A számtani és geometriai progresszió elmélete. Egy geometriai progresszió n-edik tagjának képlete

Fontos jegyzetek!
1. Ha a képletek helyett abrakadabra jelenik meg, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt böngészőben csinálni:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen a navigátorunkra, hogy megtalálja a leghasznosabb forrást

Numerikus sorozat

Tehát üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:

Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit akar (esetünkben ezek). Akárhány számot írunk, mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis meg tudjuk számozni. Ez egy példa egy számsorozatra:

Numerikus sorozat számok halmaza, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.

Például a sorozatunkhoz:

A hozzárendelt szám csak egy sorszámra vonatkozik. Más szóval, nincs három másodperces szám a sorozatban. A második szám (mint a -edik szám) mindig ugyanaz.

A számot tartalmazó számot a sorozat -edik tagjának nevezzük.

Általában az egész sorozatot valamilyen betűnek hívjuk (például), és ennek a sorozatnak minden tagja - ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

A mi esetünkben:

A progresszió leggyakoribb típusai az aritmetikai és a geometriai. Ebben a témában a második fajtáról fogunk beszélni - geometriai progresszió.

Miért van szükségünk geometriai progresszióra és annak történetére?

Már az ókorban is az olasz matematikus, Leonardo pisai szerzetes (ismertebb nevén Fibonacci) foglalkozott a kereskedelem gyakorlati szükségleteivel. A szerzetes azzal a feladattal állt szemben, hogy megállapítsa, mi a legkisebb súlyszám, amellyel az árut le lehet mérni? Fibonacci írásaiban bebizonyítja, hogy egy ilyen súlyrendszer optimális: Ez az egyik első olyan helyzet, amikor az embereknek olyan geometriai progresszióval kellett megküzdeniük, amelyről valószínűleg hallottál, és legalábbis általános elképzelésed van róla. Miután teljesen megértette a témát, gondolja át, miért optimális egy ilyen rendszer?

Jelenleg az életgyakorlatban egy geometriai progresszió nyilvánul meg a banki pénzbefektetésnél, amikor a számlán az előző időszakra felhalmozott összegre terhelik a kamat összegét. Vagyis ha egy takarékpénztárban lekötött betétre helyez el pénzt, akkor egy év alatt a betét az eredeti összeghez képest eggyel nő, pl. az új összeg a hozzájárulás szorzata lesz. Egy másik évben ez az összeg i.е. az ekkor kapott összeget ismét megszorozzuk és így tovább. Hasonló helyzetet írnak le a számítási problémáknál az ún kamatos kamat- a százalékot minden alkalommal a számlán lévő összegből veszik, figyelembe véve a korábbi kamatot. Ezekről a feladatokról egy kicsit később lesz szó.

Sok egyszerűbb eset van, amikor geometriai progressziót alkalmaznak. Például az influenza terjedése: egy személy megfertőzött egy személyt, ők viszont megfertőztek egy másik személyt, és így a fertőzés második hulláma - egy személy, és ők viszont megfertőztek egy másikat ... és így tovább. .

Egyébként a pénzügyi piramis, ugyanaz az MMM, egy egyszerű és száraz számítás a geometriai progresszió tulajdonságai szerint. Érdekes? Találjuk ki.

Geometriai progresszió.

Tegyük fel, hogy van egy számsorunk:

Azonnal azt válaszolja, hogy könnyű, és egy ilyen sorozat neve a tagok különbségével van. Mit szólnál valami ehhez hasonlóhoz:

Ha kivonja az előző számot a következő számból, akkor látni fogja, hogy minden alkalommal, amikor új különbséget kap (és így tovább), de a sorozat határozottan létezik és könnyen észrevehető - minden következő szám szor nagyobb, mint az előző !

Ezt a sorozattípust ún geometriai progresszióés meg van jelölve.

A geometriai progresszió ( ) olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja nullától eltérő, és minden tag, a másodiktól kezdve, egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének.

Azok a megkötések, amelyek szerint az első tag ( ) nem egyenlő, és nem véletlenszerűek. Tegyük fel, hogy nincs ilyen, és az első tag még mindig egyenlő, és q az, hmm .. legyen, akkor kiderül:

Egyetért azzal, hogy ez nem fejlődés.

Amint érti, ugyanazt az eredményt kapjuk, ha bármely szám nem nulla, de. Ezekben az esetekben egyszerűen nem lesz progresszió, mivel a teljes számsor vagy csupa nulla lesz, vagy egy szám, és az összes többi nulla.

Most beszéljünk részletesebben a geometriai progresszió nevezőjéről, azaz kb.

Ismételjük meg: - ez egy szám, hányszor változik minden következő tag geometriai progresszió.

Szerinted mi lehet? Ez így van, pozitív és negatív, de nem nulla (erről egy kicsit feljebb beszéltünk).

Tegyük fel, hogy van pozitívumunk. Legyen esetünkben a. Mi a második kifejezés és? Könnyen válaszolhatsz erre:

Rendben. Ennek megfelelően, ha, akkor a progresszió minden következő tagjának ugyanaz a jele - ők pozitív.

Mi van, ha negatív? Például a. Mi a második kifejezés és?

Ez egy teljesen más történet

Próbáld meg számolni ennek a haladásnak a tagját. mennyit kaptál? Nekem van. Így ha, akkor a geometriai progresszió tagjainak előjelei váltakoznak. Azaz, ha a tagjai között váltakozó előjelű progressziót látunk, akkor a nevezője negatív. Ez a tudás segíthet abban, hogy próbára tegye magát a témával kapcsolatos problémák megoldása során.

Most gyakoroljunk egy kicsit: próbáljuk meg meghatározni, hogy mely numerikus sorozatok geometriai, és melyek aritmetikai sorozatok:

Megvan? Hasonlítsa össze válaszainkat:

• Geometriai progresszió - 3, 6.
• Aritmetikai progresszió - 2, 4.
• Ez sem nem aritmetikai, sem nem geometriai sorozat - 1, 5, 7.

Térjünk vissza az utolsó folyamatunkhoz, és próbáljuk meg megtalálni a tagját ugyanúgy, mint az aritmetikában. Amint azt már sejtette, kétféleképpen lehet megtalálni.

Minden tagot egymás után szorozunk meg.

Tehát a leírt geometriai progresszió -edik tagja egyenlő.

Ahogy már sejti, most maga fog levezetni egy képletet, amely segít megtalálni a geometriai progresszió bármely tagját. Vagy már kihoztad magadnak, leírva, hogyan lehet lépésenként megtalálni a th tagot? Ha igen, akkor ellenőrizze érvelésének helyességét.

Illusztráljuk ezt a folyamat -edik tagjának megtalálásának példájával:

Más szavakkal:

Találja meg magának egy adott geometriai progresszió egy tagjának értékét.

Megtörtént? Hasonlítsa össze válaszainkat:

Ügyeljen arra, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszernél, amikor egymás után szoroztuk a geometriai progresszió minden korábbi tagjával.
Próbáljuk meg „személyteleníteni” ezt a képletet – általános formába hozzuk, és megkapjuk:

A származtatott képlet minden értékre igaz - pozitív és negatív is. Ellenőrizd magad úgy, hogy kiszámítod a geometriai progresszió tagjait a következő feltételekkel: , a.

számoltál? Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Egyetért azzal, hogy a progresszió tagját ugyanúgy meg lehetne találni, mint egy tagot, azonban fennáll a téves számítás lehetősége. És ha már megtaláltuk egy geometriai progresszió th tagját, a, akkor mi lehet egyszerűbb, mint a képlet „csonkított” részét használni.

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió.

Nemrég beszéltünk arról, hogy mi lehet nagyobb vagy kisebb nullánál, de vannak speciális értékek, amelyekre a geometriai progressziót ún. végtelenül csökkenő.

Szerinted miért van ilyen neve?
Kezdésként írjunk fel néhány tagokból álló geometriai progressziót.
Akkor mondjuk:

Látjuk, hogy minden következő tag kisebb, mint az előző, de lesz-e szám? Azonnal válaszol - "nem". Éppen ezért a végtelenül csökkenő - csökken, csökken, de soha nem lesz nulla.

Annak érdekében, hogy világosan megértsük, hogyan néz ki ez vizuálisan, próbáljunk meg rajzolni egy grafikont a fejlődésünkről. Tehát esetünkben a képlet a következő formában jelenik meg:

A diagramokon megszoktuk, hogy függőséget építsünk a következőktől:

A kifejezés lényege nem változott: az első bejegyzésben egy geometriai progressziótag értékének a sorszámától való függését mutattuk be, a második bejegyzésben pedig egyszerűen egy geometriai progresziós tag értékét vettük fel, és a sorszámot nem nek, hanem asnak jelölték. Már csak a grafikon felrajzolása van hátra.
Lássuk, mit kaptál. Íme a diagram, amit kaptam:

Lát? A függvény csökken, nullára hajlik, de soha nem lépi át, tehát végtelenül csökken. Jelöljük a grafikonon pontjainkat, és egyúttal mit jelent a koordináta és a:

Próbáljon meg sematikusan ábrázolni egy geometriai progresszió grafikonját, ha az első tagja is egyenlő. Elemezze, mi a különbség az előző diagramunkhoz képest?

Sikerült? Íme a diagram, amit kaptam:

Most, hogy teljesen megértette a geometriai progresszió témakörének alapjait: tudja, mi az, tudja, hogyan találja meg a tagját, és azt is tudja, mi az a végtelenül csökkenő geometriai progresszió, térjünk át fő tulajdonságára.

geometriai progresszió tulajdonsága.

Emlékszel egy számtani sorozat tagjainak tulajdonságára? Igen, igen, hogyan lehet megkeresni egy bizonyos számú progresszió értékét, ha ennek a progressziónak a tagjainak vannak előző és későbbi értékei. Emlékezett? Ez:

Most pontosan ugyanazzal a kérdéssel állunk szemben a geometriai progresszió feltételeivel kapcsolatban. Egy ilyen képlet levezetéséhez kezdjük el a rajzolást és az érvelést. Meglátod, nagyon egyszerű, és ha elfelejted, magad is elő tudod hozni.

Vegyünk egy másik egyszerű geometriai folyamatot, amelyben ismerjük és. Hogyan lehet megtalálni? A számtani progresszióval ez könnyű és egyszerű, de hogy is van ez itt? Valójában a geometriában sincs semmi bonyolult - csak le kell festeni minden nekünk adott értéket a képlet szerint.

Kérdezi, és most mit csináljunk vele? Igen, nagyon egyszerű. Először is ábrázoljuk ezeket a képleteket az ábrán, és próbáljunk meg velük különféle manipulációkat végezni, hogy értéket kapjunk.

Elvonatkozunk a nekünk adott számoktól, csak a képlet segítségével történő kifejezésükre koncentrálunk. Meg kell találnunk a narancssárga színnel kiemelt értéket a mellette lévő kifejezések ismeretében. Próbáljunk meg velük különféle akciókat végrehajtani, aminek eredményeként kaphatunk.

Kiegészítés.
Próbáljunk meg két kifejezést hozzáadni, és a következőt kapjuk:

Ebből a kifejezésből, mint láthatja, semmilyen módon nem fogunk tudni kifejezni, ezért megpróbálunk egy másik lehetőséget - a kivonást.

Kivonás.

Amint látható, ebből sem tudunk kifejezni, ezért megpróbáljuk ezeket a kifejezéseket egymással szaporítani.

Szorzás.

Most alaposan nézzük meg, mi áll rendelkezésünkre, és szorozzuk meg a nekünk adott geometriai progresszió feltételeit ahhoz képest, amit találni kell:

Képzeld, miről beszélek? Helyesen, hogy megtaláljuk, a kívánt számmal szomszédos geometriai progressziószámok négyzetgyökét kell megszoroznunk egymással:

Tessék. Te magad vezetted le a geometriai progresszió tulajdonságát. Próbálja meg általános formában leírni ezt a képletet. Megtörtént?

Mikor felejtette el az állapotot? Gondolja át, miért fontos, például próbálja kiszámolni saját maga, a. Mi történik ebben az esetben? Így van, teljes hülyeség, hiszen a képlet így néz ki:

Ennek megfelelően ne felejtse el ezt a korlátozást.

Most számoljuk ki, mi az

Helyes válasz - ! Ha a számításnál nem felejtette el a második lehetséges értéket, akkor remek ember vagy, és azonnal folytathatja a képzést, ha pedig elfelejtette, olvassa el az alábbiakban elemzetteket, és figyeljen arra, hogy miért kell mindkét gyökeret beírni a válaszba .

Rajzoljuk meg mindkét geometriai progressziónkat – az egyiket értékkel, a másikat pedig egy értékkel, és ellenőrizzük, hogy mindkettőnek van-e létjogosultsága:

Annak ellenőrzéséhez, hogy létezik-e ilyen geometriai progresszió vagy sem, meg kell nézni, hogy minden adott tagja között azonos-e? Számítsa ki q-t az első és a második esetre!

Látod, miért kell két választ írnunk? Mert a szükséges tag előjele attól függ, hogy pozitív vagy negatív! És mivel nem tudjuk, hogy mi az, mindkét választ plusz és mínusz jelekkel kell írnunk.

Most, hogy elsajátította a főbb pontokat és levezette a geometriai progresszió tulajdonságának képletét, keresse meg, ismerje meg és

Hasonlítsa össze válaszait a helyes válaszokkal:

Mit gondolsz, mi lenne, ha nem a kívánt számmal szomszédos, hanem attól egyenlő távolságra lévő geometriai progresszió tagjainak értékeit adnánk meg. Például meg kell találnunk, és adott és. Használhatjuk ebben az esetben az általunk levezetett képletet? Ugyanígy próbálja megerősíteni vagy cáfolni ezt a lehetőséget, és írja le, hogy az egyes értékek miből állnak, ahogyan a képlet kezdeti származtatásakor is tette.
Mit kaptál?

Most nézze meg újra figyelmesen.
és ennek megfelelően:

Ebből arra következtethetünk, hogy a képlet működik nem csak a szomszéddal egy geometriai progresszió kívánt tagjaival, hanem azzal is egyenlő távolságra abból, amit a tagok keresnek.

Így az eredeti képletünk a következő:

Vagyis ha az első esetben ezt mondtuk, akkor most azt mondjuk, hogy bármely kisebb természetes számmal egyenlő lehet. A lényeg, hogy mindkét megadott szám azonos legyen.

Gyakorolj konkrét példákon, csak légy nagyon óvatos!

1. , . Megtalálja.
2. , . Megtalálja.
3. , . Megtalálja.

Eldöntöttem? Remélem, rendkívül figyelmes voltál, és észrevettél egy kis fogást.

Összehasonlítjuk az eredményeket.

Az első két esetben nyugodtan alkalmazzuk a fenti képletet, és a következő értékeket kapjuk:

A harmadik esetben a nekünk adott számok sorszámának alapos mérlegelése után megértjük, hogy azok nem egyforma távolságra vannak a keresett számtól: ez az előző szám, de helyben van eltávolítva, így nem lehetséges. a képlet alkalmazásához.

Hogyan lehet megoldani? Valójában nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik! Írjuk fel veled, hogy az egyes nekünk adott számok és a kívánt számok miből állnak.

Tehát van és. Lássuk, mit tehetünk velük. Felosztást javaslom. Kapunk:

Adatainkat behelyettesítjük a képletbe:

A következő lépést megtalálhatjuk - ehhez meg kell vennünk a kapott szám kockagyökét.

Most pedig nézzük meg újra, mi van. Van, de meg kell találnunk, és ez viszont egyenlő:

A számításhoz minden szükséges adatot megtaláltunk. Helyettesítsd be a képletben:

A mi válaszunk: .

Próbáljon meg saját maga megoldani egy másik problémát:
Adott: ,
Megtalálja:

mennyit kaptál? Nekem van - .

Amint látja, valójában szüksége van rá csak egy képletre emlékezz- . A többit bármikor, nehézség nélkül visszavonhatja. Ehhez egyszerűen írja fel a legegyszerűbb geometriai folyamatot egy papírra, és írja le, hogy a fenti képlet szerint melyik számmal egyenlő.

Egy geometriai progresszió tagjainak összege.

Tekintsük most azokat a képleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy gyorsan kiszámítsuk egy adott intervallumban a geometriai progresszió tagjainak összegét:

Egy véges geometriai haladás tagösszegének képletének levezetéséhez a fenti egyenlet minden részét megszorozzuk. Kapunk:

Nézd meg alaposan: mi a közös az utolsó két képletben? Így van, például a közös tagok és így tovább, kivéve az első és az utolsó tagot. Próbáljuk meg kivonni az 1. egyenletet a 2. egyenletből. Mit kaptál?

Most fejezze ki egy geometriai progresszió tagjának képletét, és helyettesítse be az eredményül kapott kifejezést az utolsó képletünkben:

Csoportosítsa a kifejezést. Meg kell szerezned:

Nincs más hátra, mint kifejezni:

Ennek megfelelően ebben az esetben.

Mi van ha? Milyen képlet működik akkor? Képzeljünk el egy geometriai progressziót itt. Írd őt körül? Helyesen azonos számok sorozata, a képlet így fog kinézni:

Az aritmetikai és geometriai progresszióhoz hasonlóan sok legenda létezik. Az egyik Seth legendája, a sakk megalkotója.

Sokan tudják, hogy a sakkjátékot Indiában találták fel. Amikor a hindu király találkozott vele, el volt ragadtatva a nő szellemességétől és a lehetséges pozíciók sokféleségétől. Amikor megtudta, hogy az egyik alattvalója találta ki, a király úgy döntött, hogy személyesen jutalmazza meg. Magához hívta a feltalálót, és megparancsolta, hogy bármit kérjen tőle, megígérte, hogy a legügyesebb vágyat is teljesíti.

Seta gondolkodási időt kért, és amikor másnap Seta megjelent a király előtt, meglepte a királyt kérésének páratlan szerénységével. Búzaszemet kért a sakktábla első mezőjére, búzát a másodikra, a harmadikra, a negyedikre stb.

A király mérges volt, és elűzte Sethet, mondván, hogy a szolga kérése méltatlan a királyi nagylelkűséghez, de megígérte, hogy a szolga megkapja a gabonáját a tábla összes cellájáért.

És most a kérdés a következő: a geometriai progresszió tagjainak összegének képletével számítsuk ki, hány szemcsét kell kapnia Sethnek?

Kezdjük a vitát. Mivel a feltétel szerint Seth búzaszemet kért a sakktábla első cellájába, a másodikba, a harmadikba, a negyedikbe stb., látjuk, hogy a probléma geometriai haladásról szól. Mi egyenlő ebben az esetben?
Helyesen.

A sakktábla összes cellája. Illetve,. Minden adatunk megvan, már csak be kell pótolni a képletet és kiszámolni.

Ahhoz, hogy egy adott szám "skáláit" legalább megközelítőleg ábrázoljuk, transzformáljuk a fok tulajdonságait:

Persze ha akarod, elővehetsz egy számológépet, és kiszámolhatod, hogy milyen számra kerülsz, ha pedig nem, akkor szót kell fogadnod: a kifejezés végső értéke lesz.
Azaz:

kvintimillió kvadrillió billió milliárd millió ezer.

Fuh) Ha el akarja képzelni ennek a számnak a nagyságát, akkor becsülje meg, mekkora istállóra lenne szükség a teljes gabonamennyiség befogadásához.
M-es pajtamagasságnál és m-es szélességnél a hosszának km-re kellene kinyúlnia, i.e. kétszer olyan messze van a Földtől a Napig.

Ha a király erős lenne a matematikában, felajánlhatná magát a tudósnak, hogy számolja meg a szemeket, mert ahhoz, hogy megszámoljon egy millió szemet, legalább egy nap fáradhatatlan számolásra van szüksége, és tekintettel arra, hogy meg kell számolni a kvintilliókat, a szemeket egész életében számolni kellene.

És most megoldunk egy egyszerű feladatot egy geometriai progresszió tagjának összegén.
Vasya, az 5. osztályos tanuló megbetegedett influenzában, de továbbra is iskolába jár. Vasya minden nap két embert fertőz meg, akik viszont további két embert fertőznek meg, és így tovább. Csak egy ember az osztályban. Hány nap múlva lesz influenzás az egész osztály?

Tehát a geometriai progresszió első tagja Vasya, azaz egy személy. a geometriai progresszió tagja, ez az a két ember, akiket érkezése első napján fertőzött meg. Az előmeneteli tagok összege megegyezik az 5A tanulólétszámmal. Ennek megfelelően olyan fejlődésről beszélünk, amelyben:

Helyettesítsük be adatainkat a geometriai progresszió tagjainak összegének képletébe:

Az egész osztály megbetegszik napokon belül. Nem hiszel a képletekben és a számokban? Próbáld meg te magad ábrázolni a tanulók "fertőzését". Megtörtént? Nézze meg, hogy néz ki számomra:

Számítsd ki magad, hogy a tanulók hány napon kapnának influenzát, ha mindenki megfertőzne egy embert, és van egy személy az osztályban.

Milyen értéket kaptál? Kiderült, hogy egy nap után mindenki rosszul lett.

Mint látható, egy ilyen feladat és a hozzá tartozó rajz egy piramishoz hasonlít, amelyben minden következő új embereket „hoz”. Előbb-utóbb azonban eljön a pillanat, amikor ez utóbbi nem tud senkit vonzani. Esetünkben, ha azt képzeljük, hogy az osztály elszigetelődött, a származási személy zárja a láncot (). Így ha egy személy részt vesz egy pénzügyi piramisban, amelyben pénzt adtak, ha két másik résztvevőt hoz, akkor az illető (vagy általános esetben) nem hozna senkit, illetve mindent elveszítene, amit ebbe a pénzügyi átverésbe fektetett. .

Minden, amit fentebb elmondtunk, csökkenő vagy növekvő geometriai progresszióra vonatkozik, de, mint emlékszel, van egy különleges fajtánk - egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Hogyan lehet kiszámítani a tagok összegét? És miért vannak ennek a fajta progressziónak bizonyos jellemzői? Találjuk ki együtt.

Tehát kezdésként nézzük meg újra ezt a képet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszióról a példánkból:

És most nézzük meg a geometriai progresszió összegének képletét, amely egy kicsit korábban származott:
vagy

Mire törekszünk? Így van, a grafikonon látszik, hogy nullára hajlik. Azaz amikor majdnem egyenlő lesz, illetve a kifejezés kiszámításakor majdnem kapunk. Ebben a tekintetben úgy gondoljuk, hogy egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének kiszámításakor ez a zárójel elhanyagolható, mivel egyenlő lesz.

- a képlet egy végtelenül csökkenő geometriai sorozat tagjainak összege.

FONTOS! Csak akkor használjuk a képletet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegére, ha a feltétel kifejezetten kimondja, hogy meg kell találnunk az összeget végtelen a tagok száma.

Ha egy adott n szám van feltüntetve, akkor az n tag összegének képletét használjuk, még akkor is, ha vagy.

És most gyakoroljunk.

1. Határozzuk meg egy geometriai haladás első tagjának összegét és segítségével.
2. Határozzuk meg egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegét a és -val.

Remélem nagyon óvatos voltál. Hasonlítsa össze válaszainkat:

Most már mindent tud a geometriai progresszióról, és ideje áttérni az elméletről a gyakorlatra. A vizsgán a leggyakoribb exponenciális problémák a kamatos kamatozású problémák. Róluk fogunk beszélni.

Problémák a kamatos kamat számításánál.

Biztosan hallott már az úgynevezett kamatos kamatformuláról. Érted, mire gondol? Ha nem, akkor találjuk ki, mert miután felismerte magát a folyamatot, azonnal megérti, mi köze ehhez a geometriai progressziónak.

Mindannyian bemegyünk a bankba, és tudjuk, hogy a betétekre különböző feltételek vonatkoznak: ez a futamidő, a további karbantartás és a kamat, kétféle számítási móddal - egyszerű és összetett.

TÓL TŐL egyszerű érdeklődés többé-kevésbé minden világos: a kamat egyszer kerül felszámításra a betéti futamidő végén. Vagyis ha évi 100 rubel alávetésről beszélünk, akkor csak az év végén írják jóvá. Ennek megfelelően a letét végére rubelt kapunk.

Kamatos kamat olyan lehetőség, amelyben kamatkapitalizáció, azaz a betét összegéhez való hozzászámításukat és a bevétel későbbi kiszámítását nem a kezdeti, hanem a felhalmozott betét összegéből. A nagybetűs írás nem állandóan, hanem bizonyos periodikusan történik. Általában az ilyen időszakok egyenlőek, és a bankok leggyakrabban egy hónapot, egy negyedévet vagy egy évet használnak.

Tegyük fel, hogy évente ugyanazt a rubelt helyezzük el, de a betét havi tőkésítésével. Mit kapunk?

Te mindent értesz itt? Ha nem, nézzük lépésről lépésre.

Rubelt vittünk a bankba. A hónap végére a számlánkon kell lennie egy összegnek, amely rubeleinkből és kamataiból áll, azaz:

Egyetértek?

Kivehetjük a zárójelből, és a következőt kapjuk:

Egyetértek, ez a képlet már jobban hasonlít ahhoz, amit az elején írtunk. A százalékokkal kell foglalkozni

A probléma állapotában közöljük az évi. Mint tudod, mi nem szorozunk - a százalékokat tizedesjegyekké alakítjuk, azaz:

Jobb? Most azt kérdezed, honnan jött a szám? Nagyon egyszerű!
Ismétlem: a probléma állapota kb ÉVI felhalmozódott kamat HAVI. Tudniillik egy év hónapon belül a bank havi éves kamatot számít fel ránk:

Megvalósult? Most próbálja meg leírni, hogyan nézne ki a képletnek ez a része, ha azt mondanám, hogy a kamatot naponta számolják.
Sikerült? Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Szép munka! Térjünk vissza a feladatunkhoz: írjuk le, hogy a második hónapban mennyi kerül jóváírásra a számlánkon, figyelembe véve, hogy a felhalmozott betéti összeg után kamatot számítanak fel.
Íme, mi történt velem:

Vagy más szóval:

Úgy gondolom, hogy mindebben már észrevett egy mintát, és látott geometriai haladást. Írd meg, hogy mennyi lesz a tagja, vagyis mennyi pénzt kapunk a hónap végén.
Igen? Ellenőrzés!

Amint látja, ha egyszerű kamattal egy évre pénzt tesz egy bankba, akkor rubelt kap, ha pedig összetett árfolyamon, akkor rubelt kap. A haszon csekély, de ez csak az év folyamán történik meg, de hosszabb távon sokkal jövedelmezőbb a tőkésítés:

Fontolja meg a kamatos kamatozású problémák egy másik típusát. Azok után, amiket kitaláltál, elemi lesz számodra. Tehát a feladat:

A Zvezda 2000-ben kezdett befektetni az iparágba dollártőkével. 2001 óta minden évben az előző évi tőkével megegyező nyereséget termel. Mekkora nyereséget kap a Zvezda cég 2003 végén, ha a nyereséget nem vonják ki a forgalomból?

A Zvezda társaság tőkéje 2000-ben.
- a Zvezda társaság tőkéje 2001-ben.
- a Zvezda társaság tőkéje 2002-ben.
- a Zvezda társaság tőkéje 2003-ban.

Vagy írjuk röviden:

A mi esetünkben:

2000, 2001, 2002 és 2003.

Illetőleg:
rubel
Vegyük észre, hogy ebben a feladatban nincs osztás sem vele, sem szerint, mivel a százalékot ÉVESRE adjuk meg, és ÉVESEN számoljuk ki. Vagyis a kamatos kamat problémájának olvasásakor figyeljen arra, hogy hány százalékot adnak meg, és milyen időszakban kerül felszámításra, és csak ezután folytassa a számításokat.
Most már mindent tudsz a geometriai progresszióról.

Edzés.

1. Keresse meg a geometriai progresszió tagját, ha ismert, hogy és
2. Adja meg a geometriai haladás első tagjainak összegét, ha ismert, hogy és
3. Az MDM Capital 2003-ban kezdett befektetni az iparágba dollártőkével. 2004 óta minden évben az előző évi tőkével megegyező nyereséget termel. Az "MSK Cash Flows" cég 2005-ben kezdett befektetni az iparágba 10 000 dollár értékben, és 2006-ban kezdett el nyereséget termelni. Hány dollárral haladja meg az egyik cég tőkéje a másikét 2007 végén, ha a nyereséget nem vonják ki a forgalomból?

Válaszok:

1. Mivel a feladat feltétele nem mondja ki, hogy a progresszió végtelen, és meg kell találni egy bizonyos számú tagjának összegét, a számítást a következő képlet szerint végezzük:
2. 
   "MDM Capital" cég:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100%-kal, azaz 2-szeresére nő.
   Illetőleg:
   rubel
   MSK Cash flow:

   2005, 2006, 2007.
   - szorzattal növekszik.
   Illetőleg:
   rubel
   rubel

Foglaljuk össze.

1) A geometriai progresszió ( ) olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja nullától eltérő, és a másodiktól kezdve minden tag megegyezik az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének.

2) A geometriai progresszió tagjainak egyenlete -.

3) bármilyen értéket felvehet, kivéve a és.

• ha, akkor a progresszió minden további tagjának ugyanaz a jele – azok pozitív;
• ha, akkor a progresszió minden további tagja alternatív jelek;
• amikor - a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük.

4) , at - geometriai progresszió tulajdonsága (szomszédos tagok)

vagy
, at (egyenlő távolságra lévő kifejezések)

Ha megtaláltad, ne felejtsd el két válasznak kell lennie..

Például,

5) A geometriai sorozat tagjainak összegét a következő képlettel számítjuk ki:
vagy

vagy

FONTOS! Csak akkor használjuk a képletet egy végtelenül csökkenő geometriai haladás tagösszegére, ha a feltétel kifejezetten kimondja, hogy végtelen számú tag összegét kell megtalálni.

6) A kamatos kamatfeladatok számítása szintén a geometriai progresszió th tagjának képlete szerint történik, feltéve, hogy a pénzeszközöket nem vonták ki a forgalomból:

GEOMETRIAI PROGRESSZIÓ. RÖVIDEN A FŐRŐL

Geometriai progresszió( ) egy numerikus sorozat, amelynek első tagja nullától eltérő, és a másodiktól kezdve minden tag megegyezik az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. Ezt a számot hívják a geometriai progresszió nevezője.

Geometriai progresszió nevezője tetszőleges értéket vehet fel az és kivételével.

• Ha, akkor a progresszió minden további tagjának ugyanaz az előjele - pozitívak;
• ha, akkor a progresszió minden további tagja váltakozik az előjelekkel;
• amikor - a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük.

Geometriai sorozat tagjainak egyenlete - .

Egy geometriai progresszió tagjainak összege képlettel számolva:
vagy

Ha a progresszió végtelenül csökken, akkor:

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert csak az emberek 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikeres vizsga letételéért, az intézetbe való költségvetési felvételért és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyen?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben megoldja a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 499 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

A geometriai progresszió az aritmetikával együtt fontos számsor, amelyet az iskolai algebra tanfolyamon tanulnak a 9. osztályban. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a geometriai progresszió nevezőjét, és azt, hogy az értéke hogyan befolyásolja tulajdonságait.

A geometriai progresszió definíciója

Először megadjuk ennek a számsornak a definícióját. A geometriai progresszió racionális számok sorozata, amely úgy jön létre, hogy az első elemét egymás után megszorozzuk egy nevezőnek nevezett állandó számmal.

Például a 3, 6, 12, 24, ... sorozatban lévő számok egy geometriai haladás, mert ha 3-at (az első elemet) megszorozunk 2-vel, akkor 6-ot kapunk. Ha 6-ot megszorozunk 2-vel, akkor azt kapjuk, hogy 12, és így tovább.

A vizsgált sorozat tagjait általában ai szimbólummal jelöljük, ahol i egy egész szám, amely a sorozat elemének számát jelöli.

A progresszió fenti definíciója a matematika nyelvén a következőképpen írható fel: an = bn-1 * a1, ahol b a nevező. Ezt a képletet könnyű ellenőrizni: ha n = 1, akkor b1-1 = 1, és azt kapjuk, hogy a1 = a1. Ha n = 2, akkor an = b * a1, és ismét elérkezünk a vizsgált számsor definíciójához. Hasonló érvelés folytatható az n nagy értékeire is.

A geometriai progresszió nevezője

A b szám teljesen meghatározza, hogy a teljes számsor milyen karakterű lesz. A b nevező lehet pozitív, negatív, és egynél nagyobb vagy kisebb értéke is lehet. A fenti lehetőségek mindegyike különböző sorozatokhoz vezet:

• b > 1. Egyre nő a racionális számok sorozata. Például 1, 2, 4, 8, ... Ha az a1 elem negatív, akkor az egész sorozat csak modulo növekszik, de a számok előjelét figyelembe véve csökken.
• b = 1. Az ilyen eseteket gyakran nem progressziónak nevezik, mivel létezik egy azonos racionális számokból álló közönséges sorozat. Például -4, -4, -4.

Az összeg képlete

Mielőtt a vizsgált progresszió típusának nevezőjével konkrét problémákat vizsgálnánk, meg kell adni egy fontos képletet annak első n elemének összegére. A képlet a következő: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ezt a kifejezést saját maga is megkaphatja, ha figyelembe vesszük a progresszió tagjainak rekurzív sorozatát. Azt is vegyük figyelembe, hogy a fenti képletben elég csak az első elemet és a nevezőt ismerni ahhoz, hogy tetszőleges számú tag összegét megtaláljuk.

Végtelenül csökkenő sorrend

Fentebb volt egy magyarázat, hogy mi ez. Most pedig, ismerve az Sn képletét, alkalmazzuk erre a számsorra. Mivel minden szám, amelynek modulusa nem haladja meg az 1-et, nullára hajlamos nagy hatványra emelve, azaz b∞ => 0, ha -1

Mivel az (1 - b) különbség a nevező értékétől függetlenül mindig pozitív lesz, egy végtelenül csökkenő S∞ geometriai progresszió összegének előjelét az első elemének a1 előjele egyértelműen meghatározza.

Most több problémát is megvizsgálunk, ahol megmutatjuk, hogyan lehet a megszerzett tudást konkrét számokra alkalmazni.

1. számú feladat. A haladás és az összeg ismeretlen elemeinek kiszámítása

Adott egy geometriai progresszió, a progresszió nevezője 2, az első eleme pedig 3. Mi lesz a 7. és 10. tagja, és mennyi a hét kezdőelemének összege?

A probléma feltétele meglehetősen egyszerű, és magában foglalja a fenti képletek közvetlen használatát. Tehát az n számú elem kiszámításához az an = bn-1 * a1 kifejezést használjuk. A 7. elemhez a következőt kapjuk: a7 = b6 * a1, az ismert adatokat behelyettesítve a következőt kapjuk: a7 = 26 * 3 = 192. Ugyanezt járjuk el a 10. taggal is: a10 = 29 * 3 = 1536.

Az összeghez a jól ismert képletet használjuk, és ezt az értéket a sorozat első 7 elemére határozzuk meg. A következőt kaptuk: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

2. számú feladat A haladás tetszőleges elemeinek összegének meghatározása

Legyen -2 a bn-1 * 4 exponenciális haladás nevezője, ahol n egész szám. Meg kell határozni az összeget ennek a sorozatnak az 5. és 10. eleme között.

A feltett probléma nem oldható meg közvetlenül ismert képletekkel. 2 féleképpen lehet megoldani. A teljesség kedvéért mindkettőt bemutatjuk.

1. módszer. Az ötlete egyszerű: ki kell számítani az első tagok két megfelelő összegét, majd ki kell vonni az egyikből a másikat. Számítsa ki a kisebb összeget: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Most kiszámoljuk a nagy összeget: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Megjegyzendő, hogy az utolsó kifejezésben csak 4 tag volt összeadva, mivel az 5. már benne van abban az összegben, amelyet a feladat feltétele szerint kell kiszámítani. Végül vesszük a különbséget: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2. módszer. A számok behelyettesítése és a számolás előtt képletet kaphatunk a kérdéses sorozat m és n tagjai közötti összegre. Pontosan ugyanúgy járunk el, mint az 1. módszernél, csak először az összeg szimbolikus ábrázolásával dolgozunk. Van: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ismert számokat behelyettesíthet a kapott kifejezésbe, és kiszámíthatja a végeredményt: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

3. számú feladat Mi a nevező?

Legyen a1 = 2, keressük meg a geometriai haladás nevezőjét, feltéve, hogy végtelen összege 3, és tudjuk, hogy ez egy csökkenő számsor.

A probléma feltétele szerint nem nehéz kitalálni, hogy melyik képletet érdemes használni a megoldáshoz. Természetesen egy végtelenül csökkenő progresszió összegére. Van: S∞ = a1 / (1 - b). Innen fejezzük ki a nevezőt: b = 1 - a1 / S∞. Marad az ismert értékek helyettesítése és a szükséges szám megszerzése: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 vagy -0,333 (3). Ezt az eredményt minőségileg ellenőrizhetjük, ha emlékezünk arra, hogy ennél a sorozattípusnál a b modulus nem haladhatja meg az 1-et. Mint látható, |-1 / 3|

4. számú feladat Számsor visszaállítása

Legyen adott egy számsor 2 eleme, például az 5. egyenlő 30-al, a 10. pedig 60. Ezekből az adatokból kell a teljes sorozatot visszaállítani, tudva, hogy az kielégíti a geometriai haladás tulajdonságait.

A probléma megoldásához először minden ismert taghoz le kell írni a megfelelő kifejezést. Van: a5 = b4 * a1 és a10 = b9 * a1. Most elosztjuk a második kifejezést az elsővel, így kapjuk: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Innen a nevezőt úgy határozzuk meg, hogy a feladat feltételéből ismert tagok arányának ötödfokú gyökét vesszük, b = 1,148698. A kapott számot behelyettesítjük egy ismert elem kifejezésébe, így kapjuk: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Így megtaláltuk, hogy mi a bn haladás nevezője, és a bn-1 * 17,2304966 = an geometriai haladás, ahol b = 1,148698.

Hol használják a geometriai progressziót?

Ha ezt a numerikus sorozatot nem alkalmaznák a gyakorlatban, akkor tanulmányozása pusztán elméleti érdeklődésre korlátozódna. De van ilyen alkalmazás.

Az alábbiakban felsoroljuk a 3 leghíresebb példát:

• Zénón paradoxonát, amelyben a fürge Akhilleusz nem tudja utolérni a lassú teknőst, a végtelenül csökkenő számsorozat fogalmával oldják meg.
• Ha a sakktábla minden cellájára búzaszemet helyezünk úgy, hogy 1 szem kerül az 1. cellába, 2 - a 2., 3 - a 3. és így tovább, akkor 18446744073709551615 szemre lesz szükség a sakktábla összes cellájának kitöltéséhez. a tábla!
• A "Tower of Hanoi" játékban a lemezek egyik rúdról a másikra való átrendezéséhez 2n - 1 műveletet kell végrehajtani, azaz számuk exponenciálisan nő az n használt lemezek számától.

Utasítás

10, 30, 90, 270...

Meg kell találni a geometriai progresszió nevezőjét.
Megoldás:

1 lehetőség. Vegyük a progresszió egy tetszőleges tagját (például 90), és osszuk el az előzővel (30): 90/30=3.

Ha ismert egy geometriai sorozat több tagjának összege vagy egy csökkenő geometriai sorozat összes tagjának összege, akkor a haladás nevezőjének meghatározásához használja a megfelelő képleteket:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), ahol Sn a geometriai progresszió első n tagjának összege és
S = b1/(1-q), ahol S egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összege (a haladás egynél kisebb nevezőjű tagjának összege).
Példa.

Egy csökkenő geometriai progresszió első tagja eggyel egyenlő, minden tagjának összege pedig kettő.

Meg kell határozni ennek a progressziónak a nevezőjét.
Megoldás:

Helyettesítse be a feladat adatait a képletbe. Kap:
2=1/(1-q), ahonnan – q=1/2.

A progresszió egy számsorozat. A geometriai sorozatban minden következő tagot úgy kapunk, hogy az előzőt megszorozzuk egy bizonyos q számmal, amelyet a progresszió nevezőjének neveznek.

Utasítás

Ha a b(n+1) és b(n) geometriai két szomszédos tagja ismert, a nevező megszerzéséhez a nagy számot el kell osztani az előtte lévővel: q=b(n +1)/b(n). Ez következik a progresszió meghatározásából és nevezőjéből. Fontos feltétel, hogy a progresszió első tagja és nevezője ne legyen egyenlő nullával, ellenkező esetben határozatlannak minősül.

Így a következő összefüggések jönnek létre a progresszió tagjai között: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. A b(n)=b1 q^(n-1) képlettel kiszámítható egy geometriai sorozat bármely tagja, amelyben ismert a q nevező és a b1 tag. Valamint a progressziós modulok mindegyike egyenlő a szomszédos tagok átlagával: |b(n)|=√, ezért a progresszió megkapta a sajátját.

A geometriai haladás analógja a legegyszerűbb y=a^x exponenciális függvény, ahol x a kitevőben van, a valamilyen szám. Ebben az esetben a progresszió nevezője egybeesik az első taggal, és egyenlő az a számmal. Az y függvény értéke a progresszió n-edik tagjaként értelmezhető, ha az x argumentumot n természetes számnak (számlálónak) vesszük.

A geometriai progresszió másik fontos tulajdonsága, amely a geometriai haladást adta

Ezt a számot nevezzük egy geometriai progresszió nevezőjének, vagyis minden tag q-szeressel tér el az előzőtől. (Feltételezzük, hogy q ≠ 1, különben minden túl triviális). Könnyen belátható, hogy a geometriai haladás n-edik tagjának általános képlete b n = b 1 q n – 1 ; a b n és b m számokkal rendelkező tagok q n – m-szeresek.

Már az ókori Egyiptomban is ismerték nemcsak a számtani, hanem a geometriai progressziót is. Itt van például egy feladat a Rhindi papiruszból: „Hét arcnak hét macskája van; minden macska hét egeret eszik, minden egér hét kalász kukoricát eszik, minden kalász hét mérték árpát tud termeszteni. Mekkorák a számok ebben a sorozatban és ezek összege?

Rizs. 1. Ókori egyiptomi geometriai progressziós probléma

Ezt a feladatot sokszor megismételték különböző variációkkal más népeknél máskor. Például a XIII században írt. A Pisai Leonardo (Fibonacci) "Abakusz könyve" egy olyan problémát jelent, amelyben 7 öregasszony jelenik meg Rómába tartó úton (nyilván zarándokok), mindegyikben 7 öszvér van, mindegyikben 7 táska, 7 cipót tartalmaz, mindegyikben 7 kés van, amelyek mindegyike 7 hüvelyben van. A probléma azt kérdezi, hogy hány elem van.

Az S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) geometriai haladás első n tagjának összege. Ez a képlet például a következőképpen bizonyítható: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Adjuk hozzá a b 1 q n számot S n-hez, és kapjuk:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Ebből S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), és megkapjuk a szükséges képletet.

Már az ókori Babilon egyik agyagtábláján, a VI. századból. időszámításunk előtt e., az 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 összeget tartalmazza. Igaz, mint számos más esetben, most sem tudjuk, honnan tudták ezt a tényt a babilóniaiak .

A geometriai progresszió gyors növekedését számos kultúrában, különösen Indiában, többször is használják az univerzum mérhetetlenségének egyértelmű szimbólumaként. A sakk megjelenéséről szóló ismert legendában az uralkodó lehetőséget ad feltalálójuknak, hogy maga válasszon jutalmat, és annyi búzaszemet kér, amennyit a sakktábla első cellájára tesznek. , kettő a másodikon, négy a harmadikon, nyolc a negyediken stb., minden alkalommal, amikor a szám megduplázódik. Vladyka azt hitte, hogy legfeljebb néhány zsákról van szó, de rosszul számolt. Könnyen belátható, hogy a sakktábla mind a 64 mezőjére a feltalálónak (2 64 - 1) gabonát kellett volna kapnia, ami 20 jegyű számként van kifejezve; ha a Föld teljes felületét be is vetnék, legalább 8 évbe telne a szükséges mennyiségű szem begyűjtése. Ezt a legendát olykor úgy értelmezik, mint utalást a sakkjátékban rejlő szinte korlátlan lehetőségekre.

Az a tény, hogy ez a szám valóban 20 jegyű, könnyen belátható:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (pontosabb számítás 1,84 10 19). De kíváncsi vagyok, megtudja-e, hogy ez a szám melyik számjegyre végződik?

A geometriai progresszió növekszik, ha a nevező abszolút értéke nagyobb, mint 1, vagy csökken, ha kisebb, mint egy. Ez utóbbi esetben a q n szám tetszőlegesen kicsivé válhat kellően nagy n esetén. Míg a növekvő exponenciális váratlanul gyorsan növekszik, a csökkenő exponenciális ugyanolyan gyorsan csökken.

Minél nagyobb n, annál gyengébb a q n szám, amely eltér nullától, és minél közelebb van az S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) geometriai haladás n tagjának összege az S \u003d b 1 számhoz. / (1 - q) . (Így érvelve például F. Viet). Az S számot egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének nevezzük. Sok évszázadon át azonban nem volt elég világos a matematikusok számára az a kérdés, hogy mit jelent az ÖSSZES geometriai progresszió összegzése a végtelen számú taggal.

Csökkenő geometriai progresszió figyelhető meg például Zénón „Biting” és „Achilles and the teknős” című apóriáiban. Az első esetben jól látható, hogy a teljes út (tegyük fel az 1-es hosszúságot) végtelen számú 1/2, 1/4, 1/8 stb. szakasz összege. Ez természetesen így van a véges összegű végtelen geometriai progresszióról alkotott elképzelések nézőpontja. És mégis – hogy lehet ez?

Rizs. 2. Progresszió 1/2-es tényezővel

Az Akhilleuszról szóló apóriában kicsit bonyolultabb a helyzet, mert itt a progresszió nevezője nem 1/2, hanem valami más szám. Legyen például Akhilleusz v sebességgel, a teknős u sebességgel mozog, és a köztük lévő kezdeti távolság l. Achilles ezt a távot l/v idő alatt futja meg, a teknősbéka pedig lu/v távolságot tesz meg ezalatt. Amikor Akhilleusz átfut ezen a szakaszon, a közte és a teknős közötti távolság egyenlő lesz l (u / v) 2-vel, stb. Kiderült, hogy a teknős utolérése azt jelenti, hogy meg kell találni egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegét az elsővel l tag és az u / v nevező. Ez az összeg – az a szakasz, amelyet Akhilleusz végül a teknőssel találkozási pontig fut – egyenlő l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . De ismételten, hogy ezt az eredményt hogyan kell értelmezni, és miért van egyáltalán értelme, sokáig nem volt világos.

Rizs. 3. Geometriai progresszió 2/3 együtthatóval

A geometriai progresszió összegét Arkhimédész használta a parabola szakaszának területének meghatározásakor. Határolja a parabola adott szakaszát az AB húr, és legyen a parabola D pontjában lévő érintő párhuzamos AB-vel. Legyen C az AB felezőpontja , E az AC felezőpontja , F a CB felezőpontja . Rajzoljunk egyenárammal párhuzamos egyeneseket az A , E , F , B pontokon keresztül; legyen a D pontban húzott érintő, ezek az egyenesek a K , L , M , N pontokban metszik egymást. Rajzoljunk AD és DB szegmenseket is. Az EL egyenes az AD egyenest a G pontban, a parabolát pedig a H pontban metszi; Az FM egyenes a DB egyenest a Q pontban, a parabolát pedig az R pontban metszi. A kúpszeletek általános elmélete szerint a DC egy parabola (vagyis a tengelyével párhuzamos szakasz) átmérője; ez és a D pontban lévő érintő szolgálhat x és y koordinátatengelyként, amelyben a parabola egyenlet y 2 \u003d 2px (x a távolság D-től egy adott átmérőjű bármely pontig, y az a hossza adott érintővel párhuzamos szakasz ebből az átmérőpontból magának a parabolának valamely pontjába).

A parabola-egyenlet értelmében DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , és mivel DK = 2DL , akkor KA = 4LH . Mivel KA = 2LG, LH = HG. A parabola ADB szakaszának területe megegyezik az ΔADB háromszög területével és az AHD és DRB szegmensek területeivel együtt. Az AHD szegmens területe viszont megegyezik az AHD háromszög és a többi AH és HD szegmens területével, amelyek mindegyikével ugyanaz a művelet hajtható végre - háromszögre osztva (Δ) és a fennmaradó két szegmens () stb.:

A ΔAHD háromszög területe egyenlő az ΔALD háromszög területének felével (közös AD alapjuk van, és a magasságok 2-szer különböznek egymástól), ami viszont egyenlő a háromszög területének felével. a ΔAKD háromszög, tehát az ΔACD háromszög területének a fele. Így a ΔAHD háromszög területe egyenlő az ΔACD háromszög területének negyedével. Hasonlóképpen, a ΔDRB háromszög területe egyenlő a ΔDFB háromszög területének negyedével. Tehát az ∆AHD és ∆DRB háromszögek területe együttvéve egyenlő az ∆ADB háromszög területének negyedével. Ha ezt a műveletet az AH , HD , DR és RB szegmensekre alkalmazva megismételjük, ezekből is kiválasztunk háromszögeket, amelyek területe együttvéve 4-szer kisebb lesz, mint a ΔAHD és ΔDRB háromszögek területe, együttvéve, tehát 16-szor kisebb, mint az ΔADB háromszög területe. Stb:

Így Arkhimédész bebizonyította, hogy "minden szakasz, amely egy egyenes és egy parabola közé van zárva, egy háromszög négyharmada, azonos alappal és azonos magassággal."

SZÁMSZORZAT VI

l48. §. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege

Mostanáig, ha összegekről beszélünk, mindig azt feltételeztük, hogy ezekben az összegekben a tagok száma véges (például 2, 15, 1000 stb.). De bizonyos feladatok (különösen a felsőbb matematika) megoldása során végtelen számú tag összegével kell számolni.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Mik ezek az összegek? Definíció szerint végtelen számú tag összege a 1 , a 2 , ..., a n , ... az S összeg határának nevezzük n első P számok mikor P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2) természetesen létezhet, de lehet, hogy nem. Ennek megfelelően az (1) összegről azt mondjuk, hogy létezik vagy nem létezik.

Hogyan lehet megtudni, hogy az (1) összeg minden egyes esetben létezik-e? A kérdés általános megoldása messze túlmutat programunk keretein. Van azonban egy fontos speciális eset, amelyet most figyelembe kell vennünk. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegzéséről lesz szó.

Hadd a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Ez azt jelenti, hogy | q |< 1. Сумма первых P tagja ennek a progressziónak egyenlő

A változók határaira vonatkozó alaptételekből (lásd 136. §) a következőket kapjuk:

De 1 = 1, a q n = 0. Ezért

Tehát egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összege egyenlő ennek a haladásnak az első tagjával, osztva eggyel mínusz ennek a progressziónak a nevezője.

1) Az 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... geometriai haladás összege

és egy geometriai progresszió összege 12; -6; 3; - 3/2, ... egyenlő

2) Egy egyszerű periodikus tört 0,454545 ... közönséges törtté alakul.

A probléma megoldásához ezt a törtet végtelen összegként ábrázoljuk:

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldala egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege, melynek első tagja 45/100, nevezője pedig 1/100. Ezért

A leírt módon beszerezhető az egyszerű periodikus törtek közönséges törtekké való átalakításának általános szabálya is (lásd II. fejezet, 38. §):

Egy egyszerű periodikus tört közönséges törtté alakításához a következőképpen kell eljárnia: a tizedes tört periódusát írja be a számlálóba, a nevezőbe pedig - egy kilencből álló számot, ahány számjegy van a periódusban. a tizedes tört.

3) Vegyes periodikus tört 0,58333 .... közönséges törtté alakul.

Képzeljük el ezt a törtet végtelen összegként:

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán minden tag 3/1000-től kezdve végtelenül csökkenő geometriai progressziót alkot, melynek első tagja 3/1000, nevezője pedig 1/10. Ezért

A leírt módon beszerezhető a vegyes periodikus törtek közönséges törtekké való átalakításának általános szabálya is (lásd II. fejezet, 38. §). Szándékosan nem vesszük ide. Nem szükséges megjegyezni ezt a nehézkes szabályt. Sokkal hasznosabb tudni, hogy bármely kevert periodikus tört ábrázolható egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió és valamilyen szám összegeként. És a képlet

egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegéhez természetesen emlékeznünk kell.

Gyakorlatként felkérjük Önt, hogy az alábbi 995-1000-es számú feladatokon túl még egyszer forduljon a 301. számú feladat 38. §-ához.

Feladatok

995. Mit nevezünk egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének?

996. Keresse meg a végtelenül csökkenő geometriai progressziók összegét:

997. Milyen értékekre x progresszió

végtelenül csökken? Keresse meg egy ilyen haladás összegét.

998. Egyenl oldalú háromszögben a egy új háromszöget írunk fel oldalai felezőpontjainak összekapcsolásával; ebbe a háromszögbe ugyanúgy új háromszöget írunk, és így tovább a végtelenségig.

a) ezen háromszögek kerületeinek összege;

b) területeik összege.

999. Egy oldallal rendelkező négyzetben a új négyzetet írunk fel oldalai felezőpontjainak összekapcsolásával; ebbe a négyzetbe ugyanúgy négyzetet írnak, és így tovább a végtelenségig. Határozzuk meg ezen négyzetek kerületének összegét és területük összegét!

1000. Készíts végtelenül csökkenő geometriai progressziót úgy, hogy összege 25/4, tagjai négyzetösszege pedig 625/24 legyen.