A kocka teljes felülete. Hogyan találjuk meg a kocka területét és térfogatát

Élesítse magát a kockát. Azt mutatja, hogy a kocka bármelyik lapja négyzet. Így a kocka lapjának területének megtalálásának problémája a négyzetek (a kocka lapjai) területének megtalálásának problémájára redukálódik. A kocka bármelyik lapja lehetséges, mivel minden élének hossza egymás között van.

Példa: Egy kocka élének hossza 11 cm, meg kell találni a területét.

Megoldás: az arc hosszának ismeretében megtalálhatja a területét:

S = 11² = 121 cm²

Válasz: egy 11 cm élű kocka lapjának területe 121 cm²

jegyzet

Minden kockának 8 csúcsa, 12 éle, 6 lapja és 3 lapja van a tetején.
A kocka egy olyan figura, amely hihetetlenül gyakori a mindennapi életben. Elég csak felidézni a játékkockákat, kockákat, kockákat a különféle gyermek- és tinédzsertervezőkben.
Sok építészeti elem köb alakú.
A köbmétert a különféle anyagok mennyiségének mérésére használják a társadalom különböző területein.
Tudományos értelemben a köbméter egy olyan anyag térfogatának mértéke, amely egy 1 m élhosszúságú kockában elfér.
Így más térfogategységeket is megadhat: köbmilliméter, centiméter, deciméter stb.
Az olaj- és gáziparban a különféle köbtérfogat-egységeken kívül egy másik egység - hordó (1 m³ = 6,29 hordó) használata is lehetséges.

Hasznos tanácsok

Ha egy kockánál ismert az élének hossza, akkor a lap felületén kívül a kocka egyéb paraméterei is megtalálhatók, például:
Kocka felülete: S = 6*a²;
Térfogat: V = 6*a³;
A beírt gömb sugara: r = a/2;
A kocka köré körülírt gömb sugara: R = ((√3)*a))/2;
A kocka átlója (a kocka két ellentétes csúcsát összekötő szakasz, amely átmegy a középpontján): d = a*√3

Források:

• egy kocka területe, ha az élek 11 cm-esek

A kocka egy szabályos poliéder, amelynek minden lapja négyzet. A kocka területe a felületének területe, amely a lapjai területének összegéből, azaz a kockát alkotó négyzetek területének összegéből áll.

A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.

Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.

Csodálatos figura a kocka. Minden oldalról ugyanaz. Bármelyik lapja azonnal alapjá vagy oldalsá válhat. És ettől nem fog változni semmi. A számára készült képletek pedig mindig könnyen megjegyezhetők. És nem számít, hogy mit kell megtalálnia - a kocka térfogatát vagy felületét. Ez utóbbi esetben nem is kell újat tanulnia. Elég csak a négyzet területének képletére emlékezni.

Mi az a terület?

Ezt az értéket általában a latin S betűvel jelölik. Sőt, ez igaz az olyan iskolai tárgyakra, mint a fizika és a matematika. A hosszúság négyzetes egységeiben mérik. Minden a feladatban megadott mennyiségektől függ. Lehet mm, cm, m vagy km négyzet. Sőt, vannak olyan esetek, amikor az egységeket nem is jelzik. Egyszerűen a terület név nélküli számszerű kifejezéséről beszélünk.

Tehát mi az a terület? Ez egy olyan érték, amely a kérdéses ábra vagy térfogattest numerikus jellemzője. Felületének méretét mutatja, amelyet az ábra oldalai korlátoznak.

Milyen formát nevezünk kockának?

Ez az ábra egy poliéder. És nem könnyű. Helyes, vagyis minden eleme egyenlő egymással. Legyen az oldalak vagy élek. A kocka minden felülete négyzet.

A kocka másik neve egy szabályos hexaéder, ha oroszul, akkor hatszög. Kialakítható négyszög hasábból vagy paralelepipedonból. Feltéve, hogy minden él egyenlő és a szögek 90 fokosak.

Ez a figura annyira harmonikus, hogy gyakran használják a mindennapi életben. Például a baba első játékai kockák. Az idősebbek számára pedig szórakoztató a Rubik-kocka.

Hogyan kapcsolódik a kocka más alakzatokhoz és testekhez?

Ha egy kocka olyan szakaszát rajzolja, amely áthalad a három lapján, akkor háromszögnek fog kinézni. Ahogy távolodsz a tetejétől, a rész nagyobb lesz. Eljön a pillanat, amikor már 4 arc metszi egymást, és a metszetben lévő figura négyszög lesz. Ha a kocka közepén úgy rajzolunk egy metszetet, hogy az merőleges legyen a főátlóira, akkor szabályos hatszöget kapunk.

A kocka belsejében tetraédert (háromszög alakú piramist) rajzolhat. Egyik sarkát a tetraéder csúcsának tekintjük. A maradék három egybeesik azokkal a csúcsokkal, amelyek a kocka kiválasztott sarkának éleinek ellentétes végein fekszenek.

Egy oktaéder (konvex szabályos poliéder, amely úgy néz ki, mint két összefüggő piramis) írható bele. Ehhez meg kell találnia a kocka összes lapjának középpontját. Ezek lesznek az oktaéder csúcsai.

Lehetséges a fordított művelet is, vagyis valóban lehet kockát illeszteni az oktaéder belsejébe. Csak most az első lapjainak középpontjai lesznek a második csúcsai.

1. módszer: egy kocka területének kiszámítása a szélétől

A kocka teljes felületének kiszámításához ismernie kell az egyik elemét. A legegyszerűbben úgy oldható meg, ha ismeri az élét, vagy más szóval a négyzet oldalát, amelyből áll. Általában ezt az értéket a latin "a" betű jelöli.

Most emlékeznie kell a képletre, amellyel a négyzet területét kiszámítják. A megzavarás elkerülése érdekében a jelölését az S 1 betű vezeti be.

A kényelem érdekében jobb, ha minden képlethez számokat ad. Ez lesz az első.

De ez csak egy négyzet területe. Hat van belőle: 4 oldalt és 2 alul és felül. Ezután a kocka felületét a következő képlettel számítjuk ki: S = 6 * a 2 . A száma 2.

2. módszer: hogyan számítsuk ki a területet, ha ismert a test térfogata

A hexaéder térfogatának matematikai kifejezéséből származtatunk egyet, amelyből kiszámíthatjuk az él hosszát. Ott van:

A számozás folytatódik, és itt a 3.

Most kiszámolható és behelyettesíthető a második képletbe. Ha a matematika normái szerint cselekszünk, akkor a következő kifejezést kell levezetnünk:

Ez a képlet a kocka teljes felületének területére, amelyet akkor lehet használni, ha a térfogat ismert. Ez a rekordszám a 4.

3. módszer: Terület kiszámítása a kocka átlójából

Ez az 5-ös számú képlet.

Ebből könnyen származtatható egy kifejezés a kocka élére:

Ez a hatodik képlet. Kiszámítása után ismét használhatja a második szám alatti képletet. De jobb valami ilyesmit írni:

Kiderül, hogy a számozás 7. Ha alaposan megnézi, észre fogja venni, hogy az utolsó képlet kényelmesebb, mint a lépésről lépésre történő számítás.

4. módszer: Hogyan kell használni egy beírt vagy körülírt kör sugarát a kocka területének kiszámításához

Ha a hexaéderre körülírt kör sugarát R betűvel jelöljük, akkor a kocka felülete könnyen kiszámítható a következő képlettel:

Sorozatszáma 8. Könnyen beszerezhető, mivel a kör átmérője teljesen egybeesik a főátlóval.

A beírt kör sugarát latin r betűvel jelölve a következő képletet kaphatjuk a hexaéder teljes felületének területére:

Ez a 9-es számú képlet.

Néhány szó a hexaéder oldalfelületéről

Ha a problémában meg kell találni a kocka oldalsó felületének területét, akkor a fent leírt technikát kell használnia. Ha a test éle már adott, akkor csak a négyzet területét kell megszorozni 4-gyel. Ez az ábra annak köszönhető, hogy a kockának csak 4 oldallapja van. Ennek matematikai jelölése a kifejezés a következő:

Száma 10. Ha más értékeket adunk meg, akkor a fent leírt módszerekhez hasonlóan járjunk el.

Feladatpéldák

Első feltétel. A kocka felülete ismert. 200 cm²-nek felel meg. Számítsa ki egy kocka főátlóját!

1 út. Használnia kell a képletet, amelyet a 2-es szám jelöl. Nem lesz nehéz „a”-t levezetni belőle. Ez a matematikai jelölés úgy fog kinézni, mint az S hányados 6-tal egyenlő négyzetgyöke. A számok behelyettesítése után a következőt kapjuk:

a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).

Az ötödik képlet lehetővé teszi a kocka főátlójának azonnali kiszámítását. Ehhez meg kell szorozni az él értékét √3-mal. Ez egyszerű. A válasz az átlója 10 cm.

2 út. Ha elfelejtette az átló képletét, de emlékezzen a Pitagorasz-tételre.

Az első módszerhez hasonlóan keresse meg az élt. Ezután kétszer kell leírnia a hipotenusz tételét: az elsőt az arc háromszögéhez, a másodikat pedig ahhoz, amelyik tartalmazza a szükséges átlót.

x² = a² + a², ahol x a négyzet átlója.

d² \u003d x² + a² \u003d a² + a² + a² \u003d 3 a². Ebből a bejegyzésből jól látható, hogyan kapjuk meg az átló képletét. És akkor az összes számítás olyan lesz, mint az első módszernél. Kicsit hosszabb, de lehetővé teszi, hogy ne emlékezzen a képletre, hanem saját maga szerezze be.

Válasz: Egy kocka átlója 10 cm.

Második feltétel. Az ismert felületből, amely 54 cm 2, számítsa ki a kocka térfogatát!

A második szám alatti képlet segítségével meg kell találnia a kocka élének értékét. Ennek módja az előző probléma megoldásának első módszerében van részletesen leírva. Az összes számítás elvégzése után azt kapjuk, hogy a \u003d 3 cm.

Most egy kocka térfogatának képletét kell használni, amelyben az él hosszát a harmadik hatványra emeljük. Ez azt jelenti, hogy a térfogatot a következőképpen kell figyelembe venni: V \u003d 3 3 \u003d 27 cm 3.

Válasz: egy kocka térfogata 27 cm3.

Harmadik feltétel. Meg kell találni egy kocka élét, amelyre a következő feltétel teljesül. Ha az élt 9 egységgel növeljük, a teljes felület 594-el nő.

Mivel a feladatban nincsenek kifejezett számok, csak a különbség, ami volt és ami lett, ezért további jelöléseket kell bevezetni. Ez nem nehéz. Legyen a kívánt érték egyenlő "a"-val. Ekkor a kocka megnövelt éle egyenlő lesz (a + 9).

Ennek ismeretében kétszer meg kell írni a kocka felületének képletét. Az első - az él kezdeti értéke - megegyezik a 2-es számozással. A második kissé eltérő lesz. Ebben az "a" helyett az összeget kell írni (a + 9). Mivel a probléma a területi különbséggel foglalkozik, a nagyobb területből ki kell vonni a kisebbet:

6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 \u003d 594.

Átalakításokat kell végrehajtania. Először tedd zárójelbe a 6-ost az egyenlet bal oldalán, majd egyszerűsítsd a zárójelben maradókat. Mégpedig (a + 9) 2 - a 2 . Ide írjuk a négyzetek különbségét, amely a következőképpen konvertálható: (a + 9 - a) (a + 9 + a). A kifejezés egyszerűsítése után 9(2a + 9)-t kapunk.

Most meg kell szorozni 6-tal, vagyis azzal a számmal, amely a zárójel előtt volt, és egyenlőnek kell lennie 594: 54 (2a + 9) \u003d 594-gyel. Ez egy lineáris egyenlet egy ismeretlennel. Könnyen megoldható. Először ki kell nyitnia a zárójeleket, majd az ismeretlen értékű kifejezést az egyenlőség bal oldalára, a számokat pedig jobbra kell mozgatnia. A következő egyenletet kapjuk: 2a \u003d 2. Ebből látható, hogy a kívánt érték 1.

Ez az ábra összes felületének összterülete. Egy kocka felülete egyenlő a hat lapja területének összegével. A felület egy felület numerikus jellemzője. A kocka felületének kiszámításához ismernie kell egy bizonyos képletet és a kocka egyik oldalának hosszát. A kocka felületének gyors kiszámításához emlékeznie kell a képletre és magára az eljárásra. Az alábbiakban részletesen elemezzük a számítás sorrendjét a kocka teljes felületeés mondjon konkrét példákat.

Az SA \u003d 6a 2 képlet szerint hajtják végre. A kocka (szabályos hatszög) a szabályos poliéderek 5 típusának egyike, amely szabályos téglalap alakú paralelepipedon, a kockának 6 lapja van, ezek mindegyike négyzet.

Mert a kocka felületének kiszámítása Fel kell írni az SA = 6a 2 képletet. Most nézzük meg, miért van ennek a képletnek ilyen alakja. Ahogy korábban említettük, egy kockának hat egyenlő négyzetlapja van. Abból a tényből kiindulva, hogy a négyzet oldalai egyenlőek, a négyzet területe - a 2, ahol a a kocka oldala. Mivel egy kockának 6 egyenlő négyzetlapja van, a felületének meghatározásához meg kell szorozni egy lap (négyzet) területét hattal. Ennek eredményeként egy képletet kapunk a kocka felületének (SA) kiszámításához: SA \u003d 6a 2, ahol a a kocka éle (a négyzet oldala).

Mekkora egy kocka felülete.

Mérése négyzetegységben történik, például mm 2, cm 2, m 2 és így tovább. További számításokhoz meg kell mérnie a kocka szélét. Mint tudjuk, a kocka élei egyenlőek, így elég lesz a kocka egyetlen (bármelyik) élét megmérni. Egy ilyen mérést vonalzóval (vagy mérőszalaggal) végezhet. Ügyeljen a vonalzón vagy mérőszalagon lévő mértékegységekre, és írja le az értéket, jelölje a-val.

Példa: a = 2 cm.

A kapott értéket négyzetre emeljük. Tehát a kocka élhosszát négyzetre emeli. Egy szám négyzetre emeléséhez szorozza meg önmagával. Képletünk így fog kinézni: SA \u003d 6 * a 2

Kiszámoltad egy kocka egyik lapjának területét.

Példa: a = 2 cm

a 2 \u003d 2 x 2 = 4 cm 2

A kapott értéket megszorozzuk hattal. Ne feledje, hogy egy kockának 6 egyenlő oldala van. Miután meghatározta az egyik lap területét, szorozza meg a kapott értéket 6-tal, hogy a kocka összes lapja szerepeljen a számításban.

Itt elérkeztünk az utolsó művelethez a kocka felületének kiszámítása.

Példa: a 2 \u003d 4 cm 2

SA \u003d 6 x a 2 = 6 x 4 = 24 cm 2