Egy rögzített tengelyhez viszonyítva ("axiális tehetetlenségi nyomaték") értéknek nevezzük J a egyenlő az összes tömegek szorzatának összegével n a rendszer anyagi pontjai a tengelytől való távolságuk négyzeteibe:

• m i- súly én-adik pont,
• r i- távolság tőle én-adik pont a tengelyhez.

Tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték test J a a test tehetetlenségének mértéke egy tengely körüli forgó mozgásban, mint ahogy a test tömege a transzlációs mozgás tehetetlenségének mértéke.

Ha a test homogén, azaz sűrűsége mindenhol azonos, akkor

Huygens-Steiner tétel

Tehetetlenségi nyomaték Egy szilárd test bármely tengelyhez viszonyított értéke nemcsak a test tömegétől, alakjától és méretétől függ, hanem a test e tengelyhez viszonyított helyzetétől is. A Steiner-tétel (Huygens-Steiner-tétel) szerint tehetetlenségi nyomaték test J tetszőleges tengelyhez viszonyítva egyenlő az összeggel tehetetlenségi nyomaték ezt a testet Jc a vizsgált tengellyel párhuzamos test tömegközéppontján átmenő tengelyhez és a testtömeg szorzatához képest m négyzettávolságonként d tengelyek között:

hol van a test össztömege.

Például egy rúd tehetetlenségi nyomatéka a végén áthaladó tengely körül:

Egyes testek tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai

Test	Leírás	Tengelyhelyzet a	Tehetetlenségi nyomaték J a
	Anyag tömegpontja m	Távolról r pontból, rögzített
	Üreges vékonyfalú henger vagy sugarú gyűrű rés a tömegek m	Henger tengelye
	Tömör henger vagy tárcsa sugara rés a tömegek m	Henger tengelye
	Üreges vastag falú tömeghenger m külső sugárral r2és belső sugár r1	Henger tengelye
	Tömör hengerhossz l, sugár rés a tömegek m
	Üreges vékonyfalú henger (gyűrű) hossza l, sugár rés a tömegek m	A tengely merőleges a hengerre, és áthalad a tömegközéppontján
	Egyenes vékony rúdhossz lés a tömegek m	A tengely merőleges a rúdra, és átmegy a tömegközéppontján
	Egyenes vékony rúdhossz lés a tömegek m	A tengely merőleges a rúdra, és áthalad a végén
	Vékonyfalú sugarú gömb rés a tömegek m	A tengely a gömb közepén halad át
	labda sugara rés a tömegek m	A tengely áthalad a labda közepén
	Kúp sugara rés a tömegek m	kúptengely
	Egyenlőszárú háromszög magassággal h, alap aés súlya m	A tengely merőleges a háromszög síkjára, és átmegy a csúcson
	Derékszögű háromszög oldallal aés súlya m	A tengely merőleges a háromszög síkjára és átmegy a tömegközépponton
	Négyzet oldallal aés súlya m	A tengely merőleges a négyzet síkjára és átmegy a tömegközépponton

Képletek származtatása

Vékonyfalú henger (gyűrű, karika)

Képlet levezetése

Egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az alkotórészei tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Vékony falú henger tömeges elemekre osztása dmés a tehetetlenségi pillanatok DJ i. Akkor

Mivel a vékony falú henger minden eleme azonos távolságra van a forgástengelytől, az (1) képletet a következő alakra alakítjuk

Vastag falú henger (gyűrű, karika)

Képlet levezetése

Legyen egy homogén külső sugarú gyűrű R, belső sugár R 1, vastag hés sűrűsége ρ. Vastagságú vékony karikákra törjük dr. Vékony sugarú gyűrű tömege és tehetetlenségi nyomatéka r lesz

A vastag gyűrű tehetetlenségi nyomatékát integrálnak találjuk

Mivel a gyűrű térfogata és tömege egyenlő

megkapjuk a gyűrű tehetetlenségi nyomatékának végső képletét

Homogén tárcsa (tömör henger)

Képlet levezetése

Ha a hengert (korongot) nulla belső sugarú gyűrűnek tekintjük ( R 1 = 0), megkapjuk a henger (tárcsa) tehetetlenségi nyomatékának képletét:

tömör kúp

Képlet levezetése

A kúpot vékony vastagságú korongokra osztjuk dh, merőleges a kúp tengelyére. Az ilyen lemez sugara az

ahol R a kúp alapjának sugara, H a kúp magassága, h a kúp teteje és a korong közötti távolság. Egy ilyen korong tömege és tehetetlenségi nyomatéka lesz

Integrációt kapunk

Masszív egységes labda

Képlet levezetése

Osszuk a labdát vékony korongokra dh, merőleges a forgástengelyre. Egy ilyen korong sugara magasságban helyezkedik el h a gömb középpontjából a képlet alapján találjuk meg

Egy ilyen korong tömege és tehetetlenségi nyomatéka lesz

A gömb tehetetlenségi nyomatékát a következő integrálással határozzuk meg:

vékony falú gömb

Képlet levezetése

A levezetéshez egy homogén sugarú golyó tehetetlenségi nyomatékának képletét használjuk R:

Számítsuk ki, mennyit fog változni a golyó tehetetlenségi nyomatéka, ha ρ állandó sűrűség mellett a sugara végtelenül kicsivel nő dR.

Vékony rúd (a tengelye átmegy a közepén)

Képlet levezetése

Osszuk fel a rudat kis hosszúságú darabokra dr. Az ilyen töredék tömege és tehetetlenségi nyomatéka az

Integrációt kapunk

Vékony rúd (a tengely átmegy a végén)

Képlet levezetése

Amikor a forgástengelyt a rúd közepétől a vége felé mozgatja, a rúd súlypontja a tengelyhez képest egy távolságot elmozdul l/2. A Steiner-tétel szerint az új tehetetlenségi nyomaték egyenlő lesz

Bolygók és műholdaik dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatékai

A bolygók és műholdaik belső szerkezetének vizsgálata szempontjából nagy jelentőséggel bírnak dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatékaik. Egy sugarú test dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka rés a tömegek m egyenlő a forgástengely körüli tehetetlenségi nyomatékának és az azonos tömegű anyagi pont tehetetlenségi nyomatékának arányával egy bizonyos távolságban elhelyezkedő rögzített forgástengelyhez képest r(egyenlő úr 2). Ez az érték a tömeg mélységbeli eloszlását tükrözi. A bolygókon és műholdakon történő mérésének egyik módszere az adott bolygó vagy műhold körül repülő AMS által továbbított rádiójel Doppler-eltolódásának meghatározása. Egy vékony falú gömb esetében a dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomaték 2/3 (~0,67), egy homogén golyó esetében - 0,4, és általában minél kisebb, annál nagyobb a test tömege a középpontjában. Például a Hold dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka közel 0,4 (0,391), ezért feltételezzük, hogy viszonylag homogén, sűrűsége alig változik a mélységgel. A Föld dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka kisebb, mint egy homogén golyóé (0,335), ami egy érv a benne lévő sűrű mag létezése mellett.

centrifugális tehetetlenségi nyomaték

Egy test centrifugális tehetetlenségi nyomatékai a derékszögű derékszögű koordinátarendszer tengelyeihez képest a következő mennyiségek:

ahol x, yés z- a test egy kis elemének koordinátái a térfogattal dV, sűrűség ρ és súlya dm.

Az OX tengelyt ún a test fő tehetetlenségi tengelye ha a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok Jxyés Jxz egyidejűleg nullák. A test minden pontján három fő tehetetlenségi tengely húzható át. Ezek a tengelyek egymásra merőlegesek. A test tehetetlenségi pillanatai egy tetszőleges pontban megrajzolt három fő tehetetlenségi tengelyhez képest O testeket hívnak a test fő tehetetlenségi nyomatékai.

A test tömegközéppontján áthaladó fő tehetetlenségi tengelyeket ún a test fő központi tehetetlenségi tengelyei, és ezek a tengelyek tehetetlenségi nyomatékai annak fő központi tehetetlenségi nyomatékok. Egy homogén test szimmetriatengelye mindig az egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.

Geometriai tehetetlenségi nyomaték

Geometriai tehetetlenségi nyomaték - a nézet metszetének geometriai jellemzője

ahol a központi tengely és bármely elemi terület távolsága a semleges tengelyhez képest.

A geometriai tehetetlenségi nyomaték nem függ össze az anyag mozgásával, csak a szelvény merevségi fokát tükrözi. A forgási sugarat, a nyaláb eltérítését, a gerendák, oszlopok szakaszválasztását stb.

Az SI mértékegysége m 4. Az építési számításokban, az irodalomban és a hengerelt fém választékban, különösen a 4 cm-ben van feltüntetve.

Ebből fejeződik ki a szakasz modulus:

Központi tehetetlenségi nyomaték

Központi tehetetlenségi nyomaték(vagy az O pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték) a mennyiség

A központi tehetetlenségi nyomaték a fő tengelyirányú vagy centrifugális tehetetlenségi nyomatékokkal fejezhető ki: .

Tehetetlenségi tenzor és tehetetlenségi ellipszoid

A test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton átmenő tetszőleges tengely körül, amelynek iránya egységvektorral adott, másodfokú (bilineáris) alakban ábrázolható:

hol van a tehetetlenségi tenzor. A tehetetlenségi tenzormátrix szimmetrikus, méretei vannak, és centrifugális nyomatékkomponensekből áll:

A megfelelő koordinátarendszer kiválasztásával a tehetetlenségi tenzor mátrixa átlós alakra redukálható. Ehhez meg kell oldania a tenzormátrix sajátérték-problémáját:
,
ahol az ortogonális átmenet mátrixa a tehetetlenségi tenzor saját bázisához. A koordinátatengelyek saját alapjukban a tehetetlenségi tenzor főtengelyei mentén vannak irányítva, és egybeesnek a tehetetlenségi tenzorellipszoid fő féltengelyeivel is. A nagyságok a fő tehetetlenségi nyomatékok. Az (1) kifejezés a saját koordinátarendszerében a következő alakú:

honnan származik az egyenlet

Most fontolja meg a problémát a tehetetlenségi nyomaték meghatározása különféle testek. Tábornok képlet a tehetetlenségi nyomaték megállapítására objektumnak a z tengelyhez viszonyított alakja van

Más szóval, össze kell adni az összes tömeget, mindegyiket meg kell szorozni a tengelytől való távolságának négyzetével (x 2 i + y 2 i). Megjegyzendő, hogy ez még egy háromdimenziós testre is igaz, még akkor is, ha a távolság ilyen "kétdimenziós megjelenésű". A legtöbb esetben azonban a kétdimenziós testekre szorítkozunk.

Egyszerű példaként vegyünk egy rudat, amely a végén áthaladó és rá merőleges tengely körül forog (19.3. ábra). Most össze kell adnunk az összes tömeget megszorozva az x távolság négyzetével (ebben az esetben minden y nulla). Összegzésen természetesen x 2 integrálját értem, szorozva a tömeg "elemeivel". Ha a rudat dx hosszúságú darabokra osztjuk, akkor a megfelelő tömegelem arányos lesz dx-szel, és ha dx lenne a teljes rúd hossza, akkor a tömege egyenlő lenne M-vel.

A tehetetlenségi nyomaték dimenziója mindig egyenlő a tömeg szorzata a hossz négyzetével, így az egyetlen lényeges érték, amit számítottunk, az 1/3 tényező.

És mekkora lesz az I tehetetlenségi nyomaték, ha a forgástengely átmegy a rúd közepén? Megtalálásához ismét az integrált kell vennünk, de már a -1/2L és +1/2L közötti tartományban. Vegye figyelembe azonban ennek az esetnek az egyik jellemzőjét. Egy ilyen rúd, amelynek tengelye áthalad a közepén, két rúdnak tekinthető, amelyeknek egy tengelye halad át a végén, mindegyik M/2 tömegű és L/2 hosszúságú. Két ilyen rúd tehetetlenségi nyomatéka egyenlő egymással, és a (19.5) képlettel számítjuk ki. Ezért a teljes rúd tehetetlenségi nyomatéka az

Így a rudat sokkal könnyebb a közepén megcsavarni, mint a végén.

Természetesen folytathatjuk a számunkra érdekes testek tehetetlenségi nyomatékainak számítását. De mivel az ilyen számításokhoz nagy tapasztalatra van szükség az integrálok kiszámításában (ami önmagában is nagyon fontos), ezért ezek, mint olyanok, kevéssé érdekelnek bennünket. Van azonban itt néhány nagyon érdekes és hasznos tétel. Legyen valami test, és mi meg akarjuk ismerni tehetetlenségi nyomaték valamely tengely körül. Ez azt jelenti, hogy meg akarjuk találni a tehetetlenségét, amikor e tengely körül forogunk. Ha a testet a tömegközéppontját tartó rúdnál fogva mozgatjuk úgy, hogy a tengely körüli forgás közben ne forduljon el (ilyenkor nem hatnak rá tehetetlenségi nyomatékok, így a test nem fordul el, amikor elkezdjük mozgatni) , akkor ugyanis az elfordításához pontosan akkora erőre van szükség, mintha az összes tömeg a tömegközéppontban összpontosulna, és a tehetetlenségi nyomaték egyszerűen egyenlő lenne I 1 = MR 2 c.m. , ahol R c.m a tömegközéppont és a forgástengely távolsága. Ez a képlet azonban természetesen hibás. Nem adja meg a test megfelelő tehetetlenségi nyomatékát. Hiszen a valóságban forduláskor a test forog. Nem csak a tömegközéppont forog (ami I 1 értéket adna), hanem magának a testnek is forognia kell a tömegközépponthoz képest. Így az I 1 tehetetlenségi nyomatékhoz hozzá kell adni I c - a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot. A helyes válasz az, hogy a tehetetlenségi nyomaték bármely tengely körül

Ezt a tételt párhuzamos tengely transzlációs tételnek nevezzük. Nagyon könnyen bebizonyosodik. A tehetetlenségi nyomaték bármely tengely körül egyenlő a tömegek összegével, szorozva x és y négyzetösszegével, azaz I \u003d Σm i (x 2 i + y 2 i). Most az x-re összpontosítjuk figyelmünket, de ugyanez elmondható y-ról is. Legyen az x-koordináta egy adott pont távolsága az origótól; lássuk azonban, hogyan változnak a dolgok, ha x` távolságot mérünk a tömegközépponttól, nem pedig x távolságot az origótól. Hogy megtudjuk, írnunk kell
x i = x` i + X c.m.
Ezt a kifejezést négyzetre emelve azt találjuk
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 c.m.

Mi történik, ha megszorozzuk m i-vel, és összegezzük az összes r-t? A konstansokat az összegző jelből kivéve azt találjuk

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Σm i

A harmadik összeget könnyű kiszámítani; ez csak MX 2 ts.m. . A második tag két tényezőből áll, amelyek közül az egyik Σm i x` i ; egyenlő a tömegközéppont x`-koordinátájával. De ennek nullának kell lennie, mert az x`-et a tömegközépponttól mérjük, és ebben a koordináta-rendszerben az összes részecske tömegével súlyozott átlagos helyzete nulla. Az első tag nyilvánvalóan az x része az I c-ből. Így a (19.7) képlethez jutunk.

Ellenőrizzük egy példával a (19.7) képletet. Nézzük csak meg, hogy alkalmazható lesz-e a rúdra. Azt már megállapítottuk, hogy a rúd tehetetlenségi nyomatékának a végéhez viszonyítva egyenlőnek kell lennie ML 2 /3-al. És a rúd tömegközéppontja természetesen L/2 távolságra van. Tehát azt kell kapnunk, hogy ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Mivel egynegyed + egy tizenketted = egyharmad, nem követtünk el baklövést.

Egyébként a tehetetlenségi nyomaték (19,5) megtalálásához egyáltalán nem szükséges az integrál kiszámítása. Egyszerűen feltételezhető, hogy ez egyenlő ML 2 értékének szorzatával valamilyen ismeretlen γ együtthatóval. Ezek után használhatjuk a két fél körüli okoskodást, és megkaphatjuk a tehetetlenségi nyomaték 1/4γ együtthatóját (19.6). Most a párhuzamos tengely transzlációs tételével bebizonyítjuk, hogy γ=1/4γ + 1/4, innen γ=1/3. Mindig találsz valami kitérőt!

A párhuzamos tengely tételének alkalmazásakor fontos megjegyezni, hogy az I tengelynek párhuzamosnak kell lennie azzal a tengellyel, amelyre vonatkozóan a tehetetlenségi nyomatékot ki szeretnénk számítani.

Talán érdemes még egy tulajdonságot megemlíteni, ami gyakran nagyon hasznos bizonyos testtípusok tehetetlenségi nyomatékának megtalálásában. Ez a következőkből áll: ha van egy lapos alakunk és egy hármas koordinátatengelyünk, amelynek origója ebben a síkban van, és a z tengelye merőleges rá, akkor ennek az ábrának a tehetetlenségi nyomatéka a z tengely körül egyenlő az x és y tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok összegére . Egész egyszerűen bebizonyosodik. vegye észre, az

Például egy homogén téglalap alakú lemez tehetetlenségi nyomatéka, amelynek tömege M, szélessége ω és L hosszúságú egy rá merőleges és a középpontján átmenő tengely körül, egyszerűen

mivel a lemez síkjában elhelyezkedő és annak hosszával párhuzamos tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egyenlő Mω 2 /12-vel, azaz pontosan ugyanaz, mint egy ω hosszúságú rúd esetében, és a tehetetlenségi nyomaték a lemez másik tengelyére vonatkoztatva ugyanaz a sík egyenlő ML 2 / 12-vel, ugyanaz, mint egy L hosszúságú rúdnál.

Tehát soroljuk fel egy adott tengely körüli tehetetlenségi nyomaték tulajdonságait, amelyet z-tengelynek nevezünk:

1. A tehetetlenségi nyomaték az

2. Ha egy tárgy több részből áll, és mindegyik tehetetlenségi nyomatéka ismert, akkor a teljes tehetetlenségi nyomaték egyenlő ezen részek tehetetlenségi nyomatékainak összegével.
3. Egy adott tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egyenlő a tömegközépponton átmenő párhuzamos tengely körüli tehetetlenségi nyomatékkal, plusz a teljes tömeg szorzata a tengely tömegközépponttól való távolságának négyzetével.
4. Egy lapos alak tehetetlenségi nyomatéka a síkjára merőleges tengely körül egyenlő az ábra síkjában elhelyezkedő és a merőleges tengellyel metsző bármely két másik, egymásra merőleges tengely körüli tehetetlenségi nyomaték összegével.

táblázatban. A 19.1. ábra néhány egyenletes tömegsűrűségű elemi alak tehetetlenségi nyomatékát mutatja, és táblázatban. 19,2 - egyes ábrák tehetetlenségi nyomatékai, amelyek a táblázatból nyerhetők. 19.1 a fent felsorolt ​​tulajdonságok használatával.

Számítással bármely tengely körüli testek megtalálhatók. Ha az anyag a testben folyamatosan oszlik el, akkor a tehetetlenségi nyomatékának kiszámítása az integrál kiszámítására csökken.

ahol r- távolság a tömegelemtől dm a forgástengelyhez.

Vékony homogén rúd tehetetlenségi nyomatéka a merőleges tengely körül. Hagyja, hogy a tengely áthaladjon a rúd végén DE(4.4. ábra).

A tehetetlenségi pillanatra írhatunk I A = kml 2, hol l- rúd hossza, k- arányossági együttható. Rúd középpontja TÓL TŐL a tömegközéppontja. A Steiner-tétel szerint I A = I C + m(l/2) 2 . az érték én Cábrázolható két rúd tehetetlenségi nyomatékának összegeként, SAés SW, amelyek mindegyikének hossza az l/2, súly m/2, ezért a tehetetlenségi nyomaték így, I C = km(l/ 2) 2 . Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük a Steiner-tétel képletébe, megkapjuk

,

ahol k = 1/3. Ennek eredményeként azt találjuk

(4.16)

Egy végtelenül vékony körgyűrű tehetetlenségi nyomatéka(körök). A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték Z(4.5. ábra) egyenlő

I Z = mR 2 , (4.17)

ahol R a gyűrű sugara. A szimmetria miatt I X = I Y.

A (4.17) képlet nyilvánvalóan megadja egy üreges homogén henger tehetetlenségi nyomatékát is végtelenül vékony falú geometriai tengelye körül.

Rizs. 4.5 ábra. 4.6

Egy végtelenül vékony korong és egy tömör henger tehetetlenségi nyomatéka. Feltételezzük, hogy a tárcsa és a henger homogének, azaz az anyag állandó sűrűséggel oszlik el bennük. Legyen a tengely Záthalad a lemez közepén TÓL TŐL merőleges a síkjára (4.6. ábra). Vegyünk egy végtelenül vékony, belső sugarú gyűrűt rés külső sugár r + dr. Egy ilyen gyűrű területe dS = 2 p rdr. Tehetetlenségi nyomatékát a (4.17) képlet határozza meg, egyenlő dIz = r 2 dm. A teljes lemez tehetetlenségi nyomatékát az integrál határozza meg A lemez egyenletessége miatt dm= , ahol S= p R 2 a teljes lemez területe. Ha ezt a kifejezést az integráljel alá vezetjük be, azt kapjuk

(4.18)

A (4.18) képlet egy homogén tömör henger tehetetlenségi nyomatékát is megadja hosszirányú geometriai tengelye körül.

Egy test tengely körüli tehetetlenségi nyomatékának kiszámítása gyakran egyszerűsíthető, ha először kiszámítjuk tehetetlenségi nyomatékövé ponthoz képest. A test ponthoz viszonyított tehetetlenségi nyomatéka önmagában nem játszik szerepet a dinamikában. Ez pusztán egy segédfogalom, amely a számítások egyszerűsítését szolgálja. A test tehetetlenségi nyomatéka az O pont körül hívott a testet alkotó anyagi pontok tömegeinek szorzata az O ponttól való R távolságuk négyzetével: q = Σ mR 2. Folytonos tömegeloszlás esetén ez az összeg a q integrálra csökken = ∫R 2 dm. Magától értetődik, hogy a θ nyomatékot nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékkal én a tengelyről. Pillanat esetén én tömegek dm megszorozzuk az ehhez a tengelyhez, és θ nyomaték esetén egy fix ponthoz mért távolságok négyzetével.

Vegyünk először egy anyagi pontot tömeggel més koordinátákkal x, nál nél,z a derékszögű koordinátarendszerhez képest (4.7. ábra). A koordinátatengelyekhez mért távolságának négyzete x,Y,Z egyenlő ill y 2 + z 2,z2 + x2,x 2 + y 2, és ugyanazon tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok

én X= m(y 2 + z 2), én = m(z 2 + x 2),

én Z = m(x 2 + y 2).

Ezt a három egyenlőséget összeadva azt kapjuk I X + I Y + I Z = 2m(x 2 + y 2 +z 2).

De x 2 + y 2 +z 2 = R 2, hol R- m pont távolsága az origótól O. Ezért

I X + I Y + I Z = 2θ . (4.19)

Ez az arány nem csak egy anyagi pontra érvényes, hanem tetszőleges testre is, hiszen a test anyagi pontok halmazának tekinthető. Ily módon egy test tehetetlenségi nyomatékainak összege három egymásra merőleges tengely körül, amelyek egy O pontban metszik egymást, megegyezik ugyanazon test tehetetlenségi nyomatékának kétszeresével ezen a ponton.

Egy végtelenül vékony falú üreges gömb tehetetlenségi nyomatéka.

Először is meg kell határozni a θ tehetetlenségi nyomatékot a labda középpontja körül. Nyilvánvalóan egyenlő θ-val = mR 2 . Ezután alkalmazzuk a (4.19) képletet. Feltételezve benne a szimmetriát tekintve I X = I Y = I Z = I. Ennek eredményeként megtaláljuk az üreges golyó tehetetlenségi nyomatékát az átmérőjéhez képest

Tehetetlenségi nyomaték
A tehetetlenségi nyomaték kiszámításához gondolatban kellően kis elemekre kell felosztanunk a testet, amelyek pontjait a forgástengelytől azonos távolságra lévőnek tekinthetjük, majd meg kell keresni az egyes elemek tömegének a négyzet szorzatát. a tengelytől mért távolságát, és végül összegezzük az összes eredményt. Nyilvánvalóan ez egy nagyon munkaigényes feladat. A számoláshoz
szabályos geometriai alakú testek tehetetlenségi nyomatékai, esetenként az integrálszámítás módszerei alkalmazhatók.
A test elemei tehetetlenségi nyomatékainak véges összegének megtalálását felváltjuk a végtelenül nagy számú tehetetlenségi nyomaték összegzésével, amelyet végtelenül kis elemekre számítanak ki:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (nál nél ∆m → 0).
Számítsuk ki egy homogén korong vagy egy magasságú tömör henger tehetetlenségi nyomatékát h szimmetriatengelye körül

Osszuk fel a korongot vékony koncentrikus gyűrűk alakú elemekre, amelyek középpontja a szimmetriatengelyén van. A kapott gyűrűk belső átmérővel rendelkeznek rés külső r + dr, és a magasság h. Mert dr<< r , akkor feltételezhetjük, hogy a gyűrű összes pontjának távolsága a tengelytől r.
Minden egyes gyűrűnél a tehetetlenségi nyomaték
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
ahol ΣΔm a teljes gyűrű tömege.
Csengetés hangereje 2prhdr. Ha a lemez anyagának sűrűsége ρ , akkor a gyűrű tömege
ρ2prhdr.
Gyűrűs tehetetlenségi nyomaték
i = 2πρóra 3dr.
A teljes lemez tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához össze kell adni a gyűrűk tehetetlenségi nyomatékait a lemez közepétől ( r = 0) a széléhez ( r = R), azaz számítsuk ki az integrált:
I = 2πρh 0 R ∫r 3dr,
vagy
I = (1/2)πρhR 4.
De a lemez tömege m = ρπhR 2, Következésképpen
I = (1/2) mR2.
Bemutatjuk (számítás nélkül) egyes szabályos geometriai alakú, homogén anyagokból készült testek tehetetlenségi nyomatékait.


 1. Vékony gyűrű tehetetlenségi nyomatéka a középpontján átmenő tengely körül a síkjára merőlegesen (vagy egy vékony falú üreges henger szimmetriatengelye körül):
I = mR2.
 2. Vastag falú henger tehetetlenségi nyomatéka a szimmetriatengely körül:
I = (1/2) m(R 1 2 − R 2 2)
ahol R1− belső és R2− külső sugarak.
 3. A tárcsa tehetetlenségi nyomatéka az egyik átmérőjével egybeeső tengely körül:
I = (1/4) mR2.
 4. Egy tömör henger tehetetlenségi nyomatéka a generatrixra merőleges és annak közepén áthaladó tengely körül:
I \u003d m (R 2/4 + h 2/12)
ahol R- a henger alapjának sugara, h a henger magassága.
 5. Vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka a közepén áthaladó tengely körül:
I = (1/12) ml 2,
ahol l a rúd hossza.
 6. Egy vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka az egyik végén áthaladó tengely körül:
I = (1/3) ml 2
7. A golyó tehetetlenségi nyomatéka az egyik átmérőjével egybeeső tengely körül:
I = (2/5) mR2.

Ha ismert egy test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontján átmenő tengely körül, akkor bármely más, az elsővel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték az úgynevezett Huygens-Steiner-tétel alapján meghatározható.
a test tehetetlenségi nyomatéka én bármely tengelyhez viszonyítva egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékával én s az adott tengely körül párhuzamos és a test tömegközéppontján áthaladó tengely, plusz a test tömege m a távolság négyzetének szorzata l tengelyek között:
I \u003d I c + ml 2.
Példaként kiszámítjuk egy sugarú golyó tehetetlenségi nyomatékát Rés súlya m a felfüggesztési ponton átmenő tengelyhez képest l hosszú menetre függesztve O. A szál tömege kicsi a golyó tömegéhez képest. A golyónak a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomatéka óta Ic = (2/5) mR2, és a távolság
tengelyek között ( l + R), akkor a felfüggesztési ponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték:
I = (2/5) mR2 + m(l + R) 2.
A tehetetlenségi nyomaték mérete:
[I] = [m] × = ML 2.

Alkalmazás. A tehetetlenségi nyomaték és számítása.

Hagyja, hogy a merev test forogjon a Z tengely körül (6. ábra). Különböző, időben változatlan m i anyagpontok rendszereként ábrázolható, amelyek mindegyike egy sugarú kör mentén mozog. r i a Z tengelyre merőleges síkban fekvő minden anyagi pont szögsebessége azonos. A test tehetetlenségi nyomatéka a Z tengely körül a következő érték:

ahol - egy különálló anyagpont tehetetlenségi nyomatéka az OZ tengely körül. A definícióból az következik, hogy a tehetetlenségi nyomaték az adalék mennyiség, azaz egy különálló részekből álló test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a részek tehetetlenségi nyomatékainak összegével.

6. ábra

Nyilvánvalóan, [ én] = kg × m 2. A tehetetlenségi nyomaték fogalmának fontosságát három képlet fejezi ki:

; ; .

Az első egy rögzített Z tengely körül forgó test impulzusimpulzusát fejezi ki (célszerű összehasonlítani ezt a képletet egy test impulzusának kifejezésével P = mVc, ahol Vc a tömegközéppont sebessége). A második képletet a test fix tengely körüli forgómozgásának dinamikájának alapegyenletének nevezzük, vagyis más szóval Newton második forgótörvényének (hasonlítsuk össze a tömegközéppont mozgástörvényével: ). A harmadik képlet egy rögzített tengely körül forgó test mozgási energiáját fejezi ki (hasonlítsa össze a részecske mozgási energiájának kifejezésével ). A képletek összehasonlítása arra enged következtetni, hogy a forgómozgás tehetetlenségi nyomatéka a tömeghez hasonló szerepet játszik abban az értelemben, hogy minél nagyobb a test tehetetlenségi nyomatéka, annál kisebb szöggyorsulásra tesz szert, ha minden más tényező egyenlő. test, képletesen szólva, nehezebben pörgethető). A valóságban a tehetetlenségi nyomatékok számítása a hármas integrál számítására redukálódik, és csak korlátozott számú szimmetrikus testre és csak a szimmetriatengelyekre hajtható végre. A tengelyek száma, amelyek körül a test forogni tud, végtelenül nagy. Az összes tengely közül kiemelkedik egy, amely a test csodálatos pontján halad át - gravitáció középpontja (egy pont, amelynek mozgásának leírásához elég elképzelni, hogy a rendszer teljes tömege a tömegközéppontban összpontosul, és erre a pontra az összes erő összegével egyenlő erő hat). De végtelenül sok tengely is áthalad a tömegközépponton. Kiderült, hogy bármely tetszőleges alakú merev testhez három egymásra merőleges tengely tartozik C x, C y, C z, hívott szabad forgástengelyek , amelyeknek van egy figyelemreméltó tulajdonságuk: ha a testet bármelyik tengely köré csavarjuk és feldobjuk, akkor a test ezt követő mozgása során a tengely párhuzamos marad önmagával, azaz. nem fog zuhanni. Más tengely körüli csavarás nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Az alábbiakban megadjuk a tipikus testek tehetetlenségi nyomatékának értékét a jelzett tengelyekre vonatkozóan. Ha a tengely átmegy a tömegközépponton, de a tengellyel a, b, g szöget zár be C x, C y, C z ennek megfelelően egy ilyen tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egyenlő

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Tekintsük röviden a tehetetlenségi nyomaték kiszámítását a legegyszerűbb testekre.

1.Egy hosszú vékony homogén rúd tehetetlenségi nyomatéka a rúd tömegközéppontján átmenő és arra merőleges tengely körül.

Hadd t - rúd tömege, l - a hossza.

,

Index " Val vel» a tehetetlenség pillanatában I c azt jelenti, hogy ez a tehetetlenségi nyomaték a tömegközépponton (a test szimmetriaközéppontján) átmenő tengely körül, C(0,0,0).

2. Vékony téglalap alakú lemez tehetetlenségi nyomatéka.

; ;

3. Téglalap alakú paralelepipedon tehetetlenségi nyomatéka.

, t. C(0,0,0)

4. Vékony gyűrű tehetetlenségi nyomatéka.

;

, t. C(0,0,0)

5. Vékony korong tehetetlenségi nyomatéka.

A szimmetria miatt

; ;

6. Szilárd henger tehetetlenségi nyomatéka.

;

A szimmetria miatt:

7. Szilárd golyó tehetetlenségi nyomatéka.

, t. C(0,0,0)

8. Szilárd kúp tehetetlenségi nyomatéka.

, t. C(0,0,0)

ahol R az alap sugara, h a kúp magassága.

Emlékezzünk vissza, hogy cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Végül, ha az O tengely nem megy át a tömegközépponton, akkor a test tehetetlenségi nyomatéka kiszámítható a Huygens Steiner-tétel segítségével.

I o \u003d I c + md 2, (**)

ahol én o a test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges tengely körül, én s- a vele párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték,
m- testtömeg, d- a tengelyek közötti távolság.

A szabvány alakú testek tehetetlenségi nyomatékának kiszámításának eljárása tetszőleges tengelyhez képest a következő.