A képlet aritmetikai progressziójának tulajdonságai. Egy aritmetikai sorozat első n-es tagjának összege

Ha minden természetes szám n valós számmal felel meg a n , akkor azt mondják, hogy adott számsorozat :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Tehát a numerikus sorozat egy természetes argumentum függvénye.

Szám a 1 hívott a sorozat első tagja , szám a 2 — a sorozat második tagja , szám a 3 — harmadik stb. Szám a n hívott a sorozat n-edik tagja , és a természetes szám n — a számát .

Két szomszédos tagtól a n és a n +1 tagszekvenciák a n +1 hívott későbbi (felé a n ), a a n — előző (felé a n +1 ).

Sorozat megadásához meg kell adni egy metódust, amely lehetővé teszi egy tetszőleges számú sorozattag megtalálását.

A szekvenciát gyakran -val adják meg n-edik tagképletek , azaz egy képlet, amely lehetővé teszi egy sorozattag meghatározását a száma alapján.

Például,

a pozitív páratlan számok sorozata a képlettel adható meg

a n= 2n- 1,

és a váltakozás sorrendje 1 és -1 - képlet

b n = (-1)n +1 . ◄

A sorrend meghatározható visszatérő képlet, vagyis egy képlet, amely a sorozat bármely tagját kifejezi, néhánytól kezdve, az előző (egy vagy több) tagon keresztül.

Például,

ha a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ha egy egy 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , akkor a numerikus sorozat első hét tagja a következőképpen van beállítva:

egy 1 = 1,

a 2 = 1,

egy 3 = egy 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + egy 3 = 1 + 2 = 3,

egy 5 = egy 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

A szekvenciák lehetnek végső és végtelen .

A sorozat az ún végső ha véges számú tagja van. A sorozat az ún végtelen ha végtelenül sok tagja van.

Például,

kétjegyű természetes számok sorozata:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

végső.

Prímszám sorozat:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

végtelen. ◄

A sorozat az ún növekvő , ha minden tagja a másodiktól kezdve nagyobb, mint az előző.

A sorozat az ún fogyó , ha minden tagja a másodiktól kezdve kisebb, mint az előző.

Például,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . egy növekvő sorozat;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . egy csökkenő sorozat. ◄

Olyan sorozatot nevezünk, amelynek elemei a szám növekedésével nem csökkennek, vagy éppen ellenkezőleg, nem nőnek monoton sorozat .

A monoton szekvenciák különösen növekvő és csökkenő szekvenciák.

Aritmetikai progresszió

Aritmetikai progresszió sorozatot hívunk meg, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, amelyhez ugyanannyit adunk.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

egy aritmetikai progresszió, ha bármely természetes számra n feltétel teljesül:

a n +1 = a n + d,

ahol d - néhány szám.

Így az adott számtani sorozat következő és előző tagjai közötti különbség mindig állandó:

a 2 - a 1 = egy 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Szám d hívott egy aritmetikai sorozat különbsége.

A számtani progresszió beállításához elegendő megadni az első tagot és a különbséget.

Például,

ha a 1 = 3, d = 4 , akkor a sorozat első öt tagja a következőképpen található:

egy 1 =3,

a 2 = egy 1 + d = 3 + 4 = 7,

egy 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = egy 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Az első taggal végzett aritmetikai sorozathoz a 1 és a különbség d neki n

a n = egy 1 + (n- 1)d.

Például,

keresse meg egy aritmetikai sorozat harmincadik tagját

1, 4, 7, 10, . . .

egy 1 =1, d = 3,

egy 30 = egy 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = egy 1 + (n- 2)d,

a n= egy 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

akkor nyilván

a n=	a n-1 + a n+1
	2

a számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző és az azt követő tagok számtani átlagával.

az a, b és c számok akkor és csak akkor egymást követő tagjai valamelyik számtani sorozatnak, ha az egyik egyenlő a másik kettő számtani átlagával.

Például,

a n = 2n- 7 , egy aritmetikai sorozat.

Használjuk a fenti állítást. Nekünk van:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ennélfogva,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Vegye figyelembe, hogy n egy aritmetikai sorozat -edik tagja nem csak azon keresztül található meg a 1 , hanem bármely korábbi a k

a n = a k + (n- k)d.

Például,

számára a 5 lehet írni

egy 5 = egy 1 + 4d,

egy 5 = a 2 + 3d,

egy 5 = egy 3 + 2d,

egy 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

akkor nyilván

a n=	a n-k + a n+k
	2

egy aritmetikai sorozat bármely tagja a másodiktól kezdve egyenlő a tőle egyenlő távolságra lévő számtani sorozat tagjainak összegének felével.

Ezen túlmenően minden számtani progresszióra igaz az egyenlőség:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Például,

számtani haladásban

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = egy 10 = egy 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) egy 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, mint

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

egy 5 + egy 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

első n egy aritmetikai sorozat tagjai egyenlő a szélső tagok összegének felének a tagok számával való szorzatával:

Ebből különösen az következik, hogy ha szükséges a feltételek összegzése

a k, a k +1 , . . . , a n,

akkor az előző képlet megtartja szerkezetét:

Például,

számtani haladásban 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ha aritmetikai progressziót adunk meg, akkor a mennyiségeket a 1 , a n, d, nésS n két képlet kapcsolja össze:

Ezért, ha ezen mennyiségek közül három értékét adjuk meg, akkor a másik két mennyiség megfelelő értékeit ezekből a képletekből határozzuk meg, amelyeket két egyenletrendszerbe kombinálunk két ismeretlennel.

Az aritmetikai sorozat egy monoton sorozat. Ahol:

• ha d > 0 , akkor növekszik;
• ha d < 0 , akkor csökken;
• ha d = 0 , akkor a sorozat stacioner lesz.

Geometriai progresszió

geometriai progresszió sorozatot hívunk, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

geometriai progresszió, ha bármely természetes számra n feltétel teljesül:

b n +1 = b n · q,

ahol q ≠ 0 - néhány szám.

Így ennek a geometriai progressziónak a következő tagjának az előzőhöz viszonyított aránya egy állandó szám:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Szám q hívott geometriai progresszió nevezője.

A geometriai progresszió beállításához elegendő annak első tagját és nevezőjét megadni.

Például,

ha b 1 = 1, q = -3 , akkor a sorozat első öt tagja a következőképpen található:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 és nevező q neki n -a kifejezés a következő képlettel kereshető:

b n = b 1 · q n -1 .

Például,

keresse meg a geometriai progresszió hetedik tagját 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

akkor nyilván

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

a geometriai progresszió minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző és az azt követő tagok mértani átlagával (arányos).

Mivel ennek az ellenkezője is igaz, a következő állítás igaz:

az a, b és c számok akkor és csak akkor egymást követő tagjai valamilyen geometriai haladásnak, ha az egyik négyzete egyenlő a másik kettő szorzatával, vagyis az egyik szám a másik kettő mértani közepe.

Például,

bizonyítsuk be, hogy a képlet által adott sorozat b n= -3 2 n , egy geometriai progresszió. Használjuk a fenti állítást. Nekünk van:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Ennélfogva,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ami bizonyítja a szükséges állítást. ◄

Vegye figyelembe, hogy n egy geometriai progresszió th tagját nem csak ezen keresztül találhatjuk meg b 1 , hanem bármely korábbi kifejezés is b k , amelyhez elegendő a képletet használni

b n = b k · q n - k.

Például,

számára b 5 lehet írni

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

akkor nyilván

b n 2 = b n - k· b n + k

egy geometriai sorozat bármely tagjának négyzete a másodiktól kezdve egyenlő a haladás tőle egyenlő távolságra lévő tagok szorzatával.

Ezenkívül bármely geometriai progresszióra igaz az egyenlőség:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Például,

exponenciálisan

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , mint

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

első n nevezővel rendelkező geometriai progresszió tagjai q ≠ 0 képlettel számolva:

És mikor q = 1 - a képlet szerint

S n= n.b. 1

Jegyezzük meg, hogy ha összegeznünk kell a feltételeket

b k, b k +1 , . . . , b n,

akkor a következő képletet használjuk:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Például,

exponenciálisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ha adott egy geometriai progresszió, akkor a mennyiségek b 1 , b n, q, nés S n két képlet kapcsolja össze:

Ezért, ha ezen mennyiségek közül bármelyik három értékét megadjuk, akkor a másik két mennyiség megfelelő értékeit ezekből a képletekből határozzuk meg, amelyeket két egyenletrendszerbe vonunk össze két ismeretlennel.

Egy geometriai progresszióhoz az első taggal b 1 és nevező q a következők történnek monotonitási tulajdonságok :

• a progresszió növekszik, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

b 1 > 0 és q> 1;

b 1 < 0 és 0 < q< 1;

• A progresszió csökken, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

b 1 > 0 és 0 < q< 1;

b 1 < 0 és q> 1.

Ha egy q< 0 , akkor a geometriai progresszió előjel-váltakozó: a páratlan számú tagok előjele megegyezik az első tagjával, a páros tagok pedig az ellenkező előjellel. Nyilvánvaló, hogy a váltakozó geometriai progresszió nem monoton.

Az első terméke n A geometriai progresszió tagjai a következő képlettel számíthatók ki:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Például,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió végtelen geometriai progressziónak nevezzük, amelynek a nevező modulusa kisebb, mint 1 , azaz

|q| < 1 .

Vegye figyelembe, hogy a végtelenül csökkenő geometriai progresszió nem feltétlenül csökkenő sorozat. Ez megfelel az esetnek

1 < q< 0 .

Ilyen nevező esetén a sorozat jel-váltakozó. Például,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege nevezd meg azt a számot, amelyhez az első összege tartozik n a progresszió szempontjából a szám korlátlan növekedésével n . Ez a szám mindig véges, és a képlettel fejezzük ki

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Például,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

A számtani és a geometriai progresszió kapcsolata

Az aritmetikai és a geometriai progresszió szorosan összefügg. Nézzünk csak két példát.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , azután

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Például,

1, 3, 5, . . . — aritmetikai progresszió különbséggel 2 és

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . egy nevezővel rendelkező geometriai progresszió 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . egy nevezővel rendelkező geometriai progresszió q , azután

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetikai progresszió különbséggel log aq .

Például,

2, 12, 72, . . . egy nevezővel rendelkező geometriai progresszió 6 és

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetikai progresszió különbséggel lg 6 . ◄

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Az aritmetikai sorozat olyan számsor, amelyben minden szám ugyanannyival nagyobb (vagy kisebb), mint az előző.

Ez a téma gyakran nehéz és érthetetlen. Betűindexek, a haladás n-edik tagja, a progresszió különbsége - mindez valahogy zavaró, igen... Találjuk ki az aritmetikai sorozat jelentését, és azonnal minden rendben lesz.)

A számtani progresszió fogalma.

Az aritmetikai progresszió egy nagyon egyszerű és világos fogalom. Kétség? Hiába.) Nézd meg magad.

Leírok egy befejezetlen számsort:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Meg tudod hosszabbítani ezt a sort? Milyen számok lesznek ezután az ötös után? Mindenki... ööö..., egyszóval mindenki rájön, hogy a 6, 7, 8, 9 stb. számok tovább mennek.

Bonyolítsuk a feladatot. Adok egy befejezetlen számsort:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Megkaphatja a mintát, kiterjesztheti a sorozatot és elnevezheti hetedik sorszám?

Ha rájött, hogy ez a szám 20 - gratulálok! Nem csak érezted az aritmetikai progresszió kulcspontjai, hanem sikeresen alkalmazta őket az üzleti életben is! Ha nem érted, olvass tovább.

Most fordítsuk le az érzetek kulcsfontosságú pontjait a matematikára.)

Első kulcsfontosságú pont.

Az aritmetikai progresszió számsorokkal foglalkozik. Ez elsőre zavaró. Hozzászoktunk, hogy egyenleteket oldjunk meg, grafikonokat építsünk és minden ilyesmit... Aztán kibővítjük a sorozatot, megkeressük a sorozat számát...

Jól van. Csak hát a progresszió az első ismerkedés a matematika egy új ágával. A szakasz neve "Sorozat", és számsorokkal és kifejezésekkel működik. Hozzászokik.)

Második kulcspont.

A számtani sorozatban bármely szám eltér az előzőtől ugyanennyivel.

Az első példában ez a különbség egy. Bármelyik számot is választja, az eggyel több, mint az előző. A másodikban - három. Bármely szám háromszor nagyobb, mint az előző. Valójában ez a pillanat az, amely lehetőséget ad arra, hogy elkapjuk a mintát, és kiszámítsuk a következő számokat.

Harmadik kulcsfontosságú pont.

Ez a pillanat nem feltűnő, igen... De nagyon-nagyon fontos. Ott van: minden progressziószám a helyén van. Van az első szám, van a hetedik, van a negyvenötödik, és így tovább. Ha véletlenül összekeveri őket, a minta eltűnik. Az aritmetikai progresszió is eltűnik. Ez csak egy számsor.

Ez az egész lényeg.

Természetesen az új témában új kifejezések és jelölések jelennek meg. Tudniuk kell. Ellenkező esetben nem fogja megérteni a feladatot. Például valamit el kell döntenie:

Írja fel az aritmetikai sorozat (a n) első hat tagját, ha a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirál?) Levelek, néhány tárgymutató... És a feladat egyébként nem is lehetne könnyebb. Csak meg kell értened a kifejezések és a jelölések jelentését. Most elsajátítjuk ezt a kérdést, és visszatérünk a feladathoz.

Kifejezések és megnevezések.

Aritmetikai progresszió olyan számsor, amelyben minden szám különbözik az előzőtől ugyanennyivel.

Ezt az értéket hívják . Foglalkozzunk ezzel a fogalommal részletesebben.

Aritmetikai progresszió különbség.

Aritmetikai progresszió különbség az az összeg, amennyivel bármely progressziós szám több az előzőt.

Egy fontos pont. Kérjük, figyeljen a szóra "több". Matematikailag ez azt jelenti, hogy minden progressziószámot megkapunk hozzátéve egy aritmetikai sorozat különbsége az előző számhoz képest.

A számításhoz mondjuk második sorszámokat, akkor szükséges első szám add hozzá ez a különbség az aritmetikai sorozatban. Számításhoz ötödik- a különbség szükséges add hozzá nak nek negyedik hát stb.

Aritmetikai progresszió különbség lehet pozitív akkor a sorozat minden száma valódinak bizonyul több, mint az előző. Ezt a progressziót ún növekvő. Például:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Itt van minden szám hozzátéve pozitív szám, +5 az előzőhöz.

A különbség lehet negatív akkor a sorozat minden száma az lesz kevesebb, mint az előző. Ezt a folyamatot hívják (nem hiszed el!) csökkenő.

Például:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Itt is minden számot kapunk hozzátéve az előző, de már negatív számra, -5.

Egyébként, ha progresszióval dolgozunk, nagyon hasznos azonnal meghatározni annak jellegét - hogy növekszik vagy csökken. Sokat segít eligazodni a döntésben, feltárni a hibáidat és kijavítani, amíg nem késő.

Aritmetikai progresszió különbségáltalában betűvel jelölik d.

Hogyan lehet megtalálni d? Nagyon egyszerű. A sorozat tetszőleges számából ki kell vonni előző szám. Kivonás. Egyébként a kivonás eredményét "különbségnek" nevezik.)

Határozzuk meg pl. d a növekvő aritmetikai progresszióhoz:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kivesszük a sor tetszőleges számát, például 11-et. Vonjunk ki belőle az előző szám azok. nyolc:

Ez a helyes válasz. Ennél az aritmetikai sorozatnál a különbség három.

Csak vehetsz tetszőleges számú progresszió, mert egy adott progresszióhoz d-Mindig ugyanaz. Legalább valahol a sor elején, legalább a közepén, legalább bárhol. Nem veheti csak a legelső számot. Csak mert a legelső szám nincs előző.)

Mellesleg ennek ismeretében d=3, ennek a progressziónak a hetedik számának megtalálása nagyon egyszerű. Hozzáadunk 3-at az ötödik számhoz - megkapjuk a hatodikat, ebből 17 lesz. A hatodik számhoz hozzáadunk hármat, így a hetedik számot kapjuk - húsz.

Határozzuk meg d csökkenő számtani progresszióhoz:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Emlékeztetlek arra, hogy a jelektől függetlenül meg kell határozni d bármely számból szükséges vegye el az előzőt. Tetszőleges számú progressziót választunk, például -7. Korábbi száma -2. Azután:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Egy aritmetikai sorozat különbsége tetszőleges szám lehet: egész, tört, irracionális, tetszőleges.

Egyéb kifejezések és megnevezések.

A sorozat minden számát hívják egy aritmetikai sorozat tagja.

A progresszió minden tagja megvan a száma. A számok szigorúan sorrendben vannak, minden trükk nélkül. Első, második, harmadik, negyedik stb. Például a 2, 5, 8, 11, 14, ... kettes az első tag, öt a második, tizenegy a negyedik, nos, érted...) Kérem, értse világosan - maguk a számok lehet teljesen bármilyen, egész, töredékes, negatív, bármi, de számozás- szigorúan rendben!

Hogyan írjunk előrehaladást általános formában? Nincs mit! A sorozat minden száma betűként van írva. Az aritmetikai progresszió jelölésére általában a betűt használják a. A tagszámot a jobb alsó sarokban található index jelzi. A tagokat vesszővel (vagy pontosvesszővel) elválasztva írjuk, így:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

egy 1 az első szám egy 3- harmadik stb. Semmi trükkös. Ezt a sorozatot röviden így írhatod: (a n).

Vannak előrehaladások véges és végtelen.

végső a progressziónak korlátozott számú tagja van. Öt, harmincnyolc, bármi. De ez egy véges szám.

Végtelen progresszió – végtelen számú tagja van, ahogy sejtheti.)

Írhatsz egy végső haladást egy ilyen sorozaton keresztül, minden taggal és egy ponttal a végén:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Vagy így, ha sok tagja van:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Egy rövid bejegyzésben még meg kell adni a tagok számát. Például (húsz tag esetén) így:

(a n), n = 20

A végtelen haladás felismerhető a sor végén lévő ellipszisről, mint az ebben a leckében szereplő példákban.

Most már lehet feladatokat megoldani. A feladatok egyszerűek, pusztán az aritmetikai sorozat jelentésének megértését szolgálják.

Példák a számtani progresszió feladatára.

Nézzük meg közelebbről a fenti feladatot:

1. Írja fel az aritmetikai sorozat (a n) első hat tagját, ha a 2 = 5, d = -2,5!

A feladatot lefordítjuk érthető nyelvre. Adott egy végtelen számtani sorozat. Ennek a haladásnak a második száma ismert: a 2 = 5. Ismert progresszióbeli különbség: d = -2,5. Meg kell találnunk ennek a haladásnak az első, harmadik, negyedik, ötödik és hatodik tagját.

Az érthetőség kedvéért leírok egy sorozatot a probléma állapotának megfelelően. Az első hat tag, ahol a második tag öt:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

egy 3 = a 2 + d

Behelyettesítjük a kifejezésben a 2 = 5és d=-2,5. Ne felejtsd el a mínuszt!

egy 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

A harmadik tag rövidebb, mint a második. Minden logikus. Ha a szám nagyobb, mint az előző negatívértékét, így maga a szám kisebb lesz, mint az előző. A haladás csökken. Oké, vegyük figyelembe.) Sorozatunk negyedik tagját tekintjük:

a 4 = egy 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

egy 5 = a 4 + d

egy 5=0+(-2,5)= - 2,5

egy 6 = egy 5 + d

egy 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Tehát a harmadiktól a hatodikig terjedő feltételeket kiszámítottuk. Ennek eredménye egy sorozat:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Már csak az első kifejezést kell megtalálni egy 1 a jól ismert második szerint. Ez egy lépés a másik irányba, balra.) Ebből adódik az aritmetikai progresszió különbsége d nem szabad hozzáadni a 2, a elvitel:

egy 1 = a 2 - d

egy 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ennyiről van szó. Feladat válasz:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Mellékesen megjegyzem, hogy ezt a feladatot megoldottuk visszatérőút. Ez a szörnyű szó csak annyit jelent, hogy a fejlődés egy tagját keresik az előző (szomszédos) számmal. A progresszióval való munka egyéb módjairól később lesz szó.

Ebből az egyszerű feladatból egy fontos következtetést lehet levonni.

Emlékezik:

Ha ismerjük egy aritmetikai sorozat legalább egy tagját és különbségét, akkor ennek a sorozatnak bármelyik tagját megtalálhatjuk.

Emlékezik? Ez az egyszerű következtetés lehetővé teszi számunkra, hogy megoldjuk az iskolai tanfolyam legtöbb problémáját ebben a témában. Minden feladat három fő paraméter körül forog: egy aritmetikai sorozat tagja, egy szakasz különbsége, egy progresszió tagjának száma. Minden.

Természetesen az összes korábbi algebra nem törlődik.) Egyenlőtlenségek, egyenletek és egyéb dolgok kapcsolódnak a progresszióhoz. De a progresszió szerint- minden három paraméter körül forog.

Vegyünk például néhány népszerű feladatot ebben a témában.

2. Írja fel a végső számtani folyamatot sorozatként, ha n=5, d=0,4 és a 1=3,6.

Itt minden egyszerű. Már minden adott. Emlékeznie kell egy aritmetikai sorozat tagjainak kiszámítására, számolására és lejegyzésére. Javasoljuk, hogy ne hagyja ki a feladatfeltételben szereplő szavakat: "végső" és " n=5". Hogy ne számoljon addig, amíg teljesen elkékül az arca.) Csak 5 (öt) tag van ebben a folyamatban:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 = a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = egy 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

egy 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Már csak le kell írni a választ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Egy másik feladat:

3. Határozza meg, hogy a 7-es szám tagja-e egy aritmetikai sorozatnak (a n), ha a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Ki tudja? Hogyan definiáljunk valamit?

Hogyan-hogyan... Igen, írd le a haladást sorozat formájában, és nézd meg, lesz-e hetes vagy sem! Hisszük:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = egy 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Most már jól látható, hogy csak heten vagyunk átcsúszott 6,5 és 7,7 között! A hetes nem került be a számsorunkba, így a hetes nem lesz tagja az adott haladásnak.

Válasz: nem.

És itt van egy feladat, amely a GIA valódi verzióján alapul:

4. Az aritmetikai sorozat több egymást követő tagja van kiírva:

...; tizenöt; X; kilenc; 6; ...

Itt van egy sorozat kezdet és vége nélkül. Nincs tagszám, nincs különbség d. Jól van. A probléma megoldásához elég megérteni egy aritmetikai sorozat jelentését. Lássuk és lássuk, mit tudunk felfedez ebből a sorból? Melyek a három fő paraméterei?

Tagszámok? Itt nincs egyetlen szám sem.

De van három szám és - figyelem! - szó "egymást követő"állapotban. Ez azt jelenti, hogy a számok szigorúan rendben vannak, hiányosságok nélkül. Kettő van ebben a sorban? szomszédos ismert számok? Igen van! Ezek 9 és 6. Így ki tudjuk számolni egy számtani sorozat különbségét! A hatból kivonjuk előző szám, azaz kilenc:

Maradtak üres helyek. Melyik lesz az előző szám x-hez? Tizenöt. Tehát x könnyen megtalálható egyszerű összeadással. A 15-höz hozzáadjuk az aritmetikai sorozat különbségét:

Ez minden. Válasz: x=12

Az alábbi problémákat magunk oldjuk meg. Megjegyzés: ezek a rejtvények nem képletekhez valók. Pusztán azért, hogy megértsük a számtani sorozat jelentését.) Csak felírunk egy sor számot-betűt, nézzünk és gondolkodjunk.

5. Határozza meg az aritmetikai sorozat első pozitív tagját, ha a 5 = -3; d = 1,1.

6. Ismeretes, hogy az 5,5 szám az aritmetikai sorozat (a n) tagja, ahol a 1 = 1,6; d = 1,3. Határozzuk meg ennek a tagnak az n számát!

7. Ismeretes, hogy egy aritmetikai sorozatban a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Keress egy 3-ast.

8. Az aritmetikai sorozat több egymást követő tagja van kiírva:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Keresse meg a progresszió tagját, amelyet x betű jelöl!

9. A vonat elindult az állomásról, fokozatosan, percenként 30 méterrel növelve a sebességét. Mekkora lesz a vonat sebessége öt perc múlva? Válaszát km/h-ban adja meg.

10. Ismeretes, hogy egy aritmetikai sorozatban a 2 = 5; a 6 = -5. Keress egy 1.

Válaszok (rendetlenségben): 7,7; 7,5; 9,5; kilenc; 0,3; 4.

Minden sikerült? Elképesztő! A számtani progressziót magasabb szinten tanulhatja meg a következő leckéken.

Nem sikerült minden? Nincs mit. A Speciális 555-ös szekcióban mindezek a problémák darabokra vannak bontva.) És természetesen egy egyszerű gyakorlati technika is le van írva, amely azonnal világosan, világosan kiemeli az ilyen feladatok megoldását, mint a tenyerében!

Mellesleg, a vonattal kapcsolatos rejtvényben két olyan probléma van, amelyeken az emberek gyakran megbotlanak. Az egyik - pusztán a progresszió alapján, a második - minden matematikai és fizikai feladatra jellemző. Ez a dimenziók egyikről a másikra fordítása. Megmutatja, hogyan kell ezeket a problémákat megoldani.

Ebben a leckében egy aritmetikai progresszió elemi jelentését és főbb paramétereit vizsgáltuk. Ez elég ahhoz, hogy megoldja szinte az összes problémát ebben a témában. Hozzáadás d a számokhoz, írj egy sorozatot, minden eldől.

Az ujjmegoldás jól működik a sorozat nagyon rövid darabjainál, mint az ebben a leckében található példákban. Ha a sorozat hosszabb, a számítások nehezebbé válnak. Például, ha a kérdésben a 9. feladatban van, cserélje ki "öt perc" a "harmincöt perc" a probléma sokkal súlyosabb lesz.)

És vannak olyan feladatok is, amelyek lényegében egyszerűek, de számítási szempontból teljesen abszurdak, pl.

Adott egy aritmetikai sorozat (a n). Keressen 121-et, ha 1 = 3 és d = 1/6.

És mi van, sokszor-sokszor adjuk hozzá az 1/6-ot?! Lehetséges öngyilkosság!?

Megteheti.) Ha nem tud egy egyszerű képletet, amellyel egy perc alatt meg tud oldani ilyen feladatokat. Ez a képlet a következő leckében lesz. És ez a probléma ott megoldódott. Egy perc.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatja a példák megoldását, és megtudhatja a szintet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

A matematikában sorozatnak nevezzük a valamilyen módon rendezett, egymást követő számok gyűjteményét. Az összes létező számsorozat közül két érdekes esetet különböztetünk meg: algebrai és geometriai progressziót.

Mi az aritmetikai progresszió?

Azonnal meg kell mondani, hogy az algebrai progressziót gyakran aritmetikának nevezik, mivel tulajdonságait a matematika egy ága - az aritmetika - tanulmányozza.

Ez a progresszió olyan számsorozat, amelyben minden következő tag valamilyen állandó számmal különbözik az előzőtől. Ezt nevezik az algebrai progresszió különbségének. A határozottság kedvéért a latin d betűvel jelöljük.

Példa egy ilyen sorozatra a következő: 3, 5, 7, 9, 11 ..., itt láthatja, hogy az 5-ös szám több mint 3-2, a 7 is több mint 5-2, és így tovább. Tehát a bemutatott példában d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Mik azok az aritmetikai progressziók?

Ezeknek a rendezett számsoroknak a természetét nagymértékben meghatározza a d szám előjele. A következő típusú algebrai progressziók léteznek:

• növekszik, ha d pozitív (d>0);
• állandó, ha d = 0;
• csökken, ha d negatív (d<0).

Az előző bekezdésben szereplő példa növekvő előrehaladást mutat. Példa a csökkenő sorozatra a következő számsor: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... A definíciójából következően egy állandó progresszió azonos számok gyűjteménye.

a progresszió n-edik tagja

Tekintettel arra, hogy a vizsgált haladásban minden következő szám d konstanssal különbözik az előzőtől, az n-edik tagja könnyen meghatározható. Ehhez nem csak d-t kell ismerni, hanem egy 1-et is – a progresszió első tagját. Rekurzív megközelítést használva egy algebrai progressziós képletet kaphatunk az n-edik tag megtalálásához. Így néz ki: a n = a 1 + (n-1)*d. Ez a képlet meglehetősen egyszerű, és intuitív szinten megértheti.

Használata sem nehéz. Például a fent látható progresszióban (d=2, a 1 =3) határozzuk meg annak 35. tagját. A képlet szerint ez egyenlő lesz: a 35 \u003d 3 + (35-1) * 2 \u003d 71.

Az összeg képlete

Ha egy aritmetikai progressziót adunk meg, annak első n tagjának összege gyakran előforduló probléma, az n-edik tag értékének meghatározása mellett. Az algebrai haladás összegének képlete a következőképpen írható fel: ∑ n 1 \u003d n * (a 1 + a n) / 2, itt az ∑ n 1 ikon azt jelzi, hogy az 1-től n-ig tagok összegződnek.

A fenti kifejezést ugyanannak a rekurziónak a tulajdonságaira támaszkodva megkaphatjuk, de van egy egyszerűbb módja is annak érvényességének bizonyítására. Írjuk fel ennek az összegnek az első 2 és utolsó 2 tagját, a 1 , a n és d számokkal kifejezve, és kapjuk: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n . Most vegye figyelembe, hogy ha az első tagot hozzáadja az utolsóhoz, akkor az pontosan egyenlő lesz a második és az utolsó előtti tag összegével, azaz egy 1 + a n. Hasonló módon kimutatható, hogy ugyanazt az összeget kaphatjuk a harmadik és az utolsó előtti tag összeadásával stb. A sorozatban szereplő számpár esetén n/2 összeget kapunk, amelyek mindegyike egyenlő egy 1 +a n -nel. Vagyis megkapjuk a fenti képletet az algebrai haladásra az összegre: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Páratlan számú n tag esetén hasonló képletet kapunk, ha a fenti érvelést követjük. Ne felejtse el hozzáadni a fennmaradó tagot, amely a progresszió közepén található.

Megmutatjuk, hogyan kell használni a fenti képletet egy egyszerű progresszió példáján, amelyet fent bemutattunk (3, 5, 7, 9, 11 ...). Például meg kell határoznia az első 15 tagjának összegét. Először is definiáljunk egy 15-öt. Az n-edik tag képletével (lásd az előző bekezdést) a következőt kapjuk: a 15 \u003d a 1 + (n-1) * d \u003d 3 + (15-1) * 2 \u003d 31. Most már jelentkezhet az algebrai haladás összegének képlete: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Érdekes egy érdekes történelmi tényt idézni. Az aritmetikai progresszió összegének képletét először Karl Gauss (a 18. század híres német matematikusa) találta meg. Amikor még csak 10 éves volt, a tanár arra kérte a feladatot, hogy keresse meg a számok összegét 1-től 100-ig. Állítólag a kis Gauss néhány másodperc alatt megoldotta ezt a feladatot, és megjegyezte, hogy a számok páros összeadásával kezdettől fogva, és A sorozat végén mindig kaphat 101-et, és mivel 50 ilyen összeg van, gyorsan megadta a választ: 50 * 101 = 5050.

Példa a probléma megoldására

Az algebrai progresszió témakörének kiegészítéseként egy másik érdekes probléma megoldására adunk példát, ezzel is megszilárdítva a vizsgált téma megértését. Adjunk meg valamilyen progressziót, amelyre ismert a d = -3 különbség, valamint annak 35. tagja a 35 = -114. Meg kell találni a progresszió 7. tagját a 7 .

A feladat feltételéből látható, hogy az 1 értéke ismeretlen, ezért az n-edik tag képlete közvetlenül nem használható. Ezenkívül kényelmetlen a rekurziós módszer, amelyet nehéz manuálisan megvalósítani, és nagy a hiba valószínűsége. Folytassa a következőképpen: kiírjuk a 7 és a 35 képleteit, van: a 7 \u003d a 1 + 6 * d és a 35 \u003d a 1 + 34 * d. Vonjuk ki a második kifejezést az első kifejezésből, a következőt kapjuk: a 7 - a 35 \u003d a 1 + 6 * d - a 1 - 34 * d. Innen következik: a 7 \u003d a 35 - 28 * d. Marad az ismert adatok helyettesítése a probléma feltételével, és le kell írni a választ: a 7 \u003d -114 - 28 * (-3) \u003d -30.

Geometriai progresszió

A cikk témájának teljesebb feltárása érdekében rövid leírást adunk egy másik típusú - geometriai - progresszióról. A matematikában ez a név olyan számsort értendő, amelyben minden következő tag valamilyen tényezőben különbözik az előzőtől. Ezt a tényezőt r betűvel jelöljük. Ezt nevezik a vizsgált progresszió típusának nevezőjének. Példa erre a számsorra: 1, 5, 25, 125, ...

Amint a fenti definícióból kitűnik, az algebrai és a geometriai progresszió elgondolásában hasonló. A különbség köztük az, hogy az első lassabban változik, mint a második.

A geometriai progresszió lehet növekvő, állandó és csökkenő is. Típusa az r nevező értékétől függ: ha r>1, akkor növekvő progresszió van, ha r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Geometriai progresszió képletei

Az algebraihoz hasonlóan a geometriai haladás képletei az n-edik tag definíciójára és n tag összegére redukálódnak. Az alábbiakban ezek a kifejezések találhatók:

• a n = a 1 * r (n-1) - ez a képlet a geometriai folyamat definíciójából következik.
• ∑ n 1 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1). Fontos megjegyezni, hogy ha r = 1, akkor a fenti képlet bizonytalanságot ad, így nem használható. Ebben az esetben n tag összege egyenlő lesz az a 1 *n egyszerű szorzattal.

Például keressük meg az 1, 5, 25, 125, ... sorozat mindössze 10 tagjának összegét. Tudva, hogy a 1 = 1 és r = 5, a következőt kapjuk: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Az eredményül kapott érték jól példázza, hogy milyen gyorsan nő a geometriai progresszió.

A történelemben talán először említik ezt a fejlődést a sakktáblás legenda, amikor az egyik szultán barátja sakkozni tanította, és gabonát kért szolgálatáért. Sőt, a gabonamennyiségnek a következőnek kellett volna lennie: a sakktábla első cellájába egy szemcsét kell tenni, a másodikra ​​kétszer annyit, mint az elsőre, a harmadikra ​​kétszer annyit, mint a másodikra, és hamar. A szultán készségesen vállalta ezt a kérést, de nem tudta, hogy hazája összes kukáját ki kell ürítenie, hogy betartsa szavát.

Utasítás

Az aritmetikai sorozat az a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d formájú sorozat. d számú lépés progressziók.Nyilvánvalóan az aritmetika tetszőleges n-edik tagjának összege progressziók alakja: An = A1+(n-1)d. Aztán ismerve az egyik tagot progressziók, tag progressziókés lépj progressziók, lehet , azaz a progressziós tag száma. Nyilvánvalóan az n = (An-A1+d)/d képlet határozza meg.

Legyen most ismert az m-edik tag progressziókés néhány másik tagja progressziók- n-edik, de n , mint az előző esetben, de ismert, hogy n és m nem egyezik. progressziók képlettel számítható ki: d = (An-Am)/(n-m). Ekkor n = (An-Am+md)/d.

Ha egy aritmetika több elemének összege progressziók, valamint az első és az utolsó , akkor ezeknek az elemeknek a száma is meghatározható Az aritmetika összege progressziók egyenlő lesz: S = ((A1+An)/2)n. Ekkor n = 2S/(A1+An) chdenov progressziók. Felhasználva azt a tényt, hogy An = A1+(n-1)d, ez a képlet átírható így: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Ebből ki lehet fejezni n-t egy másodfokú egyenlet megoldásával.

A számtani sorozat olyan rendezett számhalmaz, amelynek minden tagja az első kivételével ugyanannyival különbözik az előzőtől. Ezt az állandót a haladás vagy lépése különbségének nevezzük, és az aritmetikai progresszió ismert tagjaiból számítható ki.

Utasítás

Ha az első és a második vagy bármely más szomszédos tag pár értéke ismert a feladat feltételeiből, a különbség kiszámításához (d) egyszerűen vonja ki az előző tagot a következő tagból. A kapott érték lehet pozitív vagy negatív – ez attól függ, hogy a progresszió növekszik-e. Általános formában írja fel a megoldást a haladás szomszédos tagjainak tetszőleges párjára (aᵢ és aᵢ₊₁) a következőképpen: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Egy ilyen haladás tagpárjára, amelyek közül az egyik az első (a1), a másik pedig bármely más, tetszőlegesen kiválasztott, szintén készíthetünk egy képletet a (d) különbség megállapítására. Ebben az esetben azonban ismerni kell a sorozat egy tetszőlegesen kiválasztott tagjának sorszámát (i). A különbség kiszámításához adja össze mindkét számot, és az eredményt ossza el egy tetszőleges tag eggyel csökkentett sorszámával. Általában a következőképpen írjuk fel ezt a képletet: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ha az aritmetikai sorozat i sorszámú tetszőleges tagja mellett ismert még egy u sorszámú tag, akkor ennek megfelelően változtassa meg az előző lépés képletét. Ebben az esetben a progresszió különbsége (d) ennek a két tagnak az összege, osztva a sorszámuk különbségével: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

A különbség számítási képlete (d) némileg bonyolultabbá válik, ha a feladat feltételei között annak első tagjának értéke (a₁) és egy adott szám (i) első tagjának összege (Sᵢ) számtani sorozatot adunk meg. A kívánt érték eléréséhez el kell osztani az összeget az azt alkotó tagok számával, kivonni a sorozat első számának értékét, és az eredményt megduplázni. A kapott értéket osszuk el az eggyel csökkentett összeget alkotó tagok számával. Általában írja le a diszkrimináns kiszámításának képletét a következőképpen: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Mi a képlet lényege?

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja Bármi SZÁMA SZERINT" n" .

Természetesen tudnia kell az első kifejezést egy 1és progressziós különbség d, nos, ezek nélkül a paraméterek nélkül nem lehet leírni egy konkrét progressziót.

Nem elég ezt a képletet memorizálni (vagy megcsalni). Szükséges a lényegének asszimilálása és a képlet alkalmazása különféle feladatokban. Igen, és ne felejtsd el a megfelelő időben, igen ...) Hogyan ne felejtsd- Nem tudom. És itt hogyan kell emlékezni Ha kell, adok egy tippet. Azoknak, akik a végére elsajátítják a leckét.)

Tehát foglalkozzunk egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletével.

Mi a képlet általában - elképzeljük.) Mi az aritmetikai progresszió, egy tagszám, egy progressziókülönbség - az előző leckében egyértelműen kiderül. Nézz szét, ha nem olvastad. Ott minden egyszerű. Azt kell kitalálni, hogy mit n-edik tag.

A progresszió általában számsorként írható fel:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

egy 1- egy aritmetikai sorozat első tagját jelöli, egy 3- harmadik tag a 4- negyedik, és így tovább. Ha érdekel minket az ötödik ciklus, akkor tegyük fel, hogy dolgozunk egy 5, ha százhuszadik - tól egy 120.

Hogyan határozzuk meg általában Bármi aritmetikai sorozat tagja, s Bármi szám? Nagyon egyszerű! Mint ez:

a n

Az az ami egy aritmetikai sorozat n-edik tagja. Az n betű alatt az összes tagszám egyszerre el van rejtve: 1, 2, 3, 4 stb.

És mit ad nekünk egy ilyen rekord? Gondolj csak bele, szám helyett egy betűt írtak le...

Ez a jelölés hatékony eszközt ad az aritmetikai progresszióval való munkavégzéshez. A jelölés használata a n, gyorsan megtaláljuk Bármi tag Bármi aritmetikai progresszió. És egy csomó feladat, amelyet folyamatosan kell megoldani. Majd meglátod tovább.

Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletében:

a n = a 1 + (n-1)d

egy 1- a számtani sorozat első tagja;

n- tag szám.

A képlet összekapcsolja bármely progresszió fő paramétereit: a n; a 1; dés n. E paraméterek körül az összes rejtvény folyamatosan forog.

Az n-edik tag képlete egy adott progresszió írásához is használható. Például a feladatban elmondható, hogy a progressziót a következő feltétel adja:

a n = 5 + (n-1) 2.

Egy ilyen probléma akár össze is zavarhatja... Nincs sorozat, nincs különbség... De a feltételt a képlettel összehasonlítva könnyű kitalálni, hogy ebben a folyamatban a 1 \u003d 5 és d = 2.

És lehet még dühösebb is!) Ha ugyanazt a feltételt vesszük: a n = 5 + (n-1) 2, igen, nyissa ki a zárójeleket és adja meg a hasonlókat? Kapunk egy új képletet:

an = 3 + 2n.

Ez Csak nem általános, hanem konkrét előrehaladásra. Itt van a buktató. Vannak, akik úgy gondolják, hogy az első tag egy három. Bár a valóságban az első tag egy ötös... Kicsit lejjebb egy ilyen módosított képlettel fogunk dolgozni.

A továbblépési feladatoknál van egy másik jelölés - a n+1. Kitaláltad, ez a progresszió "n plusz az első" tagja. Jelentése egyszerű és ártalmatlan.) Ez a progresszió tagja, amelynek száma eggyel nagyobb, mint az n. Például, ha valamilyen problémában veszünk a n akkor az ötödik ciklus a n+1 lesz a hatodik tagja. Stb.

Leggyakrabban a megnevezés a n+1 rekurzív képletekben fordul elő. Ne félj ettől a szörnyű szótól!) Ez csak egy számtani sorozat tagjának kifejezése. az előzőn keresztül. Tegyük fel, hogy kapunk egy aritmetikai progressziót ebben a formában, a visszatérő képlet segítségével:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

A negyedik - a harmadikon, az ötödik - a negyediken keresztül, és így tovább. És hogyan kell azonnal számolni, mondjuk a huszadik tagot, egy 20? De sehogy!) Míg a 19. tag nem ismert, a 20. nem számolható. Ez az alapvető különbség a rekurzív képlet és az n-edik tag képlete között. A rekurzív csak keresztül működik előző kifejezés, és az n-edik tag képlete - keresztül elsőés lehetővé teszi azonnal megtalálja bármelyik tagot a száma alapján. Nem számolva az egész számsort sorrendben.

A aritmetikai sorozatban egy rekurzív képlet könnyen szabályossá alakítható. Számoljon meg egy pár egymást követő tagot, számolja ki a különbséget d, keresse meg, ha szükséges, az első kifejezést egy 1, írja le a képletet a szokásos formában, és dolgozzon vele. A GIA-ban gyakran találhatók ilyen feladatok.

A számtani sorozat n-edik tagjának képletének alkalmazása.

Először nézzük meg a képlet közvetlen alkalmazását. Az előző óra végén volt egy probléma:

Adott egy aritmetikai sorozat (a n). Keressen 121-et, ha 1 = 3 és d = 1/6.

Ezt a feladatot képletek nélkül is meg lehet oldani, egyszerűen az aritmetikai sorozat jelentése alapján. Add, igen add... Egy-két óra.)

És a képlet szerint a megoldás kevesebb mint egy percet vesz igénybe. Időzítheti.) Eldöntjük.

A feltételek megadják az összes adatot a képlet használatához: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Majd kiderül, mit n. Nincs mit! Meg kell találnunk egy 121. Itt írjuk:

Kérlek figyelj! Index helyett n konkrét szám jelent meg: 121. Ami egészen logikus.) A számtani progresszió tagja érdekel minket. százhuszonegy. Ez lesz a miénk n. Ez a jelentés n= 121 behelyettesítjük tovább a képletbe, zárójelben. Helyettesítsd be az összes számot a képletben, és számítsd ki:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Ennyiről van szó. Ugyanilyen gyorsan meg lehetett találni az ötszáztizedik tagot, és az ezerharmadik tagot is. Helyette tesszük n a kívánt szám a betű indexében a"és zárójelben, és figyelembe vesszük.

Hadd emlékeztesselek a lényegre: ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtaláld Bármi egy aritmetikai sorozat tagja SZÁMA SZERINT" n" .

Oldjuk meg okosabban a problémát. Tegyük fel, hogy a következő problémánk van:

Határozzuk meg az aritmetikai sorozat első tagját (a n), ha a 17 =-2; d=-0,5.

Ha nehézségei vannak, javasolni fogom az első lépést. Írja fel egy számtani sorozat n-edik tagjának képletét! Igen igen. Kézzel írd be közvetlenül a füzetedbe:

a n = a 1 + (n-1)d

És most, a képlet betűit nézve, megértjük, milyen adatokkal rendelkezünk és mi hiányzik? Elérhető d=-0,5, van egy tizenhetedik tag... Mindent? Ha azt hiszed, hogy ennyi, akkor nem tudod megoldani a problémát, igen...

Számunk is van n! Az állapotában a 17 =-2 rejtett két lehetőség. Ez egyben a tizenhetedik tag értéke (-2) és száma (17). Azok. n=17. Ez az "apróság" sokszor elsiklik a fej mellett, és enélkül, (az "apróság" nélkül, nem a fej!) A probléma nem megoldható. Bár... és fej nélkül is.)

Most egyszerűen behelyettesíthetjük adatainkat a képletbe:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Ó, igen, egy 17 tudjuk, hogy -2. Oké, tegyük bele:

-2 = 1 + (17-1) (-0,5)

Lényegében ennyi. Marad a képletből az aritmetikai progresszió első tagjának kifejezése és kiszámítása. Megkapod a választ: a 1 = 6.

Egy ilyen technika - egy képlet írása és az ismert adatok egyszerű helyettesítése - sokat segít az egyszerű feladatokban. Nos, természetesen ki kell tudni fejezni egy változót egy képletből, de mit tegyünk!? E készség nélkül a matematikát egyáltalán nem lehet tanulni ...

Egy másik népszerű probléma:

Határozzuk meg az aritmetikai sorozat (a n) különbségét, ha a 1 =2; a 15 =12.

Mit csinálunk? Meg fogsz lepődni, mi írjuk a képletet!)

a n = a 1 + (n-1)d

Gondoljuk át, mit tudunk: a 1=2; a 15 = 12; és (különleges kiemelés!) n=15. Nyugodtan helyettesítheti a képletben:

12=2 + (15-1)d

Számoljunk.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ez a helyes válasz.

Szóval feladatok a n, a 1és dúgy döntött. Még meg kell tanulnia, hogyan találja meg a számot:

A 99 szám egy aritmetikai sorozat tagja (a n), ahol a 1 =12; d=3. Keresse meg ennek a tagnak a számát.

Az ismert mennyiségeket behelyettesítjük az n-edik tag képletébe:

a n = 12 + (n-1) 3

Első pillantásra két ismeretlen mennyiség található itt: a n és n. De a n számmal rendelkező progresszió valamely tagja n... És a progressziónak ez a tagja, amit ismerünk! 99. Nem tudjuk a számát. n, tehát ezt a számot is meg kell találni. Helyettesítsd be a 99-es progressziós tagot a képletbe:

99 = 12 + (n-1) 3

A képletből fejezzük ki n, azt gondoljuk. Megkapjuk a választ: n=30.

És most egy probléma ugyanabban a témában, de kreatívabb):

Határozza meg, hogy a 117-es szám tagja-e egy aritmetikai sorozatnak (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Írjuk fel újra a képletet. Mi van, nincsenek paraméterek? Hm... Miért van szükségünk szemre?) Látjuk a progresszió első tagját? Látjuk. Ez -3,6. Nyugodtan írhatod: a 1 \u003d -3,6. Különbség d sorozatból megállapítható? Könnyű, ha tudja, mi a különbség az aritmetikai progresszió között:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Igen, a legegyszerűbb dolgot csináltuk. Marad egy ismeretlen számmal foglalkozni nés egy érthetetlen 117-es szám. Az előző feladatnál legalább lehetett tudni, hogy a progresszió tagját adták meg. De itt nem is tudjuk, hogy ... Hogyan legyünk!? Nos, hogy legyen, hogyan legyen... Kapcsolja be kreatív képességeit!)

Mi tegyük fel hogy a 117 végül is a fejlődésünk tagja. Ismeretlen számmal n. És az előző feladathoz hasonlóan próbáljuk meg megtalálni ezt a számot. Azok. felírjuk a képletet (igen-igen!)) és behelyettesítjük a számainkat:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ismét a képletből fejezzük kin, megszámoljuk és megkapjuk:

Hoppá! Kiderült a szám töredékes! Százegy és fél. És törtszámok progresszióban nem lehet. Milyen következtetést vonunk le? Igen! 117. szám nem fejlődésünk tagja. Valahol a 101. és a 102. tag között van. Ha a szám természetesnek bizonyult, pl. pozitív egész szám, akkor a szám a haladás tagja lenne a talált számmal. És esetünkben a probléma válasza a következő lesz: nem.

A GIA valós verzióján alapuló feladat:

Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja meg:

a n \u003d -4 + 6,8n

Keresse meg a progresszió első és tizedik tagját!

Itt a progresszió szokatlan módon van beállítva. Valamiféle képlet... Előfordul.) Ez a képlet azonban (ahogy fentebb írtam) - egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletét is! Azt is megengedi keresse meg a progresszió bármely tagját a száma alapján.

Keressük az első tagot. Aki gondolkodik. hogy az első tag mínusz négy, végzetesen téved!) Mivel a feladatban szereplő képlet módosul. Egy aritmetikai sorozat első tagja benne rejtett. Semmi, most megkeressük.)

Csakúgy, mint az előző feladatoknál, helyettesítjük n=1 ebbe a képletbe:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 = 2,8

Itt! Az első tag 2,8, nem -4!

Hasonlóképpen keressük a tizedik kifejezést:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Ennyiről van szó.

És most azoknak, akik elolvasták ezeket a sorokat, a beígért bónusz.)

Tegyük fel, hogy a GIA vagy az Egységes Államvizsga nehéz harci helyzetében elfelejtette az aritmetikai sorozat n-edik tagjának hasznos képletét. Valami eszembe jut, de valahogy bizonytalanul... Hogy n ott, ill n+1, vagy n-1... Hogyan legyen!?

Nyugodt! Ez a képlet könnyen levezethető. Nem túl szigorú, de a magabiztossághoz és a helyes döntéshez mindenképpen elég!) A konklúzióhoz elég megjegyezni a számtani progresszió elemi jelentését, és néhány percnyi időt szánni. Csak egy képet kell rajzolnia. Az egyértelműség kedvéért.

Rajzolunk egy numerikus tengelyt, és jelöljük rajta az elsőt. második, harmadik stb. tagjai. És vegye figyelembe a különbséget d tagok között. Mint ez:

Nézzük a képet, és elgondolkodunk: mivel egyenlő a második tag? Második egy d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mi a harmadik kifejezés? A harmadik kifejezés egyenlő az első tag plusz kettő d.

a 3 =a 1 + 2 d

Érted? Nem hiába szedek néhány szót félkövérrel. Oké, még egy lépés.)

Mi a negyedik kifejezés? Negyedik kifejezés egyenlő az első tag plusz három d.

a 4 =a 1 + 3 d

Ideje belátni, hogy a hézagok száma, i.e. d, mindig eggyel kevesebb, mint a keresett tag száma n. Vagyis számig n, rések száma akarat n-1. Tehát a képlet a következő lesz (nincs lehetőség!):

a n = a 1 + (n-1)d

Általában a vizuális képek nagyon hasznosak számos matematikai probléma megoldásában. Ne hagyja figyelmen kívül a képeket. De ha nehéz képet rajzolni, akkor ... csak egy képlet!) Ezenkívül az n-edik tag képlete lehetővé teszi, hogy a matematika teljes hatalmas arzenálját összekapcsolja a megoldással - egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek stb. Egy egyenletbe nem lehet képet tenni...

Feladatok az önálló döntéshez.

Bemelegítéshez:

1. Számtani folyamatban (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Keress egy 3-ast.

Tipp: a kép szerint a probléma 20 másodperc alatt megoldódik... A képlet szerint nehezebbnek bizonyul. De a képlet elsajátításához hasznosabb.) Az 555. szakaszban ezt a problémát a kép és a képlet is megoldja. Érezd a különbséget!)

És ez már nem bemelegítés.)

2. A számtani folyamatban (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Keressen egy 3-at.

Mi van, nem szívesen rajzolok képet?) Mégis! A képletben jobb, igen...

3. Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg ennek a progressziónak a százhuszonötödik tagját.

Ebben a feladatban a progressziót ismétlődő módon adjuk meg. De a százhuszonötödik tagig számolva... Ilyen bravúrra nem mindenki képes.) De az n-edik tag képlete mindenkinek a kezében van!

4. Adott egy aritmetikai sorozat (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Keresse meg a progresszió legkisebb pozitív tagjának számát!

5. A 4. feladat feltétele szerint keresse meg a haladás legkisebb pozitív és legnagyobb negatív tagjának összegét!

6. Egy növekvő aritmetikai sorozat ötödik és tizenkettedik tagjának szorzata -2,5, a harmadik és tizenegyedik tag összege pedig nulla. Keress egy 14-et.

Nem a legegyszerűbb feladat, igen...) Itt az „ujjakon” módszer nem fog működni. Képleteket kell írni és egyenleteket megoldani.

Válaszok (rendetlenségben):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Megtörtént? Ez szép!)

Nem minden sikerül? Megtörténik. Egyébként az utolsó feladatban van egy finom pont. A probléma olvasása során figyelmességre lesz szükség. És a logika.

Mindezen problémák megoldását az 555. szakasz tárgyalja részletesen. És a fantázia elem a negyedik, és a finom mozzanat a hatodik, és az általános megközelítések bármilyen probléma megoldására az n-edik tag képletéhez - minden le van festve. Ajánlom.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatja a példák megoldását, és megtudhatja a szintet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.