Ezzel a videóval az egyenletrendszerekről szóló leckesorozatot kezdem. Ma a lineáris egyenletrendszerek megoldásáról lesz szó összeadás módszere Ez az egyik legegyszerűbb módszer, ugyanakkor az egyik leghatékonyabb.

A hozzáadási módszer három egyszerű lépésből áll:

1. Nézze meg a rendszert, és válasszon egy olyan változót, amelynek minden egyenletében azonos (vagy ellentétes) együtthatója van;
2. Végezze el az egyenletek egymástól algebrai kivonását (ellentétes számokhoz - összeadás), majd hozza létre a hasonló kifejezéseket;
3. Oldja meg a második lépés után kapott új egyenletet!

Ha mindent helyesen csináltunk, akkor a kimeneten egyetlen egyenletet kapunk egy változóval- Nem lesz nehéz megoldani. Ezután már csak a talált gyökér helyettesítése az eredeti rendszerben, és megkapja a végső választ.

A gyakorlatban azonban ez nem ilyen egyszerű. Ennek több oka is van:

• Az egyenletek összeadással történő megoldása azt jelenti, hogy minden sornak azonos/ellentétes együtthatójú változókat kell tartalmaznia. Mi van, ha ez a követelmény nem teljesül?
• Nem mindig, az egyenletek ilyen módon történő összeadása/kivonása után gyönyörű, könnyen megoldható konstrukciót kapunk. Lehetséges valahogy leegyszerűsíteni a számításokat és felgyorsítani a számításokat?

Ha választ szeretne kapni ezekre a kérdésekre, és egyúttal kezelni szeretne néhány további finomságot, amelyeken sok diák „elbukik”, nézze meg oktatóvideómat:

Ezzel a leckével egy előadássorozatot indítunk az egyenletrendszerekről. És kezdjük a legegyszerűbbekkel, mégpedig azokkal, amelyek két egyenletet és két változót tartalmaznak. Mindegyik lineáris lesz.

A Systems egy 7. osztályos tananyag, de ez a lecke azoknak a középiskolásoknak is hasznos lesz, akik szeretnék felfrissíteni tudásukat ebben a témában.

Általában két módszer létezik az ilyen rendszerek megoldására:

1. Hozzáadás módja;
2. Egy változó kifejezésének módszere egy másikkal.

Ma az első módszerrel fogunk foglalkozni - a kivonás és az összeadás módszerét fogjuk használni. Ehhez azonban meg kell értened a következő tényt: ha már van két vagy több egyenlete, bármelyik kettő közül választhat, és összeadhatja őket. Termenként hozzáadódnak, azaz. Az "X"-hez hozzáadódik az "X" és adják a hasonlókat, a "játékokat" a "játékokhoz" - ismét hasonlókat adnak, és ami az egyenlőségjeltől jobbra van, az is összeadódik, és a hasonlók ott is adott.

Az ilyen machinációk eredménye egy új egyenlet lesz, aminek ha vannak gyökerei, akkor minden bizonnyal az eredeti egyenlet gyökerei között lesznek. Tehát az a feladatunk, hogy a kivonást vagy összeadást úgy végezzük, hogy vagy $x$ vagy $y$ eltűnjön.

Hogyan lehet ezt elérni és milyen eszközt kell használni ehhez - erről fogunk most beszélni.

Könnyű feladatok megoldása az összeadás módszerével

Tehát két egyszerű kifejezés példáján tanuljuk meg az összeadás módszerét.

1. feladat

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Vegye figyelembe, hogy $y$ együtthatója $-4$ az első egyenletben, és $+4$ a másodikban. Kölcsönösen ellentétesek, így logikus az a feltételezés, hogy ha összeadjuk őket, akkor a kapott mennyiségben a „játékok” kölcsönösen megsemmisülnek. Hozzáadjuk és megkapjuk:

Megoldjuk a legegyszerűbb konstrukciót:

Remek, megtaláltuk az X-et. Most mi legyen vele? Bármelyik egyenletbe behelyettesíthetjük. Tegyük az elsőbe:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Válasz: $\left(2;-3\right)$.

2. feladat

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Itt teljesen hasonló a helyzet, csak az X-ekkel. Tegyük össze őket:

Megkaptuk a legegyszerűbb lineáris egyenletet, oldjuk meg:

Most keressük meg a $x$-t:

Válasz: $\left(-3;3\right)$.

Fontos pontok

Tehát két egyszerű lineáris egyenletrendszert oldottunk meg az összeadás módszerével. Még egyszer a legfontosabb szempontok:

1. Ha az egyik változóhoz ellentétes együtthatók vannak, akkor az egyenletben szereplő összes változót össze kell adni. Ebben az esetben az egyik megsemmisül.
2. A talált változót behelyettesítjük a rendszer bármely egyenletébe, hogy megtaláljuk a másodikat.
3. A válasz végső feljegyzése többféleképpen is bemutatható. Például így - $x=...,y=...$, vagy pontok koordinátái formájában - $\left(...;... \right)$. A második lehetőség előnyösebb. Fontos megjegyezni, hogy az első koordináta $x$, a második pedig $y$.
4. Az a szabály, hogy a választ pontkoordináták formájában kell megírni, nem mindig érvényes. Például nem használható, ha a változók szerepe nem $x$ és $y$, hanem például $a$ és $b$.

A következő feladatokban a kivonási technikát vesszük figyelembe, ha az együtthatók nem ellentétesek.

Könnyű feladatok megoldása kivonási módszerrel

1. feladat

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Vegye figyelembe, hogy itt nincsenek ellentétes együtthatók, de vannak azonosak. Ezért kivonjuk a második egyenletet az első egyenletből:

Most behelyettesítjük a $x$ értékét a rendszer bármelyik egyenletébe. Először menjünk:

Válasz: $\left(2;5\right)$.

2. feladat

\[\left\( \begin(igazítás)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Az első és a második egyenletben ismét ugyanazt a $5$ együtthatót látjuk $x$ esetén. Ezért logikus azt feltételezni, hogy ki kell vonni a másodikat az első egyenletből:

Kiszámoltunk egy változót. Most keressük meg a másodikat, például úgy, hogy behelyettesítjük a $y$ értékét a második konstrukcióba:

Válasz: $\left(-3;-2 \right)$.

A megoldás árnyalatai

Szóval mit látunk? A séma lényegében nem különbözik a korábbi rendszerek megoldásától. Az egyetlen különbség az, hogy az egyenleteket nem összeadjuk, hanem kivonjuk. Algebrai kivonást végzünk.

Más szóval, amint lát egy rendszert, amely két egyenletből áll, két ismeretlennel, az első dolog, amit meg kell néznie, az együtthatók. Ha bárhol megegyeznek, akkor az egyenleteket kivonjuk, ha pedig ellentétesek, akkor az összeadás módszerét alkalmazzuk. Ez mindig úgy történik, hogy az egyik eltűnjön, és a kivonás után megmaradó végső egyenletben csak egy változó maradjon meg.

Persze ez még nem minden. Most megvizsgáljuk azokat a rendszereket, amelyekben az egyenletek általában inkonzisztensek. Azok. nincsenek bennük olyan változók, amelyek akár azonosak, akár ellentétesek lennének. Ebben az esetben az ilyen rendszerek megoldásához egy további technikát alkalmaznak, nevezetesen az egyes egyenletek szorzását egy speciális együtthatóval. Hogyan lehet megtalálni és általában hogyan kell megoldani az ilyen rendszereket, most erről fogunk beszélni.

Feladatok megoldása együtthatóval való szorzással

1. példa

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Azt látjuk, hogy sem $x$, sem $y$ esetén az együtthatók nem csupán ellentétesek egymással, de általánosságban véve semmilyen módon nem korrelálnak egy másik egyenlettel. Ezek az együtthatók semmiképpen nem tűnnek el, még akkor sem, ha összeadjuk vagy kivonjuk az egyenleteket egymásból. Ezért szükséges a szorzás alkalmazása. Próbáljuk meg megszabadulni a $y$ változótól. Ehhez megszorozzuk az első egyenletet a második egyenletből származó $y$ együtthatójával, a második egyenletet pedig az első egyenletből származó $y$ együtthatójával, az előjel megváltoztatása nélkül. Szorozunk és új rendszert kapunk:

\[\left\( \begin(igazítás)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Nézzük meg: $y$ esetén ellentétes együtthatók. Ilyen helyzetben az összeadás módszerét kell alkalmazni. Tegyük hozzá:

Most meg kell találnunk $y$-t. Ehhez helyettesítse be a $x$ értéket az első kifejezésben:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Válasz: $\left(4;-2\right)$.

2. példa

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Ismétlem, az együtthatók egyik változó esetében sem konzisztensek. Szorozzuk meg a $y$ együtthatókkal:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Az új rendszerünk ekvivalens az előzővel, de a $y$ együtthatók egymással ellentétesek, ezért itt könnyen alkalmazható az összeadás módszere:

Most keresse meg $y$-t úgy, hogy behelyettesíti a $x$-t az első egyenletbe:

Válasz: $\left(-2;1\right)$.

A megoldás árnyalatai

A kulcsfontosságú szabály itt a következő: mindig csak pozitív számokkal szorozzon - ez megóvja Önt a változó jelekkel kapcsolatos ostoba és sértő hibáktól. Általában a megoldási séma meglehetősen egyszerű:

1. Megnézzük a rendszert, és elemezzük az egyes egyenleteket.
2. Ha azt látjuk, hogy sem $y$, sem $x$ esetén nem konzisztensek az együtthatók, pl. sem nem egyenlőek, sem nem ellentétesek, akkor a következőket tesszük: válasszuk ki azt a változót, amelytől megszabadulunk, majd nézzük meg ezekben az egyenletekben az együtthatókat. Ha az első egyenletet megszorozzuk a másodikból származó együtthatóval, és a megfelelő másodikat megszorozzuk az elsőből származó együtthatóval, akkor a végén egy olyan rendszert kapunk, amely teljesen ekvivalens az előzővel, és az együtthatók a $ y$ konzisztens lesz. Minden cselekvésünk vagy transzformációnk csak arra irányul, hogy egyetlen változót kapjunk egy egyenletben.
3. Egy változót találunk.
4. A talált változót behelyettesítjük a rendszer két egyenlete egyikébe, és megkeressük a másodikat.
5. A választ pontok koordinátáiban írjuk fel, ha $x$ és $y$ változóink vannak.

De még egy ilyen egyszerű algoritmusnak is megvannak a maga finomságai, például az $x$ vagy $y$ együtthatói lehetnek törtek és egyéb "csúnya" számok. Ezeket az eseteket most külön fogjuk megvizsgálni, mert bennük kissé eltérő módon lehet eljárni, mint a szokásos algoritmus szerint.

Feladatok megoldása törtszámokkal

1. példa

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Először is vegye figyelembe, hogy a második egyenlet törteket tartalmaz. De vegye figyelembe, hogy 4 dollárt eloszthat 0,8 dollárral. 5 dollárt kapunk. Szorozzuk meg a második egyenletet 5$-ral:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Az egyenleteket kivonjuk egymástól:

$n$ találtunk, most kiszámoljuk a $m$-t:

Válasz: $n=-4;m=5$

2. példa

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ jobb.\]

Az előző rendszerhez hasonlóan itt is vannak törtegyütthatók, azonban egyik változónál sem illenek egymásba az együtthatók egész számú alkalommal. Ezért a szabványos algoritmust használjuk. Szabadulj meg a $p$-tól:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Használjuk a kivonás módszerét:

Keressük meg a $p$-t úgy, hogy a $k$-t behelyettesítjük a második konstrukcióba:

Válasz: $p=-4;k=-2$.

A megoldás árnyalatai

Ennyi az optimalizálás. Az első egyenletben egyáltalán nem szoroztunk semmivel, a második egyenletet pedig 5 dollárral. Ennek eredményeként egy konzisztens, sőt ugyanazt az egyenletet kaptuk az első változóra. A második rendszerben a standard algoritmus szerint jártunk el.

De hogyan lehet megtalálni azokat a számokat, amelyekkel meg kell szorozni az egyenleteket? Hiszen ha törtszámokkal szorozunk, új törteket kapunk. Ezért a törteket meg kell szorozni egy olyan számmal, amely új egész számot adna, majd ezt követően a változókat a szokásos algoritmus szerint együtt kell szorozni.

Végezetül szeretném felhívni a figyelmet a válaszrekord formátumára. Ahogy már mondtam, mivel itt nem $x$ és $y$ van, hanem más értékek, ezért az űrlap nem szabványos jelölését használjuk:

Összetett egyenletrendszerek megoldása

A mai oktatóvideó utolsó simításaként nézzünk meg néhány igazán összetett rendszert. Bonyolultságuk abban áll, hogy mind a bal, mind a jobb oldalon tartalmaznak majd változókat. Ezért ezek megoldásához előfeldolgozást kell alkalmaznunk.

Rendszer #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \jobbra )-1=5\bal(2x-1 \jobbra)+8 \\\vége(igazítás) \jobbra.\]

Minden egyenletnek van egy bizonyos összetettsége. Ezért minden kifejezésnél tegyünk úgy, mint egy normál lineáris konstrukcióval.

Összességében megkapjuk a végső rendszert, amely egyenértékű az eredetivel:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Nézzük meg a $y$ együtthatóit: $3$ kétszer belefér $6$-ba, ezért az első egyenletet megszorozzuk $2$-val:

\[\left\( \begin(igazítás)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

A $y$ együtthatói egyenlőek, ezért az első egyenletből kivonjuk a másodikat: $$

Most keressük meg a $y$-t:

Válasz: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

2. rendszer

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Alakítsuk át az első kifejezést:

Foglalkozzunk a másodikkal:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Összességében a kezdeti rendszerünk a következő formában lesz:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Ha megnézzük az $a$ együtthatóit, azt látjuk, hogy az első egyenletet meg kell szorozni $2$-val:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Az első konstrukcióból kivonjuk a másodikat:

Most keresse meg a $a$-t:

Válasz: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Ez minden. Remélem, ez az oktatóvideó segít megérteni ezt a nehéz témát, nevezetesen az egyszerű lineáris egyenletrendszerek megoldását. A továbbiakban még sok tanulság lesz ebben a témában: bonyolultabb példákat elemezünk, ahol több lesz a változó, és maguk az egyenletek már nemlineárisak. Hamarosan találkozunk!

Az egyenletrendszereket széles körben alkalmazzák a gazdasági iparban különféle folyamatok matematikai modellezésére. Például termelésirányítási és tervezési, logisztikai útvonalak (szállítási probléma) vagy berendezések elhelyezési problémáinak megoldásakor.

Az egyenletrendszereket nemcsak a matematika területén alkalmazzák, hanem a fizikában, a kémiában és a biológiában is, a populációméret meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.

A lineáris egyenletrendszer két vagy több többváltozós egyenlet kifejezése, amelyekre közös megoldást kell találni. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.

Lineáris egyenlet

Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések az ismeretlenek, melyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Az egyenlet megoldása a grafikonja ábrázolásával egy egyenesnek fog kinézni, amelynek minden pontja a polinom megoldása.

Lineáris egyenletrendszerek típusai

A legegyszerűbbek a két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek példái.

F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.

Egyenletrendszer megoldása - ez azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyekre a rendszer valódi egyenlőséggé válik, vagy annak megállapítását, hogy nincs megfelelő x és y értéke.

A pontkoordinátákként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.

Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.

A homogén lineáris egyenletrendszerek olyan rendszerek, amelyek jobb oldala nullával egyenlő. Ha az "egyenlőség" jel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer nem homogén.

A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.

A rendszerekkel szembesülve az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőlegesen sok lehet belőlük.

Egyszerű és összetett módszerek egyenletrendszerek megoldására

Az ilyen rendszerek megoldására nincs általános analitikus módszer, minden módszer numerikus megoldásokon alapul. Az iskolai matematika tantárgy részletesen ismerteti a permutációt, az algebrai összeadást, a helyettesítést, valamint a grafikus és mátrixos módszert, a Gauss-módszerrel történő megoldást.

A megoldási módszerek tanításának fő feladata a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és cselekvéseit, hanem megértsük egy adott módszer alkalmazásának alapelveit.

Az általános nevelési iskolai program 7. osztályának lineáris egyenletrendszer-példáinak megoldása meglehetősen egyszerű, és nagyon részletesen el van magyarázva. Bármely matematikai tankönyvben erre a részre kellő figyelmet fordítanak. A lineáris egyenletrendszerek példáinak Gauss és Cramer módszerével történő megoldását részletesebben tanulmányozzák a felsőoktatási intézmények első kurzusai.

Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel

A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikon keresztül fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egyetlen változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően

Adjunk példát egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre helyettesítési módszerrel:

Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . A példa megoldása nem okoz nehézséget, és lehetővé teszi az Y érték megszerzését Az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.

Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek bonyolultak lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes lesz a további számításokhoz. Ha 3-nál több ismeretlen van a rendszerben, a helyettesítési megoldás sem praktikus.

Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:

Megoldás algebrai összeadással

Amikor összeadásos módszerrel keresünk megoldást a rendszerekre, akkor az egyenletek tagonkénti összeadását és szorzását különböző számokkal hajtjuk végre. A matematikai műveletek végső célja egy változós egyenlet.

A módszer alkalmazása gyakorlást és megfigyelést igényel. Nem könnyű egy lineáris egyenletrendszert az összeadás módszerével megoldani, ha a változók száma 3 vagy több. Az algebrai összeadás akkor hasznos, ha az egyenletek törteket és decimális számokat tartalmaznak.

Megoldás műveleti algoritmusa:

1. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát valamilyen számmal. Az aritmetikai művelet eredményeként a változó egyik együtthatójának 1-gyel kell egyenlővé válnia.
2. Adja hozzá a kapott kifejezést kifejezésenként, és keresse meg az egyik ismeretlent.
3. Helyettesítse be a kapott értéket a rendszer 2. egyenletébe, és keresse meg a fennmaradó változót.

Megoldási módszer egy új változó bevezetésével

Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszernek legfeljebb két egyenletre kell megoldást találnia, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több kettőnél.

A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a beírt ismeretlenre vonatkozóan oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.

A példából látható, hogy egy új t változó bevezetésével a rendszer 1. egyenletét le lehetett redukálni standard négyzetes trinomiálisra. A polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhatja meg.

Meg kell találni a diszkrimináns értékét a jól ismert képlet segítségével: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom szorzói. Az adott példában a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor két megoldás létezik: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor csak egy megoldás van: x= -b / 2*a.

A kapott rendszerekre a megoldást az összeadás módszerével találjuk meg.

Vizuális módszer rendszerek megoldására

Alkalmas 3 egyenletet tartalmazó rendszerekhez. A módszer abból áll, hogy a rendszerben szereplő minden egyenlet grafikonját a koordinátatengelyen ábrázoljuk. A görbék metszéspontjainak koordinátái a rendszer általános megoldása lesz.

A grafikus módszernek számos árnyalata van. Vegyünk néhány példát a lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.

Amint a példából látható, minden sorhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk ki: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon jelöltük, és egy vonallal kötöttük össze.

A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.

A következő példában meg kell találni a lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.

Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.

A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Nem szabad elfelejteni, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy a rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükség van egy gráf felépítésére.

Mátrix és fajtái

A mátrixok egy lineáris egyenletrendszer rövid leírására szolgálnak. A mátrix egy speciális típusú táblázat, amely számokkal van kitöltve. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.

A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy egyoszlopos mátrix, amelynek végtelen számú sora van. Az egyik átló mentén egységeket és más nullaelemeket tartalmazó mátrixot azonosságnak nevezünk.

Az inverz mátrix egy olyan mátrix, amellyel megszorozva az eredeti egységgé alakul, ilyen mátrix csak az eredeti négyzethez létezik.

Egyenletrendszer mátrixmá alakításának szabályai

Az egyenletrendszerek esetében az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait a mátrix számaiként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.

Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem egyenlő nullával. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.

A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.

Egy mátrix szorzásakor az összes mátrixelemet egymás után megszorozzuk egy számmal.

Az inverz mátrix megtalálásának lehetőségei

Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 az inverz mátrix és |K| - mátrix meghatározó. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.

A determináns könnyen kiszámítható egy kettő-kettő mátrixra, csak az elemeket átlósan kell megszorozni egymással. A "háromszor három" opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy ne feledje, hogy minden sorból és minden oszlopból ki kell venni egy elemet, hogy az elemek oszlop- és sorszámai ne ismétlődjenek a szorzatban.

Lineáris egyenletrendszerek példáinak megoldása mátrix módszerrel

A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi a nehézkes bejegyzések csökkentését nagyszámú változót és egyenletet tartalmazó rendszerek megoldása során.

A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n a változók, és b n a szabad tagok.

Rendszerek megoldása Gauss-módszerrel

A felsőbb matematikában a Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer megoldási módszernek nevezik. Ezekkel a módszerekkel nagyszámú lineáris egyenletet tartalmazó rendszerek változóit kereshetjük meg.

A Gauss-módszer nagyon hasonlít a szubsztitúciós és algebrai összeadás megoldásokhoz, de szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz alakúra hozza. Algebrai transzformációkkal és behelyettesítésekkel egy változó értékét megtaláljuk a rendszer egyik egyenletében. A második egyenlet egy kifejezés 2 ismeretlennel, és 3 és 4 - 3, illetve 4 változóval.

Miután a rendszert a leírt formába hoztuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.

A 7. osztályos iskolai tankönyvekben a Gauss-féle megoldás példája a következő:

Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.

A szövegben említett 5. tétel azt mondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.

A Gauss-módszer nehezen érthető a középiskolások számára, de az egyik legérdekesebb módja a matematika és fizika osztályokon az emelt szintű képzésben tanuló gyerekek találékonyságának fejlesztésének.

A rögzítési számítások megkönnyítése érdekében a következőket szokás tenni:

Az egyenletegyütthatókat és a szabad tagokat mátrix formájában írjuk fel, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja az egyenlet bal oldalát a jobb oldaltól. A római számok a rendszer egyenletek számát jelölik.

Először felírják a mátrixot, amellyel dolgozni kell, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és folytassa a szükséges algebrai műveletek végrehajtását az eredmény eléréséig.

Ennek eredményeként olyan mátrixot kell kapni, amelyben az egyik átló 1, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egyetlen formára redukálódik. Nem szabad megfeledkeznünk az egyenlet mindkét oldalának számozásáról sem.

Ez a jelölés kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.

Bármely megoldási mód ingyenes alkalmazása körültekintést és bizonyos tapasztalatot igényel. Nem minden módszert alkalmaznak. A megoldások megtalálásának bizonyos módjai előnyösebbek az emberi tevékenység egy bizonyos területén, míg mások tanulási céllal léteznek.

Algebrai összeadás módszere

Két ismeretlennel rendelkező egyenletrendszert többféleképpen is meg lehet oldani - grafikus módszerrel vagy változómódosítási módszerrel.

Ebben a leckében a rendszerek megoldásának egy másik módszerével ismerkedünk meg, amely biztosan tetszeni fog - ez az algebrai összeadás módszere.

És honnan jött az ötlet – beletenni valamit a rendszerekbe? A rendszerek megoldásánál a fő probléma a két változó jelenléte, mivel két változóval nem tudunk egyenleteket megoldani. Tehát valamelyiket valamilyen jogi úton ki kell zárni. És az ilyen legitim módszerek a matematikai szabályok és tulajdonságok.

Az egyik ilyen tulajdonság így hangzik: az ellentétes számok összege nulla. Ez azt jelenti, hogy ha az egyik változóra ellentétes együtthatók vannak, akkor ezek összege nulla lesz, és ezt a változót ki tudjuk zárni az egyenletből. Nyilvánvaló, hogy nincs jogunk csak a szükséges változókkal rendelkező kifejezéseket hozzáadni. Össze kell adni az egyenleteket egészben, azaz. külön adjon hozzá hasonló kifejezéseket a bal oldalon, majd a jobb oldalon. Ennek eredményeként egy új egyenletet kapunk, amely csak egy változót tartalmaz. Nézzünk konkrét példákat.

Látjuk, hogy az első egyenletben van egy y változó, a másodikban pedig az ellentétes szám y. Tehát ez az egyenlet az összeadás módszerével megoldható.

Az egyik egyenletet úgy hagyjuk, ahogy van. Bármelyik, amelyik a legjobban tetszik.

De a második egyenletet úgy kapjuk meg, hogy ezt a két egyenletet tagonként összeadjuk. Azok. Adjon hozzá 3x-ot 2-hez, y-t adjon -y-hoz, 8-at 7-hez.

Egyenletrendszert kapunk

Ennek a rendszernek a második egyenlete egy egyszerű egyenlet egy változóval. Ebből azt találjuk, hogy x \u003d 3. Az első egyenletben a talált értéket behelyettesítve azt kapjuk, hogy y \u003d -1.

Válasz: (3; - 1).

Tervezési minta:

Oldja meg az egyenletrendszert algebrai összeadással!

Ebben a rendszerben nincsenek ellentétes együtthatójú változók. De tudjuk, hogy az egyenlet mindkét oldalát meg lehet szorozni ugyanazzal a számmal. Szorozzuk meg a rendszer első egyenletét 2-vel.

Ekkor az első egyenlet a következő alakot veszi fel:

Most látjuk, hogy az x változóval ellentétes együtthatók vannak. Tehát ugyanúgy járunk el, mint az első példában: az egyik egyenletet változatlanul hagyjuk. Például 2y + 2x \u003d 10. És a másodikat összeadva kapjuk.

Most van egy egyenletrendszerünk:

Könnyen megtaláljuk a második egyenletből y = 1, majd az első egyenletből x = 4.

Tervezési minta:

Összefoglaljuk:

Megtanultuk, hogyan kell megoldani két lineáris egyenletből álló rendszereket két ismeretlennel az algebrai összeadás módszerével. Így ma már három fő módszert ismerünk az ilyen rendszerek megoldására: a grafikus módszert, a változómódosítási módszert és az összeadás módszerét. Szinte minden rendszer megoldható ezekkel a módszerekkel. Bonyolultabb esetekben e technikák kombinációját alkalmazzák.

A felhasznált irodalom listája:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. évfolyam 2 részben, 1. rész, Tankönyv oktatási intézményeknek / A.G. Mordkovich. - 10. kiadás, átdolgozott - Moszkva, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. évfolyam 2 részben, 2. rész, Feladatfüzet oktatási intézményeknek / [A.G. Mordkovich és mások]; szerkesztette: A.G. Mordkovich - 10. kiadás, átdolgozott - Moszkva, Mnemosyne, 2007.
3. NEKI. Tulchinskaya, algebra 7. osztály. Blitz felmérés: útmutató oktatási intézmények hallgatói számára, 4. kiadás, átdolgozva és kiegészítve, Moszkva, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. osztály. Tematikus tesztfeladatok új formában oktatási intézmények diákjai számára, szerkesztette A.G. Mordkovich, Moszkva, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7. osztály. Önálló munka oktatási intézmények diákjai számára, szerkesztette A.G. Mordkovich - 6. kiadás, sztereotip, Moszkva, "Mnemosyne", 2010.

Az összeadás módszerével a rendszer egyenleteit tagonként összeadjuk, míg 1 vagy mindkét (több) egyenlet tetszőleges számmal megszorozható. Ennek eredményeként egy ekvivalens SLE-hez jutnak, ahol az egyik egyenletnek csak egy változója van.

A rendszer megoldására tagonkénti összeadás (kivonás) kövesse a következő lépéseket:

1. Kiválasztunk egy változót, amelyre ugyanazokat az együtthatókat készítjük.

2. Most össze kell adni vagy ki kell vonni az egyenleteket, és kapni kell egy egyenletet egy változóval.

Rendszermegoldás a függvény grafikonjainak metszéspontjai.

Nézzünk példákat.

1. példa

Adott rendszer:

A rendszer elemzése után látható, hogy a változó együtthatói abszolút értékben egyenlőek, előjelben pedig különbözőek (-1 és 1). Ebben az esetben az egyenletek könnyen összeadhatók tagonként:

A pirossal bekarikázott cselekvéseket az elmében hajtják végre.

A termikus összeadás eredménye a változó eltűnése volt y. Valójában ez és ez a módszer jelentése - megszabadulni az első változótól.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Rendszerként a megoldás így néz ki:

Válasz: x = -4 , y = 1.

2. példa

Adott rendszer:

Ebben a példában használhatja az "iskola" módszert, de van egy elég nagy mínusza - ha bármely egyenletből bármilyen változót kifejez, akkor a megoldást közönséges törtekben kapja. A törtek megoldása pedig elegendő időt vesz igénybe, és megnő a hibák elkövetésének valószínűsége.

Ezért jobb az egyenletek tagonkénti összeadását (kivonását) használni. Elemezzük a megfelelő változók együtthatóit:

Keress egy számot, amivel osztható 3 és tovább 4 , miközben szükséges, hogy ez a szám a lehető legkisebb legyen. Ez legkisebb közös többszörös. Ha nehéz megtalálni a megfelelő számot, akkor megszorozhatja az együtthatókat:.

Következő lépés:

Szorozzuk meg az 1. egyenletet -vel,

Szorozzuk meg a 3. egyenletet -vel,

Ezzel a matematikai programmal két változós lineáris egyenletrendszert lehet megoldani helyettesítési és összeadásos módszerrel.

A program nem csak a problémára ad választ, hanem részletes megoldást is ad a megoldási lépések magyarázatával kétféle módon: helyettesítési és összeadási módszerrel.

Ez a program hasznos lehet középiskolásoknak a tesztekre, vizsgákra való felkészülésben, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzéskor, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának irányításában. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a matematikai vagy algebrai házi feladatot szeretné a lehető leggyorsabban elvégezni? Ebben az esetben részletes megoldással is használhatja programjainkat.

Ezáltal saját és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a megoldandó feladatok területén az oktatás színvonala emelkedik.

Az egyenletek bevitelének szabályai

Bármely latin betű működhet változóként.
Például: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) stb.

Egyenletek beírásakor zárójeleket használhat. Ebben az esetben az egyenleteket először leegyszerűsítjük. Az egyszerűsítések utáni egyenleteknek lineárisnak kell lenniük, azaz. az ax+by+c=0 formájú elemek sorrendjének pontosságával.
Például: 6x+1 = 5(x+y)+2

Az egyenletekben nem csak egész számokat, hanem törtszámokat is használhat tizedes és közönséges törtek formájában.

A tizedes törtek bevitelének szabályai.
A tizedes tört egész és tört részeit ponttal vagy vesszővel lehet elválasztani.
Például: 2,1n + 3,5m = 55

A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.
A nevező nem lehet negatív.
Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
Az egész részt egy és jel választja el a törttől: &

Példák.
-1 és 2/3 év + 5/3x = 55
2,1 p + 55 = -2/7 (3,5 p - 2 és 1/8q)

Egyenletrendszer megoldása

Azt találtuk, hogy egyes, a feladat megoldásához szükséges szkriptek nem töltődnek be, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyezni kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mert Sokan vannak, akik szeretnék megoldani a problémát, kérése sorban áll.
Néhány másodperc múlva az alábbiakban megjelenik a megoldás.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor a Visszajelzési űrlapon írhatsz róla.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása. Helyettesítő módszer

A műveletsor a lineáris egyenletrendszer helyettesítési módszerrel történő megoldása során:
1) a rendszer valamely egyenletéből egy változót egy másikkal kifejezve;
2) e változó helyett helyettesítse be a kapott kifejezést a rendszer egy másik egyenletébe;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Fejezzük ki az y első egyenletből x-ig: y = 7-3x. Az y helyett 7-3x kifejezést behelyettesítve a második egyenletbe, a rendszert kapjuk:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Könnyen kimutatható, hogy az első és a második rendszerben ugyanaz a megoldás. A második rendszerben a második egyenlet csak egy változót tartalmaz. Oldjuk meg ezt az egyenletet:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Jobbra -5x+14-6x=3 \Jobbra -11x=-11 \Jobbra x=1 $$

Az y=7-3x egyenletbe x helyett az 1-et behelyettesítve megkapjuk az y megfelelő értékét:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pár (1;4) - a rendszer megoldása

A két változóból álló egyenletrendszereket, amelyeknek ugyanaz a megoldása, nevezzük egyenértékű. A megoldásokkal nem rendelkező rendszerek is egyenértékűnek minősülnek.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása összeadással

Fontolja meg a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy másik módját - az összeadás módszerét. A rendszerek ilyen módon történő megoldása során, valamint a helyettesítési módszerrel történő megoldáskor egy adott rendszerről egy másik, vele ekvivalens rendszerre lépünk át, amelyben az egyik egyenlet csak egy változót tartalmaz.

A műveletek sorrendje lineáris egyenletrendszer összeadási módszerrel történő megoldása során:
1) szorozzuk meg a rendszer egyenleteit tagonként, úgy választva meg a tényezőket, hogy az egyik változó együtthatói ellentétes számok legyenek;
2) tagonként adja hozzá a rendszer egyenleteinek bal és jobb oldali részét;
3) oldja meg a kapott egyenletet egy változóval;
4) keresse meg a második változó megfelelő értékét.

Példa. Oldjuk meg az egyenletrendszert:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Ennek a rendszernek az egyenleteiben az y együtthatói ellentétes számok. Ha tagonként összeadjuk az egyenlet bal és jobb oldali részét, egy 3x=33 változós egyenletet kapunk. Cseréljük le a rendszer egyik egyenletét, például az elsőt a 3x=33 egyenlettel. Vegyük a rendszert
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

A 3x=33 egyenletből azt kapjuk, hogy x=11. Ezt az x értéket behelyettesítve az \(x-3y=38 \) egyenletbe, egy y változóval rendelkező egyenletet kapunk: \(11-3y=38 \). Oldjuk meg ezt az egyenletet:
\(-3y=27 \Jobbra y=-9 \)

Így az egyenletrendszer megoldását úgy találtuk meg, hogy összeadtuk: \(x=11; y=-9 \) vagy \((11; -9) \)

Kihasználva azt a tényt, hogy a rendszer egyenleteiben y együtthatói ellentétes számok, megoldását egy ekvivalens rendszer megoldására redukáltuk (az eredeti szimmema egyenleteinek mindkét részét összegezve), amelyben az egyik az egyenletek közül csak egy változót tartalmaz.

Könyvek (tankönyvek) Egységes államvizsga és OGE tesztek absztraktjai online Játékok, rejtvények Funkciók grafikonjai Az orosz nyelv helyesírási szótára Ifjúsági szleng szótára Orosz iskolák katalógusa Oroszországi középiskolák katalógusa Orosz egyetemek katalógusa Feladatok listája