Három számjegy legkisebb közös többszöröse. Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét
Hogyan lehet megtalálni a legkisebb közös többszöröst?
Hogyan lehet megtalálni a NOC-ot
Íme egy videó, amely két módszert mutat be a legkisebb közös többszörös (LCM) megtalálására. A javasolt módszerek közül az első gyakorlásával jobban megértheti, mi a legkisebb közös többszörös.
- Minden számot prímtényezőinek szorzataként ábrázolunk:
- Felírjuk az összes prímtényező hatványát:
- Kiválasztjuk az összes legnagyobb fokozatú prímosztót (szorzót), megszorozzuk őket, és megtaláljuk az LCM-et:
- Az első lépés az, hogy ezeket a számokat prímtényezőkre bontsuk.
- Kiírjuk azokat a tényezőket, amelyek a 30-as szám bővítésében benne vannak. Ez 2 x 3 x 5.
- Most meg kell szorozni őket a hiányzó tényezővel, amely a 42 felbontásánál van, és ez 7. 2 x 3 x 5 x 7-et kapunk.
- Megtaláljuk, hogy mi egyenlő 2 x 3 x 5 x 7-tel, és 210-et kapunk.
- Mindkét számot prímtényezőkre bontjuk: 8=2*2*2 és 12=3*2*2
- Ugyanezeket a szorzókat csökkentjük az egyik számra. Esetünkben a 2 * 2 egyezés, a 12-es számra csökkentjük, akkor a 12-nek egy tényezője lesz: 3.
- Keresse meg az összes fennmaradó tényező szorzatát: 2*2*2*3=24
Meg kell találni mind a két szám mindegyik tényezőjét, amelyekre a legkisebb közös többszöröst találjuk, majd az első és a második számmal egybeeső tényezőket meg kell szorozni egymással. A termék eredménye a kívánt többszörös lesz.
Például megvan a 3 és 5 szám, és meg kell találnunk az LCM-et (legkisebb közös többszörös). Minket szorozni kellés három és öt minden 1 2 3-tól kezdődő számhoz ...és így tovább, amíg ugyanazt a számot nem látjuk ott és ott is.
Megszorozzuk a hármat, és megkapjuk: 3, 6, 9, 12, 15
Szorozzuk meg öttel, és kapjuk: 5, 10, 15
A prímtényezős módszer a legklasszikusabb a többszörös számok legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálására. Ezt a módszert egyértelműen és egyszerűen bemutatja a következő videó:
Az összeadás, szorzás, osztás, közös nevezőre redukálás és egyéb számtani műveletek nagyon izgalmas tevékenység, különösen az egész lapot elfoglaló példák csodálhatók.
Tehát keresse meg két szám közös többszörösét, amely az a legkisebb szám, amellyel két szám osztható. Szeretném megjegyezni, hogy a jövőben nem szükséges képletekhez folyamodni ahhoz, hogy megtaláld, amit keresel, ha fejben tudsz számolni (és ez tanítható), akkor maguk a számok bukkannak fel a fejedben, majd a töredékek kattannak, mint a dió.
Először megtanuljuk, hogy két számot összeszorozhatunk egymással, majd csökkentjük ezt a számot, és felváltva osztjuk ezzel a két számmal, így megtaláljuk a legkisebb többszöröst.
Például két szám 15 és 6. Megszorozzuk, és 90-et kapunk. Ez egyértelműen nagyobb szám. Ráadásul a 15 osztható 3-mal, a 6 pedig osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy a 90-et is elosztjuk 3-mal. 30-at kapunk. Megpróbáljuk elosztani a 30-at 15-tel, az 2. És 30 osztja a 6-ot, az 5. Mivel a 2 a határ, kiderül, hogy a 15 és 6 számok legkisebb többszöröse 30 lesz.
Több számmal ez egy kicsit nehezebb lesz. de ha tudod, hogy melyik szám ad nulla maradékot osztva vagy szorozva, akkor elvileg nincs nagy nehézség.
Íme egy másik módszer a legkisebb közös többszörös megtalálására. Nézzünk egy szemléltető példát.
Egyszerre három szám LCM-jét kell megtalálni: 16, 20 és 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16; 20; 28) = 560.
Így a számítás eredményeként az 560-as számot kaptuk, amely a legkisebb közös többszörös, azaz maradék nélkül osztható a három szám mindegyikével.
A legkisebb közös többszörös az a szám, amely maradék nélkül osztható több adott számmal. Egy ilyen szám kiszámításához minden számot ki kell venni, és egyszerű tényezőkre kell bontani. Az egyező számok törlődnek. Mindenkit egyenként hagy, sorra megszorozza egymás között, és megkapja a kívánt - a legkisebb közös többszöröst.
NOC, ill legkisebb közös többszörös, két vagy több számból álló legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható a megadott számokkal.
Íme egy példa a 30 és 42 legkisebb közös többszörösének megtalálására.
30-nál 2x3x5.
42 esetén ez 2 x 3 x 7. Mivel a 2 és a 3 a 30-as szám bővítésében szerepel, áthúzzuk őket.
Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy a 30 és 42 számok LCM-je 210.
Megtalálni a legkisebb közös többszöröst, néhány egyszerű lépést kell követnie egymás után. Tekintsük ezt két szám példáján: 8 és 12
Ellenőrizzük, hogy a 24 osztható-e 8-cal és 12-vel is, és ez a legkisebb természetes szám, amely osztható ezekkel a számokkal. Itt vagyunk megtalálni a legkisebb közös többszöröst.
Megpróbálom elmagyarázni a 6-os és a 8-as szám példáján. A legkisebb közös többszörös az a szám, amely osztható ezekkel a számokkal (esetünkben 6 és 8), és nem lesz maradék.
Tehát elkezdjük szorozni először a 6-ot 1-gyel, 2-vel, 3-mal stb., és a 8-at 1-gyel, 2-vel, 3-mal stb.
A "Több szám" témát egy általános iskola 5. osztályában tanulják. Célja a matematikai számítások írásbeli és szóbeli készségeinek fejlesztése. Ebben a leckében új fogalmakat vezetnek be - "többszörös számok" és "osztók", a természetes szám osztóinak és többszöröseinek megtalálásának technikáját, valamint az LCM különféle módokon történő megtalálásának képességét.
Ez a téma nagyon fontos. Az ezzel kapcsolatos ismereteket a törtjeles példák megoldásánál lehet alkalmazni. Ehhez meg kell találni a közös nevezőt a legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámításával.
A többszöröse olyan egész szám, amely maradék nélkül osztható A-val.
Minden természetes számnak végtelen számú többszöröse van. A legkevesebbnek tartják. A többszörös nem lehet kisebb, mint maga a szám.
Be kell bizonyítani, hogy a 125 szám többszöröse az 5-nek. Ehhez az első számot el kell osztani a másodikkal. Ha 125 osztható 5-tel maradék nélkül, akkor a válasz igen.
Ez a módszer kis számok esetén alkalmazható.
Az LCM kiszámításakor vannak speciális esetek.
1. Ha meg kell találni egy közös többszöröst 2 számhoz (például 80 és 20), ahol az egyik (80) maradék nélkül osztható a másikkal (20), akkor ez a szám (80) a legkisebb ennek a két számnak a többszöröse.
LCM (80, 20) = 80.
2. Ha kettőnek nincs közös osztója, akkor azt mondhatjuk, hogy az LCM-jük ennek a két számnak a szorzata.
LCM (6, 7) = 42.
Tekintsük az utolsó példát. 6 és 7 a 42-hez képest osztók. Egy többszöröst osztanak el maradék nélkül.
Ebben a példában a 6 és 7 párosztó. A szorzatuk megegyezik a legtöbb többszörös számmal (42).
Egy számot prímnek nevezünk, ha csak önmagával vagy 1-gyel osztható (3:1=3; 3:3=1). A többit kompozitnak nevezik.
Egy másik példában meg kell határoznia, hogy a 9 osztó-e 42-hez képest.
42:9=4 (a maradék 6)
Válasz: A 9 nem osztója 42-nek, mert a válasznak van maradéka.
Az osztó abban különbözik a többszöröstől, hogy az osztó az a szám, amellyel a természetes számokat osztjuk, és maga a többszörös is osztható ezzel a számmal.
A számok legnagyobb közös osztója aés b, megszorozva a legkisebb többszörösükkel, maguknak a számoknak a szorzatát adja aés b.
Nevezetesen: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.
Az összetettebb számok közös többszörösei a következő módon találhatók meg.
Például keresse meg a 168, 180, 3024 LCM-jét.
Ezeket a számokat prímtényezőkre bontjuk, hatványok szorzataként írjuk fel:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM (168, 180, 3024) = 15120.
Meghatározás. Azt a legnagyobb természetes számot nevezzük, amellyel az a és b számok maradék nélkül oszthatók legnagyobb közös osztó (gcd) ezeket a számokat.
Keressük meg a 24 és 35 számok legnagyobb közös osztóját.
A 24 osztói az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a 35 osztói pedig az 1, 5, 7, 35 számok lesznek.
Látjuk, hogy a 24-es és 35-ös számoknak csak egy közös osztójuk van - az 1-es szám. Az ilyen számokat ún. koprime.
Meghatározás. A természetes számokat nevezzük koprime ha a legnagyobb közös osztójuk (gcd) 1.
Legnagyobb közös osztó (GCD) megtalálható anélkül, hogy kiírnánk az adott számok összes osztóját.
A 48-as és 36-os számokat faktorálva kapjuk:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezők közül töröljük azokat, amelyek nem szerepelnek a második szám bővítésében (azaz két kettes).
Maradnak a 2 * 2 * 3 tényezők, szorzatuk 12. Ez a szám a 48 és 36 számok legnagyobb közös osztója. Három vagy több szám legnagyobb közös osztója is megtalálható.
Megtalálni legnagyobb közös osztó
2) az egyik ilyen szám bővítésében szereplő tényezők közül húzza ki azokat, amelyek nem szerepelnek más számok bővítésében;
3) keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát.
Ha minden adott szám osztható valamelyikkel, akkor ez a szám legnagyobb közös osztó adott számokat.
Például a 15, 45, 75 és 180 legnagyobb közös osztója a 15, mivel ez osztja az összes többi számot: 45, 75 és 180.
Legkevésbé közös többszörös (LCM)
Meghatározás. Legkevésbé közös többszörös (LCM) az a és b természetes számok a legkisebb természetes számok, amelyek a és b többszörösei. A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse (LCM) megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit egymás után kiírnánk. Ehhez a 75-öt és a 60-at egyszerű tényezőkre bontjuk: 75 \u003d 3 * 5 * 5 és 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Írjuk ki ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezőket, és adjuk hozzá a második szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket (azaz a tényezőket összevonjuk).
Öt 2 * 2 * 3 * 5 * 5 tényezőt kapunk, melynek szorzata 300. Ez a szám a 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse.
Keresse meg három vagy több szám legkisebb közös többszörösét is.
Nak nek megtalálni a legkisebb közös többszöröst több természetes számra van szüksége:
1) bontsa fel őket prímtényezőkre;
2) írja ki az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket;
3) add hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből;
4) keresse meg a kapott tényezők szorzatát.
Vegye figyelembe, hogy ha ezen számok egyike osztható az összes többi számmal, akkor ez a szám ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse.
Például a 12, 15, 20 és 60 legkisebb közös többszöröse 60 lenne, mivel osztható az összes megadott számmal.
Pythagoras (Kr. e. VI. század) és tanítványai a számok oszthatóságának kérdését tanulmányozták. Egy szám, amely megegyezik az összes osztójának összegével (maga nélkül), tökéletes számnak nevezték. Például a 6 (6 = 1 + 2 + 3), a 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) számok tökéletesek. A következő tökéletes számok a 496, 8128, 33 550 336. A püthagoreusok csak az első három tökéletes számot ismerték. A negyedik - 8128 - az I. században vált ismertté. n. e. Az ötödik - 33 550 336 - a 15. században került elő. 1983-ban már 27 tökéletes számot ismertek. De a tudósok mindeddig nem tudják, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok, hogy létezik-e a legnagyobb tökéletes szám.
Az ókori matematikusok érdeklődése a prímszámok iránt annak köszönhető, hogy bármely szám vagy prímszám, vagy prímszámok szorzataként ábrázolható, vagyis a prímszámok olyanok, mint a tégla, amelyből a többi természetes szám épül.
Valószínűleg Ön is észrevette, hogy a természetes számok sorozatában a prímszámok egyenetlenül fordulnak elő - a sorozat egyes részeiben több, máshol kevesebb. De minél tovább haladunk a számsorok mentén, annál ritkábbak a prímszámok. Felmerül a kérdés: létezik-e az utolsó (legnagyobb) prímszám? Az ókori görög matematikus, Eukleidész (Kr. e. III. század) a „Kezdetek” című könyvében, amely kétezer évig a matematika fő tankönyve volt, bebizonyította, hogy végtelenül sok prímszám van, vagyis minden prímszám mögött páros áll. nagyobb prímszám.
A prímszámok megtalálására egy másik görög matematikus, Eratoszthenész állt elő egy ilyen módszerrel. Felírta az összes számot 1-től valamilyen számig, majd áthúzta az egységet, amely nem prímszám és nem is összetett szám, majd egyen át áthúzta a 2 utáni összes számot (azokat a számokat, amelyek 2-nek, azaz 4-nek többszörösei, 6, 8 stb.). A 2 utáni első szám 3 volt. Kettő után a 3 utáni összes számot áthúztuk (azok a számok, amelyek a 3 többszörösei, azaz 6, 9, 12 stb.). végül csak a prímszámok maradtak áthúzatlanul.
De sok természetes szám egyenletesen osztható más természetes számokkal.
például:
A 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;
A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.
Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható (12 esetén 1, 2, 3, 4, 6 és 12), az ún. számosztók. Természetes szám osztója a az a természetes szám, amely elosztja az adott számot a nyom nélkül. Olyan természetes számot nevezünk, amelynek kettőnél több tényezője van összetett .
Vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös osztói vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12. A két szám közös osztója aés b az a szám, amellyel mindkét adott szám maradék nélkül osztható aés b.
közös többszörös több számot úgy nevezünk, hogy osztható ezekkel a számokkal. például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De 90 és 360 is a közös többszöröseik. Az összes jközös többszörös között mindig ott van a legkisebb, ebben az esetben ez 90. Ezt a számot ún. legkevésbéközös többszörös (LCM).
Az LCM mindig természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie azon számok közül a legnagyobbnál, amelyekre meghatározva van.
Legkisebb közös többszörös (LCM). Tulajdonságok.
Kommutativitás:
Aszociativitás:
Konkrétan, ha és koprímszámok , akkor:
Két egész szám legkisebb közös többszöröse més n az összes többi közös többszörös osztója més n. Sőt, a közös többszörösek halmaza m,n egybeesik az LCM( többszöröseinek halmazával m,n).
Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel.
Így, Csebisev függvény. Szintén:
Ez a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik g(n).
Ami a prímszámok eloszlásának törvényéből következik.
A legkisebb közös többszörös megkeresése (LCM).
NEM C( a, b) többféleképpen is kiszámítható:
1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja annak kapcsolatát az LCM-mel:
2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus felosztása prímtényezőkre:
ahol p 1 ,...,p k különböző prímszámok, és d 1 ,...,d kés e 1 ,...,ek nem negatív egész számok (ezek nullák is lehetnek, ha a megfelelő prím nem szerepel a bővítésben).
Ezután LCM ( a,b) a következő képlettel számítható ki:
Más szavakkal, az LCM dekompozíció tartalmazza az összes olyan prímtényezőt, amely a számok legalább egy dekompozíciójában megjelenik. a, b, és ennek a tényezőnek a két kitevője közül a legnagyobbat vesszük.
Példa:
Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása két szám LCM-jének több egymást követő számítására redukálható:
Szabály. Egy számsorozat LCM-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
- a számokat prímtényezőkre bontani;
- a kívánt szorzat tényezőire átvisszük a legnagyobb bővülést (az adottak közül a legtöbb faktorszám szorzata), majd az első számban nem előforduló, vagy abban szereplő egyéb számok bővüléséből adjunk faktorokat kevesebb alkalommal;
- a prímtényezők eredő szorzata az adott számok LCM-je lesz.
Bármely két vagy több természetes számnak megvan a saját LCM-je. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nem ugyanazok a tényezők a bővítésben, akkor LCM-jük egyenlő ezen számok szorzatával.
A 28-as szám prímtényezőit (2, 2, 7) kiegészítettük 3-as tényezővel (a 21-gyel), így a kapott szorzat (84) a legkisebb, 21-gyel és 28-cal osztható szám lesz.
A legnagyobb 30-as prímtényezőit kiegészítettük a 25-ös szám 5-ös szorzatával, a kapott 150-es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30-as szám, és maradék nélkül osztható az összes megadott számmal. Ez a lehető legkisebb szorzat (150, 250, 300...), amelynek minden megadott szám többszöröse.
A 2,3,11,37 számok prímszámok, tehát LCM-jük megegyezik a megadott számok szorzatával.
szabály. A prímszámok LCM-jének kiszámításához ezeket a számokat össze kell szoroznia.
Egy másik lehetőség:
Több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálásához a következőkre van szüksége:
1) ábrázoljon minden számot prímtényezőinek szorzataként, például:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7,
2) írja le az összes prímtényező hatványait:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,
3) írja fel az egyes számok összes prímosztóját (szorzóját);
4) válassza ki mindegyik közül a legnagyobb fokozatot, amely ezeknek a számoknak az összes kiterjesztésében található;
5) szorozd meg ezeket a hatványokat.
Példa. Keresse meg a 168, 180 és 3024 számok LCM-jét.
Döntés. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,
180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .
Kiírjuk az összes prímosztó legnagyobb hatványait, és megszorozzuk őket:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Két szám legkisebb közös többszöröse közvetlenül kapcsolódik e számok legnagyobb közös osztójához. Ez kapcsolat a GCD és a NOC között a következő tétel határozza meg.
Tétel.
Két pozitív egész a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő az a és b számok szorzatával osztva az a és b számok legnagyobb közös osztójával, azaz LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).
Bizonyíték.
Legyen M az a és b számok többszöröse. Azaz M osztható a-val, és az oszthatóság definíciója szerint van olyan k egész szám, amelyre az M=a·k egyenlőség igaz. De M is osztható b-vel, akkor a k osztható b-vel.
Jelölje gcd(a, b)-t d-ként. Ekkor felírhatjuk az a=a 1 ·d és b=b 1 ·d egyenlőségeket, és az a 1 =a:d és b 1 =b:d koprímszámok lesznek. Ezért az előző bekezdésben kapott feltétel, miszerint a k osztható b-vel, így újrafogalmazható: a 1 d k osztható b 1 d -vel, és ez az oszthatóság tulajdonságai miatt ekvivalens azzal a feltétellel, hogy a 1 k osztható b eggyel.
A vizsgált tételből két fontos következményt is le kell írnunk.
Két szám közös többszörösei megegyeznek a legkisebb közös többszörösük többszörösével.
Ez igaz, mivel M szám a és b tetszőleges közös többszörösét az M=LCM(a, b) t egyenlőség határozza meg valamilyen t egész értékre.
Az a és b pozitív koprímszámok legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzatukkal.
Ennek a ténynek az indoklása teljesen nyilvánvaló. Mivel a és b koprím, akkor gcd(a, b)=1, ezért LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse
Három vagy több szám legkisebb közös többszörösének megtalálása redukálható két szám LCM-jének egymás utáni megtalálására. Ennek mikéntjét a következő tétel mutatja: a 1 , a 2 , …, a k egybeesnek az m k-1 számok közös többszöröseivel, a k pedig egybeesnek m k többszöröseivel. És mivel az m k szám legkisebb pozitív többszöröse maga az m k szám, akkor az a 1 , a 2 , …, a k számok legkisebb közös többszöröse m k .
Bibliográfia.
- Vilenkin N.Ya. stb. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára.
- Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
- Mikhelovich Sh.Kh. Számelmélet.
- Kulikov L.Ya. és mások Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fiz.-mat. pedagógiai intézetek szakterületei.