Az algebra középiskolai tanulmányozása során (9. osztály) az egyik fontos téma a numerikus sorozatok tanulmányozása, amelyek magukban foglalják a progressziót - geometriát és aritmetikát. Ebben a cikkben egy aritmetikai progressziót és megoldási példákat fogunk megvizsgálni.

Mi az aritmetikai progresszió?

Ennek megértéséhez meg kell adni a vizsgált progresszió definícióját, valamint meg kell adni azokat az alapképleteket, amelyeket a továbbiakban a problémák megoldásában használni fognak.

Ismeretes, hogy néhány algebrai progresszióban az 1. tag egyenlő 6-tal, a 7. tag pedig 18-cal. Meg kell találni a különbséget, és vissza kell állítani ezt a sorozatot a 7. tagra.

Használjuk a képletet az ismeretlen tag meghatározásához: a n = (n - 1) * d + a 1 . Behelyettesítjük a feltételből ismert adatokat, vagyis az a 1 és a 7 számokat, így van: 18 \u003d 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámítható a különbség: d = (18 - 6) / 6 = 2. Így a feladat első része megválaszolásra került.

A sorozat 7. tagjára való visszaállításához az algebrai progresszió definícióját kell használni, azaz a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d és így tovább. Ennek eredményeként a teljes sorozatot visszaállítjuk: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 és 7 = 18.

3. példa: előrelépés

Bonyolítsuk tovább a probléma helyzetét. Most meg kell válaszolnia azt a kérdést, hogy hogyan találhat számtani progressziót. A következő példa megadható: két számot adunk meg, például 4-et és 5-öt. Algebrai haladást kell végezni úgy, hogy ezek közé még három tag kerüljön.

A probléma megoldásának megkezdése előtt meg kell érteni, hogy az adott számok milyen helyet foglalnak el a jövőbeni haladásban. Mivel még három tag lesz közöttük, akkor egy 1 \u003d -4 és egy 5 \u003d 5. Miután ezt megállapítottuk, folytatjuk az előzőhöz hasonló feladatot. Ismét az n-edik taghoz a képletet használjuk, így kapjuk: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Innen: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Itt a különbség nem egész, hanem racionális szám, így az algebrai haladás képletei változatlanok maradnak.

Most adjuk hozzá a talált különbséget 1-hez, és állítsuk vissza a progresszió hiányzó tagjait. A következőt kapjuk: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d ami egybeesett a probléma feltételével.

4. példa: A progresszió első tagja

Továbbra is példákat adunk a megoldással ellátott aritmetikai sorozatra. Minden korábbi feladatban ismert volt az algebrai progresszió első száma. Tekintsünk most egy másik típusú problémát: legyen két szám megadva, ahol egy 15 = 50 és egy 43 = 37. Meg kell találni, hogy melyik számtól kezdődik ez a sorozat.

Az eddig használt képletek egy 1 és d ismeretét feltételezik. Ezekről a számokról a probléma állapotában semmit nem tudni. Mindazonáltal írjuk ki a kifejezéseket minden olyan taghoz, amelyről információnk van: a 15 = a 1 + 14 * d és a 43 = a 1 + 42 * d. Kaptunk két egyenletet, amelyben 2 ismeretlen mennyiség van (a 1 és d). Ez azt jelenti, hogy a feladat egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.

A megadott rendszert a legkönnyebb megoldani, ha minden egyenletben 1-et adunk meg, majd összehasonlítjuk a kapott kifejezéseket. Első egyenlet: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; második egyenlet: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ezeket a kifejezéseket egyenlővé téve a következőt kapjuk: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, ahonnan a különbség d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (csak 3 tizedesjegy van megadva).

A d ismeretében a fenti 2 kifejezés bármelyikét használhatja egy 1-hez. Például először: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ha kétségei vannak az eredménnyel kapcsolatban, akkor ellenőrizheti, például meghatározhatja a feltételben megadott progresszió 43. tagját. A következőt kapjuk: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Egy kis hiba abból adódik, hogy a számításoknál ezredrészekre kerekítést alkalmaztak.

5. példa: Összeg

Most nézzünk meg néhány példát egy aritmetikai sorozat összegének megoldására.

Legyen a következő alakú numerikus progresszió: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan lehet kiszámítani ezeknek a számoknak a 100 összegét?

A számítástechnika fejlődésének köszönhetően ez a probléma megoldható, vagyis az összes szám szekvenciális összeadása, amit a számítógép megtesz, amint megnyomja az Enter billentyűt. A probléma azonban mentálisan megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy a bemutatott számsor egy algebrai progresszió, különbsége pedig 1. Az összeg képletét alkalmazva a következőt kapjuk: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Érdekes megjegyezni, hogy ezt a problémát „gaussinak” hívják, hiszen a 18. század elején a híres német, még csak 10 évesen néhány másodperc alatt meg tudta oldani gondolatban. A fiú nem ismerte az algebrai progresszió összegének képletét, de észrevette, hogy ha a sorozat szélein elhelyezkedő számpárokat összead, mindig ugyanazt az eredményt kapja, azaz 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 (100 / 2) lesznek, akkor a helyes válaszhoz elegendő 50-et megszorozni 101-gyel.

6. példa: tagok összege n-től m-ig

A számtani progresszió összegének egy másik tipikus példája a következő: adott egy számsor: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, hogy mekkora lesz a 8-tól 14-ig terjedő tagok összege.

A probléma kétféleképpen oldható meg. Az első közülük 8-tól 14-ig ismeretlen kifejezéseket keres, majd sorban összegzi őket. Mivel kevés a kifejezés, ez a módszer nem elég munkaigényes. Ennek ellenére javasolt a probléma megoldása a második módszerrel, amely univerzálisabb.

Az ötlet az, hogy egy képletet kapjunk az m és n tagok közötti algebrai haladás összegére, ahol n > m egész számok. Mindkét esetben két kifejezést írunk az összegre:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Mivel n > m, nyilvánvaló, hogy a 2 összeg tartalmazza az elsőt. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha felvesszük ezen összegek különbségét, és hozzáadjuk az a m tagot (különbözet ​​felvétele esetén levonjuk az S n összegből), akkor megkapjuk a feladatra a szükséges választ. Van: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Ebbe a kifejezésbe n és m képleteket kell behelyettesíteni. Ekkor a következőt kapjuk: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A kapott képlet kissé körülményes, azonban az S mn összeg csak n, m, a 1 és d függvénye. Esetünkben a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ezeket a számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: S mn = 301.

Amint a fenti megoldásokból látható, minden probléma az n-edik tag kifejezésének és az első tagok összegének képletének ismeretén alapul. Mielőtt elkezdené a probléma megoldását, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a feltételt, értse meg egyértelműen, mit szeretne találni, és csak ezután folytassa a megoldást.

Egy másik tipp, hogy törekedjünk az egyszerűségre, vagyis ha bonyolult matematikai számítások nélkül is meg tudjuk válaszolni a kérdést, akkor ezt kell tenniük, hiszen ebben az esetben kisebb a hibázás valószínűsége. Például a 6-os megoldással végzett aritmetikai sorozat példájában megállhatunk az S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m képletnél, és bontsuk fel az általános feladatot külön részfeladatokra (ebben az esetben először keressük meg az a n és a m kifejezéseket).

Ha kétségek merülnek fel a kapott eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze azt, ahogyan az egyes példákban is megtörtént. Hogyan találhatunk számtani progressziót, kiderült. Ha egyszer rájössz, nem is olyan nehéz.

Valaki óvatosan kezeli a „progresszió” szót, mint egy nagyon összetett kifejezést a felsőbb matematika szekcióiból. Eközben a legegyszerűbb számtani progresszió a taxiszámláló munkája (ahol még maradnak). És egy számtani sorozat lényegének megértése (és a matematikában nincs fontosabb, mint „megérteni a lényeget”) nem is olyan nehéz, néhány elemi fogalom elemzése után.

Matematikai számsor

Egy numerikus sorozatot szokás számsornak nevezni, amelyek mindegyikének megvan a maga száma.

és 1 a sorozat első tagja;

és 2 a sorozat második tagja;

és 7 a sorozat hetedik tagja;

és n a sorozat n-edik tagja;

Azonban semmiféle önkényes szám- és számkészlet nem érdekel bennünket. Figyelmünket egy olyan numerikus sorozatra összpontosítjuk, amelyben az n-edik tag értéke matematikailag egyértelműen megfogalmazható függőséggel kapcsolódik a sorszámához. Más szóval: az n-edik szám számértéke n valamilyen függvénye.

a - a numerikus sorozat egy tagjának értéke;

n a sorozatszáma;

f(n) egy olyan függvény, ahol az n numerikus sorozat sorszáma az argumentum.

Meghatározás

Az aritmetikai progressziót általában olyan numerikus sorozatnak nevezik, amelyben minden következő tag azonos számmal nagyobb (kisebb), mint az előző. A számtani sorozat n-edik tagjának képlete a következő:

a n - az aritmetikai sorozat aktuális tagjának értéke;

a n+1 - a következő szám képlete;

d - különbség (egy bizonyos szám).

Könnyen megállapítható, hogy ha a különbség pozitív (d>0), akkor a vizsgált sorozat minden következő tagja nagyobb lesz, mint az előző, és ez a számtani progresszió növekszik.

Az alábbi grafikonon jól látható, hogy miért nevezik a számsort „növekvőnek”.

Azokban az esetekben, amikor a különbség negatív (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

A megadott tag értéke

Néha meg kell határozni egy aritmetikai sorozat tetszőleges a n tagjának értékét. Ezt úgy teheti meg, hogy egymás után kiszámolja az aritmetikai sorozat összes tagjának értékét, az elsőtől a kívántig. Ez azonban nem mindig elfogadható, ha például az ötezredik vagy nyolcmilliomodik tag értékét kell megtalálni. A hagyományos számítás sokáig tart. Egy adott aritmetikai progresszió azonban bizonyos képletekkel vizsgálható. Van egy képlet az n-edik tagra is: egy aritmetikai sorozat bármely tagjának értéke meghatározható a progresszió első tagjának összegeként a progresszió különbségével, megszorozva a kívánt tag számával, mínusz egy .

A képlet univerzális a progresszió növelésére és csökkentésére.

Példa egy adott tag értékének kiszámítására

Oldjuk meg a következő feladatot egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának értékének megállapítására.

Feltétel: van egy aritmetikai progresszió a következő paraméterekkel:

A sorozat első tagja 3;

A számsor különbsége 1,2.

Feladat: 214 tag értékét kell megtalálni

Megoldás: egy adott tag értékének meghatározásához a következő képletet használjuk:

a(n) = a1 + d(n-1)

A problémafelvetés adatait a kifejezésbe behelyettesítve a következőt kapjuk:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Válasz: A sorozat 214. tagja egyenlő 258,6-tal.

Ennek a számítási módszernek az előnyei nyilvánvalóak - a teljes megoldás legfeljebb 2 sort vesz igénybe.

Adott számú tag összege

Nagyon gyakran egy adott számtani sorozatban meg kell határozni egyes szegmenseinek értékeinek összegét. Ezenkívül nem kell kiszámítania az egyes kifejezések értékeit, majd összegeznie azokat. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha kevés azon kifejezések száma, amelyek összegét meg kell találni. Más esetekben kényelmesebb a következő képlet használata.

Az 1-től n-ig terjedő számtani sorozat tagjainak összege egyenlő az első és n-edik tag összegével, megszorozva az n tagszámmal és elosztva kettővel. Ha a képletben az n-edik tag értékét a cikk előző bekezdésében szereplő kifejezéssel helyettesítjük, akkor a következőt kapjuk:

Számítási példa

Például oldjunk meg egy problémát a következő feltételekkel:

A sorozat első tagja nulla;

A különbség 0,5.

A feladatban meg kell határozni az 56-tól 101-ig terjedő sorozat tagjainak összegét.

Megoldás. Használjuk a képletet a progresszió összegének meghatározásához:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Először meghatározzuk a progresszió 101 tagjának értékeinek összegét úgy, hogy a feladatunk adott feltételeit behelyettesítjük a képletbe:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Nyilvánvalóan ahhoz, hogy megtudjuk az 56-tól a 101-ig terjedő haladás tagjainak összegét, ki kell vonni S 55-öt S 101-ből.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Tehát ennek a példának az aritmetikai progressziójának összege:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Példa az aritmetikai progresszió gyakorlati alkalmazására

A cikk végén térjünk vissza az első bekezdésben megadott számtani sorozat példájához - egy taxióra (taxi mérő). Nézzünk egy ilyen példát.

A taxiba beszállás (amely 3 km-t tartalmaz) 50 rubelbe kerül. Minden további kilométert 22 rubel / km áron fizetnek. Utazási távolság 30 km. Számolja ki az utazás költségét.

1. Dobjuk el az első 3 km-t, melynek árát a leszállási költség tartalmazza.

30 - 3 = 27 km.

2. A további számítás nem más, mint egy számtani számsor elemzése.

A tagszám a megtett kilométerek száma (mínusz az első három).

A tag értéke az összeg.

Ebben a feladatban az első tag 1 = 50 rubel lesz.

Progressziós különbség d = 22 p.

a számunkra érdekes szám - a számtani progresszió (27 + 1)-edik tagjának értéke - a mérőállás a 27. kilométer végén - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

A tetszőlegesen hosszú időszakra vonatkozó naptári adatok számításai bizonyos numerikus sorozatokat leíró képleteken alapulnak. A csillagászatban a pálya hossza geometriailag függ az égitest és a világítótest távolságától. Emellett a statisztikában és a matematika más alkalmazott ágaiban sikeresen alkalmazzák a különféle numerikus sorozatokat.

A számsorok másik fajtája a geometriai

A geometriai progressziót az aritmetikaihoz képest nagy változási sebesség jellemzi. Nem véletlen, hogy a politikában, a szociológiában, az orvostudományban gyakran egy adott jelenség, például egy járvány idején előforduló betegség nagy sebességű terjedésének kimutatására azt mondják, hogy a folyamat exponenciálisan fejlődik.

A geometriai számsor N-edik tagja abban különbözik az előzőtől, hogy megszorozzák valamilyen állandó számmal - a nevező például az első tag 1, a nevező 2, majd:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - a geometriai progresszió aktuális tagjának értéke;

b n+1 - a geometriai progresszió következő tagjának képlete;

q egy geometriai progresszió nevezője (állandó szám).

Ha egy aritmetikai progresszió grafikonja egyenes, akkor a geometriai egy kicsit más képet rajzol:

Akárcsak az aritmetika esetében, a geometriai progressziónak van egy képlete egy tetszőleges tag értékére. A geometriai sorozat bármely n-edik tagja egyenlő az első tag és az n eggyel csökkentett hatványának nevezőjének szorzatával:

Példa. Van egy geometriai progressziónk, amelynek első tagja 3, a progresszió nevezője pedig 1,5. Keresse meg a progresszió 5. tagját!

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Adott számú tag összegét is egy speciális képlet segítségével számítjuk ki. Egy geometriai sorozat első n tagjának összege egyenlő a haladás n-edik tagjának és nevezőjének szorzata, valamint a haladás első tagjának szorzatával, osztva az eggyel csökkentett nevezővel:

Ha b n-t a fent tárgyalt képlettel helyettesítjük, akkor a figyelembe vett számsor első n tagjának összege a következő alakot veszi fel:

Példa. A geometriai progresszió az első taggal kezdődik, amely egyenlő 1-gyel. A nevező értéke 3. Határozzuk meg az első nyolc tag összegét.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

A numerikus sorozat fogalma azt jelenti, hogy minden természetes szám valamilyen valós értéknek felel meg. Egy ilyen számsorozat lehet tetszőleges, és rendelkezhet bizonyos tulajdonságokkal - progresszióval. Ez utóbbi esetben a sorozat minden következő eleme (tagja) kiszámítható az előzővel.

Az aritmetikai progresszió olyan számértékek sorozata, amelyben a szomszédos tagjai azonos számmal különböznek egymástól (a sorozat minden eleme, a 2.-tól kezdve, hasonló tulajdonsággal rendelkezik). Ez a szám – az előző és a következő tag közötti különbség – állandó, és progressziós különbségnek nevezzük.

Progressziós különbség: definíció

Tekintsünk egy j értékekből álló sorozatot A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j az N természetes számok halmazához tartozik. Egy aritmetikai sorozat, definíciója szerint egy sorozat , amelyben a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. A d értéke ennek a progressziónak a kívánt különbsége.

d = a(j)-a(j-1).

Kioszt:

• Növekvő progresszió, ebben az esetben d > 0. Példa: 4, 8, 12, 16, 20, …
• csökkenő progresszió, majd d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

A progresszió különbsége és tetszőleges elemei

Ha a progresszió 2 tetszőleges tagja (i-edik, k-edik) ismert, akkor ennek a sorozatnak a különbsége az összefüggés alapján megállapítható:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, tehát d = (a(i) - a(k))/(i-k).

A progressziókülönbség és annak első tagja

Ez a kifejezés csak abban az esetben segít meghatározni az ismeretlen értéket, ha a sorozatelem száma ismert.

Progressziós különbség és összege

A progresszió összege a tagok összege. Az első j elem összértékének kiszámításához használja a megfelelő képletet:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, de mivel a(j) = a(1) + d(j – 1), akkor S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a. (1) + d(– 1))/2)*j.

Online számológép.
Aritmetikai progressziós megoldás.
Adott: a n , d, n
Keresse meg: a 1

Ez a matematikai program a felhasználó által megadott \(a_n, d \) és \(n \) számok alapján találja meg a \(a_1\) számtani sorozatot.
Az \(a_n\) és \(d \) számok nem csak egész számként, hanem törtként is megadhatók. Ezenkívül egy törtszám beírható tizedes törtként (\(2,5 \)) és közönséges törtként (\(-5\frac(2) (7) \)).

A program nem csak a problémára ad választ, hanem megjeleníti a megoldás keresésének folyamatát is.

Ez az online számológép hasznos lehet középiskolásoknak a tesztekre, vizsgákra való felkészülésben, az Egységes Államvizsga előtti tudásfelméréshez, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a matematikai vagy algebrai házi feladatot szeretné a lehető leggyorsabban elvégezni? Ebben az esetben részletes megoldással is használhatja programjainkat.

Így saját és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a megoldandó feladatok területén az oktatás színvonala emelkedik.

Ha nem ismeri a számok bevitelére vonatkozó szabályokat, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.

A számok bevitelének szabályai

Az \(a_n\) és \(d \) számok nem csak egész számként, hanem törtként is megadhatók.
A \(n\) szám csak pozitív egész szám lehet.

A tizedes törtek bevitelének szabályai.
A tizedes tört egész és tört részeit ponttal vagy vesszővel lehet elválasztani.
Például megadhat tizedesjegyeket, például 2,5-öt vagy 2,5-öt

A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.

A nevező nem lehet negatív.

Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
Bemenet:
Eredmény: \(-\frac(2)(3) \)

Az egész részt egy és jel választja el a törttől: &
Bemenet:
Eredmény: \(-1\frac(2)(3) \)

Írja be az a n, d, n számokat

Keress egy 1

Azt találtuk, hogy egyes, a feladat megoldásához szükséges szkriptek nem töltődnek be, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyezni kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mert Sokan vannak, akik szeretnék megoldani a problémát, kérése sorban áll.
Néhány másodperc múlva a megoldás megjelenik alább.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor a Visszajelzési űrlapon írhatsz róla.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Numerikus sorozat

A mindennapi gyakorlatban a különféle objektumok számozását gyakran használják az elhelyezkedésük sorrendjének jelzésére. Például minden utcában a házakat számozzák. A könyvtárban az olvasói előfizetéseket számozzák, majd a hozzárendelt számok sorrendjében külön iratszekrényekbe rendezik.

Takarékpénztárban a betétes személyes számlaszáma alapján könnyen megtalálhatja ezt a számlát, és megnézheti, milyen betéttel rendelkezik. Legyen a1 rubel letét az 1-es számlán, a2 rubel letét a 2-es számlán stb. numerikus sorozat
a 1, a 2, a 3, ..., a N
ahol N az összes fiók száma. Itt minden n természetes számhoz 1-től N-ig van hozzárendelve egy a n szám.

A matematika is tanul végtelen számsorozatok:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Az a 1 számot hívják a sorozat első tagja, a 2-es szám - a sorozat második tagja, a 3-as szám - a sorozat harmadik tagja stb.
Az a n számot hívják a sorozat n-edik (n-edik) tagja, és az n természetes szám annak szám.

Például az 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... és 1 = 1 természetes számok négyzeteinek sorozatában a sorozat első tagja; és n = n 2 a sorozat n-edik tagja; a n+1 = (n + 1) 2 a sorozat (n + 1)-edik (en plusz az első) tagja. Egy sorozat gyakran megadható az n-edik tagjának képletével. Például az \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) képlet a \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \pontok,\frac(1)(n) , \pontok \)

Aritmetikai progresszió

Egy év hossza körülbelül 365 nap. A pontosabb érték \(365\frac(1)(4) \) nap, így négyévente egy napos hiba halmozódik fel.

Ennek a hibának a kiküszöbölésére minden negyedik évhez hozzáadunk egy napot, és a megnyúlt évet szökőévnek nevezzük.

Például a harmadik évezredben a szökőévek 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Ebben a sorozatban minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, hozzáadva ugyanazzal a 4-gyel. Az ilyen sorozatokat ún. aritmetikai progressziók.

Meghatározás.
Az a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... numerikus sorozatot ún. aritmetikai progresszió, ha minden természetes n az egyenlőség
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ahol d valamilyen szám.

Ebből a képletből következik, hogy a n+1 - a n = d. A d számot különbségnek nevezzük aritmetikai progresszió.

Az aritmetikai progresszió definíciója szerint:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
ahol
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ahol \(n>1 \)

Így a számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a vele szomszédos két tag számtani átlagával. Ez magyarázza az "aritmetikai" progresszió elnevezést.

Figyeljük meg, hogy ha a 1 és d adott, akkor az aritmetikai progresszió fennmaradó tagjai a rekurzív képlettel számíthatók ki: a n+1 = a n + d. Ily módon nem nehéz kiszámítani a progresszió első néhány tagját, azonban például egy 100-hoz már sok számításra lesz szükség. Általában az n-edik képletet használják erre. A számtani sorozat definíciója szerint
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
stb.
Általában,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
mivel egy aritmetikai sorozat n-edik tagját az első tagból kapjuk a d szám (n-1)-szeresének összeadásával.
Ezt a képletet ún egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete.

Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege

Határozzuk meg az összes természetes szám összegét 1-től 100-ig.
Ezt az összeget kétféleképpen írjuk le:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Termenként hozzáadjuk ezeket az egyenlőségeket:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ebben az összegben 100 kifejezés található.
Ezért 2S = 101 * 100, ahonnan S = 101 * 50 = 5050.

Tekintsünk most egy tetszőleges aritmetikai sorozatot
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...
Legyen S n ennek a haladásnak az első n tagjának összege:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Akkor egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege az
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Mivel \(a_n=a_1+(n-1)d \), majd ebben a képletben egy n-t lecserélve egy másik képletet kapunk a kereséshez egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Könyvek (tankönyvek) Egységes államvizsga és OGE tesztek absztraktjai online Játékok, rejtvények Funkciók grafikonjai Az orosz nyelv helyesírási szótára Ifjúsági szleng szótára Orosz iskolák katalógusa Oroszországi középiskolák katalógusa Orosz egyetemek katalógusa Feladatok listája

Az aritmetikai progressziós problémák ősidők óta léteztek. Megjelentek és megoldást követeltek, mert gyakorlati igényük volt.

Tehát az ókori Egyiptom egyik matematikai tartalmú papiruszában - a Rhind papiruszban (Kr. e. XIX. század) - a következő feladat található: osszon el tíz mérték kenyeret tíz emberre, feltéve, hogy a különbség egyenként mérték nyolcadrésze.

Az ókori görögök matematikai munkáiban pedig elegáns tételek találhatók az aritmetikai progresszióval kapcsolatban. Tehát Alexandriai Hypsicles (2. század, aki sok érdekes problémát állított össze, és a tizennegyedik könyvvel egészítette ki Eukleidész „Elemek” című könyvét) megfogalmazta a gondolatot: „Páros számú tagú aritmetikai sorozatban a 2. fele tagjainak összege. nagyobb, mint az 1. tagok összege a négyzet 1/2 taggal.

Az an sorozatot jelöljük. A sorozat számait tagjainak nevezik, és általában betűkkel jelölik, amelyek az adott tag sorozatszámát jelzik (a1, a2, a3 ... ez így szól: „a 1.”, „a 2.”, „a 3. ” és így tovább).

A sorozat lehet végtelen vagy véges.

Mi az aritmetikai progresszió? Úgy értendő, hogy az előző (n) tagot összeadjuk azonos d számmal, ami a progresszió különbsége.

Ha d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, akkor az ilyen előrehaladást növekvőnek tekintjük.

Egy aritmetikai progressziót végesnek mondunk, ha csak néhány első tagját vesszük figyelembe. Nagyon nagy létszám mellett ez már végtelen előrelépés.

Bármely aritmetikai progressziót a következő képlet adja meg:

an =kn+b, míg b és k néhány szám.

Teljesen igaz az állítás, ami ennek az ellenkezője: ha a sorozatot hasonló képlettel adjuk meg, akkor ez pontosan egy aritmetikai progresszió, amelynek a következő tulajdonságai vannak:

1. A progresszió minden tagja az előző és a következő tag számtani átlaga.
2. Az ellenkezője: ha a 2.-tól kezdve minden tag az előző tag számtani közepe és a következő, azaz. ha a feltétel teljesül, akkor az adott sorozat egy aritmetikai sorozat. Ez az egyenlőség a progresszió jele is, ezért általában a progresszió jellegzetes tulajdonságának nevezik.
   Ugyanígy igaz az ezt a tulajdonságot tükröző tétel: egy sorozat csak akkor aritmetikai progresszió, ha ez az egyenlőség a sorozat bármely tagjára igaz, a 2.-tól kezdve.

Egy aritmetikai sorozat tetszőleges négy számának jellemző tulajdonsága kifejezhető az an + am = ak + al képlettel, ha n + m = k + l (m, n, k a haladás számai).

Egy aritmetikai progresszióban bármely szükséges (N-edik) tag megtalálható a következő képlet alkalmazásával:

Például: az első tag (a1) egy aritmetikai sorozatban adott és egyenlő hárommal, a különbség (d) pedig négy. Meg kell találnia ennek a folyamatnak a negyvenötödik tagját. a45 = 1+4(45-1)=177

Az an = ak + d(n - k) képlet lehetővé teszi egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának meghatározását bármely k-edik tagon keresztül, feltéve, hogy ez ismert.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak összegét (a végső progresszió 1. n tagját feltételezve) a következőképpen számítjuk ki:

Sn = (a1+an) n/2.

Ha az 1. tag is ismert, akkor egy másik képlet kényelmes a számításhoz:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Az n tagot tartalmazó aritmetikai progresszió összegét a következőképpen számítjuk ki:

A számítási képletek kiválasztása a feladatok feltételeitől és a kiindulási adatoktól függ.

Bármely szám természetes sorozata, például 1,2,3,...,n,... a legegyszerűbb példa az aritmetikai sorozatra.

A számtani progresszió mellett létezik egy geometriai is, amelynek megvannak a maga tulajdonságai és jellemzői.