1. feladat. Nézze meg, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e. A vektorok rendszerét a rendszer mátrixa határozza meg, melynek oszlopai a vektorok koordinátáiból állnak.

.

Döntés. Legyen a lineáris kombináció egyenlő nullával. Miután ezt az egyenlőséget koordinátákkal írtuk fel, a következő egyenletrendszert kapjuk:

.

Az ilyen egyenletrendszert háromszögnek nevezzük. Neki van az egyetlen megoldás. . Ezért a vektorok lineárisan függetlenek.

2. feladat. Nézze meg, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e.

.

Döntés. Vektorok lineárisan függetlenek (lásd 1. feladat). Bizonyítsuk be, hogy a vektor vektorok lineáris kombinációja . Vektor kiterjesztési együtthatók egyenletrendszerből határozzuk meg

.

Ez a rendszer, akárcsak egy háromszögletű, egyedi megoldással rendelkezik.

Ezért a vektorok rendszere lineárisan függő.

Megjegyzés. Az 1. feladathoz hasonló mátrixokat hívjuk háromszög alakú , és a 2. feladatban – lépcsős háromszögletű . Egy vektorrendszer lineáris függésének kérdése könnyen megoldható, ha ezen vektorok koordinátáiból álló mátrix lépcsőzetesen háromszög alakú. Ha a mátrixnak nincs speciális formája, akkor használja elemi karakterlánc transzformációk , megőrizve az oszlopok közötti lineáris kapcsolatokat, lépcsőzetes háromszög alakra redukálható.

Elemi karakterlánc-transzformációk A mátrixokat (EPS) a következő műveleteknek nevezzük a mátrixon:

1) vonalak permutációja;

2) egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;

3) egy újabb karakterlánc hozzáadása a karakterlánchoz, tetszőleges számmal megszorozva.

3. feladat. Keresse meg a maximális lineárisan független alrendszert, és számítsa ki a vektorrendszer rangját!

.

Döntés. A rendszer mátrixát EPS segítségével redukáljuk lépcsős-háromszög alakúra. Az eljárás magyarázatához a transzformálandó mátrix számát tartalmazó sort a szimbólummal jelöljük. A nyíl utáni oszlop a konvertált mátrix sorain végrehajtandó műveleteket mutatja, hogy megkapjuk az új mátrix sorait.

.

Nyilvánvaló, hogy a kapott mátrix első két oszlopa lineárisan független, a harmadik oszlop ezek lineáris kombinációja, a negyedik pedig nem függ az első kettőtől. Vektorok alapnak nevezzük. Ezek alkotják a rendszer maximálisan lineárisan független alrendszerét , és a rendszer rangja három.

Alap, koordináták

4. feladat. Keresse meg a vektorok alapját és koordinátáit ezen az alapon azon geometriai vektorok halmazán, amelyek koordinátái kielégítik a feltételt .

Döntés. A halmaz az origón áthaladó sík. A síkon egy tetszőleges bázis két nem kollineáris vektorból áll. A kiválasztott bázisban lévő vektorok koordinátáit a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával határozzuk meg.

Van egy másik módja ennek a probléma megoldásának, amikor koordináták alapján találja meg az alapot.

Koordináták A terek nem koordináták a síkon, mivel a reláció összefügg , vagyis nem függetlenek. A független változók és (ezeket szabadnak nevezzük) egyértelmûen határozzák meg a vektort a síkon, ezért koordinátákként választhatók a -ben. Aztán az alap szabad változók halmazainak megfelelő vektorokból áll és , azaz

5. feladat. Keresse meg az ezen a bázison lévő vektorok bázisát és koordinátáit a tér összes olyan vektorának halmazán, amelyek páratlan koordinátái egyenlők egymással.

Döntés. Az előző feladathoz hasonlóan a térbeli koordinátákat választjuk ki.

Mint , majd a szabad változók Egyedülállóan definiálnak egy vektort, és ezért koordináták. A megfelelő bázis vektorokból áll.

6. feladat. Keresse meg a vektorok alapját és koordinátáit ezen a bázison az alak összes mátrixának halmazán , ahol tetszőleges számok.

Döntés. Minden mátrix egyedileg ábrázolható a következőképpen:

Ez az összefüggés a vektor kiterjesztése a bázis szempontjából
koordinátákkal .

7. feladat. Keresse meg egy vektorrendszer lineáris fesztávjának méretét és alapját!

.

Döntés. Az EPS segítségével a mátrixot a rendszervektorok koordinátáiból lépcsőzetes háromszög alakúra alakítjuk.

.

oszlopok az utolsó mátrix lineárisan függetlenek, és az oszlopok lineárisan fejeződnek ki rajtuk. Ezért a vektorok képezik az alapot , és .

Megjegyzés. Alap be kétértelműen választották. Például vektorok is képezik az alapot .

Vektorok, tulajdonságaik és műveleteik velük

Vektorok, műveletek vektorokkal, lineáris vektortér.

A vektorok véges számú valós szám rendezett gyűjteménye.

Műveletek: 1. Egy vektor szorzata egy számmal: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3,4, 0,7) * 3 \u003d (9, 12,0,21) )

2. Vektorok összeadása (ugyanabba a vektortérbe tartoznak) vektor x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenziós (lineáris tér) vektor x + vektor 0 = vektor x

Tétel. Ahhoz, hogy egy n vektorból álló rendszer egy n-dimenziós lineáris térben lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy az egyik vektor a többi vektor lineáris kombinációja legyen.

Tétel. Az n-dimenziós yavl lineáris tér bármely n+ 1. vektorának halmaza. lineárisan függő.

Vektorok összeadása, vektorok szorzása számokkal. Vektorok kivonása.

Két vektor összege a vektor elejétől a vektor végéig irányított vektor, feltéve, hogy a vektor eleje egybeesik a vektor végével. Ha a vektorok bázisvektorok szerinti kiterjesztéseikkel vannak megadva, akkor a vektorok összeadásával összeadjuk a megfelelő koordinátáikat.

Tekintsük ezt egy derékszögű koordinátarendszer példáján. Legyen

Mutassuk meg

A 3. ábra azt mutatja

Tetszőleges számú vektor összege megtalálható a sokszögszabály segítségével (4. ábra): véges számú vektor összegének megszerkesztéséhez elegendő minden következő vektor elejét az előző végével párosítani. és készítsünk egy vektort, amely összeköti az első vektor elejét az utolsó vektor végével.

A vektorösszeadási művelet tulajdonságai:

Ezekben a kifejezésekben m, n számok.

A vektorok különbségét vektornak nevezzük, a második tag a vektorral ellentétes, de hosszában egyenlő vektor.

Így a vektorkivonási műveletet felváltja az összeadás művelet

Azt a vektort, amelynek az eleje a koordináták origójában van, a vége pedig az A pontban (x1, y1, z1), az A pont sugárvektorának nevezzük, és egyszerűen vagy egyszerűen jelöljük. Mivel a koordinátái egybeesnek az A pont koordinátáival, a vektorok szerinti kiterjesztésének alakja

Az A(x1, y1, z1) pontból induló és B(x2, y2, z2) pontban végződő vektort felírhatjuk

ahol r 2 a B pont sugárvektora; r 1 - az A pont sugárvektora.

Ezért a vektor ort-ok szerinti kiterjesztésének van formája

Hossza megegyezik az A és B pontok távolságával

SZORZÁS

Tehát lapos feladat esetén egy vektor a = (ax; ay) és egy b szám szorzatát a képlet határozza meg

a b = (ax b; ay b)

Példa 1. Határozzuk meg az a = (1; 2) vektor szorzatát 3-mal!

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Tehát egy térbeli probléma esetén az a = (ax; ay; az) vektor és a b szám szorzatát a képlet találja meg

a b = (ax b; ay b; az b)

1. példa Határozzuk meg az a = (1; 2; -5) vektor szorzatát 2-vel!

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

A vektorok pontszorzata és ahol az és a vektorok közötti szög; ha valamelyik, akkor

A skalárszorzat definíciójából az következik

ahol például a vektor vetületének értéke a vektor irányára.

Egy vektor skaláris négyzete:

Pont termék tulajdonságai:

Pont szorzat koordinátákban

Ha egy azután

Szög vektorok között

Szög vektorok között - az ezen vektorok irányai közötti szög (legkisebb szög).

Vektorszorzat (Két vektor vektorszorzata.)- a két tényező által szerkesztett síkra merőleges pszeudovektor, amely a háromdimenziós euklideszi térben lévő vektorokon végzett "vektorszorzás" bináris művelet eredménye. A szorzat sem nem kommutatív, sem nem asszociatív (antikommutatív), és különbözik a vektorok pontszorzatától. Számos mérnöki és fizikai feladatnál szükséges, hogy két meglévőre merőleges vektort tudjunk építeni - a vektorszorzat erre lehetőséget ad. A keresztszorzat hasznos a vektorok merőlegességének "mérésére" - két vektor keresztszorzatának hossza megegyezik a hosszuk szorzatával, ha merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok párhuzamosak vagy anti-párhuzamosak.

A vektorszorzat csak háromdimenziós és hétdimenziós terekben van meghatározva. A vektorszorzat eredménye a skalárszorzathoz hasonlóan az euklideszi tér metrikájától függ.

Ellentétben a háromdimenziós téglalap alakú koordinátarendszerben a vektorok koordinátáiból a skaláris szorzat kiszámításának képletével, a vektorszorzat képlete a téglalap alakú koordináta-rendszer orientációjától, vagy más szóval „kiralitásától” függ.

A vektorok kollinearitása.

Két nullától eltérő (0-val nem egyenlő) vektort kollineárisnak nevezünk, ha párhuzamos egyeneseken vagy ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Megengedjük, de nem ajánljuk a szinonimát - "párhuzamos" vektorokat. A kollineáris vektorok irányulhatnak ugyanabba az irányba („társirányban”) vagy ellentétes irányban (ez utóbbi esetben néha „antikollineárisnak” vagy „antiparallelnek” is nevezik).

vektorok vegyes szorzata ( ABC)- az a vektor skaláris szorzata és a b és c vektorok szorzata:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

néha a vektorok hármas skaláris szorzatának nevezik, nyilvánvalóan azért, mert az eredmény skalár (pontosabban pszeudoszkalár).

Geometriai jelentés: A kevert szorzat modulusa numerikusan egyenlő a vektorok által alkotott paralelepipedon térfogatával. (ABC) .

Tulajdonságok

Egy vegyes termék ferdeségszimmetrikus minden érve tekintetében: azaz e. bármely két tényező permutációja megváltoztatja a szorzat előjelét. Ebből következik, hogy a vegyes szorzat a jobb oldali derékszögű koordinátarendszerben (ortonormális alapon) egyenlő a vektorokból álló mátrix determinánsával és:

A vegyes szorzat a bal oldali derékszögű koordinátarendszerben (ortonormális alapon) egyenlő egy vektorokból álló, mínusz előjellel felvett mátrix determinánsával:

Különösen,

Ha bármely két vektor párhuzamos, akkor bármelyik harmadik vektorral nullával egyenlő vegyes szorzatot alkotnak.

Ha három vektor lineárisan függ (azaz egy síkban van egy síkban), akkor vegyes szorzatuk nulla.

Geometriai jelentés - A vegyes szorzat abszolút értékben megegyezik az és vektorok által alkotott paralelepipedon térfogatával (lásd az ábrát); az előjel attól függ, hogy ez a vektorhármas jobb vagy bal.

Vektorok komplanaritása.

Három (vagy több) vektort koplanárisnak nevezünk, ha közös origóra redukálva ugyanabban a síkban fekszenek

Összehasonlítási tulajdonságok

Ha a három vektor közül legalább az egyik nulla, akkor a három vektort is egysíkúnak tekintjük.

A kollineáris vektorpárt tartalmazó vektorok hármasa koplanáris.

Egysíkú vektorok vegyes szorzata. Ez három vektor egysíkúságának kritériuma.

A koplanáris vektorok lineárisan függenek. Ez is a koplanaritás kritériuma.

A 3 dimenziós térben 3 nem egysíkú vektor alkot bázist

Lineárisan függő és lineárisan független vektorok.

Lineárisan függő és független vektorrendszerek.Meghatározás. A vektorok rendszerét ún lineárisan függő, ha ezeknek a vektoroknak legalább egy nem triviális lineáris kombinációja van, amely egyenlő a nulla vektorral. Ellenkező esetben, pl. ha adott vektoroknak csak egy triviális lineáris kombinációja egyenlő a nullvektorral, akkor a vektorokat ún. lineárisan független.

Tétel (lineáris függőségi kritérium). Ahhoz, hogy egy lineáris térben lévő vektorrendszer lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy ezen vektorok közül legalább az egyik a többi vektor lineáris kombinációja legyen.

1) Ha a vektorok között van legalább egy nulla vektor, akkor a teljes vektorrendszer lineárisan függő.

Valóban, ha például , akkor, feltételezve, hogy van egy nemtriviális lineáris kombinációnk .▲

2) Ha a vektorok egy része lineárisan függő rendszert alkot, akkor az egész rendszer lineárisan függő.

Valóban, legyenek a , , vektorok lineárisan függőek. Ezért létezik egy nem triviális lineáris kombináció, amely egyenlő a nulla vektorral. De akkor, feltételezve , akkor a nulla vektorral egyenlő, nem triviális lineáris kombinációt is kapunk.

2. Alap és méret. Meghatározás. Lineárisan független vektorok rendszere vektorteret nevezzük alapon ez a tér, ha bármelyik vektorból ábrázolható ennek a rendszernek a vektorainak lineáris kombinációjaként, azaz. minden vektorhoz vannak valós számok úgy, hogy az egyenlőség fennáll.. Ezt az egyenlőséget úgy hívják vektorbontás az alap és a számok szerint hívott vektorkoordináták a bázishoz viszonyítva(vagy alapon) .

Tétel (a bővítés egyediségéről az alap szempontjából). Minden térvektor bővíthető a bázis szempontjából egyedi módon, pl. a bázis minden vektorának koordinátáit egyértelműen meghatározzák.

Ebben a cikkben a következőkről lesz szó:

• mik azok a kollineáris vektorok;
• milyen feltételei vannak a kollineáris vektoroknak;
• milyen tulajdonságai vannak a kollineáris vektoroknak;
• mekkora a kollineáris vektorok lineáris függése.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definíció

A kollineáris vektorok olyan vektorok, amelyek párhuzamosak ugyanazzal az egyenessel, vagy ugyanazon az egyenesen fekszenek.

1. példa

Kollineáris vektorok feltételei

Két vektor kollineáris, ha a következő feltételek bármelyike ​​teljesül:

• 1. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, ha van olyan λ szám, amelyre a = λ b ;
• 2. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, egyenlő koordinátákkal:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, feltéve, hogy a vektorszorzat és a nulla vektor egyenlő:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Megjegyzés 1

2. feltétel nem alkalmazható, ha az egyik vektorkoordináta nulla.

2. megjegyzés

3. feltétel csak azokra a vektorokra alkalmazható, amelyek a térben adottak.

Példák a vektorok kollinearitásának vizsgálatához szükséges feladatokra

1. példa

Megvizsgáljuk az a \u003d (1; 3) és b \u003d (2; 1) vektorokat a kollinearitás szempontjából.

Hogyan döntsünk?

Ebben az esetben a kollinearitás 2. feltételét kell használni. Adott vektorok esetén ez így néz ki:

Az egyenlőség rossz. Ebből arra következtethetünk, hogy az a és b vektorok nem kollineárisak.

Válasz : a | | b

2. példa

Az a = (1 ; 2) és b = (- 1 ; m) vektornak mekkora m értéke szükséges ahhoz, hogy a vektorok kollineárisak legyenek?

Hogyan döntsünk?

A második kollineáris feltételt használva a vektorok kollineárisak lesznek, ha koordinátáik arányosak:

Ez azt mutatja, hogy m = -2.

Válasz: m = -2.

A vektorrendszerek lineáris függésének és lineáris függetlenségének kritériumai

Tétel

Egy vektortérben lévő vektorrendszer csak akkor lineárisan függő, ha a rendszer egyik vektora kifejezhető a rendszer többi vektorával.

Bizonyíték

Legyen a rendszer e 1 , e 2 , . . . , e n lineárisan függő. Írjuk fel ennek a rendszernek a nulla vektorral egyenlő lineáris kombinációját:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

amelyben a kombináció együtthatóinak legalább egyike nem egyenlő nullával.

Legyen a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk egy nem nulla együtthatóval:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Jelöli:

A k - 1 a m , ahol m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Ebben az esetben:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

vagy e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Ebből következik, hogy a rendszer egyik vektorát a rendszer összes többi vektorával fejezzük ki. Amit bizonyítani kellett (p.t.d.).

Megfelelőség

Legyen az egyik vektor lineárisan kifejezve a rendszer összes többi vektorával:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Az e k vektort átvisszük ennek az egyenlőségnek a jobb oldalára:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Mivel az e k vektor együtthatója egyenlő -1 ≠ 0 , a nulla nem triviális ábrázolását kapjuk e 1 , e 2 , vektorrendszerrel. . . , e n , és ez viszont azt jelenti, hogy az adott vektorrendszer lineárisan függő. Amit bizonyítani kellett (p.t.d.).

Következmény:

• Egy vektorrendszer lineárisan független, ha egyik vektora sem fejezhető ki a rendszer összes többi vektorával.
• Egy nullvektort vagy két egyenlő vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függ.

Lineárisan függő vektorok tulajdonságai

1. A 2- és 3-dimenziós vektoroknál teljesül a feltétel: két lineárisan függő vektor kollineáris. Két kollineáris vektor lineárisan függ.
2. A 3-dimenziós vektorok esetében teljesül a feltétel: három lineárisan függő vektor egysíkú. (3 koplanáris vektor - lineárisan függő).
3. N-dimenziós vektorok esetén teljesül a feltétel: n + 1 vektor mindig lineárisan függ.

Példák vektorok lineáris függésének vagy lineáris függetlenségének problémáinak megoldására

3. példa

Ellenőrizzük az a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 vektorok lineáris függetlenségét.

Döntés. A vektorok lineárisan függőek, mivel a vektorok mérete kisebb, mint a vektorok száma.

4. példa

Ellenőrizzük az a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 vektorok lineáris függetlenségét.

Döntés. Megtaláljuk azoknak az együtthatóknak az értékeit, amelyeknél a lineáris kombináció egyenlő lesz a nulla vektorral:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

A vektoregyenletet lineáris alakban írjuk fel:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ezt a rendszert Gauss módszerrel oldjuk meg:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

A 2. sorból kivonjuk az 1.-et, a 3.-ból az 1.-et:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Vonja ki a másodikat az 1. sorból, adja hozzá a 2-at a 3-hoz:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

A megoldásból az következik, hogy a rendszernek sok megoldása van. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan x 1 , x 2 , x 3 számok értékeinek nullától eltérő kombinációja, amelyeknél az a , b , c lineáris kombináció egyenlő a nulla vektorral. Ezért az a , b , c vektorok lineárisan függő.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A vektorok rendszerét ún lineárisan függő, ha vannak olyan számok , amelyek között legalább egy nullától eltérő, akkor az egyenlőség https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Ha ez az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha mind , akkor a vektorrendszert hívjuk lineárisan független.

Tétel. A vektorok rendszere lesz lineárisan függő akkor és csak akkor, ha legalább egy vektora a többi lineáris kombinációja.

1. példa Polinom A polinomok lineáris kombinációja https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. A polinomok lineárisan független rendszert alkotnak, mivel https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2. példa A , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> mátrixrendszer lineárisan független, mivel a lineáris kombináció megegyezik a nulla mátrix csak akkor, ha https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineárisan függő.

Döntés.

Készítsen lineáris kombinációt ezekből a vektorokból https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Egyenlő vektorok azonos nevű koordinátáit megadva a következőt kapjuk: https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Végre megkapjuk

és

A rendszernek egyedi triviális megoldása van, így ezen vektorok lineáris kombinációja csak akkor nulla, ha minden együttható nulla. Ezért ez a vektorrendszer lineárisan független.

4. példa A vektorok lineárisan függetlenek. Milyenek lesznek a vektorrendszerek

a);

b).?

Döntés.

a) Készítsen lineáris kombinációt, és egyenlővé tegye nullával

A lineáris térbeli vektorokkal végzett műveletek tulajdonságait felhasználva átírjuk az utolsó egyenlőséget az alakba

Mivel a vektorok lineárisan függetlenek, az együtthatóknak nullának kell lenniük, azaz.gif" width="12" height="23 src=">

Az így kapott egyenletrendszer egyedi triviális megoldással rendelkezik .

Az egyenlőség óta (*) csak a https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> oldalon hajtható végre – lineárisan független;

b).Állítsa össze az egyenlőséget https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Hasonló érvelést alkalmazva azt kapjuk

Az egyenletrendszert Gauss-módszerrel megoldva megkapjuk

vagy

Az utolsó rendszernek végtelen számú megoldása van https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Így van egy nem- nulla együtthatóhalmaz, amelyre az egyenlőség (**) . Ezért a vektorok rendszere lineárisan függő.

5. példa A vektorrendszer lineárisan független, a vektorrendszer pedig lineárisan függő..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Egyenjogúságban (***) . Valójában a rendszer lineárisan függő lenne.

A kapcsolatból (***) kapunk vagy Jelöli .

Kap

Önálló megoldási feladatok (tantermi)

1. A nulla vektort tartalmazó rendszer lineárisan függő.

2. Egyvektoros rendszer a, akkor és csak akkor lineárisan függ, a=0.

3. Egy két vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha a vektorok arányosak (vagyis az egyiket a másikból egy számmal való szorzással kapjuk meg).

4. Ha egy vektort hozzáadunk egy lineárisan függő rendszerhez, akkor lineárisan függő rendszert kapunk.

5. Ha egy vektort eltávolítunk egy lineárisan független rendszerből, akkor a kapott vektorrendszer lineárisan független.

6. Ha a rendszer S lineárisan független, de lineárisan függővé válik, ha hozzáadunk egy vektort b, majd a vektor b lineárisan kifejezve a rendszer vektoraival S.

c). A , , mátrixrendszer a másodrendű mátrixok terében.

10. Legyen a vektorrendszer a,b,c A vektortér lineárisan független. Igazolja a következő vektorrendszerek lineáris függetlenségét:

a)a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– tetszőleges szám

c).a+b, a+c, b+c.

11. Legyen a,b,c három vektor a síkban, amelyek segítségével háromszöget lehet alkotni. Lineárisan függenek ezek a vektorok?

12. Adott két vektor a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Vegyen fel még két 4D vektort a3 ésa4 hogy a rendszer a1,a2,a3,a4 lineárisan független volt .

A vektorok lineáris függése és lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

Csokoládés kocsi áll a közönség soraiban, és ma minden látogató kap egy édes párost - analitikus geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk a magasabb matematika két szakaszát érinti egyszerre, és meglátjuk, hogyan boldogulnak egymással egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél Twixet! ... a fenébe is, vitatkozás hülyeség. Bár oké, nem pontozok, de a végén pozitív hozzáállás kellene a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, vektorok lineáris függetlensége, vektor alaponés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a "vektor" fogalma a lineáris algebra szempontjából nem mindig az a "hétköznapi" vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Illetve az időjárás vektor, amiért most a Gismeteóba mentem: - hőmérséklet és légköri nyomás, ill. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az, hogy megért definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra alkalmazhatók, de a példákat geometriailag adjuk meg. Így minden egyszerű, hozzáférhető és vizuális. Az analitikus geometria problémái mellett az algebra néhány tipikus feladatát is megvizsgáljuk. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok a bábokhozés Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegye figyelembe a számítógép asztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak van hossza és szélessége, így intuitív módon egyértelmű, hogy két vektorra van szükség az alap felépítéséhez. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A választott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes eleméhez.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el a bal kéz mutatóujja az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely a jobb kéz kisujja az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy az a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit lehet mondani a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineárisan egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol egy nem nulla szám.

Erről a műveletről láthat egy képet a leckében. Vektorok a bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjai alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilvánvalóan nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak egyedül irány, míg a síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A "lineáris", "lineáris" szavak azt jelzik, hogy a matematikai egyenletekben, kifejezésekben nincsenek négyzetek, kockák, egyéb hatványok, logaritmusok, szinuszok stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy bármilyen szög legyen közöttük, kivéve a 0 vagy a 180 fokot. Két sík vektorlineárisan nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát az alap megérkezett. Nem kell szégyenkezni, hogy az alap „ferdének” bizonyult különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármi sík vektor az egyetlen módja kibővítve az alap tekintetében:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektorformában mutatjuk be lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapon vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például elmondhatja, hogy egy vektor a sík ortonormális bázisában van kiterjesztve, vagy azt is, hogy vektorok lineáris kombinációjaként van ábrázolva.

Fogalmazzuk meg alapdefiníció formálisan: sík alapon egy lineárisan független (nem kollineáris) vektorpár, , ahol Bármi a síkvektor az alapvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényege az a tény, hogy a vektorokat vettük egy bizonyos sorrendben. bázisok Ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kéz kisujját nem lehet a jobb kéz kisujjának helyére mozgatni.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani a koordináta-rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok, és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat azokhoz a piszkos asztalpontokhoz, amelyek egy vad hétvége után maradtak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen referenciapont mindenki számára ismert pont - a koordináták eredete. A koordinátarendszer megértése:

Kezdem az "iskolai" rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok a bábokhoz Kiemeltem néhány különbséget a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Itt a standard kép:

Amikor arról beszélünk derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban az origót, a koordinátatengelyeket és a tengelyek menti léptéket jelentik. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt az a benyomásunk támad, hogy egy derékszögű koordinátarendszer jól definiálható ortonormális alapon. És majdnem az is. A megfogalmazás így hangzik:

eredet, és ortonormális alapkészlet A sík derékszögű koordinátarendszere . Azaz egy téglalap alakú koordinátarendszer egyértelműen egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fentebb adtam - a geometriai feladatokban gyakran (de nem mindig) rajzolnak vektorokat és koordinátatengelyeket is.

Szerintem ezt mindenki megérti egy pont (eredet) és egy ortonormális alap segítségével A gép BÁRMELY PONTJÁT és a repülőgép BÁRMELY VEKTORÁT koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: "a gépen minden megszámlálható".

A koordináta vektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és két tetszőleges, nullától eltérő hosszúságú ortogonális vektort:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A koordináták origója vektorokkal határozza meg a koordináta rácsot, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak megvan a maga koordinátája az adott bázison. Például, vagy. A nyilvánvaló kényelmetlenség az, hogy a koordináta vektorok általában az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek eggyel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! jegyzet : az ortogonális alapon, valamint alatta a sík és a tér affin alapjaiban a tengelyek mentén lévő egységeket kell figyelembe venni FELTÉTELES. Például az abszcissza mentén egy egység 4 cm-t, az ordináta mentén 2 cm-t tartalmaz, ez az információ elegendő ahhoz, hogy a „nem szabványos” koordinátákat szükség esetén „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

És a második kérdés, amelyre valójában már megválaszolták - az alapvektorok közötti szög szükségszerűen egyenlő 90 fokkal? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún eredet, és nem kollineáris vektorok, , készlet a sík affin koordinátarendszere :

Néha ezt a koordináta-rendszert hívják ferde rendszer. A pontok és vektorok példaként láthatók a rajzon:

Amint megérti, az affin koordináta-rendszer még kevésbé kényelmes, a vektorok és szegmensek hosszának képletei, amelyeket a lecke második részében megvizsgáltunk, nem működnek benne. Vektorok a bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens e tekintetben való felosztásának képlete, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

A következtetés az, hogy az affin koordinátarendszer legkényelmesebb esete a derékszögű téglalaprendszer. Ezért leggyakrabban őt, a sajátját kell látni. ... Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor illik egy ferde (vagy más pl. poláris) koordináta-rendszer. Igen, és a humanoidoknak az ilyen rendszerek megízlelhetik =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden feladat érvényes mind a téglalap alakú koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag elérhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elégséges, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti finomítása.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Döntés:
a) Nézze meg, létezik-e vektor arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Mindenképpen elmesélem ennek a szabálynak a „foppis” változatát, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal készítsünk arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

Vegyünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból:

Lerövidítjük:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat létrejöhet, és fordítva, ez egy egyenértékű lehetőség:

Önellenőrzéshez felhasználható az a tény, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Ebben az esetben egyenlőségek vannak . Érvényességük egyszerűen ellenőrizhető vektoros elemi műveletekkel:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Megvizsgáljuk a vektorokat a kollinearitás szempontjából . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy , ami azt jelenti, a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Következtetés: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Állítsa össze az arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból! :
, ezért ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

A véleményezők általában nem utasítják el ezt a lehetőséget, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. Mint ez: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet átdolgozni az arányt itt? (Tényleg nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa önálló megoldásra:

2. példa

A paramétervektorok milyen értékénél kollineáris lesz?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Létezik egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és ötödik pontként adjuk hozzá:

Két síkvektor esetén a következő állítások egyenértékűek:

2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok lineárisan kifejezhetők egymáson keresztül;
+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, egyenlő nullával.

Nagyon-nagyon remélem, hogy pillanatnyilag már megértette az összes felmerült kifejezést és kijelentést.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Majd mi döntünk 1. példa a második módon:

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst! :
, tehát ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst :
, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint az arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem szakaszok, egyenesek párhuzamossága is igazolható. Vegyünk néhány problémát adott geometriai alakzatokkal kapcsolatban.

3. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot építeni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzen a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Négyszöget nevezünk, amelyben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és .

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor ("iskola szerint" - egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb a döntést megfelelően, elrendezéssel meghozni. Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:
, tehát ezek a vektorok kollineárisak, és .

Következtetés: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, tehát definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég csak megjegyezni, hogyan néz ki.

Ez önálló döntési feladat. Teljes megoldás a lecke végén.

És most itt az ideje, hogy lassan kimozduljunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

a) ;
b)
ban ben)

Döntés:
a) Ellenőrizze, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáihoz:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az "egyszerűsített" az arány ellenőrzésével kerül megállapításra. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térbeli vektorok kollinearitás-ellenőrzésére és egy harmadrendű determináns segítségével, ezt a módszert a cikk tárgyalja. Vektorok keresztszorzata.

Hasonlóan a sík esethez, a vizsgált eszközökkel térbeli szegmensek és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Háromdimenziós térvektorok lineáris függése és függetlensége.
Téralap és affin koordinátarendszer

Számos szabályszerűség, amelyet a repülőgépen figyelembe vettünk, a térre is érvényes lesz. Igyekeztem minimalizálni az elmélet összefoglalását, hiszen az információ oroszlánrészét már megrágták. Ennek ellenére javaslom, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések és fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett vizsgáljuk meg a háromdimenziós teret. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem tudunk kitérni a három dimenziótól: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért három térbeli vektorra van szükség a bázis felépítéséhez. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét az ujjakon melegítünk. Kérjük, emelje fel a kezét, és tárja szét a különböző irányokba hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és különböző szögeik vannak egymás között. Gratulálunk, elkészült a háromdimenziós tér alapja! Egyébként ezt nem kell bemutatni a tanároknak, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nem tudsz kitérni =)

Ezután felteszünk egy fontos kérdést, hogy bármely három vektor képez-e egy háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg erősen három ujját a számítógép asztallapjára. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik mérést - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Megjegyzendő, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek párhuzamos síkokban is (csak ne az ujjaiddal csináld, csak Salvador Dali jött le így =)).

Meghatározás: vektorokat hívják egysíkú ha létezik olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, míg a tér bármely vektora az egyetlen módja kibővül az adott bázisban , ahol a vektor koordinátái vannak az adott bázisban

Emlékeztetőül azt is mondhatjuk, hogy egy vektort a következőképpen ábrázolunk lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordinátarendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a sík esetében, elegendő egy pont és bármely három lineárisan független vektor:

eredet, és nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács "ferde" és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordináta-rendszer lehetővé teszi, hogy egyértelműen meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan a tér affin koordinátarendszerében néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy azt mindenki kitalálhatja derékszögű tér koordinátarendszer:

nevű térbeli pont eredet, és ortonormális alapkészlet A tér derékszögű koordinátarendszere . ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismét rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Az ellenkező kijelentések szerintem érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan a determináns segítségével ellenőrzik (5. tétel). A fennmaradó gyakorlati feladatok kifejezetten algebrai jellegűek lesznek. Itt az ideje, hogy egy geometrikus botot akasztunk egy szögre, és hadonászunk egy lineáris algebra baseballütővel:

Három térvektor akkor és csak akkor egysíkúak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra hívom fel a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok számítási módszereit, vagy esetleg egyáltalán nem tájékozódtak, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e egy háromdimenziós tér alapját:

Döntés: Valójában az egész megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst (a determináns az első sorban ki van bővítve):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok képezik az alapot

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Döntés: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében egy egyenletet determinánssal kell megoldani. Nullákba repülünk, mint a sárkányok a jerboákba - a legjövedelmezőbb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket hajtunk végre, és a dolgot a legegyszerűbb lineáris egyenletre redukáljuk:

Válasz: nál nél

Itt egyszerűen ellenőrizhető, ehhez be kell cserélni a kapott értéket az eredeti determinánsba, és meg kell győződni arról, hogy újranyitásával.

Végezetül vegyünk egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra során szerepel. Annyira elterjedt, hogy külön témát érdemel:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja egy háromdimenziós tér bázisát
és keressük meg a 4. vektor koordinátáit az adott bázisban

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok a háromdimenziós tér bázisát képezik, és ebben keressük meg a vektor koordinátáit.

Döntés: Először foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és amint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Mi az alapja - minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első lépés pontosan megegyezik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:

, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncok. Ellenkező esetben zavarok lesznek a további megoldási algoritmusban.