Határozza meg a grafikonra húzott érintő meredekségét! A függvény grafikonjának érintőjének egyenlete
Legyen adott egy f függvény, amelynek egy x 0 pontban véges deriváltja van f (x 0). Ekkor az (x 0; f (x 0) ponton átmenő f '(x 0) meredekségű egyenest érintőnek nevezzük.
De mi történik, ha a derivált az x 0 pontban nem létezik? Két lehetőség van:
- A gráf érintője szintén nem létezik. A klasszikus példa az y = |x | függvény pontban (0; 0).
- Az érintő függőleges lesz. Ez igaz például az y = arcsin x függvényre az (1; π /2) pontban.
Érintőegyenlet
Bármely nem függőleges egyenest egy y = kx + b alakú egyenlet ad meg, ahol k a meredekség. Ez alól az érintő sem kivétel, és ahhoz, hogy egyenletét egy x 0 pontban meg lehessen alkotni, elég ismerni a függvény és a derivált értékét ezen a ponton.
Adjunk tehát egy függvényt y \u003d f (x), amelynek a szegmensen y \u003d f '(x) deriváltja van. Ekkor bármely x 0 ∈ (a; b) pontban húzható egy érintő a függvény grafikonjára, amelyet a következő egyenlet ad meg:
y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)
Itt f ’(x 0) a derivált értéke az x 0 pontban, f (x 0) pedig magának a függvénynek az értéke.
Egy feladat. Adott egy y = x 3 függvény. Írjunk fel egyenletet a függvény grafikonjának érintőjére az x 0 = 2 pontban.
Érintőegyenlet: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Az x 0 = 2 pont adott nekünk, de az f (x 0) és f '(x 0) értékeket ki kell számítani.
Először is keressük meg a függvény értékét. Itt minden egyszerű: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Most keressük meg a deriváltot: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Helyettesítsük be az x 0 = 2 deriváltban: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Így kapjuk: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ez a tangens egyenlet.
Egy feladat. Állítsa össze az f (x) \u003d 2sin x + 5 függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x 0 \u003d π / 2 pontban.
Ezúttal nem írunk le részletesen minden egyes műveletet, csak a legfontosabb lépéseket jelezzük. Nekünk van:
f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;
Érintőegyenlet:
y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
Utóbbi esetben a vonal vízszintesnek bizonyult, mert a meredeksége k = 0. Nincs ezzel semmi baj - csak egy szélsőséges pontba botlottunk.
A matematikában az egyenes helyzetét a derékszögű koordinátasíkon leíró paraméterek egyike ennek az egyenesnek a meredeksége. Ez a paraméter jellemzi az egyenes lejtését az x tengelyhez képest. Ahhoz, hogy megértsük, hogyan találjuk meg a lejtőt, először idézzük fel az egyenes egyenletének általános formáját az XY koordinátarendszerben.
Általánosságban elmondható, hogy bármely egyenes ábrázolható az ax+by=c kifejezéssel, ahol a, b és c tetszőleges valós számok, de szükségszerűen a 2 + b 2 ≠ 0.
Egyszerű transzformációk segítségével egy ilyen egyenlet y=kx+d alakba hozható, amelyben k és d valós számok. A k szám egy meredekség, és az ilyen egyenes egyenletét meredekségű egyenletnek nevezzük. Kiderült, hogy a lejtő megtalálásához csak az eredeti egyenletet kell a fenti alakba hozni. A jobb megértés érdekében vegyünk egy konkrét példát:
Feladat: Keresse meg a 36x - 18y = 108 egyenlettel megadott egyenes meredekségét
Megoldás: Alakítsuk át az eredeti egyenletet.
Válasz: Ennek az egyenesnek a kívánt meredeksége 2.
Ha az egyenlet transzformációja során x = const típusú kifejezést kaptunk, és ennek következtében y-t nem tudjuk x függvényében ábrázolni, akkor az X tengellyel párhuzamos egyenessel van dolgunk. egy ilyen egyenes egyenlő a végtelennel.
Az olyan egyenesek esetében, amelyeket egy egyenlet (például y = const) fejez ki, a meredekség nulla. Ez jellemző az x tengellyel párhuzamos egyenesekre. Például:
Feladat: Keresse meg a 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 egyenlettel megadott egyenes meredekségét
Megoldás: Az eredeti egyenletet általános alakra hozzuk
24x + 12 év - 12 év + 28 = 4
A kapott kifejezésből lehetetlen y-t kifejezni, ezért ennek az egyenesnek a meredeksége egyenlő a végtelennel, és maga az egyenes párhuzamos lesz az Y tengellyel.
geometriai érzék
A jobb megértés érdekében nézzük meg a képet:
Az ábrán egy y = kx típusú függvény grafikonját látjuk. Az egyszerűsítés kedvéért vegyük a c = 0 együtthatót. Az OAB háromszögben a BA oldal és az AO aránya egyenlő lesz a k meredekséggel. Ugyanakkor a BA / AO arány az OAB derékszögű háromszög α hegyesszögének érintője. Kiderül, hogy egy egyenes meredeksége egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet ez az egyenes a koordináta-rács x tengelyével bezár.
Megoldva azt a feladatot, hogy hogyan találjuk meg egy egyenes meredekségét, megtaláljuk az egyenes és a koordinátarács x tengelye közötti szög érintőjét. A határesetek, amikor a vizsgált egyenes párhuzamos a koordinátatengelyekkel, megerősítik a fentieket. Valójában az y=const egyenlettel leírt egyenes esetében a szög az x tengely között egyenlő nullával. A nulla szög érintője is nulla és a meredekség is nulla.
Az x tengelyre merőleges és az x=const egyenlettel leírt egyeneseknél a köztük és az x tengely közötti szög 90 fok. A derékszög érintője egyenlő a végtelennel, a hasonló egyenesek meredeksége pedig a végtelennel, ami megerősíti a fent leírtakat.
Érintő lejtő
Gyakori, a gyakorlatban gyakran előforduló feladat az is, hogy meg kell találni a függvénygráf érintőjének valamikor a meredekségét. Az érintő egy egyenes, ezért a lejtés fogalma is alkalmazható rá.
Ahhoz, hogy kitaláljuk, hogyan találjuk meg az érintő meredekségét, fel kell idéznünk a derivált fogalmát. Bármely függvény deriváltja egy adott ponton egy állandó számszerűen egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amely a függvény grafikonjának meghatározott pontjában lévő érintője és az abszcissza tengelye között alakul ki. Kiderül, hogy az érintő meredekségének meghatározásához az x 0 pontban ki kell számítanunk az eredeti függvény deriváltjának értékét ebben a pontban k \u003d f "(x 0). Tekintsünk egy példát:
Feladat: Határozzuk meg az y = 12x 2 + 2xe x függvényt érintő egyenes meredekségét x = 0,1-nél!
Megoldás: Keresse meg az eredeti függvény deriváltját általános formában
y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1
Válasz: A kívánt meredekség az x pontban \u003d 0,1 4,831
Tekintsük a következő ábrát:
Valamilyen y = f(x) függvényt mutat, amely az a pontban differenciálható. Az M pontot koordinátákkal jelöltük (a; f(a)). A gráf tetszőleges P(a + ∆x; f(a + ∆x)) pontján keresztül egy szekáns MP rajzolódik ki.
Ha most a P pontot eltoljuk a grafikon mentén az M pontig, akkor az MP egyenes az M pont körül fog forogni. Ebben az esetben ∆x nullához fog fordulni. Innen megfogalmazhatjuk egy függvény grafikonjának érintőjének definícióját.
Függvénygráf érintője
A függvény grafikonjának érintője a szekáns határhelyzete, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik. Meg kell érteni, hogy az f függvény deriváltjának létezése az x0 pontban azt jelenti, hogy a gráf ezen pontján tangens neki.
Ebben az esetben az érintő meredeksége egyenlő lesz a függvény deriváltjával ebben az f'(x0) pontban. Ez a származék geometriai jelentése. Az x0 pontban differenciálható f függvény grafikonjának érintője az (x0;f(x0)) ponton átmenő, f’(x0) meredekségű egyenes.
Érintőegyenlet
Próbáljuk meg megszerezni az A(x0; f(x0) pontban lévő f függvény grafikonjának érintőjének egyenletét. A k meredekségű egyenes egyenlete a következő:
Mivel a meredekségünk egyenlő a deriválttal f'(x0), akkor az egyenlet a következő alakot ölti: y = f'(x0)*x + b.
Most számoljuk ki b értékét. Ehhez azt a tényt használjuk, hogy a függvény áthalad az A ponton.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, innen fejezzük ki b-t és kapjuk, hogy b = f(x0) - f’(x0)*x0.
A kapott értéket behelyettesítjük az érintőegyenletbe:
y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
Tekintsük a következő példát: keresse meg az f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x \u003d 2 pontban.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f'(x) = 3*x2 - 4*x.
4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Helyettesítsük be a kapott értékeket az érintőképletbe, így kapjuk: y = 1 + 4*(x - 2). A zárójeleket kinyitva és hasonló kifejezéseket hozva a következőt kapjuk: y = 4*x - 7.
Válasz: y = 4*x - 7.
Az érintőegyenlet összeállításának általános sémája az y = f(x) függvény grafikonjára:
1. Határozzuk meg az x0-t.
2. Számítsa ki az f(x0) értéket.
3. Számítsa ki f'(x)
A minősítő vizsgán "Az érintő szögegyütthatója, mint a dőlésszög érintője" témakör egyszerre több feladatot kap. Állapotától függően előfordulhat, hogy a végzősnek teljes és rövid választ is kell adnia. A matematika vizsgára való felkészüléskor a tanulónak feltétlenül meg kell ismételnie azokat a feladatokat, amelyekben az érintő meredekségét kell kiszámítani.
A Shkolkovo oktatási portál segít ebben. Szakértőink elméleti és gyakorlati anyagokat készítettek és mutattak be, amennyire csak lehetséges. Miután megismerkedtek vele, bármilyen képzettséggel rendelkező diplomások képesek lesznek sikeresen megoldani a származékokkal kapcsolatos problémákat, amelyekben meg kell találni az érintő meredekségének érintőjét.
Alapvető pillanatok
Az ilyen feladatok helyes és racionális megoldásának megtalálásához az USE-ban fel kell idéznünk az alapdefiníciót: a derivált a függvény változási sebessége; egyenlő a függvény grafikonjára egy bizonyos pontban húzott érintő meredekségének érintőjével. Ugyanilyen fontos a rajz befejezése. Lehetővé teszi, hogy megtalálja a megfelelő megoldást az USE problémákra a deriválton, amelyben ki kell számítani az érintő meredekségének érintőjét. Az érthetőség kedvéért a legjobb, ha egy grafikont az OXY síkon ábrázolunk.
Ha már megismerkedett a származékos témájú alapanyaggal, és készen áll az érintő meredekségének tangensének kiszámítására vonatkozó problémák megoldására, hasonlóan az USE feladatokhoz, megteheti ezt online. Minden feladathoz, például „A derivált kapcsolata a test sebességével és gyorsulásával” témakörben felírtuk a helyes választ és a megoldási algoritmust. Ebben az esetben a tanulók gyakorolhatják a különféle bonyolultságú feladatok elvégzését. Ha szükséges, a gyakorlatot el lehet menteni a „Kedvencek” rovatba, így később megbeszélheti a döntést a tanárral.