曲線パスに沿った並進運動の例。 曲線状の経路に沿った体の動き
6. 曲線的な動き。 物体の角変位、角速度、加速度。 物体の曲線運動中の経路と変位。
曲線的な動き– これは、軌跡が曲線 (円、楕円、双曲線、放物線など) である動きです。 曲線運動の例としては、惑星の動き、文字盤に沿った時計の針の端などが挙げられます。 一般的に 曲線速度大きさと方向が変わります。
質点の曲線運動モジュールが等速運動であるとみなされる スピード 一定（たとえば、円内での等速運動）、モジュールと方向が異なる場合には等速加速されます。 スピード 変化（例えば、水平に対して斜めに投げられた体の動き）。
米。 1.19。 曲線移動中の移動の軌跡とベクトル。
曲線状の経路を移動する場合 変位ベクトル 弦に沿って方向付けられます (図 1.19)。 私- 長さ 軌跡 。 物体の瞬間速度 (つまり、軌道の特定の点での物体の速度) は、移動体が現在位置する軌道の点の接線方向に向けられます (図 1.20)。
米。 1.20。 曲線運動時の瞬間速度。
曲線運動は常に加速運動です。 あれは 曲線運動時の加速度速度モジュールが変化しなくても、速度の方向のみが変化する場合でも、常に存在します。 単位時間あたりの速度の変化は、 接線加速度 :
または 
どこ v τ 、v 0 – 瞬間の速度値 t 0 +Δtそして t 0 それぞれ。
接線加速度 軌道の特定の点では、方向は体の移動速度の方向と一致するか、またはその反対になります。
通常の加速 は単位時間あたりの方向の速度の変化です。
通常の加速軌道の曲率半径に沿って（回転軸に向かって）向けられます。 通常の加速度は速度の方向に対して垂直です。
向心加速度は等速円運動中の法線加速度です。
物体の等速曲線運動時の総加速度等しい:
曲線経路に沿った物体の動きは、ある円の円弧に沿った動きとして近似的に表すことができます (図 1.21)。
米。 1.21。 曲線運動中の物体の動き。
曲線的な動き
曲線的な動き– 軌道が直線ではなく曲線である動き。 惑星や川の水は曲線の軌道に沿って移動します。
曲線運動は、たとえ速度の絶対値が一定であっても、常に加速度を伴う運動です。 一定の加速度による曲線運動は常に、加速度ベクトルと点の初速度が位置する平面内で発生します。 平面内等加速度の曲線運動の場合 xOy投影 v バツそして v y軸上の速度 牛そして オイそして座標 バツそして yいつでもポイント t式によって決定される
曲線運動の特殊なケースは円運動です。 円運動は、たとえ均一であっても、常に加速運動です。速度モジュールは常に軌道の接線方向に向けられ、常に方向が変化するため、円運動は常に向心加速度とともに発生します。 r– 円の半径。
円内を移動するときの加速度ベクトルは円の中心に向かい、速度ベクトルに対して垂直になります。
曲線運動では、加速度は法線成分と接線成分の合計として表すことができます。
通常の (求心) 加速度は、軌道の曲率の中心に向かって方向付けられ、その方向の速度の変化を特徴付けます。
v –瞬間速度値、 r– 特定の点における軌道の曲率半径。
接線方向 (接線方向) 加速度は、軌道の接線方向に向けられ、速度モジュロの変化を特徴付けます。
物質点が移動する合計加速度は次のようになります。
向心加速度に加えて、等速円運動の最も重要な特性は、回転の周期と周波数です。
流通期間- これは体が 1 回転する時間です .
期間は文字で示されます T(c) 次の式で決定されます。
どこ t- 循環時間、 P- この間に完了した回転数。
頻度- これは、単位時間当たりに完了する回転数に数値的に等しい量です。
周波数はギリシャ文字 (nu) で表され、次の式で求められます。
周波数は 1/s 単位で測定されます。
周期と周波数は相互に逆数です。
物体が高速で円を描いて動く場合 v、物体が 1 回転すると、この物体の移動距離は速度を掛けることで求められます。 v 1回転の間:
l = vT。一方、この経路は円周 2π に等しくなります。 r。 それが理由です
vT = 2π り、
どこ w(s -1) - 角速度。
一定の回転周波数では、向心加速度は移動粒子から回転中心までの距離に正比例します。
角速度 (w) – 回転点が位置する半径の回転角度と、この回転が発生した期間の比に等しい値:
.
線速度と角速度の関係:
物体の動きは、各点がどのように動くかがわかっている場合にのみ、既知であると考えることができます。 固体の最も単純な運動は並進運動です。 プログレッシブは、このボディに描かれた任意の直線がそれ自体に平行に移動する剛体の動きです。
軌道の形状に応じて動きが次のように分かれていることが分かります。 直線的なそして 曲線的な。 前回のレッスンでは、直線運動を扱う方法、つまり、このタイプの運動に関する力学の主な問題を解決する方法を学びました。
ただし、現実の世界では、軌道が曲線である曲線運動を扱うことが最も多いことは明らかです。 そのような動きの例としては、地平線に対して斜めに投げられた物体の軌跡、太陽の周りの地球の動き、そして今このメモを追っているあなたの目の動きの軌跡さえも挙げられます。
このレッスンでは、力学の主要な問題が曲線運動の場合にどのように解決されるかという問題を取り上げます。
まず、直線運動と比較して曲線運動 (図 1) にはどのような基本的な違いがあるのか、そしてそれらの違いが何をもたらすのかを判断してみましょう。
米。 1. 曲線運動の軌跡
曲線運動中の物体の動きを記述するのがどのように便利であるかについて話しましょう。
動きは別々のセクションに分割でき、それぞれの動きは直線的であると考えることができます (図 2)。
米。 2. 曲線運動を直線運動のセクションに分割する
ただし、次のアプローチの方が便利です。 この動きを、円弧に沿ったいくつかの動きの組み合わせとして想像してみます (図 3)。 前の場合よりもそのようなパーティションが少なく、円に沿った動きが曲線であることに注意してください。 さらに、円運動の例は自然界では非常に一般的です。 このことから、次のように結論付けることができます。
曲線の動きを記述するには、円の中での動きの記述を学び、その後、円弧に沿った一連の動きの形で任意の動きを表現する必要があります。
米。 3. 曲線運動を円弧に沿った運動に分割する
それでは、円の中の等速運動を研究することから曲線運動の研究を始めましょう。 曲線の動きと直線の動きの基本的な違いを理解してみましょう。 まず、中学 3 年生で、物体が円を描くときの速度は軌道の接線方向に向かうという事実を学習したことを思い出してください (図 4)。 ちなみに、この事実は砥石を使ったときの火花の動きを観察すると実験的に観察できます。
円弧に沿った物体の動きを考えてみましょう(図5)。
米。 5. 円を描くときの体の速度
この場合、ある点での物体の速度の係数は、その点での物体の速度の係数と等しいことに注意してください。
ただし、ベクトルとベクトルは等しくありません。 したがって、速度差ベクトルが得られます (図 6)。
米。 6. 速度差ベクトル
また、速度の変化はしばらくしてから起こりました。 したがって、おなじみの組み合わせが得られます。
これは、一定期間にわたる速度の変化、または物体の加速に他なりません。 非常に重要な結論が導き出されます。
曲線パスに沿った移動が加速されます。 この加速の性質は、速度ベクトルの方向の連続的な変化です。
物体が円運動すると言っても、それは物体の速度係数が変化しないことを意味することにもう一度注意してください。 ただし、速度の方向が変化するため、このような動きは常に加速されます。
9年生では、この加速度が何に等しいか、どのような向きになるかを学習しました（図7）。 向心加速度は常に、物体が移動する円の中心に向けられます。
米。 7. 向心加速度
向心加速度のモジュールは次の式で計算できます。
円の中の物体の等速運動の説明に移りましょう。 並進運動を説明するときに使用した速度を線形速度と呼ぶことに同意しましょう。 そして、線速度によって、回転体の軌道の点での瞬間速度がわかります。
米。 8. ディスクポイントの移動
明確にするために、時計回りに回転する円盤を考えてみましょう。 その半径上に 2 つの点をマークします (図 8)。 彼らの動きを考えてみましょう。 時間の経過とともに、これらの点は円の円弧に沿って移動し、点になります。 点 が 点 よりも大きく移動していることがわかります。 このことから、点が回転軸から遠くなるほど、その点が移動する線速度は大きくなると結論付けることができます。
しかし、点 と をよく見ると、回転軸に対して回転する角度は変化していないことがわかります。 円内の動きを説明するために使用するのは角度特性です。 円運動を説明するには次のように使用できることに注意してください。 コーナー特徴。
最も単純なケース、つまり円内での等速運動を使って円内での動きを考えてみましょう。 等速並進運動とは、身体が同じ時間にわたって同じ動きをする動きであることを思い出してください。 類推により、円内の等速運動の定義を与えることができます。
等速円運動は、物体が等時間間隔で等角度回転する運動です。
線速度の概念と同様に、角速度の概念が導入されます。
等速運動の角速度（は、物体の回転角度と回転が起こった時間の比に等しい物理量です。
物理学では、角度のラジアン単位が最もよく使用されます。 たとえば、角度 b はラジアンに等しくなります。 角速度はラジアン/秒で測定されます。
ある点の回転角速度とこの点の線速度の間の関係を見つけてみましょう。
米。 9. 角速度と線速度の関係
回転すると、点は長さ の円弧を通過し、角度 で回転します。 角度のラジアン測定の定義から、次のように書くことができます。
等式の左辺と右辺を移動が行われた時間で割ってから、角速度と線速度の定義を使用してみましょう。
点が回転軸から離れるほど、線速度が高くなることに注意してください。 そして、回転軸自体に位置する点は静止しています。 この例はカルーセルです。カルーセルの中心に近づくほど、そこに留まりやすくなります。
線速度と角速度のこの依存性は、静止衛星 (常に地表の同じ点の上に位置する衛星) で使用されます。 このような衛星のおかげで、私たちはテレビ信号を受信することができます。
先ほど、回転の周期と周波数の概念を紹介したことを思い出してください。
回転周期は 1 回転する時間です。回転周期は文字で示され、SI 秒で測定されます。
回転周波数は、物体が単位時間あたりに行う回転数に等しい物理量です。
周波数は文字で示され、秒の逆数で測定されます。
それらは次の関係によって関連付けられます。
角速度と物体の回転周波数の間には関係があります。 完全な回転が に等しいことを覚えておくと、角速度が次のとおりであることが簡単にわかります。
これらの式を角速度と線速度の関係に代入すると、線速度の周期または周波数への依存性を得ることができます。
向心加速度とこれらの量の関係も書き留めてみましょう。
したがって、等速円運動のすべての特性間の関係がわかります。
要約しましょう。 このレッスンでは、曲線運動について説明し始めました。 曲線運動を円運動にどのように結びつけることができるかを理解しました。 円運動は常に加速され、加速度の存在によって速度が常に方向を変えるという事実が決まります。 この加速度を向心性といいます。 最後に、円運動のいくつかの特性 (線速度、角速度、周期、回転周波数) を思い出し、それらの間の関係を見つけました。
参考文献
- G.Ya. ミャキシェフ、B.B. ブホフツェフ、N.N. ソツキー。 物理学 10. - M.: 教育、2008。
- AP リムケビッチ。 物理。 問題集10～11。 - M.: バスタード、2006 年。
- ああ。 サブチェンコ。 物理の問題。 - M.: ナウカ、1988 年。
- AV ペリシキン、V.V. クラウクリス。 物理コース。 T. 1. - M.: 州。 教師 編 分。 RSFSR の教育、1957 年。
- Аyp.ru ()。
- ウィキペディア（）。
宿題
このレッスンの問題を解くと、国家試験の質問 1 と統一国家試験の質問 A1、A2 の準備ができるようになります。
- 問題 92、94、98、106、110 - 土曜日 問題点 リムケビッチ編 10
- 時計の分針、秒針、時針の角速度を計算します。 それぞれの半径が 1 メートルである場合、これらの矢印の先端に作用する向心加速度を計算します。
物体の曲線的な動きを考えると、その速度が瞬間によって異なることがわかります。 速度の大きさが変わらない場合でも、速度の方向には変化が生じます。 一般的な場合、速度の大きさと方向の両方が変化します。
したがって、曲線運動中は速度が連続的に変化するため、この運動は加速度を伴って発生します。 この加速度 (大きさと方向) を決定するには、速度の変化をベクトルとして求める必要があります。つまり、速度の大きさの増分とその方向の変化を求める必要があります。
米。 49. 曲線移動時の速度変化
たとえば、曲線的に移動する点 (図 49) が、ある瞬間に速度を持ち、短期間後に速度が変化するとします。 速度の増分は、ベクトルと の差です。 これらのベクトルは方向が異なるため、ベクトルの差を取る必要があります。 速度の増分は、平行四辺形の対角線の辺とその反対側の辺で表されるベクトルで表されます。 加速度は、速度の増加と、この増加が発生した時間の比率です。 これは加速を意味します
方向はベクトルと一致します。
十分に小さいものを選択すると、瞬間加速度の概念に到達します (§ 16 を参照)。 任意の場合、ベクトルは一定期間にわたる平均加速度を表します。
曲線運動中の加速度の方向は速度の方向と一致しませんが、直線運動の場合、これらの方向は一致します (または反対になります)。 曲線運動中の加速度の方向を見つけるには、軌道の 2 つの近い点での速度の方向を比較するだけで十分です。 速度は軌道に接して方向付けられるため、軌道自体の形状から、加速度が軌道からどの方向に向かうかを結論付けることができます。 実際、軌道の近い 2 点における速度の差は常に軌道が曲がる方向に向かうため、加速度は常に軌道の凹面に向かうことを意味します。 たとえば、ボールが湾曲したシュートに沿って転がるとき (図 50)、その加速度は部分的に矢印で示すように方向付けられます。これは、ボールが転がる方向か反対方向かには依存しません。
米。 50. 曲線運動中の加速度は常に軌道の凹面に向けられます。
米。 51. 向心加速度の公式を導出するには
曲線軌道に沿った点の一様な移動を考えてみましょう。 私たちはこれが加速した動きであることをすでに知っています。 加速度を求めてみましょう。 これを行うには、円内での等速運動の特別な場合の加速度を考慮するだけで十分です。 短期間離れた 2 つの近い位置と 1 つの移動点を考えてみましょう (図 51、a)。 と の移動点の速度は大きさが同じですが、方向が異なります。 三角定規を使用してこれらの速度の差を求めてみましょう (図 51、b)。 三角形と三角形は、頂点角度が等しい二等辺三角形のように相似です。 一定期間にわたる速度の増加を表す辺の長さは に等しく設定できます。ここで、 は目的の加速度の係数です。 それに似た側面は円弧の弦です。 円弧が小さいため、その弦の長さは円弧の長さとほぼ等しく考えることができます。 。 さらに遠く、 
; 、 ここで、 は軌道の半径です。 三角形の相似性から、三角形の相似な辺の比率は等しいことがわかります。
ここから、目的の加速度の係数を求めます。
加速度の方向は弦に対して垂直です。 十分に短い時間間隔では、円弧の接線がその弦と実質的に一致すると仮定できます。 これは、加速度が軌道の接線に対して垂直 (法線) 方向、つまり円の中心までの半径に沿っていると考えることができることを意味します。 したがって、このような加速度は法線加速度または向心加速度と呼ばれます。
軌道が円ではなく、任意の曲線である場合、式 (27.1) では、特定の点で曲線に最も近い円の半径を取得する必要があります。 この場合の法線加速度の方向も、特定の点での軌道の接線に対して垂直になります。 曲線運動中の加速度の大きさと方向が一定である場合、この増加が発生した期間 (期間がどのようなものであっても) に対する速度の増加の比率として求めることができます。 つまり、この場合、加速度は次の式を使用して求めることができます。
等加速度の直線運動の式 (17.1) と同様です。 ここで、最初の瞬間の体の速度、a は時間の瞬間の速度です。
点の運動学。 パス。 移動中。 スピードと加速。 座標軸への投影。 移動距離の計算。 平均値。
点の運動学- 物質点の動きの数学的記述を研究する運動学の分野。 運動学の主なタスクは、この動きを引き起こす理由を特定することなく、数学的装置を使用して動きを記述することです。
パスと移動。身体上の点がそれに沿って移動する線を といいます。 動きの軌跡。 パスの長さは次のように呼ばれます 通った道。 軌跡の始点と終点を結ぶベクトルを といいます。 動いている。 スピード- 体の動きの速度を特徴付けるベクトル物理量。数値的には、この間隔の値に対する短期間の動きの比率に等しい。 不均一な移動中の速度がこの期間中に変化しなければ、その期間は十分に小さいと考えられます。 速度の定義式は v = s/t です。 速度の単位はm/sです。 実際に使用される速度単位は km/h (36 km/h = 10 m/s) です。 速度は速度計で計測されます。
加速度- 速度の変化率を特徴付けるベクトル物理量。数値的には、この変化が発生した期間に対する速度の変化の比率に等しい。 速度が動作全体を通じて均等に変化する場合、加速度は式 a=Δv/Δt を使用して計算できます。 加速度単位 – m/s 2
曲線運動時の速度と加速度。 接線加速度と法線加速度。
曲線的な動き– 軌道が直線ではなく曲線である動き。
曲線的な動き– たとえ絶対速度が一定であっても、これは常に加速度を伴う運動です。 一定の加速度による曲線運動は常に、加速度ベクトルと点の初速度が位置する平面内で発生します。 平面内等加速度の曲線運動の場合 xOy投影 vxそして vy軸上の速度 牛そして オイそして座標 バツそして yいつでもポイント t式によって決定される
v x =v 0 x +a x t、x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y =v 0 y +a y t、y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2
曲線運動の特殊なケースは円運動です。 円運動は、たとえ均一であっても、常に加速運動です。速度モジュールは常に軌道の接線方向に向けられ、常に方向が変化します。したがって、円運動は常に向心加速度 |a|=v 2 /r で発生します。 r– 円の半径。
円内を移動するときの加速度ベクトルは円の中心に向かい、速度ベクトルに対して垂直になります。
曲線運動では、加速度は法線成分と接線成分の合計として表すことができます。
通常の (求心) 加速度は、軌道の曲率の中心に向かって方向付けられ、その方向の速度の変化を特徴付けます。
v –瞬間速度値、 r– 特定の点における軌道の曲率半径。
接線方向 (接線方向) 加速度は、軌道の接線方向に向けられ、速度モジュロの変化を特徴付けます。
物質点が移動する合計加速度は次のようになります。
接線加速度移動速度の変化速度を数値で特徴付け、軌道の接線方向に向けられます。
したがって、
通常の加速方向の速度の変化率を特徴づけます。 ベクトルを計算してみましょう。
4. 剛体の運動学。 固定軸を中心とした回転。 角速度と加速度。 角速度、線速度、加速度の関係。
回転運動の運動学。
体の動きは並進運動または回転運動のいずれかです。 この場合、身体は、厳密に相互接続された質点のシステムとして表現されます。
並進運動中、ボディ内に描かれた直線はそれ自体と平行に移動します。 軌道の形状に応じて、並進運動は直線的または曲線的になります。 並進運動中、同じ期間内の剛体のすべての点は、大きさと方向が同じ動きをします。 したがって、どの瞬間においても、体のすべての点の速度と加速度は同じになります。 並進運動を説明するには、1 点の動きを決定するだけで十分です。
固定軸を中心とした剛体の回転運動体のすべての点が円を描くように動き、その中心が同じ直線（回転軸）上にあるような動きと呼ばれます。
回転軸は本体を通過することも、本体の外側にあることもできます。 回転軸が物体を通過する場合、物体が回転しても、軸上にある点は静止したままになります。 等しい時間内に回転軸から異なる距離に位置する剛体の点は、異なる距離を移動するため、異なる線速度を持ちます。
物体が固定軸の周りを回転すると、物体の点は同じ時間内に同じ角度運動を受けます。 モジュールは、時間軸を中心とした本体の回転角度に等しく、角度変位ベクトルの方向と本体の回転方向は、ねじの法則によって接続されます。ねじの回転方向を組み合わせると、ボディの回転方向とベクトルが一致すると、ベクトルはネジの並進運動と一致します。 ベクトルは回転軸に沿って方向付けられます。
角変位の変化率は角速度 - ω によって決まります。 線速度から類推すると、概念は 平均角速度と瞬間角速度:
角速度- ベクトル量。
角速度の変化率は次のように特徴付けられます。 平均的かつ瞬間的な
角加速度.
ベクトルとベクトルは一致することも、ベクトルと反対のこともできます
曲線運動中、速度ベクトルの方向が変化します。 同時に、そのモジュール、つまり長さも変化する可能性があります。 この場合、加速度ベクトルは、軌道の接線と軌道に垂直な 2 つの成分に分解されます (図 10)。 コンポーネントは次のように呼ばれます 接線方向(接線方向) 加速度、成分 – 普通（求心）加速。
曲線運動時の加速度
接線加速度は線形速度の変化率を特徴づけ、法線加速度は移動方向の変化率を特徴づけます。
合計加速度は、接線加速度と法線加速度のベクトル和に等しくなります。
(15)
合計加速モジュールは次のようになります。
.
円の周りの点の等速運動を考えてみましょう。 その中で 
そして 
。 考慮された時点 t で、点が位置 1 にあるとします (図 11)。 時間 Δt 後、点はパスを通過して位置 2 になります。 Δs、アーク 1-2 に等しい。 この場合、点vの速度は増加します。 Δvその結果、速度ベクトルは大きさが変わらないまま、ある角度だけ回転します。 Δφ
、長さの円弧に基づく中心角とサイズが一致します。 Δs:
(16)
ここで、R は点が移動する円の半径です。 速度ベクトルの増分を見つけてみましょう。これを行うには、ベクトルを移動させましょう。 
その先頭がベクトルの先頭と一致するようにします。 次に、ベクトルは、ベクトルの端からベクトルの端まで描画されたセグメントによって表されます。 。 このセグメントは、側面と側面を持つ二等辺三角形の底辺として機能します。 と頂点の角度Δφ。 角度 Δφ が小さい場合 (Δt が小さい場合に当てはまります)、この三角形の辺については、次のように近似的に書くことができます。
.
ここで (16) の Δφ を代入すると、ベクトルの係数の式が得られます。
.
方程式の両辺を Δt で割って極限まで通過すると、向心加速度の値が得られます。
数量はこちら vそして Rは一定であるため、限界記号を超えて取得することができます。 比率制限は速度係数です 
線速度とも呼ばれます。
曲率半径
円の半径を R といいます。 曲率半径軌跡。 R の逆数は軌道の曲率と呼ばれます。
.
ここで、R は問題の円の半径です。 α が円弧 s に対応する中心角である場合、知られているように、R、α、s の間には次の関係が成立します。
s = Rα. (18)
曲率半径の概念は円だけでなくあらゆる曲線にも当てはまります。 曲率半径 (またはその逆数値 - 曲率) は、線の曲率の程度を特徴付けます。 曲率半径が小さいほど (曲率が大きいほど)、線はより強く湾曲します。 この概念を詳しく見てみましょう。
ある点 A における平坦な線の曲率円は、点 A と、点 A に無限に近づく他の 2 つの点 B 1 および B 2 を通過する円の限界位置です (図 12 では、曲線は によって描かれています)。実線、曲率円は点線）。 曲率円の半径は、点 A における問題の曲線の曲率半径を示し、この円の中心は、同じ点 A の曲線の曲率中心を示します。
点 B 1 と B 2 で、点 B 1、A、B 2 を通る円に接線 B 1 D と B 2 E を描きます。 これらの接線 B 1 C および B 2 C の法線は円の半径 R を表し、その中心 C で交差します。法線 B1 C と B 2 C の間の角度 Δα を導入しましょう。 明らかに、それは接線 B 1 D と B 2 E の間の角度に等しい。点 B 1 と B 2 の間の曲線のセクションを Δs と表すことにする。 次に、式 (18) によれば、次のようになります。
.
平面曲線の曲率円
さまざまな点での平面曲線の曲率を決定する
図では、 図 13 は、さまざまな点における平坦な線の曲率円を示しています。 曲線が平坦である点 A 1 では、曲率半径は点 A 2 よりも大きく、点 A 1 での線の曲率は点 A 2 よりも小さくなります。 点 A 3 では、曲線は点 A 1 および A 2 よりもさらに平坦であるため、この点での曲率半径は大きくなり、曲率は小さくなります。 さらに、点 A 3 の曲率円は曲線の反対側にあります。 したがって、この点での曲率の値には、点 A 1 および A 2 での曲率の符号と反対の符号が割り当てられます。点 A 1 と A 2 での曲率が正であるとみなされる場合、点 A 3 での曲率は次のようになります。ネガティブ。