Forgó test kinetikus energiája. Kinetikus energia forgó mozgás közben

A mozgási energia additív mennyiség. Ezért egy tetszőleges módon mozgó test kinetikus energiája megegyezik mindazon n anyagi pont kinetikus energiáinak összegével, amelyekre ez a test mentálisan felosztható:

Ha a test egy rögzített z tengely körül szögsebességgel forog, akkor az i-edik pont lineáris sebessége , Ri a forgástengely távolsága. Ennélfogva,

Összehasonlítva és látható, hogy az I test tehetetlenségi nyomatéka a tehetetlenségi nyomaték a forgó mozgás során, ahogyan az m tömeg is a tehetetlenségi nyomaték a transzlációs mozgás során.

Általános esetben egy merev test mozgása két mozgás összegeként ábrázolható - vc sebességgel transzlációs és ω szögsebességgel forgó mozgás a tehetetlenségi középponton áthaladó pillanatnyi tengely körül. Ezután ennek a testnek a teljes mozgási energiája

Itt Ic a tehetetlenségi nyomaték a tehetetlenségi középponton áthaladó pillanatnyi forgástengely körül.

A forgómozgás dinamikájának alaptörvénye.

Forgási dinamika

A forgó mozgás dinamikájának alaptörvénye:

vagy M=Je, ahol M az erőnyomaték M=[ r F ] , J - a tehetetlenségi nyomaték a test lendületének nyomatéka.

ha M(külső)=0 - a szögimpulzus megmaradásának törvénye. - forgó test mozgási energiája.

rotációs munka.

A szögimpulzus megmaradásának törvénye.

Egy anyagi A pont szögimpulzusa (impulzusa) egy fix O ponthoz viszonyítva egy vektorszorzat által meghatározott fizikai mennyiség:

ahol r az O pontból A pontba húzott sugárvektor, p=mv az anyagi pont lendülete (1. ábra); L egy pszeudovektor, amelynek iránya egybeesik a jobb oldali csavar transzlációs mozgásának irányával az r-ről p-re való forgása során.

Lendületvektor modulusa

ahol α az r és p vektorok közötti szög, l a p vektor válla az O ponthoz képest.

A z rögzített tengelyhez viszonyított impulzus impulzus az Lz skaláris érték, amely egyenlő a szögimpulzusvektor erre a tengelyére való vetületével, e tengely egy tetszőleges O pontjához viszonyítva. Az Lz szögimpulzus nem függ az O pont helyzetétől a z tengelyen.

Amikor egy abszolút merev test egy rögzített z tengely körül forog, a test minden pontja egy állandó ri sugarú kör mentén mozog vi sebességgel. A vi sebesség és a mivi impulzus merőleges erre a sugárra, azaz a sugár a mivi vektor karja. Tehát azt írhatjuk, hogy az egyedi részecske impulzusimpulzusa az

és a tengely mentén a jobb oldali csavar szabálya által meghatározott irányban van irányítva.

A merev test impulzusa a tengelyhez viszonyítva az egyes részecskék impulzusainak összege:

A vi = ωri képlet segítségével azt kapjuk

Így egy merev test tengely körüli impulzusnyomatéka egyenlő a test ugyanazon tengely körüli tehetetlenségi nyomatékával, megszorozva a szögsebességgel. Megkülönböztetjük a (2) egyenletet az idő függvényében:

Ez a képlet egy másik formája a merev test fix tengely körüli forgómozgásának dinamikájának egyenletének: a merev test tengely körüli impulzusimpulzusának deriváltja egyenlő az azonos tengely körüli erők nyomatékával.

Megmutatható, hogy a vektoregyenlőség fennáll

Zárt rendszerben a külső erők nyomatéka M = 0 és honnan

A (4) kifejezés a szögimpulzus megmaradásának törvénye: a zárt rendszer impulzusimpulzusa megmarad, azaz nem változik az idő múlásával.

A szögimpulzus megmaradásának törvénye, valamint az energiamegmaradás törvénye a természet alapvető törvénye. A tér szimmetriatulajdonságával - izotrópiájával, vagyis a fizikai törvények változatlanságával van összefüggésben a vonatkoztatási rendszer koordinátatengelyeinek irányának megválasztása tekintetében (a zárt rendszer térbeli forgásának függvényében) bármilyen szög).

Itt bemutatjuk a szögimpulzus megmaradásának törvényét a Zsukovszkij-pad segítségével. A padon ülő, függőleges tengely körül forgó személyt, aki kinyújtott kezében súlyzót tart (2. ábra), külső mechanizmus forgatja ω1 szögsebességgel. Ha valaki a súlyzókat a testéhez nyomja, akkor a rendszer tehetetlenségi nyomatéka csökken. De a külső erők nyomatéka egyenlő nullával, a rendszer szögimpulzusa megmarad, és a forgási szögsebesség ω2 nő. Hasonlóképpen, a tornász, miközben átugrik a feje fölött, karjait és lábait testéhez közelíti, hogy csökkentse a tehetetlenségi nyomatékát, és ezáltal növelje a forgási szögsebességet.

Nyomás folyadékban és gázban.

A kaotikus, kaotikus mozgást végző gázmolekulákat nem, vagy inkább gyengén kötik a kölcsönhatási erők, ezért szinte szabadon mozognak, és ütközések következtében minden irányba szétszóródnak, miközben kitöltik a számukra biztosított teljes térfogatot, azaz a gáz térfogatát a gáz által elfoglalt térfogatú edény határozza meg.

És a folyadék, amelynek bizonyos térfogata van, olyan edény formáját ölti, amelybe be van zárva. De ellentétben a folyadékokban lévő gázokkal, a molekulák közötti átlagos távolság átlagosan állandó marad, így a folyadék térfogata majdnem állandó.

A folyadékok és gázok tulajdonságai sok tekintetben nagyon eltérőek, de több mechanikai jelenségben ugyanazok a paraméterek és azonos egyenletek határozzák meg tulajdonságaikat. Emiatt a hidroaeromechanika a mechanikának egy olyan ága, amely a gázok és folyadékok egyensúlyát, mozgását, a köztük lévő és a körülöttük áramló szilárd testek közötti kölcsönhatást, i. a folyadékok és gázok vizsgálatának egységes megközelítését alkalmazzák.

A mechanikában a folyadékokat és gázokat nagy pontossággal folytonosnak, az általuk elfoglalt térrészben folyamatosan eloszlónak tekintik. Gázokban a sűrűség jelentősen függ a nyomástól. Tapasztalatból megállapítva. hogy egy folyadék és egy gáz összenyomhatósága sokszor elhanyagolható és célszerű egyetlen fogalom - a folyadék összenyomhatatlansága - mindenütt azonos sűrűségű folyadékot használni, ami idővel nem változik.

Nyugalomban egy vékony lemezbe helyezzük, ennek eredményeként a folyadéknak a lemez ellentétes oldalán lévő részei ΔS minden elemére ΔF erőkkel hatnak, amelyek abszolút értékűek lesznek és merőlegesek a helyre. ΔS, függetlenül a helyszín tájolásától, különben a tangenciális erők jelenléte mozgásba hozza a folyadék részecskéit (1. ábra)

A folyadék (vagy gáz) oldaláról egységnyi területen ható normálerő által meghatározott fizikai mennyiséget p / folyadék (vagy gáz) nyomásnak nevezzük: p=ΔF / ΔS.

A nyomás mértékegysége pascal (Pa): 1 Pa egyenlő az 1 N erő által létrehozott nyomással, amely egyenletesen oszlik el a rá merőleges 1 m2-es felületen (1 Pa = 1 N/m2).

A nyomás a folyadékok (gázok) egyensúlyi állapotában Pascal törvényének engedelmeskedik: a nyomás a nyugalmi folyadék bármely helyén minden irányban azonos, és a nyomás egyformán közvetítődik a nyugalmi folyadék által elfoglalt teljes térfogatban.

Vizsgáljuk meg a folyadék súlyának hatását a nyomáseloszlásra egy álló, összenyomhatatlan folyadékon belül. Ha egy folyadék egyensúlyban van, a nyomás bármely vízszintes vonal mentén mindig azonos, különben nem lenne egyensúly. Ez azt jelenti, hogy a nyugalmi folyadék szabad felülete mindig vízszintes (nem vesszük figyelembe a folyadéknak az ér falai általi vonzását). Ha egy folyadék összenyomhatatlan, akkor a folyadék sűrűsége független a nyomástól. Ekkor a folyadékoszlop S keresztmetszete, h magassága és ρ sűrűsége mellett a tömeg P=ρgSh, míg az alsó alapra ható nyomás: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

azaz a nyomás lineárisan változik a magassággal. A ρgh nyomást hidrosztatikus nyomásnak nevezzük.

Az (1) képlet szerint a folyadék alsó rétegeire ható nyomóerő nagyobb lesz, mint a felsőkre, ezért a folyadékba (gázba) merített testre Arkhimédész törvénye által meghatározott erő hat: felfelé úszó. erő, amely megegyezik a test által kiszorított folyadék (gáz) tömegével: FA = ρgV, ahol ρ a folyadék sűrűsége, V a folyadékba merült test térfogata.

« Fizika – 10. évfolyam

Miért húzódik a korcsolyázó a forgástengely mentén, hogy növelje a forgási szögsebességet?
A helikopternek forognia kell, ha forog a propeller?

A feltett kérdések azt sugallják, hogy ha a külső erők nem hatnak a testre, vagy hatásukat kiegyenlítik, és a test egyik része elkezd forogni az egyik irányba, akkor a másik résznek a másik irányba kell forognia, ugyanúgy, mint amikor üzemanyagot lövell ki a testből. egy rakéta, maga a rakéta az ellenkező irányba mozog.

impulzus pillanata.

Ha egy forgó korongot veszünk figyelembe, akkor nyilvánvalóvá válik, hogy a tárcsa összimpulzusa nulla, hiszen a test bármely részecskéje megfelel abszolút értékben azonos sebességgel, de ellentétes irányban mozgó részecskének (6.9. ábra).

De a korong mozog, az összes részecske forgási szögsebessége azonos. Nyilvánvaló azonban, hogy minél távolabb van a részecske a forgástengelytől, annál nagyobb a lendülete. Ezért a forgó mozgáshoz még egy impulzushoz hasonló jellemzőt kell bevezetni - a szögmomentumot.

A körben mozgó részecske impulzusimpulzusa a részecske impulzusának és a tőle a forgástengelytől mért távolságának a szorzata (6.10. ábra):

A lineáris és a szögsebességet v = ωr kapcsolja össze, akkor

A merev anyag minden pontja egy rögzített forgástengelyhez képest azonos szögsebességgel mozog. A merev testet anyagi pontok összességeként ábrázolhatjuk.

A merev test impulzusnyomatéka egyenlő a tehetetlenségi nyomaték és a forgási szögsebesség szorzatával:

A szögimpulzus vektormennyiség, a (6.3) képlet szerint a szögimpulzus ugyanúgy irányul, mint a szögsebesség.

A forgómozgás dinamikájának alapegyenlete impulzív formában.

Egy test szöggyorsulása egyenlő a szögsebesség változásának osztva azzal az időintervallumtal, amely alatt ez a változás bekövetkezett: Helyettesítsük be ezt a kifejezést a forgómozgás dinamikájának alapegyenletébe ezért I(ω 2 - ω 1) = MΔt, vagy IΔω = MΔt.

És így,

∆L = M∆t. (6.4)

A szögimpulzus változása egyenlő a testre vagy rendszerre ható erők össznyomatékának és ezen erők hatásidejének szorzatával.

A szögimpulzus megmaradásának törvénye:

Ha egy rögzített forgástengelyű testre vagy testrendszerre ható erők össznyomatéka nullával egyenlő, akkor a szögimpulzus változása is nullával egyenlő, azaz a rendszer impulzusimpulzusa állandó marad.

∆L=0, L=áll.

A rendszer lendületének változása megegyezik a rendszerre ható erők összimpulzusával.

A forgó korcsolyázó kitárja karjait oldalra, ezáltal növeli a tehetetlenségi nyomatékot, hogy csökkentse a forgási szögsebességet.

A szögimpulzus megmaradásának törvénye a következő kísérlettel demonstrálható, amelyet "a Zsukovszkij-paddal végzett kísérletnek" neveznek. Egy személy egy padon áll, amelynek függőleges forgástengelye halad át a középpontján. A férfi súlyzókat tart a kezében. Ha a padot forgatják, akkor az ember megváltoztathatja a forgási sebességet úgy, hogy a súlyzókat a mellkasához nyomja, vagy leengedi a karját, majd széttárja őket. Karjait széttárva növeli a tehetetlenségi nyomatékot, és csökken a forgási szögsebesség (6.11. ábra, a), kezét leengedve csökkenti a tehetetlenségi nyomatékot, és nő a pad forgási szögsebessége (6.11. ábra). 6.11, b).

Az ember úgy is el tudja forogtatni a padot, hogy végigmegy a szélén. Ebben az esetben a pad az ellenkező irányba fog forogni, mivel a teljes szögimpulzusnak nullának kell maradnia.

A giroszkópnak nevezett eszközök működési elve a szögimpulzus megmaradásának törvényén alapul. A giroszkóp fő tulajdonsága a forgástengely irányának megőrzése, ha erre a tengelyre nem hatnak külső erők. A 19. században giroszkópokat használtak a navigátorok a tengeri navigációhoz.

Forgó merev test mozgási energiája.

A forgó szilárd test mozgási energiája megegyezik az egyes részecskéinek kinetikai energiáinak összegével. Osszuk fel a testet apró elemekre, amelyek mindegyike anyagi pontnak tekinthető. Ekkor a test mozgási energiája megegyezik azon anyagi pontok kinetikus energiáinak összegével, amelyekből áll:

A test minden pontjának forgási szögsebessége azonos, ezért

A zárójelben szereplő érték, mint már tudjuk, a merev test tehetetlenségi nyomatéka. Végül a rögzített forgástengellyel rendelkező merev test mozgási energiájának képlete a következő

A merev test általános mozgása esetén, amikor a forgástengely szabad, mozgási energiája megegyezik a transzlációs és forgó mozgások energiáinak összegével. Tehát egy olyan kerék mozgási energiája, amelynek tömege a felniben koncentrálódik, állandó sebességgel gördül az úton, egyenlő

A táblázat összehasonlítja az anyagi pont transzlációs mozgásának mechanikájának képleteit a merev test forgómozgásának hasonló képleteivel.

Feladatok

1. Határozza meg, hogy az effektív tömeg hányszor nagyobb egy 4000 tonna tömegű vonat gravitációs tömegénél, ha a kerekek tömege a vonat tömegének 15%-a! Tekintsük a kerekeket 1,02 m átmérőjű tárcsáknak Hogyan változik a válasz, ha a kerekek átmérője fele akkora?

2. Határozza meg azt a gyorsulást, amellyel egy 1200 kg tömegű kerékpár legördül egy 0,08 lejtős dombról! Tekintsük a kerekeket tárcsáknak. Gördülési ellenállási együttható 0,004. Határozza meg a kerekek tapadási erejét a sínekhez.

3. Határozza meg azt a gyorsulást, amellyel egy 1400 kg tömegű kerékpár felgördül egy 0,05 lejtős dombra! Ellenállási együttható 0,002. Mekkora legyen a tapadási tényező, hogy a kerekek ne csúszjanak. Tekintsük a kerekeket tárcsáknak.

4. Határozza meg, milyen gyorsulással gördül le egy 40 tonnás kocsi egy 0,020 lejtős dombról, ha nyolc kereke van, amelyek súlya 1200 kg és átmérője 1,02 m Határozza meg a kerekek sínekhez való tapadási erejét! Ellenállási együttható 0,003.

5. Határozza meg a fékpofák nyomóerejét a gumiabroncsokon, ha egy 4000 tonna tömegű vonat 0,3 m/s 2 gyorsulással lassít! Egy kerékpár tehetetlenségi nyomatéka 600 kg m 2, a tengelyek száma 400, a blokk csúszósúrlódási tényezője 0,18, gördülési ellenállási együtthatója 0,004.

6. Határozza meg a 60 tonna tömegű négytengelyes kocsira ható fékezőerőt a rendezőpálya fékbetétjén, ha 30 m-es vágányon a sebesség 2 m/s-ról 1,5 m/s-ra csökkent! Egy kerékpár tehetetlenségi nyomatéka 500 kg m 2 .

7. A mozdony sebességmérője egy percen belül 10 m/s-ról 60 m/s-ra mutatta a vonat sebességének növekedését. Valószínűleg a vezetőkerékpár megcsúszott. Határozza meg a villanymotor armatúrájára ható erők nyomatékát! Kerékpár tehetetlenségi nyomatéka 600 kg m 2, horgonyok 120 kg m 2 . Áttételi arány áttétel 4.2. A sínekre ható nyomóerő 200 kN, a kerekek sín menti csúszósúrlódási tényezője 0,10.

11. A FORGÓ KINETIKUS ENERGIÁJA

MOZGÁSOK

Levezetjük a forgómozgás kinetikus energiájának képletét. Hagyja, hogy a test szögsebességgel forogjon ω a rögzített tengely körül. A test bármely kis részecskéje transzlációs mozgást végez egy körben, sebességgel, ahol r i - távolság a forgástengelytől, a pálya sugara. Egy részecske kinetikus energiája tömegek m i egyenlő . A részecskék rendszerének teljes kinetikai energiája egyenlő kinetikai energiáik összegével. Összegezzük a test részecskéinek mozgási energiájára vonatkozó képleteket, és vegyük ki a szögsebesség négyzetének fele összegének előjelét, amely minden részecske esetében azonos! . A részecskék tömegének és a forgástengelytől mért távolságuk négyzetének szorzata a test tehetetlenségi nyomatéka a forgástengely körül . Így, egy rögzített tengely körül forgó test mozgási energiája egyenlő a test tengely körüli tehetetlenségi nyomatéka és a forgási szögsebesség négyzetének szorzatával:

A forgó testek mechanikai energiát tárolhatnak. Az ilyen testeket lendkerekeknek nevezik. Általában ezek a forradalom testei. A lendkerekek használata a fazekaskorongban már az ókorban ismert volt. A belső égésű motorokban a löket során a dugattyú mechanikai energiát ad a lendkeréknek, amely a következő három ciklusban a motor tengelyének forgását végzi. A bélyegeknél és préseknél a lendkereket viszonylag kis teljesítményű villanymotor hajtja, szinte egy teljes fordulatra halmoz fel mechanikai energiát, és egy rövid ütközési pillanat alatt átadja a bélyegzés munkájának.

Számos kísérlet van arra, hogy forgó lendkereket használjon járművek vezetésére: autók, buszok. Mahomobiloknak, giroszkóphordozóknak hívják őket. Sok ilyen kísérleti gépet hoztak létre. Ígéretes lenne az elektromos vonatok fékezése során a lendkerekek energiatárolása, hogy a felhalmozott energiát a későbbi gyorsítások során hasznosítsák. A lendkerekes energiatárolót köztudottan a New York-i metrószerelvényeken használják.

Mechanika.

1. kérdés

Referencia rendszer. Inerciális referenciarendszerek. Galileo-Einstein relativitáselmélete.

referenciarendszer- ez olyan testek halmaza, amelyekre vonatkozóan egy adott test mozgását és a hozzá tartozó koordinátarendszert írják le.

Inerciális referenciarendszer (ISO)- olyan rendszer, amelyben egy szabadon mozgó test nyugalomban vagy egyenletes egyenes vonalú mozgásban van.

Galileo-Einstein relativitáselmélete- A természet minden jelensége bármely tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben ugyanúgy történik, és ugyanaz a matematikai alakja. Más szóval, minden ISO egyenlő.

2. kérdés

A mozgás egyenlete. A merev test mozgástípusai. A kinematika fő feladata.

Egy anyagi pont mozgásegyenletei:

- kinematikai mozgásegyenlet

A merev test mozgásának típusai:

1) Transzlációs mozgás – a testben húzott bármely egyenes vonal önmagával párhuzamosan mozog.

2) Forgó mozgás - a test bármely pontja körben mozog.

φ = φ(t)

A kinematika fő feladata- ez egy anyagi pont V= V(t) sebességének és koordinátáinak (vagy sugárvektorának) r = r(t) időfüggésének megszerzése a gyorsulásának a = a(t) ismert időfüggéséből és a ismert kezdeti feltételek V 0 és r 0.

7. kérdés

Impulzus (Mozgásszám) egy vektorfizikai mennyiség, amely a test mechanikai mozgásának mértékét jellemzi. A klasszikus mechanikában a test lendülete egyenlő a tömeg szorzatával m ez a sebességére utal v, az impulzus iránya egybeesik a sebességvektor irányával:

Az elméleti mechanikában általánosított lendület a rendszer Lagrange-függvényének parciális deriváltja az általánosított sebességre vonatkoztatva

Ha a rendszer Lagrange-ja nem függ egyesektől általánosított koordináta, akkor miatt Lagrange-egyenletek .

Egy szabad részecskére a Lagrange függvény alakja: , tehát:

A zárt rendszer Lagrange függetlensége a térbeli helyzetétől a tulajdonságból következik a tér homogenitása: egy jól izolált rendszernél a viselkedése nem attól függ, hogy a térben hova helyezzük. Által Noether tétele ez a homogenitás valamilyen fizikai mennyiség megőrzését jelenti. Ezt a mennyiséget impulzusnak nevezzük (közönséges, nem általánosított).

A klasszikus mechanikában teljes lendület Az anyagi pontok rendszerét vektormennyiségnek nevezzük, amely megegyezik az anyagi pontok sebességük szerinti tömegeinek szorzatának összegével:

ennek megfelelően a mennyiséget egy anyagi pont lendületének nevezzük. Ez egy vektormennyiség, amely ugyanabba az irányba van irányítva, mint a részecske sebessége. A lendület mértékegysége a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) az kilogramm méter másodpercenként(kg m/s)

Ha véges méretű testtel van dolgunk, a lendületének meghatározásához a testet apró részekre kell bontani, amelyek anyagi pontoknak tekinthetők, és ezek fölött összegezhetők, így kapjuk:

Egy olyan rendszer lendülete, amelyet semmilyen külső erő nem befolyásol (vagy kompenzál), konzervált időben:

Az impulzus megmaradása ebben az esetben Newton második és harmadik törvényéből következik: Newton második törvényét a rendszert alkotó minden anyagi pontra felírva, és a rendszert alkotó összes anyagi pontra összegezve, Newton harmadik törvénye alapján. törvény alapján megkapjuk az egyenlőséget (*).

A relativisztikus mechanikában a nem kölcsönható anyagi pontok rendszerének háromdimenziós lendülete a mennyiség

,

ahol m i- súly én-th anyagi pont.

A nem kölcsönható anyagi pontok zárt rendszerénél ez az érték megmarad. A háromdimenziós impulzus azonban nem relativisztikusan invariáns mennyiség, mivel a vonatkoztatási rendszertől függ. Értelmesebb érték lesz egy négydimenziós impulzus, amely egy anyagi pontra úgy van definiálva

A gyakorlatban gyakran használják a következő összefüggéseket a részecske tömege, lendülete és energiája között:

Elvileg a nem kölcsönható anyagi pontok rendszerénél ezek 4 momentumait összegzik. A relativisztikus mechanikában kölcsönható részecskék esetében azonban nem csak a rendszert alkotó részecskék momentumát kell figyelembe venni, hanem a köztük lévő kölcsönhatás mezőjének lendületét is. Ezért a relativisztikus mechanikában sokkal értelmesebb mennyiség az energia-impulzus tenzor, amely teljes mértékben kielégíti a megmaradási törvényeket.

8. kérdés

Tehetetlenségi nyomaték- skaláris fizikai mennyiség, a test tehetetlenségének mértéke egy tengely körüli forgómozgásban, ahogyan a test tömege a transzlációs mozgás tehetetlenségének mértéke. Jellemzője a tömegek eloszlása ​​a testben: a tehetetlenségi nyomaték egyenlő az elemi tömegek szorzatának és az alaphalmaztól való távolságuk négyzetének összegével.

Axiális tehetetlenségi nyomaték

Egyes testek tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai.

Mechanikai rendszer tehetetlenségi nyomatéka egy rögzített tengelyhez képest ("axiális tehetetlenségi nyomaték") értéknek nevezzük J a egyenlő az összes tömegek szorzatának összegével n a rendszer anyagi pontjai a tengelytől való távolságuk négyzeteibe:

,

• m i- súly én-adik pont,
• r i- távolság tőle én-adik pont a tengelyhez.

Tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték test J a a test tehetetlenségének mértéke egy tengely körüli forgó mozgásban, ahogyan a test tömege a transzlációs mozgás tehetetlenségének mértéke.

,

• dm = ρ dV- a test kis térfogatú elemének tömege dV,
• ρ - sűrűség,
• r- távolság az elemtől dV az a tengelyhez.

Ha a test homogén, azaz sűrűsége mindenhol azonos, akkor

Képlet levezetése

dmés a tehetetlenségi pillanatok DJ i. Azután

Vékonyfalú henger (gyűrű, karika)

Képlet levezetése

Egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az alkotórészei tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Vékony falú henger tömeges elemekre osztása dmés a tehetetlenségi pillanatok DJ i. Azután

Mivel a vékony falú henger minden eleme azonos távolságra van a forgástengelytől, az (1) képletet a következőre alakítjuk

Steiner tétele

Tehetetlenségi nyomaték A merev test bármely tengelyhez viszonyított értéke nemcsak a test tömegétől, alakjától és méreteitől függ, hanem a test e tengelyhez viszonyított helyzetétől is. A Steiner-tétel (Huygens-Steiner-tétel) szerint tehetetlenségi nyomaték test J tetszőleges tengelyhez viszonyítva egyenlő az összeggel tehetetlenségi nyomaték ezt a testet Jc a vizsgált tengellyel párhuzamos test tömegközéppontján átmenő tengelyhez és a testtömeg szorzatához képest m négyzettávolságonként d tengelyek között:

Ha a test tehetetlenségi nyomatéka a test tömegközéppontján átmenő tengely körül, akkor a tőle távolabb elhelyezkedő párhuzamos tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egyenlő

,

hol van a test össztömege.

Például egy rúd tehetetlenségi nyomatéka a végén áthaladó tengely körül:

Forgási energia

A forgó mozgás kinetikus energiája- a test forgásához kapcsolódó energiája.

Egy test forgómozgásának fő kinematikai jellemzői a szögsebesség (ω) és a szöggyorsulás. A forgómozgás fő dinamikus jellemzői a z forgástengely körüli impulzusimpulzus:

Kz = Izω

és a mozgási energiát

ahol I z a test tehetetlenségi nyomatéka a forgástengely körül.

Hasonló példát találhatunk, ha egy forgó molekulát veszünk figyelembe, amelynek fő tehetetlenségi tengelye van én 1, én 2és én 3. Egy ilyen molekula forgási energiáját a kifejezés adja meg

ahol ω 1, ω 2, és ω 3 a szögsebesség fő összetevői.

Általános esetben a szögsebességű forgási energiát a következő képlet határozza meg:

, ahol én a tehetetlenségi tenzor.

9. kérdés

impulzus pillanata (szögimpulzus, szögimpulzus, pályamomentum, szögimpulzus) a forgómozgás mértékét jellemzi. Olyan mennyiség, amely attól függ, hogy mekkora tömeg forog, hogyan oszlik el a forgástengely körül, és milyen gyorsan megy végbe a forgás.

Meg kell jegyezni, hogy a forgás itt tág értelemben értendő, nem csak szabályos tengely körüli forgásként. Például egy testnek egy tetszőleges képzeletbeli ponton túlmenő egyenes vonalú mozgása esetén is van egy szögimpulzusa. A tényleges forgómozgás leírásában talán a szögimpulzusnak van a legnagyobb szerepe. Ez azonban rendkívül fontos a problémák sokkal szélesebb osztálya esetén (főleg, ha a probléma központi vagy tengelyirányú szimmetriájú, de nem csak ezekben az esetekben).

A lendület megmaradásának törvénye(a szögimpulzus megmaradásának törvénye) - bármely tengely körüli összes szögnyomaték vektorösszege zárt rendszer esetén állandó marad a rendszer egyensúlya esetén. Ennek megfelelően egy zárt rendszer szögimpulzusa a szögimpulzus bármely nem időbeli deriváltjához képest az erőnyomaték:

Így a rendszerzárás követelménye gyengíthető arra a követelményre, hogy a külső erők fő (összes) nyomatéka nullával egyenlő legyen:

ahol a részecskék rendszerére ható erők egyikének nyomatéka. (De persze ha egyáltalán nincsenek külső erők, akkor ez a követelmény is teljesül).

Matematikailag a szögimpulzus megmaradásának törvénye a tér izotrópiájából, vagyis a tér tetszőleges szögön keresztüli forgással kapcsolatos invarianciájából következik. Tetszőleges végtelen kicsi szögben történő elforgatáskor a számmal rendelkező részecske sugárvektora -val változik, a sebességek pedig -. A rendszer Lagrange-függvénye a tér izotrópiája miatt nem változik ilyen forgás közben. Így

1. Tekintsük a test forgását mozdulatlan tengely Z. Osszuk fel az egész testet m elemi tömegek halmazára én. Az elemi tömeg lineáris sebessége m én– v i = w R én, ahol R én– tömegtávolság m én a forgástengelytől. Ezért a mozgási energia én-edik elemi tömeg egyenlő lesz . A test teljes kinetikus energiája: , itt a test tehetetlenségi nyomatéka a forgástengely körül.

Így egy rögzített tengely körül forgó test kinetikus energiája:

2. Hagyja, hogy a test most forog valamilyen tengelyről, és tengelye mozog fokozatosan, önmagával párhuzamosan maradva.

PÉLDA: Csúszás nélkül gördülő labda forgó mozgást végez, és a súlypontja, amelyen a forgástengely áthalad ("O" pont), előremozdul (4.17. ábra).

Sebesség én-hogy a test elemi tömege egyenlő , ahol a test valamely "O" pontjának sebessége; – sugárvektor, amely meghatározza az elemi tömeg helyzetét az „O” ponthoz képest.

Egy elemi tömeg mozgási energiája egyenlő:

MEGJEGYZÉS: a vektorszorzat irányában egybeesik a vektorral, és modulusa egyenlő (4.18. ábra).

Ezt a megjegyzést figyelembe véve azt írhatjuk , ahol a tömeg távolsága a forgástengelytől. A második tagban elkészítjük a faktorok ciklikus permutációját, ami után megkapjuk

A test teljes kinetikus energiájának megszerzéséhez ezt a kifejezést az összes elemi tömegre összegezzük, az összeg előjeléből kivonva az állandó tényezőket. Kap

Az elemi tömegek összege az "m" test tömege. A kifejezés egyenlő a test tömegének és a test tehetetlenségi középpontjának sugárvektorának szorzatával (a tehetetlenségi középpont meghatározása szerint). Végül - a test tehetetlenségi nyomatéka az "O" ponton átmenő tengely körül. Ezért lehet írni

.

Ha a "C" test tehetetlenségi középpontját vesszük "O" pontnak, akkor a sugárvektor nulla lesz, és a második tag eltűnik. Ezután a tehetetlenségi középpont sebességét és a test tehetetlenségi nyomatékát a "C" ponton áthaladó tengelyhez képest áthaladva jelöljük:

(4.6)

Így a test kinetikus energiája a síkbeli mozgás során a tehetetlenségi középpont sebességével megegyező sebességű transzlációs mozgás energiájából és a test tehetetlenségi középpontján átmenő tengely körüli forgási energiából tevődik össze.

A külső erők munkája merev test forgómozgása során.

Határozza meg az erők által végzett munkát, amikor a test a rögzített Z tengely körül forog.

Hagyja, hogy a tömegre egy belső és egy külső erő hat (a keletkező erő a forgástengelyre merőleges síkban fekszik) (4.19. ábra). Ezek az erők időben hatnak dt munka:

Miután elvégeztük a faktorok ciklikus permutációját vektorok vegyes szorzatában, azt találtuk:

ahol , - a belső és külső erők nyomatéka az "O" ponthoz viszonyítva.

Az összes elemi tömeget összeadva megkapjuk az idő alatt a testen végzett elemi munkát dt:

A belső erők nyomatékainak összege nulla. Ezután a -n keresztüli külső erők össznyomatékát jelölve a kifejezéshez jutunk:

.

Ismeretes, hogy két vektor skaláris szorzata egy olyan skalár, amely egyenlő az egyik szorzott vektor modulusának és a másodiknak az első irányára vetítésének szorzatával, figyelembe véve, hogy , (a vektor irányai Z tengely és egybeesik), kapjuk

,

de w dt=d j, azaz az a szög, amelyen keresztül a test időben elfordul dt. Így

.

A mű előjele M z előjelétől függ, azaz. a vektor vetületének előjeléből a vektor irányába .

Tehát amikor a test forog, a belső erők nem működnek, és a külső erők munkáját a képlet határozza meg .

A véges időintervallum alatt végzett munkát integrálással találjuk meg

.

Ha a külső erők eredő nyomatékának vetülete az irányra állandó marad, akkor kivehető az integrál előjelből:

, azaz .

Azok. a külső erő munkája a test forgómozgása során egyenlő a külső erő nyomatéka és a forgás iránya és szöge vetületének szorzatával.

Másrészt a testre ható külső erő munkája a test mozgási energiáját növeli (vagy megegyezik a forgó test mozgási energiájának változásával). Mutassuk meg:

;

Ennélfogva,

. (4.7)

Önállóan:

Rugalmas erők;

Hooke törvénye.

7. ELŐADÁS

Hidrodinamika

Áramvonalak és csövek.

A hidrodinamika a folyadékok mozgását vizsgálja, de törvényei érvényesek a gázok mozgására is. Álló folyadékáramlásban a részecskéinek sebessége a tér minden pontjában időtől független mennyiség, amely a koordináták függvénye. Álló áramlásban a folyadékrészecskék pályái áramvonalat alkotnak. Az áramvonalak halmaza egy patakcsövet alkot (5.1. ábra). Feltételezzük, hogy a folyadék összenyomhatatlan, akkor a szakaszokon átáramló folyadék térfogata S 1 és S 2 ugyanaz lesz. Egy másodperc alatt a folyadék térfogata egyenlő

, (5.1)

ahol és a folyadéksebesség a keresztmetszetekben S 1 és S 2 , valamint a és vektorok és , ahol és a szakaszok normálisai S 1 és S 2. Az (5.1) egyenletet sugárfolytonossági egyenletnek nevezzük. Ebből az következik, hogy a folyadék sebessége fordítottan arányos az áramcső keresztmetszetével.

Bernoulli egyenlet.

Ideális összenyomhatatlan folyadékot fogunk tekinteni, amelyben nincs belső súrlódás (viszkozitás). Válasszunk ki egy vékony áramcsövet egy állandóan áramló folyadékban (5.2. ábra) keresztmetszettel S1és S2 merőleges az áramvonalakra. szakaszban 1 rövid időn belül t a részecskék távolságot mozdulnak el l 1, és a részben 2 - távolról l 2. Mindkét szakaszon át időben t egyenlő kis térfogatú folyadék fog áthaladni V= V 1 = V 2és hordjon sok folyadékot m=rV, ahol r a folyadék sűrűsége. Általában az áramcsőben lévő teljes folyadék mechanikai energiájának változása a szakaszok között S1és S2, ami az idő alatt történt t, helyettesíthető a térfogati energia változásával V, amely akkor történt, amikor az 1. szakaszból a 2. szakaszba került. Egy ilyen mozgással ennek a térfogatnak a kinetikai és potenciális energiája megváltozik, és az energiájának teljes változása

, (5.2)

ahol v 1 és v 2 - a folyadékrészecskék sebessége szakaszokban S1és S2 illetőleg; g- a gravitáció gyorsulása; h1és h2- a szakaszok középpontjának magasságai.

Ideális folyadékban nincs súrlódási veszteség, így az energia növekszik DE egyenlőnek kell lennie a kiosztott térfogatra ható nyomóerők által végzett munkával. Súrlódási erők hiányában ez a munka:

Az (5.2) és (5.3) egyenlőségek jobb oldalát egyenlővé téve, és az azonos indexű tagokat az egyenlőség egy részébe átvisszük, megkapjuk

. (5.4)

Csőszakaszok S1és S2önkényesen vették fel, így vitatható, hogy a kifejezés az aktuális cső bármely szakaszában érvényes

. (5.5)

Az (5.5) egyenletet Bernoulli-egyenletnek nevezzük. A vízszintes áramvonalhoz h = const , az egyenlőség (5.4) pedig formát ölt

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

azok. kisebb a nyomás azokon a pontokon, ahol a sebesség nagyobb.

Belső súrlódási erők.

A viszkozitás egy valódi folyadék velejárója, ami abban nyilvánul meg, hogy a folyadék és a gáz bármilyen mozgása spontán módon leáll az azt okozó okok hiányában. Tekintsünk egy olyan kísérletet, amelyben egy folyékony réteg egy rögzített felület felett helyezkedik el, és egy rajta lebegő lemez egy felülettel felülről sebességgel mozog. S(5.3. ábra). A tapasztalat azt mutatja, hogy a lemez állandó sebességű mozgatásához erővel kell rá hatni. Mivel a lemez nem kap gyorsulást, ez azt jelenti, hogy ennek az erőnek a hatását egy másik, vele egyenlő nagyságú és ellentétes irányú erő ellensúlyozza, ez a súrlódási erő . Newton megmutatta, hogy a súrlódási erő

, (5.7)

ahol d- a folyadékréteg vastagsága, h - a folyadék viszkozitási együtthatója vagy súrlódási együtthatója, a mínusz előjel a vektorok eltérő irányát veszi figyelembe F trés v o. Ha megvizsgáljuk a folyadékrészecskék sebességét a réteg különböző helyein, akkor kiderül, hogy az lineáris törvény szerint változik (5.3. ábra):

v(z) = (v 0/d) z.

Megkülönböztetve ezt az egyenlőséget, azt kapjuk dv/dz= v 0 /d. Ezt észben tartva

az (5.7) képlet alakját veszi fel

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

ahol h- dinamikus viszkozitási együttható. Érték dv/dz sebességgradiensnek nevezzük. Megmutatja, hogy milyen gyorsan változik a sebesség a tengely irányában z. Nál nél dv/dz= const sebességgradiens numerikusan egyenlő a sebességváltozással v amikor megváltozik z egységenként. Számszerűen beírjuk az (5.8) képletbe dv/dz =-1 és S= 1, kapjuk h = F. ez azt jelenti fizikai jelentés h: a viszkozitási együttható számszerűen egyenlő azzal az erővel, amely egy egységnyi területű folyékony rétegre 1-gyel egyenlő sebességgradiens mellett hat. A viszkozitás SI mértékegységét pascal másodpercnek nevezzük (Pa s). A CGS rendszerben a viszkozitás mértékegysége 1 poise (P), 1 Pa s = 10P.