Téglalap alakú gúla térfogata. Szabályos piramis térfogata
Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
- Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.
Feltárás harmadik felek számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Abban az esetben, ha ez szükséges - a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján - fedje fel személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű okokból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
Olyan poliédert nevezünk, amelynek alapja szabályos háromszög, a többi lapja pedig egyenlő szárú háromszög háromszög alakú piramis.Egy másik ilyen piramist tetraédernek neveznek.
Egy szabályos piramisnak számos olyan tulajdonsága van, amelyek az alkotó figuráiból származnak:
- Az alap minden oldala egyenlő egymással, mert azt egy szabályos háromszög ábrázolja;
- A piramis minden éle is egyenlő egymással;
- Mert minden lap egy egyenlő szárú háromszöget alkot, amelyben az élek egyenlőek és az alapok egyenlőek, akkor azt mondhatjuk, hogy az egyes lapok területe azonos;
- Minden diéder szög az alapnál egyenlő.
Kiszámítása az alap és az oldalsó letapogatás területének összegeként történik. Megtalálható az egyik oldalfelület és az alap területének kiszámításával is. A háromszög alakú piramis térfogatának képlete a háromszögek tulajdonságaiból is származik, amelyekből áll:
Az alapterületet a következő képletből számítjuk ki: 
Vegyünk egy példát egy háromszög alakú piramis térfogatának kiszámítására.
Legyen adott egy háromszög alakú piramis. Az alap oldala a = 2 cm, magassága h = 2√3. Keresse meg az adott poliéder térfogatát!
Először is keressük meg az alap területét. Ehhez az ismert adatokat behelyettesítjük a fenti képletbe: 
Most a talált értéket használjuk a háromszög alakú piramis térfogatának kiszámításához: 
A háromszög alakú piramis területének kiszámításához egy rövidített képlet is használható. Egyesíti az alapterületet és a magasságot, és egy ilyen képletet a piramis alapterületének és magasságának szorzatának egyharmadaként olvas:
Ennek a képletnek a használatával fontos szigorúan betartani a számításokat és a csökkentéseket. Egy apró hiba hibás eredményhez vezethet. Általában véve egy szabályos háromszög alakú piramis térfogatának meghatározása nagyon egyszerű.
Piramis meghatározása
Piramis egy poliéder, amelynek alapja sokszög, lapjai pedig háromszögek.
Online számológép
A piramisnak van borda. Azt mondhatjuk, hogy egy ponthoz húzódnak, ún csúcstalálkozó ezt a piramist. Neki alapján tetszőleges sokszög lehet. él- ez az a figura, amely a két legközelebbi élnek az alap oldalával való egyesülése eredményeként jön létre. A piramis lapja háromszög. A piramis csúcsától az alap oldalának közepéig mért távolságot ún apothema. Magasság Piramisnak nevezzük annak a merőlegesnek a hosszát, amely a tetejétől az alapja közepéig húzódik.
A piramisok típusai
A következő típusú piramisok léteznek.
- Négyszögletes- éle 90 fokos szöget zár be az alappal.
- helyes- alapja valamilyen szabályos sokszög, és a csúcs ennek az alapnak a közepébe vetül.
- Tetraéder Piramis háromszöggel az alján.
Piramistérfogat képletek
A piramis térfogata többféleképpen is megtalálható.
A piramis alapterülete és magassága szerint
Piramis térfogata alapterület és magasság szerintAz alapterület egyharmadának egyszerű szorzata a piramis magasságával a térfogata.
V = 1 3 ⋅ S fő ⋅ h V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(main))\cdot hV =3 1 ⋅ S fő- ⋅ h
S main S_(\text(fő)) S fő-
- a piramis alapterülete;
h h h a piramis magassága.
A piramis alapterülete a 100 cm 2 100\szöveg( cm)^2 1 0 0 cm2 , magassága pedig az 30 cm 30\szöveg( cm) 3 0 cm. Keresse meg a test térfogatát.
Megoldás
S main = 100 S_(\text(main))=100S fő-
=
1
0
0
h=30 h=30 h =3
0
Ismerjük az összes mennyiséget, számértékeiket behelyettesítjük a képletbe, és megtaláljuk:
V = 1 3 ⋅ S fő ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(main))\cdot h=\frac(1)( 3)\cdot 100\cdot 30=1000\text(cm)^3V =3 1 ⋅ S fő- ⋅ h =3 1 ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 cm3
Válasz
1000 cm3. 1000\szöveg(cm)^3.1 0 0 0 cm3 .
A szabályos háromszög alakú gúla térfogatának képlete
Ez a módszer akkor megfelelő, ha a piramis szabályos és háromszög alakú.
Szabályos háromszög alakú piramis térfogataV = h ⋅ a 2 4 3 V=\frac(h\cdot a^2)(4\sqrt(3))V =4 3 h ⋅ a 2
H h h- a piramis magassága;
a a a
Számítsa ki egy szabályos háromszög alakú gúla térfogatát, ha az alapja egy egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldala egyenlő 5 cm 5\szöveg( cm) 5 cm, és a piramis magassága 19 cm 19\szöveg( cm) 1 9 cm.
Megoldás
A=5 a=5 a =5
h=19 h=19 h =1
9
Csak cserélje ki ezeket az értékeket a térfogat képletébe:
V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68,6 cm 3 (4\sqrt(3))\kb.68,6\text( cm)^3V =4 3 h ⋅ a 2 = 4 3 1 9 ⋅ 5 2 ≈ 6 8 . 6 cm3
Válasz
68,6 cm3. 68,6\szöveg(cm)^3.6 8 . 6 cm3 .
A szabályos négyszög gúla térfogatának képlete
Szabályos négyszög alakú piramis térfogataV = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2V =3 1 ⋅ h ⋅a 2
H h h- a piramis magassága;
a a a a piramis alapjának oldala.
Adott egy szabályos négyszög alakú piramis. Számítsa ki a térfogatát, ha a magassága az 7cm 7\szöveg(cm) 7 cm, és az alap oldala - 2 cm 2\szöveg( cm) 2 cm.
Megoldás
A=2 a=2 a =2
h=7 h=7 h =7
Számítsa ki a képlet szerint:
V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9,3 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2=\frac(1)(3)\cdot 7\cdot 2^2\kb.9,3\szöveg(cm)^3V =3 1 ⋅ h ⋅a 2 = 3 1 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 cm3
Válasz
9,3 cm3. 9,3\szöveg(cm)^3.9 . 3 cm3 .
A tetraéder térfogati képlete
Egy tetraéder térfogataV = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)V =1 2 2 ⋅ a 3
A a a a tetraéder élének hossza.
4. feladatA tetraéder élhossza 13 cm 13\szöveg( cm) 1 3 cm. Keresse meg a térfogatát.
Megoldás
A=13 a=13 a =1 3
Helyettes a a a a tetraéder térfogatának képletébe:
V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 cm 3 3)(12)\kb. 259\szöveg(cm)^3V =1 2 2 ⋅ a 3 = 1 2 2 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 5 9 cm3
Válasz
259 cm3. 259\szöveg(cm)^3.
A piramistérfogat képlete, mint meghatározó
Valószínűleg a legegzotikusabb módszer egy adott test térfogatának kiszámítására.
Adjuk meg a vektorokat, amelyekre a piramis épül, mint az oldalakon. Ekkor a térfogata egyenlő lesz a vektorok vegyes szorzatának egyhatodával. Ez utóbbi pedig egyenlő az ezen vektorok koordinátáiból összeállított determinánssal. Tehát, ha a piramis három vektorra épül:
a ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)
akkor a megfelelő piramis térfogata ilyen meghatározó:
A piramis térfogata a determinánson keresztülV = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmátrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\_c_x & cvmatrix )
5. feladatHatározza meg a piramis térfogatát olyan vektorok vegyes szorzatán keresztül, amelyek koordinátái:
Megoldás
a ⃗ = (2, 3, 5) \vec(a)=(2,3,5)
A képlet szerint:
V = 1 6 ⋅ ∣ 2 3 5 1 4 4 3 5 7 ∣ = 1 6 ⋅ (2 ⋅ 4 ⋅ 7 + 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 1 ⋅ 5 − 5 ⋅ 1 ⋅ 5 − 5 ⋅ 4 − 3 ⋅ 1 ⋅ 7) = 1 6 ⋅ (56 + 36 + 25 − 60 − 40 − 21) = 1 6 ⋅ (− 4) = − 2 3 ≈ − 0,7 V=\frac(1)(6)\ cdot\begin(vmatrix) 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7) =\frac(1)(6)\cdot(56 + 36 + 25 - 60 - 40-21)=\frac(1)(6)\cdot(-4)=-\frac(2)(3)\körülbelül-0,7
Ennek a számnak a modulusát kell vennünk, mivel a térfogat nem negatív érték:
V=0,7 cm 3 V=0,7\szöveg( cm)^3
Válasz
0,7 cm3. 0,7\szöveg(cm)^3.
négyszög alakú piramis A poliédert olyan poliédernek nevezzük, amelynek alapja négyzet, és minden oldallapja azonos egyenlő szárú háromszög.
Ennek a poliédernek számos különböző tulajdonsága van:
- Oldalbordái és a szomszédos kétszögek egyenlőek egymással;
- Az oldallapok területei azonosak;
- Egy szabályos négyszög alakú piramis alján egy négyzet található;
- A piramis tetejéről leejtett magasság metszi az alap átlóinak metszéspontját.
Mindezek a tulajdonságok megkönnyítik a keresést. Gyakran azonban ezen kívül ki kell számítani a poliéder térfogatát. Ehhez alkalmazza a négyszög alakú piramis térfogatának képletét:
Vagyis a piramis térfogata egyenlő a piramis magasságának és az alapterületének szorzatának egyharmadával. Mivel egyenlő oldalainak szorzatával, azonnal beírjuk a négyzetterület képletét a térfogatkifejezésbe.
Vegyünk egy példát egy négyszög alakú piramis térfogatának kiszámítására.
Legyen adott egy négyszög alakú gúla, melynek alapjában egy a = 6 cm oldalú négyzet fekszik, melynek oldallapja b = 8 cm. Határozza meg a gúla térfogatát! 
Egy adott poliéder térfogatának meghatározásához szükségünk van a magasságának hosszára. Ezért a Pitagorasz-tétel alkalmazásával meg fogjuk találni. Először is számítsuk ki az átló hosszát. A kék háromszögben ez lesz a hipotenusz. Azt is érdemes megjegyezni, hogy a négyzet átlói egyenlőek egymással, és a metszéspontban ketté vannak osztva: 
Most a piros háromszögből találjuk meg a szükséges h magasságot. Ez egyenlő lesz: 
Helyettesítse be a szükséges értékeket, és keresse meg a piramis magasságát:
Most a magasság ismeretében helyettesíthetjük a képletben szereplő összes értéket a piramis térfogatára, és kiszámíthatjuk a szükséges értéket:
Így néhány egyszerű képlet ismeretében ki tudtuk számolni egy szabályos négyszög alakú gúla térfogatát. Ne felejtse el, hogy ezt az értéket köbegységben mérik.
Meghatározás. Oldal arc- ez egy háromszög, amelyben az egyik szög a piramis tetején fekszik, és a másik oldala egybeesik az alap oldalával (sokszög).
Meghatározás. Oldalsó bordák az oldallapok közös oldalai. A piramisnak annyi éle van, ahány sarka van egy sokszögben.
Meghatározás. piramis magassága a piramis tetejéről az aljára ejtett merőleges.
Meghatározás. Apothem- ez a piramis oldallapjának merőlegese, a gúla tetejétől az alap oldaláig leeresztve.
Meghatározás. Átlós szakasz- ez a piramisnak a gúla tetején és az alap átlóján átmenő sík által metszett szakasza.
Meghatározás. Helyes piramis- Ez egy piramis, amelyben az alap egy szabályos sokszög, és a magassága az alap közepéig csökken.
A piramis térfogata és felülete
Képlet. piramis térfogata alapterületen és magasságon keresztül:
piramis tulajdonságai
Ha minden oldalél egyenlő, akkor a piramis alapja köré kör írható, és az alap középpontja egybeesik a kör középpontjával. Ezenkívül a felülről leejtett merőleges áthalad az alap (kör) közepén.
Ha minden oldalborda egyenlő, akkor ugyanolyan szögben dőlnek az alapsíkhoz.
Az oldalsó bordák akkor egyenlőek, ha egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal, vagy ha kör írható le a gúla alapja körül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alap síkjához, akkor a piramis alapjába kör írható, és a gúla teteje a középpontjába vetül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alapsíkhoz, akkor az oldallapok apotémája egyenlő.
Szabályos piramis tulajdonságai
1. A piramis teteje egyenlő távolságra van az alap minden sarkától.
2. Minden oldalél egyenlő.
3. Minden oldalsó borda ugyanolyan szögben dől el az alaphoz képest.
4. Minden oldallap apotémje egyenlő.
5. Az összes oldalfelület területe egyenlő.
6. Minden lapnak azonos kétszögű (lapos) szöge van.
7. A piramis körül egy gömb írható le. A leírt gömb középpontja az élek közepén átmenő merőlegesek metszéspontja lesz.
8. Gúlába beleírható egy gömb. A beírt gömb középpontja az él és az alap közötti szögből kiinduló felezők metszéspontja lesz.
9. Ha a beírt gömb középpontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával, akkor a csúcson lévő lapos szögek összege egyenlő π-vel vagy fordítva, egy szög egyenlő π / n-nel, ahol n a szám szögek a piramis alján.
A piramis kapcsolata a gömbbel
A gúla körül egy gömb írható le, ha a piramis alján egy poliéder fekszik, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja a gúla oldaléleinek felezőpontjain át merőlegesen átmenő síkok metszéspontja lesz.
Egy gömb mindig leírható bármely háromszög vagy szabályos piramis körül.
Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső kétszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
A piramis és a kúp kapcsolata
A kúpot beírtnak nevezzük a gúlába, ha a csúcsuk egybeesik, és a kúp alapja a gúla alapjába van írva.
A gúlába akkor írhatunk kúpot, ha a piramis apotémjei egyenlőek.
A kúpról azt mondjuk, hogy körülírt egy gúla, ha csúcsai egybeesnek, és a kúp alapja a gúla alapja körül van körülírva.
A gúla körül kúp írható le, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással.
Piramis kapcsolata hengerrel
Egy piramisról azt mondjuk, hogy bele van írva egy hengerbe, ha a piramis teteje a henger egyik alján, a piramis alapja pedig a henger másik alján található.
Egy henger körülírható egy piramis körül, ha kör írható a gúla alapja köré.
A tetraédernek négy lapja és négy csúcsa és hat éle van, ahol bármelyik két élnek nincs közös csúcsa, de nem érintkeznek.
Minden csúcs három lapból és élből áll háromszögű.
A tetraéder csúcsát a szemközti lap középpontjával összekötő szakaszt ún a tetraéder mediánja(GM).
Bimedian Az egymással nem érintkező élek felezőpontjait összekötő szakasznak nevezzük (KL).
A tetraéder minden bimediánja és mediánja egy pontban (S) metszi egymást. Ebben az esetben a bimediánokat felezzük, a mediánokat pedig 3:1 arányban, felülről indulva.
Meghatározás. Élesszögű piramis olyan piramis, amelyben az apotém az alap oldalhosszának több mint fele.
Meghatározás. tompa piramis olyan piramis, amelyben az apotém kisebb, mint az alap oldalhosszának fele.
Meghatározás. szabályos tetraéder Tetraéder, amelynek négy lapja egyenlő oldalú háromszög. Ez az öt szabályos sokszög egyike. Egy szabályos tetraéderben minden diéderszög (a lapok között) és háromszögszög (egy csúcsban) egyenlő.
Meghatározás. Téglalap alakú tetraéder tetraédernek nevezzük, amelynek a csúcsánál három él között derékszög van (az élek merőlegesek). Három arc alakul ki téglalap háromszögűés a lapok derékszögű háromszögek, az alap pedig egy tetszőleges háromszög. Bármely arc apotémája megegyezik az alap oldalának felével, amelyre az apotém esik.
Meghatározás. Izoéderes tetraéder Tetraédernek nevezzük, amelyben az oldallapok egyenlőek egymással, és az alapja egy szabályos háromszög. Az ilyen tetraéder lapjai egyenlő szárú háromszögek.
Meghatározás. Ortocentrikus tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a felülről a szemközti lapra süllyesztett összes magasság (merőleges) egy pontban metszi egymást.
Meghatározás. csillag piramis Olyan poliédert nevezünk, amelynek alapja egy csillag.
