Készítsünk rajzot

A mi feladatunkban az U(x) függvénynek speciális, nem folytonos alakja van: a falak között nullával egyenlő, és a kút szélein (a falakon) végtelenné válik:

Felírjuk a Schrödinger-egyenletet a részecskék stacionárius állapotaira a falak közötti pontokban:

vagy ha figyelembe vesszük az (1.1) képletet

Az (1.3) egyenletet ki kell egészíteni peremfeltételekkel a kút falain. Vegyük figyelembe, hogy a hullámfüggvény összefügg a részecskék megtalálásának valószínűségével. Ráadásul a probléma körülményei szerint a falakon kívül részecske nem észlelhető. Ekkor a hullámfüggvénynek a falakon és azon túl el kell tűnnie, és a probléma peremfeltételei egyszerű formát öltenek:

Most kezdjük el megoldani az (1.3) egyenletet. Különösképpen figyelembe lehet venni, hogy megoldása a de Broglie hullámok. De az egyik de Broglie-hullám, mint megoldás, nyilvánvalóan nem vonatkozik a mi problémánkra, mivel minden bizonnyal egy szabad részecskét ír le, amely egy irányba „fut”. Esetünkben a részecske "oda-vissza" fut a falak között. Ebben az esetben a szuperpozíció elve alapján a kívánt megoldást két, p és -p momentumokkal egymás felé futó de Broglie-hullámként ábrázolhatjuk, vagyis a következő formában:

A és állandók az egyik peremfeltételből és a normalizációs feltételből kereshetők. Ez utóbbi azt sugallja, hogy ha az összes valószínűséget összeadjuk, azaz általában (bármely helyen) megtaláljuk a falak közötti elektron megtalálásának valószínűségét, akkor kapunk egyet (a megbízható esemény valószínűsége 1), azaz:

Az első peremfeltétel szerint a következőkkel rendelkezünk:

Így megkapjuk a megoldást a problémánkra:

Mint ismeretes,. Ezért a talált megoldás átírható a következőképpen:

Az A állandót a normalizálási feltételből határozzuk meg. De itt ez nem különösebben érdekes. A második határfeltétel kihasználatlan marad. Milyen eredményt ad? Az (1.5) talált megoldásra alkalmazva a következő egyenlethez vezet:

Ebből azt látjuk, hogy feladatunkban a p impulzus nem bármilyen értéket vehet fel, hanem csak az értékeket

Egyébként n nem lehet egyenlő nullával, hiszen a hullámfüggvény akkor a (0…l) intervallumon mindenhol nullával egyenlő! Ez azt jelenti, hogy a falak közötti részecske nem lehet nyugalomban! Biztos mozog. A vezetési elektronok hasonló körülmények között találhatók fémben. A kapott következtetés rájuk is vonatkozik: a fémben lévő elektronok nem lehetnek mozdulatlanok.

A mozgó elektron lehető legkisebb impulzusa az

Megmutattuk, hogy az elektron impulzusa előjelet vált, ha a falakról visszaverődik. Ezért arra a kérdésre, hogy mekkora az elektron impulzusa, amikor a falak közé záródik, nem lehet határozottan megválaszolni: vagy +p, vagy -p. A lendület határozatlan. Bizonytalansági foka nyilvánvalóan a következőképpen definiálható: =p-(-p)=2p. A koordináta bizonytalansága egyenlő l; ha megpróbálsz "elkapni" egy elektront, akkor az a falak közötti határokon belül található, de hogy pontosan hol, az nem ismert. Mivel p legkisebb értéke , kapjuk:

Megerősítettük a Heisenberg-relációt a feladatunk feltételei között, vagyis azzal a feltétellel, hogy létezik p legkisebb értéke. Ha az impulzus egy tetszőlegesen lehetséges értékét tartjuk szem előtt, akkor a bizonytalansági reláció a következő alakot ölti:

Ez azt jelenti, hogy Heisenberg-Bohr eredeti posztulátuma a bizonytalanságról csak a mérésekben lehetséges bizonytalanságok alsó határát határozza meg. Ha a mozgás kezdetén a rendszer minimális bizonytalansággal volt felruházva, akkor idővel ezek növekedhetnek.

Az (1.6) képlet azonban egy másik rendkívül érdekes következtetésre is rámutat: kiderül, hogy egy rendszer impulzusa a kvantummechanikában nem mindig képes folyamatosan változni (ahogy ez a klasszikus mechanikában mindig történik). Példánkban a részecske impulzusspektruma diszkrét, a falak közötti részecskeimpulzus csak ugrásokkal (kvantumokkal) változhat. A vizsgált feladatban az ugrás értéke állandó és egyenlő .

ábrán. 2. A részecske impulzusának lehetséges értékeinek spektruma jól látható. Így a mechanikai mennyiségek változásának a klasszikus mechanikától teljesen idegen diszkrétsége a kvantummechanikában annak matematikai apparátusából következik. Arra a kérdésre, hogy miért változik a lendület az ugrások során, lehetetlen egyértelműt találni. Ilyenek a kvantummechanika törvényei; következtetésünk logikusan következik belőlük – ez az egész magyarázat.

Térjünk most át a részecske energiájára. Az energiát az (1) képlet alapján viszonyítjuk a lendülethez. Ha az impulzusspektrum diszkrét, akkor automatikusan kiderül, hogy a falak közötti részecskeenergia-értékek spektruma is diszkrét. És ő elemi. Ha az (1.6) képlet szerinti lehetséges értékeket behelyettesítjük az (1.1) képletbe, a következőt kapjuk:

ahol n = 1, 2,…, és kvantumszámnak nevezzük.

Így energiaszinteket kaptunk.

rizs. 3.

Rizs. A 3. ábra a problémánk feltételeinek megfelelő energiaszintek elrendezését ábrázolja. Nyilvánvaló, hogy egy másik probléma esetében az energiaszintek elrendezése más lesz. Ha a részecske feltöltött (például elektron), akkor, mivel nem a legalacsonyabb energiaszinten van, képes lesz spontán fényt kibocsátani (foton formájában). Ugyanakkor a feltételnek megfelelően alacsonyabb energiaszintre megy:

A feladatunkban szereplő minden stacionárius állapot hullámfüggvényei szinuszok, amelyek nulla értéke szükségszerűen a falakra esik. ábrán két ilyen hullámfüggvény látható n = 1,2 esetén. egy.

A mikrorészecskék leírásának valószínűségi megközelítésének szükségessége a kvantumelmélet legfontosabb megkülönböztető jegye. A de Broglie-hullámok értelmezhetők-e valószínűségi hullámként, i.e. Gondoljunk arra, hogy a mikrorészecske észlelésének valószínűsége a tér különböző pontjain a hullámtörvény szerint változik? A de Broglie-hullámok ilyen értelmezése már hibás, már csak azért is, mert akkor a részecske megtalálásának valószínűsége a tér egyes pontjain negatív lehet, aminek nincs értelme.

E nehézségek kiküszöbölésére 1926-ban született M. német fizikus azt javasolta, hogy a hullámtörvény szerint nem maga a valószínűség változik, hanem az ún. valószínűségi amplitúdóés jelöltük ψ(x,y,z,t). Ezt az értéket hívják hullámfüggvény(vagy ψ-függvény). A valószínűségi amplitúdó lehet összetett, és a valószínűség W modulusának négyzetével arányos:

(|Y| 2 =YY*, Y * - Y komplex konjugált függvénye). Így egy mikroobjektum állapotának leírása a hullámfüggvény segítségével megvan statisztikai, valószínűségi karakter: a hullámfüggvény négyzetes modulusa (a de Broglie-hullámok amplitúdójának négyzetes modulusa) meghatározza annak valószínűségét, hogy egy részecskét egyszerre találunk t koordinátákkal ellátott területen xés x+dx, yés y+dy, zés z+dz.

A kvantummechanikában a mikrorészecskék állapotát alapvetően új módon írják le - a hullámfüggvény segítségével, amely az információ fő hordozója korpuszkuláris és hullámtulajdonságaik. Egy részecske megtalálásának valószínűsége egy d térfogatú elemben V egyenlő

Érték

(az Y-függvény négyzetes modulusa) van értelme valószínűségi sűrűség, azaz meghatározza annak valószínűségét, hogy egységnyi térfogatú részecskét találunk egy koordinátákkal rendelkező pont közelében x, y, z.Így nem magának az Y-függvénynek van fizikai jelentése, hanem a modulusának négyzete |Y| 2 , ami adott de Broglie hullámok intenzitása.

Egy részecske megtalálásának valószínűsége egy időben t a végső kötetben V, a valószínűségi összeadás tétele szerint egyenlő

Mivel |Y| 2d V valószínűségként van definiálva, akkor az Y hullámfüggvényt úgy kell normalizálni, hogy egy adott esemény valószínűsége egységgé alakuljon, ha a hangerő V vegyük az egész tér végtelen térfogatát. Ez azt jelenti, hogy ilyen feltételek mellett a részecskének valahol a térben kell lennie. Ezért a valószínűségek normalizálásának feltétele

ahol ezt az integrált a teljes végtelen térre, azaz a koordinátákra számítjuk x, y, z–¥-től ¥-ig Így a feltétel egy részecske objektív létezését jelzi a térben.

Ahhoz, hogy a hullámfüggvény a mikrorészecskék állapotának objektív jellemzője legyen, számos korlátozó feltételnek kell megfelelnie. Az Y függvénynek, amely egy térfogatelemben egy mikrorészecske hatásának észlelésének valószínűségét jellemzi, végső(a valószínűség nem lehet nagyobb egynél), félreérthetetlen(a valószínűség nem lehet kétértelmű) és folyamatos(a valószínűség nem változhat hirtelen).

A hullámfüggvény kielégíti szuperpozíció elve: ha a rendszer az Y 1 , Y 2 ,..., Y hullámfüggvényekkel leírt különböző állapotokban lehet n,... akkor lehet Y állapotban is, amelyet ezen függvények lineáris kombinációja ír le:

ahol C n (n=1, 2, ...) tetszőleges komplex számok. Kiegészítés hullámfüggvények(valószínűségi amplitúdók), nem valószínűségek(amelyet a hullámfüggvények modulusainak négyzete határoz meg) alapjaiban különbözteti meg a kvantumelméletet a klasszikus statisztikai elmélettől, amelyben a független eseményekre a következők érvényesek: valószínűségi összeadás tétel.

Az Y hullámfüggvény, amely a mikroobjektumok állapotának fő jellemzője, lehetővé teszi a kvantummechanikában az adott mikroobjektumot jellemző fizikai mennyiségek átlagértékeinek kiszámítását. Például az átlagos távolság á rñ egy elektron atommagból a képlettel számítjuk ki

Schrödinger-egyenlet stacionárius állapotokhoz. A nemrelativisztikus kvantummechanika alapegyenletét 1926-ban E. Schrödinger fogalmazta meg. A Schrödinger-egyenlet, mint a fizika összes alapegyenlete (például Newton-egyenletek a klasszikus mechanikában és Maxwell-egyenletek az elektromágneses térre), nem származtatott, hanem feltételezett. Ennek az egyenletnek a helyességét megerősíti a segítségével kapott eredmények tapasztalataival való egyetértés, ami viszont természettörvény jelleget kölcsönöz neki. A Schrödinger-egyenletnek megvan a formája

ahol ћ=h/(2p), m-részecsketömeg, D-Laplace operátor i a képzeletbeli egység, U(x, y, z, t) a részecske potenciálfüggvénye abban az erőtérben, amelyben mozog, Y(x, y, z, t) a részecske szükséges hullámfüggvénye .

Az egyenlet bármely részecskére érvényes (spinnel az elektron saját elpusztíthatatlan mechanikus szögimpulzusa" , nem kapcsolódik az elektron mozgásához a térben, egyenlő 0;), kicsi (a fénysebességhez képest) sebességgel haladva, azaz v sebességgel<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной 2) производные folyamatosnak kell lennie; 3) az |Y| függvény 2 integrálhatónak kell lennie; ez a feltétel a legegyszerűbb esetekben a valószínűségek normalizálásának feltételére redukálódik.

Az egyenlet

az általános Schrödinger-egyenlet. Időfüggő Schrödinger-egyenletnek is nevezik. A mikrovilágban előforduló számos fizikai jelenség egyenlete egyszerűsíthető, ha kiküszöböljük Y időfüggését, más szóval, megkeressük a Schrödinger-egyenletet stacionárius állapotokra - rögzített energiaértékű állapotokra. Ez akkor lehetséges, ha az erőtér, amelyben a részecske mozog, stacionárius, azaz az U=U(x, y, z) függvény nem kifejezetten időfüggő, és potenciális energia jelentése van. Ebben az esetben a Schrödinger-egyenlet megoldása két függvény szorzataként ábrázolható, amelyek közül az egyik csak koordináták függvénye, a másik csak az idő függvénye, az időtől való függést pedig a faktor fejezi ki, szóval azt

ahol E a részecske összenergiája, amely stacioner mező esetén állandó. Az általános Schrödinger-egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy

ahonnan egy közös tényezővel való osztás és a megfelelő transzformációk után egy egyenlethez jutunk, amely meghatározza az y függvényt:

Ezt az egyenletet az álló állapotok Schrödinger-egyenletének nevezik. Ez az egyenlet paraméterként tartalmazza a részecske teljes E energiáját. A differenciálegyenletek elméletében bebizonyosodott, hogy az ilyen egyenleteknek végtelen számú megoldása van, amelyek közül peremfeltételek szabásával kiválasztják a fizikai jelentéssel bíró megoldásokat. A Schrödinger-egyenletnél ilyen feltételek a hullámfüggvények szabályszerűségének feltételei: a hullámfüggvényeknek végesnek, egyértékűnek és folytonosnak kell lenniük első deriváltjaikkal együtt. Így csak azoknak a megoldásoknak van valódi fizikai jelentése, amelyeket y reguláris függvényei fejeznek ki. De szabályos megoldások nem az E paraméter egyetlen értékére sem, hanem csak egy bizonyos halmazra történnek, ami az adott problémára jellemző. Ezeket az energiaértékeket sajátértékeknek nevezzük. Az energia sajátértékeknek megfelelő megoldásokat sajátfüggvényeknek nevezzük. Az E sajátértékek folytonos vagy diszkrét sorozatot alkothatnak. Az első esetben folytonos vagy folytonos spektrumról, a második esetben diszkrét spektrumról beszélünk.

Az ideális gáz közelítésben a Clausius-Clapeyron egyenlet a formát ölti

Maxwell második egyenlete a... általánosítása: az elektromágneses indukció törvénye

Ahol a a súrlódási együttható. Ez az egyenlet átírható így

Hidrosztatika. A hidrosztatikus nyomás alapvető tulajdonságai. A hidrosztatika alapegyenlete.

Differenciálegyenlet. Karakterisztikus polinom.

A részecskék hullámtulajdonságairól szóló de Broglie-i elképzelés kidolgozásakor Schrödinger 1926-ban megkapta az egyenletet.

104. (20)

ahol m a részecske tömege, a képzeletbeli egység, U a részecske potenciális energiája, D a Laplace-operátor [lásd (1.10)].

A Schrödinger-egyenlet megoldása lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a részecske Y(x, y, z, t) hullámfüggvényét, amely leírja a részecske mikroállapotát és hullámtulajdonságait.

Ha a külső erők tere időben állandó (azaz stacionárius), akkor U nem függ kifejezetten t-től. Ebben az esetben a (20) egyenlet megoldása két tényezőre bomlik

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)

Stacionárius esetben a Schrödinger-egyenlet alakja

(22)

ahol E, U - teljes és potenciális energia, m - részecsketömeg.

Meg kell jegyezni, hogy történelmileg a "hullámfüggvény" elnevezés abból a tényből származott, hogy a (20) vagy (22) egyenlet, amely ezt a függvényt határozza meg, a hullámegyenletek formájára utal.

104. A hidrogénatom és a hidrogénszerű "atomok" (He + , Li 2+ és mások), mint a legegyszerűbb kvantummechanikai rendszerek: kvantumállapotok, a hullámfüggvény radiális és szögösszetevői, pályaszimmetria.

Kutatásai alapján Rutherford 1911-ben javasolta az atomenergiát (bolygós) atommodell. E modell szerint az elektronok zárt pályán mozognak egy pozitív mag körül, egy atom elektronhéját képezve, egy 10-10 m nagyságrendű lineáris tartományban. Ze(Z-- az elem sorozatszáma a Mengyelejev-rendszerben, e -.elemi töltés), mérete 10 -15 - 10 -14 m, tömege, majdnem megegyezik az atom tömegével. Mivel az atomok semlegesek, az atommag töltése megegyezik az elektronok teljes töltésével, azaz forognia kell az atommag körül. Z elektronok.

egy hidrogénatom és hidrogénszerű rendszerek- ezek egy Ze töltésű magból és egy elektronból álló rendszerek (például He +, Li 2+ ionok).

Az elektron energiaszintjei hidrogénatomra vonatkozó probléma megoldása (valamint a hidrogénszerű rendszerek: hélium ion He +, kétszeresen ionizált lítium Li + + stb.) az elektronok mozgásának problémájára redukálódik Az atommag Coulomb-mezeje.

Az elektron és a töltésű atommag kölcsönhatásának potenciális energiája Ze(hidrogénatomhoz Z=1),

ahol r az elektron és az atommag közötti távolság. Grafikus funkció U(rábra félkövér görbéje ) látható. 6, végtelenül csökkenő (növekvő. modulo) ha csökken r, azaz amikor egy elektron közeledik az atommaghoz.

Az elektron állapotát a hidrogénatomban a Ψ hullámfüggvény írja le, amely kielégíti a stacionárius Schrödinger-egyenletet, figyelembe véve az (1) értéket:"

, (2)

ahol m az elektron tömege, E az atomban lévő elektron teljes energiája.

Ez az úgynevezett stacionárius Schrödinger-egyenlet a VDPA hidrogénszerű atomjának elektronjára.

1. Energia. A differenciálegyenletek elméletében bebizonyosodott, hogy a (2) típusú egyenleteknek vannak olyan megoldásai, amelyek csak az energia sajátértékeire elégítik ki a Ψ hullámfüggvény egyediségének, végességének és folytonosságának követelményeit.

(n= 1, 2, 3,…), (3)

azaz negatív energiaértékek diszkrét halmazára.

Így, mint egy végtelenül magas "falú potenciálkút" esetében, a Schrödinger-egyenlet megoldása a hidrogénatomra diszkrét energiaszintek megjelenéséhez vezet. Lehetséges értékek E 1 , E 2 , E 3, ... ábrán láthatók. 6 vízszintes vonalként. A legalacsonyabb szint E 1, amely a lehető legkisebb energiának felel meg, - alapvető, Egyéb ( E n >E 1, n = 2, 3,…) – izgatott. Nál nél E < 0 движение электрона является összefüggő egy hiperbolikus "potenciálkút" belsejében van. Az ábrából az következik, hogy a főkvantumszám növekedésével P az energiaszintek szorosabbak egymás mellett n=∞ E ∞ = 0. Mikor E> 0 az elektron mozgása az ingyenes; kontinuum régió E >0(6. ábrán árnyékolva) megfelel ionizált atom. A hidrogénatom ionizációs energiája az

E i = - E 1 = nekem 4 / (8h 2 ε 0 2) = 13,55 eV.

2. Kvantumszámok. A kvantummechanikában bebizonyosodott, hogy a (2) Schrödinger-egyenlet teljesül a sajátfüggvényekkel , amelyet három kvantumszám határoz meg: a fő P, orbitális lés mágneses m l .

Az n főkvantumszám a (3) szerint meghatározza egy elektron energiaszintjét egy atomban, és tetszőleges egész értéket vehet fel, egytől kezdve:

A Schrödinger-egyenlet Erwin Schrödinger osztrák fizikusról kapta a nevét. Ez a kvantummechanika fő elméleti eszköze. A kvantummechanikában a Schrödinger-egyenlet ugyanazt a szerepet játszik, mint a klasszikus mechanikában a mozgásegyenlet (Newton második törvénye). A Schrödinger-egyenletet az ún y- függvények (psi - függvények). Általános esetben a psi függvény a koordináták és az idő függvénye: y = y (x,y,z,t). Ha a mikrorészecske álló állapotban van, akkor a psi - függvény nem függ az időtől: y= y (x,y,z).

Egy mikrorészecske egydimenziós mozgásának legegyszerűbb esetben (például csak a tengely mentén) x ) a Schrödinger-egyenlet alakja:

ahol y(x)– psi – csak egy koordinátától függő függvény x ; m – részecsketömeg; - Planck állandó (= h/2π); E a részecske teljes energiája, U - helyzeti energia. A klasszikus fizikában a mennyiség (E–U ) egyenlő lenne a részecske mozgási energiájával. A kvantummechanikában annak köszönhető bizonytalansági viszonyok a mozgási energia fogalma értelmetlen. Vegye figyelembe, hogy a potenciális energia U jellemzője külső erőtér amelyben a részecske mozog. Ez az érték egészen határozott. Ebben az esetben ez is a koordináták függvénye U = U (x, y, z).

A háromdimenziós esetben, amikor y = y (x, y, z) A Schrödinger-egyenlet első tagja helyett a pszi-függvény három parciális deriváltjának összegét kell felírni három koordinátára vonatkozóan.

Mire használják a Schrödinger-egyenletet? Mint már említettük, ez a kvantummechanika alapegyenlete. Ha felírjuk és megoldjuk (ami egyáltalán nem egyszerű feladat) egy adott mikrorészecskére, akkor megkapjuk a pszi-függvény értékét a tér bármely pontján, amelyben a részecske mozog. Mit ad? A pszi-függvény modulusának négyzete jellemzi valószínűség részecske észlelése a tér egy adott régiójában. Vegyünk egy pontot a térben koordinátákkal x , y , z (6. ábra). Mennyi annak a valószínűsége, hogy ezen a ponton találunk egy részecskét? Válasz: ez a valószínűség nulla! (egy pontnak nincsenek méretei, egy részecske egyszerűen nem tud fizikailag eltalálni egy pontot). Tehát a kérdés helytelenül van feltéve. Fogalmazzunk másként: mekkora a valószínűsége annak, hogy a tér kis régiójában, térfogatú részecskét találunk dV = dx dy dz egy adott pontban van középre állítva? Válasz:

ahol dP az elemi térfogatban lévő részecske kimutatásának elemi valószínűsége dV . A (22) egyenlet valós pszi-függvényre érvényes (lehet összetett is, ebben az esetben a psi-függvény modulusának négyzetét be kell cserélni a (22) egyenletbe. Ha a tér egy régiójának véges térfogata van V , akkor a valószínűség P hogy ebben a térfogatban egy részecske detektálható legyen, a (22) kifejezést a térfogaton keresztül integráljuk V :

Emlékezzen arra a mikrorészecskék mozgásának valószínűségi leírása a kvantummechanika alapgondolata. Így a Schrödinger-egyenlet segítségével megoldódik a kvantummechanika fő problémája: a vizsgált objektum, jelen esetben egy kvantummechanikai részecske mozgásának leírása.

Számos további fontos tényre is felhívjuk a figyelmet. Amint a (21) képletből látható, a Schrödinger-egyenlet egy másodrendű differenciálegyenlet. Következésképpen a megoldás során két tetszőleges állandó jelenik meg. Hogyan lehet megtalálni őket? Ehhez használja az ún határviszonyok: a fizikai probléma konkrét tartalmából ismerni kell a pszi-függvény értékét a mikrorészecske mozgási tartományának határain. Ezen kívül az ún normalizálási feltétel, amelyet a psi-függvénynek teljesítenie kell:

Ennek a feltételnek a jelentése egyszerű: annak valószínűsége, hogy egy részecskét legalább valahol mozgásának tartományán belül észlelünk, egy bizonyos esemény, amelynek valószínűsége eggyel egyenlő.

A Schrödinger-egyenlet megoldását a peremfeltételek töltik meg fizikai jelentéssel. E feltételek nélkül egy egyenlet megoldása pusztán matematikai probléma, fizikai jelentés nélkül. A következő részben egy konkrét példán keresztül a peremfeltételek és a normalizálási feltétel alkalmazását vizsgáljuk meg a Schrödinger-egyenlet megoldásában.

psi függvény

hullámfüggvény (állami funkció, psi függvény, valószínűségi amplitúdó) - komplex értékű függvény használt kvantummechanika számára valószínűségi leírásÁllamok kvantummechanikai rendszer. Tág értelemben ugyanaz, mint állapotvektor.

A "valószínűségi amplitúdó" név egy változata kapcsolódik a statisztikai értelmezés hullámfüggvény: a részecske megtalálásának valószínűsége a tér adott pontjában egy adott időpontban egyenlő ezen állapot hullámfüggvényének abszolút értékének négyzetével.

A hullámfüggvény modulusa négyzetének fizikai jelentése

A hullámfüggvény a rendszer koordinátáitól (vagy általánosított koordinátáitól) és általában az időtől függ, és úgy van kialakítva, hogy négyzet neki modult volt a sűrűség valószínűségek(diszkrét spektrumok esetén csak a valószínűség) a rendszer észleléséhez a koordináták által meghatározott helyzetben az idő pillanatában:

Ekkor a rendszer adott kvantumállapotában, amelyet a hullámfüggvény ír le, kiszámítható annak valószínűsége, hogy egy részecskét a véges térfogatú tér bármely tartományában detektálunk: .

A koordináták halmaza, amely úgy működik, mint függvény argumentumait, képviseli fizikai mennyiségek teljes halmaza ami a rendszerben mérhető. A kvantummechanikában lehetőség van több teljes mennyiséghalmaz kiválasztására, így az azonos állapotú hullámfüggvény különböző argumentumokból írható fel. A hullámfüggvény rögzítéséhez kiválasztott mennyiségek teljes halmaza határozza meg hullámfüggvény ábrázolása. Igen, lehetséges koordináta teljesítmény, impulzív bemutató, be kvantumtér elmélet használt második kvantálásés töltési számábrázolás vagy Fock ábrázolás satöbbi.

Ha például egy atomban lévő elektron hullámfüggvényét koordinátaábrázolásban adjuk meg, akkor a hullámfüggvény modulusának négyzete az elektron megtalálásának valószínűségi sűrűsége a tér egy adott pontjában. Ha az impulzus-ábrázolásban ugyanaz a hullámfüggvény van megadva, akkor a modulusának négyzete az egyik vagy másik megtalálásának valószínűségi sűrűsége lendületVal vel.

Bevezetés

Ismeretes, hogy a kvantummechanika folyamata az egyik legnehezebben érthető. Ez nem annyira az új és „szokatlan” matematikai apparátussal függ össze, hanem elsősorban a forradalmi, a klasszikus fizika szemszögéből, a kvantummechanika mögött meghúzódó gondolatok és az eredmények értelmezésének bonyolultságával.

A legtöbb kvantummechanikai tankönyvben az anyag bemutatása általában a stacionárius Schrödinger-egyenlet megoldásainak elemzésén alapul. A stacionárius megközelítés azonban nem teszi lehetővé a kvantummechanikai probléma megoldásának eredményeinek közvetlen összehasonlítását analóg klasszikus eredményekkel. Ezen túlmenően számos kvantummechanika során vizsgált folyamat (például egy részecske potenciálgáton való áthaladása, egy kvázi-stacionárius állapot lebomlása stb.) elvileg nem stacioner jellegű, és ezért csak a Schrödinger nemstacionárius egyenlet megoldásai alapján érthető meg teljes egészében. Mivel az analitikusan megoldható problémák száma csekély, a kvantummechanika tanulmányozása során különösen fontos a számítógép használata.

A Schrödinger-egyenlet és megoldásainak fizikai jelentése

Schrödinger hullámegyenlet

A kvantummechanika egyik alapegyenlete a Schrödinger-egyenlet, amely meghatározza a kvantumrendszerek állapotának időbeli változását. Formába van írva

ahol H a rendszer Hamilton-operátora, amely egybeesik az energiaoperátorral, ha nem függ az időtől. Az operátor típusát a rendszer tulajdonságai határozzák meg. Egy tömegű részecske U(r) potenciálmezőben történő nemrelativisztikus mozgása esetén az operátor valós, és a részecske kinetikai és potenciális energiájának operátorainak összege jelenti.

Ha a részecske elektromágneses térben mozog, akkor a Hamilton-operátor összetett lesz.

Bár az (1.1) egyenlet időben elsőrendű egyenlet, egy képzeletbeli egység jelenléte miatt periodikus megoldásai is vannak. Ezért az (1.1) Schrödinger-egyenletet gyakran Schrödinger-hullámegyenletnek, megoldását pedig időfüggő hullámfüggvénynek nevezik. Az (1.1) egyenlet a H operátor ismert alakjával lehetővé teszi a hullámfüggvény értékének meghatározását bármely későbbi időpontban, ha ez az érték a kezdeti időpontban ismert. Így a Schrödinger-hullámegyenlet a kvantummechanika oksági elvét fejezi ki.

A Schrödinger hullámegyenlet a következő formai megfontolások alapján kapható meg. A klasszikus mechanikában ismert, hogy ha az energiát koordináták és nyomatékok függvényében adjuk meg

majd az S cselekvési függvény klasszikus Hamilton-Jacobi egyenletére való átmenet

formális transzformációval kaphatjuk meg az (1.3)-ból

Ugyanígy az (1.1) egyenletet az (1.3)-ból kapjuk, amikor az (1.3)-ból formális transzformációval átlépünk az operátoregyenletbe.

ha az (1.3) nem tartalmazza a koordináták és a nyomatékok szorzatát, vagy olyan szorzatokat tartalmaz, amelyek az (1.4) operátoroknak való átadás után egymással ingáznak. E transzformáció után az eredményül kapott operátoregyenlőség jobb és bal oldali részének operátorainak függvényére gyakorolt ​​hatást egyenlítve az (1.1) hullámegyenlethez jutunk. Ezeket a formális transzformációkat azonban nem szabad a Schrödinger-egyenlet levezetésének tekinteni. A Schrödinger-egyenlet kísérleti adatok általánosítása. A kvantummechanikában nem származtatják, ahogyan a Maxwell-egyenletek sem származnak az elektrodinamikában, úgy a klasszikus mechanikában sem a legkisebb hatás elve (vagy Newton-egyenletek).

Könnyen ellenőrizhető, hogy az (1.1) egyenlet teljesül-e a hullámfüggvényre

egy bizonyos impulzusértékű részecske szabad mozgását írja le. Általános esetben az (1.1) egyenlet érvényességét az ezen egyenlet segítségével levont következtetések tapasztalatokkal való megegyezése bizonyítja.

Mutassuk meg, hogy az (1.1) egyenletből következik a fontos egyenlőség

jelzi a hullámfüggvény normalizálódásának időbeli megőrzését. Szorozzuk meg (1.1) a bal oldalon a * függvénnyel, és szorozzuk meg az (1.1)-hez konjugált komplex egyenletet a függvénnyel, és vonjuk ki a második egyenletet az első kapott egyenletből; akkor megtaláljuk

Ezt az összefüggést a változók összes értékére integrálva és figyelembe véve az operátor önadjungáltságát, megkapjuk (1.5).

Ha az (1.6) összefüggésben a Hamilton-operátor (1.2) explicit kifejezésével helyettesítjük egy részecske mozgását egy potenciálmezőben, akkor differenciálegyenlethez (kontinuitási egyenlethez) jutunk.

ahol a valószínűségi sűrűség és a vektor

valószínűségi áramsűrűség vektornak nevezhető.

A komplex hullámfüggvény mindig ábrázolható

ahol és az idő és a koordináták valós függvényei. Tehát a valószínűségi sűrűség

és a valószínűségi áramsűrűség

Az (1.9)-ből következik, hogy j = 0 minden olyan függvényre, amelynek Φ függvénye nem függ a koordinátáktól. Konkrétan j= 0 minden valós függvényre.

Az (1.1) Schrödinger-egyenlet megoldásait általában összetett függvények ábrázolják. Az összetett funkciók használata nagyon kényelmes, bár nem szükséges. Egy komplex függvény helyett a rendszer állapota két valós függvénnyel írható le, két csatolt egyenlet kielégítésével. Például, ha a H operátor valós, akkor a függvényt (1.1)-be behelyettesítve és a valós és képzetes részt elválasztva két egyenletrendszert kapunk.

ebben az esetben a valószínűségi sűrűség és a valószínűségi áramsűrűség formát ölt

Hullámfüggvények impulzusábrázolásban.

A hullámfüggvény Fourier-transzformációja jellemzi a momentum eloszlását kvantumállapotban. Le kell vezetni egy integrálegyenletet a potenciál Fourier-transzformációjával, mint kernel.

Megoldás. A és függvények között két kölcsönösen fordított összefüggés van.

Ha a (2.1) relációt definícióként használjuk és egy műveletet alkalmazunk rá, akkor egy 3 dimenziós függvény definícióját figyelembe véve,

ennek eredményeként, amint az könnyen belátható, a (2.2) fordított összefüggést kapjuk. Az alábbiakban hasonló megfontolásokat használunk a (2.8) összefüggés levezetésénél.

akkor a bennünk rejlő potenciál Fourier-képéhez

Feltételezve, hogy a hullámfüggvény kielégíti a Schrödinger-egyenletet

Ha itt behelyettesítjük a (2.1) és (2.3) kifejezéseket, azt kapjuk

A kettős integrálban a változó feletti integrációról a változó feletti integrációra térünk át, majd ezt az új változót ismét jellel jelöljük. Az over integrál csak akkor tűnik el bármely értéknél, ha maga az integrandus egyenlő nullával, de akkor

Ez a kívánt integrálegyenlet a potenciál Fourier-transzformációjával, mint kernel. Természetesen a (2.6) integrálegyenlet csak akkor kapható meg, ha a (2.4) potenciál Fourier-transzformációja létezik; ehhez például a potenciálnak nagy távolságokon kell csökkennie, legalább annyiban, hol.

Meg kell jegyezni, hogy a normalizálási feltételből

egyenlőség következik

Ez úgy mutatható ki, hogy a (2.1) kifejezést a (2.7) kifejezésre cseréljük:

Ha itt először végrehajtjuk az integrációt, akkor könnyen megkapjuk a (2.8) relációt.