Az egész számok általános elképzelése. Legnagyobb közös többszörös és a legkisebb közös osztó

Mit jelent az egész szám

Tehát nézzük meg, milyen számokat nevezünk egész számoknak.

Így az egész számok a következő számokat jelölik: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ stb.

A természetes számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza, azaz. bármely természetes lesz egész szám, de egyetlen egész sem természetes szám.

Egész pozitív és egész negatív számok

2. definíció

plusz.

A $3, 78, 569, 10450 $ számok pozitív egész számok.

3. definíció

előjeles egész számok mínusz.

A $−3, −78, −569, -10450$ számok negatív egész számok.

Megjegyzés 1

A nulla szám nem utal sem pozitív, sem negatív egész számokra.

Egész pozitív számok nullánál nagyobb egész számok.

Egész negatív számok nullánál kisebb egész számok.

A természetes egész számok halmaza az összes pozitív egész halmaza, a természetes számok ellentéteinek halmaza pedig az összes negatív egész halmaza.

Egész nem pozitív és egész nem negatív számok

Minden pozitív egész számot és a nullát hívjuk egész, nem negatív számok.

Nem pozitív egész számok mind negatív egész számok és a $0$ szám.

2. megjegyzés

És így, egész nemnegatív szám nullánál nagyobb vagy nullával egyenlő egész számok, és nem pozitív egész szám nullánál kisebb vagy nullával egyenlő egész számok.

Például nem pozitív egész számok: $−32, −123, 0, −5$ és nem negatív egész számok: $54, 123, 0,856 342.$

Értékek megváltoztatásának leírása egész számokkal

Az egész számok az elemek számában bekövetkezett változások leírására szolgálnak.

Vegye figyelembe a példákat.

1. példa

Tegyük fel, hogy egy bolt bizonyos számú terméket árul. Amikor a boltba 520 dollárnyi áru érkezik, az áruházban lévő cikkek száma megnő, az 520 dollár pedig pozitív változást mutat a számban. Amikor az üzlet 50 dolláros árut ad el, az üzletben lévő cikkek száma csökken, és az 50 dolláros szám negatív változást jelez a számban. Ha az üzlet nem hozza és nem adja el az árut, akkor az áruk darabszáma változatlan marad (azaz nulla számváltozásról beszélhetünk).

A fenti példában az áruk számának változását a $520$, $−50$ és $0$ egész számokkal írjuk le. Az $520$ egész szám pozitív értéke pozitív változást jelez a számban. A $−50$ egész szám negatív értéke a szám negatív változását jelzi. A $0$ egész szám a szám megváltoztathatatlanságát jelzi.

Az egész számok használata kényelmes, mert nem szükséges kifejezett jelzés a szám növekedéséről vagy csökkenéséről - az egész szám előjele a változás irányát, az érték pedig a mennyiségi változást jelzi.

Egész számok segítségével nem csak mennyiségi változást, hanem bármely érték változását is kifejezhetjük.

Vegyünk egy példát egy termék költségének változására.

2. példa

A költségnövekedés például 20 USD rubel értékben 20 USD pozitív egész számmal fejezhető ki. A költség csökkentését például $5$ rubellel egy negatív egész szám írja le $−5$. Ha nincs költségváltozás, akkor ezt a változást a $0$ egész szám határozza meg.

Külön-külön tekintsük a negatív egész számok értékét az adósság nagyságának.

3. példa

Például egy személynek 5000 rubelje van. Ezután egy pozitív egész számot használva $5,000 $, akkor megmutathatja, hány rubel van. Egy személynek 7000 rubel bérleti díjat kell fizetnie, de nincs ilyen pénze, ebben az esetben az ilyen helyzetet negatív egész szám írja le -7 000 USD. Ebben az esetben a személynek -7000 dollár rubelje van, ahol a "-" az adósságot jelöli, a 7000 dollár pedig az adósság összegét.

Az ebben a cikkben található információk általános képet alkotnak arról egész számok. Először is megadjuk az egész számok definícióját, és példákat adunk. Ezután a számegyenesen lévő egész számokat veszi figyelembe, amelyekből kiderül, hogy mely számokat nevezzük pozitív, és melyeket negatív egész számoknak. Ezt követően bemutatjuk, hogy a mennyiségek változásait egész számokkal írjuk le, a negatív egészeket pedig adósság értelemben.

Oldalnavigáció.

Egész számok - definíció és példák

Meghatározás.

Egész számok természetes számok, nulla, valamint a természetesekkel ellentétes számok.

Az egész számok definíciója kimondja, hogy az 1, 2, 3, … számok bármelyike, a 0 szám, valamint a −1, −2, −3, … számok bármelyike ​​egész szám. Most könnyen hozhatjuk integer példák. Például a 38-as szám egész szám, a 70 040 is egész szám, a nulla egész szám (emlékezzünk arra, hogy a nulla NEM természetes szám, a nulla egész szám), a -999 , -1 , -8 934 számok A 832 is példák egész számokra.

Célszerű minden egész számot egész számsorozatként ábrázolni, amelynek a következő alakja van: 0, ±1, ±2, ±3, … Az egész számok sorozata a következőképpen is felírható: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Az egész számok definíciójából következik, hogy a természetes számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza. Ezért minden természetes szám egész szám, de nem minden egész természetes szám.

Egész számok a koordináta egyenesen

Meghatározás.

Egész pozitív számok olyan egész számok, amelyek nagyobbak nullánál.

Meghatározás.

Negatív egész számok nullánál kisebb egész számok.

Egész pozitív és negatív számok is meghatározhatók a koordinátaegyenesen elfoglalt helyzetük alapján. A vízszintes koordinátavonalon azok a pontok, amelyek koordinátái pozitív egész számok, az origótól jobbra helyezkednek el. A negatív egész koordinátájú pontok viszont az O ponttól balra helyezkednek el.

Nyilvánvaló, hogy az összes pozitív egész halmaz a természetes számok halmaza. Az összes negatív egész szám halmaza viszont a természetes számokkal ellentétes számok halmaza.

Külön felhívjuk a figyelmet arra, hogy bármely természetes számot nyugodtan nevezhetünk egész számnak, és NEM nevezhetünk egész számot természetes számnak. Természetesnek csak bármilyen pozitív egész számot nevezhetünk, mivel a negatív egész és a nulla nem természetes.

Egész nem pozitív és egész nem negatív számok

Adjuk meg a nem pozitív egészek és a nemnegatív egész számok definícióit.

Meghatározás.

Minden pozitív egész számot nullával együtt hívunk egész, nem negatív számok.

Meghatározás.

Nem pozitív egész számok mind negatív egész számok a 0 számmal együtt.

Más szavakkal, a nem negatív egész szám nullánál nagyobb vagy egyenlő, a nem pozitív egész szám pedig nullánál kisebb vagy azzal egyenlő egész szám.

A nem pozitív egész számok példái a -511, -10 030, 0, -2, a nem negatív egészek példáiként pedig adjunk meg 45, 506, 0, 900 321 számokat.

Leggyakrabban a "nem pozitív egész számok" és a "nem negatív egész számok" kifejezéseket a rövidség kedvéért használják. Például az "a szám egy egész szám, és a nagyobb, mint nulla vagy egyenlő nullával" kifejezés helyett azt mondhatja, hogy "a egy nem negatív egész szám".

Értékek megváltoztatásának leírása egész számokkal

Ideje beszélni arról, hogy mire valók az egész számok.

Az egész számok fő célja, hogy segítségével kényelmesen leírható legyen az elemek számának változása. Foglalkozzunk ezzel példákkal.

Tegyük fel, hogy van egy bizonyos mennyiségű alkatrész raktáron. Ha például 400-zal több alkatrészt visznek be a raktárba, akkor a raktárban lévő alkatrészek száma megnő, és a 400-as szám ezt a mennyiségi változást fejezi ki pozitív irányban (növekedés irányába). Ha például 100 alkatrészt vesznek el a raktárból, akkor a raktárban lévő alkatrészek száma csökken, a 100-as szám pedig a mennyiség negatív irányú (a csökkenés irányába) változását fejezi ki. A raktárba alkatrészt nem visznek be, és a raktárból sem visznek el, akkor beszélhetünk az alkatrészszám invarianciájáról (vagyis nulla mennyiségváltozásról).

A megadott példákban a részek számának változása a 400 , -100 és 0 egész számokkal írható le. A 400 pozitív egész szám pozitív mennyiségváltozást (növekedést) jelez. A –100 negatív egész szám negatív mennyiségváltozást (csökkenést) fejez ki. A 0 egész szám azt jelzi, hogy a mennyiség nem változott.

Az egész számok használatának kényelme a természetes számokhoz képest, hogy nem kell kifejezetten jelezni, hogy a mennyiség növekszik vagy csökken - az egész szám mennyiségileg adja meg a változást, az egész szám előjele pedig a változás irányát.

Az egész számok nemcsak mennyiségi változást, hanem valamilyen érték változását is kifejezhetik. Foglalkozzunk ezzel a hőmérsékletváltozás példáján keresztül.

A hőmérséklet 4 fokkal történő növekedését pozitív egész számként fejezzük ki 4 . Például a hőmérséklet 12 fokos csökkenése negatív egész számmal írható le –12. A hőmérséklet invarianciája pedig annak változása, amelyet a 0 egész szám határozza meg.

Külön meg kell említeni a negatív egész számok tartozás összegeként való értelmezését. Például, ha van 3 almánk, akkor a pozitív egész 3 a birtokunkban lévő almáink számát jelenti. Másrészt, ha valakinek 5 almát kell adnunk, és nem áll rendelkezésünkre, akkor ez a helyzet egy negatív egész számmal írható le −5. Ebben az esetben −5 almát "tulajdonolunk", a mínusz jel az adósságot, az 5-ös pedig az adósságot számszerűsíti.

A negatív egész szám adósságként való értelmezése lehetővé teszi például a negatív egész számok hozzáadásának szabályának igazolását. Vegyünk egy példát. Ha valaki 2 almával tartozik az egyik embernek és egy almával a másiknak, akkor a teljes tartozás 2+1=3 alma, tehát −2+(−1)=−3 .

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya. stb. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára.

Nak nek egész számok tartalmazzák a természetes számokat, a nullát és a természetes számokkal ellentétes számokat.

Egész számok pozitív egész számok.

Például: 1, 3, 7, 19, 23 stb. Ilyen számokat használunk a számoláshoz (5 alma van az asztalon, az autó 4 kerekes stb.)

Latin betű \mathbb(N) - jelölve természetes számok halmaza.

A természetes számok nem tartalmazhatnak negatívat (egy széknek nem lehet negatív lábaszáma) és törtszámokat (Iván nem tudott eladni 3,5 kerékpárt).

A természetes számokkal ellentétes számok negatív egészek: -8, -148, -981, ....

Aritmetikai műveletek egész számokkal

Mit lehet csinálni egész számokkal? Egymásból szorozhatók, összeadhatók és kivonhatók. Elemezzük az egyes műveleteket egy adott példán.

Egész számok összeadása

Két azonos előjelű egész szám összeadódik a következőképpen: ezeknek a számoknak a moduljait összeadjuk, és a kapott összeget megelőzi a végső előjel:

(+11) + (+9) = +20

Egész számok kivonása

Két különböző előjelű egész számot adunk hozzá a következőképpen: a kisebb szám modulusát kivonjuk a nagyobb szám modulusából, és a válasz elé kerül a nagyobb modulusszám előjele:

(-7) + (+8) = +1

Egész szám szorzás

Egy egész szám egy másikkal való szorzásához meg kell szorozni ezeknek a számoknak a moduljait, és a „+” jelet kell a kapott válasz elé tenni, ha az eredeti számok azonos előjelűek voltak, és a „-” jelet, ha az eredeti számok voltak. különböző jelzésekkel:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Emlékeznie kell a következőkre egész számszorzási szabály:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Van egy szabály több egész szám szorzására. Emlékezzünk rá:

A szorzat előjele „+” lesz, ha a negatív előjelű tényezők száma páros, és „-”, ha a negatív előjelű tényezők száma páratlan.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Egész számok felosztása

Két egész szám felosztása a következőképpen történik: az egyik szám modulusát elosztjuk a másik modulusával, és ha a számok előjele megegyezik, akkor a kapott hányados elé egy „+” jel kerül. , és ha az eredeti számok előjele eltérő, akkor a „−” jel kerül elhelyezésre.

(-25) : (+5) = -5

Egész számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai

Elemezzük az összeadás és szorzás alapvető tulajdonságait tetszőleges a , b és c egész számokra:

1. a + b = b + a - az összeadás kommutatív tulajdonsága;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - az összeadás asszociatív tulajdonsága;
3. a \cdot b = b \cdot a - a szorzás kommutatív tulajdonsága;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- a szorzás asszociatív tulajdonságai;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c a szorzás elosztó tulajdonsága.

A Kr.e. ötödik században az ókori görög filozófus, Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknősbéka” aporia. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Gilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáit tekintették. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták jelenleg is folynak, a tudományos közösségnek még nem sikerült egységes véleményre jutnia a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.

A matematika szemszögéből Zénón aporiájában egyértelműen bemutatta az átmenetet az értékről a másikra. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek alkalmazására szolgáló matematikai apparátus vagy még nem alakult ki, vagy nem alkalmazták Zénón apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége folytán állandó időegységeket alkalmazunk a reciprokra. Fizikai szempontból úgy tűnik, hogy az idő lelassul és teljesen megáll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknősbékát”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok értékekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést tesz meg, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő időintervallumban, amely megegyezik az elsővel, Akhilleusz további ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség leküzdhetetlenségéről nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újra kell gondolnunk és meg kell oldanunk. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénón egy másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, mivel az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy a repülő nyíl minden egyes pillanatban nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két, ugyanarról a pontról, különböző időpontokban készült fényképre van szükség, de ezek alapján nem lehet meghatározni a távolságot. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egyidejűleg, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít) . Amit különösen szeretnék rámutatni, az az, hogy két pont az időben és két pont a térben két különböző dolog, amelyeket nem szabad összetéveszteni, mivel eltérő lehetőségeket biztosítanak a felfedezéshez.

2018. július 4., szerda

A készlet és a multihalmaz közötti különbségeket nagyon jól leírja a Wikipédia. Nézzük.

Mint látható, "a halmaznak nem lehet két egyforma eleme", de ha a halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt "multisetnek" nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az abszurditás efféle logikáját. Ez a beszélő papagájok és kiképzett majmok szintje, ahol az elme hiányzik a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.

Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban ültek a híd alatt a híd tesztelése közben. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.

Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, én a házban” kifejezés mögé, vagy inkább „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.

Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk és fizetünk. Itt egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. A teljes összeget megszámoljuk neki, és az asztalunkra rakjuk különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a "matematikai fizetési készletét". Magyarázzuk el a matematikát, hogy a többi számlát csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.

Először is működni fog a képviselői logika: "másokra alkalmazhatod, rám nem!" Továbbá megkezdődik annak biztosítása, hogy az azonos címletű bankjegyeken különböző bankjegyszámok szerepelnek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Nos, a fizetést érmében számoljuk – az érméken nincsenek számok. Itt a matematikus eszeveszetten felidézi majd a fizikát: a különböző érméken különböző mennyiségű szennyeződés van, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi ...

És most van a legérdekesebb kérdésem: hol van az a határ, amelyen túl egy multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak, és fordítva? Ilyen vonal nem létezik - mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt még csak közel sem.

Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területe megegyezik, ami azt jelenti, hogy van egy multikészletünk. De ha figyelembe vesszük az azonos stadionok nevét, akkor sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet egyszerre halmaz és multihalmaz is. Mennyire helyes? És itt a matematikus-sámán-shuller elővesz egy adu ászt az ingujjából, és elkezd mesélni nekünk egy halmazról vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan működnek a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég csak egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.

2018. március 18. vasárnap

Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ők azért sámánok, hogy megtanítsák a leszármazottaikat a készségeikre és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.

Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: "Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét." A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok alapvetően meg tudják oldani.

Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tegyük fel, hogy az 12345-ös számunk van. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.

1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot számgrafikus szimbólummá alakítottuk. Ez nem matematikai művelet.

2. Egy kapott képet több, külön számokat tartalmazó képre vágtunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.

3. Alakítsa át az egyes grafikus karaktereket számokká. Ez nem matematikai művelet.

4. Adja össze a kapott számokat. Ez most a matematika.

Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a matematikusok által használt "szabás- és varrótanfolyamok" a sámánoktól. De ez még nem minden.

A matematika szempontjából nem mindegy, hogy melyik számrendszerbe írjuk a számot. Tehát különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. A nagy 12345-ös számmal nem akarom becsapni a fejem, vegyük figyelembe a cikk 26-os számát. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem fogunk minden lépést mikroszkóp alatt megvizsgálni, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.

Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez olyan, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben találná meg, teljesen más eredményt adna.

A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy . Kérdés a matematikusokhoz: hogyan jelölik a matematikában azt, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül más nem létezik? A sámánoknak ezt megengedhetem, de a tudósoknak nem. A valóság nem csak a számokból áll.

A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.

Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám értékétől, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.

Jelzés az ajtón Kinyitja az ajtót és azt mondja:

Jaj! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek határtalan szentségének tanulmányozására a mennybemenetelkor! Nimbus felül és nyíl felfelé. Milyen másik wc?

Nő... Egy halo a tetején és egy nyíl lefelé férfi.

Ha naponta többször is felvillan a szemed előtt egy ilyen dizájnművészeti alkotás,

Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:

Én személy szerint arra törekszem, hogy mínusz négy fokot lássak egy kakiló emberben (egy kép) (több kép összeállítása: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És ezt a lányt nem tartom bolondnak, aki nem ismeri a fizikát. Csak egy íves sztereotípiája van a grafikus képek felfogásáról. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.

Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "kaki ember" vagy a "huszonhat" szám a hexadecimális számrendszerben. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, a számot és a betűt automatikusan egyetlen grafikus szimbólumként érzékelik.

Fontos jegyzetek!
1. Ha a képletek helyett abrakadabra látható, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt böngészőben csinálni:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen a navigátorunkra, hogy megtalálja a leghasznosabb forrást

Ahhoz, hogy SOKKAL leegyszerűsítse az életét, amikor ki kell számítania valamit, hogy értékes időt nyerjen az OGE-n vagy a USE-n, hogy kevesebb hülyeséget vétsen - olvassa el ezt a részt!

Íme, amit megtudhat:

• hogyan lehet gyorsabban, könnyebben és pontosabban számolniszámok csoportosításaösszeadáskor és kivonáskor,
• hogyan lehet gyorsan szorozni és osztani hiba nélkül szorzási szabályok és oszthatósági kritériumok,
• segítségével jelentősen felgyorsíthatja a számításokat legkisebb közös többszörös(NOC) és legnagyobb közös osztó(GCD).

A szekció technikáinak birtoklása egy vagy másik irányba billentheti a mérleget... akár bekerülsz álmaid egyetemére, akár nem, neked vagy szüleidnek sok pénzt kell fizetnie az oktatásért, vagy bekerülsz a költségvetésbe .

Ugorjunk bele... (Menjünk!)

P.S. UTOLSÓ ÉRTÉKES TANÁCS...

Egy csomó egész számok 3 részből áll:

1. egész számok(az alábbiakban részletesebben foglalkozunk velük);
2. a természetes számokkal ellentétes számok(minden a helyére kerül, amint megtudja, mik a természetes számok);
3. nulla - " " (hol nélküle?)

Z betű.

Egész számok

„Isten megteremtette a természetes számokat, minden más emberi kéz munkája” (c) Kronecker német matematikus.

A természetes számok a számok, amelyeket az objektumok megszámlálására használunk, és ezen alapul az előfordulásuk története - a nyilak, bőrök stb. megszámlálásának szükségessége.

1, 2, 3, 4...n

N betű.

Ennek megfelelően ez a meghatározás nem tartalmazza (nem tudod megszámolni, ami nincs?), és még inkább nem tartalmazza a negatív értékeket (van alma?).

Ezenkívül nem szerepel az összes tört szám (nem mondhatjuk azt sem, hogy "laptopom van", vagy "autót adtam el")

Bármi természetes szám 10 számjegyből írható:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Tehát a 14 nem szám. Ez egy szám. Milyen számokból áll? Így van, számokból ill.

Kiegészítés. Csoportosítás összeadáskor a gyorsabb számlálás és a kevesebb hiba érdekében

Milyen érdekességeket tud mondani erről az eljárásról? Természetesen most azt a választ fogod adni, hogy "az összeg értéke nem változik a feltételek átrendezésétől". Úgy tűnik, hogy az első osztályból ismert primitív szabály, azonban nagy példák megoldásakor azt azonnal feledésbe merült!

Ne feledkezz meg rólahasználja a csoportosítást, hogy megkönnyítse a számolás folyamatát és csökkentse a hibák valószínűségét, mert nem lesz számológépe a vizsgához.

Nézze meg saját szemével, melyik kifejezést egyszerűbb hozzáadni?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Természetesen a második! Bár az eredmény ugyanaz. De! A második módot figyelembe véve kevésbé valószínű, hogy hibázik, és mindent gyorsabban fog megtenni!

Tehát az elmédben így gondolkodsz:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Kivonás. Csoportosítás kivonáskor a gyorsabb számlálás és a kevesebb hiba érdekében

Kivonáskor csoportosíthatjuk a kivont számokat is, pl.

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Mi van akkor, ha a példában a kivonást összeadjuk? Csoportosíthatsz is, válaszolsz, és jogosan. Csak kérem, ne feledkezzen meg a számok előtti jelekről, például: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Ne feledje: a helytelenül elhelyezett táblák hibás eredményhez vezetnek.

Szorzás. Hogyan szaporodj gondolatban

Nyilvánvaló, hogy a termék értéke a tényezők helyének változásától sem fog változni:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Nem azt mondom, hogy „használd ezt a problémamegoldásnál” (ezt te magad is érted, igaz?), hanem inkább azt, hogyan szorozhatsz be gyorsan néhány számot a fejedben. Tehát figyelmesen nézze meg a táblázatot:

És még egy kicsit a szorzásról. Természetesen emlékszel két különleges alkalomra… Találd ki, mire gondolok? Itt van róla:

Ó, igen, nézzük meg az oszthatóság jelei. Összesen 7 szabály van az oszthatóság jeleire, amelyek közül az első 3-at már biztosan tudod!

De a többit egyáltalán nem nehéz megjegyezni.

A számok oszthatóságának 7 jele, amely segít gyorsan fejben számolni!

• Természetesen ismeri az első három szabályt.
• A negyedik és az ötödik könnyen megjegyezhető - az osztással és megnézzük, hogy a számot alkotó számjegyek összege osztható-e ezzel.
• Osztáskor a szám utolsó két számjegyére figyelünk – osztható-e az általuk alkotott szám?
• Ha egy számmal osztunk, akkor oszthatónak kell lennie számmal és -vel is. Ez minden bölcsesség.

Arra gondolsz most, hogy "miért kell nekem ez az egész"?

Először is a vizsga számológép nélkülés ezek a szabályok segítenek eligazodni a példákban.

Másodszor pedig hallottad a feladatokat kb GCDés NEM C? Ismerős rövidítés? Kezdjünk el emlékezni és megérteni.

Legnagyobb közös osztó (gcd) - a törtek csökkentéséhez és a gyors számításokhoz szükséges

Tegyük fel, hogy két számod van: és. Melyik a legnagyobb szám, amely osztható mindkét számmal? Habozás nélkül válaszolsz, mert tudod, hogy:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Milyen számok gyakoriak a bővítésben? Így van, 2 * 2 = 4. Ez volt a válaszod. Ezt az egyszerű példát szem előtt tartva nem felejti el a keresés algoritmusát GCD. Próbáld meg "felépíteni" a fejedben. Megtörtént?

A NOD megtalálásához szüksége lesz:

1. Bontsa fel a számokat prímtényezőkre (olyan számokra, amelyek nem oszthatók mással, mint önmagával, vagy például 3-mal, 7-tel, 11-gyel, 13-mal stb.).
2. Szaporítsd meg őket.

Érted, miért volt szükségünk az oszthatóság jeleire? Úgy, hogy megnézi a számot, és elkezdheti az osztást maradék nélkül.

Például keressük meg a 290 és 485 számok GCD-jét

Első szám - .

Ha ránézünk, azonnal megállapítható, hogy mivel osztható, írjuk:

nem oszthatod másra, de igen - és kapjuk:

290 = 29 * 5 * 2

Vegyünk egy másik számot - 485.

Az oszthatóság jelei szerint oszthatónak kell lennie maradék nélkül, mivel így végződik. Mi megosztjuk:

Elemezzük az eredeti számot.

• Nem osztható ezzel (az utolsó számjegy páratlan),
• - nem osztható vele, így a szám sem osztható vele,
• szintén nem osztható és -vel (a szám számjegyeinek összege nem osztható -vel és -vel)
• szintén nem osztható, mert nem osztható és
• szintén nem osztható és-el, mivel nem osztható és-el.
• nem lehet teljesen felosztani

Tehát a szám csak és-re bontható.

És most keressük meg GCD ezek a számok (és). Mi ez a szám? Helyesen,.

Gyakoroljunk?

1. számú feladat. Keresse meg a 6240 és 6800 számok GCD-jét

1) Azonnal osztok vele, mivel mindkét szám 100%-ban osztható:

2. számú feladat. Keresse meg a 345 és 324 számok GCD-jét

Itt nem találok gyorsan legalább egy közös osztót, ezért csak prímtényezőkre bontom (a lehető legkevesebb):

Least common multiple (LCM) - időt takarít meg, segít a problémák megoldásában

Tegyük fel, hogy két számod van – és. Mi a legkisebb szám, amivel osztható nyom nélkül(azaz teljesen)? Nehéz elképzelni? Íme egy vizuális támpont az Ön számára:

Emlékszel, mit jelent a levél? Így van, csak egész számok. Tehát mi a legkisebb szám, amelyre illeszkedik x? :

Ebben az esetben.

Ebből az egyszerű példából számos szabály következik.

Szabályok a NOC gyors megtalálásához

1. szabály: Ha két természetes szám közül az egyik osztható egy másik számmal, akkor e két szám közül a nagyobb a legkisebb közös többszörösük.

Keresse meg a következő számokat:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Természetesen könnyedén megbirkózott ezzel a feladattal, és megkapta a válaszokat -, és.

Vegye figyelembe, hogy a szabályban KÉT számról beszélünk, ha több szám van, akkor a szabály nem működik.

Például az LCM (7;14;21) nem egyenlő 21-gyel, mivel nem osztható maradék nélkül vele.

2. szabály: Ha két (vagy kettőnél több) szám másodprím, akkor a legkisebb közös többszörös egyenlő a szorzatukkal.

megtalálja NEM C a következő számokhoz:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

számoltál? Íme a válaszok - , ; .

Mint érti, nem mindig olyan egyszerű ugyanazt az x-et felvenni, ezért valamivel összetettebb számokhoz a következő algoritmus létezik:

Gyakoroljunk?

Keresse meg a legkisebb közös többszöröst – LCM (345; 234)

Keresse meg saját maga a legkisebb közös többszöröst (LCM).

Milyen válaszokat kaptál?

Íme, mi történt velem:

Mennyi ideig tartott megtalálni NEM C? Az időm 2 perc, tényleg tudom egy trükk, amelyet javaslom, hogy azonnal nyissa meg!

Ha nagyon figyelmes, akkor valószínűleg észrevette, hogy a megadott számokhoz már kerestünk GCDés ebből a példából átvehetnéd ezeknek a számoknak a faktorizálását, leegyszerűsítve ezzel a feladatot, de ez messze nem minden.

Nézd meg a képet, hátha más gondolatok is eszedbe jutnak:

Jól? Adok egy tippet: próbálj meg szorozni NEM Cés GCD egymás között, és írják fel az összes tényezőt, amely a szorzáskor lesz. Sikerült? A végén egy ilyen láncot kell kapnia:

Nézze meg közelebbről: hasonlítsa össze a tényezőket a hogyan és a lebontással.

Milyen következtetést vonhatsz le ebből? Helyesen! Ha az értékeket megszorozzuk NEM Cés GCD egymás között, akkor ezeknek a számoknak a szorzatát kapjuk.

Ennek megfelelően számokkal és jelentéssel bír GCD(vagy NEM C), megtaláljuk NEM C(vagy GCD) a következő módon:

1. Keresse meg a számok szorzatát:

2. A kapott terméket elosztjuk a miénkkel GCD (6240; 6800) = 80:

Ez minden.

Írjuk fel a szabályt általános formában:

Próbáld megtalálni GCD ha ismert, hogy:

Sikerült? .

Negatív számok - "hamis számok" és az emberiség általi felismerésük.

Amint már megértette, ezek a természetes számokkal ellentétes számok, azaz:

A negatív számok összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók – akárcsak a természetes számok. Úgy tűnik, annyira különlegesek? De tény, hogy a negatív számok egészen a 19. századig „elnyerték” az őket megillető helyet a matematikában (addig a pillanatig óriási vita volt, hogy léteznek-e vagy sem).

Maga a negatív szám egy olyan természetes számokkal végzett művelet miatt keletkezett, mint a "kivonás". Valóban, vonjon le ebből - ez egy negatív szám. Ezért a negatív számok halmazát gyakran "a halmaz kiterjesztésének" nevezik természetes számok».

A negatív számokat sokáig nem ismerték fel az emberek. Tehát az ókori Egyiptom, Babilon és az ókori Görögország - koruk fényei - nem ismerték fel a negatív számokat, és ha az egyenletben negatív gyökereket kaptak (például, ahogy mi is), a gyökereket lehetetlennek minősítették.

A negatív számok először Kínában, majd a 7. században Indiában kaptak létjogosultságot. Mi a véleményed erről a vallomásról? Így van, negatív számok kezdték jelölni az adósságokat (egyébként a hiányokat). Úgy gondolták, hogy a negatív számok átmeneti érték, ami ennek eredményeként pozitívra változik (vagyis a pénzt továbbra is visszaadják a hitelezőnek). Brahmagupta indiai matematikus azonban már akkor a negatív számokat egyenrangúnak tekintette a pozitívakkal.

Európában jóval később, vagyis egy évezreddel jelent meg a negatív számok hasznossága, valamint az, hogy adósságot jelölhetnek. Az első említést 1202-ben láthattuk Pisai Leonárd „Abakusz könyvében” (azonnal mondom, hogy a könyv szerzőjének semmi köze a pisai ferde toronyhoz, de a Fibonacci-számok az ő munkái (a Pisai Leonardo beceneve Fibonacci)). Továbbá az európaiak arra a következtetésre jutottak, hogy a negatív számok nemcsak adósságot jelenthetnek, hanem bárminek a hiányát is, azonban ezt nem mindenki ismerte fel.

Tehát a XVII. században Pascal ezt hitte. Szerinted mivel indokolta? Így van, "semmi sem lehet kevesebb, mint a SEMMI". Ezeknek az időknek a visszhangja marad az a tény, hogy a negatív számot és a kivonás műveletét ugyanaz a szimbólum jelöli - mínusz "-". És igaz: . Pozitív a " " szám, amelyből kivonjuk, vagy negatív, amelyhez hozzáadjuk? ... Valami a sorozatból, hogy "ami előbb van: a tyúk vagy a tojás?" Itt van egy ilyen matematikai filozófia.

A negatív számok az analitikus geometria megjelenésével biztosították létjogosultságukat, más szóval, amikor a matematikusok egy ilyen dolgot valós tengelyként vezettek be.

Ettől a pillanattól kezdve jött az egyenlőség. Azonban továbbra is több volt a kérdés, mint a válasz, például:

arány

Ezt az arányt Arno-paradoxonnak nevezik. Gondolj bele, mi a kétséges ebben?

Beszéljünk együtt " " több mint " ", igaz? Tehát a logika szerint az arány bal oldalának nagyobbnak kell lennie, mint a jobb oldalnak, de egyenlők... Itt van a paradoxon.

Ennek eredményeként a matematikusok egyetértettek abban, hogy Karl Gauss (igen, igen, ez az, aki a számok összegét (vagy) tekintette) 1831-ben véget vetett ennek – szerinte a negatív számoknak ugyanazok a jogai, mint a pozitívaknak, az, hogy nem mindenre vonatkoznak, semmit sem jelent, hiszen a törtek sem sok mindenre vonatkoznak (nem történik meg, hogy ásó kátyút ásjon, nem lehet mozijegyet venni stb.).

A matematikusok csak a 19. században nyugszanak meg, amikor William Hamilton és Hermann Grassmann megalkotta a negatív számok elméletét.

Ennyire ellentmondásosak ezek, ezek a negatív számok.

Az „üresség” megjelenése, vagy a nulla életrajza.

A matematikában egy speciális szám. Első pillantásra ez semmi: összeadás, kivonás - semmi sem fog változni, de csak hozzá kell rendelnie a "" jobbhoz, és a kapott szám sokszorosa lesz az eredetinek. A nullával való szorzással mindent semmivé változtatunk, de osztani nem tudunk "semmivel". Egyszóval a mágikus szám)

A nulla története hosszú és bonyolult. A nulla nyomát megtalálják a kínaiak írásaiban i.sz. 2000-ben. és még korábban a majákkal. A nulla szimbólum első használatát, ahogyan ma is, a görög csillagászok körében tapasztalták.

Számos változat létezik arra vonatkozóan, hogy miért választották ezt a „semmi” megjelölést. Egyes történészek hajlamosak azt hinni, hogy ez egy omikron, azaz. A semmit jelző görög szó első betűje az ouden. Egy másik változat szerint az „obol” szó (szinte értéktelen érme) adott életet a nulla szimbólumnak.

A nulla (vagy nulla) mint matematikai szimbólum először az indiánoknál jelenik meg (megjegyezzük, hogy ott kezdtek „fejlődni” a negatív számok). A nulla írásának első megbízható bizonyítéka 876-ból származik, és bennük a "" a szám egyik összetevője.

A nulla is megkésve érkezett Európába - csak 1600-ban, és a negatív számokhoz hasonlóan ellenállásba ütközött (mit tehetsz, ilyenek ők, európaiak).

„A nullát időtlen idők óta gyakran gyűlölték, féltették, sőt tiltották” – írja Charles Seif amerikai matematikus. Tehát a török ​​szultán Abdul-Hamid II a 19. század végén. megparancsolta a cenzorainak, hogy töröljék ki a H2O vízképletet az összes kémia tankönyvből, az "O" betűt nullának véve, és nem akarták, hogy kezdőbetűit rágalmazzák az aljas nullához való közelség miatt.

Az interneten megtalálható a következő mondat: „A nulla a legerősebb erő az Univerzumban, bármire képes! A nulla rendet teremt a matematikában, és káoszt is hoz benne. Teljesen korrekt álláspont :)

A szakasz összefoglalása és az alapképletek

Az egész számok halmaza 3 részből áll:

• természetes számok (az alábbiakban részletesebben foglalkozunk velük);
• a természetesekkel ellentétes számok;
• nulla - " "

Az egész számok halmazát jelöljük Z betű.

1. Természetes számok

A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok számlálására használunk.

A természetes számok halmazát jelöljük N betű.

Az egész számokkal végzett műveleteknél meg kell találnia a GCD-t és az LCM-et.

Legnagyobb közös osztó (GCD)

A NOD megtalálásához szüksége lesz:

1. Bontsd fel a számokat prímtényezőkre (olyan számokra, amelyek nem oszthatók mással, mint önmagával vagy pl. stb.).
2. Írja le azokat a tényezőket, amelyek mindkét szám részét képezik!
3. Szaporítsd meg őket.

Legkevésbé közös többszörös (LCM)

A NOC megtalálásához szüksége lesz:

1. Tényezősítse a számokat prímtényezőkké (ezt már nagyon jól tudja).
2. Írja le az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket (jobb a leghosszabb láncot venni).
3. Add hozzájuk a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből.
4. Keresse meg a kapott tényezők szorzatát!

2. Negatív számok

Ezek olyan számok, amelyek ellentétesek a természetes számokkal, azaz:

Most hallani akarok rólad...

Remélem, értékelted ennek a résznek a rendkívül hasznos "trükkjeit", és megértetted, hogyan fognak segíteni a vizsgán.

És ami még fontosabb, az életben. Nem erről beszélek, de hidd el, ez az. A gyors és hibamentes számolás képessége sok élethelyzetben megment.

Most rajtad a sor!

Írd, használsz majd csoportosítási módszereket, oszthatósági kritériumokat, GCD-t és LCM-et a számításoknál?

Esetleg használtad már őket? Hol és hogyan?

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben, hogy tetszett a cikk.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert csak az emberek 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikeres vizsga letételéért, az intézetbe való költségvetési felvételért és ami a LEGFONTOS: életre szólóan.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyen?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben oldja meg a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 499 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!