Hogyan számítsunk ki vektorvetületeket koordinátatengelyekre. Online számológép. Vektor vetítésének kiszámítása vektorra

A rajzokon a geometriai testek képei vetítési módszerrel épülnek fel. De ehhez nem elég egy kép, legalább két vetítés szükséges. Segítségükkel a térben pontokat határoznak meg. Ezért tudnia kell, hogyan találja meg egy pont vetületét.

Pontvetítés

Ehhez figyelembe kell venni egy diéderszög terét, amelynek belsejében egy (A) pont található. Itt vízszintes P1 és függőleges P2 vetítési síkokat használnak. Az (A) pontot merőlegesen vetítjük a vetítési síkra. Ami a merőlegesen vetülő sugarakat illeti, ezek a vetítési síkra merőleges vetületi síkba vannak kombinálva. Így a vízszintes P1 és a frontális P2 síkok kombinálásakor a P2 / P1 tengely mentén elforgatva lapos rajzot kapunk.

Ekkor a tengelyre merőlegesen látható egy egyenes, amelyen vetítési pontok találhatók. Ez összetett rajzot eredményez. A ráépített szegmenseknek és a függőleges kommunikációs vonalnak köszönhetően könnyen meghatározható egy pont helyzete a vetítési síkokhoz képest.

A vetület megtalálásának könnyebb megértése érdekében figyelembe kell vennie egy derékszögű háromszöget. Rövid oldala a láb, a hosszú oldala a hipotenusz. Ha a lábát a hipotenuszon vetíti ki, akkor az két szegmensre lesz osztva. Értékük meghatározásához ki kell számítania a kezdeti adatok halmazát. Tekintsük ezt a háromszöget, a fő vetületek kiszámításának módszereit.

Ebben a feladatban általában az N láb hosszát és a D hipotenusz hosszát tüntettük fel, amelynek vetülete található. Ehhez megtanuljuk, hogyan találjuk meg a láb vetületét.

Tekintsünk egy módszert a láb hosszának meghatározására (A). Figyelembe véve, hogy a szár vetületének és a befogó hosszának geometriai átlaga megegyezik a keresett szár értékével: N = √(D*Nd).

Hogyan találjuk meg a vetítési hosszt

A szorzat gyökerét úgy találjuk meg, hogy a kívánt láb hosszát (N) négyzetre emeljük, majd elosztjuk a hipotenúzus hosszával: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Amikor csak D és N a forrásadatokban feltüntetett hosszvetületeket a Pitagorasz-tétel segítségével kell megtalálni.
Határozza meg a D hipotenusz hosszát. Ehhez használja a lábak √ (N² + T²) értékeit, majd a kapott értéket helyettesítse be a következő képletbe a vetület meghatározásához: Nd = N² / √ (N² + T²).

Ha a forrásadatok az RD láb vetületének hosszára, valamint a D hipotenusz értékére vonatkozó adatokat tartalmaznak, akkor a második láb ND vetületének hosszát egy egyszerű kivonási képlettel kell kiszámítani: ND = D - RD.

Sebesség vetítés

Nézzük meg, hogyan találjuk meg a sebesség-projekciót. Ahhoz, hogy egy adott vektor a mozgás leírását reprezentálja, el kell helyezni a vetületben a koordinátatengelyekre. Egy koordinátatengely (sugár), két koordinátatengely (sík) és három koordinátatengely (tér). A vetület megtalálásakor le kell engedni a merőlegeseket a tengelyre a vektor végeitől.

A vetítés jelentésének megértéséhez tudnia kell, hogyan találja meg a vektor vetületét.

Vektoros vetítés

Amikor a test merőlegesen mozog a tengelyre, a vetület pontként jelenik meg, és értéke nulla. Ha a mozgás párhuzamos a koordinátatengellyel, akkor a vetítés egybeesik a vektor moduljával. Abban az esetben, ha a test úgy mozog, hogy a sebességvektor φ szöget zár be az (x) tengelyhez képest, a vetület erre a tengelyre egy szakasz lesz: V(x) = V cos(φ), ahol V a sebességvektor modellje Ha a sebességvektor és a koordináta tengely iránya egybeesik, akkor a vetítés pozitív, és fordítva.

Vegyük a következő koordináta egyenletet: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Ebben az esetben a sebességfüggvény három tengelyre lesz vetítve, és így fog kinézni: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V (z) \u003d dz / dt \u003d z "(t). Ebből következik, hogy a sebesség meghatározásához deriváltokat kell venni. Magát a sebességvektort egy ilyen formájú egyenlet fejezi ki: V \u003d V (x) i + V (y) j + V (z) k ahol i, j, k az x, y, z koordinátatengelyek egységvektorai, így a sebesség modulusát a következő képlettel számítjuk ki: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z ) ^ 2).

Legyen két vektor és adott a térben. Tegye félre egy tetszőleges pontból O vektorok és . sarok a vektorok között, és a legkisebb szögnek nevezzük. Jelölve .

Tekintsük a tengelyt lés ábrázoljunk rajta egy egységvektort (vagyis egy olyan vektort, amelynek hossza eggyel egyenlő).

Szög vektor és tengely között l megérteni a vektorok és a szöget.

Szóval hagyjuk l egy bizonyos tengely és egy vektor.

Jelölje A 1és B1 vetületek a tengelyen l pontokat Aés B. Tegyünk úgy, mintha A 1 van koordinátája x 1, a B1- koordináta x2 tengelyen l.

Akkor kivetítés vektor tengelyenként l különbségnek nevezik x 1 – x2 a vektor e tengelyre való végének és elejének vetületeinek koordinátái között.

Vektor vetítése egy tengelyre l fogjuk jelölni.

Nyilvánvaló, hogy ha a vektor és a tengely közötti szög léles akkor x2> x 1, és a vetítés x2 – x 1> 0; ha ez a szög tompa, akkor x2< x 1és vetítés x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, akkor x2= x 1és x2– x 1=0.

Így a vektor vetülete a tengelyre l a szakasz hossza A 1 B 1 bizonyos jellel vették. Ezért a vektor vetülete egy tengelyre szám vagy skalár.

Az egyik vektor vetülete a másikra hasonlóan definiálható. Ebben az esetben ennek a vektornak a vetületei azon az egyenesen találhatók, amelyen a 2. vektor fekszik.

Nézzünk néhányat a főbbek közül vetítési tulajdonságok.

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRIS FÜGGETLEN VEKTORRENDSZEREK

Tekintsünk több vektort.

Lineáris kombináció ezek közül a vektorok bármelyike ​​alakú vektor, ahol van néhány szám. A számokat a lineáris kombináció együtthatóinak nevezzük. Azt is mondják, hogy ebben az esetben lineárisan van kifejezve adott vektorokkal, azaz. lineáris műveletekkel kapott belőlük.

Például, ha három vektort adunk meg, akkor a vektorok lineáris kombinációjuknak tekinthetők:

Ha egy vektort néhány vektor lineáris kombinációjaként ábrázolunk, akkor azt mondjuk, hogy az lebomlott ezen vektorok mentén.

A vektorokat ún lineárisan függő, ha vannak ilyen számok, nem mindegyik egyenlő nullával, az . Nyilvánvaló, hogy az adott vektorok lineárisan függőek lesznek, ha ezen vektorok bármelyike ​​lineárisan kifejeződik a többivel.

Ellenkező esetben, pl. amikor az arány csak akkor hajtják végre , ezeket a vektorokat nevezzük lineárisan független.

1. tétel. Bármely két vektor akkor és csak akkor lineárisan függ, ha kollineáris.

Bizonyíték:

Hasonlóan bizonyítható a következő tétel.

2. tétel. Három vektor akkor és csak akkor lineárisan függ, ha egysíkú.

Bizonyíték.

ALAP

Alap a nullától eltérő lineárisan független vektorok gyűjteménye. A bázis elemeit jelöljük.

Az előző alfejezetben láttuk, hogy a síkban lévő két nem kollineáris vektor lineárisan független. Ezért az előző bekezdés 1. tétele szerint ezen a síkon bármely két nem kollineáris vektor bázis egy síkon.

Hasonlóképpen bármely három nem egysíkú vektor lineárisan független a térben. Ezért három nem egysíkú vektort nevezünk térbeli bázisnak.

A következő állítás igaz.

Tétel. Adjunk meg egy bázist a térben. Ekkor bármely vektor ábrázolható lineáris kombinációként , ahol x, y, z- néhány szám. Egy ilyen bomlás egyedülálló.

Bizonyíték.

Így az alap lehetővé teszi, hogy minden vektort egyedileg társítson a számok hármasával - ennek a vektornak az alapvektorok szerinti kiterjesztésének együtthatói: . Ennek fordítva is igaz, minden egyes számhármas x, y, z a bázis segítségével a vektort illesztheti, ha lineáris kombinációt készít .

Ha az alap és , majd a számok x, y, z hívott koordináták vektorok az adott bázisban. A vektor koordinátái jelölik.

KERESZTIKAI KOORDINÁTARENDSZER

Legyen adott egy pont a térben Oés három nem egysíkú vektor.

Derékszögű koordinátarendszer térben (síkon) egy pont és egy bázis halmazának nevezzük, azaz. egy pont és három nem egysíkú vektor (2 nem kollineáris vektor) halmaza, amelyek ebből a pontból indulnak ki.

Pont O eredetnek nevezzük; Az origón áthaladó egyeneseket az alapvektorok irányában koordinátatengelyeknek nevezzük - abszcissza, ordináta és alkalmazási tengely. A koordinátatengelyeken átmenő síkokat koordinátasíknak nevezzük.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot a választott koordinátarendszerben M. Vezessük be a pontkoordináta fogalmát M. Az origót a ponttal összekötő vektor M. hívott sugárvektor pontokat M.

Egy vektor a kiválasztott bázisban társítható egy számhármashoz - annak koordinátái: .

Pontsugár vektor koordináták M. hívott M pont koordinátái. a figyelembe vett koordináta-rendszerben. M(x,y,z). Az első koordinátát abszcisszának, a másodikat az ordinátának, a harmadikat az alkalmazásnak nevezzük.

A síkon a derékszögű koordinátákat hasonlóan határozzuk meg. Itt a pontnak csak két koordinátája van - az abszcissza és az ordináta.

Könnyen belátható, hogy egy adott koordinátarendszerben minden pontnak meghatározott koordinátája van. Másrészt minden számhármashoz van egyetlen pont, amelynek ezek a számok koordinátái.

Ha a választott koordinátarendszerben a bázisnak vett vektorok egységnyi hosszúságúak és páronként merőlegesek, akkor a koordinátarendszert ún. Descartes téglalap alakú.

Ezt könnyű megmutatni.

Egy vektor iránykoszinuszai teljesen meghatározzák az irányát, de nem mondanak semmit a hosszáról.

Algebrai vektorvetítés bármely tengelyen egyenlő a vektor hosszának és a tengely és a vektor közötti szög koszinuszának szorzatával:

Jobb oldali a b = |b|cos(a,b) vagy

Ahol a b az , |a| vektorok skaláris szorzata - az a vektor modulusa.

Utasítás. Az Пp a b vektor vetületének online megtalálásához meg kell adni az a és b vektorok koordinátáit. Ebben az esetben a vektor megadható síkban (két koordináta) és térben (három koordináta). Az így kapott megoldás egy Word fájlba kerül mentésre. Ha a vektorok a pontok koordinátáin keresztül vannak megadva, akkor ezt a számológépet kell használni.

Adott:
két vektorkoordináta
három koordináta vektor
a: ; ;
b: ; ;

Vektor vetítés osztályozása

A vetületek típusai definíciós vektorvetítés szerint

A vetületek típusai koordinátarendszer szerint

Vektorvetítés tulajdonságai

1. Egy vektor geometriai vetülete vektor (van iránya).
2. Egy vektor algebrai vetülete egy szám.

Vektorvetítési tételek

1. tétel. A vektorok összegének vetülete bármely tengelyre megegyezik az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok elemeinek vetületével.

2. tétel. Egy vektor algebrai vetülete bármely tengelyre egyenlő a vektor hosszának és a tengely és a vektor közötti szög koszinuszának szorzatával:

Jobb oldali a b = |b|cos(a,b)

A vektorvetítések típusai

1. vetítés az OX tengelyre.
2. vetítés az OY tengelyre.
3. vektorra vetítés.

Kivetítés az OX tengelyre	Vetítés az OY tengelyre	Vetítés vektorba
Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az OX tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az OY tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az NM vektor irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.
Ha a vektor iránya ellentétes az OX tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya ellentétes az OY tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya ellentétes az NM vektor irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.
Ha az AB vektor párhuzamos az OX tengellyel, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.	Ha az AB vektor párhuzamos az OY tengellyel, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.	Ha az AB vektor párhuzamos az NM vektorral, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.
Ha az AB vektor merőleges az OX tengelyre, akkor A'B' vetülete egyenlő nullával (nulla-vektor).	Ha az AB vektor merőleges az OY tengelyre, akkor A'B' vetülete egyenlő nullával (nulla vektor).	Ha az AB vektor merőleges az NM vektorra, akkor A'B' vetülete nulla (nulla vektor).

1. Kérdés: Lehet-e negatív előjelű vektor vetülete? Válasz: Igen, a vektorvetítés negatív is lehet. Ebben az esetben a vektor ellenkező irányú (lásd az OX tengely és az AB vektor irányát)
2. Kérdés: Egy vektor vetülete egybeeshet-e a vektor modulusával? Válasz: Igen, lehet. Ebben az esetben a vektorok párhuzamosak (vagy egy egyenesen fekszenek).
3. Kérdés: Egy vektor vetülete egyenlő lehet-e nullával (nulla-vektor). Válasz: Igen, lehet. Ebben az esetben a vektor merőleges a megfelelő tengelyre (vektor).

1. példa. A vektor (1. ábra) 60 o-os szöget zár be az OX tengellyel (ezt az a vektor adja). Ha az OE egy skálaegység, akkor |b|=4, tehát .

Valójában a vektor hossza (b geometriai vetület) egyenlő 2-vel, és az irány egybeesik az OX tengely irányával.

2. példa. A vektor (2. ábra) az OX tengellyel (az a vektorral) (a,b) = 120 o szöget zár be. Hossza |b| b vektor egyenlő 4-gyel, tehát pr a b=4 cos120 o = -2.

Valójában a vektor hossza egyenlő 2-vel, és az irány ellentétes a tengely irányával.

Különféle vonalak és felületek síkra vetítése lehetővé teszi az objektumok vizuális megjelenítését rajz formájában. Nézzünk egy téglalap alakú vetületet, amelyben a vetületi sugarak merőlegesek a vetítési síkra. VEKTOR KIVETÉSE SÍKRA tekintsük a vektort \u003d (3.22. ábra), amely az elejétől és a végétől elejtett merőlegesek közé záródik.

Rizs. 3.22. Vektor vetítés egy síkra.

Rizs. 3.23. Vektor vetítés egy tengelyre.

A vektoralgebrában gyakran szükséges egy vektort egy TENGELYRE, azaz egy bizonyos orientációjú egyenesre vetíteni. Az ilyen tervezés egyszerű, ha a vektor és az L tengely egy síkban van (3.23. ábra). A feladat azonban nehezebbé válik, ha ez a feltétel nem teljesül. Szerkesszük meg a vektor vetületét a tengelyre, amikor a vektor és a tengely nem egy síkban van (3.24. ábra).

Rizs. 3.24. Vektor vetítése egy tengelyre
általában.

A vektor végein keresztül az L vonalra merőleges síkokat rajzolunk. Az ezzel a vonallal metszéspontban ezek a síkok két A1 és B1 pontot határoznak meg - a vektort, amelyet ennek a vektornak a vektor vetületének nevezünk. A vektorvetítés megtalálásának problémája egyszerűbben megoldható, ha a vektort a tengellyel egy síkba hozzuk, ami lehetséges, mivel a vektoralgebrában a szabad vektorokat figyelembe veszik.

A vektorvetítés mellett létezik a SKALÁRVETÍTÉS is, amely megegyezik a vektorvetítés moduljával, ha a vektorvetítés egybeesik az L tengely tájolásával, és egyenlő a vele ellentétes értékkel, ha a vektorvetítés ill. az L tengely ellenkező irányú. A skaláris vetületet a következőkkel jelöljük:

A vektor- és skaláris vetületeket a gyakorlatban terminológiailag nem mindig különítik el szigorúan. Általában a "vektorvetítés" kifejezést használják, ami egy vektor skaláris vetületét jelenti. A döntés során világosan meg kell különböztetni ezeket a fogalmakat. A kialakult hagyományt követve a "vektorvetítés" kifejezéseket, amelyek skaláris vetületet jelentenek, és a "vektorvetítés" - a kialakult jelentésnek megfelelően - fogjuk használni.

Bizonyítsunk be egy tételt, amely lehetővé teszi egy adott vektor skaláris vetületének kiszámítását.

5. TÉTEL. Egy vektor L tengelyre vetítése egyenlő a moduljának és a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával, azaz

(3.5)

Rizs. 3.25. Vektor és skalár keresése
Vektor vetületek az L tengelyen
(és az L tengely egyformán orientált).

BIZONYÍTÉK. Végezzünk olyan előzetes konstrukciókat, amelyek lehetővé teszik a szög meghatározását G A vektor és az L tengely között.Ehhez az L tengellyel párhuzamos és az O ponton áthaladó MN egyenest építünk – a vektor kezdetén (3.25. ábra). A szög a kívánt szög lesz. Rajzoljunk át az A és O pontokon két, az L tengelyre merőleges síkot.

Mivel az L tengely és az MN egyenes párhuzamos.

Külön kiemeljük a vektor és az L tengely kölcsönös elrendezésének két esetét.

1. Legyen a vektorvetítés és az L tengely egyforma tájolású (3.25. ábra). Ezután a megfelelő skaláris vetület .

2. Legyen L és L különböző irányban (3.26. ábra).

Rizs. 3.26. Egy vektor vektorának és skaláris vetületeinek megtalálása az L tengelyen (és az L tengely ellentétes irányú).

Így a tétel állítása mindkét esetben érvényes.

6. TÉTEL. Ha a vektor elejét az L tengely egy bizonyos pontjára redukáljuk, és ez a tengely az s síkban helyezkedik el, akkor a vektor az s síkra vetített vektorral és a vektorral szöget zár be. az L tengelyre való vetítés, ráadásul maguk a vektorvetületek is szöget zárnak be egymással, akkor

Bevezetés……………………………………………………………………………3

1. Egy vektor és egy skalár értéke………………………………………………….4

2. Egy pont vetületének, tengelyének és koordinátájának meghatározása……………………5

3. Vektor vetítés a tengelyre……………………………………………………………………………………………………

4. A vektoralgebra alapképlete………………………………..8

5. A vektor moduljának kiszámítása vetületeiből………………………9

Következtetés……………………………………………………………………………11

Irodalom……………………………………………………………………………12

Bevezetés:

A fizika elválaszthatatlanul összefügg a matematikával. A matematika megadja a fizikának eszközeit és technikáit a kísérletek vagy elméleti kutatások eredményeként feltárt fizikai mennyiségek közötti kapcsolat általános és pontos kifejezésére, hiszen a fizikában a kutatás fő módszere a kísérleti. Ez azt jelenti, hogy a tudós mérések segítségével feltárja a számításokat. A különböző fizikai mennyiségek közötti kapcsolatot jelöli. Aztán mindent lefordítanak a matematika nyelvére. A matematikai modell kialakítása folyamatban van. A fizika a legegyszerűbb és egyben a legáltalánosabb törvényeket vizsgáló tudomány. A fizika feladata, hogy elménkben olyan képet alkosson a fizikai világról, amely a legteljesebben tükrözi annak tulajdonságait, és olyan kapcsolatokat biztosít a modell elemei között, amelyek az elemek között léteznek.

Tehát a fizika modellt hoz létre a körülöttünk lévő világról, és tanulmányozza annak tulajdonságait. De minden modell korlátozott. Egy adott jelenség modelljének megalkotásakor csak azokat a tulajdonságokat és összefüggéseket veszik figyelembe, amelyek egy adott jelenségkörhöz elengedhetetlenek. Ez a tudós művészete – a sokféleség közül válassza ki a legfontosabbat.

A fizikai modellek matematikaiak, de nem a matematika az alapjuk. A fizikai mennyiségek közötti mennyiségi összefüggések mérések, megfigyelések és kísérleti vizsgálatok eredményeként tisztázódnak, és csak a matematika nyelvén fejeződnek ki. A fizikai elméletek felépítésére azonban nincs más nyelv.

1. Egy vektor és egy skalár értéke.

A fizikában és a matematikában a vektor olyan mennyiség, amelyet számértéke és iránya jellemez. A fizikában számos fontos vektor van, például erő, helyzet, sebesség, gyorsulás, nyomaték, lendület, elektromos és mágneses mezők. Más mennyiségekkel – például tömeggel, térfogattal, nyomással, hőmérséklettel és sűrűséggel – szembeállíthatók, amelyek egy közönséges számmal írhatók le, és az úgynevezett " skalárok" .

Normál betűtípussal vagy számokkal (a, b, t, G, 5, -7 ....) írják őket. A skalárok lehetnek pozitívak vagy negatívak. Ugyanakkor egyes vizsgálati objektumok olyan tulajdonságokkal is rendelkezhetnek, amelyek teljes leírásához csak egy számszerű mérték ismerete nem elegendő, ezeket a tulajdonságokat térbeli iránnyal is jellemezni kell. Az ilyen tulajdonságokat vektormennyiségek (vektorok) jellemzik. A vektorokat a skalárokkal ellentétben félkövér betűkkel jelöljük: a, b, g, F, C ....
Gyakran egy vektort szabályos (nem félkövér) betűvel jelölnek, de felette nyíllal:

Ezenkívül egy vektort gyakran egy betűpárral jelölnek (általában nagybetűvel), ahol az első betű a vektor elejét, a második betű pedig a végét jelzi.

A vektor modulját, vagyis az irányított egyenes szakasz hosszát ugyanazokkal a betűkkel jelöljük, mint magát a vektort, de a szokásos (nem félkövér) írással és felettük nyíl nélkül, vagy éppen úgy, mint a vektor (azaz félkövér vagy szabályos, de nyíllal), de ekkor a vektor megjelölése függőleges kötőjelek közé kerül.
A vektor egy összetett objektum, amelyet egyszerre jellemez a nagyság és az irány.

Nincsenek pozitív és negatív vektorok is. De a vektorok egyenlőek lehetnek egymással. Ilyenkor például a-nak és b-nek ugyanazok a moduljai vannak, és ugyanabba az irányba vannak irányítva. Ebben az esetben a rekord a= b. Azt is szem előtt kell tartani, hogy a vektorszimbólum előtt mínuszjel szerepelhet, például -c, ez a jel azonban szimbolikusan azt jelzi, hogy a -c vektor modulusa megegyezik a c vektorral, de a ellenkező irányba.

A -c vektort a c vektor ellenkezőjének (vagy inverzének) nevezzük.
A fizikában azonban minden vektor meghatározott tartalommal van feltöltve, és az azonos típusú vektorok (például erők) összehasonlításakor az alkalmazási pontok is jelentős jelentőséggel bírhatnak.

2.A pont vetületének, tengelyének és koordinátájának meghatározása.

Tengely egy egyenes, amely irányt kapott.
A tengelyt tetszőleges betű jelöli: X, Y, Z, s, t ... Általában a tengelyen (tetszőlegesen) egy pontot választanak ki, amelyet origónak nevezünk, és általában az O betűvel jelöljük. Ettől a ponttól mérjük az egyéb számunkra érdekes helyek távolságát.

pontvetítés a tengelyen az ebből a pontból az adott tengelyre ejtett merőleges alapját nevezzük. Vagyis egy pont tengelyre vetítése pont.

pont koordinátája egy adott tengelyen olyan számot nevezünk, amelynek abszolút értéke megegyezik a tengely azon szakaszának hosszával (a kiválasztott léptékben), amely a tengely eleje és a pont erre a tengelyre való vetülete közé van zárva. Ezt a számot pluszjellel vesszük, ha a pont vetülete az elejétől a tengely irányában van, és mínuszjellel, ha ellenkező irányban.

3.Vektor vetítése tengelyre.

A vektor vetülete egy tengelyre egy olyan vektor, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk egy vektor skaláris vetületét erre a tengelyre és e tengely egységvektorát. Például, ha egy x az a vektor skaláris vetülete az X tengelyre, akkor a x i a vektor vetülete erre a tengelyre.

A vektorvetítést ugyanúgy jelöljük, mint magát a vektort, de annak a tengelynek az indexével, amelyre a vektort vetítjük. Tehát az a vektor X tengelyre vetített vektorvetületét x-szel (a vektort és a tengely nevének alsó indexét jelölő félkövér betű) jelöljük, ill.

(vektort jelölő, nem félkövér betű, de felül nyíllal (!) és a tengely nevének alsó indexével).

Skaláris vetítés tengelyenkénti vektort nevezzük szám, melynek abszolút értéke megegyezik a vektor kezdőpontjának és végpontjának vetületei közé zárt tengelyszakasz hosszával (a kiválasztott léptékben). Általában a kifejezés helyett skaláris vetület csak mondd - kivetítés. A vetületet ugyanaz a betű jelöli, mint a kivetített vektort (normál, nem félkövér írással), annak a tengelynek a nevének alsó indexével (általában), amelyre ez a vektor vetítve van. Például, ha egy vektort az x tengelyre vetítünk a, akkor a vetületét x-szel jelöljük. Ha ugyanazt a vektort egy másik tengelyre vetítjük, ha a tengely Y , akkor a vetületét y-val jelöljük.

A vetítés kiszámításához vektor egy tengelyen (például az X tengelyen) ki kell vonni a kezdőpont koordinátáját a végpontjának koordinátájából, azaz

és x \u003d x k - x n.

Egy vektor tengelyre vetítése egy szám. Ezenkívül a vetítés lehet pozitív, ha x k értéke nagyobb, mint x n,

negatív, ha x k értéke kisebb, mint x n

és egyenlő nullával, ha x k egyenlő x n-nel.

Egy vektor tengelyre vetítését úgy is megtalálhatjuk, ha ismerjük a vektor modulusát és az adott tengellyel bezárt szöget.

Az ábráról látható, hogy a x = a Cos α

Ez azt jelenti, hogy a vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vektor modulusának és a tengely iránya és a tengely iránya közötti szög koszinuszának szorzatával. vektor iránya. Ha a szög hegyes, akkor
Cos α > 0 és a x > 0, és ha tompaszög, akkor egy tompaszög koszinusza negatív, és a vektor tengelyre vetítése is negatív lesz.

A tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányba számolt szögeket pozitívnak, az irányban pedig negatívnak tekintjük. Mivel azonban a koszinusz páros függvény, vagyis Cos α = Cos (− α), a vetületek számításakor a szögek az óramutató járásával megegyező és azzal ellentétes irányban is számolhatók.

Egy vektor tengelyre vetített vetületének meghatározásához ennek a vektornak a modulját meg kell szorozni a tengely iránya és a vektor iránya közötti szög koszinuszával.

4. A vektoralgebra alapképlete.

Egy téglalap alakú koordinátarendszer X és Y tengelyére vetítünk egy a vektort. Keresse meg az a vektor vektorvetületeit ezeken a tengelyeken:

és x = a x i, és y = a y j.

De a vektorösszeadás szabálya szerint

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

Így egy vektort egy négyszögletes koordináta-rendszer vetületeivel és ortjaival (vagy vektorvetületeivel) fejeztünk ki.

Az a x és a y vektorvetületeket az a vektor komponenseinek vagy komponenseinek nevezzük. Az általunk végrehajtott műveletet a vektor téglalap alakú koordinátarendszer tengelyei mentén történő felosztásának nevezzük.

Ha a vektor térben adott, akkor

a = a x i + a y j + a z k.

Ezt a képletet a vektoralgebra alapképletének nevezzük. Persze lehet így is írni.