Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss-módszerrel. Gauss-módszer bábukhoz: a slough egyszerű megoldása

Tekintsük a rendszer pontos megoldási módszereit; itt a dimenziómátrix

Egy feladatmegoldási módszer egzaktnak minősül, ha a kerekítés hiányát feltételezve véges számú aritmetikai és logikai művelet után ad pontos megoldást a feladatra. Ha a rendszermátrix nullától eltérő elemeinek száma nagyságrendileg nagyságrendű, akkor az ilyen rendszerek megoldására jelenleg legtöbbször használt egzakt módszereknél nagyságrendileg a szükséges műveletek száma. Ezért az egzakt módszerek alkalmazhatóságához szükséges, hogy a műveletek számának ez a sorrendje elfogadható legyen egy adott számítógépen; egyéb korlátozásokat a számítógép memóriájának térfogata és szerkezete támaszt.

A „jelenleg használt módszerekre” vonatkozó kitétel a következő jelentéssel bír. Léteznek módszerek az ilyen, alacsonyabb műveletszámú rendszerek megoldására, de ezeket nem használják aktívan az eredmény számítási hibára való erős érzékenysége miatt.

A lineáris egyenletrendszerek megoldásának leghíresebb egzakt módszere a Gauss-eliminációs módszer. Tekintsük annak egyik lehetséges megvalósítását. Feltételezve, hogy a rendszer első egyenlete

osztva az együtthatóval, az eredmény az egyenlet

Ezután minden fennmaradó egyenletből kivonjuk az első egyenletet, és megszorozzuk a megfelelő együtthatóval. Ennek eredményeként ezek az egyenletek formává alakulnak

Az első ismeretlent az első kivételével minden egyenletből kizárták. Továbbá, feltéve, hogy a második egyenletet elosztjuk egy együtthatóval, és az ismeretlent kiküszöböljük minden egyenletből, kezdve a másodikkal stb. Az ismeretlenek szekvenciális kiiktatása eredményeként az egyenletrendszer egyenletrendszerré alakul háromszög alakú mátrixszal

Az elvégzett számítások halmazát, amely során az eredeti feladatot (2) alakra alakították át, a Gauss-módszer közvetlen progressziójának nevezzük.

A (2) rendszer egyenletéből meghatározzuk , -tól stb. -ig. Az ilyen számítások halmazát a Gauss-módszer inverzének nevezzük.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a Gauss-módszer előrehaladásának megvalósítása aritmetikai műveleteket igényel, míg a fordított - aritmetikai műveleteket.

Kivétel a következő műveletek eredményeként adódik: 1) az egyenlet elosztása -vel, 2) a kapott egyenlet szorzata kivonása a k számú egyenletekből. Az első művelet egyenértékű a bal oldali egyenletrendszer átlós mátrixszal való megszorzásával

a második művelet egyenértékű a mátrixszal való bal oldali szorzással

Így a transzformációk eredményeként kapott (2) rendszer a formába kerül

A bal (jobb) háromszögmátrixok szorzata egy bal (jobb) háromszögmátrix, ezért a C mátrix bal háromszögű. Az inverz mátrix elemeinek képletéből

ebből következik, hogy a bal (jobb) háromszögmátrix inverze bal (jobb) háromszög alakú. Ezért a mátrix bal háromszög alakú.

Mutassuk be a megnevezést. A konstrukció szerint a D mátrix is ​​derékszögű háromszög alakú. Innen az A mátrixot a bal és jobb oldali háromszögmátrixok szorzataként kapjuk meg:

Az egyenlőség a feltétellel együtt egyenletrendszert alkot a B és: háromszögmátrixok elemeire. Mivel at és at , ez a rendszer a formában írható

(3)

vagy mi ugyanaz,

Abból a feltételből, hogy mindent megkapunk, egy ismétlődő relációrendszert kapunk az elemek meghatározásához és:

A számításokat egymás után hajtják végre a populációkra. Itt és lent, abban az esetben, ha a felső összegzési határ kisebb, mint az alsó, a teljes összeget nullának tekintjük.

Így az (1) rendszer (2) formává történő szekvenciális transzformációja helyett lehetséges a B mátrixok közvetlen kiszámítása a (4) képletekkel. Ezeket a számításokat csak akkor lehet elvégezni, ha minden elem nullától eltérő. Legyen az A, B, D mátrixok rendjének fő minorjainak mátrixai. A (3) szerint. Mert akkor . Ennélfogva,

Tehát a (4) képletekkel végzett számításokhoz szükséges és elegendő a feltételek teljesítése

Számos esetben előre ismert, hogy az (5) feltétel teljesül. Például a matematikai fizika sok problémája az A pozitív határozott mátrixú rendszerek megoldásán múlik. Általános esetben azonban ezt nem lehet előre megmondani. Lehetséges a következő eset is: mind , de a mennyiségek között vannak nagyon kicsik, és ezekkel osztva nagy számokat kapunk nagy abszolút hibával. Ennek eredményeként a megoldás erősen torz lesz.

Jelöljük. Mivel és , akkor az egyenlőségek érvényesek. Így az eredeti rendszer mátrixának bal és jobb oldali háromszögmátrixok szorzatára bontása után az eredeti rendszer megoldása két háromszögmátrixú rendszer szekvenciális megoldására redukálódik; ehhez számtani műveletekre lesz szükség.

Az A mátrix háromszögmátrixok szorzatára bontásának és a d vektor meghatározásának műveletsorát gyakran kényelmes kombinálni. Egyenletek

formába írható rendszerek

Ezért az értékek más értékekkel egyidejűleg is kiszámíthatók a (4) képletekkel.

Gyakorlati feladatok megoldása során gyakran szükség van egyenletrendszerek megoldására nagyszámú nulla elemet tartalmazó mátrixszal.

Ezek a mátrixok jellemzően úgynevezett szalagszerkezettel rendelkeznek. Pontosabban, az A mátrixot -diagonálisnak nevezzük, vagy sávszerkezetűnek nevezzük, ha for . A számot a szalag szélességének nevezzük. Kiderül, hogy egy szalagmátrixú egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során jelentősen csökkenthető az aritmetikai műveletek száma és a szükséges számítógépmemória mennyisége.

1. Feladat Vizsgáljuk meg a Gauss-módszer jellemzőit és a rendszer megoldási módját az A sávmátrix bal és jobb oldali háromszögmátrixok szorzatára történő felbontásával! Mutassuk meg, hogy a megoldás megtalálásához aritmetikai műveletek szükségesek (for ). Keresse meg a tárgyi műveletek számának vezető tagját.

2. Feladat. A szalagmátrixok Gauss-módszerével becsülje meg a betöltött számítógépmemória mennyiségét!

Számítógép nélkül végzett számítások esetén nagy a véletlenszerű hibák valószínűsége. Az ilyen hibák kiküszöbölésére időnként egy vezérlőrendszert vezetnek be, amely a rendszeregyenletek vezérlőelemeiből áll

Az egyenletek transzformációja során a vezérlőelemeken ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, mint az egyenletek szabad tagjain. Ennek eredményeként minden új egyenlet vezérlőelemének meg kell egyeznie ezen egyenlet együtthatóinak összegével. A köztük lévő nagy eltérés a számítások hibáit vagy a számítási algoritmus számítási hibához viszonyított instabilitását jelzi.

Például abban az esetben, ha egy egyenletrendszert a (4) képletekkel redukálunk, a rendszer minden egyenletének vezérlőelemét ugyanazokkal a (4) képletekkel számítjuk ki. Az összes elem fix értékre történő kiszámítása után a szabályozás az egyenlőség ellenőrzésével történik

A Gauss-módszer inverzéhez a rendszervonalak vezérlőelemeinek kiszámítása is társul.

A számítási hiba katasztrofális hatásának elkerülésére a Gauss-módszert alkalmazzuk a főelem kiválasztásánál.

A fentiekben ismertetett Gauss-módszer sémától való eltérése a következő. Legyen az egyenletrendszer az ismeretlenek kiiktatásával

Találjunk valamit, amit újratervezünk és ; Ezután minden egyenletből kiküszöböljük az ismeretlent, kezdve a -val. Ez az újratervezés az ismeretlenek kiküszöbölésének sorrendjének megváltozásához vezet, és sok esetben jelentősen csökkenti a megoldás érzékenységét a számítások kerekítési hibáira.

Gyakran több egyenletrendszert kell megoldani ugyanazzal az A mátrixszal. Célszerű a következőképpen eljárni: a jelölés bevezetésével

Végezzünk számításokat a (4) képletekkel, és számítsuk ki az elemeket a -nál. Ennek eredményeként p egyenletrendszert kapunk az eredeti feladatnak megfelelő háromszögmátrixszal

Ezeket a rendszereket külön-külön oldjuk meg. Kiderül, hogy p egyenletrendszer ily módon történő megoldásakor az aritmetikai műveletek száma összesen .

A fent leírt technikát néha arra használják, hogy jelentős többletköltségek nélkül ítéljenek meg a számítások kerekítési hibáiból eredő döntési hibáról. Ezeket egy z vektor határozza meg, amelynek komponensei, ha lehetséges, azonos sorrendű és előjelűek, mint a kívánt megoldás komponensei; gyakran elegendő információ hiánya miatt veszik át. Kiszámoljuk a vektort, és az eredeti egyenletrendszerrel együtt a rendszert is megoldjuk.

Legyen és z ezeknek a rendszereknek a ténylegesen kapott megoldásai. A kívánt megoldás hibájáról a hipotézis alapján adható ítélet: az azonos mátrixú és különböző jobboldali rendszerek megoldásánál a relatív hibák, amelyek a mennyiségek és az eliminációs módszer szerint nem különböznek nagyon sok alkalommal.

Egy másik módszer a számítások kerekítéséből adódó hiba valós nagyságáról való ítéletalkotásra a skála megváltoztatása, megváltoztatva a számítási hiba halmozódásának képét.

Az eredeti rendszerrel együtt a rendszer is ugyanazzal a módszerrel van megoldva

Amikor és nem kettő egész hatványa, a vektorok összehasonlítása képet ad a számítási hiba nagyságáról. Például vehetsz .

Számos probléma tanulmányozása szükségessé teszi a szimmetrikus pozitív határozott mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldását. Ilyen rendszerek például a differenciálegyenletek végeselemes módszerrel vagy véges differencia módszerrel történő megoldásakor merülnek fel. Ezekben az esetekben a rendszermátrixnak is van szalagszerkezete.

Az ilyen rendszerek, valamint az általánosabb formájú egyenletrendszerek megoldására hermitiánus mátrixszal, amely nem feltétlenül pozitív definit, a négyzetgyök módszert (Cholesky-módszer) alkalmazzuk. Az A mátrixot a következőképpen ábrázoljuk

ahol S egy derékszögű háromszögmátrix és konjugátuma, azaz.

ahol minden egy átlós mátrix, amelynek elemei egyenlő vagy -1. A mátrixegyenlőség (6) egyenletrendszert alkot

A hasonló egyenleteket el kell vetni, mivel a és pároknak megfelelő egyenletek egyenértékűek. Innen ismétlődő képleteket kapunk az elemek meghatározásához, és:

Az S mátrix derékszögű háromszög alakú, így a (6) reprezentáció megszerzése után az eredeti rendszer megoldása is redukálódik két háromszögmátrixú rendszer szekvenciális megoldására. Vegye figyelembe, hogy minden és .

3. feladat. Becsülje meg az aritmetikai műveletek számát és a számítógép memóriaterhelését (feltéve, hogy az A mátrix memorizálásához szükséges memória mennyisége csökken), ha egy valós pozitív határozott A mátrixú rendszert négyzetgyök módszerrel oldunk meg!

A matematikai fizika határérték-problémáinak végeselemes módszerrel történő megoldására szolgáló számos alkalmazási szoftvercsomag a következő séma szerint van felszerelve. Az A rendszer mátrixának kialakítása után sorok és oszlopok átrendezésével (a sorok és az oszlopok is átrendeződnek egyszerre), a rendszer a legkisebb szalagszélességű formára konvertálódik. Ezután a négyzetgyök módszert alkalmazzuk. Ebben az esetben a számítások számának csökkentése érdekében, ha egy rendszert más jobb oldallal oldunk meg, az S mátrixot megjegyezzük.

Ebben a cikkben a módszert lineáris egyenletrendszerek (SLAE) megoldási módszerének tekintjük. A módszer analitikus, azaz lehetővé teszi egy megoldási algoritmus írását általános formában, majd az ott található konkrét példákból helyettesítő értékeket. A mátrixmódszerrel vagy a Cramer-képletekkel ellentétben lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során olyanokkal is dolgozhatunk, amelyeknek végtelen számú megoldása van. Vagy egyáltalán nincs meg nekik.

Mit jelent Gauss-módszerrel megoldani?

Először is fel kell írnunk az egyenletrendszerünket a Így néz ki. Vegyük a rendszert:

Az együtthatók táblázat formájában, a szabad kifejezések pedig külön oszlopban a jobb oldalon. A szabad kifejezéseket tartalmazó oszlop a kényelem kedvéért el van különítve, az ezt az oszlopot tartalmazó mátrixot kiterjesztettnek nevezzük.

Ezután az együtthatókkal rendelkező fő mátrixot egy felső háromszög alakúra kell redukálni. Ez a fő pontja a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának. Egyszerűen fogalmazva, bizonyos manipulációk után a mátrixnak úgy kell kinéznie, hogy a bal alsó része csak nullákat tartalmazzon:

Ezután, ha az új mátrixot egyenletrendszerként újra felírja, észreveszi, hogy az utolsó sorban már szerepel az egyik gyök értéke, amelyet aztán behelyettesítünk a fenti egyenletbe, egy másik gyökér található, és így tovább.

Ez a Gauss-módszer szerinti megoldás leírása a legáltalánosabb kifejezésekkel. Mi történik, ha hirtelen a rendszernek nincs megoldása? Vagy végtelenül sok van belőlük? Ezen és sok más kérdés megválaszolásához külön figyelembe kell venni a Gauss-módszer megoldásában használt összes elemet.

Mátrixok, tulajdonságaik

A mátrixban nincs rejtett jelentés. Ez egyszerűen egy kényelmes módja az adatok rögzítésének a vele végzett későbbi műveletekhez. Még az iskolásoknak sem kell félniük tőlük.

A mátrix mindig téglalap alakú, mert kényelmesebb. Még a Gauss-módszerben is, ahol minden egy háromszög alakú mátrix megalkotásán múlik, egy téglalap jelenik meg a bejegyzésben, csak nullákkal azon a helyen, ahol nincsenek számok. Lehet, hogy a nullákat nem írják le, de beleértettek.

A mátrixnak van mérete. A „szélessége” a sorok száma (m), a „hossza” az oszlopok száma (n). Ekkor az A mátrix méretét (a latin nagybetűket szokták jelölni) A m×n-ként jelöljük. Ha m=n, akkor ez a mátrix négyzet, és m=n a sorrendje. Ennek megfelelően az A mátrix bármely eleme jelölhető sor- és oszlopszámaival: a xy ; x - sorszám, változások, y - oszlopszám, változások.

B nem a döntés lényege. Elvileg minden művelet közvetlenül végrehajtható magával az egyenletekkel, de a jelölés sokkal körülményesebb lesz, és sokkal könnyebb lesz összezavarodni benne.

Döntő

A mátrixnak is van determinánsa. Ez egy nagyon fontos jellemző. Nem kell most kideríteni a jelentését, egyszerűen megmutathatja, hogyan számítják ki, majd megmondja, hogy a mátrix mely tulajdonságait határozza meg. A determináns megtalálásának legegyszerűbb módja az átlók segítségével. A mátrixba képzeletbeli átlókat rajzolnak; az mindegyiken elhelyezkedő elemeket megszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk: jobbra lejtős átlók - pluszjellel, balra lejtéssel - mínusz előjellel.

Rendkívül fontos megjegyezni, hogy a determináns csak négyzetmátrixra számítható. Téglalap alakú mátrix esetén a következőket teheti: válassza ki a legkisebbet a sorok és az oszlopok számából (legyen k), majd véletlenszerűen jelöljön ki a mátrixban k oszlopot és k sort. A kijelölt oszlopok és sorok metszéspontjában lévő elemek új négyzetmátrixot alkotnak. Ha egy ilyen mátrix determinánsa nem nulla szám, akkor az eredeti téglalap alakú mátrix alap-molljának nevezzük.

Mielőtt elkezdené egy egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldását, nem árt kiszámolni a determinánst. Ha kiderül, hogy nulla, akkor azonnal kijelenthetjük, hogy a mátrixnak vagy végtelen sok megoldása van, vagy nincs is. Ilyen szomorú esetben tovább kell menni, és megtudni a mátrix rangját.

Rendszerbesorolás

Van olyan, hogy egy mátrix rangja. Ez a nem nulla determináns maximális sorrendje (ha emlékszünk az alap-mollra, akkor azt mondhatjuk, hogy egy mátrix rangja az alap-moll sorrendje).

A ranggal kapcsolatos helyzet alapján az SLAE a következőkre osztható:

• Közös. U A közös rendszerekben a fő mátrix rangja (amely csak együtthatókból áll) egybeesik a kiterjesztett mátrix rangjával (szabad tagok oszlopával). Az ilyen rendszereknek van megoldása, de nem feltétlenül egy, ezért a csuklórendszereket a következőkre osztják:
• - bizonyos- egyetlen megoldással. Bizonyos rendszerekben a mátrix rangja és az ismeretlenek száma (vagy az oszlopok száma, ami ugyanaz) egyenlő;
• - határozatlan - végtelen számú megoldással. Az ilyen rendszerekben a mátrixok rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma.
• Összeegyeztethetetlen. U Az ilyen rendszerekben a fő és a kiterjesztett mátrixok rangsorai nem esnek egybe. Az inkompatibilis rendszereknek nincs megoldása.

A Gauss-módszer azért jó, mert a megoldás során vagy egyértelmû bizonyítást kapunk a rendszer inkonzisztenciájáról (anélkül, hogy nagy mátrixok determinánsait számolnánk), vagy egy végtelen számú megoldású rendszerre általános formájú megoldást kaphatunk.

Elemi átalakulások

Mielőtt közvetlenül a rendszer megoldásához kezdene, kevésbé nehézkessé és kényelmesebbé teheti a számításokat. Ezt elemi átalakításokkal érik el – úgy, hogy azok végrehajtása semmilyen módon nem változtatja meg a végső választ. Megjegyzendő, hogy a megadott elemi transzformációk egy része csak olyan mátrixokra érvényes, amelyek forrása az SLAE volt. Íme az átalakítások listája:

1. A vonalak átrendezése. Nyilvánvaló, hogy ha megváltoztatja az egyenletek sorrendjét a rendszerrekordban, az semmilyen módon nem befolyásolja a megoldást. Következésképpen ennek a rendszernek a mátrixában a sorok is felcserélhetők, természetesen nem feledkezve meg a szabad kifejezések oszlopáról.
2. Egy karakterlánc összes elemének megszorzása egy bizonyos együtthatóval. Nagyon hasznos! Használható nagy számok csökkentésére a mátrixban vagy nullák eltávolítására. Sok döntés, mint általában, nem változik, de a további műveletek kényelmesebbé válnak. A lényeg az, hogy az együttható nem egyenlő nullával.
3. Sorok eltávolítása arányos tényezőkkel. Ez részben az előző bekezdésből következik. Ha egy mátrixban két vagy több sor arányos együtthatóval rendelkezik, akkor az egyik sort az arányossági együtthatóval szorozva/osztva két (vagy ismételten több) teljesen azonos sort kapunk, és a feleslegeseket eltávolíthatjuk, így marad. csak egy.
4. Nulla vonal eltávolítása. Ha a transzformáció során valahol olyan sort kapunk, amelyben minden elem, beleértve a szabad tagot is, nulla, akkor az ilyen sort nullának nevezhetjük és kidobhatjuk a mátrixból.
5. Egy sor elemeihez hozzáadjuk a másik sor elemeit (a megfelelő oszlopokban), megszorozva egy bizonyos együtthatóval. A legnyilvánvalóbb és legfontosabb átalakulás. Érdemes részletesebben foglalkozni vele.

Tényezővel szorzott karakterlánc hozzáadása

A könnyebb érthetőség érdekében érdemes ezt a folyamatot lépésről lépésre lebontani. Két sort vettünk a mátrixból:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tegyük fel, hogy hozzá kell adni az elsőt a másodikhoz, meg kell szorozni a "-2" együtthatóval.

a" 21 = a 21 + -2 × a 11

a" 22 = a 22 + -2 × a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Ezután a mátrix második sora egy újra cserélődik, és az első változatlan marad.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Megjegyzendő, hogy a szorzási együtthatót úgy is meg lehet választani, hogy két sor összeadása következtében az új sor egyik eleme nullával egyenlő. Ezért lehetséges egy egyenlet egy olyan rendszerben, ahol eggyel kevesebb ismeretlen lesz. És ha két ilyen egyenletet kapunk, akkor a műveletet meg lehet ismételni, és egy olyan egyenletet kapunk, amely kettővel kevesebb ismeretlent tartalmaz. És ha minden alkalommal nullára fordítja az összes, az eredeti alatti sor egy együtthatóját, akkor a lépcsőkhöz hasonlóan lemehet a mátrix legaljára, és kaphat egy egyenletet egy ismeretlennel. Ezt a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának nevezzük.

Általában

Legyen rendszer. M egyenlete és n ismeretlen gyöke van. A következőképpen írhatod:

A fő mátrixot a rendszer együtthatóiból állítják össze. A kibővített mátrixhoz hozzáadunk egy szabad kifejezéseket tartalmazó oszlopot, és az egyszerűség kedvéért egy sor választja el őket.

• a mátrix első sorát megszorozzuk a k = (-a 21 /a 11) együtthatóval;
• a mátrix első módosított sora és második sora hozzáadásra kerül;
• a második sor helyett az előző bekezdésből származó összeadás eredménye kerül be a mátrixba;
• most az első együttható az új második sorban a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Most ugyanazt az átalakítási sorozatot hajtják végre, csak az első és a harmadik sor érintett. Ennek megfelelően az algoritmus minden lépésében az a 21 elemet 31-re cseréljük. Ezután minden megismétlődik egy 41, ... egy m1-re. Az eredmény egy mátrix, ahol a sorok első eleme nulla. Most el kell felejtenie az első sort, és ugyanazt az algoritmust kell végrehajtania, a második sortól kezdve:

• együttható k = (-a 32 /a 22);
• a második módosított sor hozzáadódik az „aktuális” sorhoz;
• az összeadás eredménye behelyettesítésre kerül a harmadik, negyedik és így tovább sorban, miközben az első és a második változatlan marad;
• a mátrix soraiban az első két elem már egyenlő nullával.

Az algoritmust addig kell ismételni, amíg a k = (-a m,m-1 /a mm) együttható meg nem jelenik. Ez azt jelenti, hogy az algoritmus legutóbbi végrehajtása csak az alsó egyenletre volt. Most a mátrix úgy néz ki, mint egy háromszög, vagy lépcsős alakú. Az alsó sorban ott van az a mn × x n = b m egyenlőség. Ismert az együttható és a szabad tag, ezeken keresztül fejeződik ki a gyök: x n = b m /a mn. Az eredményül kapott gyöket behelyettesítjük a felső sorba, hogy megtaláljuk x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. És így tovább analógia útján: minden következő sorban van egy új gyökér, és miután elérte a rendszer „tetejét”, sok megoldást találhat. Ez lesz az egyetlen.

Amikor nincsenek megoldások

Ha az egyik mátrixsorban a szabad tag kivételével minden elem nulla, akkor az ennek a sornak megfelelő egyenlet 0 = b. Nincs rá megoldás. És mivel egy ilyen egyenlet benne van a rendszerben, akkor az egész rendszer megoldásainak halmaza üres, azaz degenerált.

Amikor végtelen számú megoldás létezik

Előfordulhat, hogy az adott háromszögmátrixban nincsenek olyan sorok, amelyekben az egyenlet egy együttható eleme és egy szabad tagja lenne. Csak olyan sorok vannak, amelyek átírva két vagy több változót tartalmazó egyenletnek tűnnek. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a válasz általános megoldás formájában adható meg. Hogyan kell csinálni?

A mátrix összes változója alap és szabad változókra van felosztva. Az alapvetőek azok, amelyek a lépésmátrixban a sorok „szélén” állnak. A többi ingyenes. Az általános megoldásban az alapváltozókat szabadon keresztül írjuk.

A kényelem kedvéért a mátrixot először visszaírják egy egyenletrendszerbe. Aztán az utolsóban, ahol pontosan csak egy alapváltozó maradt, az egyik oldalon marad, és minden más átkerül a másikra. Ez minden egyenletre egy alapváltozóval történik. Ezután a többi egyenletben, ahol lehetséges, az alapváltozó helyett a rá kapott kifejezést helyettesítjük. Ha az eredmény ismét csak egy alapváltozót tartalmazó kifejezés, akkor onnantól ismét kifejeződik, és így tovább, amíg minden alapváltozót szabad változókkal rendelkező kifejezésként fel nem írunk. Ez a SLAE általános megoldása.

Megtalálhatja a rendszer alapmegoldását is - adjon meg tetszőleges értéket a szabad változóknak, majd erre a konkrét esetre számítsa ki az alapváltozók értékeit. Végtelen számú konkrét megoldás adható.

Megoldás konkrét példákkal

Itt van egy egyenletrendszer.

A kényelem érdekében jobb, ha azonnal létrehozza a mátrixát

Ismeretes, hogy Gauss-módszerrel megoldva az első sornak megfelelő egyenlet változatlan marad a transzformációk végén. Ezért jövedelmezőbb lesz, ha a mátrix bal felső eleme a legkisebb - akkor a műveletek után a fennmaradó sorok első elemei nullára fordulnak. Ez azt jelenti, hogy az összeállított mátrixban előnyös lesz az első sor helyett a második sort tenni.

második sor: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

harmadik sor: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Most, hogy ne keveredjen össze, fel kell írnia egy mátrixot a transzformációk közbenső eredményeivel.

Nyilvánvaló, hogy egy ilyen mátrix bizonyos műveletek segítségével kényelmesebbé tehető az észleléshez. Például eltávolíthatja az összes „mínuszt” a második sorból, ha minden elemet „-1”-gyel megszoroz.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a harmadik sorban minden elem három többszöröse. Ezután lerövidítheti a karakterláncot ezzel a számmal, megszorozva minden elemet "-1/3"-mal (mínusz - ugyanakkor a negatív értékek eltávolításához).

Sokkal szebben néz ki. Most egyedül kell hagynunk az első sort, és dolgozni a másodikkal és a harmadikkal. A feladat az, hogy a második sort hozzá kell adni a harmadikhoz, megszorozva olyan együtthatóval, hogy az a 32 elem nullával egyenlő legyen.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ha egyes transzformációk során a válasz nem egész szám, akkor ajánlott a számítások pontosságának megőrzése a kilépéshez „ahogy van”, közönséges törtek formájában, és csak ezután, a válaszok beérkezése után döntse el, hogy kerekíti-e, és átváltja-e egy másik rögzítési formára)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

A mátrix újra új értékekkel íródik.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Mint látható, a kapott mátrixnak már van lépcsős formája. Ezért a rendszer további, Gauss-módszerrel történő átalakítása nem szükséges. Amit itt megtehet, az az, hogy eltávolítja a "-1/7" általános együtthatót a harmadik sorból.

Most minden gyönyörű. Nincs más hátra, mint a mátrix újraírása egyenletrendszer formájában, és a gyökök kiszámítása

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Azt az algoritmust, amellyel a gyököket most megtaláljuk, a Gauss-módszerben fordított mozgásnak nevezzük. A (3) egyenlet tartalmazza a z értéket:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

És az első egyenlet lehetővé teszi, hogy megtaláljuk x-et:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Jogunk van egy ilyen rendszert együttesnek, sőt határozottnak nevezni, vagyis egyedi megoldással. A választ a következő formában írjuk:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Példa egy bizonytalan rendszerre

Egy adott rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának változatát elemeztük, most azt az esetet kell figyelembe venni, ha a rendszer bizonytalan, vagyis végtelen sok megoldás található rá.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Már a rendszer megjelenése is riasztó, mert az ismeretlenek száma n = 5, és a rendszermátrix rangja már pontosan kisebb ennél, mert a sorok száma m = 4, azaz a determinánsnégyzet legnagyobb sorrendje 4. Ez azt jelenti, hogy végtelen sok megoldás létezik, és meg kell keresni az általános megjelenését. A lineáris egyenletek Gauss-módszere lehetővé teszi ezt.

Először, mint általában, egy kiterjesztett mátrixot állítanak össze.

Második sor: együttható k = (-a 21 /a 11) = -3. A harmadik sorban az első elem az átalakítások előtt van, tehát nem kell hozzányúlni semmihez, hanem úgy kell hagyni, ahogy van. Negyedik sor: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Ha az első sor elemeit egymás után megszorozzuk az egyes együtthatóikkal, és hozzáadjuk a szükséges sorokhoz, a következő alakú mátrixot kapjuk:

Mint látható, a második, harmadik és negyedik sor egymással arányos elemekből áll. A második és a negyedik általában azonos, így az egyiket azonnal eltávolíthatjuk, a maradékot pedig megszorozzuk a „-1” együtthatóval, és megkapjuk a 3-as sort. És ismét két azonos sorból hagyjunk egyet.

Az eredmény egy ilyen mátrix. Bár a rendszert még nem írták le, itt meg kell határozni az alapvető változókat - az a 11 = 1 és a 22 = 1 együtthatónál állókat, illetve a szabadokat - a többit.

A második egyenletben csak egy alapváltozó van - x 2. Ez azt jelenti, hogy onnantól az x 3 , x 4 , x 5 változókon keresztül írva kifejezhető, amelyek szabadok.

A kapott kifejezést behelyettesítjük az első egyenletbe.

Az eredmény egy egyenlet, amelyben az egyetlen alapváltozó x 1. Tegyük meg vele ugyanazt, mint az x 2-vel.

Minden alapváltozó, amelyből kettő van, három szabad változóval van kifejezve, most már általános formában is felírhatjuk a választ.

Megadhatja a rendszer egyik konkrét megoldását is. Ilyen esetekben általában nullákat választanak a szabad változók értékeként. Akkor ez lesz a válasz:

16, 23, 0, 0, 0.

Példa a nem együttműködő rendszerre

Az inkompatibilis egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása a leggyorsabb. Azonnal véget ér, amint az egyik szakaszban olyan egyenletet kapunk, amelynek nincs megoldása. Vagyis a gyökerek kiszámításának szakasza, amely meglehetősen hosszú és fárasztó, megszűnik. A következő rendszert veszik figyelembe:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Szokás szerint a mátrix összeállítása:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

És lépésenkénti formára redukálódik:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Az első transzformáció után a harmadik sor a forma egyenletét tartalmazza

megoldás nélkül. Következésképpen a rendszer inkonzisztens, és a válasz az üres halmaz lesz.

A módszer előnyei és hátrányai

Ha kiválasztja, hogy melyik módszert oldja meg az SLAE-k papíron egy tollal, akkor az ebben a cikkben tárgyalt módszer tűnik a legvonzóbbnak. Sokkal nehezebb összezavarodni az elemi transzformációkban, mintha kézzel kellene keresni egy determinánst vagy valami trükkös inverz mátrixot. Ha azonban programokat használ az ilyen típusú adatokkal való munkavégzéshez, például táblázatokat, akkor kiderül, hogy az ilyen programok már tartalmaznak algoritmusokat a mátrixok fő paramétereinek - determináns, minor, inverz és így tovább - kiszámításához. Ha pedig biztos abban, hogy a gép ezeket az értékeket maga számítja ki, és nem hibázik, akkor célszerűbb a mátrix módszert vagy a Cramer-képleteket használni, mert ezek alkalmazása a determinánsok és inverz mátrixok kiszámításával kezdődik és végződik. .

Alkalmazás

Mivel a Gauss-féle megoldás egy algoritmus, a mátrix pedig valójában egy kétdimenziós tömb, programozásban használható. De mivel a cikk „a bábuknak” szóló útmutatónak tekinti magát, el kell mondanunk, hogy a módszert legegyszerűbben táblázatokba, például Excelbe lehet helyezni. Az Excel ismét kétdimenziós tömbnek tekinti a táblázatba mátrix formájában beírt SLAE-ket. A velük végzett műveletekhez pedig sok szép parancs létezik: összeadás (csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá!), szorzás számmal, mátrixok szorzása (bizonyos megkötésekkel is), az inverz és transzponált mátrixok megtalálása és ami a legfontosabb , a determináns kiszámítása. Ha ezt az időigényes feladatot egyetlen paranccsal helyettesítjük, sokkal gyorsabban meg lehet határozni a mátrix rangját, és így megállapítható a kompatibilitása vagy inkompatibilitása.

Továbbra is figyelembe vesszük a lineáris egyenletrendszereket. Ez a lecke a harmadik a témában. Ha van homályos elképzelése arról, hogy mi a lineáris egyenletrendszer általában, ha úgy érzi, mint egy teáskanna, akkor azt javaslom, hogy kezdje az alapokkal a Következő oldalon, hasznos tanulmányozni a leckét.

A Gauss-módszer egyszerű! Miért? A híres német matematikus, Johann Carl Friedrich Gauss életében megkapta az elismerést minden idők legnagyobb matematikusaként, zseniként, sőt a „Matematika királya” becenevet is. És minden zseniális, mint tudod, egyszerű! Egyébként nem csak a balekok kapnak pénzt, hanem a zsenik is - Gauss portréja a 10 német márkás bankjegyen volt (az euró bevezetése előtt), Gauss pedig még mindig titokzatosan mosolyog a németekre a közönséges postai bélyegekről.

A Gauss-módszer annyiban egyszerű, hogy elsajátításához ELÉG EGY ÖTÖDÉLYES TANULÓ TUDÁSA. Tudnia kell összeadni és szorozni! Nem véletlen, hogy a tanárok gyakran fontolgatják az ismeretlenek szekvenciális kizárásának módszerét az iskolai matematika választható tantárgyaiban. Paradoxon, de a hallgatók a Gauss-módszert tartják a legnehezebbnek. Semmi meglepő - minden a módszertanról szól, és megpróbálok hozzáférhető formában beszélni a módszer algoritmusáról.

Először is rendszerezzünk egy kis ismeretet a lineáris egyenletrendszerekről. Egy lineáris egyenletrendszer:

1) Legyen egyedi megoldása. 2) Végtelen sok megoldásod legyen. 3) Nincsenek megoldásai (legyen nem ízületi).

A Gauss-módszer a legerősebb és leguniverzálisabb eszköz a megoldás megtalálására Bármi lineáris egyenletrendszerek. Ahogy emlékszünk, Cramer-szabály és mátrix módszer nem alkalmasak olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. És az ismeretlenek szekvenciális megszüntetésének módszere Akárhogyan is elvezet minket a válaszhoz! Ebben a leckében ismét megvizsgáljuk a Gauss-módszert az 1. esetre (az egyetlen megoldás a rendszerre), egy cikket szentelünk a 2-3. pontok helyzeteinek. Megjegyzem, maga a módszer algoritmusa mindhárom esetben ugyanúgy működik.

Térjünk vissza a leckéből a legegyszerűbb rendszerhez Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert megoldani?és a Gauss-módszerrel oldja meg.

Az első lépés az írás kiterjesztett rendszermátrix: . Szerintem mindenki látja, hogy milyen elv alapján írják az együtthatókat. A mátrixon belüli függőleges vonalnak nincs matematikai jelentése – ez egyszerűen áthúzás a könnyebb tervezés érdekében.

Referencia : Azt javaslom, emlékezzen feltételeket lineáris algebra. Rendszermátrix egy mátrix, amely csak ismeretlenek együtthatóiból áll, ebben a példában a rendszer mátrixa: . Kiterjesztett rendszermátrix – ez a rendszer ugyanazon mátrixa plusz egy szabad kifejezések oszlopa, ebben az esetben: . A rövidség kedvéért bármelyik mátrixot egyszerűen mátrixnak nevezhetjük.

A kiterjesztett rendszermátrix megírása után el kell végezni vele néhány műveletet, amelyeket szintén hívnak elemi átalakulások.

A következő elemi transzformációk léteznek:

1) Húrok mátrixok Tud átrendezni néhány helyen. Például a vizsgált mátrixban fájdalommentesen átrendezheti az első és a második sort:

2) Ha a mátrixban vannak (vagy jelentek meg) arányos (különleges esetben - azonos) sorok, akkor töröl a mátrixból ezek a sorok egy kivételével. Vegyük például a mátrixot . Ebben a mátrixban az utolsó három sor arányos, így elég csak egyet hagyni belőlük: .

3) Ha a transzformációk során egy nulla sor jelenik meg a mátrixban, akkor annak is lennie kell töröl. Természetesen nem húzom, a nulla vonal az a vonal, amelyben csupa nulla.

4) A mátrix sor lehet szorozni (osztani) tetszőleges számra nem nulla. Vegyük például a mátrixot. Itt célszerű az első sort –3-mal elosztani, a második sort pedig 2-vel megszorozni: . Ez a művelet nagyon hasznos, mert leegyszerűsíti a mátrix további átalakításait.

5) Ez az átalakítás okozza a legtöbb nehézséget, de valójában nincs is semmi bonyolult. Egy mátrix sorához lehet adjunk hozzá egy másik karakterláncot egy számmal szorozva, nullától eltérő. Nézzük a mátrixunkat egy gyakorlati példából: . Először részletesen leírom az átalakulást. Szorozzuk meg az első sort -2-vel: , És a második sorhoz hozzáadjuk az első sort –2-vel szorozva: . Most az első sor „vissza” osztható –2-vel: . Mint látható, a sor, amely HOZZÁADVA LI – nem változott. Mindig megváltozik a sor, HOGY HOZZÁADVA UT.

A gyakorlatban persze nem írják le ilyen részletesen, hanem röviden: Még egyszer: a második sorra hozzáadta az első sort –2-vel szorozva. Egy sort rendszerint szóban vagy piszkozaton szoroznak meg, a mentális számítási folyamat a következőképpen zajlik:

"Átírom a mátrixot és átírom az első sort: »

„Első oszlop. Az alján nullát kell kapnom. Ezért a felül lévőt megszorzom –2-vel: , és az elsőt a második sorba adom: 2 + (–2) = 0. Az eredményt a második sorba írom: »

„Most a második oszlop. Felül a -1-et megszorzom -2-vel: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: 1 + 2 = 3. Az eredményt a második sorba írom: »

– És a harmadik oszlop. Felül a -5-öt megszorzom -2-vel: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: –7 + 10 = 3. Az eredményt a második sorba írom: »

Kérjük, alaposan értelmezze ezt a példát, és értse meg a szekvenciális számítási algoritmust, ha ezt megérti, akkor a Gauss-módszer gyakorlatilag a zsebében van. De természetesen még dolgozunk ezen az átalakításon.

Az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását

! FIGYELEM: megfontolt manipulációk nem használható, ha olyan feladatot ajánlanak fel Önnek, amelyben a mátrixok „maguktól” vannak megadva. Például a „klasszikus” kifejezéssel műveletek mátrixokkal Semmilyen körülmények között ne rendezzen át semmit a mátrixokon belül! Térjünk vissza a rendszerünkhöz. Gyakorlatilag darabokra szedik.

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal redukáljuk le lépcsős nézet:

(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. És még egyszer: miért szorozzuk meg az első sort –2-vel? Annak érdekében, hogy nulla legyen az alján, ami azt jelenti, hogy megszabadulunk egy változótól a második sorban.

(2) Osszuk el a második sort 3-mal.

Az elemi transzformációk célja – csökkentse a mátrixot lépésenkénti formára: . A feladat megtervezésekor csak egy egyszerű ceruzával jelölik ki a „lépcsőket”, és karikázzák be a „lépcsőkön” található számokat is. Maga a „lépcsős nézet” kifejezés nem teljesen elméleti, a tudományos és oktatási irodalomban gyakran nevezik trapéz alakú nézet vagy háromszög nézet.

Az elemi átalakítások eredményeként azt kaptuk egyenértékű eredeti egyenletrendszer:

Most a rendszert az ellenkező irányba kell „letekerni” - alulról felfelé ezt a folyamatot hívják a Gauss-módszer inverze.

Az alsó egyenletben már van egy kész eredményünk: .

Tekintsük a rendszer első egyenletét, és cseréljük be a már ismert „y” értékét:

Tekintsük a leggyakoribb helyzetet, amikor a Gauss-módszer három, három ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszer megoldását igényli.

1. példa

Oldja meg az egyenletrendszert Gauss módszerrel:

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát:

Most azonnal lerajzolom az eredményt, amelyre a megoldás során eljutunk: És ismétlem, az a célunk, hogy a mátrixot elemi transzformációk segítségével lépésenkénti formába hozzuk. Hol kezdjem?

Először nézze meg a bal felső számot: Szinte mindig itt kell lennie Mértékegység. Általánosságban elmondható, hogy a –1 (és néha más számok is) megteszik, de valahogy hagyományosan megtörtént, hogy egyet általában oda helyeznek. Hogyan szervezzünk egy egységet? Megnézzük az első oszlopot - kész egységünk van! Első átalakítás: cserélje fel az első és a harmadik sort:

Most az első sor változatlan marad a megoldás végéig. Most jól.

A bal felső sarokban lévő egység rendezett. Most nullákat kell kapnia ezeken a helyeken:

Egy „nehéz” transzformáció segítségével nullákat kapunk. Először a második sorral (2, –1, 3, 13) foglalkozunk. Mit kell tenni, hogy nulla legyen az első pozícióban? Kell a második sorhoz adjuk hozzá az első sort –2-vel szorozva. Gondolatban vagy piszkozatban szorozza meg az első sort –2-vel: (–2, –4, 2, –18). És következetesen végrehajtjuk (ismét mentálisan vagy vázlatosan) kiegészítést, a második sorhoz hozzáadjuk az első sort, már –2-vel megszorozva:

Az eredményt a második sorba írjuk:

Ugyanígy foglalkozunk a harmadik sorral is (3, 2, –5, –1). Ahhoz, hogy az első pozícióban nullát kapjon, szüksége van a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort –3-mal szorozva. Gondolatban vagy piszkozatban szorozza meg az első sort –3-mal: (–3, –6, 3, –27). ÉS a harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort –3-mal szorozva:

Az eredményt a harmadik sorba írjuk:

A gyakorlatban ezeket a műveleteket általában szóban hajtják végre, és egy lépésben írják le:

Nem kell mindent egyszerre és egyszerre számolni. A számítások sorrendje és az eredmények „beírása”. következetesés általában ez így van: először átírjuk az első sort, és lassan pöffeszkedünk magunkra - KÖVETKEZTETESEN és FIGYELMESEN:
Magának a számításnak a mentális folyamatát pedig már fentebb tárgyaltam.

Ebben a példában ez könnyen megtehető: a második sort elosztjuk –5-tel (mivel minden szám osztható 5-tel, maradék nélkül). Ugyanakkor a harmadik sort elosztjuk –2-vel, mert minél kisebbek a számok, annál egyszerűbb a megoldás:

Az elemi átalakítások végső szakaszában itt egy másik nullát kell kapnia:

Ezért a harmadik sorhoz hozzáadjuk a második sort –2-vel szorozva:
Próbáld meg kitalálni ezt a műveletet – gondolatban szorozd meg a második sort –2-vel, és hajtsd végre az összeadást.

Az utolsó végrehajtott művelet az eredmény frizurája, a harmadik sort el kell osztani 3-mal.

Az elemi transzformációk eredményeként egy ekvivalens lineáris egyenletrendszert kaptunk: Menő.

Most a Gauss-módszer fordítottja lép életbe. Az egyenletek alulról felfelé „letekernek”.

A harmadik egyenletben már van egy kész eredmény:

Nézzük a második egyenletet: . A "zet" jelentése már ismert, így:

És végül az első egyenlet: . Az „Igrek” és a „zet” ismert, csak apróságokról van szó:

Válasz:

Amint már többször megjegyeztük, bármely egyenletrendszernél lehetséges és szükséges a megtalált megoldás ellenőrzése, szerencsére ez egyszerűen és gyorsan történik.

2. példa

Ez egy példa egy független megoldásra, egy minta a végleges tervből és egy válasz a lecke végén.

Meg kell jegyezni, hogy az Ön a döntés előrehaladását lehet, hogy nem esik egybe a döntési folyamatommal, és ez a Gauss-módszer sajátossága. De a válaszoknak ugyanazoknak kell lenniük!

3. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

Nézzük a bal felső „lépést”. Nekünk kellene egy ott. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincsenek egységek, így a sorok átrendezése nem old meg semmit. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Ezt csináltam: (1) Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort –1-gyel megszorozva. Vagyis a második sort gondolatban megszoroztuk –1-gyel, és összeadtuk az első és a második sort, míg a második sor nem változott.

Most a bal felső sarokban van a „mínusz egy”, ami nagyon jól áll nekünk. Aki szeretne +1-et kapni, további mozgást végezhet: az első sort szorozza meg –1-gyel (változtassa előjelét).

(2) Az első sort 5-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 3-mal szorozva a harmadikhoz.

(3) Az első sort –1-gyel szoroztuk, ez elvileg a szépség miatt van. A harmadik vonal jelzése is megváltozott, és a második helyre került, így a második „lépcsőn” megvolt a szükséges egység.

(4) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 2-vel.

(5) A harmadik sort elosztottuk 3-mal.

A számítási hibára (ritkábban elgépelésre) utaló rossz jel a „rossz” lényeg. Vagyis ha valami olyasmit kapunk, mint , lent, és ennek megfelelően , akkor nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy az elemi átalakítások során hiba történt.

Mi fordítva terheljük, a példák tervezésénél sokszor nem magát a rendszert írják át, hanem az egyenleteket „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. A fordított löket, emlékeztetem önöket, alulról felfelé működik. Igen, itt az ajándék:

Válasz: .

4. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania, ez valamivel bonyolultabb. Nem baj, ha valaki összezavarodik. Teljes megoldás és mintaterv az óra végén. Az Ön megoldása eltérhet az én megoldásomtól.

Az utolsó részben a Gauss-algoritmus néhány jellemzőjét tekintjük át. Az első jellemző, hogy néha néhány változó hiányzik a rendszeregyenletekből, például: Hogyan kell helyesen írni a kiterjesztett rendszermátrixot? Erről már beszéltem az órán. Cramer szabálya. Mátrix módszer. A rendszer kiterjesztett mátrixában a hiányzó változók helyére nullákat teszünk: Ez egyébként egy elég egyszerű példa, hiszen az első oszlopban már van egy nulla, és kevesebb elemi transzformációt kell végrehajtani.

A második jellemző ez. Az összes vizsgált példában a „lépésekre” vagy –1-et vagy +1-et tettünk. Lehetnek ott más számok is? Bizonyos esetekben megtehetik. Fontolja meg a rendszert: .

Itt a bal felső „lépésben” van egy kettőnk. De észrevesszük azt a tényt, hogy az első oszlopban lévő összes szám maradék nélkül osztható 2-vel - a másik pedig kettő és hat. És a bal felső sarokban lévő kettő megfelel nekünk! Első lépésben a következő átalakításokat kell végrehajtania: a második sorhoz adja hozzá az első sort –1-gyel szorozva; a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort –3-mal szorozva. Így az első oszlopban megkapjuk a szükséges nullákat.

Vagy egy másik hagyományos példa: . Itt a második „lépésben” a három is megfelel nekünk, hiszen a 12 (az a hely, ahol nullát kell kapnunk) maradék nélkül osztható 3-mal. A következő átalakítást kell végrehajtani: a harmadik sorhoz adjuk hozzá a második sort –4-gyel megszorozva, aminek eredményeként megkapjuk a szükséges nullát.

Gauss módszere univerzális, de van egy sajátossága. Magabiztosan megtanulhatja megoldani a rendszereket más módszerekkel (Cramer módszer, mátrix módszer) szó szerint az első alkalommal - nagyon szigorú algoritmusuk van. De ahhoz, hogy magabiztosan érezze magát a Gauss-módszerben, „be kell fognia”, és legalább 5-10 tíz rendszert kell megoldania. Ezért eleinte zűrzavar és számítási hibák adódhatnak, és ebben nincs semmi szokatlan vagy tragikus.

Az ablakon kívül esős őszi idő.... Ezért mindenkinek, aki összetettebb példát szeretne önállóan megoldani:

5. példa

Oldjon meg egy 4 lineáris egyenletrendszert négy ismeretlennel Gauss módszerrel!

Egy ilyen feladat nem olyan ritka a gyakorlatban. Azt hiszem, még egy teáskanna is, aki alaposan áttanulmányozta ezt az oldalt, meg fogja érteni egy ilyen rendszer intuitív megoldásának algoritmusát. Alapvetően minden ugyanaz – csak több művelet van.

A leckében azokat az eseteket tárgyaljuk, amikor a rendszernek nincs megoldása (inkonzisztens), vagy végtelen sok megoldása van. Inkompatibilis rendszerek és rendszerek közös megoldással. Itt rögzítheti a Gauss-módszer figyelembe vett algoritmusát.

Sok sikert!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás : Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába.
Elvégzett elemi átalakítások: (1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –1-gyel. Figyelem! Itt kísértést érezhet, hogy kivonja az elsőt a harmadik sorból; erősen ajánlom, hogy ne vonja ki - a hiba kockázata jelentősen megnő. Csak hajtsd össze! (2) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A második és a harmadik sor felcserélődött. jegyzet , hogy a „lépcsőkön” nem csak eggyel elégszünk meg, hanem –1-gyel is, ami még kényelmesebb. (3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 5-tel. (4) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A harmadik sort 14-gyel osztották.

Fordított:

Válasz : .

4. példa: Megoldás : Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:

Végrehajtott konverziók: (1) Az első sorhoz egy második sor került. Így a kívánt egység a bal felső „lépésben” van elrendezve. (2) Az első sort 7-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 6-tal szorozva a harmadikhoz.

A második „lépéssel” minden rosszabb lesz , a „jelöltek” a 17-es és a 23-as számok, és vagy egy vagy –1 kell. A (3) és (4) átalakítások célja a kívánt egység elérése (3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –1-gyel. (4) A harmadik sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –3-mal. A második lépéshez szükséges tétel megérkezett. . (5) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 6-tal. (6) A második sort –1-gyel, a harmadikat –83-mal szoroztuk.

Fordított:

Válasz :

5. példa: Megoldás : Írjuk fel a rendszer mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:

Végrehajtott konverziók: (1) Az első és a második sor felcserélődött. (2) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a negyedikhez, megszorozva –3-mal. (3) A második sort hozzáadtuk a harmadik sorhoz, szorozva 4-gyel. A második sort hozzáadtuk a negyedik sorhoz, megszorozva –1-gyel. (4) A második sor jele megváltozott. A negyedik sort 3-mal osztották, és a harmadik sor helyére helyezték. (5) A harmadik sort hozzáadtuk a negyedikhez, megszorozva –5-tel.

Fordított:

Válasz :

Ma a Gauss-módszerrel foglalkozunk lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására. Hogy melyek ezek a rendszerek, arról az előző cikkben olvashat, amely ugyanazon SLAE-k Cramer-módszerrel történő megoldásával foglalkozott. A Gauss-módszer nem igényel speciális ismereteket, csak figyelmesség és következetesség. Annak ellenére, hogy matematikai szempontból az iskolai képzés elegendő az alkalmazásához, a tanulók gyakran nehezen tudják elsajátítani ezt a módszert. Ebben a cikkben megpróbáljuk ezeket semmivé redukálni!

Gauss módszer

M Gauss-módszer– a leguniverzálisabb módszer az SLAE-k megoldására (a nagyon nagy rendszerek kivételével). A korábban tárgyaltakkal ellentétben nemcsak olyan rendszerekre alkalmas, amelyeknek egyetlen megoldása van, hanem olyan rendszerekre is, amelyeknek végtelen számú megoldása van. Itt három lehetőség van.

1. A rendszernek egyedi megoldása van (a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával);
2. A rendszernek végtelen számú megoldása van;
3. Nincsenek megoldások, a rendszer nem kompatibilis.

Tehát van egy rendszerünk (legyen egy megoldása), és a Gauss-módszerrel fogjuk megoldani. Hogyan működik?

A Gauss-módszer két szakaszból áll - előre és inverz.

A Gauss-módszer közvetlen ütése

Először is írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát. Ehhez adjunk hozzá egy oszlopot a szabad tagokból a fő mátrixhoz.

A Gauss-módszer lényege, hogy ezt a mátrixot elemi transzformációkkal lépcsőzetes (vagy ahogy szokták mondani, háromszög alakú) formába hozni. Ebben a formában a mátrix főátlója alatt (vagy felett) csak nullák lehetnek.

Amit megtehetsz:

1. Átrendezheti a mátrix sorait;
2. Ha egy mátrixban egyenlő (vagy arányos) sorok vannak, akkor egy kivételével mindegyiket eltávolíthatja;
3. Egy karakterláncot tetszőleges számmal szorozhat vagy oszthat (nulla kivételével);
4. A null sorok eltávolításra kerülnek;
5. A nullától eltérő számmal megszorzott karakterláncot hozzáfűzhet egy karakterlánchoz.

Fordított Gauss-módszer

Miután így átalakítottuk a rendszert, egy ismeretlen Xn ismertté válik, és az összes fennmaradó ismeretlent fordított sorrendben megtalálhatja, behelyettesítve a már ismert x-eket a rendszer egyenleteibe, egészen az elsőig.

Ha az internet mindig kéznél van, egy egyenletrendszert is megoldhat a Gauss-módszerrel online. Csak be kell írnia az együtthatókat az online számológépbe. De be kell vallani, sokkal kellemesebb ráébredni, hogy a példát nem egy számítógépes program, hanem a saját agyad oldotta meg.

Példa egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldására

És most - egy példa, hogy minden világos és érthető legyen. Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert, és ezt a Gauss-módszerrel kell megoldani:

Először írjuk fel a kiterjesztett mátrixot:

Most végezzük el az átalakításokat. Emlékezzünk arra, hogy el kell érnünk a mátrix háromszög alakú megjelenését. Az 1. sort szorozzuk meg (3-mal). Szorozd meg a 2. sort (-1)-gyel. Adja hozzá a 2. sort az 1. sorhoz, és kapja meg:

Ezután szorozza meg a 3. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:

Az 1. sort szorozzuk meg (6-tal). Szorozzuk meg a 2. sort (13-mal). Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:

Voila - a rendszer a megfelelő formába kerül. Marad az ismeretlenek megtalálása:

A példában szereplő rendszer egyedi megoldást kínál. Egy külön cikkben foglalkozunk a végtelen számú megoldással rendelkező rendszerek megoldásával. Talán eleinte nem fogja tudni, hol kezdje el a mátrix átalakítását, de megfelelő gyakorlás után rájön, és a Gauss-módszerrel feltöri az SLAE-ket, mint a diót. És ha hirtelen olyan SLA-ra bukkan, amely túl kemény diónak bizonyul, forduljon szerzőinkhoz! megteheti, ha a Levelezési Irodában hagy egy kérést. Együtt minden problémát megoldunk!

1. Lineáris algebrai egyenletrendszer

1.1 Lineáris algebrai egyenletrendszer fogalma

Az egyenletrendszer olyan feltétel, amely több egyenlet egyidejű végrehajtásából áll több változóra vonatkozóan. Az m egyenletet és n ismeretlent tartalmazó lineáris algebrai egyenletrendszert (a továbbiakban: SLAE) a következő formájú rendszernek nevezzük:

ahol az a ij számokat rendszeregyütthatóknak, a b i számokat szabad tagoknak nevezzük, a ijÉs b i(i=1,…, m; b=1,…, n) néhány ismert számot és x-et jelent 1 ,…, x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij az első i index az egyenlet számát jelöli, a második j pedig annak az ismeretlennek a száma, amelynél ez az együttható áll. Meg kell találni az x n számokat. Kényelmes egy ilyen rendszert kompakt mátrix formában írni: AX=B. Itt A a rendszeregyütthatók mátrixa, amelyet főmátrixnak nevezünk;

– ismeretlenek oszlopvektora xj.
a bi szabad kifejezések oszlopvektora.

Az A*X mátrixok szorzata definiált, mivel az A mátrixban annyi oszlop van, ahány sor az X mátrixban (n darab).

Egy rendszer kiterjesztett mátrixa a rendszer A mátrixa, kiegészítve egy szabad tagok oszlopával

1.2 Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása

Az egyenletrendszer megoldása a számok (változók értéke) rendezett halmaza, amikor változók helyett helyettesítjük őket, a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé alakul.

Egy rendszer megoldása az x1=c1, x2=c2,…, xn=cn ismeretlenek n értéke, amelyek behelyettesítésével a rendszer összes egyenlete valódi egyenlőséggé válik. A rendszer bármely megoldása felírható oszlopmátrixként

Egy egyenletrendszert konzisztensnek nevezünk, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldása.

Egy konzisztens rendszert határozottnak mondunk, ha egyetlen megoldása van, és határozatlannak, ha egynél több megoldása van. Ez utóbbi esetben mindegyik megoldását a rendszer egy adott megoldásának nevezzük. Az összes konkrét megoldás halmazát általános megoldásnak nevezzük.

Egy rendszer megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni, hogy kompatibilis-e vagy inkonzisztens. Ha a rendszer konzisztens, keresse meg az általános megoldást.

Két rendszert ekvivalensnek (ekvivalensnek) nevezünk, ha ugyanaz az általános megoldásuk. Más szóval, a rendszerek ekvivalensek, ha az egyik megoldása a másik megoldása, és fordítva.

Egyenértékű vagy ekvivalens transzformációnak nevezzük azt a transzformációt, amelynek alkalmazása egy rendszert az eredetivel egyenértékű új rendszerré alakít. Példák az ekvivalens transzformációkra a következő transzformációk: egy rendszer két egyenletének felcserélése, két ismeretlen felcserélése az összes egyenlet együtthatóival együtt, egy rendszer bármely egyenletének mindkét oldalát megszorozzuk egy nem nulla számmal.

Egy lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha minden szabad tag egyenlő nullával:

Egy homogén rendszer mindig konzisztens, mivel x1=x2=x3=…=xn=0 a rendszer megoldása. Ezt a megoldást nullának vagy triviálisnak nevezzük.

2. Gauss eliminációs módszer

2.1 A Gauss-eliminációs módszer lényege

A lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának klasszikus módszere az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere. Gauss-módszer(Gauss eliminációs módszernek is nevezik). Ez egy módszer a változók szekvenciális eliminálására, amikor elemi transzformációkkal egy egyenletrendszert egy lépéses (vagy háromszög alakú) ekvivalens rendszerré redukálunk, amelyből az összes többi változót szekvenciálisan megtaláljuk, az utolsótól kezdve szám) változók.

A Gauss-módszert alkalmazó megoldási folyamat két szakaszból áll: előre és hátra mozgásból.

1. Közvetlen löket.

Az első szakaszban az úgynevezett direkt mozgatást hajtják végre, amikor a sorok feletti elemi átalakításokkal a rendszert lépcsőzetes vagy háromszög alakúra hozzuk, vagy megállapítják, hogy a rendszer nem kompatibilis. Ugyanis a mátrix első oszlopának elemei közül válasszunk ki egy nullától eltérő egyet, mozgassuk a legfelső pozícióba a sorok átrendezésével, és az így kapott első sort az átrendezés után vonjuk ki a fennmaradó sorokból, szorozzuk meg egy értékkel. egyenlő az egyes sorok első elemének az első sor első eleméhez viszonyított arányával, nullázva ezzel az alatta lévő oszlopot.

Miután ezek az átalakítások befejeződtek, az első sort és az első oszlopot gondolatban áthúzzuk, és addig folytatjuk, amíg egy nulla méretű mátrix nem marad. Ha bármelyik iterációnál nincs nullától eltérő elem az első oszlop elemei között, akkor lépjen a következő oszlopra, és hajtson végre hasonló műveletet.

Az első szakaszban (közvetlen löket) a rendszer lépcsőzetes (különösen háromszög alakú) formára redukálódik.

Az alábbi rendszer lépcsőzetes formája van:

,

Az aii együtthatókat a rendszer fő (vezető) elemeinek nevezzük.

(ha a11=0, rendezze át a mátrix sorait úgy, hogy a 11 nem egyenlő 0-val. Ez mindig lehetséges, mert különben a mátrix nulla oszlopot tartalmaz, determinánsa nulla, és a rendszer inkonzisztens).

Alakítsuk át a rendszert úgy, hogy az első kivételével minden egyenletből kiküszöböljük az ismeretlen x1-et (a rendszer elemi transzformációit használva). Ehhez meg kell szorozni az első egyenlet mindkét oldalát

és adjuk hozzá tagonként a rendszer második egyenletét (vagy a második egyenletből vonjuk ki tagonként az elsőt, szorozzuk meg -val). Ezután az első egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk és hozzáadjuk a rendszer harmadik egyenletéhez (vagy a harmadikból kivonjuk az első egyenletet szorozva). Így az első sort sorban megszorozzuk egy számmal, és hozzáadjuk én sor, for i= 2, 3, …,n.

Ezt a folyamatot folytatva egy egyenértékű rendszert kapunk:

– az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatóinak új értékei a rendszer utolsó m-1 egyenleteiben, amelyeket a képletek határoznak meg:

Így az első lépésben minden, az a 11 első vezető elem alatti együttható megsemmisül

0, a második lépésben megsemmisülnek a második vezetőelem alatt fekvő elemek a 22 (1) (ha a 22 (1) 0) stb. Ezt a folyamatot tovább folytatva végül az (m-1) lépésnél az eredeti rendszert háromszögrendszerré redukáljuk.

Ha a rendszer lépcsőzetes formára redukálása során nulla egyenletek jelennek meg, pl. a 0=0 alakú egyenlőségeket el kell vetni. Ha megjelenik a forma egyenlete

akkor ez a rendszer inkompatibilitását jelzi.

Itt ér véget a Gauss-módszer közvetlen fejlődése.

2. Fordított löket.

A második szakaszban az úgynevezett fordított mozgást hajtják végre, melynek lényege, hogy az összes kapott alapváltozót nem alapváltozókkal fejezzük ki, és egy alapvető megoldási rendszert építsünk fel, vagy ha minden változó alapváltozó. , akkor fejezzük ki numerikusan a lineáris egyenletrendszer egyetlen megoldását.

Ez az eljárás az utolsó egyenlettel kezdődik, amelyből a megfelelő alapváltozót kifejezzük (csak egy van benne), és behelyettesítjük az előző egyenletekbe, és így tovább, felfelé haladva a „lépéseket”.

Minden sor pontosan egy bázisváltozónak felel meg, így az utolsó (legfelső) kivételével minden lépésben a helyzet pontosan megismétli az utolsó sor esetét.

Megjegyzés: a gyakorlatban kényelmesebb nem a rendszerrel dolgozni, hanem annak kiterjesztett mátrixával, az összes elemi transzformációt a sorain végrehajtva. Célszerű, ha az a11 együttható 1-gyel egyenlő (rendezzük át az egyenleteket, vagy osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a11-gyel).

2.2 Példák SLAE-k megoldására Gauss-módszerrel

Ebben a részben három különböző példán keresztül bemutatjuk, hogyan oldja meg a Gauss-módszer az SLAE-ket.

Példa 1. Oldjon meg egy 3. rendű SLAE-t.

Állítsuk vissza az együtthatókat a

a második és a harmadik sorban. Ehhez szorozza meg őket 2/3-mal és 1-gyel, és adja hozzá az első sorhoz: