「関数の最小の正の周期を求める」タグが付いた投稿。 関数の最小の正の周期を見つける方法
最小正数 期間 機能三角法では f と表されます。 これは、正の数 T の最小値によって特徴付けられます。つまり、T の値が小さいほど、 期間オーム 機能 .
必要になるだろう
- – 数学の参考書。
説明書
1. その点に注意してください 期間 ical 関数には常に正しい最小値があるわけではありません 期間。 したがって、たとえば次のようになります 期間そして継続的な 機能無条件に任意の数値が存在する可能性があります。つまり、最小の正の値を持たない可能性があります。 期間 A. 非永久的なものもあります 期間病気の 機能、最小の正しい値がありません 期間 A. ただし、ほとんどの場合、最小値が正しいです 期間で 期間まだいくつかの ical 機能があります。
2. 最小 期間サインは 2? に等しい。 これを証明する例を参照してください。 機能 y=sin(x)。 T を任意とする 期間オームサイン、この場合、a の任意の値に対して sin(a+T)=sin(a) となります。 a=?/2の場合、sin(T+?/2)=sin(?/2)=1となる。 ただし、sin(x)=1となるのは、x=?/2+2?n(nは整数)の場合のみである。 したがって、Ｔ＝２?ｎとなり、２?ｎの最小の正の値は２?ｎであることを意味する。
3. 最低限の正解 期間コサインも2?に等しい。 これを証明する例を参照してください。 機能 y=cos(x)。 Tが任意の場合 期間 om コサインの場合、cos(a+T)=cos(a)。 a=0の場合、cos(T)=cos(0)=1となります。 これを考慮すると、cos(x) = 1 となる T の最小の正の値は 2? です。
4. 2という事実を考慮すると？ – 期間サインとコサインは同じ値になります 期間ただし、オームコタンジェントとタンジェントは最小値ではありません。よく知られているように、最小値が正しいためです。 期間タンジェントとコタンジェントは等しいですか? これは、次の例を見ることで確認できます。三角円上の数値 (x) と (x+?) に対応する点は、正反対の位置にあります。 点(x)から点(x+2?)までの距離は半円に相当します。 タンジェントとコタンジェントの定義により、tg(x+?)=tgx、ctg(x+?)=ctgx となり、最小値が正しいことを意味します。 期間コタンジェントとタンジェントは等しいですか?
周期関数は、ゼロ以外の一定期間後に値を繰り返す関数です。 関数のピリオドは、関数の引数に追加されても関数の値を変更しない数値です。
必要になるだろう
- 初等数学の知識と基礎復習。
説明書
1. 関数 f(x) の周期を数値 K で表しましょう。私たちのタスクは、この K の値を発見することです。これを行うには、周期関数の定義を使用して、関数 f(x) が次のように等しいと想像してください。 f(x+K)=f(x)。
2. あたかも x が定数であるかのように、未知の K に関する結果の方程式を解きます。 K の値に応じて、いくつかのオプションがあります。
3. K>0 の場合 – これは関数の周期です。 K=0 の場合 – 方程式 f(x+K)=f(x) の解が存在しない場合、関数 f(x) は周期的ではありません。 K がゼロに等しくない場合、そのような関数は非周期関数と呼ばれ、周期もありません。
トピックに関するビデオ
注記！
すべての三角関数は周期的であり、2 より大きい次数を持つすべての多項式関数は非周期的です。
役立つアドバイス
2 つの周期関数からなる関数の周期は、これらの関数の周期の最小公倍数です。
円上の点を考えると、点 x、x + 2π、x + 4π などになります。 互いに一致します。 したがって、三角関数 機能直線上にある 定期的にそれらの意味を繰り返します。 有名な時代なら 機能、この期間で関数を構築し、それを他の期間で繰り返すことができます。
説明書
1. 周期は、f(x) = f(x+T) となる数値 T です。 周期を求めるには、x と x+T を引数として代入して、対応する方程式を解きます。 この場合、関数の既知の期間が使用されます。 サイン関数とコサイン関数の場合、周期は 2π であり、タンジェント関数とコタンジェント関数の場合、周期は π です。
2. 関数 f(x) = sin^2(10x) が与えられるとします。 式 sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) を考えてみましょう。 次数を減らすには、sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2 という公式を使用します。 すると、1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) または cos 20x = cos (20x+20T) となります。 コサインの周期が 2π であることがわかっていると、20T = 2π となります。 これは、T = π/10 を意味します。 T は最小の正しい周期であり、この機能は 2T 後、3T 後、および軸に沿った反対方向 (-T、-2T など) に繰り返されます。
役立つアドバイス
関数の次数を減らすには公式を使用します。 いくつかの関数の期間がすでにわかっている場合は、既存の関数を有名なものに絞り込んでみてください。
特定の数の後に値が繰り返される関数が呼び出されます 定期的な。 つまり、x の値にピリオドをいくつ加えても、関数は同じ数値になります。 周期関数の検索は、不必要な作業を実行しないように、最小周期の検索から始まります。その周期に等しい間隔ですべての特性を調べるだけで十分です。
説明書
1. 定義を使用する 定期的な 機能。 すべての x 値 機能(x+T) に置き換えます。T は最小期間です。 機能。 T を未知数として、結果の方程式を解きます。
2. その結果、特定のアイデンティティが得られます。そこから最小の期間を選択してみてください。 たとえば、sin(2T)=0.5 という等式が得られた場合、2T=P/6、つまり T=P/12 となります。
3. T = 0 の場合、またはパラメーター T が x に依存する場合にのみ等式が正しいことが判明した場合 (つまり、等価 2T = x が得られた場合)、関数は周期的ではないと結論付けます。
4. 最低期間を知るには 機能三角関数式が 1 つだけ含まれている場合は、ルールを使用します。 式に sin または cos が含まれる場合、ピリオドは 機能は 2P となり、関数 tg、ctg の場合、最小周期 P を設定します。関数はべき乗してはならず、符号の下の変数は使用できないことに注意してください。 機能 1 以外の数値を乗算しないでください。
5. cos または sin が内側にある場合 機能均等電力に構築されると、周期 2P が半分になります。 次のようにグラフで見ることができます。 機能 x 軸の下にある は対称的に上向きに反射されるため、関数は 2 倍の頻度で繰り返されます。
6. 最低期間を求めるには 機能角度 x に任意の数を乗算すると、次のように進みます。この角度の典型的な周期を決定します。 機能(2P だとしましょう)。 その後、変数の前の係数で割ります。 これが希望する最小期間になります。 周期の減少はグラフ上ではっきりと確認できます。周期は、三角関数の符号の下の角度を乗算したときと同じ回数だけ圧縮されます。 機能 .
7. x の前に 1 未満の小数が付くと、周期が増加し、逆にグラフが伸びることに注意してください。
8. 式に 2 つの周期がある場合 機能それぞれを乗算して、それぞれの最小期間を個別に求めます。 この後、それらの最小普遍係数を決定します。 たとえば、期間 P と 2/3P の場合、最小普遍因数は 3P になります (P と 2/3P の両方で剰余なしで割り切れます)。
従業員の平均給与の計算は、一時的な障害給付金の計算や出張の支払いに必要です。 専門家の平均収入は実際の労働時間に基づいて計算され、人員配置表に指定されている給与、手当、ボーナスによって異なります。
必要になるだろう
- – 人員配置表。
- - 計算機;
- - 右;
- - 生産カレンダー;
- – タイムシートまたは作業完了報告書。
説明書
1. 従業員の平均給与を計算するには、まず、計算する必要がある期間を決定します。 通常どおり、この期間は 12 暦月です。 ただし、従業員がその企業で 1 年未満、たとえば 10 か月しか働いていない場合は、その専門家が職務を遂行する時間の平均収入を見つける必要があります。
2. 次に、請求期間中に実際に発生した賃金の額を決定します。 これを行うには、従業員に支払うべきすべての支払いが支払われた給与明細を使用します。 これらの書類を使用することが考えられない場合は、月給、賞与、手当に 12 を掛けます (従業員の雇用期間が 1 年未満の場合は、その従業員がその企業で働いている月数を掛けます)。 ）。
3. 1 日の平均収入を計算します。 これを行うには、請求期間の賃金額を 1 か月の平均日数 (現在は 29.4 日) で割ります。 結果の合計を 12 で割ります。
4. その後、実際に働いた時間を計算します。 これを行うには、タイムシートを使用します。 この文書は、タイムキーパー、人事担当者、または職務上の責任を負うその他の従業員によって記入されなければなりません。
5. 実際に働いた時間数に平均日給を掛けます。 受け取った金額は、その年の専門家の平均給与です。 合計を 12 で割ります。これが平均月収になります。 この計算は、賃金が実際の労働時間に依存する従業員に使用されます。
6. 従業員が出来高払いで支払われる場合、関税率（人員配置表に示され、雇用契約によって決定される）に生産された製品の数を掛けます（作業完了証明書またはこれが記録された別の文書を使用します）。
注記！
関数 y=cos(x) と y=sin(x) を混同しないでください。同じ周期を持ちます。これらの関数は異なって表されています。
役立つアドバイス
より明確にするために、正しい最小周期が計算される三角関数を描きます。
説明書
その点に注意してください 期間 ical は常に最小の正の値をもつわけではありません 期間。 したがって、たとえば次のようになります 期間定数 機能絶対に任意の数値を指定でき、最小の正の値を持たない可能性があります。 期間 A. 非永久的なものもあります 期間病気の 機能、ポジティブな値が最も低いものではありません 期間 A. ただし、ほとんどの場合、最小のプラスは 期間で 期間まだイチカルなものがあります。
少しでも 期間サインは 2? に等しい。 この例を考えてみましょう 機能 y=sin(x)。 T を任意とする 期間オームサイン、この場合、a の任意の値に対して sin(a+T)=sin(a) となります。 a=?/2の場合、sin(T+?/2)=sin(?/2)=1となる。 ただし、sin(x)=1 となるのは、x=?/2+2?n (n は整数) の場合のみです。 したがって、T=2?n となり、したがって、最小の正の値は 2?n 2? となります。
最もポジティブではない 期間コサインも2?に等しい。 これを例を挙げて証明してみましょう 機能 y=cos(x)。 Tが任意の場合 期間 om コサインの場合、cos(a+T)=cos(a)。 a=0の場合、cos(T)=cos(0)=1となります。 これを考慮すると、cos(x) = 1 となる T の最小の正の値は 2? です。
2という事実を考慮すると？ – 期間サインとコサインも同様になります 期間オームコタンジェント、タンジェントと同様に、最小値ではありません。 期間タンジェントとコタンジェントは等しいですか? これは、次のことを考慮することで確認できます。三角円上の (x) と (x+?) に対応する点は、正反対の位置にあります。 点(x)から点(x+2?)までの距離は半円に相当します。 正接と余接の定義により、tg(x+?)=tgx、および ctg(x+?)=ctgx となり、これは最小の正を意味します。 期間コタンジェントと?。
注記
関数 y=cos(x) と y=sin(x) を混同しないでください。同じ周期を持ち、これらの関数は異なって表されます。
役立つアドバイス
より明確にするために、最小の正の期間が計算される三角関数を描きます。
出典:
- 数学、学校数学、高等数学のハンドブック
周期関数は、ゼロ以外の一定期間後に値を繰り返す関数です。 関数のピリオドは、関数の引数に追加されても関数の値を変更しない数値です。
必要になるだろう
- 初等数学と解析原理の知識。
説明書
トピックに関するビデオ
注記
すべての三角関数は周期的であり、2 より大きい次数を持つすべての多項式関数は非周期的です。
役立つアドバイス
2 つの周期関数から構成される関数の周期は、これらの関数の周期の最小公倍数です。
円上の点を考えると、点 x、x + 2π、x + 4π などになります。 互いに一致します。 したがって、三角関数 機能直線上にある 定期的にそれらの意味を繰り返します。 期間がわかっている場合 機能、この期間に関数を構築し、それを他の期間でも繰り返すことができます。
説明書
関数 f(x) = sin^2(10x) が与えられるとします。 sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) を考えてみましょう。 リダクションには、sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2 の公式を使用します。 次に、1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) または cos 20x = cos (20x+20T) を取得します。 コサインの周期が 2π であることがわかっていると、20T = 2π となります。 これは、T = π/10 を意味します。 T は最小周期であり、この関数は 2T 後、3T 後、軸に沿った側に -T、-2T などのように繰り返されます。
役立つアドバイス
関数の次数を減らすには公式を使用します。 関数の周期がすでにわかっている場合は、既存の関数を既知の関数に還元してみます。
特定の数の後に値が繰り返される関数が呼び出されます 定期的な。 つまり、x の値にピリオドをいくつ加えても、関数は同じ数値になります。 周期関数の研究は、不必要な作業を行わないように、最小周期の検索から始まります。その周期に等しい間隔ですべての特性を研究するだけで十分です。
説明書
その結果、特定のアイデンティティが得られるので、そこから最小期間を選択してみてください。 たとえば、sin(2T)=0.5 という等式が得られた場合、2T=P/6、つまり T=P/12 となります。
T = 0 の場合、またはパラメータ T が x に依存する場合にのみ等式が真であることが判明した場合 (たとえば、2T = x の等価性が得られた場合)、関数は周期的ではないと仮定します。
最短期間を知るには 機能三角関数式を 1 つだけ含む場合は、 を使用します。 式に sin または cos が含まれる場合、ピリオドは 機能は 2P となり、関数 tg、ctg の場合、最小の周期 P を設定します。関数はべき乗してはならず、符号の下の変数を使用しないことに注意してください。 機能 1 以外の数値を乗算してはなりません。
cos または sin が内側にある場合 機能等乗すると2Pの周期が半分になります。 グラフで見ると次のようになります。 機能 x 軸の下の , は対称的に上に反映されるため、関数は 2 倍の頻度で繰り返されます。
最小の周期を求めるには 機能角度 x に任意の数値を乗算すると、次のように進みます。この角度の標準周期を決定します。 機能(たとえば、cos の場合は 2P)。 次に、変数の前で分割します。 これは必要な最短の期間となります。 周期の減少はグラフ上ではっきりと確認できます。これは、三角関数の記号の下の角度を で乗算した数とまったく同じです。 機能.
式に 2 つの周期がある場合 機能互いに乗算して、それぞれの最小の周期を個別に見つけます。 次に、それらの最小公倍数を決定します。 たとえば、期間 P と 2/3P の場合、最小公約数は 3P になります (P と 2/3P の両方に剰余はありません)。
従業員の平均給与の計算は、一時障害給付金の計算や出張費の支払いに必要です。 スペシャリストの平均給与は、実際に働いた時間に基づいて計算され、人員配置表に指定されている給与、手当、賞与によって異なります。
ご要望に応じて！
7. 関数の最小の正の期間を見つけます: y=2cos(0.2x+1)。
ルールを適用してみましょう: 関数 f が周期的で周期 T を持つ場合、関数 y=Af(kx+b) (A、k、b は定数、k≠0) も周期的であり、その周期は T o = T です。 k|。私たちにとって、T=2π はコサイン関数の最小の正の周期、k=0.2 です。 T o = 2π:0.2=20π:2=10π がわかります。
9. 正方形の頂点から等距離にある点からその平面までの距離は 9 dm です。 正方形の一辺が 8 dm の場合、この点から正方形の辺までの距離を求めます。
10. 方程式を解きます: 10=|5x+5x 2 |。
|10|=10 および |-10|=10 であるため、1) 5x 2 +5x=10 および 2) 5x 2 +5x=-10 の 2 つのケースが考えられます。 それぞれの等式を 5 で割って、得られる二次方程式を解きます。
1) x 2 +x-2=0、ビエタの定理による根 x 1 =-2、x 2 =1。 2) × 2 +x+2=0。 判別式は負です - 根がありません。
11. 方程式を解きます。
等式の右側に主な対数恒等式を適用します。
平等が得られます。
二次方程式 x 2 -3x-4=0 を解き、根を求めます。 x 1 =-1、x 2 =4.
13. 方程式を解き、指定された区間での根の合計を求めます。
22. 不等式を解く：
このとき、不等式は次のような形式になります: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. 行 y= ある x+b は直線 y=2x+3 に垂直で、点 C(4; 5) を通過します。 その方程式を書き留めます。 直接条件 k 1 ∙k 2 =-1 が満たされる場合、y=k 1 x+b 1 と y=k 2 x+b 2 は互いに直交します。したがって、 あ·2=-1。 目的の直線は、y=(-1/2) x+b のようになります。 代わりに直線の方程式で b の値を見つけます。 バツそして で点Cの座標を代入してみましょう。
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7。 次に、y=(-1/2)x+7 という方程式が得られます。
25. 4 人の漁師 A、B、C、D が自分の釣果を自慢しました。
1. D は C よりも多く捕獲しました。
2. 漁獲量 A と B の合計は、漁獲量 C と D の合計に等しい。
3. A と D を一緒に捕獲すると、B と C を一緒に捕獲するよりも少なくなります。 漁師の釣果を降順に記録します。
我々は持っています： 1)
D>C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D