Helytelen törtek felosztása. Egyszerű és vegyes törtek szorzása különböző nevezőkkel
Legutóbb megtanultuk, hogyan kell törteket összeadni és kivonni (lásd a "Törtek összeadása és kivonása" című leckét). A legnehezebb pillanat ezekben az akciókban az volt, hogy a törteket közös nevezőre hozzuk.
Itt az ideje, hogy foglalkozzunk a szorzással és az osztással. A jó hír az, hogy ezek a műveletek még egyszerűbbek, mint az összeadás és a kivonás. Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor két pozitív tört van megkülönböztetett egész rész nélkül.
Két tört szorzásához külön meg kell szoroznia a számlálójukat és a nevezőiket. Az első szám az új tört számlálója, a második pedig a nevező.
Két tört elosztásához meg kell szorozni az első törtet a "fordított" másodikkal.
Kijelölés:
A definícióból az következik, hogy a törtek osztása szorzásra redukálódik. Tört megfordításához csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Ezért az egész leckét főként a szorzást fogjuk figyelembe venni.
A szorzás eredményeként redukált tört keletkezhet (és gyakran keletkezik is) - természetesen csökkenteni kell. Ha az összes csökkentés után a tört hibásnak bizonyult, akkor az egész részt meg kell különböztetni benne. De ami a szorzással biztosan nem fog megtörténni, az a közös nevezőre való redukálás: nincsenek keresztirányú módszerek, maximális tényezők és legkisebb közös többszörösek.
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Törtek szorzása egész résszel és negatív törtekkel
Ha a törtrészekben egész szám van, akkor azokat helytelenné kell alakítani - és csak ezután szorozni a fent vázolt sémák szerint.
Ha egy tört számlálójában, a nevezőben vagy előtte mínusz van, akkor az a következő szabályok szerint kivehető a szorzás határából, vagy teljesen eltávolítható:
- Pluszszor mínusz mínuszt ad;
- Két negatívum igenlővé tesz.
Ezekkel a szabályokkal eddig csak negatív törtek összeadásánál és kivonásánál találkoztunk, amikor az egész résztől kellett megszabadulni. Egy termék esetében általánosíthatók, hogy egyszerre több mínuszt is „égessenek”:
- Páronként áthúzzuk a mínuszokat, amíg teljesen el nem tűnnek. Szélsőséges esetben egy mínusz túlélhet - az, amelyik nem talált egyezést;
- Ha nem marad mínusz, a művelet befejeződött - elkezdheti a szorzást. Ha az utolsó mínusz nincs áthúzva, mivel nem talált párat, kivesszük a szorzás határából. Kapsz egy negatív törtet.
Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:
Az összes törtet helytelenre fordítjuk, majd kivesszük a mínuszokat a szorzás határain kívül. Ami megmarad, azt a szokásos szabályok szerint megszorozzák. Kapunk:
Hadd emlékeztesselek még egyszer arra, hogy a kiemelt egész részt tartalmazó tört előtti mínusz kifejezetten a teljes törtre vonatkozik, nem csak annak egész részére (ez az utolsó két példára vonatkozik).
Ügyeljen a negatív számokra is: szorzáskor ezek zárójelben vannak. Ez azért történik, hogy a mínuszokat elkülönítsék a szorzójelektől, és az egész jelölés pontosabb legyen.
Törtszámok csökkentése menet közben
A szorzás nagyon munkaigényes művelet. A számok itt meglehetősen nagyok, és a feladat egyszerűsítése érdekében megpróbálhatja még jobban csökkenteni a törtet szorzás előtt. Valójában a törtek számlálói és nevezői lényegében közönséges tényezők, ezért a tört alapvető tulajdonságával redukálhatók. Vessen egy pillantást a példákra:
Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Minden példában pirossal jelöljük a csökkentett számokat és a belőlük megmaradt számokat.
Kérjük, vegye figyelembe: az első esetben a szorzók teljes mértékben csökkentek. Az egységek a helyükön maradtak, ami általánosságban kihagyható. A második példában nem sikerült teljes csökkentést elérni, de a számítások összmennyisége így is csökkent.
Azonban semmi esetre se használja ezt a technikát törtek összeadásakor és kivonásakor! Igen, néha vannak hasonló számok, amelyeket csak csökkenteni szeretne. Tessék, nézd:
Ezt nem teheted!
A hiba abból adódik, hogy tört összeadásakor a tört számlálójában az összeg jelenik meg, nem pedig a számok szorzata. Ezért lehetetlen a tört fő tulajdonságát alkalmazni, mivel ez a tulajdonság kifejezetten a számok szorzására vonatkozik.
Egyszerűen nincs más ok a törtek csökkentésére, így az előző probléma helyes megoldása így néz ki:
Helyes megoldás:
Mint látható, a helyes válasz nem volt olyan szép. Általában legyen óvatos.
) és a nevezőt nevezővel (a szorzat nevezőjét kapjuk).
Tört szorzási képlet:
Például:
Mielőtt folytatnánk a számlálók és nevezők szorzását, ellenőrizni kell a törtcsökkentés lehetőségét. Ha sikerül csökkentenie a törtet, akkor könnyebben folytathatja a számításokat.
Közönséges tört osztása törttel.
Természetes számot tartalmazó törtek osztása.
Nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik. Akárcsak az összeadásnál, az egész számot törtté alakítjuk, amelynek nevezője egy egység. Például:
Vegyes törtek szorzása.
A törtek szorzásának szabályai (vegyes):
- vegyes frakciókat nem megfelelővé alakítani;
- szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit;
- csökkentjük a törtet;
- ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor a nem megfelelő törtet vegyes törtté alakítjuk.
Jegyzet! Egy vegyes tört egy másik vegyes törttel való szorzásához először nem megfelelő törtek formájába kell hozni őket, majd meg kell szorozni a közönséges törtek szorzására vonatkozó szabály szerint.
A második módszer a tört természetes számmal való szorzására.
Kényelmesebb a második módszer használata egy közönséges tört számmal való szorzására.
Jegyzet! Egy tört természetes számmal való szorzásához el kell osztani a tört nevezőjét ezzel a számmal, és a számlálót változatlanul kell hagyni.
A fenti példából kitűnik, hogy ezt az opciót kényelmesebb használni, ha egy tört nevezőjét maradék nélkül osztjuk egy természetes számmal.
Többszintű törtek.
A középiskolában gyakran találnak háromemeletes (vagy több) törteket. Példa:
Ahhoz, hogy egy ilyen tört a szokásos formájába kerüljön, 2 pontra kell osztani:
Jegyzet! A törtek felosztásánál nagyon fontos az osztás sorrendje. Vigyázz, itt könnyen összezavarodhatsz.
Jegyzet, Például:
Ha egyet tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört lesz, csak megfordítva:
Gyakorlati tippek a törtek szorzásához és osztásához:
1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség. Minden számítást gondosan és pontosan, koncentráltan és világosan végezzen. Jobb, ha egy piszkozatba írsz néhány plusz sort, mint hogy összezavarodj a fejedben folyó számításokban.
2. A különböző típusú törtekkel kapcsolatos feladatokban - lépjen a közönséges törtek típusára.
3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg már nem lehet redukálni.
4. A többszintű törtkifejezéseket 2 ponton keresztül történő osztás segítségével közönségessé tesszük.
5. Gondolatban törtre osztjuk az egységet, egyszerűen a tört megfordításával.
A közönséges törtszámok először az 5. osztályban találkoznak az iskolásokkal, és végigkísérik őket egész életükön át, hiszen a mindennapi életben sokszor nem teljesen, hanem külön-külön kell figyelembe venni vagy használni valamilyen tárgyat. A téma tanulmányozásának kezdete - megosztás. A részvények egyenlő részek amelyre egy tárgy fel van osztva. Hiszen nem mindig lehet egész számmal kifejezni például egy termék hosszát vagy árát, minden mérték részeit vagy részesedéseit figyelembe kell venni. Az "összetörni" - részekre osztás - igéből alakult, és arab gyökerekkel rendelkezik, a VIII. században maga a "töredék" szó jelent meg oroszul.
A törtkifejezéseket régóta a matematika legnehezebb részének tekintik. A 17. században, amikor megjelentek az első matematikai tankönyvek, „tört számoknak” nevezték őket, amit nagyon nehéz volt megjeleníteni az emberek megértésében.
Az egyszerű frakcionált maradványok modern formáját, amelyek egyes részeit pontosan egy vízszintes vonal választja el, először Fibonacci – Leonardo of Pisa hirdette. Írásai 1202-ből származnak. De ennek a cikknek az a célja, hogy egyszerűen és világosan elmagyarázza az olvasónak, hogyan történik a különböző nevezőkkel rendelkező vegyes törtek szorzása.
Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása
Kezdetben meg kell határozni a frakciók fajtái:
- helyes;
- rossz;
- vegyes.
Ezután emlékeznie kell arra, hogyan szorozzák meg az azonos nevezővel rendelkező törtszámokat. Ennek a folyamatnak a szabályát könnyű önállóan megfogalmazni: az azonos nevezőjű egyszerű törtek szorzatának eredménye egy törtkifejezés, melynek számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig e törtek nevezőinek szorzata. . Vagyis az új nevező eredetileg a meglévők egyikének négyzete.
Szorzáskor egyszerű törtek különböző nevezőkkel két vagy több tényező esetén a szabály nem változik:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Az egyetlen különbség az, hogy a törtsor alatt képzett szám különböző számok szorzata lesz, és természetesen nem nevezhető egyetlen numerikus kifejezés négyzetének.
Érdemes megfontolni a különböző nevezőjű törtek szorzását példák segítségével:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
A példák a törtkifejezések csökkentésének módszereit alkalmazzák. A nevező számjaival csak a számláló számait csökkentheti, a törtvonal feletti vagy alatti szomszédos tényezők nem csökkenthetők.
Az egyszerű törtszámok mellett létezik a vegyes törtek fogalma. A vegyes szám egy egész számból és egy tört részből áll, vagyis ezeknek a számoknak az összege:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Hogyan működik a szorzás?
Több példa is megfontolandó.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
A példa egy szám szorzását használja közönséges tört rész, felírhatja a művelet szabályát a következő képlettel:
a * b/c = a*b /c.
Valójában egy ilyen szorzat azonos tört maradékok összege, és a tagok száma ezt a természetes számot jelzi. Különleges eset:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Van egy másik lehetőség egy szám tört maradékkal való szorzásának megoldására. Csak el kell osztania a nevezőt ezzel a számmal:
d* e/f = e/f: d.
Akkor célszerű ezt a technikát használni, ha a nevezőt maradék nélkül osztjuk el természetes számmal, vagy ahogy mondani szokás, teljesen.
Alakítsa át a vegyes számokat helytelen törtekre, és kapja meg a szorzatot a korábban leírt módon:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ez a példa egy vegyes tört nem megfelelő törtként való ábrázolásának módját tartalmazza, de általános képletként is ábrázolható:
a bc = a*b+ c / c, ahol az új tört nevezője úgy keletkezik, hogy az egész részt megszorozzuk a nevezővel, és hozzáadjuk az eredeti tört maradék számlálójához, és a nevező változatlan marad.
Ez a folyamat fordítva is működik. Az egész rész és a tört maradék kiválasztásához el kell osztani a nem megfelelő tört számlálóját a nevezőjével egy „sarokkal”.
Helytelen törtek szorzása a szokásos módon állítják elő. Ha a bejegyzés egyetlen törtsor alá kerül, szükség szerint csökkentenie kell a törteket, hogy ezzel a módszerrel csökkentse a számokat, és könnyebb legyen az eredmény kiszámítása.
Az interneten számos asszisztens található még bonyolult matematikai problémák megoldására is különféle programváltozatokban. Elegendő számú ilyen szolgáltatás nyújt segítséget a nevezőkben különböző számokkal rendelkező törtek szorzásának kiszámításához - az úgynevezett online számológépek a törtek kiszámításához. Nemcsak szorzásra, hanem minden egyéb egyszerű aritmetikai művelet elvégzésére is képesek közönséges törtekkel és vegyes számokkal. Nem nehéz vele dolgozni, a megfelelő mezőket kitölti a webhely oldalán, kiválasztja a matematikai művelet jelét, és megnyomja a „számítás” gombot. A program automatikusan számol.
A törtszámokkal végzett aritmetikai műveletek témája a középső és felső tagozatos iskolások oktatásában végig releváns. A gimnáziumban már nem a legegyszerűbb fajokra gondolnak, hanem egész számú tört kifejezések, de az átalakítási és számítási szabályok korábban szerzett ismereteit eredeti formájában alkalmazzuk. A jól elsajátított alapismeretek teljes önbizalmat adnak a legösszetettebb feladatok sikeres megoldásában.
Befejezésül érdemes Leo Tolsztoj szavait idézni, aki ezt írta: „Az ember egy töredék. Az embernek nincs hatalmában növelni a számlálóját - a saját érdemeit, de bárki csökkentheti nevezőjét - önmagáról alkotott véleményét, és ezzel a csökkenéssel közelebb kerülhet tökéletességéhez.
A törtekkel minden műveletet végrehajthat, beleértve az osztást is. Ez a cikk a közönséges törtek felosztását mutatja be. Meghatározásokat adunk, példákat veszünk figyelembe. Maradjunk a törtek természetes számokkal való osztásánál és fordítva. Egy közönséges tört vegyes számmal való osztását tekintjük.
Közönséges törtek felosztása
Az osztás a szorzás inverze. Osztáskor az ismeretlen tényező az ismert szorzatnál van, és egy másik tényező, ahol az adott jelentése közönséges törtekkel megmarad.
Ha el kell osztani az a b közönséges törtet c d-vel, akkor egy ilyen szám meghatározásához meg kell szorozni a c d osztóval, ez végül a b osztót adja. Kapjunk egy számot, és írjuk fel a b · d c , ahol d c a c d szám reciproka. Az egyenlőségek a szorzás tulajdonságaival írhatók fel, nevezetesen: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , ahol az a b d c kifejezés a b és c d hányadosa.
Innen megkapjuk és megfogalmazzuk a közönséges törtek osztásának szabályát:
1. definíció
Egy a b közönséges tört c d-vel való osztásához meg kell szoroznia az osztalékot az osztó reciprokával.
Írjuk fel a szabályt kifejezésként: a b: c d = a b d c
Az osztás szabályai szorzásra redukálódnak. Ahhoz, hogy ehhez ragaszkodjon, jól kell ismernie a közönséges törtek szorzását.
Térjünk át a közönséges törtek felosztására.
1. példa
Hajtsa végre a 9 7 : 5 3 osztást. Írja az eredményt törtként!
Döntés
Az 5 3 szám a 3 5 reciproka. A közönséges törtek osztására vonatkozó szabályt kell használni. Ezt a kifejezést a következőképpen írjuk: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
Válasz: 9 7: 5 3 = 27 35 .
A törtek kicsinyítésekor a teljes részt ki kell választani, ha a számláló nagyobb, mint a nevező.
2. példa
Oszd meg 8 15: 24 65 . Írja a választ törtként!
Döntés
A megoldás az osztásról a szorzásra való átállás. A következő formában írjuk: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Csökkenteni kell, és ez a következőképpen történik: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Kiválasztjuk az egész részt, és 13 9 = 1 4 9 kapjuk.
Válasz: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Rendkívüli tört osztása természetes számmal
Használjuk a tört természetes számmal való osztásának szabályát: ha a b-t el szeretnénk osztani egy n természetes számmal, csak a nevezőt kell n-nel megszorozni. Innen a következő kifejezést kapjuk: a b: n = a b · n .
Az osztási szabály a szorzási szabály következménye. Ezért ha egy természetes számot törtként ábrázolunk, az ilyen típusú egyenlőséget ad: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Tekintsük ezt a tört számmal való osztását.
3. példa
Az 1645-ös törtet osszuk el 12-vel.
Döntés
Alkalmazza a tört számmal való osztásának szabályát. Olyan kifejezést kapunk, mint 16 45: 12 = 16 45 12 .
Csökkentsük a törtet. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 kapjuk.
Válasz: 16 45: 12 = 4 135 .
Természetes szám osztása közös törttel
Hasonló a felosztási szabály is ról ről a természetes szám közönséges törttel való osztásának szabálya: ahhoz, hogy egy n természetes számot oszthassunk egy közönséges a b -vel, az n számot meg kell szorozni az a b tört reciprojával.
A szabály alapján n van: a b \u003d n b a, és a természetes szám közönséges törttel való szorzásának szabályának köszönhetően a kifejezésünket n formában kapjuk: a b \u003d n b a. Ezt a felosztást egy példával kell megvizsgálni.
4. példa
Oszd el a 25-öt 15-tel 28.
Döntés
Át kell lépnünk az osztásról a szorzásra. 25-ös kifejezés formájában írjuk: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Csökkentsük a törtet és kapjuk meg az eredményt tört alakban 46 2 3 .
Válasz: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Közös tört osztása vegyes számmal
Ha egy közönséges törtet vegyes számmal oszt el, akkor könnyedén eloszthatja a közönséges törteket. Egy vegyes számot hibás törtté kell konvertálnia.
5. példa
Osszuk el a 35 16 törtet 3 1 8-cal.
Döntés
Mivel 3 1 8 vegyes szám, ábrázoljuk helytelen törtként. Ekkor azt kapjuk, hogy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Most osszuk el a törteket. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Válasz: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Vegyes szám felosztása ugyanúgy történik, mint a közönséges számok.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt