Rene derékszögű koordinátarendszer a térben. A koordinátarendszer bemutatása
A térbeli téglalap alakú koordinátarendszer egy O pontban metsző, egymásra merőleges tengelyek hármasa, amelyet origónak nevezünk.
A koordinátatengelyeket általában betűkkel jelöljük, és rendre abszcissza tengelynek, y tengelynek, applikációs tengelynek vagy Oy tengelynek, tengelynek nevezzük (33. ábra).
Az Ox, Oy, Oz koordinátatengelyek ort-jait rendre jelöljük, vagy elsősorban az utóbbi jelölést fogjuk használni.
A jobb és a bal koordinátarendszerek megkülönböztetése.
A koordináta-rendszert akkor nevezzük jobbnak, ha a harmadik ort végétől az első ortról a második ort felé való kanyarodásig az órával szembeni fordulatot látunk (34. ábra, a).
A koordinátarendszert balnak nevezzük, ha a harmadik egységvektor végétől az első egységegységtől a második egységegységig az óramutató járásával megegyező irányú forgást látunk (34. ábra, b).
Így ha a csavart a k vektor irányába csavarja be, onnantól elforgatva jobb rendszer esetén a menet jobb, bal oldali rendszer esetén balos legyen (35. ábra).
A vektoralgebra számos rendelkezése nem függ attól, hogy a jobb vagy a bal koordinátarendszert használjuk. Néha azonban ez a körülmény számít. A jövőben mindig a megfelelő koordinátarendszert használjuk, ahogy az a fizikában megszokott.
Egy pont térbeli helyzetének meghatározásához derékszögű derékszögű koordinátákat használunk (2. ábra).
A térben a derékszögű derékszögű koordinátarendszert három egymásra merőleges koordinátatengely alkotja: OX, OY, OZ. A koordinátatengelyek a koordináták origójának nevezett O pontban metszik egymást, minden tengelyen kiválasztjuk a nyilakkal jelzett pozitív irányt, és a tengelyeken lévő szakaszok mértékegységét. Az egységek általában (nem feltétlenül) minden tengelyre azonosak. Az OX tengelyt abszcissza tengelynek (vagy egyszerűen abszcissza tengelynek), az OY tengelyt ordináta tengelynek ( ordináta ), az OZ tengelyt az applikációs tengelynek ( applicate ) nevezik.
Az A pont helyzetét a térben három x, y és z koordináta határozza meg. Az x koordináta egyenlő az OB szakasz hosszával, az y koordináta az OC szakasz hosszával, a z koordináta az OD szakasz hossza a kiválasztott egységekben. Az OB, OC és OD szakaszokat a YOZ, XOZ és XOY síkkal párhuzamos pontból rajzolt síkok határozzák meg.
Az x koordinátát az A pont abszcisszájának, az y koordinátát az A pont ordinátájának, a z koordinátát pedig az A pont alkalmazásának nevezzük.
Szimbolikusan így van írva:
vagy köt egy koordináta rekordot egy adott ponthoz index segítségével:
x A , y A , z A ,
Minden tengelyt számegyenesnek tekintünk, vagyis pozitív iránya van, és a negatív koordinátaértékeket a negatív sugáron fekvő pontokhoz rendeljük (a távolságot mínusz előjellel veszik). Azaz, ha például a B pont nem az OX sugáron fekszik, mint az ábrán, hanem annak az O ponttal ellentétes irányú folytatásán (az OX tengely negatív részén), akkor az abszcissza Az A pont x-e negatív lenne (mínusz az OB távolság). Hasonlóan a másik két tengelyhez.
ábrán látható OX, OY, OZ koordinátatengelyek. 2 jobb oldali koordinátarendszert alkotnak. Ez azt jelenti, hogy ha az OX tengely pozitív iránya mentén nézzük a YOZ síkot, akkor az OY tengely mozgása az OZ tengely felé az óramutató járásával megegyezően történik. Ezt a helyzetet a kardánszabály segítségével írhatjuk le: ha a kardánt (jobbos csavart) az OY tengelytől az OZ tengely felé forgatjuk, akkor az OX tengely pozitív iránya mentén mozog.
A koordinátatengelyek mentén irányított egységnyi hosszúságú vektorokat koordinátavektoroknak nevezzük. Általában úgy emlegetik őket 
(3. ábra). Ott van a megnevezés is 
Az ortok képezik a koordinátarendszer alapját.
Derékszögű koordinátarendszer esetén az alábbi képletek érvényesek az ort vektorok szorzatával:
Két vagy három, egymásra merőleges, közös origóval (origióval) és közös hosszegységgel metsző tengelyből álló rendezett rendszert ún. derékszögű derékszögű koordinátarendszer .
Általános derékszögű koordinátarendszer (affin koordinátarendszer) tartalmazhat nem feltétlenül merőleges tengelyeket is. Rene Descartes (1596-1662) francia matematikus tiszteletére olyan koordinátarendszert neveznek el, amelyben minden tengelyen közös hosszegységet számolnak, és a tengelyek egyenesek.
Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a síkon két tengelye van derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben - három tengely. A síkon vagy a térben minden egyes pontot koordináták rendezett halmaza határoz meg – számok a koordinátarendszer egységhosszának megfelelően.
Vegyük észre, hogy a definícióból következik, hogy van egy derékszögű koordinátarendszer egy egyenesen, azaz egy dimenzióban. A derékszögű koordináták egyenesen való bevezetése az egyik módja annak, hogy az egyenes bármely pontjához egy jól meghatározott valós számot, azaz koordinátát rendeljünk.
A koordináták módszere, amely René Descartes munkáiban merült fel, az egész matematika forradalmi átstrukturálását jelentette. Lehetővé vált az algebrai egyenletek (vagy egyenlőtlenségek) geometriai képek (grafikonok) formájában történő értelmezése, és fordítva, a geometriai problémák megoldásának keresése analitikus képletek, egyenletrendszerek segítségével. Igen, egyenlőtlenség z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyés 3 egységgel e sík felett helyezkedik el.
A derékszögű koordinátarendszer segítségével egy pont adott görbéhez való tartozása megfelel annak, hogy a számok xés y kielégíteni valamilyen egyenletet. Tehát egy adott pontban középpontban lévő kör pontjának koordinátái ( a; b) teljesítik az egyenletet (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a síkon
Egy síkon két egymásra merőleges tengely alakul ki, amelyeknek közös origója és azonos léptékegysége van Derékszögű koordinátarendszer a síkon . Ezen tengelyek egyikét tengelynek nevezzük Ökör, vagy x tengely , a másik - a tengely Oy, vagy y tengely . Ezeket a tengelyeket koordinátatengelyeknek is nevezik. Jelölje Mxés My illetve egy tetszőleges pont vetülete M tengelyen Ökörés Oy. Hogyan szerezzünk előrejelzéseket? Menj át a ponton M Ökör. Ez a vonal metszi a tengelyt Ökör azon a ponton Mx. Menj át a ponton M tengelyre merőleges egyenes Oy. Ez a vonal metszi a tengelyt Oy azon a ponton My. Ez az alábbi ábrán látható.
xés y pontokat M az irányított szegmensek nagyságát rendre hívjuk OMxés OMy. Ezen irányszegmensek értékeit a következőképpen számítjuk ki x = x0 - 0 és y = y0 - 0 . Derékszögű koordináták xés y pontokat M abszcissza és ordináta . Az a tény, hogy a pont M koordinátái vannak xés y, a következőképpen jelöljük: M(x, y) .
A koordinátatengelyek négy részre osztják a síkot negyedkör , amelynek számozása az alábbi ábrán látható. Jelzi a pontok koordinátáinak jeleinek elrendezését is, attól függően, hogy hol helyezkednek el az egyik vagy másik negyedben.
A síkban a derékszögű derékszögű koordináták mellett gyakran figyelembe veszik a poláris koordináta-rendszert is. Az egyik koordinátarendszerből a másikba való átmenet módszeréről - a leckében poláris koordináta-rendszer .
Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben
A térben a derékszögű koordinátákat a síkon lévő derékszögű koordinátákkal teljes analógiaként vezetjük be.
Három egymásra merőleges tengely a térben (koordinátatengelyek), amelyek közös origóval rendelkeznek Oés ugyanaz a mértékegységforma Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben .
Ezen tengelyek egyikét tengelynek nevezzük Ökör, vagy x tengely , a másik - a tengely Oy, vagy y tengely , harmadik - tengely Oz, vagy alkalmazási tengely . Legyen Mx, My Mz- tetszőleges pont vetületei M terek a tengelyen Ökör , Oyés Oz illetőleg.
Menj át a ponton M ÖkörÖkör azon a ponton Mx. Menj át a ponton M tengelyére merőleges sík Oy. Ez a sík metszi a tengelyt Oy azon a ponton My. Menj át a ponton M tengelyére merőleges sík Oz. Ez a sík metszi a tengelyt Oz azon a ponton Mz.
Derékszögű derékszögű koordináták x , yés z pontokat M az irányított szegmensek nagyságát rendre hívjuk OMx, OMyés OMz. Ezen irányszegmensek értékeit a következőképpen számítjuk ki x = x0 - 0 , y = y0 - 0 és z = z0 - 0 .
Derékszögű koordináták x , yés z pontokat M ennek megfelelően nevezik el abszcissza , ordináta és rátét .
Párban véve a koordinátatengelyek a koordinátasíkban helyezkednek el xOy , yOzés zOx .
Feladatok a derékszögű koordinátarendszer pontjairól
1. példa
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Keresse meg ezen pontok vetületeinek koordinátáit az x tengelyen!
Döntés. A lecke elméleti részéből az következik, hogy egy pont x tengelyre vetítése magán az x tengelyen, azaz a tengelyen található. Ökör, ezért van egy abszcisszája magának a pontnak az abszcisszájával, és van egy ordinátája (a tengely koordinátája Oy, amelyet az x tengely a 0 pontban metszi), egyenlő nullával. Így ezeknek a pontoknak a következő koordinátáit kapjuk az x tengelyen:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
2. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Keresse meg ezen pontok vetületeinek koordinátáit az y tengelyen!
Döntés. A lecke elméleti részéből az következik, hogy egy pont y tengelyre vetítése magán az y tengelyen található, vagyis a tengelyen Oy, ezért van egy ordinátája megegyezik magának a pont ordinátájával, és van egy abszcisszája (a tengely koordinátája Ökör, amelyet az y tengely a 0 pontban metszi), egyenlő nullával. Így az y tengely pontjainak a következő koordinátáit kapjuk:
Ay(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
3. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Ökör .
Ökör Ökör Ökör, az adott pont abszcisszája lesz, az ordináta pedig abszolút értékben megegyezik az adott pont ordinátájával, előjelében pedig ellentétes vele. Így a következő koordinátákat kapjuk a tengely körüli pontokra szimmetrikusan Ökör :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Oldja meg a feladatokat a derékszögű koordinátarendszeren, majd nézze meg a megoldásokat
4. példa Határozza meg, mely negyedekben (negyedek, ábra negyedekkel - a "Téglalap derékszögű koordinátarendszer a síkon" bekezdés végén) található a pont M(x; y) , ha
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
5. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Keresse meg a tengely körüli pontokra szimmetrikus pontok koordinátáit Oy .
Továbbra is közösen oldjuk meg a problémákat
6. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Keresse meg a tengely körüli pontokra szimmetrikus pontok koordinátáit Oy .
Döntés. Forgassa el 180 fokkal a tengely körül Oy tengelyből irányított vonalszakasz Oy eddig a pontig. Az ábrán, ahol a sík kvadránsai vannak feltüntetve, azt látjuk, hogy az adott pontra a tengelyre szimmetrikus pont Oy, ugyanaz lesz az ordinátája, mint az adott pont, és egy abszcisszája abszolút értékű lesz az adott pont abszcisszájával, és ellentétes előjelű. Így a következő koordinátákat kapjuk a tengely körüli pontokra szimmetrikusan Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
7. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Keresse meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek szimmetrikusak az origóhoz képest!
Döntés. 180 fokkal elforgatjuk az irányított szakasz origója körül, az origótól az adott pontig haladva. Az ábrán, ahol a sík kvadránsai vannak feltüntetve, azt látjuk, hogy a koordináták origója szempontjából egy adott pontra szimmetrikus pontnak lesz egy abszcisszája és egy ordinátája abszolút értékben az adott pont abszcisszájával és ordinátájával. , de velük szemben. Így az origó szempontjából ezekre a pontokra szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
8. példa
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Keresse meg ezen pontok vetületeinek koordinátáit:
1) repülőn Oxy ;
2) a repülőre Oxz ;
3) a repülőre Oyz ;
4) az abszcissza tengelyen;
5) az y tengelyen;
6) a rátét tengelyén.
1) Egy pont síkra vetítése Oxy magán ezen a síkon helyezkedik el, és ezért van egy abszcisszája és ordinátája, amely megegyezik az adott pont abszcisszájával és ordinátájával, és egy applikációja nullával egyenlő. Így ezeknek a pontoknak a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk Oxy :
Axy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Egy pont síkra vetítése Oxz ezen a síkon található, és ezért az adott pont abszcisszájával és aplikátjával egyenlő, ordinátája pedig nulla. Így ezeknek a pontoknak a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Egy pont síkra vetítése Oyz magán ezen a síkon helyezkedik el, és ezért van egy ordinátája és egy applikációja, amely megegyezik egy adott pont ordinátájával és applikációjával, az abszcisszája pedig nullával egyenlő. Így ezeknek a pontoknak a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) A lecke elméleti részéből az következik, hogy egy pontnak az x tengelyre vetítése magán az x tengelyen, azaz a tengelyen található. Ökör, ezért az abszcisszája megegyezik magának a pontnak abszcisszájával, a vetület ordinátája és applikátuma pedig nulla (mivel az ordináta és az applikációs tengely a 0 pontban metszi az abszcisszát). Ezeknek a pontoknak az x tengelyen a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) Egy pont vetülete az y tengelyen magán az y tengelyen található, vagyis a tengelyen Oy, és ezért ordinátája megegyezik magának a pontnak az ordinátájával, és a vetítés abszcissza és applikátuma egyenlő nullával (mivel az abszcissza és az applikációs tengely a 0 pontban metszi az ordináta tengelyét). Ezeknek a pontoknak az y tengelyen lévő vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk:
Ay(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) Egy pont vetülete az alkalmazási tengelyen magán az alkalmazási tengelyen található, vagyis a tengelyen Oz, és ezért magának a pontnak az applikátumával egyenlő, és a vetítés abszcissza és ordinátája egyenlő nullával (mivel az abszcissza és az ordináta tengelye a 0 pontban metszi az applikációs tengelyt). Az alkalmazási tengelyen ezeknek a pontoknak a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
9. példa A pontok a térben a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Keresse meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek szimmetrikusak ezekre a pontokra vonatkozóan:
1) repülőgép Oxy ;
2) sík Oxz ;
3) sík Oyz ;
4) abszcissza tengely;
5) y tengely;
6) rátét tengely;
7) a koordináták origója.
1) "Lépje előre" a pontot a tengely másik oldalán Oxy Oxy, lesz egy abszcisszája és egy ordinátája, amely megegyezik az adott pont abszcisszájával és ordinátájával, valamint egy applikációja, amely nagyságrendileg megegyezik az adott pont applikációjával, de ellentétes előjellel. Így az adatokra a síkra vonatkoztatva szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) A tengely másik oldalán lévő pontot "előre" vinni Oxz ugyanarra a távolságra. A koordinátateret ábrázoló ábra szerint azt látjuk, hogy az adott pontra a tengelyre szimmetrikus Oxz, az adott pont abszcisszájával és applikátjával egyenlő abszcisszája és applikációja, valamint az adott pont ordinátájával nagyságrendileg megegyező, de azzal ellentétes előjelű ordinátája lesz. Így az adatokra a síkra vonatkoztatva szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) A tengely másik oldalán lévő pontot "előre vinni". Oyz ugyanarra a távolságra. A koordinátateret ábrázoló ábra szerint azt látjuk, hogy az adott pontra a tengelyre szimmetrikus Oyz, lesz egy ordinátája és egy applikációja, amely megegyezik az adott pont ordinátájával és egy applikációjával, valamint egy abszcisszája, amely nagysága megegyezik az adott pont abszcisszájával, de ellentétes előjellel. Így az adatokra a síkra vonatkoztatva szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
A síkon lévő szimmetrikus pontokhoz és a síkokhoz viszonyított adatokra szimmetrikus térbeli pontokhoz hasonlóan megjegyezzük, hogy a Descartes-féle koordinátarendszer valamely tengelye körüli szimmetria esetén az a koordináta a tengelyen, amelyre a szimmetria be van állítva. megőrzi előjelét, a másik két tengely koordinátái pedig abszolút értékben megegyeznek az adott pont koordinátáival, de ellentétes előjellel.
4) Az abszcissza megtartja jelét, míg az ordináta és az applikátum jeleket vált. Tehát az x tengelyre vonatkozó adatokkal szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Az ordináta megőrzi jelét, míg az abszcissza és az applikát jelet vált. Tehát az y tengelyre vonatkozó adatokkal szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) A kérvény megtartja jelét, az abszcisszán és az ordináta pedig jelet vált. Így a következő pontok koordinátáit kapjuk, amelyek szimmetrikusak az alkalmazási tengelyre vonatkozó adatokkal:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) A szimmetriával analóg módon egy síkon lévő pontok esetén a koordináták origójára vonatkozó szimmetria esetén egy adott pontra szimmetrikus pont összes koordinátája abszolút értékben egyenlő egy adott pont koordinátáival, hanem ellentétes előjelben velük. Így a következő koordinátákat kapjuk azoknak a pontoknak a koordinátáiról, amelyek szimmetrikusak az origóhoz képest.
Ha a térben az O ponton keresztül három per-pen-di-ku-lar-vonalat húzunk, ezeket hívjuk, vesszük a jobb-lenie-t, ami egyszeri bevágásokat jelöl, akkor kapunk téglalap alakú si-ste-mu ko-or-di-nat a térben. A ko-or-di-nat tengelyei na-zy-va-yut-sya a következők: Oh - az abs-ciss tengely, Oy - az or-di-nat tengelye és Óz - tengely fel-pli-kat. Az egész si-ste-ma ko-or-di-nat jelentése-me-cha-et-sya - Oxyz. Ilyen módon három van co-or-di-nat-nye repülőgépek: Oxy, Oxz, Oyz.
Példát adunk egy B pont (4; 3; 5) felépítésére egy téglalap alakú ko-or-di-nat rendszerben (lásd 1. ábra).
Rizs. 1. B pont felépítése a térben
Az első ko-or-di-na-ta pont B - 4, tehát a-cla-dy-va-emtől az Ox 4-ig, elhalványítunk egy közvetlen para-ral-lel-but tengely Oy-t az újrakereséshez -che-tion egy egyenes vonallal, amely áthalad y \u003d 3-on. Ily módon megkapjuk a K pontot. Ez a pont az Oxy-síkban található, és a co-or-di-na-you K (4; 3; 0) értéke van. Most meg kell pro-ve-sti irányítani par-ral-lel-de az Óz tengelyt. És egyenesen, valaki-paradicsom halad át egy ponton, ahol app-pli-ka-that 5 és para-ral-lel-on dia-go-on-ma pa-ral-le-lo-gram -ma az Oxy síkban. Re-se-che-niijükön megkapjuk a kívánt B pontot.
Tekintsük a pontok eloszlását, egyeseknél egy vagy két co-or-di-na-you egyenlő 0-val (lásd 2. ábra).
Például az A(3;-1;0) pont. Folytatnunk kell az Oy tengelyt balra a -1 értékig, az Ox tengelyen meg kell keresni a 3. pontot, és az ezen értékeken áthaladó egyenesek ismétlődésekor -tion kapjuk az A pontot. pont app-pli-ka-tu 0, ami azt jelenti, hogy az Oxy síkban van.
A C pontban (0; 2; 0) van abs-cisz-su és app-pli-ka-tu 0 - nem tőlem-cha-e. Az or-di-na-ta egyenlő 2-vel, ami azt jelenti, hogy a C pont csak az Oy tengelyen fekszik, valami-paradicsom az-la-is-re-re-se-che-no-ez lapos stey Oxy és Oyz.
A D pont mozgatásához (-4; 0; 3) folytatjuk az Ox tengelyt na-cha-lo ko-or-di-nat visszafelé a -4 pontig. Most állítsa vissza a száznav-li-va-emet innen a per-pen-di-ku-lyar pontról - egyenesen, párhuzamosan az Óz tengellyel, hogy ismételje meg a se-che-niya-t egy egyenes vonallal, párhuzamos az Ox tengellyel és áthalad a 3 értéken az Oz tengelyen. A jelenlegi D szerint (-4; 0; 3). Mivel az or-di-on-e pont egyenlő 0-val, ezért a D pont az Oxz síkban van.
A következő pont az E(0;5;-3). Or-di-na-ta pont 5, app-pli-ka-ta -3, ezeken az értékeken áthaladó egyenes vonalakat adunk át a válasz -th-tengelyeken, és a re-se-che-nii , megkapjuk az E pontot (0; 5; -3). Ennek a pontnak az első co-or-di-to-tu 0, ami azt jelenti, hogy az Oyz-síkban található.
2. Vektor koordináták
Rohadt derékszögű si-ste-mu ko-or-di-nat az Oxyz térben. Za-da-dim egy téglalap alakú si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz terében. A lo-zhi-tel-nyh in-lu-tengelyek mindegyikén from-lo-weep from na-cha-la ko-or-di-nat egyetlen vektor, azaz vektor-torus, a valami-ro- hossza. go egyenlő eggyel. Jelöljük az abs-ciss tengely egyetlen vektorát, az or-di-nat tengely egyetlen vektorát és a fel-pli-kat tengely egyetlen vektorát (lásd 1. ábra). Ezek a szemhéjak jobbra-le-na a jobb-le-ni-i-mi tengelyekkel, egyetlen hosszúságúak és or-to-go-nal-na - párban - de per-pen-di -ku-lyar-ny. Ilyen évszázad-ra-na-zy-va-yut ko-or-di-nat-ny-mi age-to-ra-mi vagy ba-zi-harcsa.
Rizs. 1. Raz-lo-same-age-that-ra három co-or-di-nat-ny century-hat-kockában
Vegyünk egy mem-tort, in-me-stim azt na-cha-lo ko-or-di-nat-ban, és terjessze el ezt a vektor-tort három bizonyos-terv-nar-nym - le-zha -shim különböző síkban. - századtól kockáig. Ehhez engedjük le az M pont vetületét az Oxy síkra, és keressünk egy co-or-di-on-you vektorárkot, és. On-lu-cha-eat:. Ras-look-rim on-del-no-sti mindegyik évszázados-az-árok. A vektortórusz az Ox tengelyen fekszik, ami azt jelenti, hogy a vektor egy számmal való szorzásának tulajdonsága szerint valamilyen x feminin számként ábrázolható a ko- vagy di-nat-ny vektoron. , és a szemhéj hossza pontosan x-szer nagyobb, mint a hossza. Ugyanígy lépjünk tovább egy évszázaddal-az-ra-mi és, és egy lu-cha-eat times-lo-same-kor évszázad-that-ra három ko-vagy-di-nat-ny-val. évszázadok - to-ram:
Co-ef-fi-qi-en-you ez idő x, y és z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi age-to-ra az űrben.
Ras-look-rim right-vi-la, néhány-rozs pózok-in-la-yut szerint ko-or-di-on-ott adott évszázadok-to-dig megtalálni ko-or-di-na- te vagy ezek összege és különbsége, valamint co-or-di-na-you pro-from-ve-de-niya egy adott évszázad-that-ra egy adott számon.
1) Bonyolultság:
2) Te-csi-ta-nie:
3) Szorzás egy számmal: 
,
Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go bagoly-pa-yes-et na-cha-scrap ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya sugár-század-rum.(2. ábra). Vector-tor - ra-di-us-vektor, ahol x, y és z a co-ef-fi-qi-en-you raz-lo-same-ciója ennek az évszázadnak-ra a co-or szerint. di-nat-ny század-to-ram,,. Ebben az esetben x az Ox tengely A pontjának első ko- vagy di-on-ta-ja, y az Oy tengelyen lévő B pont ko-vagy-di-ta-ja, z pedig ko-vagy - di-na-ta C pont az Óz tengelyen. ri-sun-ku szerint egyértelmű, hogy ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra one-but-time-men-but is-la-yut-sya ko- or-di -on-ta-mi pontok M.
Vegyük az A(x1;y1;z1) pontot és a B(x2;y2;z2) pontot (lásd a 3. ábrát). A század-tort úgy képzeljük el, mint egy évszázad és egy-árok különbségét, és tulajdonképpen egy évszázad-árok különbségét. Sőt, és - ra-di-us-vek-to-ry, és a co-or-di-na-you co-pa-da-yut a co-or-di-na-ta-mi con- tsov ezeket évszázadok-árok. Akkor elképzelhetjük, hogy a ko-or-di-na-you évszázad-that-ra különbség a-a-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat századtól-az-ároktól és: . Ily módon, ko-or-di-na-you századtól-ra, vy-ra-zit a ko-or-di-na-you of the end és a na-cha-la évszázadtól-ra. .
Ras-nézd meg a példákat, egy évszázados árok il-lu-stri-ru-yu-sche tulajdonságait és azok you-ra-same-cióját a co-or-di-on-you révén. Take-meme évszázad-that-ry , , . Kérdezzük-shi-va-yut vektor. Ebben az esetben megtalálni azt jelenti, hogy találunk egy századost, akit ez teljesen elhatározott. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie, ahelyett, hogy száz évszázaddal-egy-árok-a-rep-stven-de a co-or-di-on-you-val. By-lu-cha-eat:
Most megszorozzuk a 3-as számot minden co-or-di-na-tu-hoz zárójelben, és ugyanazt a de-la-em-t 2-vel:
Három századi árok összegével rendelkezünk, ezeket a fent vizsgált tulajdonság szerint tároljuk:
Válasz: 
2. példa.
Adott: Háromszög alakú pi-ra-mi-da AOBC (lásd 4. ábra). AOB, AOC és OCB repülőgépek - párban, de per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - ser. CB.
Megtalálni: ,,,,,,,.
Megoldás: Vezessünk be egy téglalap alakú si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz-t a számlálás kezdetével az O pontban. A feltétel alapján ismerjük az A, B és C pontokat a tengelyeken és a se-re -di-ny a pi-ra-mi-dy élei közül - M, P és N. A ri-sun-ku on-ho-dim ko-or -di-on-you szerint a pi-ra-mi csúcsai -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).
A téglalap alakú (más elnevezések - lapos, kétdimenziós) koordinátarendszer, amelyet a francia Descartes (1596-1650) tudós "derékszögű koordinátarendszer a síkon" után neveztek el, a síkon két numerikus tengely derékszögű metszéspontjából jön létre ( merőlegesen) úgy, hogy az egyik pozitív féltengelye jobbra mutasson (x-tengely vagy abszcissza), a második pedig felfelé (y-tengely vagy y-tengely).
A tengelyek metszéspontja egybeesik mindegyik 0 pontjával, és origónak nevezzük.
Mindegyik tengelyhez egy tetszőleges lépték van kiválasztva (egységnyi hosszúságú szegmens). A sík minden pontja egy számpárnak felel meg, amelyeket a sík pontjának koordinátáinak nevezünk. Ezzel szemben bármely rendezett számpár megfelel a sík azon pontjának, amelyre ezek a számok koordináták.
Egy pont első koordinátáját az adott pont abszcisszájának, a második koordinátát ordinátának nevezzük.
A teljes koordinátasík 4 kvadránsra (negyedre) van osztva. A kvadránsok az elsőtől a negyedikig az óramutató járásával ellentétes irányban helyezkednek el (lásd az ábrát).
Egy pont koordinátáinak meghatározásához meg kell találnia a távolságát az abszcissza tengelytől és az ordináta tengelyétől. Mivel a távolságot (legrövidebbet) a merőleges határozza meg, ezért a tengelyen lévő pontból két merőlegest (segédvonalat a koordinátasíkon) leengedünk úgy, hogy metszéspontjuk az adott pont helye legyen a koordinátasíkban. A merőlegesek tengelyekkel való metszéspontjait a pont koordinátatengelyekre való vetületeinek nevezzük.
Az első kvadránst az abszcissza és az ordináta pozitív féltengelyei korlátozzák. Ezért a sík ezen negyedében lévő pontok koordinátái pozitívak lesznek
("+" jelek és
Például az M (2; 4) pont a fenti ábrán.
A második negyedet a negatív abszcissza féltengely és a pozitív y tengely határolja. Ezért a pontok koordinátái az abszcissza tengely mentén negatívak („-” jel), az ordináta tengely mentén pedig pozitívak („+” jel).
Például a fenti ábrán a C pont (-4; 1).
A harmadik negyedet a negatív abszcissza féltengely és a negatív y tengely határolja. Ezért az abszcissza és az ordináták mentén lévő pontok koordinátái negatívak lesznek ("-" és "-" jelek).
Például a fenti ábrán a D pont (-6; -2).
A negyedik negyedet a pozitív abszcissza féltengely és a negatív y tengely határolja. Ezért az x tengely mentén lévő pontok koordinátái pozitívak lesznek (a „+” jel). és az ordináta tengelye mentén - negatív ("-" jel).
Például az R (3; -3) pont a fenti ábrán.
Pont felépítése adott koordinátái alapján
megtaláljuk a pont első koordinátáját az x tengelyen, és rajzolunk rajta egy segédvonalat - a merőlegest;
megtaláljuk a pont második koordinátáját az y tengelyen, és húzunk rajta egy segédvonalat - a merőlegest;
két merőleges (segédegyenes) metszéspontja, és a megadott koordinátákkal rendelkező pontnak fog megfelelni.