Négy figyelemreméltó pont felépítése. Kutatási projekt csodálatos háromszög pontok
Egy háromszögben négy figyelemre méltó pont van: a mediánok metszéspontja. A felezők metszéspontja, a magasságok metszéspontja és a merőleges felezők metszéspontja. Tekintsük mindegyiket.
A háromszög mediánjainak metszéspontja
1. tétel
Egy háromszög mediánjainak metszéspontján: A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, és a metszéspontot a csúcsból kiindulva $2:1$ arányban osztják el.
Bizonyíték.
Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a mediánja. Mivel a mediánok kettéosztják az oldalakat. Tekintsük a $A_1B_1$ középső vonalat (1. ábra).
1. ábra Háromszög mediánjai
Az 1. Tétel szerint $AB||A_1B_1$ és $AB=2A_1B_1$, tehát $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ezért az $ABM$ és $A_1B_1M$ háromszögek hasonlóak az első háromszög hasonlósági kritériuma szerint. Akkor
Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy
A tétel bizonyítást nyert.
Egy háromszög felezőjének metszéspontja
2. tétel
Egy háromszög felezőinek metszéspontján: A háromszög felezői egy pontban metszik egymást.
Bizonyíték.
Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $AM,\ BP,\ CK$ a felezők. Legyen a $O$ pont a $AM\ és\ BP$ felezők metszéspontja. Ebből a pontból rajzoljunk merőlegesen a háromszög oldalaira (2. ábra).
2. ábra Háromszög felezőpontjai
3. tétel
A ki nem tágított szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az oldalaitól.
A 3. tétel alapján: $OX=OZ,\ OX=OY$. Ezért $OY=OZ$. Ezért a $O$ pont egyenlő távolságra van az $ACB$ szög oldalaitól, ezért a $CK$ felezőpontján fekszik.
A tétel bizonyítást nyert.
A háromszög merőleges felezőinek metszéspontja
4. tétel
A háromszög oldalainak merőleges felezői egy pontban metszik egymást.
Bizonyíték.
Legyen adott egy $ABC$ háromszög, $n,\ m,\ p$ merőleges felezői. Legyen a $O$ pont a $n\ és\ m$ merőleges felezők metszéspontja (3. ábra).
3. ábra Háromszög merőleges felezőszögei
A bizonyításhoz a következő tételre van szükségünk.
5. tétel
A szakaszra merőleges felezőpont minden pontja egyenlő távolságra van az adott szakasz végeitől.
A 3. tétel alapján: $OB=OC,\ OB=OA$. Ezért $OA=OC$. Ez azt jelenti, hogy a $O$ pont egyenlő távolságra van a $AC$ szakasz végeitől, és ezért a $p$ felező merőlegesen fekszik.
A tétel bizonyítást nyert.
A háromszög magasságainak metszéspontja
6. tétel
Egy háromszög magassága vagy kiterjesztéseik egy pontban metszik egymást.
Bizonyíték.
Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a magassága. Húzzon egy vonalat a háromszög minden csúcsán, amely párhuzamos a csúcsgal szemközti oldallal. Új háromszöget kapunk $A_2B_2C_2$ (4. ábra).
4. ábra Háromszög magasságai
Mivel a $AC_2BC$ és a $B_2ABC$ paralelogrammák közös oldallal, ezért $AC_2=AB_2$, azaz a $A$ pont a $C_2B_2$ oldal felezőpontja. Hasonlóképpen azt kapjuk, hogy a $B$ pont a $C_2A_2$ oldal felezőpontja, a $C$ pont pedig a $A_2B_2$ oldal felezőpontja. A konstrukcióból azt kaptuk, hogy $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Ezért a $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a $A_2B_2C_2$ háromszög felező merőlegesei. Ekkor a 4. Tétel szerint a $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ magasságok egy pontban metszik egymást.
Először bizonyítsuk be a szögfelező tételt.
Tétel
Bizonyíték
1) Vegyünk egy tetszőleges M pontot a BAC szög felezőjére, rajzoljunk MK és ML merőlegeseket az AB és AC egyenesekre, és bizonyítsuk be, hogy MK = ML (224. ábra). Tekintsük az AM K és AML derékszögű háromszögeket. Hipotenusában és hegyesszögében egyenlőek (AM - közös hipotenúza, ∠1 = ∠2 feltétel szerint). Ezért MK = ML.
2) Legyen az M pont a BAC szög belsejében, és egyenlő távolságra legyen AB és AC oldalaitól. Bizonyítsuk be, hogy az AM sugár a BAC szög felezőpontja (lásd 224. ábra). Húzzon MK és ML merőlegeseket az AB és AC egyenesekre. Az AMK és AML derékszögű háromszögek befogójában és lábában egyenlők (AM - közös hipotenúza, MK = ML feltétel szerint). Ezért ∠1 = ∠2. De ez azt jelenti, hogy az AM sugár a BAC szög felezője. A tétel bizonyítást nyert.
Rizs. 224
Következmény 1
2. következmény
Valóban, jelöljük O betűvel az ABC háromszög AA 1 és BB 1 felezőinek metszéspontját, és ebből a pontból húzzuk az OK, OL és OM merőlegeseket az AB, BC és CA egyenesekre (ábra. 225). A bizonyított tétel szerint OK = OM és OK = OL. Ezért OM \u003d OL, azaz az O pont egyenlő távolságra van az ACB szög oldalaitól, és ezért ennek a szögnek a CC 1 szögfelezőjén fekszik. Következésképpen az ABC háromszög mindhárom felezőpontja az O pontban metszi egymást, amit igazolni kellett.
Rizs. 225
A szakaszra merőleges felezővonal tulajdonságai
A szakasz felező merőlegese az adott szakasz felezőpontján áthaladó és arra merőleges egyenes.
Rizs. 226
Bizonyítsuk be a tételt egy szakaszra merőleges felezőpontra.
Tétel
Bizonyíték
Legyen az m egyenes az AB szakaszra merőleges felező, az O pont ennek a szakasznak a felezőpontja (227. ábra, a).
Rizs. 227
1) Tekintsük az m egyenes tetszőleges M pontját, és bizonyítsuk be, hogy AM = VM. Ha az M pont egybeesik az O ponttal, akkor ez az egyenlőség igaz, mivel O az AB szakasz felezőpontja. Legyenek M és O különböző pontok. Az OAM és OBM derékszögű háromszögek két szárban egyenlőek (OA = OB, OM - közös láb), ezért AM = VM.
2) Tekintsünk egy tetszőleges N pontot, amely egyenlő távolságra van az AB szakasz végeitől, és bizonyítsuk be, hogy az N pont az m egyenesen fekszik. Ha N az AB egyenes egy pontja, akkor egybeesik az AB szakasz O felezőpontjával, ezért az m egyenesen fekszik. Ha az N pont nem az AB egyenesen fekszik, akkor az ANB háromszög egyenlő szárú, mivel AN \u003d BN (227. ábra, b). A NO szakasz ennek a háromszögnek a mediánja, és így a magassága. Tehát NO ⊥ AB, tehát az ON és m egyenesek egybeesnek, azaz N az m egyenes egy pontja. A tétel bizonyítást nyert.
Következmény 1
2. következmény
Ennek az állításnak a bizonyításához tekintsük az ABC háromszög AB és BC oldalaira merőleges m és n felezőket (228. ábra). Ezek az egyenesek egy O pontban metszik egymást. Valóban, ha ennek az ellenkezőjét feltételezzük, vagyis hogy m || n, akkor a BA egyenes, merőleges az m egyenesre, merőleges lenne a vele párhuzamos n egyenesre is, majd a B ponton átmenne két BA és BC egyenes, merőlegesen az n egyenesre, ami lehetetlen.
Rizs. 228
A bizonyított tétel szerint OB = OA és OB = OS. Ezért OA \u003d OC, vagyis az O pont egyenlő távolságra van az AC szakasz végeitől, és ezért a szegmensre merőleges p felezőn fekszik. Ezért az ABC háromszög oldalaira merőleges m, n és p mindhárom felezőszög az O pontban metszi egymást.
Háromszög metszésponti tétel
Bebizonyítottuk, hogy a háromszög felezői egy pontban, a háromszög oldalaira merőleges felezők pedig egy pontban metszik egymást. Korábban bebizonyosodott, hogy a háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást (64. szakasz). Kiderült, hogy egy háromszög magasságának hasonló tulajdonsága van.
Tétel
Bizonyíték
Tekintsünk egy tetszőleges ABC háromszöget, és bizonyítsuk be, hogy a magasságait tartalmazó AA 1 BB 1 és CC 1 egyenesek egy pontban metszik egymást (229. ábra).
Rizs. 229
Húzzon egy vonalat az ABC háromszög minden csúcsán, amely párhuzamos a szemközti oldallal. Egy A 2 B 2 C 2 háromszöget kapunk. Az A, B és C pontok a háromszög oldalainak felezőpontjai. Valójában AB \u003d A 2 C és AB \u003d CB 2 az ABA 2 C és ABCB 2 paralelogrammák ellentétes oldalai, ezért A 2 C \u003d CB 2. Hasonlóképpen, C 2 A \u003d AB 2 és C 2 B \u003d BA 2. Ezenkívül a konstrukcióból következően CC 1 ⊥ A 2 B 2, AA 1 ⊥ B 2 C 2 és BB 1 ⊥ A 2 C 2. Így az AA 1, BB 1 és CC 1 egyenesek merőlegesek az A 2 B 2 C 2 háromszög oldalaira. Ezért egy ponton metszik egymást. A tétel bizonyítást nyert.
Tehát minden háromszöghez négy pont tartozik: a mediánok metszéspontja, a felezők metszéspontja, az oldalakra merőleges felezők metszéspontja és a magasságok (vagy kiterjesztéseik) metszéspontja. ). Ezt a négy pontot ún a háromszög csodálatos pontjai.
Feladatok
674. A ki nem tágított O szög felezőjének M pontjából ennek a szögnek az oldalaira MA és MB merőlegeseket húzunk. Bizonyítsuk be, hogy AB ⊥ OM.
675. Az O szög oldalai két olyan kört érintenek, amelyeknek közös érintője van az A pontban. Bizonyítsuk be, hogy e körök középpontjai az O A egyenesen vannak.
676. Az A szög oldalai érintsen meg egy O középpontú, r sugarú kört. Keresse meg: a) OA, ha r = 5 cm, ∠A = 60°; b) d, ha ОА = 14 dm, ∠A = 90°.
677. Az ABC háromszög B és C csúcsaiban lévő külső szögfelezők az O pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az O pont az AB, BC, AC egyeneseket érintő kör középpontja.
678. Az ABC háromszög AA 1 és BB 1 felezőszögei az M pontban metszik egymást. Határozzuk meg az ACM és BCM szögeket, ha: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.
679. Az ABC háromszög BC oldalára merőleges felezője a D pontban metszi az AC oldalt. Keresse meg: a) AD és CD, ha BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm; b) AC, ha BD = 11,4 cm, AD = 3,2 cm.
680. Az ABC háromszög AB és AC oldalaira merőleges felezők a BC oldal D pontjában metszik egymást. Igazoljuk, hogy: a) D pont a BC oldal felezőpontja; b) ∠A - ∠B + ∠C.
681. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB oldalára merőleges felezője az E pontban metszi a BC oldalt. Határozza meg az AC alapot, ha az AEC háromszög kerülete 27 cm és AB = 18 cm.
682. Az ABC és ABD egyenlő szárú háromszögek AB alapja közös. Bizonyítsuk be, hogy a CD egyenes átmegy az AB szakasz felezőpontján.
683. Bizonyítsuk be, hogy ha egy ABC háromszög AB és AC oldalai nem egyenlőek, akkor a háromszög AM mediánja nem magasság.
684. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapjában lévő szögfelezők az M pontban metszik egymást. Igazoljuk, hogy a CM egyenes merőleges az AB egyenesre.
685. Az ABC egyenlő szárú háromszög oldalaira húzott AA 1 és BB 1 magasságai az M pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az MC egyenes az AB szakaszra merőleges felezőpont.
686. Szerkessze meg az adott szakaszra merőleges felezőmetszetet!
Megoldás
Legyen AB az adott szakasz. Építsünk két olyan kört, amelynek középpontja az AB sugarú A és B pontban van (230. ábra). Ezek a körök két M 1 és M 2 pontban metszik egymást. Az AM 1 , AM 2 , VM 1 , VM 2 szakaszok egyenlőek egymással, mint e körök sugarai.
Rizs. 230
Rajzoljunk M 1 M 2 egyenest. Ez a szükséges felező merőleges az AB szakaszhoz. Valójában az M 1 és M 2 pontok egyenlő távolságra vannak az AB szakasz végeitől, tehát az erre a szakaszra merőleges felezőn fekszenek. Ezért az M 1 M 2 egyenes az AB szakaszra merőleges felezőpont.
687. Adott egy a egyenes és két A és B pont, amelyek ennek az egyenesnek ugyanazon az oldalán helyezkednek el. Az a egyenesen készítsünk egy M pontot, amely egyenlő távolságra van A-tól B-ig.
688. Adott egy szög és egy szakasz. Szerkesszünk egy pontot az adott szögön belül, egyenlő távolságra annak oldalaitól és egyenlő távolságra az adott szakasz végeitől.
Válaszok a feladatokra
674. Utasítás. Először bizonyítsa be, hogy az AOB háromszög egyenlő szárú.
676. a) 10 cm; b) 7√2 dm.
678. a) 46° és 46°; b) 21° és 21°.
679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) AC = 14,6 cm.
683. Utasítás. Használja az ellentmondásos bizonyítási módszert.
687. Utasítás. Használja a 75. tétel tételét.
688. Utasítás. Figyeljük meg, hogy a kívánt pont az adott szög felezőjén fekszik.
1 Azaz egyenlő távolságra van a szög oldalait tartalmazó egyenesektől.
Szilcsenkov Ilja
tananyag, bemutató animációval
Letöltés:
Előnézet:
A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com
Diák feliratai:
A háromszög középvonala egy szakasz, amely összeköti két oldalának felezőpontját, és egyenlő ennek az oldalnak a felével. Ezenkívül a tétel szerint a háromszög középvonala párhuzamos az egyik oldalával, és egyenlő ennek az oldalnak a felével.
Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is.
Figyelemre méltó háromszögpontok
Figyelemre méltó háromszögpontok A mediánok metszéspontja (a háromszög középpontja) ; A felezők metszéspontja, a beírt kör középpontja; A merőleges felezők metszéspontja; A magasságok metszéspontja (ortocentrum); Euler-egyenes és kilenc pontból álló kör; Gergonne és Nagel pontok; Pont Fermat-Torricelli;
A mediánok metszéspontja
A háromszög mediánja egy olyan szakasz, amely összeköti a háromszög bármely szögének csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával.
I. Egy háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, ami felülről számolva 2:1 arányban osztja el az egyes mediánokat.
Bizonyíték:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 2. Az A 1 B 1 szakasz párhuzamos az AB oldallal és 1/2 AB \u003d A 1 B 1, azaz AB \u003d 2A1B1 (a háromszög középvonal tétele szerint), ezért 1 \u003d 4 és 3 \u003d 2 ( mert belső keresztirányú szögeket alkotnak az AB és A 1 B 1 párhuzamos egyenesekkel, és a BB 1 szekáns 1, 4 és AA 1 a 3, 2 3. Ezért az AOB és A 1 OB 1 háromszögek két szögben hasonlóak, és tehát oldalaik arányosak, azaz AO és A 1 O, BO és B 1 O, AB és A 1 B 1 oldalainak aránya egyenlő.De AB = 2A 1 B 1, tehát AO \u003d 2A 1 O és BO \u003d 2B 1 O. Így a BB 1 és AA 1 mediánok O metszéspontja felülről számolva mindegyiket 2:1 arányban osztja el.
A tömegközéppontot néha centroidnak nevezik. Ezért mondják, hogy a medián metszéspontja a háromszög súlypontja. Egy homogén háromszög alakú lemez tömegközéppontja ugyanabban a pontban található. Ha egy hasonló lemezt úgy helyezünk el egy csapra, hogy a tű hegye pontosan a háromszög súlypontjához érjen, akkor a lemez egyensúlyba kerül. Szintén a mediánok metszéspontja a középső háromszöge beírt körének középpontja. A mediánok metszéspontjának egy érdekes tulajdonsága kapcsolódik a tömegközéppont fizikai fogalmához. Kiderül, hogy ha egy háromszög csúcsaiban egyenlő tömegeket helyezünk el, akkor a középpontjuk pontosan erre a pontra esik.
Felezők metszéspontja
Háromszög felezőpontja - a háromszög egyik szögének csúcsát a szemközti oldalon fekvő ponttal összekötő szög felezőjének szegmense.
Egy háromszög felezőpontjai az oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontban metszik egymást.
Bizonyíték:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Jelölje O betűvel az ABC háromszög AA 1 és BB 1 felezőinek metszéspontját. 3. Használjuk azt a tényt, hogy a kibontott szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az oldalaitól és fordítva: minden, a szög belsejében lévő és a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pont a szögfelezőjén fekszik. Ezután OK=OL és OK=OM. Ez azt jelenti, hogy OM \u003d OL, azaz az O pont egyenlő távolságra van az ABC háromszög oldalaitól, és ezért a C szög CC1 szögfelezőjén fekszik. 4. Következésképpen az ABC háromszög mindhárom felezőpontja az O pontban metszi egymást. K L M A tétel bizonyítva. 2. Ebből a pontból húzzuk meg az OK, OL és OM merőlegeseket az AB, BC és CA egyenesekre.
A merőleges felezők metszéspontja
A középső merőleges egy adott szakasz felezőpontján áthaladó és arra merőleges egyenes.
A háromszög oldalaira merőleges felezők egy pontban metszik egymást, amely egyenlő távolságra van a háromszög csúcsaitól.
Bizonyíték:
B C A m n 1. Jelölje O betűvel az ABC háromszög AB és BC oldalaira merőleges m és n felezők metszéspontját. O 2. Azt a tételt felhasználva, hogy a szakaszra merőleges felezőpont minden pontja egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől és fordítva: a szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő pontok a szakaszra merőleges felezőn helyezkednek el, azt kapjuk, hogy OB= OA és OB=OC. 3. Ezért OA \u003d OC, vagyis az O pont egyenlő távolságra van az AC szakasz végeitől, és ezért a szegmensre merőleges felezőponton fekszik. 4. Ezért az ABC háromszög oldalaira merőleges m, n és p mindhárom felezőszög az O pontban metszi egymást. A tétel bizonyítva. R
Magasságok metszéspontja (vagy kiterjesztéseik)
A háromszög magassága a háromszög bármely szögének csúcsából a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőleges.
A háromszög magasságai vagy kiterjesztéseik egy pontban metszik egymást, amely lehet a háromszögben, vagy azon kívül.
Bizonyíték:
Bizonyítsuk be, hogy az AA 1 , BB 1 és CC 1 egyenesek egy pontban metszik egymást. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Húzzon egy egyenest az ABC háromszög minden csúcsán, amely párhuzamos a szemközti oldallal. Egy A 2 B 2 C 2 háromszöget kapunk. 2. Az A, B és C pontok a háromszög oldalainak felezőpontjai. Valójában AB \u003d A 2 C és AB \u003d CB 2 az ABA 2 C és ABCB 2 paralelogrammák ellentétes oldalai, ezért A 2 C \u003d CB 2. Hasonlóképpen, C 2 A \u003d AB 2 és C 2 B \u003d BA 2. Ezen túlmenően, amint az a konstrukcióból következik, CC 1 merőleges A 2 B 2-re, AA 1 merőleges B 2 C 2-re és BB 1 merőleges A 2 C 2-re (a párhuzamos egyenesek és a szekáns tétel következményeiből) . Így az AA 1, BB 1 és CC 1 egyenesek merőlegesek az A 2 B 2 C 2 háromszög oldalaira. Ezért egy ponton metszik egymást. A tétel bizonyítást nyert.
Ebben a leckében a háromszög négy csodálatos pontját nézzük meg. Ezek közül kettőnél részletesen kitérünk, felidézzük a fontos tételek bizonyítását és megoldjuk a problémát. A maradék kettőt felidézzük és jellemezzük.
Téma:8. osztályos geometria tantárgy ismétlése
Lecke: A háromszög négy figyelemre méltó pontja
A háromszög mindenekelőtt három szakaszból és három szögből áll, tehát a szakaszok és szögek tulajdonságai alapvetőek.
Az AB szegmens adott. Bármely szakasznak van közepe, és ezen keresztül merőleges húzható - p-vel jelöljük. Így p a merőleges felező.
Tétel (a merőleges szögfelező alapvető tulajdonsága)
A felező merőlegesen fekvő bármely pont egyenlő távolságra van a szakasz végeitől.
Bizonyítsd
Bizonyíték:
Tekintsük háromszögek és (lásd 1. ábra). Téglalap alakúak és egyenlőek, mert. van egy közös OM lábuk, és az AO és OB lábai feltétel szerint egyenlőek, így van két derékszögű háromszögünk, amely két szárban egyenlő. Ebből következik, hogy a háromszögek befogói is egyenlők, vagyis amit igazolni kellett.
Rizs. egy
A fordított tétel igaz.
Tétel
A szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő pontok a szakaszra merőleges felezőirányban helyezkednek el.
Adott az AB szakasz, a rá merőleges medián p, a szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő M pont (lásd 2. ábra).
Bizonyítsuk be, hogy az M pont a szakaszra merőleges felezőn fekszik.
Rizs. 2
Bizonyíték:
Tekintsünk egy háromszöget. Feltétel szerint egyenlő szárú. Tekintsük a háromszög mediánját: O pont az AB alap felezőpontja, OM a medián. Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai szerint az alapjához húzott medián magasság és felezőszög is egyben. Ebből következik, hogy. De a p egyenes is merőleges az AB-re. Tudjuk, hogy az AB szakaszra egyetlen merőleges húzható az O pontra, ami azt jelenti, hogy az OM és p egyenesek egybeesnek, ebből következik, hogy az M pont a p egyeneshez tartozik, amit bizonyítani kellett.
Ha egy szakasz körül kört kell leírni, akkor ezt megtehetjük, és végtelen sok ilyen kör van, de mindegyik középpontja a szakaszra merőleges felezőn lesz.
A merőleges felezőt a szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő pontok helyének nevezzük.
A háromszög három szakaszból áll. Rajzoljunk ezek közül kettőre középmerőlegeseket, és kapjuk meg metszéspontjuk O pontját (lásd 3. ábra).
Az O pont a háromszög BC oldalára merőleges felezőponthoz tartozik, ami azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van B és C csúcsaitól, ezt a távolságot jelöljük R:-ként.
Ezenkívül az O pont az AB szakaszra merőleges felezővonalon található, azaz. azonban innen .
Így két felezőpont metszéspontjának O pontja
Rizs. 3
A háromszög merőlegesei egyenlő távolságra vannak a csúcsaitól, ami azt jelenti, hogy a harmadik merőleges felezőn is fekszik.
Megismételtük egy fontos tétel bizonyítását.
A háromszög három merőleges felezője egy pontban metszi egymást - a körülírt kör középpontjában.
Tehát figyelembe vettük a háromszög első figyelemre méltó pontját - a merőleges felezők metszéspontját.
Térjünk át egy tetszőleges szög tulajdonságára (lásd 4. ábra).
Adott egy szög, a felező AL, az M pont a felezőn fekszik.
Rizs. négy
Ha az M pont a szögfelezőn fekszik, akkor egyenlő távolságra van a szög oldalaitól, vagyis az M ponttól az AC és a BC közötti távolságok egyenlőek a szög oldalainak.
Bizonyíték:
Tekintsük háromszögek és . Ezek derékszögű háromszögek, és egyenlőek, mert. közös AM hipotenuszuk van, és a és a szögek egyenlőek, mivel AL a szög felezője. Így a derékszögű háromszögek befogójában és hegyesszögében egyenlők, ebből következik, hogy , amit be kellett bizonyítani. Így egy szög felezőjének egy pontja egyenlő távolságra van a szög oldalaitól.
A fordított tétel igaz.
Tétel
Ha egy pont egyenlő távolságra van egy ki nem tágított szög oldalaitól, akkor a szögfelezőjén fekszik (lásd 5. ábra).
Adott egy kidolgozatlan szög, az M pont, úgy, hogy attól a távolság a szög oldalaitól azonos.
Bizonyítsuk be, hogy az M pont a szögfelezőn fekszik.
Rizs. 5
Bizonyíték:
A pont és az egyenes távolsága a merőleges hossza. Húzzunk az M pontból MK merőlegeseket az AB oldalra és MP az AC oldalra.
Tekintsük háromszögek és . Ezek derékszögű háromszögek, és egyenlőek, mert. közös AM hypotenusa van, a lábak MK és MR feltétel szerint egyenlőek. Így a derékszögű háromszögek egyenlőek a befogóban és a lábban. A háromszögek egyenlőségéből következik a megfelelő elemek egyenlősége, egyenlő szögek fekszenek egyenlő lábakkal, így 
, ezért az M pont az adott szög felezőjén fekszik.
Ha egy kört egy szögbe kell beírni, akkor ez megtehető, és végtelen sok ilyen kör van, de középpontjuk az adott szög felezőjén van.
A felezőt a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok helyének nevezzük.
Egy háromszög három sarokból áll. Ezek közül kettő felezőjét megszerkesztjük, megkapjuk a metszéspontjuk O pontját (lásd 6. ábra).
Az O pont a szög felezőjén fekszik, ami azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van az AB és BC oldalaitól, jelöljük a távolságot r:-ként. Továbbá az O pont a szög felezőjén fekszik, ami azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van az AC és BC oldalaitól: , , tehát .
Könnyen belátható, hogy a felezők metszéspontja egyenlő távolságra van a harmadik szög oldalaitól, ami azt jelenti, hogy
Rizs. 6
szögfelező. Így a háromszög mindhárom felezőpontja egy pontban metszi egymást.
Emlékeztünk tehát egy másik fontos tétel bizonyítására.
A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást - a beírt kör középpontjában.
Tehát figyelembe vettük a háromszög második csodálatos pontját - a felezők metszéspontját.
Megvizsgáltuk egy szög felezőjét, és megjegyeztük fontos tulajdonságait: a szögfelező pontjai egyenlő távolságra vannak a szög oldalaitól, ráadásul a körre egy pontból húzott érintők szakaszai egyenlőek.
Vezessünk be néhány jelölést (lásd 7. ábra).
Jelölje x, y és z érintők egyenlő szakaszait. Az A csúccsal szemben fekvő BC oldalt a-val, az AC-t b-vel, az AB-t c-vel jelöljük.
Rizs. 7
1. feladat: Egy háromszögben ismert a fél kerülete és az oldalhossz. Határozzuk meg az A - AK csúcsból húzott érintő hosszát, amelyet x-szel jelölünk.
Nyilvánvaló, hogy a háromszög nincs teljesen meghatározva, és sok ilyen háromszög létezik, de kiderül, hogy van néhány közös elemük.
Olyan problémákra, amelyekben beírt körről beszélünk, a következő megoldási technikát javasolhatjuk:
1. Rajzolj felezőket, és kapd meg a beírt kör középpontját.
2. Az O középpontból merőlegeseket rajzolunk az oldalakra, és kapjuk meg az érintkezési pontokat.
3. Jelölje meg az egyenlő érintőket.
4. Írja fel a kapcsolatot a háromszög oldalai és az érintők között!