Hogyan rajzoljunk merőleges felezőt egy derékszögű háromszögbe. A szakaszra merőleges felezővonal tulajdonságai
Egy háromszögben négy figyelemre méltó pont van: a mediánok metszéspontja. A felezők metszéspontja, a magasságok metszéspontja és a merőleges felezők metszéspontja. Tekintsük mindegyiket.
A háromszög mediánjainak metszéspontja
1. tétel
Egy háromszög mediánjainak metszéspontján: A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, és a metszéspontot a csúcsból kiindulva $2:1$ arányban osztják el.
Bizonyíték.
Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a mediánja. Mivel a mediánok kettéosztják az oldalakat. Tekintsük a $A_1B_1$ középső vonalat (1. ábra).
1. ábra Háromszög mediánjai
Az 1. Tétel szerint $AB||A_1B_1$ és $AB=2A_1B_1$, tehát $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ezért az $ABM$ és $A_1B_1M$ háromszögek hasonlóak az első háromszög hasonlósági kritériuma szerint. Akkor
Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy
A tétel bizonyítást nyert.
Egy háromszög felezőjének metszéspontja
2. tétel
Egy háromszög felezőinek metszéspontján: A háromszög felezői egy pontban metszik egymást.
Bizonyíték.
Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $AM,\ BP,\ CK$ a felezők. Legyen a $O$ pont a $AM\ és\ BP$ felezők metszéspontja. Ebből a pontból rajzoljunk merőlegesen a háromszög oldalaira (2. ábra).
2. ábra Háromszög felezőpontjai
3. tétel
A ki nem tágított szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az oldalaitól.
A 3. tétel alapján: $OX=OZ,\ OX=OY$. Ezért $OY=OZ$. Ezért a $O$ pont egyenlő távolságra van az $ACB$ szög oldalaitól, ezért a $CK$ felezőpontján fekszik.
A tétel bizonyítást nyert.
A háromszög merőleges felezőinek metszéspontja
4. tétel
A háromszög oldalainak merőleges felezői egy pontban metszik egymást.
Bizonyíték.
Legyen adott egy $ABC$ háromszög, $n,\ m,\ p$ merőleges felezői. Legyen a $O$ pont a $n\ és\ m$ merőleges felezők metszéspontja (3. ábra).
3. ábra Háromszög merőleges felezőszögei
A bizonyításhoz a következő tételre van szükségünk.
5. tétel
A szakaszra merőleges felezőpont minden pontja egyenlő távolságra van az adott szakasz végeitől.
A 3. tétel szerint: $OB=OC,\ OB=OA$. Ezért $OA=OC$. Ez azt jelenti, hogy a $O$ pont egyenlő távolságra van a $AC$ szakasz végeitől, és ezért a $p$ felező merőlegesen fekszik.
A tétel bizonyítást nyert.
A háromszög magasságainak metszéspontja
6. tétel
Egy háromszög magassága vagy kiterjesztéseik egy pontban metszik egymást.
Bizonyíték.
Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a magassága. Húzzon egy vonalat a háromszög minden csúcsán, amely párhuzamos a csúcsgal szemközti oldallal. Új háromszöget kapunk $A_2B_2C_2$ (4. ábra).
4. ábra Háromszög magasságai
Mivel a $AC_2BC$ és a $B_2ABC$ paralelogrammák közös oldallal, ezért $AC_2=AB_2$, azaz a $A$ pont a $C_2B_2$ oldal felezőpontja. Hasonlóképpen azt kapjuk, hogy a $B$ pont a $C_2A_2$ oldal felezőpontja, a $C$ pont pedig a $A_2B_2$ oldal felezőpontja. A konstrukcióból azt kaptuk, hogy $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Ezért a $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a $A_2B_2C_2$ háromszög felező merőlegesei. Ekkor a 4. Tétel szerint a $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ magasságok egy pontban metszik egymást.
Középmerőleges (medián merőleges vagy közvetítő nő) - egyenes , merőleges ehhez szegmensés áthaladva rajta középső.Tulajdonságok
ahol az alsó index azt az oldalt jelöli, amelyre a merőleges húzva van, a háromszög területe, és azt is feltételezzük, hogy az oldalakat egyenlőtlenségek kapcsolják össze és Más szavakkal, egy háromszög esetében a legkisebb merőleges felező a középső szakaszra vonatkozik.Írjon véleményt a "Középső merőleges" cikkről
Megjegyzések
A merőleges felezőt jellemző kivonat
Kutuzov megállt rágni, és meglepetten meredt Wolzogenre, mintha nem értené, mit mondanak neki. Wolzogen észrevette des alten Herrn, [az öregúr (német)] izgatottságát, mosolyogva így szólt:- Nem tartottam jogosnak, hogy eltitkoljam uraságod elől, amit láttam... A csapatok teljesen rendetlenek...
- Láttad? Láttad? .. - kiáltotta Kutuzov a homlokát ráncolva, gyorsan felállt, és előrenyomult Wolzogen felé. „Hogy… hogy merészeled…!” – kiáltotta, miközben fenyegető mozdulatokat tett remegő kézzel és fuldokolva. - Hogy merészelte ezt, kedves uram, ezt nekem mondani. Nem tudsz semmit. Mondja el tőlem Barclay tábornoknak, hogy az információi tévesek, és a csata valódi lefolyását én, a főparancsnok jobban ismerem, mint ő.
Wolzogen tiltakozni akart valamit, de Kutuzov félbeszakította.
- Az ellenséget a bal oldalon visszaverik, a jobb szárnyon pedig legyőzik. Ha nem látta jól, kedves uram, ne engedje meg magának, hogy azt mondja, amit nem tud. Kérem, menjen Barclay tábornokhoz, és adja át neki azt a nélkülözhetetlen szándékomat, hogy holnap megtámadja az ellenséget – mondta Kutuzov szigorúan. Mindenki elhallgatott, és hallani lehetett a kifulladt öreg tábornok nehéz lélegzetét. - Mindenhol visszaverték, amiért hálát adok Istennek és bátor seregünknek. Az ellenséget legyőzték, és holnap kiűzzük a szent orosz földről - mondta Kutuzov keresztet vetve; és hirtelen sírva fakadt. Wolzogen vállat vonva és ajkát csavarva némán félrelépett, és az uber diese Eingenommenheit des alten Herrn-en töprengett. [az öregúr ezen zsarnokságáról. (Német)]
„Igen, itt van, hősöm” – mondta Kutuzov a gömbölyded, jóképű fekete hajú tábornoknak, aki ekkor belépett a halomba. Raevszkij volt az, aki az egész napot a Borodino-mező fő pontján töltötte.
Raevszkij arról számolt be, hogy a csapatok szilárdan a helyükön vannak, és a franciák nem mertek többé támadni. Miután meghallgatta, Kutuzov franciául így szólt:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous nyugdíjas? [Tehát nem gondolja, mint a többiek, hogy nekünk vissza kellene vonulnunk?]
Utasítás
Húzzon egy vonalat a körök metszéspontjain keresztül. Megkapta a merőleges felezőt az adott szakaszra.
Adjunk most egy pontot és egy egyenest. Ebből a pontból merőlegest kell húzni.. Helyezze a tűt a pontra. Rajzolj egy sugarú kört (a sugárnak egy ponttól egy egyenesig kell lennie, hogy a kör két pontban metszi az egyenest). Most két pont van a vonalon. Ezek a pontok egy vonalat hoznak létre. Szerkesszük meg a szakaszra merőleges felezőt, a végei a kapott pontok a fent tárgyalt algoritmus szerint. A merőlegesnek át kell haladnia a kezdőponton.
Az egyenes vonalak építése a műszaki rajz alapja. Ezt ma már egyre inkább grafikus szerkesztők segítségével teszik, amelyek nagyszerű lehetőségeket biztosítanak a tervezőnek. Néhány építési elv azonban ugyanaz marad, mint a klasszikus rajznál - ceruzával és vonalzóval.
Szükséged lesz
- - papír;
- - ceruza;
- - vonalzó;
- - számítógép AutoCAD szoftverrel.
Utasítás
Kezdje klasszikus felépítéssel. Határozza meg azt a síkot, amelyben a vonalat húzza. Legyen ez egy papírlap síkja. A probléma körülményeitől függően intézkedjen. Lehetnek tetszőlegesek, de lehetséges, hogy adott koordinátarendszer. Az önkényes pontokat oda kell tenni, ahol a legjobban tetszik. Jelölje meg őket A-val és B-vel. Kösse össze őket vonalzóval. Az axióma szerint két ponton keresztül mindig lehet egyenest húzni, és csak egyet.
Rajzolj egy koordináta-rendszert. Adjunk A (x1; y1) pontokat. Ennek érdekében félre kell tenni a kívánt számot az x tengely mentén, és a megjelölt ponton keresztül az y tengellyel párhuzamos egyenest kell húzni. Ezután ábrázoljon egy y1-gyel egyenlő értéket a megfelelő tengely mentén. Rajzolj egy merőlegest a megjelölt ponttól addig, amíg az metszéspontba nem kerül. A metszéspontjuk az A pont lesz. Ugyanígy keressük meg a B pontot, amelynek koordinátáit (x2; y2) jelölhetjük. Csatlakoztassa mindkét pontot.
Az AutoCAD-ben egy egyenes több . A "by" függvény általában alapértelmezés szerint be van állítva. Keresse meg a „Főoldal” lapot a felső menüben. A Rajz panelt fogja látni maga előtt. Keresse meg az egyenes vonalú gombot, és kattintson rá.
Az AutoCAD lehetővé teszi mindkettő koordinátáinak beállítását. Írja be az alábbi parancssorba (_xline). Nyomd meg az Entert. Adja meg az első pont koordinátáit, majd nyomja meg az enter billentyűt. Ugyanígy határozza meg a második pontot. Egérkattintással is megadható, ha a kurzort a képernyő kívánt pontjára helyezzük.
Az AutoCAD-ben nem csak két ponttal lehet egyenest építeni, hanem a dőlésszög alapján is. A Rajz helyi menüből válasszon egy egyenest, majd a Szög opciót. A kiindulási pont az előző módszerhez hasonlóan egérkattintással vagy a gombbal állítható be. Ezután állítsa be a sarok méretét, és nyomja meg az Enter billentyűt. Alapértelmezés szerint a vonal a kívánt szögben helyezkedik el a vízszinteshez képest.
Kapcsolódó videók
Összetett rajzon (diagram) függőlegesség közvetlen és repülőgép az alapvető rendelkezések határozzák meg: ha egy derékszög egyik oldala párhuzamos repülőgép vetületek, akkor erre a síkra torzítás nélkül derékszöget vetítünk; ha egy egyenes két egymást metsző egyenesre merőleges repülőgép, erre merőleges repülőgép.
Szükséged lesz
- Ceruza, vonalzó, szögmérő, háromszög.
Utasítás
Példa: az M ponton keresztül rajzoljunk egy merőlegest repülőgép Merőleges rajzolásához repülőgép, ebben két egymást metsző vonal fekszik repülőgép, és készítsünk rájuk merőleges egyenest. A frontális és a vízszintes van kiválasztva e két metsző vonalként. repülőgép.
Az elülső f(f₁f2) egy egyenes, amely benne fekszik repülőgépés párhuzamos az elejével repülőgép vetületek П₂. Tehát f₂ a természetes értéke, és f₁ mindig párhuzamos x12-vel. Az A2 pontból rajzoljunk h2-t párhuzamosan x12-vel, és kapjuk meg az 12 pontot a B2C2-n.
A kommunikációs pont 1₁ vetületi vonala segítségével a В₁С₁-n. Csatlakoztassa az A₁-vel - ez a h₁ - a vízszintes természetes mérete. A B1 pontból húzunk f1‖x12, az A1C1 ponton kapjuk a 21 pontot. Keresse meg a 22 pontot az A2C2-n a vetületi csatlakozóvonal segítségével. Csatlakoztassa a B2 ponthoz - ez f₂ lesz - az előlap teljes mérete.
Megszerkesztett természetes vízszintes h₁ és frontális f₂ a merőleges vetületeinek repülőgép. Az M2 pontból rajzoljuk meg annak a2 frontális vetületét 90 szögben