Hogyan lehet kiszámítani a trapéz területét négy oldalon. Trapéz terület
Számos módja van a trapéz területének megtalálására. Általában egy matematikai oktató több módszert is ismer a kiszámítására, térjünk rájuk részletesebben:
1) 
, ahol AD és BC az alapok, BH pedig a trapéz magassága. Bizonyítás: rajzoljunk egy BD átlót, és fejezzük ki az ABD és CDB háromszögek területét alapjaik és magasságuk félszorzatával:
, ahol DP a külső magasság in
Ezeket az egyenlőségeket tagonként összeadjuk, és mivel BH és DP magassága egyenlő, a következőt kapjuk:
Vegyük ki a tartóból
Q.E.D.
A trapéz területének képletének következménye:
Mivel az alapok fele összege egyenlő MN - a trapéz középvonalával, akkor
2) A négyszög területére vonatkozó általános képlet alkalmazása.
A négyszög területe az átlók szorzatának a fele, szorozva a köztük lévő szög szinuszával
Ennek bizonyításához elegendő a trapézt 4 háromszögre osztani, és mindegyik területét kifejezni „az átlók és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével” (ezt szögnek tekintjük , adja hozzá az eredményül kapott kifejezéseket, tegye ki a zárójelből, és a csoportosítási módszerrel bontsa faktorokra, hogy megkapja a kifejezéssel való egyenlőségét.
3) Átlós eltolási módszer
Ez a címem. Az iskolai tankönyvekben a matektanár nem talál ilyen címsort. A technika leírása csak a további oktatóanyagokban található példaként a probléma megoldására. Megjegyzem, a matematika oktatói a gyakorlati munka során feltárják a planimetria legtöbb érdekes és hasznos tényét a hallgatóknak. Ez rendkívül szuboptimális, mert a hallgatónak külön tételekre kell szétválasztania őket, és "nagy neveknek" kell neveznie őket. Ezek egyike az „átlós eltolás”. Ez miről szól? Rajzoljunk AC-vel párhuzamos egyenest a B csúcson keresztül, amíg az E pontban nem metszi az alsó bázist. Ebben az esetben az EBCA négyszög (definíció szerint) paralelogramma lesz, ezért BC=EA és EB=AC. Most az első egyenlőséggel foglalkozunk. Nekünk van:
Vegye figyelembe, hogy a BED háromszögnek, amelynek területe megegyezik a trapéz területével, számos egyéb figyelemre méltó tulajdonsága van:
1) Területe megegyezik a trapéz területével
2) Egyenlő szárai a trapéz egyenlő száraival egyidejűleg fordulnak elő
3) Felső szöge a B csúcsnál megegyezik a trapéz átlói közötti szöggel (amit gyakran használnak a feladatokban) 
4) BK mediánja egyenlő a trapéz alapjainak felezőpontjai közötti QS távolsággal. Nemrég találkoztam ennek a tulajdonságnak a használatával, amikor a Moszkvai Állami Egyetem Mekhmatjára készítettem fel egy hallgatót Tkachuk 1973-as tankönyve alapján (a feladat a lap alján található).
Matematika oktatói különlegességek.
Néha nagyon trükkös módon javasolok feladatokat a trapéz négyzetének megtalálásához. Speciális mozdulatoknak tulajdonítom, mert a gyakorlatban az oktató ritkán használja ezeket. Ha csak a B részből kell felkészülni a matematika vizsgára, akkor ezekről nem olvashat. A többieknek többet mondok. Kiderült, hogy a trapéz területe kétszerese annak a háromszögnek, amelynek az egyik oldala végén és a másik közepén vannak csúcsok, vagyis az ábrán az ABS háromszög: 
Bizonyítás: rajzolja meg az SM és SN magasságokat a BCS és ADS háromszögekbe, és fejezze ki e háromszögek területének összegét:
Mivel az S pont a CD felezőpontja, akkor (bizonyosítsa be Ön is) Határozzuk meg a háromszögek területének összegét:
Mivel ez a mennyiség a trapéz területének felével egyenlő, akkor a második fele. Ch.t.d.
Az egyenlő szárú trapéz oldalai mentén elhelyezkedő területének kiszámításának formáját a tanár speciális mozdulatainak kincstárába foglalnám: ahol p a trapéz fél kerülete. nem adok bizonyítékot. Ellenkező esetben a matektanár munka nélkül marad :). Gyere az osztályba!
A trapéz területére vonatkozó feladatok:
Matek tanári jegyzet: Az alábbi lista nem módszertani támpontja a témának, csak egy kis válogatás a fenti módszerekhez kapcsolódó érdekes feladatokból.
1) Egy egyenlő szárú trapéz alsó alapja 13, a felsőé 5. Határozza meg a trapéz területét, ha az átlója merőleges az oldalra!
2) Határozza meg a trapéz területét, ha alapjai 2 cm és 5 cm, oldalai 2 cm és 3 cm.
3) Egy egyenlő szárú trapézban a nagyobb alap 11, az oldal 5, az átló pedig a Keresse meg a trapéz területét.
4) Egy egyenlő szárú trapéz átlója 5, a középvonala 4. Keresse meg a területet!
5) Egy egyenlő szárú trapézban az alapok 12 és 20, az átlók pedig egymásra merőlegesek. Számítsa ki a trapéz területét!
6) Egy egyenlő szárú trapéz átlója szöget zár be az alsó alapjával. Határozza meg a trapéz területét, ha magassága 6 cm.
7) A trapéz területe 20, az egyik oldala pedig 4 cm. Határozza meg a távolságot a szemközti oldal közepétől!
8) Egy egyenlő szárú trapéz átlója háromszögekre osztja, amelyek területe 6 és 14. Határozza meg a magasságot, ha az oldala 4!
9) A trapézban az átlók 3 és 5, az alapok felezőpontjait összekötő szakasz pedig 2. Határozza meg a trapéz területét (Mekhmat, Moszkvai Állami Egyetem, 1970).
Nem a legnehezebb feladatokat választottam (ne féljetek a mekhmattól!) azok önálló megoldásának lehetőségére számítva. Dönts az egészségről! Ha matematikából kell felkészülni a vizsgára, akkor a trapézfelület képletének részvétele nélkül ebben a folyamatban még a B6 feladatnál is komoly problémák adódhatnak, és még inkább a C4-nél. Ne indítsa el a témát, és ha nehézségei vannak, kérjen segítséget. A matematika tanár mindig szívesen segít Önnek.
Kolpakov A.N.
Matek tanár Moszkvában, felkészülés a vizsgára Stroginoban.
Trapéz négyszögnek nevezzük csak kettő oldalai párhuzamosak egymással.
Ezeket az ábra alapjainak nevezik, a többit az oldalaknak. A paralelogramma az ábra speciális esetének tekinthető. Van egy görbe trapéz is, amely egy függvénygráfot tartalmaz. A trapéz területére vonatkozó képletek szinte minden elemét tartalmazzák, és a legjobb megoldást az adott értékek függvényében választják ki.
A trapéz fő szerepei a magassághoz és a középvonalhoz vannak hozzárendelve. középső vonal- ez az oldalak felezőpontjait összekötő egyenes. Magasság a trapézt derékszögben a felső saroktól az alapig húzzuk.
A trapéz magasságon áthaladó területe egyenlő az alapok hossza összegének felének szorzatával, szorozva a magassággal:
Ha a medián vonalat a feltételek szerint ismerjük, akkor ez a képlet nagymértékben leegyszerűsödik, mivel egyenlő az alapok hosszának összegének felével:
Ha a feltételeknek megfelelően minden oldal hosszát megadjuk, akkor megfontolhatunk egy példát a trapéz területének kiszámítására az alábbi adatokon keresztül: 
Tegyük fel, hogy adott egy trapéz, amelynek alapjai a = 3 cm, b = 7 cm, oldalai c = 5 cm, d = 4 cm. Határozd meg az ábra területét: 
Egy egyenlő szárú trapéz területe
Külön eset az egyenlő szárú trapéz, vagy más néven egy egyenlő szárú trapéz.
Különleges eset az egyenlő szárú (egyenlő szárú) trapéz területének megtalálása is. A képlet különféle módon származtatható - átlókon, az alappal szomszédos szögeken és a beírt kör sugarán keresztül.
Ha az átlók hosszát a feltételek határozzák meg, és ismert a köztük lévő szög, akkor a következő képletet használhatja:
Ne feledje, hogy egy egyenlő szárú trapéz átlói egyenlőek egymással!
Vagyis az egyik alapjuk, oldaluk és szögük ismeretében könnyen kiszámítható a terület.
Egy görbe vonalú trapéz területe
Külön eset az görbe vonalú trapéz. A koordinátatengelyen található, és egy folytonos pozitív függvény grafikonjára korlátozódik.
Alapja az X tengelyen található, és két pontra korlátozódik:
Az integrálok segítenek kiszámítani a görbe vonalú trapéz területét.
A képlet így van írva:
Vegyünk egy példát egy görbe vonalú trapéz területének kiszámítására. A képlet bizonyos ismereteket igényel, hogy bizonyos integrálokkal működjön. Először elemezzük a határozott integrál értékét: 
Itt F(a) az f(x) antiderivatív függvény értéke az a pontban, F(b) ugyanazon f(x) függvény értéke a b pontban. 
Most oldjuk meg a problémát. Az ábrán egy függvény által határolt görbe vonalú trapéz látható. Funkció 
Meg kell találnunk a kiválasztott ábra területét, amely egy görbe vonalú trapéz, amelyet felül egy grafikon határol, jobb oldalon egy x = (-8), bal oldalon egy x = ( -10) és az OX tengely lent van.
Az ábra területét a következő képlet segítségével számítjuk ki: 
A feladat feltételei alapján kapunk egy függvényt. Használatával minden pontunkban megtaláljuk az antiderivált értékeit:
Most
Válasz: egy adott görbe vonalú trapéz területe 4.
Ennek az értéknek a kiszámítása nem nehéz. Csak a számításoknál a legnagyobb körültekintés a fontos.
ÉS . Most elkezdhetjük megvizsgálni azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni a trapéz területét. Ez a feladat a mindennapi életben nagyon ritkán fordul elő, de néha szükségesnek bizonyul, például meg kell találni egy szoba területét trapéz formájában, amelyet egyre gyakrabban használnak a modern lakások építésében, vagy felújítási tervezési projektekben.
A trapéz egy geometriai alakzat, amelyet négy egymást metsző szakasz alkot, amelyek közül kettő párhuzamos egymással, és a trapéz alapjainak nevezzük. A másik két szakaszt a trapéz oldalainak nevezzük. Ezenkívül a későbbiekben szükségünk lesz egy másik meghatározásra. Ez a trapéz középvonala, amely az oldalak felezőpontjait és a trapéz magasságát összekötő szakasz, amely megegyezik az alapok távolságával.
A háromszögekhez hasonlóan a trapéznek is vannak bizonyos típusai: egyenlő szárú (egyenlő szárú) trapéz, amelyben az oldalak hossza megegyezik, és egy téglalap alakú trapéz, amelyben az egyik oldal derékszöget zár be az alapokkal.
A trapézoknak van néhány érdekes tulajdonsága:
- A trapéz középvonala az alapok összegének fele és párhuzamos velük.
- Az egyenlő szárú trapézok oldalai és szögei egyenlők az alappal.
- A trapéz átlóinak felezőpontja és átlóinak metszéspontja ugyanazon az egyenesen van.
- Ha egy trapéz oldalainak összege egyenlő az alapok összegével, akkor kör írható bele
- Ha a trapéz bármely alapjában az oldalai által alkotott szögek összege 90, akkor az alapok felezőpontjait összekötő szakasz hossza egyenlő a különbségük felével.
- Egy egyenlő szárú trapéz körrel írható le. És fordítva. Ha egy trapéz egy körbe van írva, akkor egyenlő szárú.
- Az egyenlő szárú trapéz alapjainak felezőpontjain átmenő szakasz merőleges lesz az alapjaira, és a szimmetriatengelyt képviseli.
Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét.
A trapéz területe alapjai összegének fele lesz szorozva a magasságával. Képlet formájában ezt kifejezésként írják le:
ahol S a trapéz területe, a,b a trapéz alapjainak hossza, h a trapéz magassága.
Ezt a képletet a következőképpen értheti meg és emlékezhet meg. Amint az alábbi ábrából következik, a középvonalat használó trapéz téglalappá alakítható, amelynek hossza megegyezik az alapok összegének felével.
Bármely trapézt egyszerűbb formákra is felbonthat: téglalapra és egy vagy két háromszögre, és ha könnyebb, akkor keresse meg a trapéz területét az alkotó alakzatok területének összegeként.
Van egy másik egyszerű képlet a terület kiszámítására. Eszerint a trapéz területe egyenlő a középvonalának és a trapéz magasságának szorzatával, és a következőképpen írható: S \u003d m * h, ahol S a terület, m a trapéz hossza. a középvonal, h a trapéz magassága. Ez a képlet alkalmasabb matematikai feladatokra, mint hétköznapi feladatokra, mivel valós körülmények között előzetes számítások nélkül nem ismerjük meg a középvonal hosszát. És csak az alapok és oldalak hosszát fogja tudni.
Ebben az esetben a trapéz területét a következő képlet segítségével találhatja meg:
S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2
ahol S a terület, a,b az alapok, c,d a trapéz oldalai.
Számos további módszer létezik a trapéz területének megtalálására. De körülbelül olyan kényelmetlenek, mint az utolsó képlet, ami azt jelenti, hogy nincs értelme rajtuk időzni. Ezért azt javasoljuk, hogy használja a cikk első képletét, és kívánjuk, hogy mindig pontos eredményeket kapjon.
A trapéz egy speciális négyszög, amelyben két szemközti oldal párhuzamos egymással, a másik kettő pedig nem. A különféle valós tárgyak trapéz alakúak, ezért előfordulhat, hogy a mindennapi vagy iskolai problémák megoldásához ki kell számítania egy ilyen geometriai alakzat kerületét.
Trapéz geometria
A trapéz (a görög "trapéz" szóból - táblázat) egy síkon lévő ábra, amelyet négy szegmens határol, amelyek közül kettő párhuzamos, kettő pedig nem. A párhuzamos szegmenseket a trapéz alapjainak, a nem párhuzamos szegmenseket pedig az ábra oldalainak nevezik. Az oldalak és dőlésszögeik határozzák meg a trapéz típusát, amely lehet sokoldalú, egyenlő szárú vagy téglalap alakú. Az alapokon és az oldalakon kívül a trapéznek további két eleme van:
- magasság - az ábra párhuzamos alapjai közötti távolság;
- középső vonal - az oldalak felezőpontjait összekötő szegmens.
Ez a geometriai alak a való életben elterjedt.
Trapéz a valóságban
A mindennapi életben sok valódi tárgy trapéz alakú. Könnyen találhat trapézokat az emberi tevékenység alábbi területein:
- belsőépítészet és dekoráció - kanapék, munkalapok, falak, szőnyegek, álmennyezetek;
- tájtervezés - pázsit és mesterséges tározók határai, dekorációs elemek formái;
- divat - ruházat, cipők és kiegészítők formája;
- építészet - ablakok, falak, épületalapok;
- gyártás - különféle termékek és részletek.
A trapézok ilyen széles körű használatával a szakembereknek gyakran ki kell számítaniuk egy geometriai alakzat kerületét.
A trapéz kerülete
Az ábra kerülete egy numerikus jellemző, amelyet az n-szög minden oldalának hosszának összegeként számítunk ki. A trapéz négyszög, és általában minden oldala eltérő hosszúságú, ezért a kerületet a következő képlettel számítjuk ki:
P = a + b + c + d,
ahol a és c az ábra alapja, b és d az oldalai.
Annak ellenére, hogy a trapéz kerületének számításakor nem kell tudnunk a magasságot, a számológép kódja megköveteli ezt a változót. Mivel a magasság semmilyen módon nem befolyásolja a számítást, online számológépünk használatakor bármilyen nullánál nagyobb magasságértéket megadhat. Nézzünk egy-két példát.
Példák az életből
Zsebkendő
Tegyük fel, hogy van egy A-vonalú sálad, és azt szeretnéd rojttal díszíteni. Ismernie kell a sál kerületét, hogy ne vásároljon extra anyagot, és ne menjen el kétszer a boltba. Legyen az Ön egyenlőszárú sála a következő paraméterekkel: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm. Ezeket az adatokat beírjuk az online űrlapba, és az űrlapon megkapjuk a választ:
Így a sál kerülete 340 cm, és ekkora a díszítésére szolgáló rojtos fonat.
lejtőkön
Például úgy dönt, hogy lejtőket készít a nem szabványos fém-műanyag ablakokhoz, amelyek trapéz alakúak. Az ilyen ablakokat széles körben használják az épületek tervezésében, több redőny összetételét létrehozva. Leggyakrabban az ilyen ablakok téglalap alakú trapéz formájában készülnek. Nézzük meg, mennyi anyag szükséges egy ilyen ablak lejtőinek befejezéséhez. A standard ablak a következő paraméterekkel rendelkezik: a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Ezeket az adatokat használjuk, és az eredményt a következő formában kapjuk meg
Ezért a trapéz alakú ablak kerülete 390 cm, és ennyiért kell műanyag paneleket vásárolni a rézsűk kialakításához.
Következtetés
A trapéz a mindennapi életben népszerű figura, melynek paramétereinek meghatározására a legváratlanabb helyzetekben is szükség lehet. A kerületek trapéz alakú kiszámítása sok szakember számára szükséges: a mérnököktől és építészektől a tervezőkig és a szerelőkig. Online számológépeink katalógusa lehetővé teszi, hogy számításokat végezzen bármilyen geometriai alakzatra és testre.
Ez a számológép 2192 feladatot számított ki a "Trapéz területe" témában
TRAPÉZ TÉR
Válassza ki a képletet a trapéz területének kiszámításához, amelyet a probléma megoldására alkalmazni kíván:
Általános elmélet a trapéz területének kiszámításához.
Trapéz - ez egy lapos alakzat, amely négy pontból áll, amelyek közül három nem egy egyenesen fekszik, és négy szegmensből (oldal), amelyek páronként összekötik ezt a négy pontot, amelyekben két szemközti oldal párhuzamos (párhuzamos vonalakon fekszik), és a a másik kettő nem párhuzamos.
A pontokat ún trapéz teteje és nagy latin betűkkel jelöljük.
A szegmenseket ún trapéz oldalai és egy nagy latin betűpárral jelöljük, amelyek megfelelnek a szegmensek által összekapcsolt csúcsoknak.
A trapéz két párhuzamos oldalát ún trapéz alapjai .
A trapéz két nem párhuzamos oldalát nevezzük trapéz oldalai .
1. ábra: Trapéz ABCD
Az 1. ábrán egy ABCD trapéz látható A, B, C, D csúcsokkal és AB, BC, CD, DA oldalakkal.
AB ǁ DC - az ABCD trapéz alapjai.
AD, BC az ABCD trapéz oldalai.
Az AB és AD sugarak által alkotott szöget az A csúcsban bezárt szögnek nevezzük. Ezt ÐA vagy ÐBAD vagy ÐDAB-ként jelöljük.
A BA és BC sugarak által alkotott szöget a B csúcsban bezárt szögnek nevezzük. Ezt ÐB vagy ÐABC, vagy ÐCBA jelzéssel jelöljük.
A CB és CD sugarak által alkotott szöget C csúcsszögnek nevezzük. Jelöljük ÐC vagy ÐDCB vagy ÐBCD.
Az AD és CD sugarak által alkotott szöget D csúcsszögnek nevezzük. Jelöljük: ÐD vagy ÐADC vagy ÐCDA.
2. ábra: Trapéz ABCD
A 2. ábrán az oldalak felezőpontjait összekötő MN szakaszt ún a trapéz középvonala.
A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével. Azaz, 
.
3. ábra: Egyenlőszárú ABCD trapéz
A 3. ábrán AD=BC.
A trapéz ún egyenlő szárú (egyenlő szárú) ha oldalai egyenlők.
4. ábra: Téglalap alakú ABCD trapéz
A 4. ábrán a D szög egyenes (90°).
A trapéz ún négyszögletes, ha a szög az oldalsó oldalon egyenes.
Square S lakásábrákat, amelyekhez a trapéz is hozzátartozik, síkon korlátos zárt térnek nevezzük. Egy lapos figura területe ennek az alaknak a méretét mutatja.
A területnek több ingatlanja van:
1. Nem lehet negatív.
2. Ha egy síkon olyan zárt területet adunk meg, amely több, egymással nem metsző alakzatból áll (azaz az ábráknak nincs közös belső pontja, de jól érinthetik egymást), akkor az egy ilyen terület egyenlő az alkotó számok területének összegével.
3. Ha két szám egyenlő, akkor területük egyenlő.
4. Egy egységszegmensre épített négyzet területe eggyel egyenlő.
Mögött Mértékegység mérések terület vegyük egy négyzet területét, amelynek oldala egyenlő Mértékegység mérések szegmensek.
A problémák megoldása során gyakran használják a következő képleteket a trapéz területének kiszámításához:
1. A trapéz területe alapjai összegének fele szorozva a magasságával:
2. A trapéz területe egyenlő a középvonalának és magasságának szorzatával:
3. A trapéz alapjainak és oldalainak ismert hossza mellett a területe a következő képlettel számítható ki: 
4. A következő képlet segítségével kiszámítható egy egyenlő szárú trapéz területe, amelynek a kör sugara ismert a trapézba írt hossza és az alapnál ismert szög értéke:
1. példa: Számítsa ki egy trapéz területét, amelynek alapjai a=7, b=3 és h=15 magasságúak.
Döntés:
Válasz:
2. példa: Határozzuk meg az S=35 cm 2 területű, h=7 cm magasságú és a második b = 2 cm-es trapéz alapjának oldalát!
Döntés:
A trapéz alapjának oldalának megtalálásához a terület kiszámításához a következő képletet használjuk:
Ebből a képletből kifejezzük a trapéz alapjának oldalát:
Így a következőkkel rendelkezünk:
Válasz:
3. példa: Határozzuk meg egy trapéz magasságát, amelynek területe S=17 cm2, alapjai a=30 cm, b=4 cm.
Döntés:
A trapéz magasságának meghatározásához a terület kiszámítására szolgáló képletet használjuk:
Így a következőkkel rendelkezünk:
Válasz:
4. példa: Számítsa ki a h=24 magasságú és m=5 középvonalú trapéz területét.
Döntés:
A trapéz területének meghatározásához használja a következő képletet a terület kiszámításához:
Így a következőkkel rendelkezünk:
Válasz:
5. példa: Határozzuk meg az S = 48 cm 2 területű és m = 6 cm középvonalú trapéz magasságát!
Döntés:
A trapéz magasságának meghatározásához a következő képletet használjuk a trapéz területének kiszámítására:
A trapéz magasságát ebből a képletből fejezzük ki:
Így a következőkkel rendelkezünk:
Válasz:
6. példa: Keresse meg az S = 56 területű és h = 4 magasságú trapéz középvonalát.
Döntés:
A trapéz középvonalának meghatározásához a következő képletet használjuk a trapéz területének kiszámítására:
Ebből a képletből kifejezzük a trapéz középvonalát:
Így a következőket kapjuk.