Egyenpotenciálfelületek és elektrosztatikus erővonalak.

Szeretném megjeleníteni az elektrosztatikus mezőt. A skaláris potenciál mezője geometriailag gyűjteményként ábrázolható ekvipotenciális felületek ( lapos esetben - vonalak), vagy sík felületek, ahogy a matematikusok nevezik:

Minden ilyen felületre a következő feltétel teljesül (definíció szerint!):

(*)

Ezt a feltételt a megfelelő jelöléssel ábrázoljuk:

Itt a vizsgált felülethez tartozik, a vektor merőleges a felület elemére (a nullától eltérő vektorok skaláris szorzata pontosan ebben a feltételben egyenlő nullával). Lehetőségünk van a vizsgált felületelem egységnyi normálvektorának meghatározására:

Visszatérve a fizikához, arra a következtetésre jutunk az elektrosztatikus térerősség vektor merőleges ennek a mezőnek az ekvipotenciális felületére!

A "skaláris mező gradiens" fogalmának matematikai tartalma:

A vektor iránya az az irány, amelyben a függvény a leggyorsabban növekszik;

Ez a függvény hosszegységenkénti növekménye a maximális növekedés irányában.

Hogyan építsünk potenciálkiegyenlítő felületet?

Hagyja, hogy a (*) egyenlettel megadott ekvipotenciálfelület áthaladjon egy térbeli ponton, melynek koordinátái ( x,y,z). Állítsunk be például két koordináta tetszőlegesen kis elmozdulását x=>x+dxés y=>y+dy. A (*) egyenletből meghatározzuk a szükséges eltolást dz, úgy, hogy a végpont a figyelembe vett ekvipotenciális felületen maradjon. Ily módon "eljuthat" a felület kívánt pontjára.

A vektormező erővonala.

Meghatározás. Az erővonal érintője irányában egybeesik a figyelembe vett vektormezőt meghatározó vektorral.

A vektor és a vektor azonos irányú (tehát egymással párhuzamos) ha

Koordináta jelölésben a következőket kapjuk:

Könnyen belátható, hogy az összefüggések érvényesek:

Ugyanerre az eredményre juthatunk, ha felírjuk két vektor párhuzamossági feltételét a keresztszorzatuk segítségével:

Tehát van egy vektormezőnk. Tekintsük az elemi vektort mint a vektormező mezővonalának eleme.

A mezővonal definíciója szerint a következő összefüggéseknek kell teljesülniük:

(**)

Így néznek ki egy térvonal differenciálegyenletei. Ennek az egyenletrendszernek nagyon ritka esetekben (ponttöltés mezeje, állandó mező stb.) lehetséges analitikus megoldása. De nem nehéz grafikusan megrajzolni az erővonalak családját.

Hagyja, hogy az erővonal áthaladjon a koordinátákkal rendelkező ponton ( x,y,z). A feszültségvektor koordinátairányokra vetített értékei ezen a ponton ismertek számunkra. Tetszőlegesen kis keverést választunk, pl. x=>x+dx. A (**) egyenletek alapján meghatározzuk a szükséges elmozdulásokat dyés dz. Így a terepvonal szomszédos pontjára költöztünk, az építési folyamat folytatható.

Megjegyzés! (Nota bene!). Az erővonal nem határozza meg teljesen a feszültségvektort. Ha a mezővonalon pozitív irányt állítunk be, akkor a feszültségvektor pozitív vagy negatív irányba is irányítható (de a vonal mentén!). A mezővonal nem határozza meg a vizsgált vektormező vektorának modulusát (azaz értékét).

A megadott geometriai objektumok tulajdonságai:

Egyenpotenciál felület ekvipotenciális felület

olyan felület, amelynek minden pontja azonos potenciállal rendelkezik. Az ekvipotenciális felület merőleges a térvonalra. A vezető felülete az elektrosztatikában ekvipotenciális felület.

ekvipotenciális felület, olyan felület, amelynek minden pontján a potenciál (cm. POTENCIÁLIS (a fizikában)) az elektromos tér azonos értékű j= állandó. Egy síkon ezek a felületek ekvipotenciális térvonalak. A potenciáleloszlás grafikus megjelenítésére szolgál.
Az ekvipotenciálfelületek zártak és nem metszik egymást. Az ekvipotenciális felületek leképezését úgy végezzük, hogy a szomszédos ekvipotenciális felületek közötti potenciálkülönbségek azonosak legyenek. Ebben az esetben azokon a területeken, ahol az ekvipotenciális felületek vonalai sűrűbbek, nagyobb a térerősség.
Az ekvipotenciális felület bármely két pontja között a potenciálkülönbség nulla. Ez azt jelenti, hogy az erővektor a töltés pályájának bármely pontjában az ekvipotenciális felület mentén merőleges a sebességvektorra. Ezért a feszültségvonalak (cm. ELEKTROMOS TÉRERŐSSÉG) az elektrosztatikus mezők merőlegesek az ekvipotenciális felületre. Más szóval: az ekvipotenciális felület merőleges az erővonalakra (cm. TÁVVEZETÉKEK) mező, és az E elektromos térerősség vektor mindig merőleges az ekvipotenciális felületekre, és mindig a csökkenő potenciál irányába irányul. Az elektromos tér erőinek munkája a töltésnek az ekvipotenciális felület mentén történő tetszőleges mozgására nulla, mivel?j = 0.
A pontszerű elektromos töltés terének ekvipotenciális felületei gömbök, amelyek középpontjában a töltés található. Az egyenletes elektromos tér ekvipotenciális felületei a feszültségvonalakra merőleges síkok. Az elektrosztatikus térben lévő vezető felülete ekvipotenciális felület.

enciklopédikus szótár. 2009 .

Nézze meg, mi az "ekvipotenciális felület" más szótárakban:

Olyan felület, amelynek minden pontja azonos potenciállal rendelkezik. Az ekvipotenciális felület merőleges a térvonalra. A vezető felülete az elektrosztatikában ekvipotenciális felület... Nagy enciklopédikus szótár

Felület, a raj minden pontja azonos potenciállal rendelkezik. Például egy vezető felülete az elektrosztatikában E. o., Physical Encyclopedic Dictionary. Moszkva: Szovjet Enciklopédia. A. M. Prokhorov főszerkesztő. 1983... Fizikai Enciklopédia

ekvipotenciális felület- [Ja.N. Luginszkij, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Engineering, Moszkva, 1999] Elektrotechnikai témák, alapfogalmak EN egyenlő potenciál felületeegyenlő energia felületekvipotenciál ... ... Műszaki fordítói kézikönyv

Az elektromos dipólus ekvipotenciális felületei (sötétben ábrázolva a keresztmetszetek az ábra síkjával; a szín feltételesen közvetíti a potenciál értékét különböző pontokon, a legmagasabb értékek a lila és a piros, n ... Wikipédia

ekvipotenciális felület- vienodo potencialo paviršius statusas T terület fizika atitikmenys: engl. ekvipotenciális felület vok. Äquipotentialfläche, f rus. ekvipotenciális felület, fpranc. felületi depotenciális állandó, f; felület d'égal potentiel, f; felület… … Fizikos terminų žodynas

Egyenlő potenciálú felület, amelynek minden pontja azonos potenciállal rendelkezik. Például egy vezető felülete az elektrosztatikában E. p. Erőtérben az erővonalak merőlegesek az E. p ... Nagy szovjet enciklopédia

- (lat. aequus egyenlő és potenciális szóból) geom. pontok helye a mezőben, a szem számára a potenciál azonos értékének felel meg. E. p. merőlegesek az erővonalakra. Az ekvipotenciál például egy vezető felülete egy elektrosztatikus ... ... Nagy enciklopédikus politechnikai szótár

A MUNKA ELMÉLETI ALAPJAI.

Integrális és differenciális kapcsolat van az elektromos tört erőssége és az elektromos potenciál között:

j 1 - j 2 = ∫ E dl (1)

E=-grad j (2)

Az elektromos teret két módon, egymást kiegészítve ábrázolhatjuk grafikusan: ekvipotenciális felületek és feszültségvonalak (erővonalak) segítségével.

Azt a felületet, amelynek minden pontja azonos potenciállal rendelkezik, ekvipotenciális felületnek nevezzük. A rajz síkjával való metszésvonalát ekvipotenciálnak nevezzük. Erővonalak - vonalak, érintők, amelyek minden pontjában egybeesnek a vektor irányával E . Az 1. ábrán a szaggatott vonalak az ekvipotenciálokat, a folytonos vonalak az elektromos tér erővonalait mutatják.

1. ábra

Az 1. és 2. pont közötti potenciálkülönbség 0, mivel ugyanazon az ekvipotenciálon vannak. Ebben az esetben (1):

∫E dl = 0 vagy ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Amennyiben E és dl a (3) kifejezésben nem egyenlők 0-val, akkor kötözősaláta ( Edl ) = 0 . Ezért az ekvipotenciál és a térvonal közötti szög p/2.

A (2) differenciálviszonyból következik, hogy az erővonalak mindig a csökkenő potenciál irányába irányulnak.

Az elektromos térerősség nagyságát az erővonalak „vastagsága” határozza meg. Minél vastagabbak az erővonalak, annál kisebb a távolság az egyenpotenciálok között, így az erővonalak és az egyenpotenciálok "görbe vonalú négyzeteket" alkotnak. Ezen elvek alapján lehetséges az erővonalak képének megalkotása, az egyenpotenciálok képével és fordítva.

A mező egyenpotenciáljainak kellően teljes képe lehetővé teszi, hogy különböző pontokon kiszámítsuk az intenzitásvektor vetületének értékét E a választott irányba x , a koordináta egy bizonyos intervallumára átlagolva ∆х :

E vö. ∆х = - ∆ j /∆х,

ahol ∆х - koordináta növekmény, amikor az egyik ekvipotenciálról a másikra mozog,

∆ j - a potenciál megfelelő növekedése,

E vö. ∆х - jelent E x két potenciál között.

A TELEPÍTÉSI ÉS MÉRÉSI TECHNIKA LEÍRÁSA.

Az elektromos tér modellezéséhez célszerű azt az analógiát használni, amely a töltött testek által létrehozott elektromos tér és az egyenletes vezetőképességű, vezetőképes filmen átfolyó egyenáram elektromos mezője között létezik. Ebben az esetben az elektromos mező erővonalainak elhelyezkedése hasonló az elektromos áramok vonalainak helyéhez.

Ugyanez az állítás igaz a potenciálokra is. A térpotenciálok eloszlása ​​egy vezető filmben ugyanaz, mint a vákuumban lévő elektromos térben.

Vezető fóliaként minden irányban azonos vezetőképességű, elektromosan vezető papírt használnak a munkában.

Az elektródákat úgy helyezzük el a papíron, hogy jó érintkezés legyen az egyes elektródák és a vezető papír között.

A telepítés működési sémája a 2. ábrán látható. A berendezés II. modulból, I. külső elemből, III. jelzőfényből, IV. tápegységből áll. A modul az összes használt eszköz csatlakoztatására szolgál. A távoli elem egy dielektromos panel 1, amelyre egy 2 fehér papírlap kerül, rá egy 3 szénpapír, majd egy 4 vezetőképes papírlap, amelyre az 5 elektródák vannak rögzítve. az elektródákhoz a II. modulból csatlakozó vezetékek segítségével. A III indikátor és a 6. szonda az elektromosan vezető papír felületén lévő pontok potenciáljának meghatározására szolgál.

Szondaként egy vezetéket használnak, amelynek végén dugó van. Lehetséges j szonda egyenlő az elektromosan vezető papír felületén lévő pont potenciáljával, amelyet megérint. Az azonos potenciállal rendelkező mezőpontok halmaza a mező egyenpotenciáljának képe. A IV tápegységet TES - 42 tápegységként használják, amely a modul hátsó falán található dugaszoló csatlakozóval csatlakozik a modulhoz. Kijelzőként V7 - 38 voltmérőt használnak Ш.

A MUNKAVÉGZÉS RENDJE.

1. Helyezzen egy fehér papírlapot a panelre 1 2. Helyezzen rá szénpapírt 3 és egy vezetőképes papírlapot 4 (2. ábra).

2. Szerelje fel az 5 elektródákat elektromosan vezető papírra, és rögzítse anyákkal.

3. Csatlakoztassa a IV tápegységet (TEC-42) a modulhoz a modul hátsó falán található dugaszoló csatlakozóval.

4. Két vezetékkel csatlakoztassa a III. indikátort (V7-38 voltmérő) a modul előlapján lévő "PV" aljzatokhoz. Nyomja meg a megfelelő gombot a voltmérőn az egyenfeszültség méréséhez (2. ábra).

5. Két vezeték segítségével csatlakoztassa az 5 elektródákat a P modulhoz.

6. Csatlakoztassa a szondát (két dugós vezeték) a modul előlapján lévő aljzathoz.

7. Csatlakoztassa az állványt a 220 V-os hálózathoz Kapcsolja be az állvány általános tápellátását.

A vektormezők vizuális megjelenítéséhez erővonalak mintáját használjuk. Az erővonal egy képzeletbeli matematikai görbe a térben, az érintő iránya, amelyhez mindegyikben az a pont, amelyen áthalad, egybeesik a vektor irányával mezők ugyanazon a ponton(1.17. ábra).
Rizs. 1.17:
Az E → vektor és az érintő párhuzamosságának feltétele az E → vektorszorzat és a mező d r → ívelemének nullával való egyenlőségeként írható fel:

Az ekvipotenciál a felület ami az elektromos potenciál állandó értékeφ . A ponttöltés mezőjében, amint az ábra mutatja. , a töltés helyén középpontokkal rendelkező gömbfelületek ekvipotenciálisak; ez a ϕ = q ∕ r = const egyenletből látható.

Az elektromos erővonalak és ekvipotenciális felületek geometriáját elemezve az elektrosztatikus tér geometriájának számos általános jellemzője mutatkozik meg.

Először is, az erővonalak a töltéseknél kezdődnek. Vagy a végtelenbe jutnak, vagy más töltésekre jutnak, mint az ábrán. .

Másodszor, egy potenciálmezőben az erővonalak nem zárhatók be. Ellenkező esetben lehetséges lenne olyan zárt hurkot jelezni, hogy az elektromos mező munkája a töltés ezen hurok mentén történő mozgatásakor nem egyenlő nullával.

Harmadszor, az erővonalak bármely ekvipotenciált metszenek a normális mentén. Valóban, az elektromos tér mindenhol a potenciál leggyorsabb csökkenésének irányába irányul, és az ekvipotenciálfelületen a potenciál definíció szerint állandó (. ábra).
Rizs. 1.20 :
És végül, az erővonalak sehol nem metszik egymást, kivéve azokat a pontokat, ahol E → = 0 . A térvonalak metszéspontja azt jelenti, hogy a metszéspontban lévő mező a koordináták kétértelmű függvénye, és az E → vektornak nincs határozott iránya. Az egyetlen vektor, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, a nullvektor. A nullapont közelében lévő elektromos tér szerkezetét a ?? .

Az erővonalak módszere természetesen bármely vektormező grafikus ábrázolására alkalmazható. Tehát a fejezetben találkozni fogunk a mágneses erővonalak fogalmával. A mágneses tér geometriája azonban teljesen eltér az elektromos tér geometriájától.

Rizs. 1.21:
Az erővonalak fogalma szorosan összefügg az erőcső fogalmával. Vegyünk egy tetszőleges L zárt hurkot, és húzzunk egy elektromos erővonalat minden pontján keresztül (. ábra). Ezek a vonalak alkotják az erőcsövet. Tekintsük a cső egy tetszőleges szakaszát az S felület által. Pozitív normálist rajzolunk ugyanabba az irányba, ahogyan az erővonalak irányulnak. Legyen N az E → vektor áramlása az S szakaszon keresztül. Könnyen belátható, hogy ha a csőben nincs elektromos töltés, akkor az N fluxus a cső teljes hosszában változatlan marad. Ennek bizonyításához egy másik S ′ keresztmetszetet kell vennünk. A Gauss-tétel szerint a cső oldalfelülete és az S , S ′ szakaszok által határolt zárt felületen áthaladó elektromos tér fluxusa nullával egyenlő, mivel az erőcső belsejében nincs elektromos töltés. Az oldalfelületen az áramlás nulla, mivel az E → vektor érinti ezt a felületet. Ezért az S ′ szakaszon áthaladó áramlás numerikusan egyenlő N -vel, de ellentétes előjelű. A zárt felület külső normálja ezen a szakaszon ellentétes irányú n → . Ha a normált ugyanabba az irányba irányítjuk, akkor az S és S ′ szakaszokon áthaladó áramlások nagyságban és előjelben is egybeesnek. Különösen, ha a cső végtelenül vékony, és az S és S′ szakaszok normálisak vele, akkor

E S = E′ S′ .

Kiderül, hogy teljes analógia egy összenyomhatatlan folyadék áramlásával. Ahol vékonyabb a cső, ott erősebb az E → mező. Azokon a helyeken, ahol szélesebb, az E mező erősebb. Ezért az elektromos tér erőssége az erővonalak sűrűségéből ítélhető meg.

A számítógépek feltalálása előtt a terepi vonalak kísérleti reprodukálásához egy lapos fenekű üvegedényt vettek, és nem vezető folyadékot, például ricinusolajat vagy glicerint öntöttek bele. Por alakú gipszkristályokat, azbesztet vagy bármilyen más hosszúkás szemcsét egyenletesen kevertek a folyadékba. Fémelektródákat merítettek a folyadékba. Az elektromos áramforrásokhoz csatlakoztatva az elektródák elektromos mezőt gerjesztettek. Ebben a mezőben a részecskék felvillanyozódnak, és az egymással ellentétes villamosított végek vonzzák egymást, és az erővonalak mentén láncok formájában helyezkednek el. A térvonalak képét torzítják az inhomogén elektromos térben rá ható erők okozta folyadékáramlások.

Még El kell végezni
Rizs. 1.22:
A legjobb eredményeket Robert W. Pohl (1884-1976) módszerével érjük el. Az acélelektródákat üveglapra ragasztják, amelyek között elektromos feszültség jön létre. Ezután hosszúkás részecskéket, például gipszkristályokat öntünk a lemezre, enyhén ráütögetve. Az erővonalak mentén helyezkednek el. ábrán ?? két ellentétes töltésű keretkör között így kapott erővonalak képe látható.

▸ 9.1. feladat

Írja fel a térvonalak egyenletét tetszőleges ortogonálisan! koordináták.

▸ 9.2. feladat

Írja fel az erővonalak egyenletét gömbi koordinátákban!

Az egyenpotenciálfelületek olyan felületek, amelyek minden pontja azonos potenciállal rendelkezik. Vagyis az ekvipotenciálfelületen az elektromos potenciál állandó értékű. Ilyen felület a vezetők felülete, mivel potenciáljuk azonos.

Képzeljünk el egy ilyen felületet, amelynek két pontjában a potenciálkülönbség nulla lesz. Ez lesz az ekvipotenciális felület. Mert ugyanaz a potenciál. Ha az ekvipotenciális felületet kétdimenziós térben tekintjük, mondjuk a rajzon, akkor vonal alakú lesz. Az elektromos mező erőinek munkája, amelyek az elektromos töltést ezen a vonalon mozgatják, nullával egyenlő lesz.

Az ekvipotenciális felületek egyik tulajdonsága, hogy mindig merőlegesek a térvonalakra. Ez a tulajdonság megfogalmazható és fordítva. Minden olyan felületet, amely minden pontjában merőleges az elektromos erővonalakra, ekvipotenciális felületnek nevezzük.

Ezenkívül az ilyen felületek soha nem metszik egymást. Mivel ez ugyanazon a felületen belül potenciálkülönbséget jelentene, ami ellentmond a definíciónak. Ezek is mindig zárva vannak. Az egyenlő potenciállal rendelkező felületek nem indulhatnak el és nem mehetnek a végtelenbe világos határok nélkül.

A rajzoknak általában nem kell a teljes felületet ábrázolniuk. Gyakrabban ábrázoljon merőleges metszetet az ekvipotenciális felületekre. Így vonalakká fajulnak. Ez elégségesnek bizonyul a mező eloszlásának becsléséhez. Grafikus ábrázoláskor a felületek azonos intervallumban helyezkednek el. Vagyis két szomszédos felület között ugyanaz a lépés figyelhető meg, mondjuk egy volt. Ekkor az ekvipotenciális felületek metszete által alkotott vonalak sűrűsége alapján meg lehet ítélni az elektromos tér erősségét.

Vegyük például a pontszerű elektromos töltés által létrehozott mezőt. Egy ilyen tér erővonalai sugárirányúak. Vagyis a töltés középpontjából indulnak ki, és a végtelenbe mennek, ha a töltés pozitív. Vagy a töltés felé irányítva, ha az negatív. Egy ilyen mező ekvipotenciális felületei gömb alakúak lesznek, amelyek a töltés közepén helyezkednek el, és eltérnek tőle. Ha kétdimenziós metszetet ábrázolunk, akkor az ekvipotenciális vonalak koncentrikus körök formájában lesznek, amelyek középpontja is a töltésben található.

1. ábra - egy ponttöltés ekvipotenciális vonalai

Egyenletes mező esetén, mint például egy elektromos kondenzátor lemezei közötti mező, az egyenlő potenciállal rendelkező felületek síkok formájúak lesznek. Ezek a síkok párhuzamosak egymással azonos távolságra. Igaz, a lemezek szélein az élhatás miatt torz lesz a mezőmintázat. De azt képzeljük, hogy a tányérok végtelenül hosszúak.

2. ábra - egységes mező-ekvipotenciálvonalak

Két egyenlő nagyságú és ellentétes előjelű töltés által létrehozott mező ekvipotenciális vonalainak ábrázolásához nem elegendő a szuperpozíció elvét alkalmazni. Mivel ebben az esetben, amikor a ponttöltések két képét egymásra helyezzük, a mezővonalak metszéspontjai lesznek. De ez nem lehet, hiszen a mezőt nem lehet egyszerre két különböző irányba irányítani. Ebben az esetben a problémát analitikusan kell megoldani.

3. ábra - Két elektromos töltés mezőjének képe