Forgó merev test mozgási energiája. Forgó test kinetikus energiája

Kezdjük azzal, hogy figyelembe vesszük a test egy rögzített tengely körüli forgását, amit z-tengelynek nevezünk (41.1. ábra). Az elemi tömeg lineáris sebessége ahol a tömeg távolsága a tengelytől. Ezért egy elemi tömeg mozgási energiájára a kifejezést kapjuk

A test mozgási energiája a testrészek kinetikus energiáiból tevődik össze:

Ennek az aránynak a jobb oldalán lévő összege az 1 test tehetetlenségi nyomatéka a forgástengely körül. Így egy rögzített tengely körül forgó test mozgási energiája az

Hagyja, hogy a tömegre egy belső és egy külső erő hat (lásd 41.1. ábra). A (20.5) szerint ezek az erők működni fognak az idő alatt

A faktorok ciklikus permutációját vektorok vegyes szorzataiban végrehajtva (lásd (2.34)) a következőket kapjuk:

ahol N a belső erő nyomatéka az O ponthoz képest, N a külső erő hasonló nyomatéka.

A (41.2) kifejezést az összes elemi tömegre összegezve megkapjuk a testen a dt idő alatt végzett elemi munkát:

A belső erők nyomatékainak összege nulla (lásd (29.12)). Ezért a külső erők össznyomatékát N-en keresztül jelölve a kifejezéshez jutunk

(a (2.21) képletet használtuk).

Végül, figyelembe véve, hogy van egy szög, amelyen keresztül a test időben elfordul, a következőket kapjuk:

A munka előjele az előjeltől függ, azaz az N vektornak a vektor irányába vetítésének előjelétől

Tehát amikor a test forog, a belső erők nem végeznek munkát, míg a külső erők munkáját a (41.4) képlet határozza meg.

A (41.4) képlethez úgy juthatunk hozzá, hogy a testre ható összes erő által végzett munka a test mozgási energiájának növelésére irányul (lásd (19.11)). Az egyenlőség mindkét oldalának differenciálját (41.1) véve a relációhoz jutunk

A (38.8) egyenlet szerint tehát átcserélve a (41.4) képlethez jutunk.

41.1. táblázat

táblázatban. A 41.1. ábrán a forgó mozgások mechanikájának képleteit összehasonlítjuk a transzlációs mozgás mechanikájának (a pont mechanikájának) hasonló képleteivel. Ebből az összehasonlításból könnyen megállapítható, hogy minden esetben a tömeg szerepét a tehetetlenségi nyomaték, az erő szerepét az erőnyomaték, a lendület szerepét a lendületi nyomaték játssza stb.

Képlet. (41.1) azt az esetet kaptuk, amikor a test a testben rögzített rögzített tengely körül forog. Most tegyük fel, hogy a test önkényesen forog egy fix pont körül, amely egybeesik a tömegközéppontjával.

Kössük mereven a derékszögű koordinátarendszert a testtel, amelynek origója a test tömegközéppontjába kerül. Az i-edik elemi tömeg sebessége Ezért a test mozgási energiájára felírhatjuk a kifejezést

hol van a vektorok közötti szög Egy átmenőt helyettesítve és figyelembe véve azt, amit kapunk:

A skaláris szorzatokat a vektorok vetületei alapján írjuk fel a testhez tartozó koordinátarendszer tengelyeire:

Végül, ha a tagokat a szögsebesség összetevőinek azonos szorzataival kombináljuk, és ezeket a szorzatokat kivesszük az összegek előjeleiből, azt kapjuk, hogy a (41.7) képlet alakot ölt (vö. (41.1)). Amikor egy tetszőleges test az egyik fő tehetetlenségi tengely körül forog, mondjuk a tengelyek és a (41.7) képlet a (41.10)-be kerül.

És így. a forgó test mozgási energiája három esetben egyenlő a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség négyzetének szorzatának felével: 1) rögzített tengely körül forgó testnél; 2) az egyik fő tehetetlenségi tengely körül forgó testhez; 3) labdatetőhöz. Más esetekben a kinetikus energiát a bonyolultabb (41.5) vagy (41.7) képletek határozzák meg.

Mechanika.

1. kérdés

Referencia rendszer. Inerciális referenciarendszerek. Galileo-Einstein relativitáselmélete.

referenciarendszer- ez olyan testek halmaza, amelyekre vonatkozóan egy adott test mozgását és a hozzá tartozó koordinátarendszert írják le.

Inerciális referenciarendszer (ISO)- olyan rendszer, amelyben egy szabadon mozgó test nyugalomban vagy egyenletes egyenes vonalú mozgásban van.

Galileo-Einstein relativitáselmélete- A természet minden jelensége bármely tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben ugyanúgy történik, és ugyanaz a matematikai alakja. Más szóval, minden ISO egyenlő.

2. kérdés

A mozgás egyenlete. A merev test mozgástípusai. A kinematika fő feladata.

Egy anyagi pont mozgásegyenletei:

- kinematikai mozgásegyenlet

A merev test mozgásának típusai:

1) Transzlációs mozgás – a testben húzott bármely egyenes vonal önmagával párhuzamosan mozog.

2) Forgó mozgás - a test bármely pontja körben mozog.

φ = φ(t)

A kinematika fő feladata- ez egy anyagi pont V= V(t) sebességének és koordinátáinak (vagy sugárvektorának) r = r(t) időfüggésének megszerzése a gyorsulásának a = a(t) ismert időfüggéséből és a ismert kezdeti feltételek V 0 és r 0.

7. kérdés

Impulzus (Mozgásszám) egy vektorfizikai mennyiség, amely a test mechanikai mozgásának mértékét jellemzi. A klasszikus mechanikában a test lendülete egyenlő a tömeg szorzatával m ez a sebességére utal v, az impulzus iránya egybeesik a sebességvektor irányával:

Az elméleti mechanikában általánosított lendület a rendszer Lagrange-függvényének parciális deriváltja az általánosított sebességre vonatkoztatva

Ha a rendszer Lagrange-ja nem függ egyesektől általánosított koordináta, akkor miatt Lagrange-egyenletek .

Egy szabad részecskére a Lagrange függvény alakja: , tehát:

A zárt rendszer Lagrange függetlensége a térbeli helyzetétől a tulajdonságból következik a tér homogenitása: egy jól izolált rendszernél a viselkedése nem attól függ, hogy a térben hova helyezzük. Által Noether tétele ez a homogenitás valamilyen fizikai mennyiség megőrzését jelenti. Ezt a mennyiséget impulzusnak nevezzük (közönséges, nem általánosított).

A klasszikus mechanikában teljes lendület Az anyagi pontok rendszerét vektormennyiségnek nevezzük, amely megegyezik az anyagi pontok sebességük szerinti tömegeinek szorzatának összegével:

ennek megfelelően a mennyiséget egy anyagi pont lendületének nevezzük. Ez egy vektormennyiség, amely ugyanabba az irányba van irányítva, mint a részecske sebessége. A lendület mértékegysége a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) az kilogramm méter másodpercenként(kg m/s)

Ha véges méretű testtel van dolgunk, a lendületének meghatározásához a testet apró részekre kell bontani, amelyek anyagi pontoknak tekinthetők, és ezek fölött összegezhetők, így kapjuk:

Egy olyan rendszer lendülete, amelyet semmilyen külső erő nem befolyásol (vagy kompenzál), konzervált időben:

Az impulzus megmaradása ebben az esetben Newton második és harmadik törvényéből következik: Newton második törvényét a rendszert alkotó minden anyagi pontra felírva, és a rendszert alkotó összes anyagi pontra összegezve, Newton harmadik törvénye alapján. törvény alapján megkapjuk az egyenlőséget (*).

A relativisztikus mechanikában a nem kölcsönható anyagi pontok rendszerének háromdimenziós lendülete a mennyiség

,

ahol m i- súly én-th anyagi pont.

A nem kölcsönható anyagi pontok zárt rendszerénél ez az érték megmarad. A háromdimenziós impulzus azonban nem relativisztikusan invariáns mennyiség, mivel a vonatkoztatási rendszertől függ. Értelmesebb érték lesz egy négydimenziós impulzus, amely egy anyagi pontra úgy van definiálva

A gyakorlatban gyakran használják a következő összefüggéseket a részecske tömege, lendülete és energiája között:

Elvileg a nem kölcsönható anyagi pontok rendszerénél ezek 4 momentumait összegzik. A relativisztikus mechanikában kölcsönhatásban lévő részecskék esetében azonban nem csak a rendszert alkotó részecskék momentumát kell figyelembe venni, hanem a köztük lévő kölcsönhatási mező lendületét is. Ezért a relativisztikus mechanikában sokkal értelmesebb mennyiség az energia-impulzus tenzor, amely teljes mértékben kielégíti a megmaradási törvényeket.

8. kérdés

Tehetetlenségi nyomaték- skaláris fizikai mennyiség, a test tehetetlenségének mértéke egy tengely körüli forgómozgásban, ahogyan a test tömege a transzlációs mozgás tehetetlenségének mértéke. Jellemzője a tömegek eloszlása ​​a testben: a tehetetlenségi nyomaték egyenlő az elemi tömegek szorzatának és az alaphalmaztól való távolságuk négyzetének összegével.

Axiális tehetetlenségi nyomaték

Egyes testek tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai.

Mechanikai rendszer tehetetlenségi nyomatéka egy rögzített tengelyhez képest ("axiális tehetetlenségi nyomaték") értéknek nevezzük J a egyenlő az összes tömegek szorzatának összegével n a rendszer anyagi pontjai a tengelytől való távolságuk négyzeteibe:

,

• m i- súly én-adik pont,
• r i- távolság tőle én-adik pont a tengelyhez.

Tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték test J a a test tehetetlenségének mértéke egy tengely körüli forgó mozgásban, ahogyan a test tömege a transzlációs mozgás tehetetlenségének mértéke.

,

• dm = ρ dV- a test kis térfogatú elemének tömege dV,
• ρ - sűrűség,
• r- távolság az elemtől dV az a tengelyhez.

Ha a test homogén, azaz sűrűsége mindenhol azonos, akkor

Képlet levezetése

dmés a tehetetlenségi pillanatok DJ i. Azután

Vékonyfalú henger (gyűrű, karika)

Képlet levezetése

Egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az alkotórészei tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Vékony falú henger tömeges elemekre osztása dmés a tehetetlenségi pillanatok DJ i. Azután

Mivel a vékony falú henger minden eleme azonos távolságra van a forgástengelytől, az (1) képletet a következőre alakítjuk

Steiner tétele

Tehetetlenségi nyomaték A merev test bármely tengelyhez viszonyított értéke nemcsak a test tömegétől, alakjától és méreteitől függ, hanem a test e tengelyhez viszonyított helyzetétől is. A Steiner-tétel (Huygens-Steiner-tétel) szerint tehetetlenségi nyomaték test J tetszőleges tengelyhez viszonyítva egyenlő az összeggel tehetetlenségi nyomaték ezt a testet Jc a vizsgált tengellyel párhuzamos test tömegközéppontján átmenő tengelyhez és a testtömeg szorzatához képest m négyzettávolságonként d tengelyek között:

Ha a test tehetetlenségi nyomatéka a test tömegközéppontján átmenő tengely körül, akkor a tőle távolabb elhelyezkedő párhuzamos tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egyenlő

,

hol van a test össztömege.

Például egy rúd tehetetlenségi nyomatéka a végén áthaladó tengely körül:

Forgási energia

A forgó mozgás kinetikus energiája- a test forgásához kapcsolódó energiája.

Egy test forgómozgásának fő kinematikai jellemzői a szögsebesség (ω) és a szöggyorsulás. A forgómozgás fő dinamikus jellemzői a z forgástengely körüli impulzusimpulzus:

Kz = Izω

és a mozgási energia

ahol I z a test tehetetlenségi nyomatéka a forgástengely körül.

Hasonló példát találhatunk, ha egy forgó molekulát veszünk figyelembe, amelynek fő tehetetlenségi tengelye van én 1, én 2és én 3. Egy ilyen molekula forgási energiáját a kifejezés adja meg

ahol ω 1, ω 2, és ω 3 a szögsebesség fő összetevői.

Általános esetben a szögsebességű forgási energiát a következő képlet határozza meg:

, ahol én a tehetetlenségi tenzor.

9. kérdés

impulzus pillanata (szögimpulzus, szögimpulzus, pályamomentum, szögimpulzus) a forgómozgás mértékét jellemzi. Olyan mennyiség, amely attól függ, hogy mekkora tömeg forog, hogyan oszlik el a forgástengely körül, és milyen gyorsan megy végbe a forgás.

Meg kell jegyezni, hogy a forgás itt tág értelemben értendő, nem csak szabályos tengely körüli forgásként. Például egy testnek egy tetszőleges képzeletbeli ponton túlmenő egyenes vonalú mozgása esetén is van egy szögimpulzusa. A tényleges forgómozgás leírásában talán a szögimpulzusnak van a legnagyobb szerepe. Ez azonban rendkívül fontos egy sokkal szélesebb problémacsoport esetén (főleg, ha a probléma központi vagy tengelyirányú szimmetriájú, de nem csak ezekben az esetekben).

A lendület megmaradásának törvénye(a szögimpulzus megmaradásának törvénye) - bármely tengely körüli összes szögnyomaték vektorösszege zárt rendszer esetén állandó marad a rendszer egyensúlya esetén. Ennek megfelelően egy zárt rendszer szögimpulzusa a szögimpulzus bármely nem időbeli deriváltjához képest az erőnyomaték:

Így a rendszerzárás követelménye gyengíthető arra a követelményre, hogy a külső erők fő (összes) nyomatéka nullával egyenlő legyen:

ahol a részecskék rendszerére ható erők egyikének nyomatéka. (De persze ha egyáltalán nincsenek külső erők, akkor ez a követelmény is teljesül).

Matematikailag a szögimpulzus megmaradásának törvénye a tér izotrópiájából, vagyis a tér tetszőleges szögön keresztüli forgással kapcsolatos invarianciájából következik. Egy tetszőleges végtelen szögben történő elforgatáskor a számmal rendelkező részecske sugárvektora -val változik, a sebességek pedig - . A rendszer Lagrange-függvénye a tér izotrópiája miatt nem változik ilyen forgás közben. Így

Feladatok

1. Határozza meg, hogy az effektív tömeg hányszor nagyobb egy 4000 tonna tömegű vonat gravitációs tömegénél, ha a kerekek tömege a vonat tömegének 15%-a! Tekintsük a kerekeket 1,02 m átmérőjű tárcsáknak Hogyan változik a válasz, ha a kerekek átmérője ennek fele?

2. Határozza meg azt a gyorsulást, amellyel egy 1200 kg tömegű kerékpár legördül egy 0,08 lejtős dombról! Tekintsük a kerekeket tárcsáknak. Gördülési ellenállási együttható 0,004. Határozza meg a kerekek tapadási erejét a sínekhez.

3. Határozza meg azt a gyorsulást, amellyel egy 1400 kg tömegű kerékpár felgördül egy 0,05 lejtős dombra! Ellenállási együttható 0,002. Mekkora legyen a tapadási tényező, hogy a kerekek ne csúszjanak. Tekintsük a kerekeket tárcsáknak.

4. Határozza meg azt a gyorsulást, amellyel egy 40 tonnás kocsi legurul egy 0,020 lejtős dombról, ha nyolc kereke van, amelyek súlya 1200 kg és átmérője 1,02 m Határozza meg a kerekek tapadási erejét a sínekhez! Ellenállási együttható 0,003.

5. Határozza meg a fékpofák nyomóerejét a gumiabroncsokon, ha egy 4000 tonna tömegű vonat 0,3 m/s 2 gyorsulással lassít! Egy kerékpár tehetetlenségi nyomatéka 600 kg m 2, a tengelyek száma 400, a blokk csúszósúrlódási tényezője 0,18, gördülési ellenállási együtthatója 0,004.

6. Határozza meg a 60 tonna tömegű négytengelyes kocsira ható fékezőerőt a rendezőpálya fékbetétjén, ha 30 m-es vágányon a sebesség 2 m/s-ról 1,5 m/s-ra csökkent! Egy kerékpár tehetetlenségi nyomatéka 500 kg m 2 .

7. A mozdony sebességmérője egy percen belül 10 m/s-ról 60 m/s-ra mutatta a vonat sebességének növekedését. Valószínűleg a vezetőkerékpár megcsúszott. Határozza meg a villanymotor armatúrájára ható erők nyomatékát! Kerékpár tehetetlenségi nyomatéka 600 kg m 2, horgonyok 120 kg m 2 . Áttételi arány áttétel 4.2. A sínekre ható nyomóerő 200 kN, a kerekek sín menti csúszósúrlódási tényezője 0,10.

11. A FORGÓ KINETIKUS ENERGIÁJA

MOZGÁSOK

Levezetjük a forgómozgás kinetikus energiájának képletét. Hagyja, hogy a test szögsebességgel forogjon ω a rögzített tengely körül. A test bármely kis részecskéje transzlációs mozgást végez egy körben, sebességgel, ahol r i - távolság a forgástengelytől, a pálya sugara. Egy részecske kinetikus energiája tömegek m i egyenlő . A részecskék rendszerének teljes kinetikai energiája egyenlő kinetikai energiáik összegével. Összegezzük a test részecskéinek mozgási energiájára vonatkozó képleteket, és vegyük ki a szögsebesség négyzetének fele összegének előjelét, amely minden részecske esetében azonos! . A részecskék tömegének és a forgástengelytől mért távolságuk négyzetének szorzata a test tehetetlenségi nyomatéka a forgástengely körül . Így, egy rögzített tengely körül forgó test mozgási energiája egyenlő a test tengely körüli tehetetlenségi nyomatéka és a forgási szögsebesség négyzetének szorzatával:

A forgó testek mechanikai energiát tárolhatnak. Az ilyen testeket lendkerekeknek nevezik. Általában ezek a forradalom testei. A lendkerekek használata a fazekaskorongban már az ókorban ismert volt. A belső égésű motorokban a munkalöket során a dugattyú mechanikai energiát ad a lendkeréknek, amely a következő három ciklusban a motor tengelyének forgását végzi. A bélyegeknél és préseknél a lendkereket viszonylag kis teljesítményű villanymotor hajtja, szinte egy teljes fordulatra halmoz fel mechanikai energiát, és egy rövid ütközési pillanat alatt átadja a bélyegzés munkájának.

Számos kísérlet van arra, hogy forgó lendkereket használjon járművek vezetésére: autók, buszok. Mahomobiloknak, giroszkóphordozóknak hívják őket. Sok ilyen kísérleti gépet hoztak létre. Ígéretes lenne az elektromos vonatok fékezése során a lendkerekek energiatárolása, hogy a felhalmozott energiát a későbbi gyorsítások során hasznosítsák. A lendkerekes energiatárolót köztudottan a New York-i metrószerelvényeken használják.