Piramis. Csonka piramis

Piramis poliédernek nevezzük, melynek egyik lapja sokszög ( bázis ), és az összes többi lap olyan háromszög, amelynek közös csúcsa ( oldalsó arcok ) (15. ábra). A piramist az ún helyes , ha az alapja egy szabályos sokszög, és a gúla csúcsa az alap közepébe vetül (16. ábra). Olyan háromszög alakú piramist nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder .

Oldalsó borda piramis az oldallap azon oldala, amely nem tartozik az alaphoz Magasság A piramis a csúcsa és az alap síkja közötti távolság. Egy szabályos gúla minden oldaléle egyenlő egymással, minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A csúcsból húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apothema . átlós szakasz A gúla egy szakaszát olyan síknak nevezzük, amely két olyan oldalsó élen halad át, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Oldalsó felület piramist az összes oldallap területének összegének nevezzük. Teljes felület az összes oldallap és az alap területének összege.

Tételek

1. Ha egy gúlában az összes oldalél egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje a körülírt kör közepébe vetül az alap közelében.

2. Ha a piramisban minden oldalél egyenlő hosszú, akkor a gúla teteje a körülírt kör közepébe vetül az alap közelében.

3. Ha a piramisban minden lap egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alapba írt kör középpontjába vetül.

Egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához a képlet helyes:

ahol V- hangerő;

S fő- alapterület;

H a piramis magassága.

Egy szabályos piramisra a következő képletek igazak:

ahol p- az alap kerülete;

h a- apotém;

H- magasság;

S tele

S oldal

S fő- alapterület;

V egy szabályos piramis térfogata.

csonka piramis a gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük (17. ábra). Helyes csonka piramis a szabályos gúla azon része, amely az alap és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé záródik.

Alapok csonka piramis - hasonló sokszögek. Oldalsó arcok - trapéz alakú. Magasság A csonka piramist alapjai közötti távolságnak nevezzük. Átlós A csonka piramis egy szakasz, amely összeköti a csúcsait, amelyek nem fekszenek ugyanazon a lapon. átlós szakasz A csonka gúla egy szakaszát két olyan oldalélen áthaladó síknak nevezzük, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Csonka piramis esetén a következő képletek érvényesek:

(4)

ahol S 1 , S 2 - a felső és az alsó bázis területei;

S tele a teljes felület;

S oldal az oldalsó felület;

H- magasság;

V a csonka gúla térfogata.

Egy szabályos csonka piramisra a következő képlet igaz:

ahol p 1 , p 2 - alap kerületek;

h a- a szabályos csonka piramis apotémája.

1. példa Egy szabályos háromszög alakú piramisban a diéder szöge az alapnál 60º. Határozza meg az oldalél dőlésszögének érintőjét az alap síkjához!

Döntés. Készítsünk rajzot (18. ábra).

A piramis szabályos, ami azt jelenti, hogy az alap egyenlő oldalú háromszög, és minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A diéder szög az alapnál a piramis oldallapjának az alap síkjához viszonyított dőlésszöge. A lineáris szög lesz a szög a két merőleges között: i.e. A piramis csúcsa a háromszög középpontjába van vetítve (a körülírt kör középpontja és a háromszögbe írt kör ABC). Az oldalborda dőlésszöge (pl SB) maga az él és annak az alapsíkra való vetülete közötti szög. A bordához SB ez a szög lesz a szög SBD. Az érintő megtalálásához ismernie kell a lábakat ÍGYés OB. Legyen a szakasz hossza BD a 3 a. pont O vonalszakasz BD részekre oszlik: és Attól találjuk ÍGY: Innen találjuk:

Válasz:

2. példa Határozzuk meg egy szabályos csonka négyszög alakú gúla térfogatát, ha alapjainak átlói cm és cm, magassága pedig 4 cm!

Döntés. A csonka gúla térfogatának meghatározásához a (4) képletet használjuk. Az alapok területeinek meghatározásához meg kell találni az alapnégyzetek oldalait, átlójuk ismeretében. Az alapok oldala 2 cm, illetve 8 cm Ez az alapok területeit jelenti és az összes adatot behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a csonka gúla térfogatát:

Válasz: 112 cm3.

3. példa Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú csonka gúla oldallapjának területét, amelynek alapoldalai 10 cm és 4 cm, a gúla magassága pedig 2 cm.

Döntés. Készítsünk rajzot (19. ábra).

Ennek a piramisnak az oldallapja egy egyenlő szárú trapéz. A trapéz területének kiszámításához ismernie kell az alapokat és a magasságot. Az alapok állapot szerint vannak megadva, csak a magasság marad ismeretlen. Keresse meg honnan DE 1 E pontból merőlegesen DE 1 az alsó alap síkján, A 1 D- merőlegesen DE 1 on AC. DE 1 E\u003d 2 cm, mivel ez a piramis magassága. A megtalálásért DE készítünk egy további rajzot, amelyen felülnézetet fogunk ábrázolni (20. ábra). Pont O- a felső és az alsó alap középpontjának vetítése. mivel (lásd 20. ábra) és Másrészt rendben a beírt kör sugara és OM a beírt kör sugara:

MK=DE.

A Pitagorasz-tétel szerint abból

Oldalsó arc területe:

Válasz:

4. példa A piramis alján egyenlő szárú trapéz található, melynek alapjai aés b (a> b). Mindegyik oldallap a piramis alapjának síkjával egyenlő szöget zár be j. Határozza meg a piramis teljes felületét.

Döntés. Készítsünk rajzot (21. ábra). A piramis teljes felülete SABCD egyenlő a területek és a trapéz területének összegével ABCD.

Használjuk azt az állítást, hogy ha a gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a csúcs az alapba írt kör középpontjába vetül. Pont O- csúcsvetítés S a piramis tövében. Háromszög GYEP a háromszög ortogonális vetülete CSD az alapsíkhoz. A lapos alak ortogonális vetületének területére vonatkozó tétel szerint a következőt kapjuk:

Hasonlóképpen azt jelenti Így a probléma a trapéz területének megtalálására csökkent ABCD. Rajzolj egy trapézt ABCD külön-külön (22. ábra). Pont O a trapézba írt kör középpontja.

Mivel a kör trapézba írható, akkor vagy A Pitagorasz-tétel szerint van

Ebben a leckében megvizsgálunk egy csonka piramist, megismerkedünk a helyes csonka piramissal, és megvizsgáljuk azok tulajdonságait.

Idézzük fel az n-szögű gúla fogalmát a háromszög alakú piramis példáján. Az ABC háromszög adott. A háromszög síkján kívül veszünk egy P pontot, amely a háromszög csúcsaihoz kapcsolódik. Az így létrejövő poliéder felületet piramisnak nevezzük (1. ábra).

Rizs. 1. Háromszög alakú piramis

Vágjuk el a piramist a gúla alapjának síkjával párhuzamos síkkal. Az e síkok között kapott ábrát csonka gúlának nevezzük (2. ábra).

Rizs. 2. Csonka piramis

Főbb elemek:

Felső alap ;

Alsó alap ABC;

Oldal arc ;

Ha PH az eredeti piramis magassága, akkor a csonka gúla magassága.

A csonka gúla tulajdonságai a felépítésének módjából, nevezetesen az alapok síkjainak párhuzamosságából következnek:

A csonka piramis minden oldallapja trapéz. Vegyünk például egy arcot. Megvan a párhuzamos síkok tulajdonsága (mivel a síkok párhuzamosak, párhuzamos vonalak mentén vágják az eredeti ABP gúla oldallapját), ugyanakkor nem párhuzamosak. Nyilvánvaló, hogy a négyszög trapéz, mint a csonka gúla összes oldallapja.

Az alapok aránya minden trapéznál azonos:

Több pár hasonló háromszögünk van, azonos hasonlósági együtthatóval. Például a háromszögek és a RAB hasonlóak a síkok párhuzamossága és a hasonlósági együttható miatt:

Ugyanakkor a háromszögek és az RCS hasonlóak hasonlósági együtthatóval:

Nyilvánvaló, hogy mindhárom hasonló háromszög pár hasonlósági együtthatója egyenlő, így az alapok aránya minden trapéz esetében azonos.

A szabályos csonka gúla olyan csonka gúla, amelyet egy szabályos gúla alappal párhuzamos síkú vágásával kapunk (3. ábra).

Rizs. 3. Helyes csonka piramis

Meghatározás.

A szabályos gúlát piramisnak nevezzük, amelynek alapjában egy szabályos n-szög található, és ennek az n-szögnek a középpontjába (a beírt és körülírt kör középpontjába) vetítjük a csúcsot.

Ebben az esetben egy négyzet a piramis alján fekszik, és a csúcs az átlók metszéspontjához van vetítve. Az így kapott szabályos négyszögletű csonka gúla ABCD-vel rendelkezik - az alsó alap, - a felső alap. Az eredeti piramis magassága - RO, csonka gúla - (4. ábra).

Rizs. 4. Szabályos négyszögletű csonka gúla

Meghatározás.

A csonka gúla magassága az egyik alap bármely pontjából a második alap síkjára húzott merőleges.

Az eredeti piramis apotémja RM (M az AB közepe), a csonka gúla apotémja (4. ábra).

Meghatározás.

A csonka piramis apotémája bármely oldallap magassága.

Nyilvánvaló, hogy a csonka gúla minden oldaléle egyenlő egymással, vagyis az oldallapok egyenlő egyenlő szárú trapézok.

Egy szabályos csonka gúla oldalfelületének területe megegyezik az alapok kerülete és az apotém összegének felének szorzatával.

Bizonyítás (egy szabályos négyszögletű csonka gúlára – 4. ábra):

Tehát bizonyítanunk kell:

Az oldalsó felület itt az oldallapok - trapézok - területének összegéből áll. Mivel a trapézok azonosak, a következőket kapjuk:

Az egyenlő szárú trapéz területe az alapok összegének felének és a magasságnak a szorzata, az apotém a trapéz magassága. Nekünk van:

Q.E.D.

n-szögű piramis esetén:

Ahol n a gúla oldallapjainak száma, a és b a trapéz alapjai, az apotém.

Szabályos csonka négyszögletű gúla alapjának oldalai 3 cm és 9 cm, magassága 4 cm. Keresse meg az oldalfelület területét.

Rizs. 5. Illusztráció az 1. feladathoz

Döntés. Illusztráljuk a feltételt:

Adott: , ,

Húzzunk egy MN egyenest az O ponton keresztül párhuzamosan az alsó alap két oldalával, hasonló módon húzzunk egy egyenest a ponton keresztül (6. ábra). Mivel a csonkagúla alapjainál a négyzetek és a szerkezetek párhuzamosak, az oldallapokkal megegyező trapézt kapunk. Ezenkívül az oldalsó oldala áthalad az oldallapok felső és alsó szélének közepén, és egy csonka piramis megtestesítője lesz.

Rizs. 6. Kiegészítő konstrukciók

Tekintsük a kapott trapézt (6. ábra). Ebben a trapézben ismert a felső alap, az alsó alap és a magasság. Meg kell találni az oldalsó oldalt, amely az adott csonka gúla apotémája. Rajzolj MN-re merőlegesen. Dobjuk ki a merőleges NQ-t a pontból. Azt kapjuk, hogy a nagyobb alap három centiméteres szegmensekre van osztva (). Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, a benne lévő lábak ismertek, ez egy egyiptomi háromszög, a Pitagorasz-tétellel meghatározzuk a befogó hosszát: 5 cm.

Most megvan az összes elem a piramis oldalsó felületének meghatározásához:

A piramist az alappal párhuzamos sík keresztezi. Egy háromszög alakú gúla példáján bizonyítsuk be, hogy a gúla oldaléleit és magasságát ez a sík arányos részekre osztja.

Bizonyíték. Illusztráljuk:

Rizs. 7. Illusztráció a 2. feladathoz

A RABC piramis adott. RO a piramis magassága. A piramist egy síkkal feldaraboljuk, ráadásul egy csonka gúlát kapunk. Pont - az RO magasságának metszéspontja a csonka gúla alapjának síkjával. Be kell bizonyítani:

A megoldás kulcsa a párhuzamos síkok tulajdonsága. Két párhuzamos sík vágja át bármelyik harmadik síkot úgy, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek. Innen: . A megfelelő vonalak párhuzamossága négy pár hasonló háromszög jelenlétét jelenti:

A háromszögek hasonlóságából következik a megfelelő oldalak arányossága. Fontos jellemzője, hogy ezeknek a háromszögeknek a hasonlósági együtthatói azonosak:

Q.E.D.

Az alap magasságával és oldalával rendelkező, szabályos háromszög alakú RABC gúlát az ABC alappal párhuzamosan a PH magasság felezőpontján átmenő sík szétvágja. Keresse meg a kapott csonka gúla oldalfelületének területét.

Döntés. Illusztráljuk:

Rizs. 8. Illusztráció a 3. feladathoz

A DIA szabályos háromszög, H ennek a háromszögnek a középpontja (a beírt és körülírt körök középpontja). RM az adott piramis apotémája. - a csonka piramis apotémája. A párhuzamos síkok tulajdonsága szerint (két párhuzamos sík tetszőleges harmadik síkot úgy vág el, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek) több pár hasonló háromszögünk van, azonos hasonlósági együtthatóval. Különösen a következő kapcsolat érdekel bennünket:

Keressük NM-et. Ez az alapba írt kör sugara, ismerjük a megfelelő képletet:

Most a РНМ derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel alapján megtaláljuk РМ - az eredeti piramis apotémjét:

A kezdeti arányból:

Most már ismerjük az összes elemet a csonka piramis oldalfelületének meghatározásához:

Így megismerkedtünk a csonka gúla és a szabályos csonka gúla fogalmával, megadtuk az alapvető definíciókat, figyelembe vettük a tulajdonságokat, és bebizonyítottuk az oldalfelületre vonatkozó tételt. A következő leckében a problémamegoldás lesz a hangsúly.

Bibliográfia

1. I. M. Szmirnova, V. A. Szmirnov. Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények tanulói számára (alap- és profilszint) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, Rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin I. F. Geometria. 10-11. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. 10. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára a matematika elmélyült és profilismeretével / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. kiadás, sztereotípia. - M.: Túzok, 2008. - 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru().

Házi feladat

Ez a lecke segít abban, hogy képet kapjon a „Piramis. Szabályos és csonka piramis. Ebben a leckében megismerkedünk a szabályos piramis fogalmával, definíciót adunk neki. Ezután bebizonyítjuk a szabályos gúla oldalfelületére vonatkozó tételt és a szabályos csonka gúla oldalfelületére vonatkozó tételt.

Téma: Piramis

Tanulság: Szabályos és csonka piramisok

Meghatározás: a szabályos n-szögű gúla olyan gúla, amelynek alapja egy szabályos n-szög, és a magassága ennek az n-szögnek a középpontjába vetül (1. ábra).

Rizs. egy

Szabályos háromszög alakú piramis

Először vegyük figyelembe az ∆ABC-t (2. ábra), amelyben AB=BC=CA (vagyis egy szabályos háromszög fekszik a piramis alján). Egy szabályos háromszögben a beírt és körülírt körök középpontja egybeesik, és magának a háromszögnek a középpontja. Ebben az esetben a középpontot a következőképpen találjuk: megtaláljuk az AB - C 1 közepét, megrajzoljuk az SS 1 szakaszt, amely a medián, a felező és a magasság; hasonlóképpen keressük meg az AC - B 1 felezőpontot és rajzoljuk meg a BB 1 szakaszt. A BB 1 és CC 1 metszéspontja az O pont lesz, amely az ∆ABC középpontja.

Ha az O háromszög középpontját összekötjük az S piramis csúcsával, akkor megkapjuk a gúla magasságát SO ⊥ ABC, SO = h.

Az S pontot az A, B és C pontokkal összekötve megkapjuk a gúla oldaléleit.

Egy szabályos háromszög alakú SABC piramist kaptunk (2. ábra).

- Ez egy poliéder, amelyet a piramis alapja és egy vele párhuzamos szakasz alkot. Azt mondhatjuk, hogy a csonka piramis egy levágott tetejű piramis. Ennek a figurának számos egyedi tulajdonsága van:

• A piramis oldallapjai trapéz alakúak;
• A szabályos csonka gúla oldalsó bordái azonos hosszúságúak és ugyanolyan szögben hajlanak az alaphoz;
• Az alapok hasonló sokszögek;
• Egy szabályos csonka piramisban a lapok azonos, egyenlő szárú trapézok, amelyek területe egyenlő. Ezenkívül egy szögben dőlnek az alaphoz.

A csonka gúla oldalfelületének területének képlete az oldalak területének összege:

Mivel a csonka piramis oldalai trapéz alakúak, a paraméterek kiszámításához a képletet kell használni. trapéz alakú terület. Szabályos csonka piramis esetén egy másik képlet is alkalmazható a terület kiszámítására. Mivel minden oldala, lapja és szöge az alapnál egyenlő, lehetséges az alap és az apotém kerülete, valamint az alapnál lévő szögből származtatni a területet.

Ha egy szabályos csonka gúlában a feltételek szerint adott az apotém (oldal magassága) és az alap oldalainak hossza, akkor a terület a kerületek összegének félszorzatán keresztül számítható ki. az alapok és az apotém:

Nézzünk egy példát a csonka piramis oldalfelületének kiszámítására.
Adott egy szabályos ötszögletű piramis. Apothem l\u003d 5 cm, az arc hossza a nagy alapban a\u003d 6 cm, és az arc a kisebb alapon van b\u003d 4 cm Számítsa ki a csonka gúla területét!

Először is keressük meg az alapok kerületét. Mivel egy ötszögletű piramist kapunk, megértjük, hogy az alapok ötszögek. Ez azt jelenti, hogy az alapok öt azonos oldalú figurák. Keresse meg a nagyobb alap kerületét:

Ugyanígy megtaláljuk a kisebb alap kerületét is:

Most kiszámolhatjuk egy szabályos csonka piramis területét. Az adatokat a képletben helyettesítjük:

Így kiszámítottuk egy szabályos csonka piramis területét a kerületeken és az apotémen keresztül.

A szabályos piramis oldalfelületének kiszámításának másik módja a képlet az alap sarkain és ezeknek az alapoknak a területén keresztül.

Nézzünk egy számítási példát. Ne feledje, hogy ez a képlet csak szabályos csonka piramisra vonatkozik.

Legyen adott egy szabályos négyszög alakú piramis. Az alsó alap lapja a = 6 cm, a felső lapja b = 4 cm. A diéderszög az alapnál β = 60°. Határozza meg egy szabályos csonka gúla oldalfelületét.

Először is számítsuk ki az alapok területét. Mivel a piramis szabályos, az alapok minden lapja egyenlő egymással. Tekintettel arra, hogy az alap négyszög, megértjük, hogy ki kell számítani négyzet alakú terület. Ez a szélesség és hosszúság szorzata, de négyzetesen ezek az értékek megegyeznek. Keresse meg a nagyobb alap területét:


Most a talált értékeket használjuk az oldalfelület kiszámításához.

Néhány egyszerű képlet ismeretében különféle értékeken keresztül könnyen kiszámítottuk a csonka gúla oldalsó trapézjának területét.

Ebben a leckében megvizsgálunk egy csonka piramist, megismerkedünk a helyes csonka piramissal, és megvizsgáljuk azok tulajdonságait.

Idézzük fel az n-szögű gúla fogalmát a háromszög alakú piramis példáján. Az ABC háromszög adott. A háromszög síkján kívül veszünk egy P pontot, amely a háromszög csúcsaihoz kapcsolódik. Az így létrejövő poliéder felületet piramisnak nevezzük (1. ábra).

Rizs. 1. Háromszög alakú piramis

Vágjuk el a piramist a gúla alapjának síkjával párhuzamos síkkal. Az e síkok között kapott ábrát csonka gúlának nevezzük (2. ábra).

Rizs. 2. Csonka piramis

Főbb elemek:

Felső alap ;

Alsó alap ABC;

Oldal arc ;

Ha PH az eredeti piramis magassága, akkor a csonka gúla magassága.

A csonka gúla tulajdonságai a felépítésének módjából, nevezetesen az alapok síkjainak párhuzamosságából következnek:

A csonka piramis minden oldallapja trapéz. Vegyünk például egy arcot. Megvan a párhuzamos síkok tulajdonsága (mivel a síkok párhuzamosak, párhuzamos vonalak mentén vágják az eredeti ABP gúla oldallapját), ugyanakkor nem párhuzamosak. Nyilvánvaló, hogy a négyszög trapéz, mint a csonka gúla összes oldallapja.

Az alapok aránya minden trapéznál azonos:

Több pár hasonló háromszögünk van, azonos hasonlósági együtthatóval. Például a háromszögek és a RAB hasonlóak a síkok párhuzamossága és a hasonlósági együttható miatt:

Ugyanakkor a háromszögek és az RCS hasonlóak hasonlósági együtthatóval:

Nyilvánvaló, hogy mindhárom hasonló háromszög pár hasonlósági együtthatója egyenlő, így az alapok aránya minden trapéz esetében azonos.

A szabályos csonka gúla olyan csonka gúla, amelyet egy szabályos gúla alappal párhuzamos síkú vágásával kapunk (3. ábra).

Rizs. 3. Helyes csonka piramis

Meghatározás.

A szabályos gúlát piramisnak nevezzük, amelynek alapjában egy szabályos n-szög található, és ennek az n-szögnek a középpontjába (a beírt és körülírt kör középpontjába) vetítjük a csúcsot.

Ebben az esetben egy négyzet a piramis alján fekszik, és a csúcs az átlók metszéspontjához van vetítve. Az így kapott szabályos négyszögletű csonka gúla ABCD-vel rendelkezik - az alsó alap, - a felső alap. Az eredeti piramis magassága - RO, csonka gúla - (4. ábra).

Rizs. 4. Szabályos négyszögletű csonka gúla

Meghatározás.

A csonka gúla magassága az egyik alap bármely pontjából a második alap síkjára húzott merőleges.

Az eredeti piramis apotémja RM (M az AB közepe), a csonka gúla apotémja (4. ábra).

Meghatározás.

A csonka piramis apotémája bármely oldallap magassága.

Nyilvánvaló, hogy a csonka gúla minden oldaléle egyenlő egymással, vagyis az oldallapok egyenlő egyenlő szárú trapézok.

Egy szabályos csonka gúla oldalfelületének területe megegyezik az alapok kerülete és az apotém összegének felének szorzatával.

Bizonyítás (egy szabályos négyszögletű csonka gúlára – 4. ábra):

Tehát bizonyítanunk kell:

Az oldalsó felület itt az oldallapok - trapézok - területének összegéből áll. Mivel a trapézok azonosak, a következőket kapjuk:

Az egyenlő szárú trapéz területe az alapok összegének felének és a magasságnak a szorzata, az apotém a trapéz magassága. Nekünk van:

Q.E.D.

n-szögű piramis esetén:

Ahol n a gúla oldallapjainak száma, a és b a trapéz alapjai, az apotém.

Szabályos csonka négyszögletű gúla alapjának oldalai 3 cm és 9 cm, magassága 4 cm. Keresse meg az oldalfelület területét.

Rizs. 5. Illusztráció az 1. feladathoz

Döntés. Illusztráljuk a feltételt:

Adott: , ,

Húzzunk egy MN egyenest az O ponton keresztül párhuzamosan az alsó alap két oldalával, hasonló módon húzzunk egy egyenest a ponton keresztül (6. ábra). Mivel a csonkagúla alapjainál a négyzetek és a szerkezetek párhuzamosak, az oldallapokkal megegyező trapézt kapunk. Ezenkívül az oldalsó oldala áthalad az oldallapok felső és alsó szélének közepén, és egy csonka piramis megtestesítője lesz.

Rizs. 6. Kiegészítő konstrukciók

Tekintsük a kapott trapézt (6. ábra). Ebben a trapézben ismert a felső alap, az alsó alap és a magasság. Meg kell találni az oldalsó oldalt, amely az adott csonka gúla apotémája. Rajzolj MN-re merőlegesen. Dobjuk ki a merőleges NQ-t a pontból. Azt kapjuk, hogy a nagyobb alap három centiméteres szegmensekre van osztva (). Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, a benne lévő lábak ismertek, ez egy egyiptomi háromszög, a Pitagorasz-tétellel meghatározzuk a befogó hosszát: 5 cm.

Most megvan az összes elem a piramis oldalsó felületének meghatározásához:

A piramist az alappal párhuzamos sík keresztezi. Egy háromszög alakú gúla példáján bizonyítsuk be, hogy a gúla oldaléleit és magasságát ez a sík arányos részekre osztja.

Bizonyíték. Illusztráljuk:

Rizs. 7. Illusztráció a 2. feladathoz

A RABC piramis adott. RO a piramis magassága. A piramist egy síkkal feldaraboljuk, ráadásul egy csonka gúlát kapunk. Pont - az RO magasságának metszéspontja a csonka gúla alapjának síkjával. Be kell bizonyítani:

A megoldás kulcsa a párhuzamos síkok tulajdonsága. Két párhuzamos sík vágja át bármelyik harmadik síkot úgy, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek. Innen: . A megfelelő vonalak párhuzamossága négy pár hasonló háromszög jelenlétét jelenti:

A háromszögek hasonlóságából következik a megfelelő oldalak arányossága. Fontos jellemzője, hogy ezeknek a háromszögeknek a hasonlósági együtthatói azonosak:

Q.E.D.

Az alap magasságával és oldalával rendelkező, szabályos háromszög alakú RABC gúlát az ABC alappal párhuzamosan a PH magasság felezőpontján átmenő sík szétvágja. Keresse meg a kapott csonka gúla oldalfelületének területét.

Döntés. Illusztráljuk:

Rizs. 8. Illusztráció a 3. feladathoz

A DIA szabályos háromszög, H ennek a háromszögnek a középpontja (a beírt és körülírt körök középpontja). RM az adott piramis apotémája. - a csonka piramis apotémája. A párhuzamos síkok tulajdonsága szerint (két párhuzamos sík tetszőleges harmadik síkot úgy vág el, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek) több pár hasonló háromszögünk van, azonos hasonlósági együtthatóval. Különösen a következő kapcsolat érdekel bennünket:

Keressük NM-et. Ez az alapba írt kör sugara, ismerjük a megfelelő képletet:

Most a РНМ derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel alapján megtaláljuk РМ - az eredeti piramis apotémjét:

A kezdeti arányból:

Most már ismerjük az összes elemet a csonka piramis oldalfelületének meghatározásához:

Így megismerkedtünk a csonka gúla és a szabályos csonka gúla fogalmával, megadtuk az alapvető definíciókat, figyelembe vettük a tulajdonságokat, és bebizonyítottuk az oldalfelületre vonatkozó tételt. A következő leckében a problémamegoldás lesz a hangsúly.

Bibliográfia

1. I. M. Szmirnova, V. A. Szmirnov. Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények tanulói számára (alap- és profilszint) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, Rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin I. F. Geometria. 10-11. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. 10. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára a matematika elmélyült és profilismeretével / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. kiadás, sztereotípia. - M.: Túzok, 2008. - 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru().

Házi feladat