Adott 4 pont, keresse meg a vektorok vegyes szorzatát. Vektorok keresztszorzata
Megnevezés: abc.
Időpont egyeztetés. Az online számológép a vektorok vegyes szorzatának kiszámítására szolgál. Az így kapott megoldás egy Word fájlba kerül mentésre. Ezenkívül egy megoldássablon is létrejön az Excelben.
A vektorkomplanaritás jelei
Három (vagy több) vektort egysíkúnak mondunk, ha közös origóra redukálva ugyanabban a síkban helyezkednek el.Ha a három vektor közül legalább az egyik nulla, akkor a három vektort is egysíkúnak tekintjük.
Az egysíkúság jele. Ha az a, b, c rendszer helyes, akkor abc>0 ; ha maradt, akkor abc A vegyes termék geometriai jelentése. Három nem egysíkú a, b, c vektor abc vegyes szorzata egyenlő az a, b, c vektorokra épített paralelepipedon térfogatával, pluszjellel felvéve, ha az a, b, c rendszer helyes, ill. mínuszjellel, ha ez a rendszer megmarad.
Vegyes termék tulajdonságai
- Tényezők körkörös permutációjával a vegyes szorzat nem változik, két tényező permutációja esetén megfordítja az előjelét: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
A geometriai jelentésből következik. - (a+b)cd=acd+bcd (elosztó tulajdonság). Tetszőleges számú kifejezésre kiterjeszthető.
A vegyes termék definíciójából következik. - (ma)bc=m(abc) (asszociatív tulajdonság a skaláris tényezőhöz képest).
A vegyes termék definíciójából következik. Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy vegyes szorzatokra olyan transzformációkat alkalmazzunk, amelyek a közönséges algebraiaktól csak abban különböznek, hogy a tényezők sorrendje csak a szorzat előjelének figyelembevételével változtatható. - Az a vegyes szorzat, amelynek legalább két egyenlő tényezője van, egyenlő nullával: aab=0 .
1. példa. Keressen vegyes terméket. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .
2. példa. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +titkos másolat+titkos másolat . A két szélső kivételével minden tag nullával egyenlő. Továbbá bca=abc . Ezért (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
3. példa. Számítsd ki három vektor vegyes szorzatát a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k !
Megoldás. A vektorok vegyes szorzatának kiszámításához meg kell találni a vektorok koordinátáiból álló rendszer determinánsát. Formába írjuk a rendszert
Ebben a leckében további két műveletet nézünk meg vektorokkal: vektorok keresztszorzataés vektorok vegyes szorzata (azonnali link akinek szüksége van rá). Nem baj, néha megesik, hogy a teljes boldogság érdekében, ráadásul vektorok pontszorzata, egyre többre van szükség. Ilyen a vektorfüggőség. Az embernek az a benyomása lehet, hogy az analitikus geometria dzsungelébe kerülünk. Ez nem igaz. A felsőbb matematikának ebben a részében általában kevés a tűzifa, kivéve talán elég Pinokkiót. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű – aligha bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még kevesebb tipikus feladat is lesz. A legfontosabb dolog az analitikus geometriában, amint azt sokan látják vagy már látták, az, hogy NE VEGYE KI A SZÁMÍTÁSOKAT. Ismételd, mint egy varázslatot, és boldog leszel =)
Ha valahol távol csillognak a vektorok, mint a villám a láthatáron, nem számít, kezdje a leckével Vektorok bábokhoz a vektorokkal kapcsolatos alapvető ismeretek helyreállítása vagy visszaszerzése. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal, igyekeztem a gyakorlati munkában gyakran fellelhető legteljesebb példagyűjteményt összegyűjteni.
Mitől leszel boldog? Kicsi koromban két, sőt három labdával is tudtam zsonglőrködni. Jól sikerült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködni, hiszen megfontoljuk csak térvektorok, és a két koordinátájú lapos vektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek az akciók - a vektorok és a vektorok vegyes szorzata definiálva és háromdimenziós térben működik. Már könnyebb!
Ebben a műveletben, ugyanúgy, mint a skaláris szorzatnál, két vektor. Legyenek múlhatatlan betűk.
Maga az akció jelöljük a következő módon: . Vannak más lehetőségek is, de én a vektorok keresztszorzatát szoktam így jelölni, szögletes zárójelben kereszttel.
És azonnal kérdés: ha bent vektorok pontszorzata két vektorról van szó, és itt is két vektort szorozunk, akkor mi a különbség? Egyértelmű különbség mindenekelőtt az EREDMÉNYBEN:
A vektorok skaláris szorzatának eredménye egy SZÁM:
A vektorok keresztszorzatának eredménye egy VEKTOR: , azaz megszorozzuk a vektorokat és ismét vektort kapunk. Zárt klub. Valójában innen ered a művelet neve. A különböző oktatási irodalomban a megnevezések is változhatnak, én a betűt használom.
A keresztszorzat definíciója
Először lesz egy definíció képpel, majd kommentek.
Meghatározás: kereszttermék nem kollineáris vektorok, ebben a sorrendben szedve, a neve VECTOR, hossz ami számszerűen egyenlő a paralelogramma területével, ezekre a vektorokra épül; vektor merőleges a vektorokra, és úgy van irányítva, hogy az alap megfelelő tájolású legyen: 
A meghatározást csontok szerint elemezzük, sok érdekesség van!
Tehát a következő lényeges pontokat emelhetjük ki:
1) Forrásvektorok, definíció szerint piros nyilakkal jelölve nem kollineáris. A kollineáris vektorok esetét egy kicsit később célszerű megvizsgálni.
2) Felvett vektorok szigorú sorrendben: – "a" szorozva "be", nem a "legyen" "a"-ra. A vektorszorzás eredménye a VECTOR , amelyet kékkel jelölünk. Ha a vektorokat fordított sorrendben szorozzuk, akkor egyenlő hosszúságú és ellentétes irányú (bíbor színű) vektort kapunk. Vagyis az egyenlőség 
.
3) Most ismerkedjünk meg a vektorszorzat geometriai jelentésével. Ez egy nagyon fontos szempont! A kék vektor HOSSZA (és ezért a bíbor vektor) numerikusan egyenlő a vektorokra épített paralelogramma TERÜLETÉVEL. Az ábrán ez a paralelogramma feketével van árnyékolva.
jegyzet : a rajz sematikus, és természetesen a keresztszorzat névleges hossza nem egyenlő a paralelogramma területével.
Emlékezzünk az egyik geometriai képletre: a paralelogramma területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával. Ezért a fentiek alapján a vektorszorzat HOSSZ-számítási képlete érvényes:
Hangsúlyozom, hogy a képletben a vektor HOSSZÁRÓL van szó, és nem magáról a vektorról. Mi a gyakorlati jelentése? A jelentése pedig olyan, hogy az analitikus geometria problémáiban a paralelogramma területét gyakran a vektorszorzat fogalmán keresztül találják meg:
Megkapjuk a második fontos képletet. A paralelogramma átlója (piros pontozott vonal) két egyenlő háromszögre osztja. Ezért a vektorokra épített háromszög területe (piros árnyékolás) a következő képlettel kereshető:
4) Ugyanilyen fontos tény, hogy a vektor ortogonális a vektorokra, azaz 
. Természetesen az ellentétes irányú vektor (bíbor nyíl) is merőleges az eredeti vektorokra.
5) A vektort úgy irányítjuk, hogy alapján Megvan jobb orientáció. Egy leckében kb áttérni egy új alapra részletesen beszéltem róla sík tájolás, és most kitaláljuk, mi a tér tájolása. Az ujjadon elmagyarázom jobb kéz. Szellemileg kombinálni mutatóujj vektorral és középső ujj vektorral. Gyűrűsujj és kisujj nyomd a tenyeredbe. Ennek eredményeként hüvelykujj- a vektorszorzat felfelé néz. Ez a jobboldali alap (az ábrán látható). Most cserélje fel a vektorokat ( mutató és középső ujj) helyenként ennek hatására a hüvelykujj megfordul, és a vektorszorzat máris lefelé néz. Ez is egy jobboldali alap. Talán van egy kérdés: mi alapján áll a baloldali irányultság? "Hozzárendelni" ugyanazokat az ujjakat bal kéz vektorokat, és megkapja a bal bázist és a bal térbeli tájolást (ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányába fog elhelyezkedni). Képletesen szólva ezek az alapok különböző irányokba „csavarják” vagy orientálják a teret. És ezt a koncepciót nem szabad valami távolinak vagy elvontnak tekinteni - például a leghétköznapibb tükör megváltoztatja a tér tájolását, és ha „kihúzza a visszavert tárgyat a tükörből”, akkor általában nem lesz lehetséges kombinálja az „eredetivel”. Mellesleg, vidd három ujjad a tükörhöz, és elemezd a visszaverődést ;-)
... milyen jó, hogy most már tudsz róla jobbra és balra orientált alapokon, mert borzasztóak egyes előadók kijelentései az irányváltásról =)
Kollineáris vektorok vektorszorzata
A definíciót részletesen kidolgoztuk, még ki kell deríteni, mi történik, ha a vektorok kollineárisak. Ha a vektorok kollineárisak, akkor egy egyenesre helyezhetők, és a paralelogrammánk is egy egyenesbe „gyűrődik”. Az ilyenek területe, ahogy a matematikusok mondják, elfajzott paralelogramma nulla. Ugyanez következik a képletből - a nulla vagy 180 fok szinusza egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a terület nulla
Így ha , akkor 
. Szigorúan véve maga a keresztszorzat egyenlő a nulla vektorral, de a gyakorlatban ezt gyakran figyelmen kívül hagyják, és azt írják, hogy egyszerűen egyenlő nullával.
Egy speciális eset egy vektor és önmagának vektorszorzata:
A keresztszorzat segítségével ellenőrizhető a háromdimenziós vektorok kollinearitása, és többek között ezt a problémát is elemezzük.
A gyakorlati példák megoldásához szükséges lehet trigonometrikus táblázat hogy kikeresse belőle a szinuszok értékeit.
Nos, gyújtsunk tüzet:
1. példa
a) Határozza meg a vektorok vektorszorzatának hosszát, ha 
b) Határozza meg a vektorokra épített paralelogramma területét, ha 
Megoldás: Nem, ez nem elírás, szándékosan tettem azonossá a kezdeti adatokat a feltételelemekben. Mert a megoldások kialakítása más lesz!
a) A feltétel szerint meg kell találni hossz vektor (vektorszorzat). A megfelelő képlet szerint:
Válasz:
Mivel a hosszra kérdezték, a válaszban megadjuk a méretet - mértékegységeket.
b) A feltétel szerint meg kell találni négyzet vektorokra épített paralelogramma . Ennek a paralelogrammának a területe számszerűen megegyezik a keresztszorzat hosszával:
Válasz:
Felhívjuk figyelmét, hogy a vektoros szorzatra adott válaszban egyáltalán nem esik szó, arról kérdeztünk ábra terület, illetve a méret négyzetegység.
Mindig megnézzük, hogy a feltétel MIT igényel, és ennek alapján fogalmazunk egyértelmű válasz. Lehet, hogy szószerintiségnek tűnik, de a tanárok között van elég literalista, és a feladat jó eséllyel visszakerül átdolgozásra. Bár ez nem egy különösebben megerőltető trükk - ha a válasz helytelen, akkor az a benyomásunk támad, hogy az illető nem ért egyszerű dolgokhoz és/vagy nem mélyedt el a feladat lényegében. Ezt a pillanatot mindig kordában kell tartani, megoldani bármilyen feladatot a felsőbb matematikában és más tárgyakban is.
Hová tűnt a nagy "en" betű? Elvileg rá lehetne ragasztani a megoldásra, de a rekord lerövidítése érdekében nem tettem. Remélem ezt mindenki megérti, és ugyanaz a megjelölés.
Egy népszerű példa a barkácsoló megoldásra:
2. példa
Keresse meg a vektorokra épített háromszög területét, ha 
A háromszög területének vektorszorzaton keresztüli meghatározásának képlete a definíció megjegyzéseiben található. Megoldás és válasz a lecke végén.
A gyakorlatban a feladat valóban nagyon gyakori, a háromszögeket általában meg lehet kínozni.
Más problémák megoldásához szükségünk van:
A vektorok keresztszorzatának tulajdonságai
A vektorszorzat néhány tulajdonságát már megvizsgáltuk, de ebbe a listába felveszem őket.
Tetszőleges vektorokra és tetszőleges számokra a következő tulajdonságok igazak:
1) Más információforrásokban ezt az elemet általában nem különböztetik meg a tulajdonságokban, de gyakorlati szempontból nagyon fontos. Úgyhogy legyen.
2) 
- fentebb is szó van az ingatlanról, néha ún antikommutativitás. Más szóval, a vektorok sorrendje számít.
3) - kombináció vagy asszociációs vektor szorzat törvényei. Az állandók könnyen kivehetők a vektorszorzat határai közül. Tényleg, mit csinálnak ott?
4) - elosztás ill terjesztés vektor szorzat törvényei. Nincs probléma a zárójelek nyitásával sem.
Szemléltetésként vegyünk egy rövid példát:
3. példa
Keresse meg, ha 
Megoldás: Feltétel alapján ismét meg kell találni a vektorszorzat hosszát. Festjük meg miniatűrünket: 
(1) Az asszociatív törvények szerint a vektorszorzat határain túli állandókat kivesszük.
(2) Kivesszük a konstanst a modulból, miközben a modul „megeszi” a mínusz jelet. A hossza nem lehet negatív.
(3) A következők világosak.
Válasz: 
Ideje fát dobni a tűzre:
4. példa
Számítsa ki a vektorokra épített háromszög területét, ha 
Megoldás: Keresse meg egy háromszög területét a képlet segítségével 
. A bökkenő az, hogy a "ce" és a "te" vektorok maguk is vektorok összegeként vannak ábrázolva. Az itt található algoritmus szabványos, és némileg emlékeztet a lecke 3. és 4. példájára. Vektorok pontszorzata. Az egyértelműség kedvéért bontsuk három lépésre:
1) Az első lépésben a vektorszorzatot a vektorszorzaton keresztül fejezzük ki, valójában fejezzük ki a vektort a vektorral. A hosszról még nem esett szó!
(1) Behelyettesítjük a vektorok kifejezéseit.
(2) Distributív törvények segítségével nyissuk meg a zárójeleket a polinomok szorzási szabálya szerint!
(3) Az asszociatív törvények segítségével kivesszük a vektorszorzatokon túli összes állandót. Kevés tapasztalattal a 2. és 3. művelet egyszerre is végrehajtható.
(4) A kellemes tulajdonság miatt az első és az utolsó tag egyenlő nullával (nulla vektor). A második tagban a vektorszorzat antikommutatív tulajdonságát használjuk:
(5) Hasonló kifejezéseket mutatunk be.
Ennek eredményeként kiderült, hogy a vektor egy vektoron keresztül fejeződik ki, amit el kellett érni: 
2) A második lépésben megkeressük a szükséges vektorszorzat hosszát. Ez a művelet hasonló a 3. példához: 
3) Keresse meg a kívánt háromszög területét: 
A megoldás 2-3 lépéseit egy sorba lehetne rendezni.
Válasz:
A vizsgált probléma meglehetősen gyakori a tesztekben, itt van egy példa egy független megoldásra:
5. példa
Keresse meg, ha
Rövid megoldás és válasz a lecke végén. Lássuk, milyen figyelmes voltál az előző példák tanulmányozásakor ;-)
A vektorok keresztszorzata koordinátákban
ortonormális alapon megadva , képlettel fejezzük ki:
A képlet nagyon egyszerű: a determináns felső sorába írjuk a koordináta vektorokat, a vektorok koordinátáit „pakoljuk” a második és harmadik sorba, és szigorú sorrendben- először a "ve" vektor koordinátái, majd a "double-ve" vektor koordinátái. Ha a vektorokat más sorrendben kell szorozni, akkor a sorokat is fel kell cserélni: 
10. példa
Ellenőrizze, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:
a)
b) 
Megoldás: A teszt a leckében található egyik állításon alapul: ha a vektorok kollineárisak, akkor a keresztszorzatuk nulla (nulla vektor): 
.
a) Keresse meg a vektorszorzatot: 
Tehát a vektorok nem kollineárisak.
b) Keresse meg a vektorszorzatot: 
Válasz: a) nem kollineáris, b)
Itt van talán minden alapvető információ a vektorok vektorszorzatáról.
Ez a szakasz nem lesz túl nagy, mivel kevés probléma adódik a vektorok vegyes szorzatának felhasználásával. Valójában minden a meghatározáson, a geometriai jelentésen és néhány működő képleten fog nyugodni.
A vektorok vegyes szorzata három vektor szorzata:
Így álltak sorba, mint a vonat, és várnak, alig várják, amíg kiszámolják őket.
Először is a definíció és a kép:
Meghatározás: Vegyes termék nem egysíkú vektorok, ebben a sorrendben szedve, nak, nek hívják a paralelepipedon térfogata, ezekre a vektorokra épül, "+" jellel, ha az alap jobb, és "-" jellel, ha a bázis bal.
Csináljuk a rajzot. A számunkra láthatatlan vonalakat szaggatott vonal húzza: 
Merüljünk el a definícióban:
2) Felvett vektorok egy bizonyos sorrendben, vagyis a vektorok permutációja a szorzatban, ahogy sejthető, nem marad következmények nélkül.
3) Mielőtt hozzászólnék a geometriai jelentéshez, megjegyzem a nyilvánvaló tényt: vektorok vegyes szorzata SZÁM: . Az oktatási irodalomban a kialakítás némileg eltérhet, én a vegyes terméket szoktam jelölni, a számítások eredményét pedig "pe" betűvel.
Definíció szerint a kevert termék a paralelepipedon térfogata, vektorokra épített (az ábra piros vektorokkal és fekete vonalakkal van megrajzolva). Azaz a szám megegyezik az adott paralelepipedon térfogatával.
jegyzet : A rajz sematikus.
4) Ne foglalkozzunk ismét az alap és a tér orientációjának fogalmával. A záró rész jelentése az, hogy mínusz jelet lehet adni a kötethez. Leegyszerűsítve a vegyes termék lehet negatív: .
A definícióból közvetlenül következik a vektorokra épített paralelepipedon térfogatának kiszámításának képlete.
Ahhoz, hogy ezt a témát részletesen meg lehessen vizsgálni, még néhány szakaszt le kell fednie. A téma közvetlenül kapcsolódik olyan kifejezésekhez, mint a pont és a kereszttermék. Ebben a cikkben megpróbáltunk pontos definíciót adni, megadni egy képletet, amely segít meghatározni a szorzatot a vektorok koordinátái alapján. Ezen kívül a cikkben olyan szakaszok találhatók, amelyek felsorolják a munka tulajdonságait, és részletes elemzést adnak a tipikus egyenlőségekről és problémákról.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Term
Annak meghatározásához, hogy mi ez a kifejezés, három vektort kell felvennie.
1. definíció
vegyes termék a → , b → és d → az az érték, amely egyenlő a → × b → és d → pontszorzatával, ahol a → × b → a → és b → szorzata. Az a → , b → és d → szorzási műveletet gyakran a → · b → · d → -vel jelölik. A képletet a következőképpen alakíthatja át: a → b → d → = (a → × b → , d →) .
Szorzás koordinátarendszerben
A vektorokat akkor tudjuk szorozni, ha a koordinátasíkon vannak megadva.
Vegyük i → , j → , k →
A vektorok szorzata ebben a konkrét esetben a következő formában lesz: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z j b x + a x a y b x b y k →
2. definíció
Ponttermék végrehajtásához a koordinátarendszerben össze kell adni a koordináták szorzása során kapott eredményeket.
Ezért:
a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a k → y b x b
Adhatunk vektorok vegyes szorzatát is, ha egy adott koordináta-rendszerben megadjuk a szorzás alatt álló vektorok koordinátáit.
a → × b → = (a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → , d x i → + d y j → + d z z k →) = = a y a z b y b z d x - a x a z b z d x - a b x a z
Ebből arra lehet következtetni, hogy:
a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
3. definíció
A vegyes termék közé sorolható egy olyan mátrix determinánsához, amelynek sorai vektorkoordináták. Vizuálisan így néz ki: a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
A vektorokon végzett műveletek tulajdonságai A skalár- vagy vektorszorzatban feltűnő jellemzőkből származtathatók azok a jellemzők, amelyek a vegyes szorzatot jellemzik. Az alábbiakban bemutatjuk a főbb tulajdonságokat.
- (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R;
- a → b → d → = d → a → b → = b → d → a → ; a → d → b → = b → a → d → = d → b → a → ;
- (a (1) → + a (2) →) b → d → = a (1) → b → d → + a (2) → b → d → a → (b(1) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →
A fenti tulajdonságok mellett tisztázni kell, hogy ha a tényező nulla, akkor a szorzás eredménye is nulla lesz.
A szorzás eredménye akkor is nulla, ha két vagy több tényező egyenlő.
Valóban, ha a → = b → , akkor a vektorszorzat [ a → × b → ] = a → b → sin 0 = 0 definícióját követve a vegyes szorzat egyenlő nullával, mivel ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .
Ha a → = b → vagy b → = d → , akkor az [ a → × b → ] és a d → vektorok közötti szög π 2 . A vektorok skaláris szorzatának meghatározása szerint ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .
A szorzási művelet tulajdonságaira leggyakrabban a problémamegoldás során van szükség.
A téma részletes elemzéséhez vegyünk néhány példát, és írjuk le őket részletesen.
1. példa
Igazoljuk a ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) egyenlőséget, ahol λ valamilyen valós szám.
Ahhoz, hogy megoldást találjunk erre az egyenlőségre, át kell alakítani a bal oldalát. Ehhez a vegyes termék harmadik tulajdonságát kell használni, amely így szól:
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Elemeztük, hogy (([ a → × b → ], b →) = 0. Ebből az következik, hogy
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)
Az első tulajdonság szerint ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , és ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . Így ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) . Ezért,
([ a ⇀ × b ⇀ ] , d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →)
Az egyenlőség bebizonyosodott.
2. példa
Be kell bizonyítani, hogy három vektor vegyes szorzatának modulusa nem nagyobb, mint hosszuk szorzata.
Megoldás
A feltétel alapján a példát a → × b → , d → ≤ a → b → d → egyenlőtlenségként ábrázolhatjuk.
Definíció szerint az a → × b → , d → = a → × b → d → cos (a → × b → ^ , d →) = = a → b → sin (a → , b → ^) egyenlőtlenséget transzformáljuk. d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)
Elemi függvények segítségével megállapíthatjuk, hogy 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1 .
Ebből arra lehet következtetni
(a → × b → , d →) = a → b → sin (a → , b →) ^ d → cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → b → 1 d → 1 = a → b → d →
Az egyenlőtlenség bebizonyosodott.
Tipikus feladatok elemzése
A vektorok szorzatának meghatározásához ismernünk kell a szorzott vektorok koordinátáit. A művelethez a következő képletet használhatja a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
3. példa
Egy téglalap alakú koordinátarendszerben 3 vektor van a következő koordinátákkal: a → = (1 , - 2 , 3) , b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , - 2 , 5 ) ) . Meg kell határozni, hogy a jelzett a → · b → · d → vektorok szorzata mekkora összeggel egyenlő.
A fent bemutatott elmélet alapján használhatjuk azt a szabályt, amely kimondja, hogy a vegyes szorzat számítható a mátrix determináns szempontjából. Így fog kinézni: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7
4. példa
Meg kell találni az i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 k → vektorok szorzatát, ahol i → , j → , k → egy téglalap egységvektorai Derékszögű koordinátarendszer.
Abból a feltételből kiindulva, hogy a vektorok egy adott koordinátarendszerben helyezkednek el, levezethetjük a koordinátáikat: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → - k → = (1 , 1 , - 1 ) i → + j → + 2 k → = (1 , 1 , 2)
Használja a fenti képletet
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0
A vegyes szorzat definiálható a már ismert vektor hosszával és a közöttük lévő szöggel is. Elemezzük ezt a tézist egy példán.
5. példa
Egy téglalap alakú koordinátarendszerben három egymásra merőleges a → , b → és d → vektor van. Ezek egy jobboldali hármas, és a hosszuk 4, 2 és 3. Meg kell szoroznunk a vektorokat.
Jelölje c → = a → × b → .
A szabály szerint a skalárvektorok szorzásának eredménye egy olyan szám, amely megegyezik a használt vektorok hosszának a közöttük lévő szög koszinuszával való szorzásával. Arra a következtetésre jutunk, hogy a → b → d → = ([ a → × b → ] , d →) = c → , d → = c → d → cos (c → , d → ^) .
A példafeltételben megadott d → vektor hosszát használjuk: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Meg kell határozni c → és c → , d → ^ . Az a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2 feltétellel. A c → vektort a következő képlettel találjuk meg: c → = [ a → × b → ] = a → b → sin a → , b → ^ = 4 2 sin π 2 = 8
Megállapítható, hogy c → merőleges a → és b → -re. Az a → , b → , c → vektorok a megfelelő hármasok lesznek, ezért a derékszögű koordinátarendszert használjuk. A c → és d → vektorok egyirányúak lesznek, azaz c → , d → ^ = 0 . A származtatott eredmények felhasználásával az a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 példát oldjuk meg.
a → · b → · d → = 24 .
Az a → , b → és d → tényezőket használjuk.
Az a → , b → és d → vektorok ugyanabból a pontból származnak. Oldalként használjuk őket figura felépítéséhez.
Jelölje, hogy c → = [a → × b →]. Ebben az esetben a vektorok szorzatát a következőképpen definiálhatjuk: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = c → n p c → d → , ahol n p c → d → a numerikus vetülete a d → vektor a c vektor irányába → = [ a → × b → ] .
Az n p c → d → abszolút értéke egyenlő egy olyan számmal, amely megegyezik az ábra magasságával is, amelyhez az a → , b → és d → vektorokat használjuk oldalként. Ennek alapján tisztázni kell, hogy c → = [ a → × b → ] merőleges a →-re, valamint a vektorszorzás definíciója szerint egy vektor és egy vektor. A c → = a → x b → érték egyenlő az a → és b → vektorokra épített paralelepipedon területével.
Arra a következtetésre jutunk, hogy az a → b → d → = c → n p c → d → szorzat modulusa egyenlő az a → , b → és vektorokra épülő ábra alapterületének és az ábra magasságának szorzatával. d → .
4. definíció
A keresztszorzat abszolút értéke a paralelepipedon térfogata: V parallelelepi pida = a → · b → · d → .
Ez a képlet a geometriai jelentése.
5. definíció
Egy tetraéder térfogata, amely a → , b → és d → -re épül, egyenlő a paralelepipedon térfogatának 1/6-ával = 1 6 · a → · b → · d → .
Az ismeretek megszilárdítása érdekében néhány jellemző példát elemezünk.
6. példa
Meg kell találni a paralelepipedon térfogatát, melynek oldalai A B → = (3 , 6 , 3) , A C → = (1 , 3 , - 2 ), A A 1 → = (2 , 2 , 2) , derékszögű koordinátarendszerben megadva. A paralelepipedon térfogatát az abszolút érték képlettel határozhatjuk meg. Ebből következik: A B → A C → A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = -18
Ekkor V parallelele pipeda = - 18 = 18 .
V parallelelepipida = 18
7. példa
A koordinátarendszer A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (-2, 3, 1) pontokat tartalmaz. Meg kell határozni a tetraéder térfogatát, amely ezeken a pontokon található.
Használjuk a V t e t r hedra = 1 6 · A B → · A C → · A D → képletet. A pontok koordinátáiból meghatározhatjuk a vektorok koordinátáit: A B → = (3 - 0 , - 1 - 1 , 5 - 0) = (3 , - 2 , 5) A C → = (1 - 0 , 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) A D → = (- 2 - 0, 3 - 1, 1 - 0) = (- 2, 2, 1)
Ezután definiáljuk az A B → A C → A D → vegyes szorzatot a vektorok koordinátáival: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 = - 7 kötet V t e r a hedra = 1 6 - 7 = 7 6 .
V t e t ra hedra = 7 6 .
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt