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物体の慣性モーメントを見つける。一部の物体の慣性モーメントの計算

固定軸（「軸慣性モーメント」）を基準にした値は、値と呼ばれます。 J aすべての質量の積の合計に等しい nシステムのマテリアルポイントを、軸までの距離の2乗に変換します。

m i- 重さ私-ポイント、
r i-からの距離私-軸への-番目のポイント。

アキシャル 慣性モーメント体 J aは、物体の質量が並進運動におけるその慣性の尺度であるのと同様に、軸の周りの回転運動における物体の慣性の尺度です。

体が均質である場合、つまりその密度がどこでも同じである場合、

ホイヘンス-シュタイナーの定理

慣性モーメント任意の軸に対するソリッドボディの角度は、ボディの質量、形状、サイズだけでなく、この軸に対するボディの位置にも依存します。シュタイナーの定理（ホイヘンス-シュタイナーの定理）によると、 慣性モーメント体 J任意の軸を基準にして、合計に等しい 慣性モーメントこの体 Jc考慮される軸に平行な体の重心を通過する軸に対して、および体の質量の積 m平方距離あたり d車軸間：

ここで、は体の総質量です。

たとえば、ロッドの端を通る軸の周りのロッドの慣性モーメントは次のとおりです。

一部の物体の軸慣性モーメント

慣性モーメントいくつかの回転軸に関して最も単純な形の均質な物体

体	説明	軸位置 a	慣性モーメント J a
	質点 m	距離について rある点から、修正
	中空の薄肉シリンダーまたは半径のリング rと大衆 m	シリンダー軸
	ソリッドシリンダーまたはディスク半径 rと大衆 m	シリンダー軸
	中空厚肉マスシリンダー m外径付き r2および内半径 r1	シリンダー軸
	ソリッドシリンダーの長さ l、半径 rと大衆 m
	中空薄肉シリンダー（リング）の長さ l、半径 rと大衆 m	軸は円柱に垂直であり、重心を通過します。
	真っ直ぐな細いロッドの長さ lと大衆 m	軸はロッドに垂直であり、その重心を通過します
	真っ直ぐな細いロッドの長さ lと大衆 m	軸はロッドに垂直で、ロッドの端を通過します
	半径の薄肉球 rと大衆 m	軸は球の中心を通過します
	ボール半径 rと大衆 m	軸はボールの中心を通過します
	円錐半径 rと大衆 m	コーン軸
	高さのある二等辺三角形 h、ベース aと体重 m	軸は三角形の平面に垂直であり、頂点を通過します
	辺の直角三角形 aと体重 m	軸は三角形の平面に垂直であり、重心を通過します
	側面のある正方形 aと体重 m	軸は正方形の平面に垂直であり、重心を通過します

式の導出

薄肉シリンダー（リング、フープ）

式の導出

物体の慣性モーメントは、その構成部品の慣性モーメントの合計に等しくなります。薄肉の円柱を質量のある要素に分割する dm慣性モーメント DJ i。それで

薄肉円筒のすべての要素が回転軸から同じ距離にあるため、式（1）は次の形式に変換されます。

厚肉シリンダー（リング、フープ）

式の導出

外径が均一なリングがあるようにします R、内半径 R 1、厚い hと密度ρ。厚みのある薄いリングに分割しましょう dr。半径の薄いリングの質量と慣性モーメント rになります

太いリングの慣性モーメントを積分として求めます

リングの体積と質量が等しいので

リングの慣性モーメントの最終式を取得します

均質ディスク（中実シリンダー）

式の導出

円柱（ディスク）を内半径がゼロのリングと見なします（ R 1 = 0）、シリンダー（ディスク）の慣性モーメントの式を取得します。

ソリッドコーン

式の導出

コーンを厚さの薄いディスクに分割します dh、円錐の軸に垂直。そのようなディスクの半径は

どこ R円錐の底面の半径です。 H円錐の高さです、 hコーンの上部からディスクまでの距離です。このようなディスクの質量と慣性モーメントは次のようになります。

統合すると、

しっかりした均一なボール

式の導出

ボールを薄いディスクに分割します dh、回転軸に垂直。高さにあるそのようなディスクの半径 h球の中心から、次の式で求めます

このようなディスクの質量と慣性モーメントは次のようになります。

以下を統合することにより、球の慣性モーメントを求めます。

薄壁の球

式の導出

導出には、半径の均一なボールの慣性モーメントの式を使用します。 R:

一定の密度ρで、ボールの半径が微小な値だけ増加した場合に、ボールの慣性モーメントがどの程度変化するかを計算してみましょう。 dR.

細い棒（軸は中心を通る）

式の導出

ロッドを長さの小さな断片に分割します dr。このようなフラグメントの質量と慣性モーメントは次のとおりです。

統合すると、

細い棒（軸は端を通ります）

式の導出

回転軸をロッドの中央から端まで移動すると、ロッドの重心が軸に対して距離だけ移動します。 l/2。シュタイナーの定理によれば、新しい慣性モーメントは次のようになります。

惑星とその衛星の無次元慣性モーメント

惑星とその衛星の内部構造の研究にとって非常に重要なのは、それらの無次元の慣性モーメントです。半径の物体の無次元慣性モーメント rと大衆 mは、ある距離にある固定回転軸に対する同じ質量の質点の慣性モーメントに対する回転軸周りの慣性モーメントの比率に等しくなります。 r（に等しい氏 2）。この値は、深さの質量の分布を反映しています。惑星や衛星でそれを測定する方法の1つは、特定の惑星や衛星の周りを飛行するAMSによって送信される無線信号のドップラーシフトを決定することです。薄壁の球の場合、無次元の慣性モーメントは2/3（〜0.67）に等しく、均質なボールの場合は-0.4であり、一般に小さいほど、ボディの質量はその中心に集中します。たとえば、月の慣性モーメントは無次元で0.4（0.391に等しい）に近いため、月は比較的均質であり、密度は深さによってほとんど変化しないと想定されます。地球の無次元慣性モーメントは、均質なボールの慣性モーメント（0.335に等しい）よりも小さく、これは、地球に高密度のコアが存在することを支持する議論です。

遠心慣性モーメント

直交デカルト座標系の軸に対する物体の遠心慣性モーメントは、次の量です。

どこバツ, yと z-ボリュームのある体の小さな要素の座標 dV、密度 ρ と体重 dm.

OX軸はと呼ばれます 物体の主慣性軸遠心慣性モーメントの場合 Jxyと Jxz同時にゼロです。体の各点を通る3つの主慣性軸を描くことができます。これらの軸は互いに垂直です。 体の慣性モーメント任意の点で描かれた3つの主慣性軸に対して O体は呼ばれます 体の主な慣性モーメント.

体の重心を通過する主慣性軸は、 物体の主な慣性軸、およびこれらの軸の周りの慣性モーメントは 主な中心慣性モーメント。均質な物体の対称軸は、常にその主要な慣性軸の1つです。

幾何学的慣性モーメント

幾何学的慣性モーメント-ビューの断面の幾何学的特性

ここで、は中立軸を基準にした中心軸から任意の基本領域までの距離です。

幾何学的慣性モーメントは、材料の動きとは関係がなく、セクションの剛性の程度を反映するだけです。回転半径、梁のたわみ、梁の断面選択、柱などを計算するために使用されます。

SIの測定単位はm4です。建設計算、文献、および圧延金属の品揃えでは、特に、cm4で示されます。

それから断面係数は次のように表されます。

一部の図の幾何学的慣性モーメント
長方形の高さと幅：
外側の輪郭とに沿った高さと幅、および内側とそれぞれに沿った長方形のボックスセクション
円の直径

中心慣性モーメント

中心慣性モーメント（または点Oの周りの慣性モーメント）は量です

中心慣性モーメントは、主な軸方向または遠心力の慣性モーメントで表すことができます。

慣性テンソルと慣性楕円体

重心を通り、単位ベクトルで与えられる方向を持つ任意の軸の周りの体の慣性モーメントは、2次（双線形）形式として表すことができます。

(1),

ここで、は慣性テンソルです。慣性テンソル行列は対称であり、寸法があり、遠心モーメント成分で構成されています：

,
.

適切な座標系を選択することにより、慣性テンソルの行列を対角形式に縮小できます。これを行うには、テンソル行列の固有値問題を解く必要があります。
,
ここで、は慣性テンソルの独自の基底に対する直交遷移行列です。独自の基準で、座標軸は慣性テンソルの主軸に沿って方向付けられ、慣性テンソル楕円体の主半軸とも一致します。大きさは主な慣性モーメントです。独自の座標系での式（1）の形式は次のとおりです。

方程式はどこから来るのですか

今問題を考えてください 慣性モーメントの決定様々な体。全般的 慣性モーメントを求める式 z軸を基準にしたオブジェクトの形式は

つまり、すべての質量を加算し、それぞれに軸からの距離の2乗（x 2 i + y 2 i）を掛ける必要があります。距離がこのような「2次元の外観」であっても、これは3次元のボディにも当てはまります。ただし、ほとんどの場合、2次元のボディに制限します。

簡単な例として、ロッドの端を通り、それに垂直な軸を中心に回転するロッドを考えてみます（図19.3）。ここで、すべての質量に距離xの2乗を掛けたものを合計する必要があります（この場合、すべてのyはゼロです）。もちろん、合計すると、x2の積分に質量の「要素」を掛けたものを意味します。ロッドを長さdxの断片に分割すると、対応する質量要素はdxに比例し、dxがロッド全体の長さである場合、その質量はMに等しくなります。

慣性モーメントの寸法は、常に質量に長さの2乗を掛けたものに等しいため、計算した唯一の重要な値は係数1/3です。

そして、回転軸がロッドの中央を通過する場合の慣性モーメントIはどうなりますか？それを見つけるには、再び積分を取る必要がありますが、すでに-1/2Lから+1/2Lの範囲にあります。ただし、この場合の1つの機能に注意してください。中心を通る軸を有するそのようなロッドは、端を通る軸を有する２つのロッドと考えることができ、それぞれがＭ／２の質量およびＬ／２の長さを有する。このような2つのロッドの慣性モーメントは互いに等しく、式（19.5）によって計算されます。したがって、ロッド全体の慣性モーメントは次のようになります。

したがって、ロッドは端よりも中央でねじれやすくなります。

もちろん、私たちが関心を持っている他の物体の慣性モーメントの計算を続けることは可能です。しかし、そのような計算は積分の計算に多くの経験を必要とするため（それ自体が非常に重要です）、それ自体、私たちにはほとんど関心がありません。ただし、ここには非常に興味深く有用な定理がいくつかあります。体があり、それを知りたい ある軸の周りの慣性モーメント。これは、この軸を中心に回転するときの慣性を求めたいということです。重心を支えるロッドで本体を動かし、軸周りの回転時に回転しないようにすると（この場合、慣性モーメントが作用しないため、移動を開始しても本体は回転しません）。、それを回転させるには、すべての質量が重心に集中している場合とまったく同じ力が必要であり、慣性モーメントは単純にI 1 = MR2c.mに等しくなります。、ここで、R c.mは、重心から回転軸までの距離です。ただし、もちろん、この式は正しくありません。それは体の正しい慣性モーメントを与えません。結局のところ、実際には、回転すると体が回転します。重心が回転しているだけでなく（値I 1が得られます）、ボディ自体も重心に対して回転する必要があります。したがって、慣性モーメントI 1に、Ic（重心の周りの慣性モーメント）を追加する必要があります。正解は、任意の軸の周りの慣性モーメントは次のとおりです。

この定理は平行軸の定理と呼ばれます。それは非常に簡単に証明されます。任意の軸の周りの慣性モーメントは、質量の合計にxとyの2乗の合計を掛けたものに等しくなります。つまり、I \u003dΣmi（x 2 i + y 2 i）です。ここでxに注目しますが、yについても同じことが言えます。 x座標を、原点から特定の点までの距離とします。ただし、原点からの距離ではなく、重心からの距離x`を測定すると、状況がどのように変化するかを見てみましょう。見つけるために、私たちは書く必要があります
x i = x` i + X c.m.
この式を二乗すると、
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 c.m.

これにmiを掛けて、すべてのrを合計するとどうなりますか？総和記号から定数を取り出すと、次のようになります。

Ix=Σmix`2i+ 2X c.m. Σmix`i+X2 c.m. Σmi

3番目の合計は簡単に計算できます。 MX2ts.mです。。第2項は、2つの要素で構成され、そのうちの1つはΣmix`iです。これは、重心のx`座標に等しくなります。ただし、x`は重心から測定されるため、これはゼロである必要があります。この座標系では、質量で重み付けされたすべてのパーティクルの平均位置はゼロです。最初の項は、明らかに、Icからのxの一部です。したがって、式（19.7）に到達します。

1つの例で式（19.7）を確認してみましょう。ロッドに適用できるか確認してみましょう。ロッドの端に対する慣性モーメントはML2/3に等しくなければならないことはすでにわかっています。そしてもちろん、ロッドの重心はL/2の距離にあります。したがって、ML 2/3 = ML 2/12 + M（L / 2）2を取得する必要があります。 4分の1+12分の1=3分の1なので、大失敗はしませんでした。

ちなみに、慣性モーメント（19.5）を求めるために、積分を計算する必要はまったくありません。 ML2の値に未知の係数γを掛けた値に等しいと単純に仮定できます。その後、約2つの半分の推論を使用して、慣性モーメント（19.6）の係数1/4γを取得できます。ここで平行軸の定理を使用して、γ=1/4γ+1/ 4、ここでγ=1/3であることを証明します。あなたはいつもいくつかの回り道を見つけることができます！

平行軸の定理を適用する場合、軸I cは、慣性モーメントを計算する軸と平行でなければならないことを覚えておくことが重要です。

おそらく、もう1つのプロパティについて言及する価値があります。これは、一部のタイプのボディの慣性モーメントを見つけるのに非常に役立つことがよくあります。これは次のように構成されます。平面図形と、原点がこの平面にあり、z軸がそれに垂直に向けられた座標軸のトリプルがある場合、この図形のz軸周りの慣性モーメントは等しくなります。 x軸とy軸の周りの慣性モーメントの合計に。それは非常に簡単に証明されています。注意、その

たとえば、質量M、幅ω、長さLの均質な長方形プレートの慣性モーメントは、それに垂直でその中心を通過する軸の周りにあります。

プレートの平面にあり、その長さに平行な軸の周りの慣性モーメントは、Mω2/12に等しいため、つまり、長さωのロッドの場合とまったく同じであり、同じ平面は、長さLのロッドの場合と同じML2/12に等しくなります。

それでは、与えられた軸の周りの慣性モーメントの特性をリストしましょう。これをz軸と呼びます。

1.慣性モーメントは

2.オブジェクトが複数のパーツで構成されており、各パーツの慣性モーメントがわかっている場合、総慣性モーメントはこれらのパーツの慣性モーメントの合計に等しくなります。
3.任意の軸の周りの慣性モーメントは、重心を通る平行軸の周りの慣性モーメントに、総質量と重心からのその軸の距離の2乗の積を加えたものに等しくなります。
4.平面に垂直な軸の周りの平らな図形の慣性モーメントは、図形の平面にあり、垂直軸と交差する他の2つの相互に垂直な軸の周りの慣性モーメントの合計に等しくなります。

テーブルの中。 19.1は、均一な質量密度を持ついくつかの基本図形の慣性モーメントを表に示しています。 19.2-表から取得できるいくつかの図の慣性モーメント。 19.1上記のプロパティを使用します。

任意の軸の周りのボディは、計算によって見つけることができます。体内の物質が連続的に分布している場合、その慣性モーメントの計算は積分の計算に還元されます

ここで r-質量要素からの距離 dm回転軸に。

垂直軸の周りの細い均質なロッドの慣性モーメント。軸をロッドの端に通します しかし（図4.4）。

慣性モーメントについては、次のように書くことができます。 I A = kml 2、ここで l-ロッドの長さ、 k-比例係数。ロッドセンターからその重心です。シュタイナーの定理によると I A = I C + m(l/ 2）2。値 IC 2本のロッドの慣性モーメントの合計として表すことができます。 SAと SW、それぞれの長さは l/ 2、質量 m/ 2、したがって、慣性モーメントは次のようになります。 I C = km(l/ 2) 2 . これらの式をシュタイナー定理の式に代入すると、次のようになります。

どこ k = 1/3. その結果、

(4.16)

無限に薄い円形リングの慣性モーメント（円）。軸周りの慣性モーメント Z（図4.5）は

I Z = mR 2 , (4.17)

どこ Rリングの半径です。対称性のため I X = I Y.

式（4.17）は、明らかに、幾何学的軸の周りに無限に薄い壁を持つ中空の均質な円柱の慣性モーメントも示します。

米。 4.5図。 4.6

無限に薄い円盤と中実の円柱の慣性モーメント。ディスクとシリンダーは均質である、つまり物質は一定の密度でそれらの中に分布していると想定されます。軸をしましょう Zディスクの中心を通過しますからその平面に垂直です（図4.6）。内側の半径が無限に薄いリングを考えてみましょう rおよび外半径 r + dr。そのようなリングの領域 dS = 2 p rdr。その慣性モーメントは式（4.17）で求められ、次のようになります。 dIz = r 2 dm。ディスク全体の慣性モーメントは、ディスクの均一性のために積分によって決定されます dm = 、どこ S = p R 2はディスク全体の面積です。積分記号の下でこの式を導入すると、次のようになります。

(4.18)

式（4.18）は、縦方向の幾何学的軸の周りの均質な中実円柱の慣性モーメントも示します。

軸の周りの物体の慣性モーメントの計算は、多くの場合、最初に計算することで簡略化できます。 慣性モーメント彼の ポイントを基準にして。それ自体では、ポイントに対するボディの慣性モーメントはダイナミクスに影響を与えません。これは純粋に、計算を単純化するのに役立つ補助的な概念です。 点Oの周りの物体の慣性モーメントと呼ばれる 点Oまでの距離Rの二乗による、体を構成する物質点の質量の積の合計：q = Σ mR 2。連続質量分布の場合、この合計は積分qに減少します =∫R2dm。言うまでもなく、モーメントθを慣性モーメントと混同しないでください。私軸について。瞬間の場合私大衆 dmは、この軸までの距離の2乗で乗算され、モーメントの場合はθ-固定点までです。

質量のある最初の1つの質点を考えます mと座標でバツ, で,z直交座標系を基準にしています（図4.7）。座標軸までの距離の2乗バツ,Y,Zそれぞれ等しい y 2 + z 2,z2 + x2,x 2 + y 2、および同じ軸の周りの慣性モーメント

I X= m(y 2 + z 2), 私 = m(z 2 + バツ 2),

I Z = m(バツ 2 + y 2).

これらの3つの等式を追加すると、次のようになります。 I X + I Y + I Z = 2m(バツ 2 + y 2 + z 2).

しかしバツ 2 + y 2 + z 2 = R 2、ここで R-原点からの点mの距離 O。それが理由です

I X + I Y + I Z = 2θ . (4.19)

この比率は、1つの質点だけでなく、任意の体に対しても有効です。これは、体が質点のセットと見なすことができるためです。この上、 1つの点Oで交差する3つの相互に垂直な軸の周りの物体の慣性モーメントの合計は、この点の周りの同じ物体の慣性モーメントの2倍に等しくなります。

壁が無限に薄い中空球の慣性モーメント.

まず、ボールの中心の周りの慣性モーメントθを見つけます。明らかに、それはθに等しい = mR 2 . 次に、式（4.19）を適用します。対称性を考慮してそれを仮定する I X = I Y = IZ=I。その結果、中空ボールの直径に対する慣性モーメントがわかります。

慣性モーメント
慣性モーメントを計算するには、体を十分に小さい要素に精神的に分割し、その点が回転軸から同じ距離にあると見なすことができます。次に、各要素の質量と二乗の積を求めます。軸からの距離を計算し、最後に、結果のすべての積を合計します。明らかに、これは非常に骨の折れる作業です。カウント用
規則的な幾何学的形状の物体の慣性モーメント、場合によっては、積分計算の方法を使用できます。
物体の要素の慣性モーメントの有限和を見つけることは、無限に小さい要素に対して計算された無限に多数の慣性モーメントの合計に置き換えられます。
limi=1∞ΣΔmiri2=∫r2dm。（で ∆m→0）.
均質なディスクまたは高さのある中実の円柱の慣性モーメントを計算してみましょう hその対称軸について

対称軸を中心とする薄い同心リングの形でディスクを要素に分割しましょう。得られたリングの内径は rおよび外部 r + dr、および高さ h。なぜなら dr<< r 、次に、軸からのリングのすべての点の距離は次のようになります。 r.
個々のリングごとに、慣性モーメント
i=ΣΔmr2=r2ΣΔm,
どこ ΣΔmリング全体の質量です。
リングボリューム 2prhdr。ディスク材料の密度の場合 ρ 、次にリングの質量
ρ2prhdr.
リングの慣性モーメント
i=2πρhr3dr.
ディスク全体の慣性モーメントを計算するには、ディスクの中心からのリングの慣性モーメントを合計する必要があります（ r = 0）その端まで（ r = R）、つまり積分を計算します：
I=2πρh0R∫r3dr,
また
I =（1/2）πρhR4.
しかし、ディスクの質量 m=ρπhR2、その結果、
I =（1/2）mR 2.
均質な材料で作られた規則的な幾何学的形状のいくつかの物体の慣性モーメントを（計算なしで）提示します

1. 平面に垂直な中心を通る軸の周りの薄いリングの慣性モーメント（または対称軸の周りの薄壁の中空円柱）：
I = mR 2.
2. 対称軸の周りの厚肉円柱の慣性モーメント：
I =（1/2）m（R 1 2 − R 2 2）
どこ R1−内部および R2−外半径。
3. 直径の1つと一致する軸の周りのディスクの慣性モーメント：
I =（1/4）mR 2.
4. 母線に垂直でその中央を通過する軸の周りの円柱の慣性モーメント：
I \ u003d m（R 2/4 + h 2/12）
どこ R−円柱の底面の半径、 hは円柱の高さです。
5. 真ん中を通る軸の周りの細いロッドの慣性モーメント：
I =（1/12）ml 2,
どこ lロッドの長さです。
6. 細いロッドの一方の端を通る軸の周りの慣性モーメント：
I =（1/3）ml 2
7.直径の1つと一致する軸の周りのボールの慣性モーメント：
I =（2/5）mR 2.

重心を通過する軸の周りの物体の慣性モーメントがわかっている場合、最初の軸に平行な他の軸の周りの慣性モーメントは、いわゆるHuygens-Steinerの定理に基づいて求めることができます。
体の慣性モーメント私任意の軸に対して、体の慣性モーメントに等しいは与えられた軸に平行で、体の重心と体の質量を通過する軸の周り m距離の2乗の倍 l車軸間：
I \ u003d I c + ml 2.
例として、半径のボールの慣性モーメントを計算します Rと体重 m吊り下げ点を通過する軸に対して、長さlのねじ山に吊り下げられています O。糸の質量はボールの質量に比べて小さいです。重心を通る軸周りのボールの慣性モーメントから Ic =（2/5）mR 2、および距離
車軸間（ l + R）、次に、サスペンションポイントを通過する軸の周りの慣性モーメント：
I =（2/5）mR 2 + m（l + R）2.
慣性モーメントの寸法：
[I]=[m]×=ML2.

応用。慣性モーメントとその計算。

リジッドボディをZ軸を中心に回転させます（図6）。これは、時間の経過とともに変化しないさまざまなマテリアルポイントm iのシステムとして表すことができ、各ポイントは半径のある円に沿って移動します。 r i Z軸に垂直な平面にあります。すべてのマテリアルポイントの角速度は同じです。 Z軸周りの物体の慣性モーメントは次の値です。

どこ -OZ軸を中心とした別の質点の慣性モーメント。定義から、慣性モーメントは次のようになります。 添加剤量つまり、別々のパーツで構成されるボディの慣性モーメントは、パーツの慣性モーメントの合計に等しくなります。

図6

明らかに、 [ 私] = kg×m2。慣性モーメントの概念の重要性は、次の3つの式で表されます。

; ; .

それらの最初のものは、固定軸Zを中心に回転する物体の角運動量を表します（この式を物体の運動量の式と比較すると便利です。 P = mVc、どこ Vc重心の速度です）。 2番目の式は、固定軸を中心とした物体の回転運動のダイナミクスの基本方程式と呼ばれます。つまり、ニュートンの回転運動の2番目の法則（重心の運動の法則と比較してください。）。 3番目の式は、固定軸を中心に回転する物体の運動エネルギーを表します（粒子の運動エネルギーの式と比較してください）。）。式を比較すると、回転運動の慣性モーメントは、体の慣性モーメントが大きいほど、取得する角加速度が小さくなり、他のすべてが等しいという意味で、質量と同様の役割を果たしていると結論付けることができます（比喩的に言えば、体は回転するのがより難しいです）。実際には、慣性モーメントの計算は三重積分の計算に還元され、限られた数の対称体と対称軸に対してのみ実行できます。体が回転できる軸の数は無限にあります。すべての軸の中で、体の素晴らしい点を通過するものが際立っています- 重心（ポイント、システムの全体の質量が質量の中心に集中し、すべての力の合計に等しい力がこのポイントに適用されることを想像するのに十分な動きを説明するために）。しかし、重心を通過する軸も無限にあります。任意の形状の剛体には、相互に垂直な3つの軸があることがわかります。 C x、C y、C z、と呼ばれる 自由回転の軸 、これは注目に値する特性を持っています。体がこれらの軸のいずれかを中心にねじられて投げ上げられた場合、その後の体の動きの間、軸はそれ自体と平行のままになります。転倒しません。他の軸を中心にツイストすると、このプロパティはありません。示された軸の周りの典型的な物体の慣性モーメントの値を以下に示します。軸が重心を通過するが、軸と角度a、b、gをなす場合 C x、C y、C zしたがって、そのような軸の周りの慣性モーメントは次のようになります。