Az apotém egyenlő a piramis magasságával. A jobb oldali piramis apotémája
Meghatározás. Oldal arc- ez egy háromszög, amelyben az egyik szög a piramis tetején fekszik, és ennek ellenkező oldala egybeesik az alap (sokszög) oldalával.
Meghatározás. Oldalsó bordák az oldallapok közös oldalai. A piramisnak annyi éle van, ahány sarka van egy sokszögben.
Meghatározás. piramis magassága a piramis tetejéről az aljára ejtett merőleges.
Meghatározás. Apothem- ez a gúla oldallapjának merőlegese, a piramis tetejétől az alap oldaláig leengedve.
Meghatározás. Átlós szakasz- ez a piramisnak a gúla tetején és az alap átlóján átmenő sík által metszett szakasza.
Meghatározás. Helyes piramis- Ez egy piramis, amelyben az alap egy szabályos sokszög, és a magassága az alap közepéig csökken.
A piramis térfogata és felülete
Képlet. piramis térfogata alapterületen és magasságon keresztül:
piramis tulajdonságai
Ha minden oldalél egyenlő, akkor a piramis alapja köré kör írható, és az alap középpontja egybeesik a kör középpontjával. Ezenkívül a felülről leejtett merőleges áthalad az alap (kör) közepén.
Ha minden oldalborda egyenlő, akkor ugyanolyan szögben dőlnek az alapsíkhoz.
Az oldalsó bordák akkor egyenlőek, ha egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal, vagy ha kör írható le a piramis alapja körül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alap síkjához, akkor a gúla alapjába kör írható, és a gúla teteje a középpontjába vetül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alapsíkhoz, akkor az oldallapok apotémája egyenlő.
Szabályos piramis tulajdonságai
1. A piramis teteje egyenlő távolságra van az alap minden sarkától.
2. Minden oldalél egyenlő.
3. Minden oldalborda ugyanolyan szögben dől el az alaphoz képest.
4. Minden oldallap apotémje egyenlő.
5. Az összes oldalfelület területe egyenlő.
6. Minden lapnak azonos a kétszögű (lapos) szöge.
7. A piramis körül egy gömb írható le. A leírt gömb középpontja az élek közepén átmenő merőlegesek metszéspontja lesz.
8. Gúlába beleírható egy gömb. A beírt gömb középpontja az él és az alap közötti szögből kiinduló felezők metszéspontja lesz.
9. Ha a beírt gömb középpontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával, akkor a csúcson lévő lapos szögek összege egyenlő π-vel vagy fordítva, egy szög egyenlő π / n-nel, ahol n a szám szögek a piramis alján.
A piramis kapcsolata a gömbbel
A piramis körül egy gömb írható le, ha a piramis alján egy poliéder fekszik, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja a piramis oldaléleinek felezőpontjain át merőlegesen átmenő síkok metszéspontja lesz.
Egy gömb mindig leírható bármely háromszög vagy szabályos piramis körül.
Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső kétszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
A piramis és a kúp kapcsolata
A kúpot beírtnak nevezzük a gúlába, ha a csúcsuk egybeesik, és a kúp alapja a gúla alapjába van írva.
Kúp írható a piramisba, ha a piramis apotémjei egyenlőek.
A kúpról azt mondjuk, hogy körülírt egy gúla, ha csúcsai egybeesnek, és a kúp alapja a gúla alapja körül van körülírva.
A gúla körül kúp írható le, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással.
Piramis kapcsolata hengerrel
Egy piramisról azt mondjuk, hogy bele van írva egy hengerbe, ha a piramis teteje a henger egyik alján, a piramis alapja pedig a henger másik alján található.
Egy henger körülírható egy piramis körül, ha kör írható a gúla alapja köré.
A tetraédernek négy lapja és négy csúcsa és hat éle van, ahol bármelyik két élnek nincs közös csúcsa, de nem érintkeznek.
Minden csúcs három lapból és élből áll háromszögű.
A tetraéder csúcsát a szemközti lap középpontjával összekötő szakaszt ún a tetraéder mediánja(GM).
Bimedian Az egymással nem érintkező élek felezőpontjait összekötő szakasznak nevezzük (KL).
A tetraéder összes bimediánja és mediánja egy pontban (S) metszi egymást. Ebben az esetben a bimediánokat felezzük, a mediánokat pedig felülről indulva 3:1 arányban.
Meghatározás. Élesszögű piramis olyan piramis, amelyben az apotém az alap oldalhosszának több mint fele.
Meghatározás. tompa piramis olyan piramis, amelyben az apotém kisebb, mint az alap oldalhosszának fele.
Meghatározás. szabályos tetraéder Tetraéder, amelynek négy lapja egyenlő oldalú háromszög. Ez az öt szabályos sokszög egyike. Egy szabályos tetraéderben minden diéderszög (a lapok között) és háromszögszög (egy csúcsban) egyenlő.
Meghatározás. Téglalap alakú tetraéder tetraédernek nevezzük, amelynek a csúcsánál három él között derékszög van (az élek merőlegesek). Három arc alakul ki téglalap háromszögűés a lapok derékszögű háromszögek, az alap pedig egy tetszőleges háromszög. Bármely arc apotémája megegyezik az alap oldalának felével, amelyre az apotém esik.
Meghatározás. Izoéderes tetraéder Tetraédernek nevezzük, amelyben az oldallapok egyenlőek egymással, és az alapja egy szabályos háromszög. Az ilyen tetraéder lapjai egyenlő szárú háromszögek.
Meghatározás. Ortocentrikus tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a felülről a szemközti lapra süllyesztett összes magasság (merőleges) egy pontban metszi egymást.
Meghatározás. csillag piramis Az a poliéder, amelynek alapja csillag.
A geometriai problémák sikeres megoldásához világosan meg kell érteni a tudomány által használt kifejezéseket. Például ezek az "egyenes vonal", "sík", "poliéder", "piramis" és még sokan mások. Ebben a cikkben arra a kérdésre adunk választ, hogy mi az apotém.
Az "apotém" kifejezés kettős használata
A geometriában az "apotém" vagy az "apotéma" szó jelentése, ahogyan más néven is nevezik, attól függ, hogy milyen tárgyra alkalmazzák. A figuráknak két alapvetően eltérő osztálya van, amelyekben ez az egyik jellemzőjük.
Először is, ezek lapos sokszögek. Mi a sokszög apotémája? Ez az ábra geometriai középpontjától bármely oldaláig húzott magasság.
Hogy világosabb legyen, mi forog kockán, vegyünk egy konkrét példát. Tegyük fel, hogy van egy szabályos hatszög az alábbi ábrán.
Az l szimbólum az oldalának hosszát, az a betű az apotémet jelöli. A jelölt háromszögnél ez nem csak a magasság, hanem a felező és a medián is. Könnyen kimutatható, hogy az l oldal tekintetében a következőképpen számítható:
Hasonlóképpen, az apotém bármely n-szögre definiálva van.
A második a piramisok. Mi az apotémája egy ilyen figurának? Ez a kérdés részletesebb megfontolást igényel.
Ebben a témában: Hogyan lehet hosszú és dús szempilláid egy hónap alatt?
Piramisok és apotémjük
Először is definiáljunk egy piramist geometriailag. Ez az ábra egy háromdimenziós test, amelyet egy n-szög (alap) és n háromszög (oldal) alkot. Ez utóbbiak egy ponton kapcsolódnak össze, amelyet csúcsnak neveznek. Az alaptól való távolság az ábra magassága. Ha az n-szög geometriai középpontjára esik, akkor a piramist egyenesnek nevezzük. Ha ezen kívül az n-szögnek egyenlő szögei és oldalai vannak, akkor az ábrát szabályosnak nevezzük. Az alábbiakban egy piramis példája látható.
Mi az apotémája egy ilyen figurának? Ez az a merőleges, amely az n-szög oldalait az ábra tetejével köti össze. Nyilvánvalóan a háromszög magasságát jelenti, amely a piramis oldala.
Az apotém kényelmesen használható, ha geometriai feladatokat old meg szabályos piramisokkal. A helyzet az, hogy számukra az összes oldallap egyenlő egyenlő szárú háromszögekkel. Az utolsó tény azt jelenti, hogy minden n apotém egyenlő, így egy szabályos piramis esetében egyetlen ilyen egyenesről beszélhetünk.
Egy négyszögletű piramis apotémája helyes
Ennek az alaknak talán a legszembetűnőbb példája a világ híres első csodája - Kheopsz piramisa. Egyiptomban van.
Bármely ilyen, szabályos n-szögű alappal rendelkező alakzathoz megadhatók olyan képletek, amelyek segítségével meghatározható az apotem a sokszög oldalának a hosszában, a b oldalél és a h magasságban. Ide írjuk a megfelelő képleteket egy négyzet alakú egyenes piramishoz. A h b apotém egyenlő lesz:
Ebben a témában: Baskíria zászlaja - leírás, szimbolika és történelem
h b \u003d √ (b 2 - a 2/4);
h b \u003d √ (h 2 + a 2/4)
Ezen kifejezések közül az első bármely szabályos piramisra érvényes, a második csak egy négyszögletű piramisra.
Mutassuk meg, hogyan lehet ezeket a képleteket használni a probléma megoldására.
geometriai probléma
Legyen adott egy egyenes, négyzet alakú gúla. Ki kell számítani az alapterületét. A piramis apotémája 16 cm, magassága az alap oldalának kétszerese.
Minden tanuló tudja: a vizsgált piramis alapját képező négyzet területének meghatározásához ismernie kell az oldalát a. Ennek megtalálásához a következő képletet használjuk az apotémre:
h b \u003d √ (h 2 + a 2/4)
Az apotém jelentése a probléma feltételéből ismert. Mivel a h magasság kétszerese az a oldal hosszának, ez a kifejezés a következőképpen konvertálható:
h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>
a = 2*ó b /√17
Egy négyzet területe egyenlő az oldalai szorzatával. Az eredményül kapott kifejezést a helyére behelyettesítve a következőt kapjuk:
S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2
Marad hátra, hogy behelyettesítsük a képletbe a feladat feltételéből származó apotém értékét, és felírjuk a választ: S ≈ 60,2 cm 2.
Olvassa el még:
A piramis egy térbeli poliéder vagy poliéder, amely geometriai feladatokban található. Ennek az ábrának a fő tulajdonságai a térfogata és a felülete, amelyeket bármely két lineáris karakterisztikája ismeretében számítanak ki. Az egyik ilyen jellemző a piramis apotémája. A cikkben lesz szó róla.
ábra piramis
Mielőtt megadnánk a piramis apotémjének meghatározását, ismerkedjünk meg magával az ábrával. A piramis egy poliéder, amelyet egy n-szögű alap és n háromszög alkot, amelyek az ábra oldalfelületét alkotják.
Minden piramisnak van egy csúcsa - az összes háromszög találkozási pontja. Az ebből a csúcsból az alapra húzott merőlegest magasságnak nevezzük. Ha a magasság metszi az alapot a geometriai középpontban, akkor az ábrát egyenesnek nevezzük. Az egyenlő oldalú alappal rendelkező egyenes gúlát szabályos piramisnak nevezzük. Az ábrán egy hatszögletű alappal rendelkező gúla látható, amely oldalról és oldalról nézve néz.
A jobb oldali piramis apotémája
Apotemának is nevezik. A piramis tetejétől az ábra alapjának oldaláig húzott merőleges értendő. Definíció szerint ez a merőleges a gúla oldallapját alkotó háromszög magasságának felel meg.
Mivel egy n-szögű alappal rendelkező szabályos gúlát tekintünk, akkor ennek mind az n apotémája azonos lesz, mivel ilyenek az ábra oldalfelületének egyenlő szárú háromszögei. Vegyük észre, hogy az azonos apotémek egy szabályos piramis tulajdonsága. Egy általános típusú (ferde, szabálytalan n-szögű) alaknál minden n apotém más lesz.
Egy szabályos gúla apotémjének másik tulajdonsága, hogy egyidejűleg a megfelelő háromszög magassága, mediánja és felezőpontja. Ez azt jelenti, hogy két azonos derékszögű háromszögre osztja.
és apotemének meghatározására szolgáló képletek
Minden szabályos piramisban fontos lineáris jellemzők az alapja oldalának hossza, a b oldalél, a h magasság és a h b apotém. Ezeket a mennyiségeket a megfelelő képletekkel viszonyítjuk egymáshoz, amelyeket egy gúla rajzolásával és a szükséges derékszögű háromszögek figyelembevételével kaphatunk.
Egy szabályos háromszög alakú gúla 4 háromszöglapból áll, és ezek közül az egyiknek (az alapnak) egyenlő oldalúnak kell lennie. A többi általános esetben egyenlő szárú. A háromszög alakú piramis apotémája más mennyiségekkel is meghatározható a következő képletekkel:
h b \u003d √ (b 2 - a 2/4);
h b \u003d √ (a 2 / 12 + h 2)
Ezen kifejezések közül az első bármely megfelelő alappal rendelkező piramisra érvényes. A második kifejezés csak egy háromszög alakú piramisra jellemző. Azt mutatja, hogy az apotém mindig nagyobb, mint az ábra magassága.
A piramis apotémáját nem szabad összetéveszteni a poliéderével. Ez utóbbi esetben az apotém egy merőleges szakasz, amelyet a poliéder középpontjától az oldalára húzunk. Például egy egyenlő oldalú háromszög apotémája √3/6*a.
Apothem feladat
Legyen adott egy szabályos piramis, amelynek alapja háromszög. Ki kell számítani annak apotémjét, ha ismert, hogy ennek a háromszögnek a területe 34 cm 2, és maga a piramis 4 azonos lapból áll.
A feladat feltételének megfelelően egyenlő oldalú háromszögekből álló tetraéderrel van dolgunk. Az egyik arc területének képlete a következő:
Ahonnan megkapjuk az a oldal hosszát:
A h b apotém meghatározásához a b oldalélt tartalmazó képletet használjuk. A vizsgált esetben hossza megegyezik az alap hosszával, van:
h b \u003d √ (b 2 - a 2/4) \u003d √ 3/2 * a
Az a-tól S-ig behelyettesítve a végső képletet kapjuk:
h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)
Kaptunk egy egyszerű képletet, amelyben a piramis apotémája csak az alapterületétől függ. Ha az S értéket behelyettesítjük a feladat feltételéből, azt a választ kapjuk: h b ≈ 7,674 cm.
apothem apothem
(a görög apotíthēmi szóból - elhalasztom), 1) egy merőleges szakasza (valamint annak hossza) a, egy szabályos sokszög közepéről annak bármelyik oldalára ejtve. 2) A megfelelő piramisban az apotém a magasság a oldalsó él.
APOTHEMAPOPHEMA (görög apothema – valami elhalasztott),
1) az a merőleges szakasza (valamint annak hossza), amely egy szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára esik.
2) Egy szabályos piramisban az apotém az oldallap magassága.
enciklopédikus szótár. 2009 .
Szinonimák:Nézze meg, mi az "apotém" más szótárakban:
Lásd APOTEM. Az orosz nyelvben szereplő idegen szavak szótára. Chudinov A.N., 1910. APOTHEMA, lásd APOTHEMA. Az orosz nyelvben szereplő idegen szavak szótára. Pavlenkov F., 1907... Orosz nyelv idegen szavak szótára
- (a görög apotithemi szóból elhalasztom) ..1) az a merőleges szakasza (valamint hossza) a szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára leeresztve2)] Szabályos piramisban az apothem a magassága az oldalsó arcról... Nagy enciklopédikus szótár
Létezik., szinonimák száma: 3 apotema (2) hossza (10) merőleges (4) Szótár ... Szinonima szótár
APOTHEM- (1) a szabályos sokszög köré körülírt kör középpontjából annak bármelyik oldalára ejtett merőleges hossza; (2) egy szabályos gúla oldallapjának magassága; (3) a trapéz magassága, amely egy szabályos csonka ... ... Nagy Politechnikai Enciklopédia
- (az általam félretett görög apotithçmi-ből) 1) a merőleges hossza egy szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára (1. ábra); 2) szabályos gúlában A. oldallapjának a magassága (2. ábra). Rizs. 1-től…… Nagy szovjet enciklopédia
- (a görög apotfthemi-ből elhalasztom) 1) az a merőleges szakasza (valamint hossza) egy szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára leeresztve. 2) Szabályos A. gúlában az oldallap a magassága (lásd az ábrát). Az Art. Apothem... Nagy enciklopédikus politechnikai szótár
Egy szabályos sokszög középpontjából az egyik oldalára esett merőleges hossza; az apotém egyenlő az adott sokszögbe írt kör sugarával. Az A.-t a kúp ferde oldalának is nevezték ... Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Efron
- (a görög apotithemiből, amit elhalasztom), 1) az a merőleges szakasza (valamint annak hossza), egy szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára leeresztve. 2) Egy szabályos gúlában A. az oldallap a magassága ... Természettudomány. enciklopédikus szótár
Apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem
- apotém- egy szabályos gúla oldallapjának magassága, amelyet a tetejéről húznak (továbbá az apotém a merőleges hossza, amelyet egy szabályos sokszög közepétől 1 oldaláig leeresztenek);
- oldalsó arcok (ASB, BSC, CSD, DSA) - háromszögek, amelyek a tetején összefolynak;
- oldalbordák ( MINT , BS , CS , D.S. ) - az oldallapok közös oldalai;
- a piramis teteje (v. S) - az oldaléleket összekötő pont, amely nem az alap síkjában fekszik;
- magasság ( ÍGY ) - a merőleges egy szegmense, amelyet a piramis tetején keresztül az alap síkjába húznak (egy ilyen szakasz vége a piramis teteje és a merőleges alapja lesz);
- egy piramis átlós metszete- a piramis szakasza, amely áthalad a tetején és az alap átlóján;
- bázis (ABCD) egy olyan sokszög, amelyhez a piramis csúcsa nem tartozik.
piramis tulajdonságai.
1. Ha minden oldalsó él azonos méretű, akkor:
- a piramis alapja közelében könnyen leírható egy kör, míg a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
- oldalbordák egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal;
- ráadásul fordítva is igaz, i.e. ha az oldalélek egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal, vagy ha egy kör írható le a gúla alapjához közel, és a gúla teteje ennek a körnek a középpontjába vetül, akkor a gúla összes oldaléle azonos méretű.
2. Ha az oldallapok dőlésszöge azonos értékű az alap síkjával, akkor:
- a piramis alapja közelében könnyen leírható egy kör, míg a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
- az oldallapok magassága egyenlő hosszúságú;
- az oldalfelület területe az alap kerületének és az oldalfelület magasságának a szorzata.
3. Egy gömb írható le a gúla közelében, ha a gúla alapja egy sokszög, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja azoknak a síkoknak a metszéspontja lesz, amelyek átmennek a piramis rájuk merőleges éleinek felezőpontjain. Ebből a tételből arra a következtetésre jutunk, hogy egy gömb leírható bármely háromszög és bármely szabályos piramis körül.
4. Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső diéderszögeinek felezősíkjai az 1. pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
A legegyszerűbb piramis.
A piramis alapjának sarkainak száma szerint háromszögre, négyszögre stb.
A piramis akarat háromszög alakú, négyszögű, és így tovább, amikor a piramis alapja háromszög, négyszög stb. A háromszög alakú piramis egy tetraéder - egy tetraéder. Négyszögletű - ötszögletű és így tovább.