Szabályos háromszög hasáb oldalfelülete. A prizma alapterülete: háromszögtől sokszögig
A prizma oldalfelületének területe. Szia! Ebben a kiadványban a sztereometriával kapcsolatos feladatok egy csoportját elemezzük. Tekintsük a testek kombinációját - egy prizma és egy henger. Jelenleg ez a cikk befejezi a sztereometriai feladattípusok figyelembevételével kapcsolatos cikkek teljes sorozatát.
Ha új feladatok jelennek meg a feladatbankban, akkor természetesen a jövőben is lesznek kiegészítések a blogban. De ami már megvan, az bőven elég ahhoz, hogy a vizsga részeként egy rövid válaszból megtanulhass minden problémát megoldani. Az anyag még évekig elég lesz (a matematikából statikus a program).
A bemutatott feladatok a prizma területének kiszámításához kapcsolódnak. Megjegyzem, hogy az alábbiakban egy egyenes prizmát (és ennek megfelelően egy egyenes hengert) tekintünk.
Képletek ismerete nélkül megértjük, hogy a prizma oldalfelülete az összes oldallapja. Egy egyenes prizmában az oldallapok téglalap alakúak.
Egy ilyen prizma oldalfelülete egyenlő az összes oldallapja (vagyis a téglalapok) területének összegével. Ha egy szabályos prizmáról beszélünk, amelybe egy henger van beírva, akkor egyértelmű, hogy ennek a prizmának minden lapja EGYENLŐ téglalap.
Formálisan egy szabályos prizma oldalfelülete a következőképpen fejezhető ki:
27064. Szabályos négyszögű prizma van körülírva egy olyan hengerre, amelynek alapsugara és magassága egyenlő 1-gyel. Határozzuk meg a prizma oldalfelületének területét!
Ennek a prizmának az oldalfelülete négy egyenlő területű téglalapból áll. A lap magassága 1, a prizma talpának éle 2 (ez a henger két sugara), tehát az oldallap területe:
Oldalsó felület:
73023. Határozzuk meg egy szabályos háromszög hasáb oldalfelületének területét, amely egy olyan henger körül van körülírva, amelynek alapsugara √0,12 és magassága 3!
Ennek a prizmának az oldalfelületének területe megegyezik a három oldallap (téglalapok) területének összegével. Az oldalfelület területének meghatározásához ismernie kell a magasságát és az alapél hosszát. A magasság három. Határozza meg az alap élének hosszát! Vegye figyelembe a vetületet (felülnézet):
Van egy szabályos háromszögünk, amelybe egy √0,12 sugarú kör van beírva. Az AOC derékszögű háromszögből megtaláljuk az AC-t. És akkor AD (AD=2AC). Az érintő meghatározása szerint:
Tehát AD \u003d 2AC \u003d 1.2. Így az oldalfelület területe egyenlő:
27066. Határozza meg egy szabályos hatszögletű prizma oldalfelületének területét, amely egy henger körül van körülírva, amelynek alapsugara √75 és magassága 1.
A kívánt terület egyenlő az összes oldalfelület területének összegével. Szabályos hatszögletű prizma esetén az oldallapok egyenlő téglalapok.
Az arc területének meghatározásához ismernie kell a magasságát és az alapél hosszát. A magasság ismert, egyenlő 1-gyel.
Határozza meg az alap élének hosszát! Vegye figyelembe a vetületet (felülnézet):
Van egy szabályos hatszögünk, amelybe egy √75 sugarú kör van beírva.
Tekintsünk egy ABO derékszögű háromszöget. Ismerjük az OB lábszárat (ez a henger sugara). meghatározhatjuk az AOB szöget is, ez egyenlő 300-al (az AOC háromszög egyenlő oldalú, OB egy felezőszög).
Használjuk a derékszögű háromszög érintőjének definícióját:
AC \u003d 2AB, mivel az OB egy medián, vagyis az AC-t felére osztja, ami azt jelenti, hogy AC \u003d 10.
Így az oldalfelület területe 1∙10=10, az oldalfelület területe pedig:
76485. Határozza meg egy olyan szabályos háromszög hasáb oldalfelületének területét, amely olyan hengerbe van írva, amelynek alapsugara 8√3, magassága pedig 6!
Három egyenlő méretű lap (téglalap) meghatározott prizma oldalfelületének területe. A terület megtalálásához ismerni kell a prizma alapja élének hosszát (tudjuk a magasságot). Ha figyelembe vesszük a vetületet (felülnézet), akkor van egy körbe írt szabályos háromszögünk. Ennek a háromszögnek az oldalát a sugárban fejezzük ki:
Ennek a kapcsolatnak a részletei. Tehát egyenlő lesz
Ekkor az oldalfelület területe egyenlő: 24∙6=144. És a szükséges terület:
245354. Egy szabályos négyszög alakú prizma van körülírva egy olyan henger közelében, amelynek alapsugara 2. A prizma oldalfelülete 48. Határozza meg a henger magasságát!
A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematikavizsga 60-65 ponttal való letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, ezek nélkül sem százpontos diák, sem humanista nem tud meglenni.
Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz vizsgafeladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből – a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Alap a 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásához.
Meghatározás. Prizma- ez egy poliéder, amelynek minden csúcsa két párhuzamos síkban található, és ugyanabban a két síkban van a prizma két lapja, amelyek egyenlő sokszögek, amelyeknek megfelelően párhuzamos oldalaik vannak, és minden olyan él, amely nem ezekben található síkok párhuzamosak.
Két egyenlő arcot hívnak prizma alapok(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
A prizma összes többi lapját hívják oldalsó arcok(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Minden oldalfelület kialakul a prizma oldalfelülete .
A prizma minden oldallapja paralelogramma .
Azokat az éleket, amelyek nem fekszenek az alapokon, a prizma oldaléleinek nevezzük ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prizma átlós szakaszt nevezzük, amelynek végei a prizma két olyan csúcsa, amelyek nem az egyik lapján fekszenek (AD 1).
A prizma alapjait összekötő és mindkét alapra egyidejűleg merőleges szakasz hosszát ún. prizma magassága .
Kijelölés:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Először az áthidalás sorrendjében az egyik alap csúcsait, majd ugyanabban a sorrendben a másiknak a csúcsait jelöljük; mindkét oldalél végeit ugyanazok a betűk jelölik, csak a benne lévő csúcsok az egyik alapot index nélküli betűk jelölik, a másikban pedig indexet)
A prizma nevéhez az alapjában fekvő ábra szögeinek számához kapcsolódik, például az 1. ábrán az alap egy ötszög, ezért a prizmát ún. ötszögletű prizma. De azóta egy ilyen prizmának 7 lapja van, akkor az heptaéder(2 lap a prizma alapja, 5 lap paralelogramma, oldallapja)
Az egyenes prizmák közül kiemelkedik egy bizonyos típus: a szabályos prizmák.
Egyenes prizmát nevezünk helyes, ha alapjai szabályos sokszögek.
Paralelepipedon
Paralelepipedon- Ez egy négyszögletű prizma, melynek alján egy paralelogramma (ferde paralelepipedon) fekszik. Jobb oldali paralelepipedon- paralelepipedon, amelynek oldalélei merőlegesek az alap síkjaira.kocka alakú- egy derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja téglalap.
Tulajdonságok és tételek:
A paralelepipedon egyes tulajdonságai hasonlóak a paralelogramma jól ismert tulajdonságaihoz Az egyenlő méretű téglalap alakú paralelepipedon ún. kocka
.Egy kocka minden lapja egyenlő négyzetekkel Egy átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével 
,
ahol d a négyzet átlója;
a tér a - oldala.
A prizma ötletét a következő adja:
- különféle építészeti struktúrák;
- Gyerekjátékok;
- csomagoló dobozok;
- dizájner cikkek stb.
A prizma teljes és oldalfelülete
A prizma teljes felülete az összes lapja területének összege Oldalsó felület oldallapjai területének összegének nevezzük. a prizma alapjai egyenlő sokszögek, akkor területük egyenlő. EzértS teljes \u003d S oldal + 2S fő,
ahol S tele- teljes felület, S oldal- oldalfelület, S fő- alapterület
Az egyenes prizma oldalfelületének területe egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával.
S oldal\u003d P fő * h,
ahol S oldal az egyenes prizma oldalfelületének területe,
P main - az egyenes prizma alapjának kerülete,
h az egyenes prizma magassága, egyenlő az oldaléllel.
Prizma kötet
A prizma térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.
Ezek a leggyakoribb térfogati figurák a többi hasonló alak között, amelyek a mindennapi életben és a természetben találhatók. Tulajdonságuk vizsgálata a sztereometriával, vagy térgeometriával foglalkozik. Ebben a cikkben feltárjuk azt a kérdést, hogy hogyan lehet megtalálni a szabályos háromszög alakú, valamint a négyszögletű és a hatszögletű prizma oldalfelületét.
Mi az a prizma?
Mielőtt kiszámítaná egy szabályos háromszög alakú prizma és más típusú alakzatok oldalsó felületét, meg kell értenie, hogy mik ezek. Ezután megtanuljuk, hogyan határozzuk meg a kívánt mennyiséget.
A prizma a geometria szempontjából egy háromdimenziós test, amelyet két tetszőleges azonos sokszög és n paralelogramma határol, ahol n egy sokszög oldalainak száma. Könnyű ilyen alakot rajzolni, ehhez valamilyen sokszöget kell rajzolnia. Ezután minden csúcsából rajzoljon egy szakaszt, amely egyenlő hosszúságú és párhuzamos lesz az összes többivel. Ezután ezeknek a vonalaknak a végeit össze kell kötnie egymással, hogy egy másik sokszöget kapjon, amely megegyezik az eredetivel.
Fentebb látható, hogy az ábrát két ötszög (ezeket az ábra alsó és felső alapjának nevezzük) és öt paralelogramma határolja, amelyek az ábrán téglalapoknak felelnek meg.
Minden prizma két fő paraméterben különbözik egymástól:
- az ábra alján található sokszög típusa;
- paralelogrammák és alapok közötti szögek.
A téglalap oldalainak száma adja a prizma nevét. Innen kapjuk a fent említett három-, hat- és négyszög alakú alakzatokat.
Lejtésében is eltérőek. Ami a megjelölt szögeket illeti, ha egyenlők 90 o-kal, akkor az ilyen prizmát egyenesnek vagy téglalapnak nevezzük (a dőlésszöge nulla). Ha néhány szög nem megfelelő, akkor az ábrát ferde szögnek nevezzük. A köztük lévő különbség egy pillantással látható. Az alábbi ábra ezeket a fajtákat mutatja be.
Mint látható, a h magasság egybeesik oldalélének hosszával. Ferde esetén ez a paraméter mindig kisebb.
Mi a helyes prizma?
Mivel válaszolnunk kell arra a kérdésre, hogy hogyan találjuk meg egy szabályos prizma (háromszög, négyszög stb.) oldalfelületét, meg kell határoznunk ezt a típusú háromdimenziós alakzatot. Elemezzük részletesebben az anyagot.
A szabályos prizma egy téglalap alakú alak, amelyben egy szabályos sokszög azonos alapokat képez. Ez a szám lehet egyenlő oldalú háromszög, négyzet és mások. Bármely n-szög, amelynek minden oldalhossza és szöge azonos, helyes lesz.
Számos ilyen prizma látható sematikusan az alábbi ábrán.
A prizma oldalfelülete
Amint ezen az ábrán említettük, ez az ábra n + 2 síkból áll, amelyek metszve n + 2 lapot alkotnak. Ezek közül kettő az alapokhoz tartozik, a többit paralelogrammák alkotják. A teljes felület területe a jelzett lapok területének összegéből áll. Ha nem tartalmazza két bázis értékét, akkor választ kapunk arra a kérdésre, hogy hogyan találjuk meg a prizma oldalfelületét. Így a jelentését és az alapjait egymástól elkülönítve lehet meghatározni.
Az alábbiakat adjuk meg, amelyek oldalfelületét három négyszög alkotja.
Tekintsük tovább a számítási folyamatot. Nyilvánvaló, hogy a prizma oldalfelületének területe megegyezik a megfelelő paralelogrammák n területének összegével. Itt n az ábra alapját képező sokszög oldalainak száma. Az egyes paralelogrammák területét úgy találhatjuk meg, hogy az oldalának hosszát megszorozzuk a ráeresztett magassággal. Ez az általános esetre vonatkozik.
Ha a vizsgált prizma egyenes, akkor az S b oldalfelületének meghatározására szolgáló eljárás nagyban megkönnyíti, mivel egy ilyen felület téglalapokból áll. Ebben az esetben a következő képletet használhatja:
Ahol h az ábra magassága, P o az alapjának kerülete
Szabályos prizma és oldalfelülete
A fenti bekezdésben megadott képlet egy ilyen ábra esetében nagyon sajátos formát ölt. Mivel egy n-szög kerülete egyenlő az oldalai számának és az egyik hosszának szorzatával, a következő képletet kapjuk:
Ahol a a megfelelő n-szög oldalhossza.
Oldalsó felület négyszögletű és hatszögletű
A fenti képlet segítségével határozzuk meg a megjelölt három típusú ábra szükséges értékeit. A számítások így fognak kinézni.
Háromszög alakú képlet esetén ez a következő formában lesz:
Például egy háromszög oldala 10 cm, az ábra magassága pedig 7 cm, akkor:
S 3 b \u003d 3 * 10 * 7 = 210 cm 2
Négyszögletű prizma esetén a kívánt kifejezés a következő formában jelenik meg:
Ha ugyanazokat a hosszúságértékeket vesszük, mint az előző példában, akkor a következőt kapjuk:
S 4 b \u003d 4 * 10 * 7 = 280 cm 2
A hatszögletű prizma oldalfelületét a következő képlettel számítjuk ki:
Ugyanazokat a számokat helyettesítve, mint az előző esetekben, a következőt kapjuk:
S 6 b \u003d 6 * 10 * 7 = 420 cm 2
Figyeljük meg, hogy bármilyen típusú szabályos prizma esetén az oldalfelületét egyforma téglalapok alkotják. A fenti példákban mindegyik területe a*h = 70 cm 2 volt.
Számítás ferde prizmára
Az oldalfelület értékének meghatározása egy adott ábra esetén valamivel nehezebb, mint egy téglalap esetében. Ennek ellenére a fenti képlet változatlan marad, csak az alap kerülete helyett a merőleges vágás kerületét kell venni, a magasság helyett pedig az oldalél hosszát.
A fenti ábra egy négyszögű ferde prizmát mutat. Az árnyékolt paralelogramma az a merőleges metszet, amelynek P sr kerületét ki kell számítani. Az ábrán az oldalél hosszát C betű jelöli. Ekkor a képletet kapjuk:
A vágási kerület akkor található meg, ha az oldalfelületet alkotó paralelogrammák szögei ismertek.
Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
- Időnként felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
- Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.
Feltárás harmadik fél számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Abban az esetben, ha ez szükséges - a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű okokból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.