ダミーのための導関数の解き方: 定義、求め方、解の例。 関数の導関数
べき乗と根を含む分数の和の導関数を求めるときは、よくある間違いを避けるために、次の点に注意する必要があります。
- 積と商を微分する公式を使用して、導関数がゼロに等しい定数と、導関数の符号から単純に取り出された定数因数との間の違いを明確に決定します。
- たとえば、同じ基数を持つべき乗を乗算すると指数はどうなるかなど、べき乗と根を使った演算に関する学校のコースで得た知識を自信を持って使用する必要があります。
- 被加数の導関数が被加数自体の符号と反対の符号を持つ場合、符号はどうなるか。
例1.関数の導関数を求める
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ここで、X の前の 2 つは定数因数であるため、導関数の符号から単純に取り出されています。
すべてを一緒に入れて：
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最終的な解決策でルートを含む式を取得する必要がある場合は、次数をルートに変換し、目的の導関数を取得します。
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例2。関数の導関数を求める
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解決。 最初の項の導関数を求めます。
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ここで、中間式の分子の最初の 2 つは定数であり、その導関数は 0 に等しくなります。
第 2 項の導関数を求めます。
3 番目の項の導関数を求めます。
ここでは、分数の演算、その変換と約分に関する学校コースの知識を応用しました。
第 1 項と第 3 項の導関数の符号が元の式の項の符号と反対であるという事実に注意して、すべてをまとめてみましょう。
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例 3.関数の導関数を求める
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解決。 最初の項の導関数を求めます。
第 2 項の導関数を求めます。
3 番目の項の微分値 (定数 1/2) はゼロに等しくなります (学生が頑固に定数のゼロ以外の微分値を見つけようとすることがあります)。
2 番目の項の導関数の符号が元の式の項の符号と反対であるという事実に注意して、すべてをまとめてみましょう。
例4.関数の導関数を求める
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解決。 最初の項の導関数を求めます。
第 2 項の導関数を求めます。
3 番目の項の導関数を求めます。
第 2 項と第 3 項の導関数の符号がマイナスであることに注意して、すべてをまとめてみましょう。
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例5。関数の導関数を求める
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解決。 最初の項の導関数を求めます。
とても覚えやすいです。
さて、そこまではやめて、すぐに逆関数について考えてみましょう。 指数関数の逆関数はどれですか? 対数：
私たちの場合、基数は次の数値です。
このような対数 (つまり、底を持つ対数) は「自然対数」と呼ばれ、私たちはそれに特別な表記法を使用します。つまり、代わりに次のように書きます。
それは何と等しいですか? もちろん、 。
自然対数の微分も非常に簡単です。
例:
- 関数の導関数を求めます。
- 関数の導関数は何ですか?
答え: 指数関数と自然対数は、導関数の観点から見ると独特の単純な関数です。 他の基数を使用する指数関数および対数関数には、異なる導関数が与えられます。これについては、微分の規則を検討した後で分析します。
微分の法則
何のルール？ また新学期ですか?!
差別化導関数を見つけるプロセスです。
それだけです。 このプロセスを一言で言えば何と言えますか? 微分ではありません...数学者は、関数の同じ増分を微分と呼びます。 この用語は、ラテン語の Differentia (差異) に由来しています。 ここ。
これらすべてのルールを導出する場合、たとえば、and などの 2 つの関数を使用します。 増分を求める式も必要になります。
ルールは全部で5つあります。
定数は微分符号から取り出されます。
- 何らかの定数 (定数) の場合。
明らかに、このルールは次の違いにも当てはまります。
それを証明しましょう。 それはそのまま、あるいはもっとシンプルにしましょう。
例。
関数の導関数を求めます。
- ある時点で。
- ある時点で。
- ある時点で。
- という時点で。
解決策:
- (導関数は線形関数なので、すべての点で同じです、覚えていますか?);
製品の派生品
ここでもすべてが似ています。新しい関数を導入し、その増分を見つけてみましょう。
派生語:
例:
- 関数の導関数を求めます。
- ある点における関数の導関数を求めます。
解決策:
指数関数の導関数
これで、指数だけでなく、指数関数の導関数を求める方法を学ぶのに十分な知識が得られました (指数が何であるかはもう忘れましたか?)。
それで、ある数字はどこにありますか。
関数の導関数はすでにわかっているので、関数を新しいベースに還元してみます。
これを行うには、次の単純なルールを使用します。 それから：
まあ、うまくいきました。 ここで導関数を見つけてみましょう。この関数は複雑であることを忘れないでください。
起こりました？
ここで、自分自身を確認してください。
この式は、指数の導関数に非常によく似ていることが判明しました。つまり、そのままでは同じままですが、因数だけが表示されます。これは単なる数値であり、変数ではありません。
例:
関数の導関数を求めます。
答え:
これは、電卓なしでは計算できない数値にすぎません。つまり、より単純な形式で書き留めることはできません。 したがって、回答ではこの形式のままにします。
ここでは 2 つの関数の商なので、対応する微分規則を適用することに注意してください。
この例では、次の 2 つの関数の積です。
対数関数の導関数
ここでも同様です。自然対数の導関数はすでに知っています。
したがって、底が異なる任意の対数を求めるには、次のようにします。
この対数を底まで減らす必要があります。 対数の底を変更するにはどうすればよいですか? この公式を覚えていただければ幸いです。
ここでのみ、代わりに次のように書きます。
分母は単なる定数 (変数のない定数) です。 導関数は非常に簡単に得られます。
指数関数と対数関数の導関数は統一国家試験ではほとんど出題されませんが、知っておくと不必要ではありません。
複素関数の導関数。
「複素関数」とは何ですか? いいえ、これは対数でも逆正接でもありません。 これらの関数は理解するのが難しい場合があります (ただし、対数が難しいと感じる場合は、「対数」のトピックを読んでください。大丈夫です)。しかし、数学的な観点から見ると、「複雑」という言葉は「難しい」という意味ではありません。
小さなベルトコンベアを想像してください。2 人が座って、いくつかの物体を使って何らかの動作を行っています。 たとえば、1 つ目は板チョコをラッパーで包み、2 つ目はリボンで結びます。 その結果、チョコレートバーを包み、リボンで結んだ複合オブジェクトが得られます。 チョコレートバーを食べるには、逆の手順を逆の順序で行う必要があります。
同様の数学パイプラインを作成してみましょう。まず数値のコサインを求め、次に結果の数値を 2 乗します。 それで、私たちに数字（チョコレート）が与えられ、私はその余弦（ラッパー）を見つけ、そしてあなたは私が得たものを二乗します（それをリボンで結びます）。 どうしたの？ 関数。 これは複雑な関数の例です。値を見つけるために、変数を使用して最初のアクションを直接実行し、次に最初のアクションの結果を使用して 2 番目のアクションを実行します。
言い換えると、 複合関数とは、引数が別の関数である関数です。: .
私たちの例では、 .
同じ手順を逆の順序で簡単に実行できます。最初に二乗し、次に結果の数値のコサインを探します。 ほとんどの場合、結果が異なることは容易に推測できます。 複雑な関数の重要な特徴: アクションの順序が変わると、関数も変わります。
2 番目の例: (同じこと)。 。
最後に行うアクションは次のように呼ばれます 「外部」関数、および最初に実行されるアクション - それに応じて 「内部」関数(これらは非公式の名前であり、簡単な言葉で内容を説明するためにのみ使用しています)。
どの関数が外部でどの関数が内部であるかを自分で判断してみてください。
答え:内部関数と外部関数を分離することは、変数を変更することと非常に似ています。たとえば、関数内で
- 最初にどのアクションを実行しますか? まず、サインを計算してから、それを 3 乗します。 これは、それが内部関数ではあるが外部関数であることを意味します。
そして、本来の機能はそれらの構成です: 。 - 内部： ; 外部の： 。
検査： 。 - 内部： ; 外部の： 。
検査： 。 - 内部： ; 外部の： 。
検査： 。 - 内部： ; 外部の： 。
検査： 。
変数を変更して関数を取得します。
さて、今度はチョコレートバーを抽出して派生品を探します。 この手順は常に逆になります。最初に外側の関数の導関数を探し、次にその結果に内側の関数の導関数を乗算します。 元の例に関連すると、次のようになります。
もう一つの例：
それでは、最後に公式ルールを策定しましょう。
複素関数の導関数を求めるアルゴリズム:
単純そうに思えますよね？
例で確認してみましょう:
解決策:
1) 内部: ;
外部の： ;
2) 内部: ;
(今は切ろうとしないでください。コサインの下からは何も出てきません、覚えていますか?)
3) 内部: ;
外部の： ;
これが 3 レベルの複雑な関数であることはすぐにわかります。結局のところ、これ自体はすでに複雑な関数であり、そこからルートも抽出します。つまり、3 番目のアクション (チョコレートをラッパーに入れる) を実行します。ブリーフケースにはリボンが付いています）。 しかし、心配する必要はありません。この関数は通常と同じ順序で、つまり最後から「アンパック」します。
つまり、最初にルートを微分し、次にコサインを微分し、次に括弧内の式のみを微分します。 そして、それをすべて掛け算します。
このような場合、アクションに番号を付けると便利です。 つまり、私たちが知っていることを想像してみましょう。 この式の値を計算するアクションをどの順序で実行しますか? 例を見てみましょう:
アクションの実行が遅くなるほど、対応する機能はより「外部」になります。 一連のアクションは以前と同じです。
ここでのネストは通常 4 レベルです。 行動方針を決めましょう。
1. 過激な表現。 。
2. ルート。 。
3. 正弦波。 。
4. 正方形。 。
5. すべてをまとめると:
派生語。 主な内容について簡単に説明します
関数の導関数- 引数の増分が無限小である場合の、関数の増分と引数の増分との比率:
基本的な導関数:
微分の法則:
定数は微分符号から取り出されます。
合計の導関数:
製品の派生製品:
商の導関数:
複素関数の導関数:
複素関数の導関数を求めるアルゴリズム:
- 「内部」関数を定義し、その導関数を求めます。
- 「外部」関数を定義し、その導関数を求めます。
- 1 番目と 2 番目の点の結果を掛け合わせます。
導関数とその計算方法の知識がなければ、数学の物理的な問題や例を解くことはまったく不可能です。 微分は数学的解析において最も重要な概念の 1 つです。 今日の記事はこの基本的なトピックに特化することにしました。 導関数とは何ですか、その物理的および幾何学的意味は何ですか、関数の導関数を計算する方法は何ですか? これらすべての質問は 1 つにまとめることができます。つまり、導関数をどのように理解するかということです。
導関数の幾何学的および物理的意味
機能を持たせよう f(x) 、一定の間隔で指定 (a、b) 。 点 x と x0 はこの区間に属します。 x が変化すると、関数自体が変化します。 引数の変更 - その値の違い x-x0 。 この違いは次のように書きます。 デルタX これは引数インクリメントと呼ばれます。 関数の変更または増分は、2 点における関数の値の差です。 導関数の定義:
ある点における関数の導関数は、引数の増分がゼロになる傾向がある場合の、指定された点における関数の増分と引数の増分との比率の制限です。
それ以外の場合は、次のように書くことができます。
そのような限界を見つけることに何の意味があるのでしょうか? それは次のとおりです。
ある点における関数の導関数は、OX 軸と指定された点における関数のグラフの接線との間の角度の正接に等しくなります。
導関数の物理的意味: 時間に関する経路の導関数は、直線運動の速度に等しくなります。
確かに学生時代からスピードが特別な道であることは誰もが知っています x=f(t) そして時間 t 。 一定期間の平均速度:
ある瞬間の動きの速さを知るには t0 制限を計算する必要があります。
ルール 1: 定数を設定する
微分符号から定数を取り出すことができます。 さらに、これは行わなければなりません。 数学の例を解くときは、次のことを原則としてください。 式を簡略化できる場合は、必ず簡略化してください .
例。 導関数を計算してみましょう。
ルール 2: 関数の和の導関数
2 つの関数の合計の導関数は、これらの関数の導関数の合計と等しくなります。 関数の差の導関数についても同様です。
この定理の証明は行わず、実際の例を検討します。
関数の導関数を求めます。
ルール 3: 関数の積の導関数
2 つの微分可能な関数の積の導関数は、次の式で計算されます。
例: 関数の導関数を求めます。
解決： 
ここで複素関数の導関数の計算について話すことが重要です。 複素関数の導関数は、中間引数に関するこの関数の導関数と、独立変数に関する中間引数の導関数の積に等しくなります。
上の例では、次のような式が出てきます。
この場合、中間引数は 8x の 5 乗です。 このような式の導関数を計算するには、まず中間引数に関する外部関数の導関数を計算し、次に独立変数に関する中間引数自体の導関数を乗算します。
ルール 4: 2 つの関数の商の導関数
2 つの関数の商の導関数を求める公式:
ダミー向けにデリバティブについてゼロから話してみました。 このトピックは見かけほど単純ではないため、注意してください。例には落とし穴がよくあるため、導関数を計算するときは注意してください。
このトピックやその他のトピックに関する質問がある場合は、学生サービスにお問い合わせください。 これまで微分計算を行ったことがない場合でも、最も難しいテストを短時間で解決し、タスクを理解できるようにお手伝いします。
微分積分の起源は、特定の物理的問題を解決する必要性によって引き起こされます。 微分積分を持つ人はさまざまな関数の導関数を取れると想定されています。 摂取方法を知っていますか 派生関数分数で表される関数から?
説明書
1. どの分数にも分子と分母があります。 の導関数を見つける過程で 分数別途見つける必要があります 派生関数分子と 派生関数分母。
2. 発見するために 派生関数から 分数 , 派生関数分子と分母を掛けます。 結果の式から減算します 派生関数分母に分子を掛けます。 合計を分母の二乗で割ります。
3. 例 1’ = /cos? (x) = /cos? (x) = /cos? (x) = 1/cos? （バツ）。
4. 結果として得られる結果は、正接関数の導関数の表形式の値にすぎません。 定義上、サインとコサインの比はタンジェントであることは明らかです。 tg (x) = ’ = 1 / cos? であることがわかります。 （バツ）。
5. 例 2[(x? - 1) / 6x]’ = [(2x 6x - 6 x?) / 6?] = / 36 = 6x? / 36 = ×? /6.
6. 特殊なケース 分数分母が 1 である分数です。 発見する 派生関数この種から 分数もっと簡単です。次数 (-1) の分母として想像してください。
7. 例(1 / x)’ = ’ = -1 · x^(-2) = -1 / x?。
注記！
分数にはさらにいくつかの分数が含まれる場合があります。 この場合、最初に「一次」分数の導関数を個別に見つける方が便利です。
役立つアドバイス
分母と分子の微分を求めるときは、和、積、難しい関数などの微分の規則を適用します。 線形関数、指数関数、べき乗関数、対数関数、三角関数などの最も単純な表関数の導関数を覚えておくと便利です。