0, akkor

— ha az egyenlet együtthatóira ax 2 + bx+ c=0 egyenlőség

a+ =-velb, akkor

Ezek a tulajdonságok segítenek megoldani egy bizonyos típusú egyenletet.

1. példa: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Az együtthatók összege 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, tehát

2. példa: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Egyenlőség a+ =-velb, eszközök

Az együtthatók szabályszerűségei.

1. Ha az ax 2 + bx + c \u003d 0 egyenletben a "b" együttható (a 2 +1), és a "c" együttható számszerűen egyenlő az "a" együtthatóval, akkor a gyökei:

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Példa. Tekintsük a 6x 2 +37x+6 = 0 egyenletet.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ha az ax 2 - bx + c \u003d 0 egyenletben a "b" együttható (a 2 +1), és a "c" együttható számszerűen egyenlő az "a" együtthatóval, akkor a gyökei:

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Példa. Tekintsük a 15x 2 –226x +15 = 0 egyenletet.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ha az egyenletben ax 2 + bx - c = 0 "b" együttható egyenlő (a 2 – 1), és a „c” együttható számszerűen egyenlő az "a" együtthatóval, akkor a gyökerei egyenlők

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Példa. Tekintsük a 17x 2 + 288x - 17 = 0 egyenletet.

x 1 \u003d - 17 x 2 = 1/17.

4. Ha az ax 2 - bx - c \u003d 0 egyenletben a "b" együttható egyenlő (a 2 - 1), és a c együttható számszerűen egyenlő az "a" együtthatóval, akkor a gyökei:

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Példa. Tekintsük a 10x2 - 99x -10 = 0 egyenletet.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta tétele.

Vieta tétele a híres francia matematikusról, Francois Vietáról kapta a nevét. Vieta tételével kifejezhető egy tetszőleges KU gyökeinek összege és szorzata együtthatóival.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Összegezve, a 14-es szám csak 5-öt és 9-et ad. Ezek a gyökerek. Egy bizonyos készség birtokában a bemutatott tétel segítségével számos másodfokú egyenletet azonnal szóban megoldhat.

Vieta tétele ráadásul. kényelmes, mert a másodfokú egyenlet szokásos módon (a diszkriminánson keresztül) történő megoldása után a kapott gyökök ellenőrizhetők. Azt javaslom, hogy ezt mindig csináld.

ÁTVITELI MÓDSZER

Ezzel a módszerrel az "a" együtthatót megszorozzák a szabad taggal, mintha "átviszik" rá, ezért ún. átviteli mód. Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, ha egy egyenlet gyökereit könnyű megtalálni Vieta tételével, és ami a legfontosabb, ha a diszkrimináns egy pontos négyzet.

Ha egy a± b+c≠ 0, akkor az átviteli technikát használják, például:

2x 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => x 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

A (2) egyenlet Vieta-tétele szerint könnyen meghatározható, hogy x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Az egyenlet kapott gyökeit el kell osztani 2-vel (mivel a kettőt x 2-ből „dobták”, így kapjuk

x 1 \u003d 5 x 2 = 0,5.

Mi az indoklás? Nézze meg, mi történik.

Az (1) és (2) egyenlet diszkriminatív elemei a következők:

Ha megnézzük az egyenletek gyökereit, akkor csak különböző nevezőket kapunk, és az eredmény pontosan az x 2 együtthatótól függ:

A második (módosított) gyökerek 2-szer nagyobbak.

Ezért az eredményt elosztjuk 2-vel.

*Ha hármat dobunk, akkor az eredményt elosztjuk 3-mal, és így tovább.

Válasz: x 1 = 5 x 2 = 0,5

négyzetméter ur-ie és a vizsga.

A fontosságáról röviden elmondom - gyorsan és gondolkodás nélkül KELL DÖNTENI, fejből kell tudni a gyökerek és a megkülönböztető képleteit. A USE feladatok részét képező feladatok közül sok másodfokú egyenlet megoldására vezethető vissza (beleértve a geometriaiakat is).

Mit érdemes megjegyezni!

1. Az egyenlet alakja lehet "implicit". Például a következő bejegyzés lehetséges:

15+ 9x 2 - 45x = 0 vagy 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 vagy 15 -5x + 10x 2 = 0.

Szabványos formába kell vinnie (hogy ne keveredjen össze a megoldás során).

2. Ne feledje, hogy x egy ismeretlen érték, és bármely más betűvel jelölhető - t, q, p, h és mások.