Boltzmann állandó. Az univerzális gázállandó egy univerzális, alapvető fizikai állandó R, amely egyenlő a Boltzmann-állandó k és az Avogadro-állandó szorzatával.

A pillangók természetesen semmit sem tudnak a kígyókról. De a pillangókra vadászó madarak tudnak róluk. Azok a madarak, amelyek nem ismerik fel a kígyókat, nagyobb valószínűséggel...

Boltzmann állandó (k (\displaystyle k) vagy k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) egy fizikai állandó, amely meghatározza a hőmérséklet és az energia közötti kapcsolatot. Ludwig Boltzmann osztrák fizikusról nevezték el, aki jelentős mértékben hozzájárult a statisztikai fizikához, amelyben ez az állandó kulcsszerepet játszik. Értéke az SI Nemzetközi Mértékegységrendszerben az SI alapmértékegységek definícióinak változása szerint (2018) pontosan megegyezik

A hőmérséklet és az energia kapcsolata

Egy homogén ideális gázban abszolút hőmérsékleten T (\displaystyle T), a transzlációs szabadsági fokonkénti energia a Maxwell-eloszlásból következően: kT / 2 (\displaystyle kT/2). Szobahőmérsékleten (300 °C) ez az energia 2 , 07 × 10 - 21 (\displaystyle 2(,)07\x 10^(-21)) J vagy 0,013 eV. Egy egyatomos ideális gázban minden atomnak három szabadsági foka van, amelyek három térbeli tengelynek felelnek meg, ami azt jelenti, hogy minden atomnak van energiája 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3) (2)) kT).

A hőenergia ismeretében kiszámítható az atomsebesség négyzetgyökértéke, amely fordítottan arányos az atomtömeg négyzetgyökével. A négyzetes középsebesség szobahőmérsékleten 1370 m/s hélium és 240 m/s xenon között változik. Molekuláris gáz esetén a helyzet bonyolultabbá válik, például a kétatomos gáznak 5 szabadsági foka van - 3 transzlációs és 2 forgási (alacsony hőmérsékleten, amikor a molekulában lévő atomok rezgései nem gerjesztődnek, és további fokozatok szabadságot nem adunk hozzá).

Az entrópia definíciója

A termodinamikai rendszer entrópiája a különböző mikroállapotok számának természetes logaritmusa Z (\displaystyle Z) adott makroszkopikus állapotnak megfelelő (például adott összenergiájú állapot).

Arányossági tényező k (\displaystyle k)és a Boltzmann állandó. Ez egy olyan kifejezés, amely meghatározza a mikroszkopikus ( Z (\displaystyle Z)) és makroszkopikus állapotok ( S (\displaystyle S)), a statisztikai mechanika központi gondolatát fejezi ki.

1844-ben született Bécsben. Boltzmann a tudomány úttörője és felfedezője. Munkáit és kutatásait a társadalom gyakran félreértette és elutasította. A fizika további fejlődésével azonban munkáit elismerték és később publikálták.

A tudós tudományos érdeklődése olyan alapvető területekre terjedt ki, mint a fizika és a matematika. 1867-től számos felsőoktatási intézményben dolgozott tanárként. Kutatásai során megállapította, hogy ennek oka a molekulák kaotikus hatása annak az edénynek a falára, amelyben elhelyezkednek, míg a hőmérséklet közvetlenül függ a részecskék (molekulák) mozgási sebességétől, más szóval rajtuk. Ezért minél gyorsabban mozognak ezek a részecskék, annál magasabb a hőmérséklet. A Boltzmann-állandót a híres osztrák tudósról nevezték el. Ő volt az, aki felbecsülhetetlenül hozzájárult a statikus fizika fejlődéséhez.

Ennek az állandó értéknek a fizikai jelentése

A Boltzmann-állandó határozza meg a kapcsolatot olyan dolgok között, mint a hőmérséklet és az energia. A statikus mechanikában kulcsszerepet játszik. A Boltzmann-állandó k=1,3806505(24)*10 -23 J/K. A zárójelben lévő számok az érték utolsó számjegyeihez viszonyított értékének megengedett hibáját jelzik. Érdemes megjegyezni, hogy a Boltzmann-állandó más fizikai állandókból is származtatható. Ezek a számítások azonban meglehetősen bonyolultak és nehezen kivitelezhetők. Nemcsak a fizika területén igényelnek mély ismereteket, hanem

A Boltzmann-állandó, amely k = 1,38 · 10 - 23 J K együttható, a fizika számos képletének része. Nevét az osztrák fizikusról, a molekuláris kinetikai elmélet egyik megalapítójáról kapta. Megfogalmazzuk a Boltzmann-állandó definícióját:

1. definíció

Boltzmann állandó fizikai állandónak nevezzük, amely meghatározza az energia és a hőmérséklet közötti kapcsolatot.

Nem szabad összetéveszteni a Stefan-Boltzmann állandóval, amely egy abszolút merev test energiájának kisugárzásához kapcsolódik.

Ennek az együtthatónak a kiszámítására többféle módszer létezik. Ebben a cikkben ezek közül kettőt nézünk meg.

A Boltzmann-állandó megtalálása az ideális gázegyenlet segítségével

Ezt az állandót egy ideális gáz állapotát leíró egyenlet segítségével találhatjuk meg. Kísérletileg meghatározható, hogy bármely gáz felmelegítése T 0 = 273 K-ról T 1 = 373 K-ra a nyomás változásához vezet p 0 = 1,013 10 5 Pa értékről p 0 = 1,38 10 5 Pa értékre. Ez egy meglehetősen egyszerű kísérlet, amely akár levegővel is elvégezhető. A hőmérséklet méréséhez hőmérőt és nyomást - manométert kell használni. Fontos megjegyezni, hogy bármely gáz egy móljában lévő molekulák száma megközelítőleg 6 10 23, és a térfogat 1 atom nyomáson V = 22,4 l. Az összes megnevezett paraméter figyelembevételével folytathatjuk a Boltzmann-konstans k kiszámítását:

Ehhez az egyenletet kétszer írjuk fel, behelyettesítve az állapotparamétereket.

Az eredmény ismeretében megtalálhatjuk a k paraméter értékét:

A Boltzmann-állandó megtalálása a Brown-mozgásképlet segítségével

A második számítási módszerhez szintén kísérletet kell végeznünk. Neki egy kis tükröt kell vennie, és rugalmas szállal a levegőbe kell akasztania. Tegyük fel, hogy a tükör-levegő rendszer stabil állapotban van (statikus egyensúly). Levegő molekulák ütköznek a tükörbe, ami lényegében úgy viselkedik, mint egy Brown-részecske. Függesztett állapotát figyelembe véve azonban a felfüggesztéssel egybeeső tengely körül forgási oszcillációkat figyelhetünk meg (függőleges irányú menet). Most irányítsunk egy fénysugarat a tükör felületére. A tükör enyhe mozdulatai és elfordulása esetén is észrevehetően eltolódik a benne tükröződő sugár. Ez lehetőséget ad egy tárgy forgási rezgésének mérésére.

A torziós modulust L-vel, a tükör tehetetlenségi nyomatékát a forgástengelyhez képest J-vel, a tükör forgásszögét pedig φ-vel jelölve a következő formájú lengési egyenletet írhatjuk fel:

Az egyenletben szereplő mínusz a rugalmas erők nyomatékának irányával függ össze, ami a tükröt egyensúlyi helyzetébe igyekszik visszaállítani. Most szorozzuk meg mindkét részt φ-vel, integráljuk az eredményt, és kapjuk:

A következő egyenlet az energiamegmaradás törvénye, amely igaz lesz ezekre a rezgésekre (vagyis a potenciális energia kinetikus energiává alakul át és fordítva). Ezeket az oszcillációkat harmonikusnak tekinthetjük, ezért:

Az egyik képlet levezetésénél az energia szabadsági fokok közötti egyenletes eloszlásának törvényét használtuk. Tehát így írhatjuk:

Mint mondtuk, a forgásszög mérhető. Tehát, ha a hőmérséklet megközelítőleg 290 K, és a torziós modulus L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 10 - 6, akkor a következőképpen számíthatjuk ki a szükséges együttható értékét:

Ezért a Brown-mozgás alapjainak ismeretében makroparaméterek mérésével megtalálhatjuk a Boltzmann-állandót.

A Boltzmann-állandó értéke

A vizsgált együttható értéke abban rejlik, hogy a mikrokozmosz paramétereit össze lehet kapcsolni a makrokozmoszt leíró paraméterekkel, például a termodinamikai hőmérséklettel a molekulák transzlációs mozgásának energiájával:

Ez az együttható szerepel a molekula átlagos energiájának, az ideális gáz állapotának, a gáz kinetikai elméletének, a Boltzmann-Maxwell eloszlásnak és még sok másnak az egyenleteiben. A Boltzmann-állandóra is szükség van az entrópia meghatározásához. Fontos szerepet játszik a félvezetők vizsgálatában, például az elektromos vezetőképesség hőmérséklettől való függését leíró egyenletben.

1. példa

Állapot: számítsa ki az N-atomos molekulákból álló gázmolekula átlagos energiáját T hőmérsékleten, tudva, hogy a molekulákban minden szabadsági fok gerjesztett - forgási, transzlációs, rezgési. Minden molekulát ömlesztettnek tekintünk.

Megoldás

Az energia egyenletesen oszlik el a szabadsági fokok között minden egyes fokozathoz, ami azt jelenti, hogy ezeknek a fokozatoknak ugyanaz lesz a kinetikus energiája. Egyenlő lesz ε i = 1 2 k T -vel. Ezután az átlagos energia kiszámításához a következő képletet használhatjuk:

ε = i 2 k T, ahol i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l a transzlációs forgási szabadságfok összege. A k betű a Boltzmann-állandót jelöli.

Térjünk át a molekula szabadságfokainak számának meghatározására:

m p o s t = 3, m υ r = 3, tehát m k o l = 3 N-6.

i \u003d 6 + 6 N - 12 \u003d 6 N - 6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Válasz: ilyen körülmények között a molekula átlagos energiája ε = 3 N - 3 k T lesz.

2. példa

Állapot: két ideális gáz keveréke, amelyek sűrűsége normál körülmények között p. Határozzuk meg, mekkora lesz egy gáz koncentrációja a keverékben, feltéve, hogy ismerjük mindkét gáz μ 1, μ 2 moláris tömegét.

Megoldás

Először számítsa ki a keverék teljes tömegét.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.

Az m 01 paraméter az egyik gáz molekulájának tömegét jelöli, m 02 a másik gáz molekulájának tömegét, n 2 az egyik gáz molekuláinak koncentrációját, n 2 a második gáz koncentrációját. A keverék sűrűsége egyenlő ρ-vel.

Most ebből az egyenletből fejezzük ki az első gáz koncentrációját:

n 1 \u003d ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02 .

p = n k T → n = p k T .

Cserélje be a kapott egyenlő értéket:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

Mivel a gázok moláris tömegét ismerjük, megtaláljuk az első és a második gáz molekuláinak tömegét:

m 01 = μ 1 N A , m 02 = μ 2 N A .

Azt is tudjuk, hogy a gázok elegye normál körülmények között, pl. a nyomás 1 atm, a hőmérséklet 290 K. Tehát a problémát megoldottnak tekinthetjük.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A fizika, mint egzakt kvantitatív tudomány, nem nélkülözheti a nagyon fontos állandók halmazát, amelyek univerzális együtthatóként szerepelnek bizonyos mennyiségek közötti kapcsolatot megállapító egyenletekben. Ezek olyan alapvető állandók, amelyeknek köszönhetően az ilyen relációk változatlanságot szereznek, és képesek megmagyarázni a fizikai rendszerek különböző léptékű viselkedését.

Az Univerzumunk anyagában rejlő tulajdonságokat jellemző ilyen paraméterek közé tartozik a Boltzmann-állandó – egy mennyiség, amely számos legfontosabb egyenletben szerepel. Mielőtt azonban rátérnénk jellemzőire és jelentőségére, nem mulaszthatunk el néhány szót szólni arról a tudósról, akinek a nevét viseli.

Ludwig Boltzmann: tudományos érdem

A 19. század egyik legnagyobb tudósa, az osztrák Ludwig Boltzmann (1844-1906) jelentősen hozzájárult a molekuláris kinetikai elmélet fejlődéséhez, a statisztikai mechanika egyik megalkotója lett. Ő volt az ergodikus hipotézis, az ideális gáz leírásában alkalmazott statisztikai módszer, a fizikai kinetika alapegyenletének szerzője. Sokat dolgozott a termodinamika (Boltzmann-féle H-tétel, a termodinamika második főtételének statisztikai alapelve), a sugárzáselmélet (Stefan-Boltzmann-törvény) kérdéseivel. Munkáiban érintette az elektrodinamika, az optika és a fizika más ágainak néhány kérdését is. Nevét két fizikai állandóban örökítették meg, amelyekről az alábbiakban lesz szó.

Ludwig Boltzmann az anyag atomi és molekuláris szerkezetére vonatkozó elmélet meggyőződéses és következetes támogatója volt. Hosszú éveken át kellett küzdenie ezen elképzelések félreértése és elutasítása ellen az akkori tudományos közösségben, amikor sok fizikus az atomokat és molekulákat túlzott absztrakciónak, legfeljebb a számítások megkönnyítését szolgáló feltételes eszköznek tartotta. Egy fájdalmas betegség és a konzervatív gondolkodású kollégák támadásai súlyos depressziót váltottak ki Boltzmannban, nem bírta elviselni, a kiváló tudós öngyilkos lett. A síremlékre, Boltzmann mellszobra felett, érdemei elismeréseként, az S = k∙logW egyenletet vésték, amely eredményes tudományos tevékenységének egyik eredménye. Ebben az egyenletben a k állandó Boltzmann-állandó.

A molekulák energiája és az anyag hőmérséklete

A hőmérséklet fogalma a test felmelegedési fokának jellemzésére szolgál. A fizikában abszolút hőmérsékleti skálát használnak, amely a molekuláris kinetikai elmélet azon következtetésén alapul, hogy a hőmérséklet olyan mérték, amely tükrözi az anyag részecskéi hőmozgásának energiájának nagyságát (értsd: az átlagot). sok részecske mozgási energiája).

Az SI joule és a CGS erg is túl nagy mértékegységek ahhoz, hogy kifejezzék a molekulák energiáját, és a gyakorlatban nagyon nehéz volt ilyen módon mérni a hőmérsékletet. A hőmérséklet kényelmes mértékegysége a fok, és a mérést közvetetten, az anyag változó makroszkopikus jellemzőinek - például térfogatának - regisztrálásával végzik.

Hogyan függ össze az energia és a hőmérséklet?

Egy valós anyag állapotának kiszámításához a normálishoz közeli hőmérsékleten és nyomáson sikeresen alkalmazzák az ideális gáz modelljét, vagyis azt, amelynek molekulamérete jóval kisebb, mint egy bizonyos mennyiségű gáz által elfoglalt térfogat és a távolság. A részecskék között lényegesen meghaladja kölcsönhatásuk sugarát. A kinetikai elmélet egyenletei alapján az ilyen részecskék átlagos energiája E cf = 3/2∙kT, ahol E a kinetikus energia, T a hőmérséklet, és 3/2∙k a bevezetett arányossági tényező. írta Boltzmann. A 3-as szám itt a molekulák transzlációs mozgásának szabadságfokainak számát jellemzi három térbeli dimenzióban.

A k érték, amelyet később Boltzmann-állandónak neveztek el az osztrák fizikus tiszteletére, megmutatja, hogy egy joule vagy erg hány fokot tartalmaz. Más szóval, az értéke meghatározza, hogy statisztikailag átlagosan mennyivel növekszik egy monatomikus ideális gáz egy részecskéjének termikus kaotikus mozgásának energiája 1 fokos hőmérsékletnövekedéssel.

Hányszor kevesebb egy fok egy joule-nál

Ennek az állandónak a számértékét többféleképpen is megkaphatjuk, például az abszolút hőmérséklet és nyomás mérésével, az ideális gázegyenlet alkalmazásával, vagy a Brown-mozgásmodell segítségével. Ennek a mennyiségnek az elméleti levezetése a tudás jelenlegi szintjén nem lehetséges.

A Boltzmann-állandó 1,38 × 10 -23 J/K (itt K egy kelvin, egy fok az abszolút hőmérsékleti skálán). 1 mól ideális gázban (22,4 liter) lévő részecskék csoportjára az energiát a hőmérsékletre vonatkozó együtthatót (univerzális gázállandó) úgy kapjuk meg, hogy a Boltzmann-állandót megszorozzuk az Avogadro-számmal (a molekulák száma egy molban): R = kN A , és 8,31 J / (mol∙kelvin). Ez utóbbitól eltérően azonban a Boltzmann-állandó univerzálisabb természetű, mivel más fontos összefüggésekbe is belép, és maga is egy másik fizikai állandó meghatározására szolgál.

Molekulák statisztikai energiaeloszlása

Mivel az anyag makroszkopikus halmazállapotai nagyszámú részecskehalmaz viselkedésének eredménye, statisztikai módszerekkel írjuk le őket. Ez utóbbiak közé tartozik az is, hogy megtudjuk, hogyan oszlanak meg a gázmolekulák energiaparaméterei:

• A kinetikus energiák (és sebességek) Maxwell-eloszlása. Megmutatja, hogy egyensúlyban lévő gázban a legtöbb molekula sebessége megközelíti a legvalószínűbb v = √(2kT/m 0) sebességet, ahol m 0 a molekula tömege.
• A gázok potenciális energiáinak Boltzmann-eloszlása ​​bármilyen erő, például a Föld gravitációjának területén. Ez két tényező arányától függ: a Földhöz való vonzódástól és a gázrészecskék kaotikus hőmozgásától. Ennek eredményeként minél kisebb a molekulák potenciális energiája (közelebb a bolygó felszínéhez), annál nagyobb a koncentrációjuk.

Mindkét statisztikai módszert egy e - E/ kT exponenciális tényezőt tartalmazó Maxwell-Boltzmann-eloszlásba egyesítjük, ahol E a kinetikai és potenciális energiák összege, kT pedig a hőmozgás általunk már ismert átlagos energiája, amelyet a Boltzmann állandó.

K konstans és entrópia

Általános értelemben az entrópia egy termodinamikai folyamat irreverzibilitásának mértékeként jellemezhető. Ez a visszafordíthatatlanság az energia szórásával – disszipációjával – függ össze. A Boltzmann által javasolt statisztikai megközelítésben az entrópia annak függvénye, hogy egy fizikai rendszert hány módon lehet megvalósítani állapotának megváltoztatása nélkül: S = k∙lnW.

Itt a k konstans beállítja az entrópia növekedésének mértékét a rendszermegvalósítási lehetőségek vagy mikroállapotok számának (W) növekedésével. Max Planck, aki ezt a formulát a modern formájába hozta, és azt javasolta, hogy a k konstansnak adják Boltzmann nevét.

Stefan-Boltzmann sugárzási törvény

Az a fizikai törvény, amely meghatározza, hogy egy fekete test energiafényessége (az egységnyi felületre jutó sugárzási teljesítmény) hogyan függ a hőmérsékletétől, j = σT 4 alakban jelenik meg, vagyis a test a hőmérsékletének negyedik hatványával arányosan sugárzik. Ezt a törvényt alkalmazzák például az asztrofizikában, mivel a csillagok sugárzása jellemzőiben közel áll a feketetestek sugárzásához.

Ebben az arányban van egy másik állandó, amely a jelenség mértékét is szabályozza. Ez a Stefan-Boltzmann-állandó σ, amely körülbelül 5,67 × 10 -8 W / (m 2 ∙K 4). Dimenziója tartalmazza a kelvineket, ami azt jelenti, hogy nyilvánvaló, hogy itt a k Boltzmann-állandó is szerepel. Valójában σ értéke a következőképpen definiálható: (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), ahol c a fénysebesség, h pedig Planck-állandó. Tehát a Boltzmann-állandó más világállandókkal kombinálva olyan mennyiséget alkot, amely ismét összekapcsolja az energiát (teljesítményt) és a hőmérsékletet - ebben az esetben a sugárzással kapcsolatban.

A Boltzmann-állandó fizikai lényege

Fentebb már megjegyeztük, hogy a Boltzmann-állandó az úgynevezett alapállandók egyike. A lényeg nemcsak az, hogy lehetővé teszi a mikroszkopikus jelenségek molekuláris szintű jellemzői és a makrokozmoszban megfigyelhető folyamatok paraméterei közötti kapcsolat megállapítását. És nem csak, hogy ez az állandó számos fontos egyenletben szerepel.

Jelenleg nem ismert, hogy van-e olyan fizikai elv, amelyből ez elméletileg levezethető lenne. Vagyis semmiből nem következik, hogy egy adott állandó értéke pontosan ennek kell lennie. A részecskék mozgási energiájának megfelelőségének mértékeként a fokok helyett más mennyiségeket, más mértékegységeket használhatnánk, akkor az állandó számértéke más lenne, de állandó érték maradna. Más ilyen alapmennyiségekkel együtt - a c határsebesség, a h Planck-állandó, az e elemi töltés, a G gravitációs állandó - a tudomány a Boltzmann-állandót világunk adottságának tekinti, és felhasználja a Földön végbemenő fizikai folyamatok elméleti leírására. azt.