itthon

kutak

Az alapok azonos mértékben azonosak. exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek

Előadás: "Exponenciális egyenletek megoldási módszerei."

1 . exponenciális egyenletek.

A kitevőben ismeretleneket tartalmazó egyenleteket exponenciális egyenleteknek nevezzük. Ezek közül a legegyszerűbb az ax = b egyenlet, ahol a > 0 és a ≠ 1.

1) b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) B > 0 esetén a függvény monotonitását és a gyöktételt felhasználva az egyenletnek egyetlen gyöke van. Ahhoz, hogy megtaláljuk, b-t a következőképpen kell ábrázolni: b = aс, ax = bс ó x = c vagy x = logab.

Az exponenciális egyenletek algebrai transzformációkon keresztül standard egyenletekhez vezetnek, amelyeket a következő módszerekkel lehet megoldani:

1) az egy bázisra való redukció módja;

2) értékelési módszer;

3) grafikus módszer;

4) az új változók bevezetésének módja;

5) faktorizációs módszer;

6) exponenciális - hatványegyenletek;

7) exponenciális paraméterrel.

2 . Az egy bázisra való csökkentés módja.

A módszer a fokok következő tulajdonságán alapul: ha két fok egyenlő és bázisuk egyenlő, akkor a kitevőik egyenlőek, azaz az egyenletet meg kell próbálni a formára redukálni.

Példák. Oldja meg az egyenletet:

1 . 3x=81;

Ábrázoljuk az egyenlet jobb oldalát 81 = 34 alakban, és írjuk fel az eredeti 3 x = 34 egyenletet; x = 4. Válasz: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> és menjen a 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4 kitevők egyenletéhez; x = 0,5 Válasz: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Figyeljük meg, hogy a 0,2, 0,04, √5 és 25 számok 5 hatványai. Használjuk ki ezt, és alakítsuk át az eredeti egyenletet a következőképpen:

, ahonnan 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, amiből megtaláljuk az x = -1 megoldást. Válasz: -1.

5. 3x = 5. A logaritmus definíciója szerint x = log35. Válasz: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Írjuk át az egyenletet a következőre: 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, azaz.png" width="181" height="49 src="> Innen x - 4 =0, x = 4. Válasz: négy.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. A hatványok tulajdonságait felhasználva az egyenletet e alakban írjuk fel x+1 = 2, x =1. Válasz: 1.

Feladattár 1. sz.

Oldja meg az egyenletet:

1. számú teszt.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) nincs gyökér
	1) 7;1 2) nincs gyökér 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

2. teszt

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) nincs gyökér 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Értékelési módszer.

A gyökértétel: ha az f (x) függvény növekszik (csökken) az I intervallumon, akkor az a szám bármely olyan érték, amelyet f ezen az intervallumon vesz fel, akkor az f (x) = a egyenletnek egyetlen gyöke van az I intervallumon.

Az egyenletek becslési módszerrel történő megoldása során ezt a tételt és a függvény monotonitási tulajdonságait alkalmazzuk.

Példák. Egyenletek megoldása: 1. 4x = 5 - x.

Megoldás. Írjuk át az egyenletet 4x + x = 5-re.

1. ha x \u003d 1, akkor 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 igaz, akkor 1 az egyenlet gyöke.

Az f(x) = 4x függvény növekszik R-n, és g(x) = x növekszik R-n => h(x)= f(x)+g(x) növekszik R-n a növekvő függvények összegeként, tehát x = 1 az egyetlen gyöke a 4x = 5 – x egyenletnek. Válasz: 1.

Megoldás. Átírjuk az egyenletet a formába .

1. ha x = -1, akkor , 3 = 3-igaz, tehát x = -1 az egyenlet gyöke.

2. bizonyítsd be, hogy egyedi.

3. Az f(x) = - függvény csökken R-re, és g(x) = - x - csökken R-re => h(x) = f(x) + g(x) - csökken R-re, mivel az összeg a csökkenő funkciók . Tehát a gyöktétel szerint x = -1 az egyenlet egyetlen gyöke. Válasz: -1.

Feladattár 2. sz. oldja meg az egyenletet

a) 4x + 1 = 6 - x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Új változók bevezetésének módszere.

A módszer leírása a 2.1. Egy új változó bevezetése (helyettesítés) általában az egyenlet feltételeinek átalakítása (egyszerűsítése) után történik. Vegye figyelembe a példákat.

Példák. R evés egyenlet: 1. .

Írjuk át másképp az egyenletet: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Megoldás. Írjuk át az egyenletet másképp:

Jelölje: https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nem megfelelő.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> egy irracionális egyenlet. Vegye figyelembe, hogy

Az egyenlet megoldása x = 2,5 ≤ 4, tehát 2,5 az egyenlet gyöke. Válasz: 2.5.

Megoldás. Írjuk át az egyenletet a formába, és osszuk el mindkét oldalát 56x+6 ≠ 0-val. Kapjuk az egyenletet

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, tehát..png" width="118" height="56">

A másodfokú egyenlet gyökei - t1 = 1 és t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Megoldás . Átírjuk az egyenletet a formába

és vegye figyelembe, hogy ez egy másodfokú homogén egyenlet.

Elosztjuk az egyenletet 42x-el, megkapjuk

Cserélje ki a https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> címet.

Válasz: 0; 0.5.

3. feladatbank. oldja meg az egyenletet

3. teszt választható válaszokkal. Minimális szint.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) nincs gyökér 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) nincs gyökér 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

4. teszt választható válaszokkal. Általános szint.

A1	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
А2 2x – (0,5) 2x – (0,5) x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nincs gyökér

5. A faktorizálás módja.

1. Oldja meg az egyenletet: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , honnan

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Megoldás. Vegyünk ki 6x-ot az egyenlet bal oldalán, és 2x-et a jobb oldalon. A 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x egyenletet kapjuk.

Mivel 2x >0 minden x esetén, ennek az egyenletnek mindkét oldalát eloszthatjuk 2x-el anélkül, hogy félnénk a megoldások elvesztésétől. Azt kapjuk, hogy 3x = 1ó x = 0.

Megoldás. Az egyenletet faktorálással oldjuk meg.

Kiválasztjuk a binomiális négyzetét

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 az egyenlet gyöke.

x + 1 egyenlet = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

6. teszt Általános szint.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3; 4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponenciális - hatványegyenletek.

Az exponenciális egyenletekhez csatlakoznak az úgynevezett exponenciális-hatványegyenletek, azaz az (f(x))g(x) = (f(x))h(x) alakú egyenletek.

Ha ismert, hogy f(x)>0 és f(x) ≠ 1, akkor az egyenletet az exponenciálishoz hasonlóan a g(x) = f(x) kitevők egyenlővé tételével oldjuk meg.

Ha a feltétel nem zárja ki az f(x)=0 és f(x)=1 lehetőségét, akkor ezeket az eseteket kell figyelembe vennünk az exponenciális hatványegyenlet megoldásánál.

1..png" width="182" height="116 src=">

Megoldás. x2 +2x-8 - értelme van bármely x-nek, mivel polinom, így az egyenlet ekvivalens a halmazzal

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Exponenciális egyenletek paraméterekkel.

1. A p paraméter mely értékeire van egyedi megoldása a 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) egyenletnek?

Megoldás. Vezessük be a 2x = t, t > 0 változást, ekkor az (1) egyenlet t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 alakot vesz fel. (2)

A (2) egyenlet diszkriminánsa D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Az (1) egyenletnek egyedi megoldása van, ha a (2) egyenletnek egy pozitív gyöke van. Ez a következő esetekben lehetséges.

1. Ha D = 0, azaz p = 1, akkor a (2) egyenlet t2 – 2t + 1 = 0 alakot vesz fel, tehát t = 1, ezért az (1) egyenletnek egyedi megoldása van x = 0.

2. Ha p1, akkor 9(p – 1)2 > 0, akkor a (2) egyenletnek két különböző gyökere van: t1 = p, t2 = 4p – 3. A rendszerek halmaza kielégíti a probléma feltételét

Ha t1-et és t2-t behelyettesítünk a rendszerekbe, megvan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Megoldás. Hadd akkor a (3) egyenlet t2 – 6t – a = 0 alakot vesz fel. (4)

Keressük meg az a paraméter azon értékeit, amelyekre a (4) egyenlet legalább egy gyöke teljesíti a t > 0 feltételt.

Vezessük be az f(t) = t2 – 6t – a függvényt. A következő esetek lehetségesek.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

2. eset. A (4) egyenletnek egyedi pozitív megoldása van, ha

D = 0, ha a = – 9, akkor a (4) egyenlet a következő formában lesz: (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

3. eset. A (4) egyenletnek két gyöke van, de az egyik nem teljesíti a t > 0 egyenlőtlenséget. Ez akkor lehetséges, ha

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Így a 0-nál a (4) egyenletnek egyetlen pozitív gyöke van . Ekkor a (3) egyenletnek egyedi megoldása van

A< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Ha egy< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ha a = – 9, akkor x = – 1;

ha a  0, akkor

Hasonlítsuk össze az (1) és (3) egyenlet megoldási módszereit! Figyeljük meg, hogy amikor az (1) egyenletet egy másodfokú egyenletre redukáltuk, amelynek diszkriminánsa egy teljes négyzet; így a (2) egyenlet gyökeit azonnal kiszámoltuk a másodfokú egyenlet gyökeinek képletével, majd ezekre vonatkozóan következtetéseket vontunk le. A (3) egyenletet egy (4) másodfokú egyenletre redukáltuk, amelynek diszkriminánsa nem tökéletes négyzet, ezért a (3) egyenlet megoldásánál célszerű a négyzetháromság gyökeinek elhelyezkedésére vonatkozó tételeket használni, ill. grafikus modell. Figyeljük meg, hogy a (4) egyenlet a Vieta-tétel segítségével megoldható.

Oldjunk meg bonyolultabb egyenleteket.

3. feladat Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. ODZ: x1, x2.

Vezessünk be egy cserét. Legyen 2x = t, t > 0, akkor a transzformációk eredményeként az egyenlet t2 + 2t – 13 – a = 0 alakot ölt. a (*) egyenlet kielégíti a t > 0 feltételt.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Válasz: ha a > - 13, a  11, a  5, akkor ha a - 13,

a = 11, a = 5, akkor nincsenek gyökök.

Bibliográfia.

1. Guzeev oktatástechnológia alapjai.

2. Guzeev technológia: a recepciótól a filozófiáig.

M. „Igazgató” 1996. 4. sz

3. Guzeev és az oktatás szervezeti formái.

4. Guzeev és az integrált oktatási technológia gyakorlata.

M. „Népnevelés”, 2001

5. Guzeev a lecke formáiból - szeminárium.

Matematika a 2. számú iskolában, 1987, 9-11.

6. Selevko oktatási technológiák.

M. "Népnevelés", 1998

7. Az epishevai iskolások matematikát tanulnak.

M. "Felvilágosodás", 1990

8. Ivanov leckéket - műhelyeket készíteni.

Matematika a 6. számú iskolában, 1990, p. 37-40.

9. A matematikatanítás Szmirnov-modellje.

Matematika az 1. számú iskolában, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko gyakorlati munkaszervezési módok.

Matematika az 1. számú iskolában, 1993, p. 27-28.

11. Az egyéni munka egyik fajtájáról.

Matematika a 2. számú iskolában, 1994, 63-64.

12. Az iskolások Khazankin kreatív képességei.

Matematika a 2. számú iskolában, 1989, p. tíz.

13. Scanavi. Kiadó, 1997

14. et al. Algebra és az elemzés kezdetei. Didaktikai anyagok a

15. Krivonogov feladatok matematikából.

M. "Szeptember elseje", 2002

16. Cserkasov. Kézikönyv középiskolásoknak és

bekerülni az egyetemekre. "A S T - sajtóiskola", 2002

17. Zhevnyak egyetemekre jelentkezőknek.

Minszk és RF „Review”, 1996

18. Írásbeli D. Felkészülés a matematika vizsgára. M. Rolf, 1999

19. és mások Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának megtanulása.

M. "Intellektus - Központ", 2003

20. és mások Oktatási és képzési anyagok az E G E-re való felkészüléshez.

M. "Intellektus - Központ", 2003 és 2004

21 és mások A CMM változatai. Az Orosz Föderáció Védelmi Minisztériumának Tesztelési Központja, 2002, 2003

22. Goldberg-egyenletek. "Kvantum" 3. szám, 1971

23. Volovich M. Hogyan tanítsunk sikeresen matematikát.

Matematika, 1997 3. sz.

24 Okunev a leckéért, gyerekek! M. Enlightenment, 1988

25. Yakimanskaya - orientált oktatás az iskolában.

26. Liimets dolgoznak az órán. M. Tudás, 1975

Példák:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

Hogyan oldjunk meg exponenciális egyenleteket

Bármely exponenciális egyenlet megoldása során arra törekszünk, hogy \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \ alakba hozzuk, majd áttérjünk a mutatók egyenlőségére, azaz:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

Például:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

Fontos! Ugyanebből a logikából két követelmény következik az ilyen átmenethez:
- szám be a bal és a jobb oldalnak azonosnak kell lennie;
- bal és jobb fokoknak "tisztának" kell lenniük, vagyis ne legyen semmi, szorzás, osztás stb.

Például:

Ahhoz, hogy az egyenletet $a^(f(x))=a^(g(x))$ alakra hozzuk, és használjuk.

Példa . Oldja meg a $\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$ exponenciális egyenletet
Megoldás:

$\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

Tudjuk, hogy $27 = 3^3$. Ezt figyelembe véve átalakítjuk az egyenletet.

$\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

A gyökér $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ tulajdonságával azt kapjuk, hogy $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. Továbbá a $(a^b)^c=a^(bc)\ fokozattulajdonság használatával megkapjuk a \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

Azt is tudjuk, hogy $a^b a^c=a^(b+c)$. Ezt a bal oldalra alkalmazva a következőt kapjuk: $3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)$.

$3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

Most ne feledje, hogy: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$. Ez a képlet fordítva is használható: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$. Ezután $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$.

$3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)$

A $(a^b)^c=a^(bc)$ tulajdonságot a jobb oldalra alkalmazva a következőt kapjuk: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$.

$3^(x+0,5)=3^(-2x)$

És most egyenlőek az alapok, és nincsenek zavaró együtthatók stb. Tehát meg tudjuk valósítani az átállást.

Példa . Oldja meg a $4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$ exponenciális egyenletet
Megoldás:

$4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$		Ismét az ellenkező irányban használjuk a $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ fok tulajdonságot.
$4^x4^(0,5)-5 2^x+2=0$		Most ne feledje, hogy $4=2^2$.
$(2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0$		A fokozat tulajdonságait felhasználva transzformáljuk: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.$
$2 (2^x)^2-5 2^x+2=0$		Alaposan megvizsgáljuk az egyenletet, és azt látjuk, hogy a $t=2^x$ csere itt javasolja magát.

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		Megtaláltuk azonban a $t$ értékeket, és szükségünk van a $x$ értékre. Visszatérünk az X-hez, fordított helyettesítéssel.
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		A második egyenlet átalakítása a negatív hatvány tulajdonság segítségével...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		...és megoldani a válaszig.
$x_1=1$ $x_2=-1$

Válasz : $-1; 1$.

A kérdés továbbra is fennáll - hogyan lehet megérteni, mikor melyik módszert kell alkalmazni? Tapasztalattal jön. Közben nem dolgozta ki, használja az általános ajánlást az összetett problémák megoldására - "ha nem tudja, mit tegyen, tegye meg, amit tud." Vagyis nézd meg, hogyan tudod elvileg átalakítani az egyenletet, és próbáld meg csinálni – mi van, ha kijön? A lényeg az, hogy csak matematikailag indokolt átalakításokat végezzünk.

exponenciális egyenletek megoldások nélkül

Nézzünk meg még két olyan helyzetet, amelyek gyakran megzavarják a tanulókat:
- a hatványhoz tartozó pozitív szám nulla, például $2^x=0$;
- a hatványhoz tartozó pozitív szám egyenlő egy negatív számmal, például $2^x=-4$.

Próbáljuk meg brutális erővel megoldani. Ha x egy pozitív szám, akkor az x növekedésével a teljes $2^x$ hatvány csak nő:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$.

$x=0$; $2^0=1$

Szintén elmúlt. Vannak negatív x-ek. Emlékezve a \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ tulajdonságra, ellenőrizzük:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

Annak ellenére, hogy a szám minden lépéssel kisebb lesz, soha nem éri el a nullát. Tehát a negatív fokozat sem mentett meg minket. Logikus következtetésre jutunk:

Bármely hatványhoz tartozó pozitív szám pozitív szám marad.

Így mindkét fenti egyenletnek nincs megoldása.

exponenciális egyenletek különböző alapokkal

A gyakorlatban néha léteznek olyan exponenciális egyenletek, amelyek különböző bázisúak, és amelyek nem redukálhatók egymásra, ugyanakkor ugyanazokkal a kitevőkkel. Így néznek ki: $a^(f(x))=b^(f(x))$, ahol $a$ és $b$ pozitív számok.

Például:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

Az ilyen egyenletek könnyen megoldhatók az egyenlet bármelyik részével való osztással (általában jobb oldallal, azaz \ (b ^ (f (x)) \-el) oszthatjuk így, mert egy pozitív szám tetszőleges mértékben pozitív (vagyis nem osztunk nullával.) Kapjuk:

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

Példa . Oldja meg a $5^(x+7)=3^(x+7)$ exponenciális egyenletet
Megoldás:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		Itt nem változtathatunk ötösből hármast, vagy fordítva (legalábbis használat nélkül). Tehát nem juthatunk el a $a^(f(x))=a^(g(x))\ alakhoz. Ugyanakkor a mutatók ugyanazok. Osszuk el az egyenletet a jobb oldallal, azaz \(3^(x+7)$-vel (ezt megtehetjük, mert tudjuk, hogy a hármas semmilyen fokban nem lesz nulla).
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		Most emlékezzen a $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ tulajdonságra, és használja balról az ellenkező irányba. A jobb oldalon egyszerűen csökkentjük a törtet.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		Úgy tűnt, nem lett jobb. De ne feledje a fok egy másik tulajdonságát: $a^0=1$, más szóval: "bármely szám a nulla hatványhoz egyenlő $1$". Ennek a fordítottja is igaz: "egy egység ábrázolható tetszőleges számként, amelyet nulla hatványára emelünk." Ezt úgy használjuk, hogy a jobb oldali alapot megegyezik a bal oldalival.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		Voálá! Megszabadulunk az alapoktól.
		Megírjuk a választ.

Válasz : $-7$.

A kitevők "azonossága" néha nem nyilvánvaló, de a fok tulajdonságainak ügyes felhasználása megoldja ezt a kérdést.

Példa . Oldja meg a $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$ exponenciális egyenletet
Megoldás:

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Az egyenlet elég szomorúan néz ki... Nemhogy az alapokat nem lehet ugyanannyira redukálni (hét nem lesz egyenlő $\frac(1)(3)$), hanem a mutatók is mások... Használjuk azonban a bal oldali kitevő kettesét.
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		A $(a^b)^c=a^(b c)$ tulajdonság szem előtt tartásával alakítsa át a bal oldalon: $7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Emlékezve a $a^(-n)=\frac(1)(a)^n\ negatív hatvány tulajdonságra, a jobb oldalon transzformáljuk: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		Alleluja! A pontszámok ugyanazok! A számunkra már ismert séma szerint eljárva a válasz előtt döntünk.

Válasz : $2$.

Felszerelés:

egy számítógép,
multimédiás projektor,
képernyő,
1. melléklet(diabemutató PowerPointban) „Módszerek exponenciális egyenletek megoldására”
2. melléklet(Olyan egyenlet megoldása, mint a „Három különböző fokszámalap” a Wordben)
3. függelék(gyakorlati munkához Word nyelvű szóróanyag).
4. függelék(szóbeli szóróanyag házi feladathoz).

Az órák alatt

1. Szervezési szakasz

az óra témájának üzenete (táblára írva),
általánosító óra szükségessége a 10-11. osztályban:

A tanulók felkészítésének szakasza a tudás aktív asszimilációjára

Ismétlés

Meghatározás.

Az exponenciális egyenlet olyan egyenlet, amely változót tartalmaz a kitevőben (a tanuló válaszol).

Tanári megjegyzés. Az exponenciális egyenletek a transzcendentális egyenletek osztályába tartoznak. Ez a nehezen kiejthető név azt sugallja, hogy az ilyen egyenletek általában nem oldhatók meg képletek formájában.

Számítógépeken csak megközelítőleg numerikus módszerekkel oldhatók meg. De mi a helyzet a vizsgakérdésekkel? Az egész trükk az, hogy a vizsgáztató úgy fogalmazza meg a problémát, hogy az csak egy analitikus megoldást fogadjon el. Más szóval, lehet (és kell is!) olyan azonos transzformációkat végezni, amelyek az adott exponenciális egyenletet a legegyszerűbb exponenciális egyenletre redukálják. Ez a legegyszerűbb egyenlet, és az úgynevezett: a legegyszerűbb exponenciális egyenlet. Meg van oldva logaritmus.

Az exponenciális egyenlet megoldásával kapcsolatos helyzet egy útvesztőben való utazáshoz hasonlít, amelyet kifejezetten a feladat összeállítója talált ki. Ezekből a nagyon általános megfontolásokból egészen konkrét ajánlások következnek.

Az exponenciális egyenletek sikeres megoldásához a következőket kell tennie:

1. Nemcsak aktívan ismeri az összes exponenciális azonosságot, hanem meg is találja azoknak a változóknak az értékkészleteit, amelyeken ezek az azonosságok definiálva vannak, hogy az azonosságok használatakor ne szerezzen felesleges gyökereket, és még inkább ne veszítse el az egyenlet megoldásai.

2. Aktívan ismerje az összes exponenciális azonosságot.

3. Nyilvánvalóan, részletesen és hibamentesen hajtsa végre az egyenletek matematikai transzformációit (az egyenlet egyik részéből a másikba helyezze át a tagokat, ne felejtse el megváltoztatni az előjelet, csökkentse a törtet közös nevezőre stb.). Ezt nevezik matematikai kultúrának. Ugyanakkor magukat a számításokat automatikusan kézzel kell elvégezni, és a fejnek gondolnia kell a megoldás általános vezérfonalára. Az átalakításokat a lehető leggondosabban és legrészletesebben kell elvégezni. Csak ez garantálja a helyes, hibamentes megoldást. És ne feledd: egy kis számtani hiba egyszerűen létrehozhat egy transzcendentális egyenletet, amelyet elvileg nem lehet analitikusan megoldani. Kiderül, hogy eltévedtél, és belerohantál a labirintus falába.

4. Ismerje a problémák megoldásának módszereit (vagyis ismerje a megoldás labirintusán átvezető összes utat). A helyes tájékozódáshoz minden szakaszban (tudatosan vagy intuitívan!):

meghatározni egyenlet típusa;
emlékezzen a megfelelő típusra megoldási módszer feladatokat.

A vizsgált anyag általánosításának és rendszerezésének szakasza.

A tanár a tanulókkal együtt számítógép segítségével áttekintő megismétlést hajt végre mindenféle exponenciális egyenletről és megoldási módszerről, és általános sémát készít. (L. Ya. Borevsky "Matematika kurzus - 2000" oktató számítógépes programját használják, a PowerPoint bemutató szerzője T. N. Kuptsova.)

Rizs. egy. Az ábra az összes típusú exponenciális egyenlet általános sémáját mutatja.

Amint az ebből a diagramból látható, az exponenciális egyenletek megoldásának stratégiája az, hogy ezt az exponenciális egyenletet először az egyenletre redukáljuk, ugyanazokkal az alapokkal , majd - és ugyanazokkal a kitevőkkel.

Miután kapott egy egyenletet ugyanazokkal az alapokkal és kitevőkkel, lecseréli ezt a fokot egy új változóra, és kap egy egyszerű algebrai egyenletet (általában tört racionális vagy másodfokú) ehhez az új változóhoz.

Ennek az egyenletnek a megoldásával és inverz behelyettesítésével egyszerű exponenciális egyenleteket kapunk, amelyeket általánosan, logaritmusokkal oldunk meg.

Különálló egyenletek, amelyekben csak a (magán)hatalom szorzatai fordulnak elő. Az exponenciális azonosságok segítségével ezeket az egyenleteket azonnal egy bázisra lehet hozni, különösen a legegyszerűbb exponenciális egyenletre.

Tekintsük, hogyan oldható meg egy három különböző fokszámú exponenciális egyenlet.

(Ha a tanárnak van L. Ya. Borevsky "Matematika kurzusa - 2000" oktatói számítógépes programja, akkor természetesen a lemezzel dolgozunk, ha nem, akkor kinyomtathatja az ilyen típusú egyenleteket minden asztalra, alább bemutatva .)

Rizs. 2. Egyenlet megoldási terv.

Rizs. 3. Az egyenlet megoldásának megkezdése

Rizs. négy. Az egyenlet megoldásának vége.

Gyakorlati munkavégzés

Határozza meg az egyenlet típusát és oldja meg!

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Összegezve a tanulságot

Leckét értékelni.

lecke vége

A tanárnak

A gyakorlati munka válaszainak vázlata.

Gyakorlat: az egyenletlistából válassza ki a megadott típusú egyenleteket (a válasz számát írja be a táblázatba):

Három különböző alap
Két különböző bázis – különböző kitevők
Hatványok alapjai - egy szám hatványai
Ugyanazok az alapok, különböző kitevők
Ugyanazok a kitevőbázisok - ugyanazok a kitevők
Az erők szorzata
Két különböző fokozati alap – ugyanazok a mutatók
A legegyszerűbb exponenciális egyenletek

1. (hatalmak szorzata)

2. (azonos alapok - különböző kitevők)

Ez a lecke azoknak szól, akik most kezdik megtanulni az exponenciális egyenleteket. Mint mindig, kezdjük egy meghatározással és egyszerű példákkal.

Ha ezt a leckét olvasod, akkor gyanítom, hogy már legalább minimálisan értesz a legegyszerűbb egyenletekhez - lineáris és négyzet: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ stb. Az ilyen konstrukciók megoldása feltétlenül szükséges, hogy ne „lógjunk bele” a most tárgyalandó témába.

Tehát exponenciális egyenletek. Hadd mondjak néhány példát:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Némelyikük bonyolultabbnak tűnhet az Ön számára, néhányuk éppen ellenkezőleg, túl egyszerű. De mindegyiket egy fontos tulajdonság egyesíti: $f\left(x \right)=((a)^(x))$ exponenciális függvényt tartalmaznak. Így bevezetjük a definíciót:

Exponenciális egyenlet minden olyan egyenlet, amely exponenciális függvényt tartalmaz, pl. $((a)^(x))$ formájú kifejezés. A megadott függvényen kívül az ilyen egyenletek bármilyen más algebrai konstrukciót is tartalmazhatnak - polinomokat, gyököket, trigonometriát, logaritmusokat stb.

Rendben, akkor. Megértette a definíciót. A kérdés most az: hogyan lehet megoldani ezt a sok baromságot? A válasz egyszerre egyszerű és összetett.

Kezdjük a jó hírrel: sok diákkal szerzett tapasztalataim alapján elmondhatom, hogy legtöbbjük számára az exponenciális egyenletek sokkal könnyebbek, mint az azonos logaritmusok, és még inkább a trigonometria.

De van rossz hír is: időnként a mindenféle tankönyvek és vizsgák feladat-összeállítóit meglátogatja az „ihlet”, és a kábítószer-gyulladt agyuk olyan brutális egyenleteket kezd produkálni, hogy nem csak a diákok számára válik problémássá azok megoldása - még sok tanár is elakad az ilyen problémákon.

Szomorú dolgokról azonban ne beszéljünk. És térjünk vissza ahhoz a három egyenlethez, amelyeket a történet legelején adtunk meg. Próbáljuk meg mindegyiket megoldani.

Első egyenlet: $((2)^(x))=4$. Nos, milyen hatványra kell emelni a 2-es számot, hogy megkapjuk a 4-et? Talán a második? Végül is $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — és megkaptuk a helyes numerikus egyenlőséget, azaz. valóban $x=2$. Nos, köszi, sapka, de ez az egyenlet olyan egyszerű volt, hogy még a macskám is meg tudta oldani. :)

Nézzük a következő egyenletet:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

De itt egy kicsit nehezebb. Sok diák tudja, hogy $((5)^(2))=25$ a szorzótábla. Egyesek azt is gyanítják, hogy a $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ lényegében a negatív kitevő definíciója (hasonlóan a $((a)^(-n))= \ képlethez frac(1)(((a)^(n)))$).

Végül csak néhány kiválasztott sejti, hogy ezek a tények kombinálhatók, és az eredmény a következő:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Így az eredeti egyenletünket a következőképpen írjuk át:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Jobbra ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

És most ez már teljesen megoldódott! Az egyenlet bal oldalán van egy exponenciális függvény, az egyenlet jobb oldalán egy exponenciális függvény, rajtuk kívül máshol nincs más. Ezért lehetséges az alapok „eldobása”, és a mutatók ostobán egyenlővé tétele:

Megkaptuk a legegyszerűbb lineáris egyenletet, amelyet bármely tanuló meg tud oldani néhány sorban. Oké, négy sorban:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(igazítás)\]

Ha nem érti, mi történt az utolsó négy sorban, feltétlenül térjen vissza a „lineáris egyenletek” témához, és ismételje meg. Mert a téma egyértelmű asszimilációja nélkül még korai lenne exponenciális egyenleteket felvállalni.

\[((9)^(x))=-3\]

Nos, hogyan döntesz? Első gondolat: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tehát az eredeti egyenlet így átírható:

\[((\left(((3)^(2)) \jobbra))^(x))=-3\]

Aztán felidézzük, hogy a fokozat hatványra emelésekor a mutatók megszorozódnak:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Jobbra ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

És egy ilyen döntésért becsületesen megérdemelt kettőst kapunk. Mi ugyanis egy Pokémon egyenrangúságával a mínusz jelet a három elé küldtük ennek a háromnak a erejéig. És ezt nem teheted. És ezért. Vessen egy pillantást a hármas különböző képességeire:

\[\begin(mátrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(mátrix)\]

Ezt a táblát összeállítva nem perverzek el azonnal: figyelembe vettem a pozitív fokokat, a negatívokat, sőt a törteket is... nos, hol van itt legalább egy negatív szám? Ő nem! És nem is lehet, mert a $y=((a)^(x))$ exponenciális függvény először is mindig csak pozitív értékeket vesz fel (nem számít, mennyivel szorzol egyet vagy osztasz kettővel, akkor is pozitív szám), másodszor pedig egy ilyen függvény alapja, az $a$ szám definíció szerint pozitív szám!

Nos, akkor hogyan kell megoldani a $((9)^(x))=-3$ egyenletet? Nem, nincsenek gyökerek. És ebben az értelemben az exponenciális egyenletek nagyon hasonlítanak a másodfokú egyenletekhez - előfordulhat, hogy nincsenek gyökök. De ha a másodfokú egyenletekben a gyökök számát a diszkrimináns határozza meg (a diszkrimináns pozitív - 2 gyök, negatív - nincs gyök), akkor az exponenciális egyenletekben minden attól függ, hogy mi van az egyenlőségjeltől jobbra.

Így megfogalmazzuk a legfontosabb következtetést: a $((a)^(x))=b$ formájú legegyszerűbb exponenciális egyenletnek akkor és csak akkor van gyöke, ha $b>0$. Ennek az egyszerű ténynek a ismeretében könnyen megállapíthatja, hogy az Ön számára javasolt egyenletnek vannak-e gyökerei vagy sem. Azok. megéri egyáltalán megoldani, vagy azonnal írd le, hogy nincsenek gyökerek.

Ez a tudás sokszor segítségünkre lesz, amikor összetettebb problémákat kell megoldanunk. Addig is elég dalszöveg - ideje tanulmányozni az exponenciális egyenletek megoldásának alapvető algoritmusát.

Hogyan oldjunk meg exponenciális egyenleteket

Tehát fogalmazzuk meg a problémát. Meg kell oldani az exponenciális egyenletet:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

A korábban általunk használt "naiv" algoritmus szerint a $b$ számot az $a$ szám hatványaként kell ábrázolni:

Ezen kívül, ha a $x$ változó helyett van valamilyen kifejezés, akkor egy új egyenletet kapunk, ami már megoldható. Például:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Jobbra ((2)^(x))=((2)^(3))\Jobbra x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Jobbra ((3)^(-x))=((3)^(4))\Jobbra -x=4\Jobbra x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Jobbra 2x=3\Jobbra x=\frac(3)( 2). \\\vége(igazítás)\]

És furcsa módon ez a rendszer az esetek körülbelül 90% -ában működik. Akkor mi lesz a többi 10%-kal? A fennmaradó 10% enyhén "skizofrén" exponenciális egyenletek a következő formában:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Mekkora teljesítményre kell emelned 2-t, hogy 3-at kapj? Az elsőben? De nem: $((2)^(1))=2$ nem elég. A másodikban? Egyik sem: $((2)^(2))=4$ túl sok. Akkor mit?

A hozzáértő hallgatók valószínűleg már sejtették: ilyen esetekben, amikor nem lehet „szépen” megoldani, „nehéztüzérség” kapcsolódik az esethez - logaritmus. Hadd emlékeztesselek arra, hogy logaritmusokkal bármely pozitív szám ábrázolható bármely más pozitív szám hatványaként (egy kivételével):

Emlékszel erre a képletre? Amikor a tanítványaimnak beszélek a logaritmusokról, mindig figyelmeztetlek: ez a képlet (egyben a logaritmus alapazonossága, vagy ha úgy tetszik, a logaritmus definíciója is) nagyon sokáig fog kísérteni és a legtöbbször „felbukkanni”. váratlan helyekre. Nos, felbukkant. Nézzük meg az egyenletünket és ezt a képletet:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(igazítás) \]

Ha feltételezzük, hogy $a=3$ az eredeti számunk a jobb oldalon, és $b=2$ az alapja annak az exponenciális függvénynek, amelyre annyira szeretnénk redukálni a jobb oldalt, akkor a következőket kapjuk:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Jobbra 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Jobbra ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Jobbra x=( (\log )_(2))3. \\\vége(igazítás)\]

Kicsit furcsa választ kaptunk: $x=((\log )_(2))3$. Valamilyen más feladatban egy ilyen válasszal sokan kételkednének, és elkezdenék kétszeresen ellenőrizni a megoldásukat: mi van, ha valahol hiba van? Sietek a kedvedre tenni: itt nincs hiba, és az exponenciális egyenletek gyökerében lévő logaritmusok meglehetősen tipikus helyzetek. Szóval szokj hozzá. :)

Most analógiával oldjuk meg a fennmaradó két egyenletet:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Jobbra ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Jobbra x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Jobbra ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Jobbra 2x=( (\log )_(4))11\Jobbra x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\vége(igazítás)\]

Ez minden! Egyébként az utolsó válasz másképp is írható:

Mi vezettük be a szorzót a logaritmus argumentumába. De senki sem akadályozza meg, hogy ezt a tényezőt hozzáadjuk az alaphoz:

Sőt, mindhárom lehetőség helyes – csak ugyanazon szám írásának különböző formái. Ön dönti el, hogy melyiket választja, és írja le ebbe a döntésbe.

Így megtanultunk bármilyen $((a)^(x))=b$ alakú exponenciális egyenletet megoldani, ahol az $a$ és $b$ számok szigorúan pozitívak. Világunk rideg valósága azonban az, hogy ilyen egyszerű feladatokkal nagyon-nagyon ritkán találkozunk. Gyakrabban találkozhat ilyesmivel:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\vége(igazítás)\]

Nos, hogyan döntesz? Megoldható ez egyáltalán? És ha igen, hogyan?

Nincs pánik. Mindezek az egyenletek gyorsan és egyszerűen redukálódnak azokra az egyszerű képletekre, amelyeket már megvizsgáltunk. Csak tudnia kell, hogy emlékezzen néhány trükkre az algebra tanfolyamból. És természetesen itt nincsenek szabályok a diplomákkal való munkavégzésre. Most minderről beszélek. :)

Exponenciális egyenletek transzformációja

Először is emlékezni kell arra, hogy bármilyen exponenciális egyenletet, bármilyen bonyolult is legyen, így vagy úgy, a legegyszerűbb egyenletekre kell redukálni - azokra, amelyeket már megvizsgáltunk, és amelyek megoldását tudjuk. Más szavakkal, az exponenciális egyenlet megoldásának sémája így néz ki:

Írd fel az eredeti egyenletet! Például: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Csinálj valami hülyeséget. Vagy akár valami "transform the egyenlet" nevű baromság;
A kimenetben kapja meg a legegyszerűbb kifejezéseket, például $((4)^(x))=4$ vagy valami hasonlót. Ráadásul egy kezdeti egyenlet egyszerre több ilyen kifejezést is adhat.

Az első ponttal minden világos – még a macskám is fel tudja írni az egyenletet egy levélre. A harmadik pontnál is, úgy tűnik, többé-kevésbé egyértelmű - fentebb már egy csomó ilyen egyenletet megoldottunk.

De mi a helyzet a második ponttal? Mik az átalakulások? Mit kell átalakítani mivé? És hogyan?

Nos, találjuk ki. Mindenekelőtt a következőkre szeretném felhívni a figyelmet. Minden exponenciális egyenlet két típusra oszlik:

Az egyenlet azonos bázisú exponenciális függvényekből áll. Példa: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
A képlet különböző alapú exponenciális függvényeket tartalmaz. Példák: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ és $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Kezdjük az első típusú egyenletekkel – ezeket a legkönnyebb megoldani. Megoldásukban pedig segítségünkre lesz egy olyan technika, mint a stabil kifejezések kiválasztása.

Stabil kifejezés kiemelése

Nézzük meg még egyszer ezt az egyenletet:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Mit látunk? A négy különböző mértékben van emelve. De mindezek a hatványok a $x$ változó egyszerű összegei más számokkal. Ezért emlékezni kell a diplomákkal való munka szabályaira:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\vége(igazítás)\]

Egyszerűen fogalmazva, a kitevők összeadása hatványok szorzatává, a kivonás pedig könnyen osztássá alakítható. Próbáljuk meg alkalmazni ezeket a képleteket az egyenletünkből származó hatványokra:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\vége(igazítás)\]

Ezt a tényt figyelembe véve átírjuk az eredeti egyenletet, majd a bal oldalon összegyűjtjük az összes kifejezést:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -tizenegy; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\vége(igazítás)\]

Az első négy kifejezés tartalmazza a $((4)^(x))$ elemet – vegyük ki a zárójelből:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\vége(igazítás)\]

Marad az egyenlet mindkét részét elosztani a $-\frac(11)(4)$ törttel, azaz. lényegében megszorozzuk a fordított törttel - $-\frac(4)(11)$. Kapunk:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \jobbra); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\vége(igazítás)\]

Ez minden! Az eredeti egyenletet a legegyszerűbbre redukáltuk, és megkaptuk a végső választ.

Ugyanakkor a megoldás során felfedeztük (sőt ki is vettük a zárójelből) a $((4)^(x))$ közös tényezőt - ez a stabil kifejezés. Kijelölhető új változóként, vagy egyszerűen csak pontosan kifejezheti és választ kaphat. Mindenesetre a megoldás alapelve a következő:

Keressen az eredeti egyenletben egy olyan stabil kifejezést, amely olyan változót tartalmaz, amely könnyen megkülönböztethető az összes exponenciális függvénytől.

A jó hír az, hogy szinte minden exponenciális egyenlet enged ilyen stabil kifejezést.

De van egy rossz hír is: az ilyen kifejezések nagyon trükkösek lehetnek, és meglehetősen nehéz megkülönböztetni őket. Tehát nézzünk egy másik problémát:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Talán valakinek most lesz kérdése: „Pasa, megköveztek? Itt vannak különböző alapok - 5 és 0,2. De próbáljunk meg egy hatványt 0.2-es alapszámmal átalakítani. Például megszabaduljunk a tizedes törttől, és hozzuk a szokásosra:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \jobbra))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Mint látható, az 5-ös szám még mindig megjelent, igaz, a nevezőben. Ezzel egyidejűleg a mutatót negatívra írták át. És most felidézzük a diplomákkal való munka egyik legfontosabb szabályát:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Itt persze csaltam egy kicsit. Mert a teljes megértéshez a negatív mutatók megszabadulásának képletét a következőképpen kellett megírni:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Jobbra ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ jobb))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Másrészt semmi sem akadályozta meg, hogy csak egy törttel dolgozzunk:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ jobb))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

De ebben az esetben egy fokozatot más fokozatra kell tudni emelni (emlékeztem: ebben az esetben a mutatók összeadódnak). De nem kellett „fordítanom” a törteket - talán valakinek könnyebb lesz. :)

Mindenesetre az eredeti exponenciális egyenlet a következőképpen lesz átírva:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\vége(igazítás)\]

Kiderült tehát, hogy az eredeti egyenletet még könnyebb megoldani, mint a korábban megfontolt: itt még csak stabil kifejezést sem kell kiemelni - minden önmagában redukálódott. Csak emlékezni kell arra, hogy $1=((5)^(0))$, ahonnan kapjuk:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\vége(igazítás)\]

Ez az egész megoldás! Megkaptuk a végső választ: $x=-2$. Ugyanakkor szeretnék megjegyezni egy trükköt, amely nagyban leegyszerűsítette számunkra az összes számítást:

Az exponenciális egyenletekben feltétlenül szabaduljon meg a tizedes törtektől, fordítsa le őket hétköznapira. Ez lehetővé teszi, hogy ugyanazokat a fokokat lássa, és jelentősen leegyszerűsíti a megoldást.

Most térjünk át az összetettebb egyenletekre, amelyekben különböző bázisok vannak, amelyek általában nem redukálhatók egymásra hatványokkal.

A kitevő tulajdonság használata

Hadd emlékeztesselek arra, hogy két különösen kemény egyenletünk van:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\vége(igazítás)\]

A fő nehézség itt az, hogy nem világos, mire és milyen alapra kell vezetni. Hol vannak a rögzített kifejezések? Hol vannak a közös alapok? Ilyen nincs.

De próbáljunk meg más irányba menni. Ha nincsenek kész azonos alapok, akkor megpróbálhatja megtalálni azokat a rendelkezésre álló alapok faktorálásával.

Kezdjük az első egyenlettel:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\vége(igazítás)\]

De végül is megteheti az ellenkezőjét is - állítsa össze a 21-es számot a 7-es és a 3-as számokból. Ezt különösen könnyű megtenni a bal oldalon, mivel mindkét fokozat mutatója megegyezik:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\vége(igazítás)\]

Ez minden! Kivetted a kitevőt a szorzatból, és rögtön egy gyönyörű egyenletet kaptál, ami pár sorban megoldható.

Most foglalkozzunk a második egyenlettel. Itt minden sokkal bonyolultabb:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Ebben az esetben a törtek redukálhatatlannak bizonyultak, de ha valami csökkenthető, mindenképpen csökkentse. Ez gyakran olyan érdekes alapokat eredményez, amelyekkel már dolgozhat.

Sajnos nem jutottunk semmire. De azt látjuk, hogy a szorzat bal oldali kitevői ellentétesek:

Hadd emlékeztesselek: ahhoz, hogy megszabaduljon a mínusz jeltől a kitevőben, csak meg kell „fordítania” a törtet. Tehát írjuk át az eredeti egyenletet:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\vége(igazítás)\]

A második sorban csak zárójelbe tettük a termék végösszegét a $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) szabály szerint ))^ (x))$, és az utóbbiban egyszerűen megszorozták a 100-at egy törttel.

Most vegye figyelembe, hogy a bal (az alapon) és a jobb oldalon lévő számok némileg hasonlóak. Hogyan? Igen, nyilvánvalóan: azonos számú hatványokról van szó! Nekünk van:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \jobbra))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \jobbra))^(2)). \\\vége(igazítás)\]

Így az egyenletünket a következőképpen írjuk át:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \jobbra))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \jobbra))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \jobbra))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \jobbra))^(3\left(x-1 \jobbra)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Ugyanakkor a jobb oldalon ugyanazzal az alappal diplomát is szerezhet, amelyhez elég csak a tört „fordítása”:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Végül az egyenletünk a következő formában lesz:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\vége(igazítás)\]

Ez az egész megoldás. A fő gondolata abban rejlik, hogy még különböző talajokkal is megpróbáljuk ezeket az alapokat egyformára redukálni. Ebben segítségünkre vannak az egyenletek elemi transzformációi és a hatványokkal való munka szabályai.

De milyen szabályokat és mikor kell használni? Hogyan lehet megérteni, hogy az egyik egyenletben mindkét oldalt el kell osztani valamivel, a másikban pedig az exponenciális függvény alapját kell faktorizálni?

Erre a kérdésre a válasz a tapasztalattal fog érkezni. Próbálja ki először az egyszerű egyenleteket, majd fokozatosan bonyolítsa a feladatokat - és hamarosan képességei elegendőek lesznek bármilyen exponenciális egyenlet megoldásához ugyanazon USE-ból vagy bármilyen független / tesztmunkából.

És hogy segítsünk ebben a nehéz feladatban, azt javaslom, hogy töltsön le egy egyenletkészletet a webhelyemről egy független megoldáshoz. Minden egyenletnek van válasza, így mindig ellenőrizheti magát.

Oldalunk youtube csatornájára, hogy értesüljön minden új videóleckéről.

Először idézzük fel a fokozatok alapvető képleteit és tulajdonságait.

Egy szám szorzata a n-szer történik önmagán, ezt a kifejezést a a … a=a n alakban írhatjuk fel

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Hatvány- vagy exponenciális egyenletek- ezek olyan egyenletek, amelyekben a változók hatványban (vagy kitevőben) vannak, és az alap egy szám.

Példák exponenciális egyenletekre:

Ebben a példában a 6-os szám az alap, mindig alul van, és a változó x fok vagy mérték.

Adjunk még példákat az exponenciális egyenletekre.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Most nézzük meg, hogyan oldják meg az exponenciális egyenleteket?

Vegyünk egy egyszerű egyenletet:

2 x = 2 3

Egy ilyen példa még fejben is megoldható. Látható, hogy x=3. Végül is, ahhoz, hogy a bal és a jobb oldal egyenlő legyen, x helyett 3-as számot kell tennie.
Most pedig nézzük meg, hogyan kell ezt a döntést meghozni:

2 x = 2 3
x = 3

Az egyenlet megoldásához eltávolítottuk ugyanazon az alapon(vagyis kettesek) és felírta, ami maradt, ezek fokozatok. Megkaptuk a választ, amit kerestünk.

Most foglaljuk össze a megoldásunkat.

Algoritmus az exponenciális egyenlet megoldására:
1. Ellenőrizni kell ugyanaz hogy a jobb és a bal oldali egyenlet alapjai. Ha az indokok nem ugyanazok, akkor keressük a megoldási lehetőségeket ennek a példának a megoldására.
2. Miután az alapok ugyanazok, egyenlővé tenni fokot, és oldja meg a kapott új egyenletet.

Most oldjunk meg néhány példát:

Kezdjük egyszerűen.

A bal és a jobb oldalon lévő alapok egyenlőek a 2-es számmal, ami azt jelenti, hogy eldobhatjuk az alapot, és egyenlőségjelet hozhatunk a fokaikba.

x+2=4 Kiderült a legegyszerűbb egyenlet.
x=4-2
x=2
Válasz: x=2

A következő példában láthatja, hogy az alapok különböznek, ezek a 3 és a 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Először is áthelyezzük a kilencet a jobb oldalra, így kapjuk:

Most ugyanazokat az alapokat kell elkészítenie. Tudjuk, hogy 9=3 2 . Használjuk az (a n) m = a nm hatványképletet.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 most már világos, hogy a bal és a jobb oldalon lévő alapok azonosak, és egyenlők hárommal, ami azt jelenti, hogy eldobhatjuk őket, és egyenlővé tesszük a fokokat.

3x=2x+16 kapta a legegyszerűbb egyenletet
3x-2x=16
x=16
Válasz: x=16.

Nézzük a következő példát:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Először is nézzük meg az alapokat, az alapok különböznek kettős és négyes. És egyformának kell lennünk. A négyesét az (a n) képlet szerint alakítjuk át m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

És egy képletet is használunk: a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adjuk hozzá az egyenlethez:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ugyanezen okokból adtunk példát. De más 10-es és 24-es számok zavarnak bennünket.Mit kezdjünk velük? Ha alaposan megnézed, láthatod, hogy a bal oldalon 2x 2x ismételjük, itt a válasz - 2 2x-et tehetünk zárójelből:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Számítsuk ki a zárójelben lévő kifejezést:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

A teljes egyenletet elosztjuk 6-tal:

Képzeld el, hogy 4=22:

2 2x \u003d 2 2 alap megegyezik, dobja el őket, és tegye egyenlővé a fokokat.
A 2x \u003d 2 a legegyszerűbb egyenletnek bizonyult. Elosztjuk 2-vel, kapjuk
x = 1
Válasz: x = 1.

Oldjuk meg az egyenletet:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Alakítsuk át:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kapjuk az egyenletet:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Az alapjaink azonosak, egyenlők hárommal.Ebben a példában jól látható, hogy az első hármasnak kétszerese (2x) foka van, mint a másodiknak (csak x). Ebben az esetben dönthet helyettesítési módszer. A legkisebb fokozatú szám helyébe a következő lép:

Ezután 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

A t egyenletben az összes fokot x-re cseréljük:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Másodfokú egyenletet kapunk. A diszkrimináns segítségével megoldjuk, így kapjuk:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Vissza a változóhoz x.

t 1-et vesszük:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

vagyis

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Egy gyökér található. A másodikat keressük, t 2-től:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Válasz: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Az oldalon a SEGÍTSÉGDÖNTÉS menüpontban felteheti érdeklődését, mi biztosan válaszolunk.

Csatlakozz egy csoporthoz

szakaszok