Racionális függvények integrálása Tört - racionális függvény A legegyszerűbb racionális törtek Racionális tört bontása legegyszerűbb törtekre A legegyszerűbb törtek integrálása A racionális törtek integrálásának általános szabálya

n fokú polinom. Tört - racionális függvény A tört - racionális függvény két polinom arányával egyenlő függvény: Egy racionális törtet akkor nevezünk megfelelőnek, ha a számláló foka kisebb, mint a nevező foka, azaz m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Tört - racionális függvény A helytelen tört konvertálása a megfelelő formára: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

A legegyszerűbb racionális törtek Az alak megfelelő racionális törtei: Ezeket a típusok legegyszerűbb racionális törteinek nevezzük. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Racionális tört felbontása egyszerű törtekre Tétel: Bármely szabályos racionális tört, melynek nevezője faktorizált: egyedi módon ábrázolható egyszerű törtek összegeként is: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Racionális tört felbontása egyszerű törtekre Tisztázzuk a tétel megfogalmazását a következő példákon keresztül: Az A, B, C, D ... határozatlan együtthatók megtalálásához két módszert alkalmazunk: az együtthatók összehasonlításának módszerét és a parciális együtthatókat. egy változó értékei. Nézzük meg az első módszert egy példával. 3 2) 3) (2 (4 x x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 x x Nx. M) 1 (3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2) 1) (4 (987 xxx xx 4 x

Racionális tört felbontása egyszerű törtekre Tört ábrázolása egyszerű törtek összegeként: A legegyszerűbb törteket redukáljuk közös nevezőre Az eredményül kapott és az eredeti törtek számlálóinak egyenlővé tétele Az együtthatók egyenlősége x azonos hatványai mellett)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

A legegyszerűbb törtek integrálása Keressük meg a legegyszerűbb racionális törtek integrálját: Tekintsük a 3. típusú törtek integrálását egy példa segítségével! dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Egyszerű törtek integrálása dx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12 (13 2 dx x x 9)1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 232 2tt 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Egyszerű törtek integrálása Egy ilyen típusú integrált behelyettesítéssel: két integrál összegére redukáljuk: Az első integrált úgy számítjuk ki, hogy a differenciál előjele alá t vezetjük be. A második integrált a következő rekurzív képlettel számítjuk ki: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Egyszerű törtek integrálása a = 1; k = 3 323) 1(t dt tarctg t dt 1 21) 1) (12(2222 322 1 21222 t t t dt) 1(22 1 2 t t t t t t t t 2223)1)(13(2232 tdt) 21 C 2232 tc 3 (4)1(

A racionális törtek integrálásának általános szabálya Ha a tört nem megfelelő, akkor ábrázolja egy polinom és egy megfelelő tört összegeként. Miután a megfelelő racionális tört nevezőjét faktorokra bontotta, ábrázolja egyszerű, határozatlan együtthatójú törtek összegeként. Keressen határozatlan együtthatókat az együtthatók összehasonlításával vagy egy változó parciális értékének módszerével. Integrálja a polinomot és a kapott egyszerű törtek összegét.

Példa Hozzuk a törtet a megfelelő alakba. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 x 25 x 25 x 25 x 2x5

Példa A megfelelő tört nevezőjének faktorálása Tört ábrázolása egyszerű törtek összegeként Bizonytalan együtthatók keresése az xxx xx változó parciális értékeinek módszerével 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1) x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2) 1(3 1 124 xxx

Példa dx xx 2 2) 1(3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

„Egy matematikus, akárcsak egy művész vagy egy költő, mintákat hoz létre. És ha a mintái stabilabbak, az csak azért van, mert ötletekből állnak... A matematikus mintáinak, akárcsak egy művésznek vagy költőnek, szépnek kell lenniük; az ötleteknek, akárcsak a színeknek vagy a szavaknak, egyeznie kell. A szépség az első követelmény: nincs helye a világon a csúnya matematikának».

G. H. Hardy

Az első fejezetben megjegyezték, hogy vannak olyan meglehetősen egyszerű függvények antideriváltjai, amelyeket már nem lehet elemi függvényekkel kifejezni. Ebből a szempontból nagy gyakorlati jelentőséget kapnak azok a függvényosztályok, amelyekről biztosan elmondható, hogy antideriváltjaik elemi függvények. A függvények ebbe az osztályába tartoznak racionális függvények, amely két algebrai polinom aránya. Sok probléma vezet a racionális törtek integrálásához. Ezért nagyon fontos az ilyen funkciók integrálása.

2.1.1. Tört racionális függvények

Racionális tört(vagy tört racionális függvény) két algebrai polinom aránya:

ahol és vannak polinomok.

Emlékezzen arra polinom (polinom, egy egész racionális függvény) nfokozat az alak függvényének nevezzük

ahol valós számok. Például,

elsőfokú polinom;

negyedfokú polinom, stb.

A racionális tört (2.1.1) ún helyes, ha a fok alacsonyabb, mint a fokozat, azaz. n<m, különben a tört neve rossz.

Bármely helytelen tört ábrázolható egy polinom (egész rész) és egy megfelelő tört (tört rész) összegeként. A nem megfelelő tört egész és tört részének kiválasztása a polinomok „sarokkal” való osztásának szabálya szerint történhet.

2.1.1. példa. Válassza ki a következő helytelen racionális törtek egész és tört részeit:

a) , b) .

Megoldás . a) A "sarok" osztási algoritmus segítségével megkapjuk

Így kapunk

.

b) Itt is a „sarok” felosztási algoritmust használjuk:

Ennek eredményeként azt kapjuk

.

Foglaljuk össze. A racionális tört határozatlan integrálja általában egy polinom és egy megfelelő racionális tört integráljának összegeként ábrázolható. A polinomok antideriváltjait nem nehéz megtalálni. Ezért a jövőben elsősorban a szabályos racionális törteket fogjuk figyelembe venni.

2.1.2. A legegyszerűbb racionális törtek és azok integrálása

A megfelelő racionális törteknek négy típusa van, amelyek a következőképpen vannak besorolva a legegyszerűbb (elemi) racionális törtek:

hol van egy egész szám, , azaz négyzetes trinomikus nincsenek igazi gyökerei.

Az 1. és 2. típusú legegyszerűbb törtek integrálása nem jelent nagy nehézségeket:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Tekintsük most a 3. típus legegyszerűbb törteinek integrálását, és a 4. típusú törteket nem vesszük figyelembe.

Az űrlap integráljaival kezdjük

.

Ezt az integrált általában úgy számítják ki, hogy a nevezőben a teljes négyzetet veszik. Az eredmény egy táblázatintegrál a következő formában

vagy .

Példa 2.1.2. Integrálok keresése:

a) , b) .

Megoldás . a) Válasszunk ki egy teljes négyzetet egy négyzetháromtagból:

Innen találjuk

b) A négyzetháromtagból a teljes négyzetet kiválasztva kapjuk:

Ily módon

.

Hogy megtaláljuk az integrált

kivonhatjuk a nevező deriváltját a számlálóban, és az integrált két integrál összegére bővíthetjük: az elsőt behelyettesítve jön le a formára

,

a második pedig a fentiekhez.

Példa 2.1.3. Integrálok keresése:

.

Megoldás . vegye észre, az . A számlálóban kiválasztjuk a nevező deriváltját:

Az első integrált a helyettesítés segítségével számítjuk ki :

A második integrálban a nevezőben a teljes négyzetet jelöljük ki

Végül megkapjuk

2.1.3. Egy megfelelő racionális tört bővítése
egyszerű törtek összege

Bármely megfelelő racionális tört egyedileg ábrázolható egyszerű törtek összegeként. Ehhez a nevezőt tényezőkre kell bontani. A magasabb algebrából ismert, hogy minden valós együtthatóval rendelkező polinom

A racionális függvény az alak törtrésze, amelynek számlálója és nevezője polinomok vagy polinomok szorzata.

1. példa 2. lépés

.

A határozatlan együtthatókat megszorozzuk azokkal a polinomokkal, amelyek nem ebben az egyedi törtben, de más kapott törtekben vannak:

Megnyitjuk a zárójeleket, és a kapott eredeti integrandus számlálóját egyenlővé tesszük a kapott kifejezéssel:

Az egyenlőség mindkét részében olyan kifejezéseket keresünk, amelyek x hatványai azonosak, és ezekből egyenletrendszert készítünk:

.

Töröljük az összes x-et, és egy ekvivalens egyenletrendszert kapunk:

.

Így az integrandus végső kiterjesztése egyszerű törtek összegére:

.

2. példa 2. lépés Az 1. lépésben az eredeti tört következő kiterjesztését kaptuk a számlálókban határozatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:

.

Most elkezdjük keresni a bizonytalan együtthatókat. Ehhez a függvénykifejezésben szereplő eredeti tört számlálóját egyenlővé tesszük a törtek összegének közös nevezőre való redukálása után kapott kifejezés számlálójával:

Most létre kell hoznia és meg kell oldania egy egyenletrendszert. Ehhez a függvény eredeti kifejezésének számlálójában a változó együtthatóit a megfelelő mértékben, az előző lépésben kapott kifejezésben pedig a hasonló együtthatókat egyenlővé tesszük:

Megoldjuk a kapott rendszert:

Szóval innen

.

3. példa 2. lépés Az 1. lépésben az eredeti tört következő kiterjesztését kaptuk a számlálókban határozatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:

Elkezdjük keresni a bizonytalan együtthatókat. Ehhez a függvénykifejezésben szereplő eredeti tört számlálóját egyenlővé tesszük a törtek összegének közös nevezőre való redukálása után kapott kifejezés számlálójával:

Az előző példákhoz hasonlóan egyenletrendszert állítunk össze:

Csökkentjük az x-eket, és egy ekvivalens egyenletrendszert kapunk:

A rendszer megoldása során a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:

Az integrandus végső kiterjesztését egyszerű törtek összegére kapjuk:

.

4. példa 2. lépés Az 1. lépésben az eredeti tört következő kiterjesztését kaptuk a számlálókban határozatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:

.

Az előző példákból már tudjuk, hogy az eredeti tört számlálóját hogyan lehet egyenlővé tenni a tört egyszerű törtek összegére történő felbontása és ennek az összegnek közös nevezőre csökkentése után kapott számlálóban lévő kifejezéssel. Ezért csak ellenőrzés céljából bemutatjuk az eredményül kapott egyenletrendszert:

A rendszer megoldása során a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:

Az integrandus végső kiterjesztését egyszerű törtek összegére kapjuk:

5. példa 2. lépés Az 1. lépésben az eredeti tört következő kiterjesztését kaptuk a számlálókban határozatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:

.

Ezt az összeget egymástól függetlenül közös nevezőre hozzuk, egyenlővé tesszük ennek a kifejezésnek a számlálóját az eredeti tört számlálójával. Az eredmény a következő egyenletrendszer legyen:

A rendszer megoldása során a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:

.

Az integrandus végső kiterjesztését egyszerű törtek összegére kapjuk:

.

6. példa 2. lépés Az 1. lépésben az eredeti tört következő kiterjesztését kaptuk a számlálókban határozatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:

Ezzel az összeggel ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, mint az előző példákban. Az eredmény a következő egyenletrendszer legyen:

A rendszer megoldása során a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:

.

Az integrandus végső kiterjesztését egyszerű törtek összegére kapjuk:

.

7. példa 2. lépés Az 1. lépésben az eredeti tört következő kiterjesztését kaptuk a számlálókban határozatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:

.

A kapott összeggel végzett ismert műveletek után a következő egyenletrendszert kell kapni:

A rendszer megoldása során a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:

Az integrandus végső kiterjesztését egyszerű törtek összegére kapjuk:

.

8. példa 2. lépés Az 1. lépésben az eredeti tört következő kiterjesztését kaptuk a számlálókban határozatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:

.

Vegyünk néhány változtatást a már automatizált műveleteken, hogy egy egyenletrendszert kapjunk. Van egy mesterséges trükk, ami bizonyos esetekben segít elkerülni a felesleges számításokat. Ha a törtek összegét közös nevezőre hozzuk, megkapjuk, és ennek a kifejezésnek a számlálóját az eredeti tört számlálójával egyenlővé tesszük, így kapjuk.

Az 1. és 2. kurzus hallgatói a függvények integrálásával kapcsolatos ellenőrző munkát, beleértve a racionális törteket is. Az integrálokra vonatkozó példák elsősorban a matematikusok, közgazdászok és statisztikusok számára érdekesek. Ezeket a példákat az LNU ellenőrzési munkája során kérdezték. I. Frank. A következő példák feltételei: "Keresse meg az integrált" vagy "Számítsa ki az integrált", ezért hely- és időtakarékosság érdekében ezeket nem írtuk ki.

15. példa Eljutottunk a tört racionális függvények integrálásához. Különleges helyet foglalnak el az integrálok között, mert sok időt igényelnek a számításhoz, és nem csak az integrációban segítik a tanárokat, hogy teszteljék tudásukat. Az integrál alatti függvény egyszerűsítése érdekében a számlálóban hozzáadunk és kivonunk egy kifejezést, amely lehetővé teszi, hogy az integrál alatti függvényt két egyszerű részre bontsuk.

Ennek eredményeként elég gyorsan találunk egy integrált, a másodikban ki kell terjeszteni a törtet elemi törtek összegére

Közös nevezőre redukálva ilyen számokat kapunk

Ezután nyissa meg a zárójeleket és a csoportot

A jobb és bal oldali "x" azonos fokán lévő értéket egyenlővé tesszük. Ennek eredményeként egy három lineáris egyenletrendszerhez (SLAE) jutunk el, három ismeretlennel.

Az egyenletrendszerek megoldásának módja a webhely más cikkeiben található. A végleges verzióban a következő SLAE megoldásokat kapja meg
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
A törtek bővítésekor a konstansokat a legegyszerűbbekre helyettesítjük, és elvégezzük az integrációt


Ez a példa megoldva.

16. példa Ismét meg kell találni a tört racionális függvény integrálját. Először a tört nevezőjében található köbös egyenletet egyszerű tényezőkre bontjuk

Ezután a tört legegyszerűbbre bontását hajtjuk végre

A jobb oldalt közös nevezőre csökkentjük, és a számlálóban kinyitjuk a zárójeleket.


Az együtthatókat a változó azonos hatványainál egyenlővé tesszük. Ismét három ismeretlennel érkezünk a SLAE-hez

Az A, B, C értékeket behelyettesítjük a bővítésbe, és kiszámítjuk az integrált

Az első két tag adja a logaritmust, az utolsó is könnyen megtalálható.

17. példa Egy tört racionális függvény nevezőjében a kockák különbsége van. A rövidített szorzás képletei szerint két prímtényezőre bontjuk

Ezután az eredményül kapott törtfüggvényt egyszerű törtek összegére festjük, és közös nevezőre redukáljuk

A számlálóban a következő kifejezést kapjuk.

Ebből lineáris egyenletrendszert alkotunk 3 ismeretlen kiszámítására

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
A képletbe behelyettesítjük A-t, B-t, C-t és végrehajtjuk az integrációt. Ennek eredményeként a következő válaszhoz jutunk


Itt a második integrál számlálóját logaritmussá alakítottuk, míg az integrál alatti maradék az arc tangensét adja.
Nagyon sok hasonló példa van a racionális törtek integrálására az interneten. Hasonló példák találhatók az alábbi anyagokban.

Tört-racionális függvény integrálása.
A meghatározatlan együtthatók módszere

Továbbra is dolgozunk a törtek integrálásán. A leckében már foglalkoztunk egyes törttípusok integráljával, és ez a lecke bizonyos értelemben folytatásnak tekinthető. Az anyag sikeres megértéséhez alapvető integrációs készségekre van szükség, tehát ha most kezdted el az integrálokat tanulni, vagyis teáskanna vagy, akkor a cikkel kell kezdened Határozatlan integrál. Megoldási példák.

Furcsa módon most nem annyira integrálok keresésével fogunk foglalkozni, mint inkább ... lineáris egyenletrendszerek megoldásával. Ebben a kapcsolatban erősen Azt javaslom, hogy látogassa meg a leckét. Ugyanis jól kell ismernie a helyettesítési módszereket (az „iskola” módszert és a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásának (kivonásának) módszerét).

Mi az a tört racionális függvény? Egyszerűen fogalmazva, a tört-racionális függvény olyan tört, amelynek számlálójában és nevezőjében polinomok vagy polinomok szorzatai vannak. Ugyanakkor a törtek kifinomultabbak, mint a cikkben tárgyaltak. Néhány tört integrálása.

A helyes tört-racionális függvény integrálása

Azonnal egy példa és egy tipikus algoritmus egy tört racionális függvény integráljának megoldására.

1. példa

1. lépés. Az első dolog, amit MINDIG megteszünk egy racionális-tört függvény integráljának megoldása során, hogy feltesszük a következő kérdést: helyes a tört? Ez a lépés szóban történik, és most elmagyarázom, hogyan:

Először nézze meg a számlálót, és derítse ki felsőfokú végzettség polinom:

A számláló legnagyobb hatványa kettő.

Most nézd meg a nevezőt és derítsd ki felsőfokú végzettség névadó. A kézenfekvő módja a zárójelek felnyitása és hasonló kifejezések megadása, de ezt könnyebben is megteheti minden egyes zárójelben találja meg a legmagasabb fokot

és gondolatban megszorozzuk: - így a nevező legmagasabb foka hárommal egyenlő. Teljesen nyilvánvaló, hogy ha valóban kinyitjuk a zárójeleket, akkor nem kapunk háromnál nagyobb fokkal.

Következtetés: A számláló legnagyobb hatványa SZIGORÚAN kisebb, mint a nevező legnagyobb hatványa, akkor a tört helyes.

Ha ebben a példában a számláló 3, 4, 5 stb. polinomot tartalmazna. fok, akkor a tört az lenne rossz.

Most csak a megfelelő tört-racionális függvényeket fogjuk figyelembe venni. Azt az esetet, amikor a számláló foka nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező mértéke, a lecke végén elemezzük.

2. lépés Tényezőzzük a nevezőt. Nézzük a nevezőnket:

Általánosságban elmondható, hogy itt már a tényezők szorzata, de ennek ellenére feltesszük magunknak a kérdést: lehetséges-e valami mást bővíteni? A kínzás tárgya természetesen a négyzetes trinomiális lesz. Megoldjuk a másodfokú egyenletet:

A diszkriminans nagyobb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy a trinomiális valóban faktorizált:

Általános szabály: MINDEN, ami a nevezőben szerepel, faktorálható - faktorálható

Kezdjük a döntés meghozatalát:

3. lépés A határozatlan együtthatók módszerével az integrandust egyszerű (elemi) törtek összegévé bővítjük. Most már világosabb lesz.

Nézzük meg az integrand függvényünket:

És tudod, valahogy átsiklik egy intuitív gondolat, hogy jó lenne a nagy töredékünket több kicsire alakítani. Például így:

Felmerül a kérdés, hogy ez egyáltalán lehetséges? Lélegezzünk fel, a matematikai elemzés megfelelő tétele kimondja - LEHETSÉGES. Egy ilyen dekompozíció létezik és egyedülálló.

Csak egy fogás van, a mi együtthatók Viszlát nem tudjuk, innen ered a név - a határozatlan együtthatók módszere.

Kitaláltad, a következő gesztusok tehát, ne kuncogj! célja, hogy csak TANULJÁK őket – hogy megtudja, mivel egyenlők.

Vigyázat, egyszer részletesen kifejtem!

Tehát kezdjük a táncot:

A bal oldalon a kifejezést közös nevezőre hozzuk:

Most biztonságosan megszabadulunk a nevezőktől (mert ugyanazok):

A bal oldalon kinyitjuk a zárójeleket, miközben még nem érintjük az ismeretlen együtthatókat:

Ugyanakkor megismételjük a polinomok szorzásának iskolai szabályát. Tanár koromban megtanultam ezt a szabályt egyenes arccal kimondani: Egy polinom polinommal való szorzásához meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával.

Az egyértelmű magyarázat szempontjából jobb, ha az együtthatókat zárójelbe teszem (bár én személy szerint soha nem teszem ezt az időmegtakarítás érdekében):

Összeállítunk egy lineáris egyenletrendszert.
Először felsőfokú végzettségeket keresünk:

És a megfelelő együtthatókat írjuk a rendszer első egyenletébe:

Emlékezzen a következő árnyalatra. Mi történne, ha a jobb oldal egyáltalán nem létezne? Mondjuk, csak úgy mutatkozna, ha nincs négyzet? Ebben az esetben a rendszer egyenletében a jobb oldalra nullát kellene tenni: . Miért nulla? És mivel a jobb oldalon pontosan ezt a négyzetet mindig nullával lehet rendelni: Ha a jobb oldalon nincsenek változók vagy (és) szabad tag, akkor a rendszer megfelelő egyenleteinek jobb oldalára nullákat teszünk.

A megfelelő együtthatókat a rendszer második egyenletébe írjuk:

És végül, ásványvíz, ingyenes tagokat választunk.

Eh... vicceltem. Viccet félretéve - a matematika komoly tudomány. Az intézeti csoportunkban senki nem nevetett, amikor az adjunktus azt mondta, hogy egy számegyenesen szétszórja a tagokat, és kiválasztja közülük a legnagyobbat. Komolyodjunk. Bár ... aki megéli ennek a leckének a végét, az továbbra is csendesen mosolyog.

A rendszer készen áll:

Megoldjuk a rendszert:

(1) Az első egyenletből kifejezzük és behelyettesítjük a rendszer 2. és 3. egyenletébe. Valójában más egyenletből is lehetett kifejezni (vagy más betűt), de ebben az esetben előnyös az 1. egyenletből kifejezni, mivel ott a legkisebb esély.

(2) Hasonló kifejezéseket mutatunk be a 2. és 3. egyenletben.

(3) A 2. és 3. egyenletet tagonként összeadjuk, miközben megkapjuk az egyenlőséget, amiből az következik, hogy

(4) Behelyettesítjük a második (vagy harmadik) egyenletbe, amelyből azt kapjuk

(5) Behelyettesítjük és behelyettesítjük az első egyenletbe, kapunk .

Ha nehézségei vannak a rendszer megoldási módszereivel, dolgozza ki azokat az órán. Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert megoldani?

A rendszer megoldása után mindig célszerű ellenőrzést végezni - a talált értékeket helyettesíteni az összesben a rendszer egyenlete, ennek eredményeként mindennek „konvergálnia” kell.

Majdnem megérkezett. Az együtthatók megtalálhatók, míg:

Egy tiszta munkának valahogy így kell kinéznie:

Mint látható, a feladat fő nehézsége egy lineáris egyenletrendszer (helyesen!) összeállítása és (helyesen!) megoldása volt. És a végső szakaszban minden nem olyan nehéz: a határozatlan integrál linearitásának tulajdonságait használjuk és integráljuk. Felhívom a figyelmet arra, hogy mindhárom integrál alatt van egy „szabad” komplex függvényünk, ennek integrálásának jellemzőiről beszéltem a leckében. Változómódosítási módszer határozatlan integrálban.

Ellenőrzés: Különböztesse meg a választ:

Az eredeti integrált megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen találtuk meg.
Az ellenőrzés során a kifejezést közös nevezőre kellett hozni, és ez nem véletlen. A határozatlan együtthatók módszere és a kifejezés közös nevezőre hozása kölcsönösen fordított cselekvések.

2. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Térjünk vissza az első példa törtére: . Könnyen belátható, hogy a nevezőben minden tényező MÁS. Felmerül a kérdés, hogy mit tegyünk, ha például ilyen tört adunk: ? Itt vannak fokozatok a nevezőben, vagy matematikai értelemben több tényező. Ezen kívül van egy felbonthatatlan négyzethármas (könnyű ellenőrizni, hogy az egyenlet diszkriminánsa negatív, így a trinomit semmilyen módon nem lehet figyelembe venni). Mit kell tenni? Az elemi törtek összegére való bővítés így fog kinézni ismeretlen együtthatókkal a tetején vagy más módon?

3. példa

Funkció beküldése

1. lépés. Ellenőrizzük, hogy van-e megfelelő tört
A számláló legnagyobb hatványa: 2
Legnagyobb nevező: 8
, tehát a tört helyes.

2. lépés Beszámítható bármi a nevezőbe? Nyilvánvalóan nem, már minden ki van rakva. A négyzetháromtag a fenti okok miatt nem bővül szorzattá. Jó. Kevesebb munka.

3. lépés Képzeljünk el egy tört-racionális függvényt elemi törtek összegeként.
Ebben az esetben a lebontás a következő formában történik:

Nézzük a nevezőnket:
Ha egy tört-racionális függvényt elemi törtek összegére bontunk, három alapvető pontot lehet megkülönböztetni:

1) Ha a nevező első fokon „magányos” tényezőt tartalmaz (esetünkben ), akkor egy határozatlan együtthatót teszünk a csúcsra (esetünkben ). Az 1., 2. példák csak ilyen „magányos” tényezőket tartalmaztak.

2) Ha a nevező tartalmazza többszörös szorzót, akkor a következőképpen kell bontani:
- azaz sorrendben rendezi az "x" összes fokát az elsőtől az n-edikig. Példánkban két többszörös tényező van: és , nézd meg még egyszer az általam megadott dekompozíciót, és győződj meg arról, hogy pontosan ennek a szabálynak megfelelően vannak felbontva.

3) Ha a nevező másodfokú felbonthatatlan polinomot tartalmaz (esetünkben ), akkor a számlálóban történő bővítéskor egy határozatlan együtthatós lineáris függvényt kell írni (esetünkben határozatlan együtthatókkal és ).

Sőt, van egy 4. eset is, de erről hallgatok, mert a gyakorlatban rendkívül ritka.

4. példa

Funkció beküldése ismeretlen együtthatójú elemi törtek összegeként.

Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Szigorúan kövesse az algoritmust!

Ha rájöttél, hogy milyen elvek alapján kell egy tört-racionális függvényt összegre bontani, akkor a szóban forgó típusból szinte bármilyen integrált feltörhetsz.

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

1. lépés. Nyilvánvaló, hogy a tört helyes:

2. lépés Beszámítható bármi a nevezőbe? Tud. Itt van a kockák összege . A nevező faktorálása a rövidített szorzási képlet segítségével

3. lépés A határozatlan együtthatók módszerével az integrandust elemi törtek összegére bővítjük:

Figyeljük meg, hogy a polinom felbonthatatlan (ellenőrizzük, hogy a diszkrimináns negatív), ezért a tetejére teszünk egy ismeretlen együtthatójú lineáris függvényt, és nem csak egy betűt.

A törtet közös nevezőre hozzuk:

Készítsük el és oldjuk meg a rendszert:

(1) Az első egyenletből kifejezzük és behelyettesítjük a rendszer második egyenletébe (ez a legracionálisabb módja).

(2) Hasonló kifejezéseket mutatunk be a második egyenletben.

(3) A rendszer második és harmadik egyenletét tagonként összeadjuk.

Minden további számítás elvileg szóbeli, mivel a rendszer egyszerű.

(1) Felírjuk a törtek összegét a talált együtthatók szerint.

(2) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságait használjuk. Mi történt a második integrálban? Ezt a módszert a lecke utolsó bekezdésében találja. Néhány tört integrálása.

(3) Ismét a linearitás tulajdonságait használjuk. A harmadik integrálban elkezdünk kijelölni egy teljes négyzetet (a lecke utolsó előtti bekezdése Néhány tört integrálása).

(4) Vegyük a második integrált, a harmadikban a teljes négyzetet.

(5) Vegyük a harmadik integrált. Kész.