A fizika egyes problémáinál a folyamatot leíró mennyiségek között közvetlen kapcsolat nem állapítható meg. De van lehetőség a vizsgált függvények deriváltjait tartalmazó egyenlőség megszerzésére. Így keletkeznek a differenciálegyenletek és meg kell oldani őket egy ismeretlen függvény megtalálásához.

Ez a cikk azoknak szól, akik olyan differenciálegyenlet megoldásának problémájával szembesülnek, amelyben az ismeretlen függvény egy változó függvénye. Az elmélet úgy épül fel, hogy a differenciálegyenletek nulla megértésével elvégezheti a munkáját.

Minden típusú differenciálegyenlethez tartozik egy megoldási módszer, amely részletes magyarázatokat és tipikus példák és problémák megoldásait tartalmazza. Csak meg kell határoznia a probléma differenciálegyenletének típusát, találnia kell egy hasonló elemzett példát, és hasonló műveleteket kell végrehajtania.

A differenciálegyenletek sikeres megoldásához meg kell tudnia találni a különféle függvények antiderivált készleteit (határozatlan integráljait). Ha szükséges, javasoljuk, hogy tekintse át a részt.

Először nézzük meg az elsőrendű közönséges differenciálegyenletek típusait, amelyek a deriváltra vonatkoztatva megoldhatók, majd áttérünk a másodrendű ODE-re, majd a magasabb rendű egyenleteknél tartunk, és a differenciálegyenlet-rendszerekkel fejezzük be.

Emlékezzünk vissza, hogy ha y az x argumentum függvénye.

Elsőrendű differenciálegyenletek.

A forma elsőrendű legegyszerűbb differenciálegyenletei.

Írjunk néhány példát ilyen DE-re .

Differenciál egyenletek feloldható a deriváltra nézve, ha az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk f(x) -el. Ebben az esetben az egyenlethez jutunk, amely ekvivalens lesz az eredetivel f(x) ≠ 0 esetén. Ilyen ODE-k például a .

Ha az x argumentumnak vannak olyan értékei, amelyekre az f(x) és g(x) függvények egyidejűleg eltűnnek, akkor további megoldások jelennek meg. További megoldások az egyenlethez adott x az adott argumentumértékekhez definiált függvények. Példák az ilyen differenciálegyenletekre: .

Másodrendű differenciálegyenletek.

Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek állandó együtthatókkal.

Az állandó együtthatókkal rendelkező LODE a differenciálegyenletek nagyon gyakori típusa. Megoldásuk nem különösebben nehéz. Először megkeressük a karakterisztikus egyenlet gyökereit . Különböző p és q esetén három eset lehetséges: a karakterisztikus egyenlet gyöke lehet valós és különböző, valós és egybeeső vagy komplex konjugátum. A karakterisztikus egyenlet gyökeinek értékétől függően a differenciálegyenlet általános megoldását a következőképpen írjuk fel: , vagy , ill.

Például vegyünk egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletet állandó együtthatókkal. Karakterisztikus egyenletének gyöke: k 1 = -3 és k 2 = 0. A gyökök valódiak és különbözőek, ezért az LDE általános megoldása állandó együtthatókkal az


Lineáris nemhomogén másodrendű differenciálegyenletek állandó együtthatókkal.

Az y állandó együtthatójú másodrendű LIDE általános megoldását a megfelelő LODE általános megoldásának összegeként keressük. és az eredeti inhomogén egyenlet egy sajátos megoldása, azaz. Az előző bekezdés egy állandó együtthatójú homogén differenciálegyenlet általános megoldásának a megtalálására szolgál. Egy adott megoldást vagy az f (x) függvény egy bizonyos formájára vonatkozó határozatlan együtthatók módszere határoz meg, amely az eredeti egyenlet jobb oldalán áll, vagy pedig tetszőleges állandók variációjának módszere.

Példákként a másodrendű, állandó együtthatójú LIDE-ekre mutatjuk be


Az elmélet megértéséhez és a példák részletes megoldásainak megismeréséhez az oldalon lineáris inhomogén, másodrendű differenciálegyenleteket kínálunk állandó együtthatókkal.

Lineáris homogén differenciálegyenletek (LODE) és másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek (LNDE).

Az ilyen típusú differenciálegyenletek speciális esetei a LODE és a LODE állandó együtthatókkal.

A LODE általános megoldását egy bizonyos intervallumon az egyenlet két lineárisan független egyedi megoldásának y 1 és y 2 lineáris kombinációja reprezentálja, azaz .

A fő nehézség pontosan abban rejlik, hogy az ilyen típusú differenciálegyenletekre lineárisan független részmegoldásokat találjunk. Általában az alábbi lineárisan független függvényrendszerek közül választanak konkrét megoldásokat:


A konkrét megoldások azonban nem mindig jelennek meg ebben a formában.

Példa a LODU-ra .

A LIDE általános megoldását az alábbi formában keressük, ahol a megfelelő LODE általános megoldása, és az eredeti differenciálegyenlet egy speciális megoldása. Az imént a megtalálásról beszéltünk, de az tetszőleges állandók variációs módszerével meghatározható.

Példa az LNDE-re .

Magasabb rendű differenciálegyenletek.

Differenciálegyenletek, amelyek lehetővé teszik a sorrendcsökkentést.

A differenciálegyenlet sorrendje , amely nem tartalmazza a kívánt függvényt és annak deriváltjait k-1-ig, lecserélésével n-k-ra redukálható.

Ebben az esetben és az eredeti differenciálegyenlet -re redukálódik. A p(x) megoldás megtalálása után vissza kell térni a helyettesítéshez és meghatározni az ismeretlen y függvényt.

Például a differenciálegyenlet miután a csere elválasztható egyenletté válik, és sorrendje a harmadikról az elsőre csökken.

Elsőrendű differenciálegyenletek. Megoldási példák.
Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Differenciálegyenletek (DE). Ez a két szó általában megrémíti az átlagos laikusokat. A differenciálegyenletek felháborítónak és nehezen elsajátíthatónak tűnnek sok diák számára. Úúúú… differenciálegyenletek, hogyan élném túl ezt az egészet?!

Az ilyen vélemény és hozzáállás alapvetően téves, mert valójában A DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK EGYSZERŰEK ÉS MÉG SZÓRAKOZÁSOK. Mit kell tudnia és tudnia kell ahhoz, hogy megtanulja a differenciálegyenletek megoldását? Ahhoz, hogy sikeresen tanulmányozhasd a diffúrokat, jól kell tudnod integrálni és megkülönböztetni. Minél jobban tanulmányozzák a témákat Egy változó függvényének deriváltjaés Határozatlan integrál, annál könnyebb lesz megérteni a differenciálegyenleteket. Többet mondok, ha többé-kevésbé tisztességes beilleszkedési képességed van, akkor gyakorlatilag elsajátított a téma! Minél több különféle típusú integrált tud megoldani, annál jobb. Miért? Sokat kell integrálni. És megkülönböztetni. Is erősen ajánlott tanulni találni.

Az esetek 95%-ában 3 féle elsőrendű differenciálegyenlet található a tesztdolgozatokban: szétválasztható egyenletek, amellyel ebben a leckében foglalkozunk; homogén egyenletekés lineáris inhomogén egyenletek. A diffúzorok tanulmányozására kezdőknek azt tanácsolom, hogy olvassa el a leckéket ebben a sorrendben, és az első két cikk tanulmányozása után nem árt, ha megszilárdítja készségeit egy további műhelyben - homogénre redukáló egyenletek.

Vannak még ritkább típusú differenciálegyenletek: teljes differenciálegyenletek, Bernoulli-egyenletek és néhány más. Az utolsó két típus közül a legfontosabbak a teljes differenciálegyenletek, mivel ezen a DE-n kívül új anyagot is fontolgatok - részleges integráció.

Ha már csak egy-két napod van hátra, akkor az ultragyors elkészítéshez van villámpálya pdf formátumban.

Szóval, a tereptárgyak készen vannak – gyerünk:

Először idézzük fel a szokásos algebrai egyenleteket. Változókat és számokat tartalmaznak. A legegyszerűbb példa: . Mit jelent egy közönséges egyenlet megoldása? Ez azt jelenti, hogy megtaláljuk számkészlet amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Könnyen belátható, hogy a gyerekek egyenletének egyetlen gyöke van: . A szórakozás kedvéért végezzünk egy ellenőrzést, cseréljük be a talált gyökeret az egyenletünkbe:

- a helyes egyenlőséget kapjuk, ami azt jelenti, hogy a megoldás helyesen található.

A diffúzok nagyjából ugyanúgy vannak elrendezve!

Differenciálegyenlet első rendelésáltalában tartalmaz:
1) független változó ;
2) függő változó (függvény);
3) a függvény első deriváltja: .

Egyes elsőrendű egyenletekben előfordulhat, hogy nincs "x" vagy (és) "y", de ez nem lényeges - fontosígy a DU-ban volt első származéka, és nem volt magasabb rendű származékai - stb.

Mit jelent ? Differenciálegyenletet megoldani azt jelenti, hogy megtaláljuk összes funkció készlete amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Az ilyen függvényhalmaznak gyakran van alakja ( egy tetszőleges állandó), amelyet ún a differenciálegyenlet általános megoldása.

1. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Teljes lőszer. Hol kezdjem megoldás?

Először is át kell írni a származékot egy kicsit más formában. Emlékeztetünk arra a nehézkes jelölésre, amelyet valószínűleg sokan nevetségesnek és szükségtelennek tartottatok. Ez az, ami a diffúzorokban uralkodik!

A második lépésben nézzük meg, lehetséges-e osztott változók? Mit jelent a változók szétválasztása? Durván mondva, a bal oldalon el kell mennünk csak "játékok", a a jobb oldalon szervez csak x-ek. A változók szétválasztása "iskolai" manipulációk segítségével történik: zárójelek, kifejezések átvitele részről részre előjelváltással, tényezők átvitele részről részre az arányosság szabálya szerint stb.

Differenciálok és teljes szorzók és aktív résztvevők az ellenségeskedésben. Ebben a példában a változók könnyen elválaszthatók átfordítási tényezőkkel az arányosság szabálya szerint:

A változók el vannak választva. A bal oldalon - csak "Játék", a jobb oldalon - csak "X".

Következő szint - differenciálegyenlet-integráció. Egyszerű, mindkét részre integrált akasztunk:

Természetesen integrálokat kell venni. Ebben az esetben táblázatosak:

Mint emlékszünk, minden antiderivatívhoz konstans van hozzárendelve. Itt két integrál van, de elég egyszer felírni a konstanst (mert egy állandó + egy konstans még mindig egyenlő egy másik állandóval). A legtöbb esetben a jobb oldalon van elhelyezve.

Szigorúan véve az integrálok felvétele után a differenciálegyenletet megoldottnak tekintjük. Csak az a helyzet, hogy az „y”-ünket nem „x”-en keresztül fejezzük ki, vagyis a megoldást bemutatjuk az implicitben forma. A differenciálegyenlet implicit megoldását ún a differenciálegyenlet általános integrálja. Vagyis az általános integrál.

A válasz ebben a formában teljesen elfogadható, de van-e jobb lehetőség? Próbáljuk megszerezni közös döntés.

Kérem, emlékezzen az első technikára, nagyon elterjedt és gyakran használják gyakorlati feladatokban: ha integrálás után logaritmus jelenik meg a jobb oldalon, akkor sok esetben (de semmiképpen sem mindig!) célszerű a konstanst is a logaritmus alá írni..

vagyis AHELYETT feljegyzéseket általában írnak .

Miért van erre szükség? És azért, hogy könnyebb legyen az „y” kifejezés. A logaritmusok tulajdonságát használjuk . Ebben az esetben:

Most a logaritmusok és a modulok eltávolíthatók:

A funkció kifejezetten megjelenik. Ez az általános megoldás.

Válasz: közös döntés: .

A sok differenciálegyenletre adott válaszok meglehetősen könnyen ellenőrizhetők. A mi esetünkben ez egészen egyszerűen megtörténik, vesszük a megtalált megoldást, és megkülönböztetjük:

Ezután behelyettesítjük a származékot az eredeti egyenletbe:

- megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az általános megoldás kielégíti az egyenletet, amelyet ellenőrizni kellett.

Ha egy konstans különböző értékeket ad meg, akkor végtelen számú értéket kaphat privát döntések differenciálegyenlet. Nyilvánvaló, hogy a , stb. függvények bármelyike. kielégíti a differenciálegyenletet.

Néha az általános megoldást ún funkciócsalád. Ebben a példában az általános megoldás lineáris függvények családja, vagy inkább egyenes arányosságok családja.

Az első példa részletes tárgyalása után helyénvaló válaszolni néhány naiv kérdésre a differenciálegyenletekkel kapcsolatban:

1)Ebben a példában sikerült elkülönítenünk a változókat. Mindig lehetséges ez? Nem mindig. És még gyakrabban a változókat nem lehet szétválasztani. Például be homogén elsőrendű egyenletek először ki kell cserélni. Más típusú egyenletekben, például egy lineáris, nem homogén elsőrendű egyenletben, különféle trükköket és módszereket kell alkalmaznia az általános megoldás megtalálásához. Az elválasztható változó egyenletek, amelyeket az első leckében tárgyalunk, a differenciálegyenletek legegyszerűbb típusai.

2) Mindig lehetséges a differenciálegyenlet integrálása? Nem mindig. Nagyon könnyen lehet olyan "divatos" egyenletet kitalálni, amit nem lehet integrálni, ráadásul vannak integrálok, amiket nem lehet felvenni. De az ilyen DE-k speciális módszerekkel megközelítőleg megoldhatók. D'Alembert és Cauchy garantálja... ...ugh, lurkmore. Sokat olvastam mostanában, majdnem hozzátettem, hogy "a másik világból".

3) Ebben a példában egy megoldást kaptunk általános integrál formájában . Mindig lehet általános megoldást találni az általános integrálból, vagyis az "y"-t kifejezett formában kifejezni? Nem mindig. Például: . Nos, hogyan fejezhetném ki itt az "y"-t?! Ilyen esetekben a választ általános integrálként kell írni. Ráadásul néha lehet általános megoldást találni, de olyan nehézkesen és ügyetlenül van megírva, hogy jobb, ha a választ általános integrál formájában hagyjuk.

4) ...egyelőre talán elég. Az első példában találkoztunk még egy fontos szempont, de hogy ne borítsam el a "bambákat" új információk lavinával, a következő leckére hagyom.

Ne siessünk. Egy másik egyszerű távirányító és egy másik tipikus megoldás:

2. példa

Keresse meg a differenciálegyenletnek azt a megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételt

Megoldás: a feltétel szerint meg kell találni privát megoldás DE, amely megfelel egy adott kezdeti feltételnek. Ezt a fajta kérdezősködést más néven Cauchy probléma.

Először is találunk egy általános megoldást. Az egyenletben nincs „x” változó, de ez nem lehet kínos, a lényeg, hogy az első deriváltja legyen.

Átírjuk a származékot a kívánt formában:

Nyilvánvalóan a változók feloszthatók, a fiúk balra, a lányok jobbra:

Integráljuk az egyenletet:

Az általános integrált megkapjuk. Itt rajzoltam egy konstanst ékezetes csillaggal, az tény, hogy hamarosan egy másik állandóvá változik.

Most megpróbáljuk az általános integrált általános megoldássá alakítani (kifejezetten "y" kifejezést). Emlékszünk a régi, jó iskolára: . Ebben az esetben:

Az indikátor állandója valahogy nem kósernek tűnik, ezért általában az égből a földre süllyesztik. Részletesen, ez így történik. A fokok tulajdonságát felhasználva a függvényt a következőképpen írjuk át:

Ha konstans, akkor valamilyen állandó is, nevezze át a következő betűvel:

Ne feledje, egy állandó "lebontása". második technika, amelyet gyakran használnak differenciálegyenletek megoldása során.

Tehát az általános megoldás: Az exponenciális függvények szép családja.

A végső szakaszban meg kell találnia egy adott megoldást, amely megfelel az adott kezdeti feltételnek. Ez is egyszerű.

Mi a feladat? Fel kell venni ilyen a feltételt kielégítő állandó értéke .

Különféleképpen rendezheti, de a legérthetőbb talán így lesz. Az általános megoldásban „x” helyett nullát, „y” helyett kettőt helyettesítünk:



vagyis

Szabványos kiviteli változat:

Most behelyettesítjük a konstans talált értékét az általános megoldásba:
– erre a konkrét megoldásra van szükségünk.

Válasz: privát megoldás:

Csináljunk egy ellenőrzést. Egy adott megoldás ellenőrzése két szakaszból áll:

Először is ellenőrizni kell, hogy a talált konkrét megoldás valóban megfelel-e a kezdeti feltételnek? Az "x" helyett nullát cserélünk, és meglátjuk, mi történik:
- igen, valóban kettőt kaptunk, ami azt jelenti, hogy a kezdeti feltétel teljesül.

A második szakasz már ismerős. A kapott konkrét megoldást vesszük, és megtaláljuk a származékot:

Csere az eredeti egyenletben:

- a megfelelő egyenlőség létrejön.

Következtetés: az adott megoldás helyesen található.

Térjünk át értelmesebb példákra.

3. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Megoldás:Átírjuk a származékot a szükséges formában:

Annak felmérése, hogy a változók szétválaszthatók-e? Tud. A második tagot előjelváltással áthelyezzük a jobb oldalra:

És megfordítjuk a tényezőket az arányosság szabálya szerint:

A változók el vannak választva, integráljuk mindkét részt:

Figyelmeztetnem kell, közeleg az ítélet napja. Ha nem tanultál jól határozatlan integrálok, néhány példát megoldott, akkor nincs hova menni - most kell elsajátítanod őket.

A bal oldal integrálja könnyen megtalálható, a kotangens integráljával a leckében figyelembe vett standard technikával foglalkozunk. Trigonometrikus függvények integrálása Az elmúlt évben:

A jobb oldalon van egy logaritmus, és első technikai javaslatom szerint a konstanst is a logaritmus alá kell írni.

Most megpróbáljuk leegyszerűsíteni az általános integrált. Mivel csak logaritmusaink vannak, teljesen lehetséges (és szükséges) megszabadulni tőlük. Használva ismert tulajdonságait maximálisan "pakoljuk" a logaritmusokat. Nagyon részletesen leírom:

A csomagolás úgy készült, hogy barbár módon kopott legyen:

Lehetséges "y" kifejezés? Tud. Mindkét részt négyzet alakúnak kell lennie.

De nem kell.

Harmadik technikai tipp: ha egy általános megoldás eléréséhez hatványra kell emelni vagy gyökeret kell ereszteni, akkor A legtöbb esetben tartózkodnia kell ezektől a cselekvésektől, és a választ általános integrál formájában kell hagynia. Az a tény, hogy az általános megoldás szörnyen fog kinézni - nagy gyökerekkel, jelekkel és egyéb szeméttel.

Ezért a választ általános integrálként írjuk. Jó formának tekinthető, ha alakban jelenítjük meg, vagyis a jobb oldalon lehetőség szerint csak konstanst hagyjunk meg. Ezt nem kötelező megtenni, de mindig előnyös a professzor kedvében járni ;-)

Válasz:általános integrál:

! Jegyzet: bármely egyenlet általános integrálja többféleképpen is felírható. Tehát, ha az eredménye nem esik egybe egy korábban ismert válasszal, akkor ez nem jelenti azt, hogy rosszul oldotta meg az egyenletet.

Az általános integrál is elég könnyen ellenőrizhető, a lényeg, hogy megtaláljuk egy implicit módon definiált függvény deriváltja. Különbözzük meg a választ:

Mindkét kifejezést megszorozzuk a következővel:

És elosztjuk:

Az eredeti differenciálegyenletet pontosan megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

4. példa

Keresse meg a differenciálegyenletnek azt a megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételt. Futtasson ellenőrzést.

Ez egy „csináld magad” példa.

Emlékeztetlek arra, hogy az algoritmus két szakaszból áll:
1) általános megoldás megtalálása;
2) a szükséges konkrét megoldás megtalálása.

Az ellenőrzést szintén két lépésben hajtják végre (lásd a mintát a 2. példában), szüksége lesz:
1) győződjön meg arról, hogy a talált konkrét megoldás megfelel a kezdeti feltételnek;
2) ellenőrizze, hogy egy adott megoldás általában kielégíti-e a differenciálegyenletet.

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

5. példa

Keresse meg egy differenciálegyenlet konkrét megoldását , amely kielégíti a kezdeti feltételt. Futtasson ellenőrzést.

Megoldás: Először keressünk egy általános megoldást, ez az egyenlet már tartalmaz kész differenciálokat és , ami azt jelenti, hogy a megoldás egyszerűsített. Változók elválasztása:

Integráljuk az egyenletet:

A bal oldali integrál táblázatos, a jobb oldali integrált vettük a függvény összegzésének módja a differenciál jele alatt:

Az általános integrált megkaptuk, sikeresen kifejezhető az általános megoldás? Tud. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk. Mivel pozitívak, a modulo jelek redundánsak:

(remélem mindenki érti az átalakulást, ilyeneket már tudni kell)

Tehát az általános megoldás:

Keressünk egy adott megoldást, amely megfelel az adott kezdeti feltételnek.
Az általános megoldásban „x” helyett nullát, „y” helyett pedig kettő logaritmusát helyettesítjük:

Ismertebb dizájn:

A konstans talált értékét behelyettesítjük az általános megoldásba.

Válasz: privát megoldás:

Ellenőrzés: Először ellenőrizze, hogy teljesül-e a kezdeti feltétel:
- minden jó.

Most nézzük meg, hogy a talált konkrét megoldás egyáltalán kielégíti-e a differenciálegyenletet. Megtaláljuk a származékot:

Nézzük az eredeti egyenletet: – differenciálokban jelenik meg. Az ellenőrzésnek két módja van. Lehetőség van a különbség kifejezésére a talált deriválttól:

A talált konkrét megoldást és a kapott differenciált behelyettesítjük az eredeti egyenletbe :

Az alapvető logaritmikus azonosságot használjuk:

Megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az adott megoldást helyesen találjuk meg.

Az ellenőrzés második módja tükrözött és ismerősebb: az egyenletből fejezzük ki a származékot, ehhez elosztjuk az összes darabot:

A transzformált DE-ben pedig a kapott partikuláris megoldást és a talált deriváltot helyettesítjük. Az egyszerűsítések eredményeként a helyes egyenlőséget is el kell érni.

6. példa

Oldja meg a differenciálegyenletet! Fejezd ki a választ általános integrálként!

Ez egy példa az önálló megoldásra, teljes megoldásra és válaszadásra a lecke végén.

Milyen nehézségek várnak elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletek megoldása során?

1) Nem mindig nyilvánvaló (főleg egy teáskannánál), hogy a változók elválaszthatók. Vegyünk egy feltételes példát: . Itt ki kell venni a tényezőket a zárójelből: és el kell választani a gyökereket:. Hogy hogyan tovább, az világos.

2) Magában az integrációban jelentkező nehézségek. Az integrálok gyakran nem a legegyszerűbbek, és ha vannak hibák a keresési készségekben határozatlan integrál, akkor sok diffúzorral nehéz lesz. Emellett a „mivel egyszerű a differenciálegyenlet, akkor az integrálok bonyolultabbak” logika népszerű a gyűjtemények és kézikönyvek összeállítói körében.

3) Átalakítások állandóval. Amint azt mindenki észrevette, a differenciálegyenletek állandója meglehetősen szabadon kezelhető, és néhány transzformáció nem mindig egyértelmű a kezdő számára. Nézzünk egy másik hipotetikus példát: . Ebben tanácsos az összes kifejezést megszorozni 2-vel: . Az eredményül kapott állandó is valamiféle állandó, amelyet a következővel jelölhetünk: . Igen, és mivel a jobb oldalon van egy logaritmus, célszerű az állandót másik állandóként átírni: .

Az a baj, hogy gyakran nem foglalkoznak az indexekkel, és ugyanazt a betűt használják. Ennek eredményeként a döntési jegyzőkönyv a következő formában jelenik meg:

Milyen eretnekség? Itt vannak a hibák! Szigorúan véve igen. Azonban tartalmi szempontból nincs hiba, mert egy változó állandó transzformációja eredményeként mégis változó állandót kapunk.

Vagy egy másik példa, tegyük fel, hogy az egyenlet megoldása során általános integrált kapunk. Ez a válasz csúnyán néz ki, ezért tanácsos az egyes kifejezések előjelét megváltoztatni: . Formálisan ismét hiba van - a jobb oldalon azt kell írni. De informálisan arra utalnak, hogy a „mínusz ce” továbbra is állandó ( ami éppúgy felvesz bármilyen értéket!), így a "mínusz" beírásának nincs értelme, és ugyanazt a betűt használhatja.

Megpróbálom elkerülni a figyelmetlen megközelítést, és a konstansokhoz továbbra is különböző indexeket írok le a konvertálás során.

7. példa

Oldja meg a differenciálegyenletet! Futtasson ellenőrzést.

Megoldás: Ez az egyenlet megengedi a változók szétválasztását. Változók elválasztása:

Integráljuk:

A konstanst itt nem kell logaritmus alatt definiálni, mert abból semmi jó nem sül ki.

Válasz:általános integrál:

Ellenőrzés: A válasz megkülönböztetése (implicit függvény):

Megszabadulunk a törtektől, ehhez mindkét tagot megszorozzuk:

Az eredeti differenciálegyenletet megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

8. példa

Keresse meg a DE egy adott megoldását.
,

Ez egy „csináld magad” példa. Az egyetlen tipp az, hogy itt egy általános integrált kapunk, és helyesebben kell kitalálniuk, hogy ne egy konkrét megoldást találjunk, hanem privát integrál. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

6.1. ALAPVETŐ FOGALMAK ÉS DEFINÍCIÓK

A matematika és a fizika, a biológia és az orvostudomány különböző problémáinak megoldása során gyakran nem lehet azonnal megállapítani a funkcionális függőséget a vizsgált folyamatot leíró változókat összekötő képlet formájában. Általában olyan egyenleteket kell használni, amelyek a független változó és az ismeretlen függvény mellett annak deriváltjait is tartalmazzák.

Meghatározás. Egy független változóra, egy ismeretlen függvényre és annak különböző rendű származékaira vonatkozó egyenletet nevezzük differenciális.

Az ismeretlen függvényt általában jelölik y(x) vagy egyszerűen y, származékai pedig azok y", y" stb.

Más jelölések is lehetségesek, például: ha y= x(t), akkor x"(t), x""(t) származékai, és t egy független változó.

Meghatározás. Ha a függvény egy változótól függ, akkor a differenciálegyenletet közönségesnek nevezzük. Általános forma közönséges differenciálegyenlet:

vagy

Funkciók Fés f nem tartalmazhat néhány argumentumot, de ahhoz, hogy az egyenletek differenciálisak legyenek, elengedhetetlen a derivált jelenléte.

Meghatározás.A differenciálegyenlet sorrendje a benne foglalt legmagasabb derivált sorrendje.

Például, x 2 y"- y= 0, y" + sin x= 0 elsőrendű egyenletek, és y"+ 2 y"+ 5 y= x egy másodrendű egyenlet.

A differenciálegyenletek megoldásánál az integrációs műveletet alkalmazzuk, amely egy tetszőleges állandó megjelenéséhez kapcsolódik. Ha az integrációs műveletet alkalmazzák n alkalommal, akkor nyilván a megoldás tartalmazni fog n tetszőleges állandók.

6.2. ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK

Általános forma elsőrendű differenciálegyenlet kifejezés határozza meg

Az egyenlet nem tartalmazhatja kifejezetten xés y, de szükségszerűen y-t tartalmaz."

Ha az egyenlet úgy írható fel

akkor a deriváltra vonatkozóan megoldott elsőrendű differenciálegyenletet kapunk.

Meghatározás. A (6.3) (vagy (6.4)) elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása a megoldások halmaza , ahol TÓL TŐL egy tetszőleges állandó.

A differenciálegyenlet megoldására szolgáló gráfot ún integrálgörbe.

Tetszőleges állandó megadása TÓL TŐL különböző értékekkel, lehetőség van egyedi megoldások elérésére. A felszínen xOy az általános megoldás az egyes megoldásoknak megfelelő integrálgörbék családja.

Ha pontot tesz A(x0, y0), amelyen az integrálgörbének át kell haladnia, akkor általában a függvényhalmazból egyet lehet kiemelni – egy adott megoldást.

Meghatározás.Magán döntés egy differenciálegyenlet megoldása, amely nem tartalmaz tetszőleges állandókat.

Ha egy általános megoldás, akkor a feltételből

állandót találhatsz TÓL TŐL. A feltétel az ún kezdeti állapot.

A (6.3) vagy (6.4) differenciálegyenlet egy adott megoldásának megtalálásának problémája, amely kielégíti a kezdeti feltételt nál nél hívott a Cauchy-probléma. Ennek a problémának mindig van megoldása? A választ a következő tétel tartalmazza.

Cauchy-tétel(a megoldás létezésének és egyediségének tétele). Adjuk be a differenciálegyenletet y"= f(x, y) funkció f(x, y)és ő

részleges származéka meghatározott és egyesekben folyamatos

területeken D, pontot tartalmaz Aztán a környéken D létezik

az egyenlet egyetlen megoldása, amely kielégíti a kezdeti feltételt nál nél

Cauchy tétele kimondja, hogy bizonyos feltételek mellett létezik egy egyedi integrálgörbe y= f(x), ponton áthaladva Pontok, ahol a tétel feltételei nem teljesülnek

A macskákat hívják különleges. Szakadások ezeken a pontokon f(x, y) vagy.

Egy szinguláris ponton vagy több integrálgörbe megy át, vagy egy sem.

Meghatározás. Ha a (6.3), (6.4) megoldás megtalálható az űrlapban f(x, y, c)= 0 nem megengedett y-ra vonatkozóan, akkor hívjuk közös integrál differenciálegyenlet.

Cauchy tétele csak azt garantálja, hogy létezik megoldás. Mivel nincs egyetlen módszer a megoldás megtalálására, csak néhány elsőrendű differenciálegyenlet-típust fogunk figyelembe venni, amelyek integrálhatók négyzetek.

Meghatározás. A differenciálegyenletet ún négyzetbe integrálható, ha a megoldásának keresését a funkciók integrálására redukáljuk.

6.2.1. Elsőrendű differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Meghatározás. Az elsőrendű differenciálegyenletet egyenletnek nevezzük elválasztható változók,

A (6.5) egyenlet jobb oldala két függvény szorzata, amelyek mindegyike csak egy változótól függ.

Például az egyenlet egyenlet az elválasztással

változók átadása
és az egyenlet

nem ábrázolható a (6.5) formában.

Tekintettel arra , átírjuk a (6.5)-et mint

Ebből az egyenletből egy elválasztott változókkal rendelkező differenciálegyenletet kapunk, amelyben a differenciálok olyan függvényeket tartalmaznak, amelyek csak a megfelelő változótól függenek:

Megvan a terminusonkénti integrálás

ahol C= C 2 - C 1 tetszőleges állandó. A (6.6) kifejezés a (6.5) egyenlet általános integrálja.

Ha a (6.5) egyenlet mindkét részét elosztjuk -vel, elveszíthetjük azokat a megoldásokat, amelyekre Valóban, ha nál nél

akkor nyilvánvalóan a (6.5) egyenlet megoldása.

1. példa Keress egy kielégítő megoldást az egyenletre

állapot: y= 6 órakor x= 2 (y(2) = 6).

Megoldás. Cseréljük nál nél" azért . Szorozd meg mindkét oldalt

dx, hiszen a további integrációban nem lehet távozni dx a nevezőben:

majd mindkét részt elosztjuk azzal megkapjuk az egyenletet,

amely integrálható. Integráljuk:

Akkor ; potencírozva azt kapjuk, hogy y = C . (x + 1) - ob-

megoldás.

A kiindulási adatok alapján meghatározunk egy tetszőleges állandót úgy, hogy behelyettesítjük őket az általános megoldásba

Végre megkapjuk y= 2(x + 1) egy speciális megoldás. Vegyünk még néhány példát az egyenletek elválasztható változókkal való megoldására.

2. példa Keress megoldást az egyenletre

Megoldás. Tekintettel arra , kapunk .

Az egyenlet mindkét oldalát integrálva megkaptuk

ahol

3. példa Keress megoldást az egyenletre Megoldás. Az egyenlet mindkét részét elosztjuk azokkal a tényezőkkel, amelyek olyan változótól függenek, amely nem esik egybe a differenciáljel alatti változóval, azaz és integrálni. Akkor kapunk

és végül

4. példa Keress megoldást az egyenletre

Megoldás. Tudva, mit kapunk. Szakasz-

lim változók. Akkor

Integrációt kapunk

Megjegyzés. Az 1. és 2. példában a kívánt függvény y kifejezetten kifejezve (általános megoldás). A 3. és 4. példában - implicit módon (általános integrál). A jövőben a határozat formája nem kerül meghatározásra.

5. példa Keress megoldást az egyenletre Megoldás.

6. példa Keress megoldást az egyenletre kielégítő

állapot y(e)= 1.

Megoldás. Az egyenletet a formába írjuk

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva ezzel dxés tovább, megkapjuk

Az egyenlet mindkét oldalát integrálva (a jobb oldali integrált részekre szedjük), megkapjuk

De feltételek szerint y= 1 at x= e. Akkor

Cserélje be a talált értékeket! TÓL TŐLáltalános megoldásban:

Az így kapott kifejezést a differenciálegyenlet sajátos megoldásának nevezzük.

6.2.2. Elsőrendű homogén differenciálegyenletek

Meghatározás. Az elsőrendű differenciálegyenletet ún homogén ha úgy ábrázolható

Bemutatunk egy homogén egyenlet megoldására szolgáló algoritmust.

1. Ehelyett y vezessen be egy új funkciót és innentől

2. Funkció szempontjából u a (6.7) egyenlet alakját veszi fel

azaz a helyettesítés a homogén egyenletet elválasztható változókkal rendelkező egyenletté redukálja.

3. A (6.8) egyenlet megoldása során először megtaláljuk az u-t, majd azután y= ux.

1. példa oldja meg az egyenletet Megoldás. Az egyenletet a formába írjuk

Cseréljük:
Akkor

Cseréljük

Szorzás dx-el: Oszd el xés tovább akkor

Az egyenlet mindkét részét a megfelelő változókra integrálva megkaptuk

vagy a régi változókhoz visszatérve végre megkapjuk

2. példaoldja meg az egyenletet Megoldás.Hadd akkor

Oszd el az egyenlet mindkét oldalát x2: Nyissuk meg a zárójeleket, és rendezzük át a kifejezéseket:

A régi változókra áttérve a végeredményhez jutunk:

3. példaKeress megoldást az egyenletre azzal a feltétellel

Megoldás.Normál csere végrehajtása kapunk

vagy

vagy

Tehát az adott megoldásnak megvan a formája 4. példa Keress megoldást az egyenletre

Megoldás.

5. példaKeress megoldást az egyenletre Megoldás.

Önálló munkavégzés

Keressen megoldást elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletekre (1-9).

Keressen megoldást homogén differenciálegyenletekre! (9-18).

6.2.3. Az elsőrendű differenciálegyenletek néhány alkalmazása

A radioaktív bomlás problémája

Az Ra (rádium) bomlási sebessége minden pillanatban arányos a rendelkezésre álló tömegével. Keresse meg Ra radioaktív bomlásának törvényét, ha ismert, hogy a kezdeti pillanatban Ra volt, és Ra felezési ideje 1590 év.

Megoldás. Legyen pillanatnyilag az Ra tömeg x= x(t) g, és Ekkor Ra bomlási sebessége az

A feladatnak megfelelően

ahol k

Az utolsó egyenletben szereplő változókat elválasztva és integrálva azt kapjuk

ahol

Meghatározására C a kezdeti feltételt használjuk: .

Akkor és ezért,

Arányossági tényező k a kiegészítő feltétel alapján határozzák meg:

Nekünk van

Innen és a kívánt képletet

A baktériumok szaporodási sebességének problémája

A baktériumok szaporodási sebessége arányos számukkal. A kezdeti pillanatban 100 baktérium volt. 3 óra alatt számuk megduplázódott. Határozza meg a baktériumok számának időbeli függőségét! Hányszorosára nő a baktériumok száma 9 órán belül?

Megoldás. Hadd x- a baktériumok száma pillanatnyilag t. Ezután a feltételeknek megfelelően

ahol k- arányossági együttható.

Innen Az állapotból ismert, hogy . Eszközök,

A kiegészítő feltételtől . Akkor

Kötelező funkció:

Szóval, at t= 9 x= 800, azaz 9 órán belül a baktériumok száma 8-szorosára nőtt.

Az enzim mennyiségének növelésének feladata

A sörélesztő tenyészetében az aktív enzim növekedési üteme arányos annak kezdeti mennyiségével. x. Az enzim kezdeti mennyisége a egy órán belül megduplázódott. Találd meg a függőséget

x(t).

Megoldás. Feltétel szerint a folyamat differenciálegyenlete alakja

innen

De . Eszközök, C= aés akkor

Az is ismert, hogy

Következésképpen,

6.3. MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK

6.3.1. Alapfogalmak

Meghatározás.Másodrendű differenciálegyenlet A független változót, a kívánt függvényt és annak első és második deriváltját összekötő relációnak nevezzük.

Speciális esetekben az x hiányozhat az egyenletből, nál nél vagy y". A másodrendű egyenletnek azonban szükségszerűen tartalmaznia kell y-t". Általános esetben a másodrendű differenciálegyenletet a következőképpen írjuk fel:

vagy ha lehetséges, a második származéknál megengedett formában:

Az elsőrendű egyenletekhez hasonlóan a másodrendű egyenletnek is lehet általános és sajátos megoldása. Az általános megoldás így néz ki:

Privát megoldás keresése

kezdeti feltételek mellett – adott

szám) hívják a Cauchy-probléma. Geometriailag ez azt jelenti, hogy meg kell találni az integrálgörbét nál nél= y(x), adott ponton áthaladva és ezen a ponton egy érintője van, ami kb

pozitív tengelyirányú villák Ökör adott szög. e. (6.1. ábra). A Cauchy-probléma egyedi megoldást kínál, ha a (6.10) egyenlet jobb oldala, elő-

nem folytonos és folyamatos parciális származékai vannak a tekintetében u u" a kiindulópont valamely szomszédságában

Állandót találni egy adott megoldásban szerepel, engedélyezni kell a rendszert

Rizs. 6.1. integrálgörbe

Közönséges differenciálegyenlet egyenletnek nevezzük, amely egy független változót, ennek a változónak és különböző rendű származékainak (vagy differenciáljainak) egy ismeretlen függvényét kapcsolja össze.

A differenciálegyenlet sorrendje a benne foglalt legmagasabb származék sorrendje.

A közönségesek mellett a parciális differenciálegyenleteket is tanulmányozzák. Ezek független változókra vonatkozó egyenletek, ezeknek a változóknak egy ismeretlen függvénye és részleges deriváltjai ugyanazon változókra vonatkoztatva. De csak mérlegelni fogjuk közönséges differenciálegyenletek és ezért a rövidség kedvéért elhagyjuk a "közönséges" szót.

Példák differenciálegyenletekre:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Az (1) egyenlet negyedrendű, a (2) egyenlet harmadrendű, a (3) és (4) egyenlet másodrendű, az (5) egyenlet elsőrendű.

Differenciálegyenlet n A sorrendnek nem kell kifejezetten tartalmaznia egy függvényt, annak összes származékát az elejétől az elejéig n rendű és független változó. Előfordulhat, hogy nem tartalmaz kifejezetten egyes rendek származékait, függvényt, független változót.

Például az (1) egyenletben egyértelműen nincsenek harmad- és másodrendű származékok, valamint függvények; a (2) egyenletben - másodrendű derivált és függvény; a (4) egyenletben - független változó; az (5) egyenletben - függvények. Csak a (3) egyenlet tartalmazza kifejezetten az összes deriváltot, a függvényt és a független változót.

A differenciálegyenlet megoldásával bármelyik függvényt meghívjuk y = f(x), amelyet az egyenletbe behelyettesítve identitássá válik.

A differenciálegyenlet megoldásának folyamatát nevezzük annak integráció.

1. példa Keress megoldást a differenciálegyenletre!

Megoldás. Ezt az egyenletet a formába írjuk. A megoldás az, hogy a függvényt deriváltja alapján keressük meg. Az eredeti függvény, amint az integrálszámításból ismeretes, az antiderivált, azaz.

Az az ami az adott differenciálegyenlet megoldása . változik benne C, különböző megoldásokat fogunk kapni. Megállapítottuk, hogy egy elsőrendű differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van.

A differenciálegyenlet általános megoldása n A sorrend az ismeretlen függvényre explicit módon kifejezett és tartalmazó megoldás n független tetszőleges állandók, pl.

Az 1. példában szereplő differenciálegyenlet megoldása általános.

A differenciálegyenlet részleges megoldása megoldását hívják, amelyben meghatározott számértékeket rendelnek tetszőleges állandókhoz.

2. példa Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását és egy konkrét megoldását .

Megoldás. Az egyenlet mindkét részét annyiszor integráljuk, hogy a differenciálegyenlet sorrendje egyenlő legyen.

,

.

Ennek eredményeként az általános megoldást kaptuk -

adott harmadrendű differenciálegyenlet.

Most keressünk egy adott megoldást a megadott feltételek mellett. Ehhez tetszőleges együtthatók helyett helyettesítjük értékeiket, és megkapjuk

.

Ha a differenciálegyenlet mellett a kezdeti feltételt alakban adjuk meg, akkor egy ilyen feladatot ún. Cauchy probléma . Az és értékeket behelyettesítjük az egyenlet általános megoldásába és egy tetszőleges állandó értékét találjuk C, majd a talált érték egyenletének adott megoldása C. Ez a megoldás a Cauchy-problémára.

3. példa Oldja meg a Cauchy-feladatot az 1. példában szereplő differenciálegyenlethez a feltétel mellett.

Megoldás. Az általános megoldásba behelyettesítjük a kezdeti feltétel értékeit y = 3, x= 1. Azt kapjuk

Felírjuk a Cauchy-feladat megoldását az adott elsőrendű differenciálegyenletre:

A differenciálegyenletek megoldása, még a legegyszerűbbek is, jó készségeket igényel az integrálásban és a deriváltak felvételében, beleértve az összetett függvényeket is. Ez látható a következő példában.

4. példa Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!

Megoldás. Az egyenlet olyan formában van felírva, hogy mindkét oldal azonnal integrálható legyen.

.

Az integráció módszerét alkalmazzuk a változó megváltoztatásával (helyettesítés). Akkor hagyd.

Elvétele kötelező dxés most - figyelem - egy komplex függvény differenciálási szabályai szerint tesszük, hiszen xés van egy összetett funkció ("alma" - a négyzetgyök kivonása, vagy ami ugyanaz - "egy másodperc" hatványra emelése és "darált hús" - maga a kifejezés a gyökér alatt):

Megtaláljuk az integrált:

Visszatérve a változóhoz x, kapunk:

.

Ez az elsőfokú differenciálegyenlet általános megoldása.

A differenciálegyenletek megoldásához nem csak a felsőbb matematika korábbi szakaszaiból származó készségekre lesz szükség, hanem az elemi, azaz iskolai matematikából is. Mint már említettük, bármilyen sorrendű differenciálegyenletben nem lehet független változó, azaz változó x. Az iskolapadból el nem felejtett (bár akinek van ilyen) arányismerete segít megoldani ezt a problémát. Ez a következő példa.

Differenciálegyenlet (DE) az egyenlet,
ahol független változók, y függvény és parciális deriváltok.

Közönséges differenciálegyenlet egy differenciálegyenlet, amelynek csak egy független változója van, .

Részleges differenciálegyenlet egy differenciálegyenlet, amelynek két vagy több független változója van.

A „közönséges” és a „részleges származékok” szavak elhagyhatók, ha egyértelmű, hogy melyik egyenletről van szó. A következőkben közönséges differenciálegyenleteket veszünk figyelembe.

A differenciálegyenlet sorrendje a legmagasabb derivált sorrendje.

Íme egy példa egy elsőrendű egyenletre:

Íme egy példa egy negyedrendű egyenletre:

Néha egy elsőrendű differenciálegyenletet differenciálok formájában írnak le:

Ebben az esetben az x és y változók egyenlőek. Vagyis a független változó lehet x vagy y . Az első esetben y x függvénye. A második esetben x az y függvénye. Ha szükséges, ezt az egyenletet olyan alakba hozhatjuk, amelyben az y′ derivált explicit módon belép.
Ha ezt az egyenletet elosztjuk dx-el, a következőt kapjuk:
.
Mivel és , ebből az következik
.

Differenciálegyenletek megoldása

Az elemi függvények származékait elemi függvényekkel fejezzük ki. Az elemi függvények integráljait gyakran nem elemi függvényekkel fejezik ki. A differenciálegyenletekkel még rosszabb a helyzet. A megoldás eredményeként a következőket kaphatja:

• egy függvény explicit függése egy változótól;

  Differenciálegyenlet megoldása az y = u függvény (x), amely definiált, n-szer differenciálható, és .

• implicit függőség Φ típusú egyenlet formájában (x, y) = 0 vagy egyenletrendszerek;

  Differenciálegyenlet integrálja egy olyan differenciálegyenlet megoldása, amelynek implicit alakja van.

• az elemi függvényekkel és az azokból való integrálokkal kifejezett függőség;

  Differenciálegyenlet megoldása kvadratúrákban - ez a megoldás keresése elemi függvények és ezek integráljainak kombinációja formájában.

• a megoldást nem lehet elemi függvényekkel kifejezni.

Mivel a differenciálegyenletek megoldása az integrálszámításra redukálódik, a megoldás C 1 , C 2 , C 3 , ... C n állandók halmazát tartalmazza. Az állandók száma megegyezik az egyenlet sorrendjével. Differenciálegyenlet parciális integrálja a C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n állandók adott értékeinek általános integrálja.

Referenciák:
V.V. Stepanov, Differenciálegyenletek tantárgy, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Feladatgyűjtemény a felsőbb matematikában, Lan, 2003.