宇宙研究所。 フラクタルとは

川の表面での波の干渉を見ているときに、このフラクタルを発見しました。 波は岸に向かって移動し、反射されてそれ自体に重ね合わされます。 波が作り出すパターンには秩序がありますか？ それを見つけてみましょう。 波全体ではなく、その動きのベクトルだけを考慮してください。 実験を簡単にするために、「海岸」を滑らかにします。

実験は、学校のノートから箱に入った普通の紙で行うことができます。

または、アルゴリズムのJavaScript実装を使用します。

辺がqとpの長方形を取ります。 光線（ベクトル）を隅から隅まで送りましょう。 ビームは長方形のいずれかの辺に移動し、反射されて次の辺に移動し続けます。 これは、ビームが残りのコーナーの1つに当たるまで続きます。 辺qとpのサイズが互いに素な数である場合、パターンが得られます（後で見るように-フラクタル）。

写真では、このアルゴリズムがどのように機能するかがはっきりとわかります。

GIFアニメーション：

最も驚くべきことは、長方形のさまざまな辺で、さまざまなパターンが得られることです。

なぜこれらのパターンをフラクタルと呼ぶのですか？ ご存知のように、「フラクタル」は自己相似性の性質を持つ幾何学的図形です。 画像の一部は、全体の画像を繰り返します。 辺QとPの次元を大幅に増やすと、これらのパターンが自己相似性を持っていることは明らかです。

増やしてみましょう。 トリッキーな方法で増加します。 たとえば、17x29のパターンを考えてみましょう。 次のパターンは次のようになります：29x（17 + 29 = 46）、46x（29 + 46 = 75）…
片側：F（n）;
2番目の側：F（n + 1）= F（n）+ F（n-1）;
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
フィボナッチ数と同様に、シーケンスの最初と2番目のメンバーが異なる場合のみ：F（0）= 17、F（1）=29。

大きい方の辺が偶数の場合、パターンは次のようになります。

小さい方が偶数の場合：

両側が奇数の場合、対称パターンが得られます。

ビームの開始方法に応じて：

また

これらの長方形で何が起こるかを説明しようと思います。

正方形を長方形から分離して、境界線で何が起こるかを見てみましょう。

ビームは、ビームが入ったのと同じポイントで出ます。

この場合、ビームが通過する正方形の数は常に偶数です。

したがって、正方形が長方形から切り離された場合、フラクタルの変更されていない部分が残ります。

正方形をフラクタルからできるだけ多く分離すると、フラクタルの「始まり」にたどり着くことができます。

フィボナッチスパイラルのように見えますか？

フラクタルはフィボナッチ数からも取得できます。

数学では、フィボナッチ数（フィボナッチ数列、フィボナッチ数列）は数と呼ばれます。
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
定義上、フィボナッチ数列の最初の2桁は0と1であり、後続の各数値は前の2つの合計に等しくなります。
F（n）= F（n-1）+ F（n-2）
F（0）= 0、F（1）= 1

行け：

ご覧のとおり、アスペクト比が黄金比に近づくほど、フラクタルはより詳細になります。

この場合、フラクタルはフラクタルの一部を繰り返し、。だけ増加します。

フィボナッチ数の代わりに、不合理なサイドサイズを使用できます。

同じフラクタルが得られます。

ビームが異なる角度で発射された場合、同じフラクタルを正方形で取得することもできます。

結論として何が言えますか？
カオスも注文です。 彼らのルールで。 この順序は調査されていませんが、調査するのに非常に適しています。 そして、科学の全体的な願望は、これらの規則性を発見することです。 そして、最終的にパズルのピースを接続して全体像を確認します。
川の水面を見てみましょう。 石を投げると波が出ます。 サークルは非常に勉強しやすいです。 速度、周期、波長-これらすべてを計算できます。 しかし、波が岸に到達するまで、波は反射されず、波が重なり始めません。 すでに研究が難しいカオス（干渉）が発生します。
後方に移動するとどうなりますか？ 波の振る舞いを可能な限り単純化します。 単純化してパターンを見つけてから、起こっていることの全体像を説明してみてください。
何を単純化できますか？ 明らかに、曲がることなく、反射面をまっすぐにするため。 さらに、波自体の代わりに、波の動きベクトルのみを使用します。 原則として、これは単純なアルゴリズムを構築し、コンピューター上でプロセスをシミュレートするのに十分です。 そして、箱の中の普通の紙に波の振る舞いの「モデル」を作るのに十分ですら。
結果として何が得られますか？ その結果、波のプロセス（川の表面の同じ波紋）では、カオスではなく、フラクタル（自己相似構造）が重なり合っていることがわかります。

別の種類の波について考えてみましょう。 ご存知のように、電磁波は波数ベクトルと電場と磁場のベクトルの3つのベクトルで構成されています。 ご覧のとおり、これらのベクトルが交差する閉じた領域でこのような波を「キャッチ」すると、非常に明確な閉じた構造が得られます。 おそらく素粒子は同じフラクタルですか？

1から80（6723x6723 px）までの長方形のすべてのフラクタル：

フラクタルの閉じた領域（6723x6723 px）：

ただ美しいフラクタル（4078x2518 px）：

フラクタル

フラクタル（緯度 フラクタス-押しつぶされた、壊れた、壊れた）-自己相似性の性質を持つ幾何学的図形、つまり、それぞれが全体として図形全体に類似しているいくつかの部分で構成されています。数学では、フラクタルはフラクショナルメトリック次元（ミンコウスキーまたはハウスドルフの意味で）、またはトポロジカル以外のメトリック次元を持つユークリッド空間内のポイント。 フラクタルは、フラクタルを研究およびコンパイルする独立した精密科学です。

言い換えれば、フラクタルは分数次元の幾何学的オブジェクトです。 たとえば、線の寸法は1、面積は2、体積は3です。フラクタルの場合、寸法値は1から2の間、または2から3の間です。たとえば、しわくちゃの紙のフラクタル次元ボールは約2.5です。 数学では、フラクタル次元を計算するための特別な複雑な式があります。 気管チューブ、木の葉、腕の静脈、川の影響はフラクタルです。 簡単に言えば、フラクタルは幾何学的図形であり、その特定の部分が何度も繰り返され、サイズが変化します。これが自己相似性の原理です。 フラクタルはそれ自体に似ており、すべてのレベル（つまり、任意のスケール）でそれら自体に似ています。 フラクタルにはさまざまな種類があります。 原理的には、雲であろうと酸素分子であろうと、現実の世界に存在するものはすべてフラクタルであると主張することができます。

「カオス」という言葉は予測できないことを示唆していますが、実際には、カオスはかなり秩序があり、特定の法律に従います。 カオスとフラクタルを研究する目的は、一見予測不可能で完全に混沌としているように見えるパターンを予測することです。

この知識分野の先駆者は、フランス系アメリカ人の数学者、ブノワ・B・マンデルブロ教授でした。 1960年代半ばに、彼はフラクタルジオメトリを開発しました。その目的は、壊れた、しわの寄った、ぼやけた形状を分析することでした。 マンデルブロ集合（図に示されている）は、人が「フラクタル」という言葉を聞いたときに最初に持つ関連です。 ちなみに、マンデルブロは、イングランドの海岸線のフラクタル次元は1.25であると判断しました。

フラクタルはますます科学で使用されています。 それらは、従来の物理学や数学よりも現実の世界をよりよく説明しています。 ブラウン運動は、たとえば、水中に浮遊する塵の粒子のランダムで無秩序な動きです。 このタイプの動きは、おそらくフラクタル幾何学の最も実用的な側面です。 ランダムブラウン運動には、大量のデータと統計を含む現象を予測するために使用できる周波数応答があります。 たとえば、マンデルブロはブラウン運動を使用して羊毛の価格の変化を予測しました。

「フラクタル」という言葉は、数学用語としてだけでなく使用することもできます。 マスコミや人気のある科学文献のフラクタルは、次のいずれかの特性を持つ図と呼ぶことができます。

それはすべてのスケールで重要な構造を持っています。 これは、通常の図形（円、楕円、滑らかな関数のグラフなど）との違いです。通常の図形の小さな断片を非常に大規模に考えると、直線の断片のように見えます。 。 フラクタルの場合、ズームインしても構造が単純化されるわけではありません。すべてのスケールで、同じように複雑な画像が表示されます。

それは自己相似またはほぼ自己相似です。

フラクショナルメトリックディメンションまたはトポロジカルディメンションよりも優れたメトリックディメンションがあります。

コンピューティングにおけるフラクタルの最も有用な使用法は、フラクタルデータ圧縮です。 同時に、画像は従来の方法よりもはるかによく圧縮されます-最大600：1。 フラクタル圧縮のもう1つの利点は、ズームインしたときに、画像を大幅に悪化させるピクセル化効果がないことです。 さらに、拡大後のフラクタル圧縮された画像は、以前よりもさらに良く見えることがよくあります。 コンピュータ科学者はまた、無限の複雑さと美しさのフラクタルが単純な式で生成できることを知っています。 映画業界では、フラクタルグラフィックス技術を多用して、リアルな風景要素（雲、岩、影）を作成しています。

流れの乱流の研究は、フラクタルに非常によく適応します。 これにより、複雑なフローのダイナミクスをよりよく理解できます。 フラクタルを使用して炎をモデル化することもできます。 多孔質材料は、非常に複雑な形状をしているため、フラクタル形式でよく表されます。 距離を超えてデータを送信するために、フラクタル型のアンテナが使用され、サイズと重量が大幅に削減されます。 フラクタルは、サーフェスの曲率を表すために使用されます。 凹凸のある表面は、2つの異なるフラクタルの組み合わせによって特徴付けられます。

自然界の多くの物体には、海岸、雲、樹冠、雪片、循環器系、人間や動物の肺胞系などのフラクタル特性があります。

特に飛行機のフラクタルは、コンピューターを使った美しさと作りやすさの組み合わせで人気があります。

異常な特性を持つ自己相似集合の最初の例は、19世紀に登場しました（たとえば、ボルツァーノ関数、ワイエルシュトラス関数、カントール集合）。 「フラクタル」という用語は、1975年にブノワマンデルブロによって導入され、1977年に彼の著書「フラクタル幾何学」のリリースで広く人気を博しました。

左の図は、簡単な例として、五角形の束が一緒に絞られているように見える、DalerPentagonフラクタルを示しています。 実際、五角形を開始子として使用し、二等辺三角形を使用して形成されます。最大の辺と最小の辺の比率は、いわゆる黄金比（1.618033989または1 /（2cos72°））と正確に等しくなります。発生器。 これらの三角形は、各五角形の中央から切り取られ、5つの小さな五角形が1つの大きな五角形に接着されたように見える形状になります。

カオス理論は、複雑な非線形システムは遺伝的に予測不可能であると述べていますが、同時に、そのような予測不可能なシステムを表現する方法は、正確な平等ではなく、システムの動作の表現で真実であることが判明したと主張しています-奇妙なアトラクターのグラフでフラクタルのように見えます。 したがって、多くの人が予測不可能と考えているカオス理論は、最も不安定なシステムでも予測可能性の科学であることがわかります。 力学系の教義は、単純な方程式が、システムが安定した状態に戻ることはなく、同時に規則性が現れないような混沌とした振る舞いを生成できることを示しています。 多くの場合、このようなシステムは、重要なパラメータの特定の値までは非常に正常に動作し、その後、さらに開発するための2つの可能性、次に4つの可能性、そして最後に混沌とした一連の可能性がある遷移を経験します。

技術オブジェクトで発生するプロセスのスキームは、明確に定義されたフラクタル構造を持っています。 最小技術システム（TS）の構造は、2つのタイプのプロセス（メインプロセスとサポートプロセス）のTS内のフローを意味し、この分割は条件付きで相対的です。 任意のプロセスがサポートプロセスに関連するメインプロセスになることができ、サポートプロセスのいずれかが「それらの」サポートプロセスに関連するメインプロセスと見なすことができます。 図の円は、これらのプロセスのフローを保証する物理的効果を示しています。このため、特別に「独自の」TSを作成する必要はありません。 これらのプロセスは、物質、フィールド、物質、およびフィールド間の相互作用の結果です。 正確には、物理​​的効果は車両であり、その原理は影響を与えることができず、その構造に干渉することを望まないか、または干渉する機会がありません。

図に示されているメインプロセスのフローは、それらを生成するTSのメインプロセスである3つのサポートプロセスの存在によって保証されます。 公平を期すために、最小限のTSでさえ機能するには、3つのプロセスでは明らかに不十分であることに注意してください。 スキームは非常に、非常に誇張されています。

図に示されているほど単純ではありません。 有用な（人に必要な）プロセスを100％の効率で実行することはできません。 消費されたエネルギーは、加熱、振動などの有害なプロセスの作成に費やされます。 その結果、有益なプロセスと並行して、有害なプロセスが発生します。 「悪い」プロセスを「良い」プロセスに置き換えることが常に可能であるとは限らないため、システムに有害な結果を補うために新しいプロセスを編成する必要があります。 典型的な例は、摩擦と戦う必要性です。これにより、独創的な潤滑スキームを編成したり、高価な減摩材料を使用したり、コンポーネントや部品の潤滑や定期的な交換に時間を費やしたりする必要があります。

変化する環境の避けられない影響の存在に関連して、有用なプロセスを制御する必要があるかもしれません。 管理は、自動デバイスを使用して実行することも、人が直接実行することもできます。 プロセス図は、実際には一連の特別なコマンドです。 アルゴリズム。 各コマンドの本質（説明）は、有害なプロセスと必要な制御プロセスのセットを伴う、単一の有用なプロセスの組み合わせです。 このようなアルゴリズムでは、サポートするプロセスのセットは通常のサブルーチンであり、ここでもフラクタルが見つかります。 四半世紀前に作成されたR.Kollerの方法により、わずか12ペアの関数（プロセス）のかなり限られたセットでシステムを作成することが可能になります。

数学で珍しい特性を持つ自己相似セット

19世紀の終わりから、古典的な分析の観点から病理学的特性を持つ自己相似オブジェクトの例が数学に登場しました。 これらには次のものが含まれます。

カントール集合は、どこにも密集した数え切れないほどの完璧な集合です。 手順を変更することにより、どこにも密な正の長さのセットを取得することもできます。

シェルピンスキーの三角形（「テーブルクロス」）とシェルピンスキーのカーペットは、飛行機に設置されたカントール集合の類似物です。

メンガーのスポンジ-3次元空間に設定されたカントールの類似物。

ワイエルシュトラスとファンデルヴェルデンによる、どこにも微分不可能な連続関数の例。

コッホ曲線-どの点にも接線がない、無限の長さの非自己交差連続曲線。

ペアノ曲線は、正方形のすべての点を通過する連続曲線です。

ブラウン粒子の軌道も確率1で微分可能ではありません。 そのハウスドルフ次元は2です

フラクタル曲線を取得するための再帰的手順

コッホ曲線の作成

平面内のフラクタル曲線を取得するための簡単な再帰的手順があります。 ジェネレータと呼ばれる、有限数のリンクを持つ任意の破線を定義します。 次に、その中の各セグメントをジェネレーター（より正確には、ジェネレーターに似た破線）に置き換えます。 結果の破線では、各セグメントをジェネレーターに置き換えます。 無限大に進むと、限界でフラクタル曲線が得られます。 右の図は、コッホ曲線のこの手順の最初の4つのステップを示しています。

このような曲線の例は次のとおりです。

ドラゴン曲線、

コッホ曲線（コッホスノーフレーク）、

レヴィ曲線、

ミンコウスキー曲線、

ヒルベルト曲線、

壊れた（曲線）ドラゴン（フラクタルハーター-ヘイトウェイ）、

ペアノ曲線。

同様の手順を使用して、ピタゴラスの木が取得されます。

収縮写像の不動点としてのフラクタル

自己相似性は、数学的に厳密に次のように表すことができます。 飛行機の収縮写像にしましょう。 平面のすべてのコンパクトな（閉じたおよび境界のある）サブセットのセットに対する次のマッピングを検討してください。

マッピングは、ハウスドルフ距離を使用したコンパクトセットのセットの収縮マッピングであることを示すことができます。 したがって、Banachの定理によれば、このマッピングには固有の不動点があります。 この不動点がフラクタルになります。

上記のフラクタル曲線を取得するための再帰的な手順は、この構造の特殊なケースです。 その中で、すべてのマッピングは類似性マッピングであり、ジェネレータリンクの数です。

シェルピンスキーの三角形とマッピングの場合、、は正三角形の頂点に中心があり、係数が1/2の相似変換です。 シェルピンスキーの三角形がマッピングの下で​​それ自体に変換されることは簡単にわかります。

マッピングが係数を使用した相似変換である場合、フラクタルの次元（いくつかの追加の技術的条件下で）は、方程式の解として計算できます。 したがって、シェルピンスキーの三角形の場合、 .

同じバナッハの定理によれば、任意のコンパクトセットから開始し、それにマッピングの反復を適用すると、フラクタルに収束する（ハウスドルフ距離の意味で）コンパクトセットのシーケンスが得られます。

複素力学のフラクタル

ジュリア集合

ジュリアの別のセット

フラクタルは、非線形力学系の研究で自然に発生します。 最も研究されているケースは、力学系が平面上の複素変数の多項式または正則関数の反復によって定義される場合です。 この分野での最初の研究は20世紀初頭にさかのぼり、ファトウとジュリアの名前に関連付けられています。

なりましょう F(z）-多項式、 z 0は複素数です。 次のシーケンスを検討してください。 z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

このシーケンスの動作に関心があります。 n無限に。 このシーケンスは次のことができます。

無限を目指して努力する

究極を目指して

制限内で周期的な動作を示します。次に例を示します。 z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

混沌とした振る舞いをすること、つまり、言及された3つのタイプの振る舞いのいずれも示さないこと。

値のセット zシーケンスが1つの特定のタイプの動作を示す0、および異なるタイプ間の分岐点のセットは、多くの場合、フラクタル特性を持っています。

したがって、ジュリア集合は、多項式の分岐点の集合です。 F(z)=z 2 +c（または他の同様の関数）、つまり、それらの値 z 0、シーケンスの動作（ z n）任意の小さな変更で劇的に変更できます z 0 .

フラクタルセットを取得するための別のオプションは、多項式にパラメーターを導入することです。 F(z）そして、シーケンス（ z n）固定の特定の動作を示します z 0。 したがって、マンデルブロ集合は、（ z n） にとって F(z)=z 2 +cと z 0は無限大にはなりません。

この種のもう1つのよく知られた例は、ニュートンのプールです。

対応する動的システムの動作に応じて平面点に色を付けることにより、複雑なダイナミクスに基づいて美しいグラフィックイメージを作成することが一般的です。 たとえば、マンデルブロ集合を補完するために、努力の速度に応じてポイントに色を付けることができます（ z n）から無限大（たとえば、最小数として定義） n、ここで| z n| 固定の大きな値を超える A.

バイオモルフは、複雑なダイナミクスに基づいて構築され、生物に似たフラクタルです。

確率的フラクタル

ジュリア集合に基づくランダム化フラクタル

自然物はしばしばフラクタル形状をしています。 それらのモデリングには、確率的（ランダム）フラクタルを使用できます。 確率的フラクタルの例：

平面上および空間内のブラウン運動の軌道。

平面上のブラウン運動の軌道の境界。 2001年、Lawler、Schramm、およびWernerは、その次元が4/3であるというMandelbrotの予想を証明しました。

Schramm-Löwnerの進化は、例えばイジングモデルやパーコレーションなどの統計力学の重要な2次元モデルで発生する、共形的に不変のフラクタル曲線です。

さまざまなタイプのランダム化フラクタル、つまり、各ステップでランダムパラメータが導入される再帰的手順を使用して取得されたフラクタル。 プラズマは、コンピュータグラフィックスでのそのようなフラクタルの使用例です。

本来は

気管と気管支の正面図

気管支樹

血管のネットワーク

応用

自然科学

物理学では、フラクタルは、乱流流体の流れ、複雑な拡散吸着プロセス、炎、雲などの非線形プロセスをモデル化するときに自然に発生します。フラクタルは、石油化学などの多孔質材料をモデル化するときに使用されます。 生物学では、それらは人口をモデル化し、内臓のシステム（血管のシステム）を説明するために使用されます。

ラジオ工学

フラクタルアンテナ

アンテナデバイスの設計でのフラクタルジオメトリの使用は、最初にアメリカ人エンジニアのネイサンコーエンによって適用されました。ネイサンコーエンはボストンのダウンタウンに住んでおり、建物に外部アンテナを設置することは禁じられていました。 ネイサンはアルミホイルからコッホ曲線の形で図形を切り取り、それを一枚の紙に貼り付け、それをレシーバーに取り付けました。 コーエンは彼自身の会社を設立し、彼らの連続生産を開始しました。

情報学

画像圧縮

主な記事： フラクタル圧縮アルゴリズム

フラクタルツリー

フラクタルを使用した画像圧縮アルゴリズムがあります。 これらは、画像自体の代わりに、この画像（またはそれに近い画像）が固定点である収縮マップを保存できるという考えに基づいています。 このアルゴリズムの変形の1つが使用されました[ ソース不特定895日] Microsoftが百科事典を公開したとき、これらのアルゴリズムは広く使用されていませんでした。

コンピューターグラフィックス

別のフラクタルツリー

フラクタルは、木、茂み、山の風景、海面などの自然物の画像を作成するために、コンピュータグラフィックスで広く使用されています。 フラクタル画像を生成するために使用される多くのプログラムがあります。フラクタルジェネレータ（プログラム）を参照してください。

分散型ネットワーク

NetsukukuのIPアドレス割り当てシステムは、フラクタル情報圧縮の原理を使用して、ネットワークノードに関する情報をコンパクトに格納します。 Netsukukuネットワーク上の各ノードは、隣接ノードのステータスに関する情報を4 KBしか保存しませんが、新しいノードは、IPアドレスの配布を一元的に規制する必要なしに、一般的なネットワークに接続します。インターネット。 したがって、フラクタル情報圧縮の原理は、完全に分散化されていることを保証し、したがって、ネットワーク全体の最も安定した動作を保証します。

市立予算教育機関

「シヴェルスキー中学校第3校」

リサーチ

数学。

仕事をしました

中学2年生

エメリンパベル

スーパーバイザー

数学の先生

TupitsynaナターリヤAlekseevna

p。Siversky

2014年

数学はすべて美しさと調和が浸透しています、

あなたはただこの美しさを見なければなりません。

B.マンデルブロ

序章

第1章フラクタルの出現の歴史_______5-6pp。

第2章フラクタルの分類。____________________6-10pp。

幾何学的フラクタル

代数フラクタル

確率的フラクタル

第3章「自然のフラクタル幾何学」______11-13pp。

第4章フラクタルの適用_______________13-15pp。

第5章実習__________________16-24pp。

結論_________________________________25.page

文献とインターネットリソースのリスト_______26p。

序章

数学、

あなたがそれを正しく見れば、

真実だけでなく、

だけでなく、比類のない美しさ。

バートランドラッセル

「フラクタル」という言葉は、科学者から高校生まで、最近多くの人が話題にしている言葉です。 多くの数学の教科書、科学雑誌、コンピューターソフトウェアボックスの表紙に掲載されています。 今日のフラクタルのカラー画像は、はがき、Tシャツから、パソコンのデスクトップ上の写真まで、いたるところにあります。 それで、私たちが周りに見ているこれらの色の形は何ですか？

数学は最も古い科学です。 ほとんどの人にとって、自然界の幾何学は、線、円、多角形、球などの単純な形に限定されているように見えました。 結局のところ、多くの自然システムは非常に複雑であるため、通常のジオメトリの使い慣れたオブジェクトのみを使用してそれらをモデル化することは絶望的です。 たとえば、ジオメトリの観点から山脈や樹冠のモデルを作成するにはどうすればよいですか？ 植物や動物の世界で私たちが観察している生物学的多様性の多様性をどのように説明しますか？ 多くの毛細血管と血管で構成され、人体のすべての細胞に血液を送る循環器系の全体的な複雑さをどのように想像しますか？ 肺と腎臓の構造を想像してみてください。構造が枝分かれした樹冠を持つ木に似ていますか？

フラクタルは、提起された質問を調査するための適切な手段です。 多くの場合、私たちが自然界で目にするものは、同じパターンが数倍に拡大または縮小されて無限に繰り返されることに興味をそそられます。 たとえば、木には枝があります。 これらのブランチには小さなブランチがあり、以下同様です。 理論的には、「フォーク」要素は無限に何度も繰り返され、どんどん小さくなっていきます。 山岳地帯の写真を見ると同じことがわかります。 山脈を少し拡大してみてください---再び山が見えます。 これは、フラクタルに特徴的な自己相似性の特性がどのように現れるかです。

フラクタルの研究は、無限の数のアプリケーションの研究と数学の分野の両方で素晴らしい可能性を開きます。 フラクタルの使用は非常に広範囲です！ 結局のところ、これらのオブジェクトは非常に美しいので、デザイナーやアーティストが使用し、それらの助けを借りて、木、雲、山などの多くの要素がグラフィックで描かれています。 しかし、フラクタルは多くの携帯電話のアンテナとしても使用されています。

多くのカオロジスト（フラクタルとカオスを研究する科学者）にとって、これは数学、理論物理学、芸術、コンピューター技術を組み合わせた新しい知識分野ではありません。これは革命です。 これは、新しいタイプの幾何学、つまり私たちの周りの世界を描写し、教科書だけでなく、自然や無限の宇宙のいたるところに見られる幾何学の発見です。.

私の作品では、美の世界に「触れる」ことを決意し、自分自身で決心しました…

目的：自然に非常によく似たオブジェクトを作成します。

研究手法キーワード：比較分析、合成、モデリング。

タスク:

B.マンデルブロの概念、発生の歴史、研究に精通している、

G.コッホ、V。シェルピンスキーなど。

さまざまなタイプのフラクタルセットに精通している。

この問題に関する人気のある科学文献の研究、

科学的仮説;

周囲の世界のフラクタル性の理論の確認を見つける;

他の科学および実際におけるフラクタルの使用の研究。

独自のフラクタル画像を作成するための実験を実施します。

仕事の中心的な質問：

数学が乾いた、魂のない主題ではないことを示してください、それは個人のそして社会全体の精神的な世界を表現することができます。

研究対象：フラクタルジオメトリ。

調査対象：数学と実世界のフラクタル。

仮説：現実の世界に存在するものはすべてフラクタルです。

研究手法：分析、検索。

関連性宣言されたトピックのは、まず第一に、フラクタル幾何学である研究の主題によって決定されます。

推測される結果：仕事の過程で、数学の分野での知識を広げ、フラクタル幾何学の美しさを見て、自分のフラクタルの作成に取り掛かることができるようになります。

作業の結果、コンピューターによるプレゼンテーション、掲示板、小冊子が作成されます。

第1章

B Enua Mandelbrot

「フラクタル」という用語は、ブノワ・マンデルブロによって造られました。 この言葉はラテン語の「フラクトゥス」に由来し、「壊れた、粉々になった」という意味です。

フラクタル（lat。fractus-押しつぶされた、壊れた、壊れた）-自己相似性の特性を持つ複雑な幾何学的図形を意味する用語。つまり、それぞれが全体として図全体に類似しているいくつかの部分で構成されます。

それが参照する数学的対象は、非常に興味深い特性によって特徴付けられます。 通常のジオメトリでは、線は1次元、表面は2次元、空間図形は3次元です。 一方、フラクタルは線や表面ではありませんが、想像できるとしたら、その中間にあります。 サイズが大きくなると、フラクタルの体積も大きくなりますが、その寸法（指数）は整数ではなく小数値であるため、フラクタル図形の境界は線ではありません。高倍率では明確になります。それはぼやけていて、らせんとカールで構成されており、図自体のスケールを小さく繰り返しています。 このような幾何学的規則性は、スケール不変性または自己相似性と呼ばれます。 フラクタル次元の分数次元を決定するのは彼女です。

フラクタル幾何学が出現する前は、科学は3つの空間次元に含まれるシステムを扱っていました。 アインシュタインのおかげで、3次元空間は現実のモデルに過ぎず、現実そのものではないことが明らかになりました。 実際、私たちの世界は4次元の時空の連続体の中にあります。
マンデルブロのおかげで、比喩的に言えば、カオスのフラクタル面である4次元空間がどのように見えるかが明らかになりました。 ブノワ・マンデルブロは、4次元には、最​​初の3次元だけでなく、それらの間の間隔も含まれていることを発見しました（これは非常に重要です！）。

再帰的（またはフラクタル）ジオメトリがEuclideanに取って代わりつつあります。 新しい科学は、身体と現象の本質を説明することができます。 ユークリッド幾何学は、3次元に属する人工の架空のオブジェクトのみを扱いました。 それらを実現できるのは4次元だけです。

液体、気体、固体は、3次元の世界に存在する物質の3つの通常の物理的状態です。 しかし、乱気流の動きによって絶えずぼやけている煙、雲、またはむしろそれらの境界のパフの寸法は何ですか？

基本的に、フラクタルは3つのグループに分類されます。

代数フラクタル

確率的フラクタル

幾何学的フラクタル

それぞれを詳しく見ていきましょう。

第2章フラクタルの分類

幾何学的フラクタル

ブノワ・マンデルブロはフラクタルモデルを提案しました。これはすでに古典的であり、フラクタル自体の典型的な例とフラクタルの美しさの両方を示すためによく使用され、研究者、芸術家、そして単に興味のある人々を魅了します。

フラクタルの歴史が始まったのは彼らと一緒でした。 このタイプのフラクタルは、単純な幾何学的構造によって得られます。 通常、これらのフラクタルを作成するときは、次のように進めます。「シード」（公理）が取得され、それに基づいてフラクタルが作成される一連のセグメントが作成されます。 さらに、一連のルールがこの「シード」に適用され、それが何らかの幾何学的図形に変換されます。 さらに、同じルールのセットがこの図の各部分に再び適用されます。 各ステップで、図はますます複雑になり、（少なくとも心の中で）無限の数の変換を実行すると、幾何学的フラクタルが得られます。

このクラスのフラクタルは、どのスケールの観察でもすぐに自己相似性が見えるため、最も視覚的です。 2次元の場合、このようなフラクタルは、ジェネレータと呼ばれる破線を指定することで取得できます。 アルゴリズムの1つのステップで、破線を構成する各セグメントが、適切なスケールで破線ジェネレーターに置き換えられます。 この手順を際限なく繰り返した結果（より正確には、限界に達したとき）、フラクタル曲線が得られます。 結果として得られる曲線は明らかに複雑であるため、その一般的な形式はジェネレータの形状によってのみ与えられます。 このような曲線の例としては、コッホ曲線（図7）、ペアノ曲線（図8）、ミンコウスキー曲線があります。

20世紀の初め、数学者はどの点にも接線がない曲線を探していました。 これは、曲線の方向が急激に変化し、さらに、非常に高速である（導関数は無限大に等しい）ことを意味します。 これらの曲線の検索は、数学者の怠惰な関心だけが原因ではありませんでした。 事実、20世紀の初めに、量子力学は非常に急速に発展しました。 研究者M.ブラウンは、水中の浮遊粒子の軌道をスケッチし、この現象を次のように説明しました。ランダムに移動する液体原子が浮遊粒子に衝突し、それによってそれらを動かします。 ブラウン運動のそのような説明の後、科学者はブラウン粒子の運動を最もよく示す曲線を見つけるという課題に直面しました。 これを行うには、曲線が次のプロパティを満たす必要がありました。どの点にも接線がない。 数学者コッホはそのような曲線の1つを提案しました。

に コッホ曲線は典型的な幾何学的フラクタルです。 その構築のプロセスは次のとおりです。単一のセグメントを取得し、それを3つの等しい部分に分割し、中央の間隔をこのセグメントのない正三角形に置き換えます。 その結果、長さ1/3の4つのリンクで構成される破線が形成されます。 次のステップでは、結果として得られる4つのリンクごとに操作を繰り返します。

限界曲線は コッホ曲線。

スノーフレークコッホ。正三角形の辺で同様の変換を実行することにより、コッホスノーフレークのフラクタル画像を取得できます。

T
幾何学的フラクタルのもう1つの単純な代表は シェルピンスキーの広場。それは非常に単純に構築されています。正方形は、その辺に平行な直線によって9つの等しい正方形に分割されます。 中央の正方形が正方形から削除されます。 それは「一流」の残りの8つの正方形からなるセットであることがわかります。 最初のランクの各正方形で同じことを行うと、2番目のランクの64個の正方形で構成されるセットが得られます。 このプロセスを無期限に続けると、無限シーケンスまたはシェルピンスキーの二乗が得られます。

代数フラクタル

これはフラクタルの最大のグループです。 代数フラクタルは、単純な代数式を使用して作成されているため、その名前が付けられました。

それらは、非線形プロセスを使用して取得されます。 n-次元空間。 非線形力学系にはいくつかの安定状態があることが知られています。 動的システムが特定の反復回数の後に自分自身を見つける状態は、その初期状態によって異なります。 したがって、各安定状態（または、彼らが言うように、アトラクタ）には、初期状態の特定の領域があり、そこからシステムは必然的に考慮された最終状態に分類されます。 したがって、システムの位相空間は次のように分割されます。 魅力的なエリアアトラクタ。 位相空間が2次元の場合、引力領域を異なる色で着色することにより、次のようになります。 カラーフェーズポートレートこのシステム（反復プロセス）。 色選択アルゴリズムを変更することにより、派手な多色パターンを持つ複雑なフラクタルパターンを取得できます。 数学者にとっての驚きは、原始的なアルゴリズムを使用して非常に複雑な構造を生成できることでした。

例として、マンデルブロ集合を考えてみましょう。 複素数を使用して構築されています。

マンデルブロ集合の境界の一部で、200倍に拡大されています。

マンデルブロ集合には、エンドレス 反復回数は無限遠点（黒の点）にはなりません。 セットの境界に属するポイント（これは複雑な構造が発生する場所です）有限の反復回数で無限大になり、セットの外側にあるポイントは数回の反復後に無限大になります（白い背景）。

P



別の代数フラクタルの例は、ジュリア集合です。 このフラクタルには2つの種類があります。驚いたことに、ジュリア集合はマンデルブロ集合と同じ式に従って形成されています。 ジュリア集合は、フランスの数学者ガストンジュリアによって発明され、その後、この集合の名前が付けられました。

と
興味深い事実、いくつかの代数フラクタルは、動物、植物、その他の生物学的オブジェクトの画像に非常に似ており、その結果、それらはバイオモルフと呼ばれます。

確率的フラクタル

別のよく知られているクラスのフラクタルは確率的フラクタルです。これは、そのパラメーターのいずれかが反復プロセスでランダムに変更された場合に取得されます。 これにより、オブジェクトは自然のものと非常によく似たものになります。非対称の木、へこんだ海岸線などです。

このグループのフラクタルの典型的な代表は「プラズマ」です。

D
それを構築するために、長方形が取られ、その各コーナーの色が決定されます。 次に、長方形の中心点が検出され、長方形の角の色の算術平均にランダムな数を加えたものに等しい色でペイントされます。 ランダムな数字が大きいほど、画像はより「引き裂かれ」ます。 ポイントの色が海抜の高さであると仮定すると、プラズマの代わりに山脈が得られます。 山がほとんどのプログラムでモデル化されるのはこの原則に基づいています。 プラズマのようなアルゴリズムを使用して、高さマップが作成され、さまざまなフィルターが適用され、テクスチャが適用され、フォトリアリスティックな山が準備されます。

E
このフラクタルをセクションで見ると、このフラクタルはボリュームがあり、「粗さ」を持っていることがわかります。この「粗さ」のために、このフラクタルの非常に重要な用途があります。

山の形を説明したいとしましょう。 ユークリッド幾何学の通常の図は、表面の地形を考慮していないため、ここでは役に立ちません。 しかし、従来のジオメトリとフラクタルジオメトリを組み合わせると、山の非常に「粗さ」を得ることができます。 プラズマは通常のコーンに適用する必要があり、私たちは山の救済を得るでしょう。 このような操作は、確率的フラクタルのおかげで、自然界の他の多くのオブジェクトを使用して実行でき、自然そのものを記述することができます。

それでは、幾何学的フラクタルについて話しましょう。

.

第3章「自然のフラクタル幾何学」

ジオメトリが「コールド」および「ドライ」と呼ばれることが多いのはなぜですか？1つの理由は、雲、山、海岸線、または木の形状を説明できないことです。雲は球ではなく、山は円錐ではなく、海岸線は円ではなく、木です。樹皮は滑らかではありませんが、完全に異なるレベルの複雑さです。すべての実用的な目的のための自然物の異なる長さのスケールの数は無限です。」

（ベノワマンデルブロ「フラクタル幾何学」 ).

に フラクタルの美しさは2つあります。それは、ペイトゲンとリヒターのリーダーシップの下でブレーメンの数学者のグループによって組織されたフラクタル画像の少なくとも世界的な展示によって証明されるように、目を楽しませます。 その後、この壮大な展覧会の展示は、同じ著者による本「フラクタルの美しさ」のイラストにキャプチャされました。 しかし、R。ファインマンによれば、フラクタルの美しさには別のより抽象的なまたは崇高な側面があり、理論家の精神的な視線にのみ開かれています。この意味で、フラクタルは難しい数学の問題の美しさで美しいです。 ブノワ・マンデルブロは、彼の同時代人（そしておそらく彼の子孫）にユークリッド原論の不幸なギャップを指摘しました。それによると、約2千年の間、人類は周囲の世界の幾何学を理解し、数学的な厳密さを学びました。プレゼンテーション。 もちろん、フラクタルの美しさの両方の側面は密接に相互に関連しており、排除するものではありませんが、それぞれが自給自足ですが、相互に補完し合っています。

マンデルブロによると、自然のフラクタル幾何学は、F。クラインの「エアランゲンプログラム」で提案された幾何学の定義を満たす実際の幾何学です。 事実は、非ユークリッド幾何学が出現する前は、N.I。 Lobachevsky-L. Bolyai、幾何学は1つだけでした-「始まり」で説明されたものであり、どの幾何学が何であり、どの幾何学が現実世界の幾何学であるかという問題は生じず、できませんでした発生します。 しかし、さらに別のジオメトリの出現により、一般的にどのジオメトリがあり、多くのジオメトリのどれが現実の世界に対応するのかという疑問が生じました。 F. Kleinによると、幾何学は、変換の下で不変であるオブジェクトのそのようなプロパティを研究します：ユークリッド-モーションのグループの不変量（任意の2点間の距離を変更しない変換、つまり、またはとの平行移動と回転の重ね合わせを表す向きを変えずに）、Lobachevsky-Bolyai幾何学-ローレンツグループの不変量。 フラクタル幾何学は、自己アフィン変換のグループの不変量の研究を扱います。 べき法則によって表されるプロパティ。

実世界への対応に関しては、フラクタル幾何学は非常に幅広いクラスの自然のプロセスと現象を説明しているため、B。マンデルブロに続いて、自然のフラクタル幾何学について正しく話すことができます。 新規-フラクタルオブジェクトには通常とは異なるプロパティがあります。 一部のフラクタルの長さ、面積、体積はゼロに等しく、他のフラクタルは無限大になります。

自然はしばしば驚くべき美しいフラクタルを生み出します。完璧な幾何学と調和があり、賞賛で凍りつくだけです。 そして、ここにそれらの例があります：

貝殻

ライトニング彼らの美しさを賞賛します。 稲妻によって作成されたフラクタルはランダムでも規則的でもありません。

フラクタル形状 カリフラワーの亜種（Brassica cauliflora）。 この特別な種類は、特に対称的なフラクタルです。

P シダ植物相間のフラクタルの良い例でもあります。

クジャク誰もが、固体のフラクタルが隠されているカラフルな羽毛で知られています。

氷、霜のパターン窓には、これらもフラクタルです

O
t拡大画像 リーフレット、 前 木の枝-すべてにフラクタルを見つけることができます

フラクタルは私たちの周りの自然のいたるところにあります。 宇宙全体は、数学的精度で驚くほど調和のとれた法則に従って構築されています。 その後、私たちの惑星は粒子のランダムなクラッチであると考えることは可能ですか？ しそうにない。

第4章

フラクタルは、科学においてますます多くのアプリケーションを見つけています。 これの主な理由は、彼らが現実の世界を伝統的な物理学や数学よりもよく説明していることです。 ここではいくつかの例を示します。

O
フラクタルの最も強力なアプリケーションの時代は コンピューターグラフィックス。 これは画像のフラクタル圧縮です。 現代物理学と力学は、フラクタルオブジェクトの振る舞いを研究し始めたばかりです。

フラクタル画像圧縮アルゴリズムの利点は、パックされたファイルのサイズが非常に小さく、画像の回復時間が短いことです。 フラクタルパックされた画像は、ピクセル化のように見えることなく拡大縮小できます（画質が悪い-大きな正方形）。 ただし、圧縮プロセスには長い時間がかかり、場合によっては数時間続くこともあります。 非可逆フラクタルパッキングアルゴリズムを使用すると、jpeg形式と同様に圧縮レベルを設定できます。 アルゴリズムは、いくつかの小さな断片に類似した画像の大きな断片の検索に基づいています。 そして、どの部分がどの部分に類似しているかだけが出力ファイルに書き込まれます。 圧縮する場合、通常は正方形のグリッドが使用されます（ピースは正方形です）。これにより、画像を復元するときにわずかな角度が生じます。六角形のグリッドには、このような欠点はありません。

Iteratedは、フラクタル圧縮と「ウェーブ」（jpegなど）のロスレス圧縮を組み合わせた新しい画像形式「Sting」を開発しました。 新しい形式では、後で高品質のスケーリングが可能な画像を作成できます。グラフィックファイルの量は、非圧縮画像の量の15〜20％です。

力学と物理学フラクタルは、多くの自然物の輪郭を繰り返すための独自の特性のために使用されます。 フラクタルを使用すると、線分やポリゴン（同じ量のデータが保存されている）での近似よりも高い精度で、木、山の表面、亀裂を近似できます。 自然物のようなフラクタルモデルには「粗さ」があり、このプロパティはモデルの任意の大きな増加で保持されます。 フラクタルに均一な測度が存在することで、積分、ポテンシャル理論を適用して、すでに研究した方程式の標準オブジェクトの代わりにフラクタルを使用することができます。

T
フラクタルジオメトリは、 アンテナ装置の設計。 これは、建物への外部アンテナの設置が禁止されていたボストンの中心部に住んでいたアメリカ人エンジニアのネイサンコーエンによって最初に使用されました。 コーエンはアルミホイルからコッホ曲線の形を切り取り、それを一枚の紙に貼り付けてからレシーバーに取り付けました。 そのようなアンテナは従来のものより悪くないことがわかった。 そして、そのようなアンテナの物理的原理はこれまで研究されていませんが、これはコーエンが彼自身の会社を設立し、彼らの連続生産を立ち上げることを妨げませんでした。 現在、アメリカの会社「フラクタルアンテナシステム」は新しいタイプのアンテナを開発しました。 これで、携帯電話で突出した外部アンテナの使用をやめることができます。 いわゆるフラクタルアンテナは、デバイス内部のメインボードに直接配置されています。

フラクタルの使用についても多くの仮説があります。たとえば、リンパ系や循環器系、肺など、フラクタル特性もあります。

第5章実際の作業。

まず、フラクタル「ネックレス」「ビクトリー」「スクエア」に注目しましょう。

初め - "ネックレス"（図7）。 円はこのフラクタルの開始者です。 この円は、同じ数の同じ円で構成されていますが、サイズは小さく、それ自体は、同じであるがサイズが大きいいくつかの円の1つです。 したがって、教育のプロセスは無限であり、一方向と反対方向の両方で実行できます。 それらの。 小さな弧を1つだけとって拡大したり、小さな弧からの構造を考えて縮小したりすることができます。

ご飯。 7。

フラクタル「ネックレス」

2番目のフラクタルは "勝利"（図8）。 この名前は、ラテン文字の「V」、つまり「勝利」-勝利に外見上似ているために付けられました。 このフラクタルは、1つの大きな「V」を構成する一定数の小さな「v」で構成され、左半分に小さなものが配置され、左半分が1つの直線を形成し、右側の部分が構築されます。同じやり方で。 これらの「v」はそれぞれ同じ方法で作成され、これを無限に続けます。

図8。 フラクタル「勝利」

3番目のフラクタルは 「スクエア」（図9）。 その各辺は、正方形のような形をした1列のセルで構成され、その辺もセルの列を表します。

図9.フラクタル「正方形」

フラクタルは、この花に外見が似ていることから「ローズ」と呼ばれていました（図10）。 フラクタルの構築は、一連の同心円の構築に関連付けられており、その半径は、指定された比率（この場合、R m / R b=¾=0.75）に比例して変化します。 その後、正六角形が各円に刻まれます。その辺は、その周りに描かれている円の半径と同じです。

米。 11.フラクタル「ローズ*」

次に、対角線を描く正五角形に目を向けます。 次に、対応するセグメントの交点で得られた五角形に、再び対角線を描きます。 このプロセスを無限に続けて、「五芒星」フラクタルを取得しましょう（図12）。

創造性の要素を紹介しましょう。フラクタルはより視覚的なオブジェクトの形を取ります（図13）。

R
は。 12.フラクタル「五芒星」。

米。 13.フラクタル「五芒星*」

米。 14フラクタル「ブラックホール」

実験No.1「木」

フラクタルとは何か、フラクタルの作り方がわかったので、自分でフラクタル画像を作ってみました。 Adobe Photoshopで、小さなサブルーチンまたはアクションを作成しました。このアクションの特徴は、実行するアクションを繰り返すことです。これが、フラクタルを取得する方法です。

まず、600 x 600の解像度で将来のフラクタルの背景を作成しました。次に、この背景に3本の線を引きました。これが将来のフラクタルの基礎です。

と次のステップは、スクリプトを作成することです。

重複レイヤー（ レイヤー>複製）ブレンドタイプを「 画面" .

彼を「」と呼びましょう fr1"。このレイヤーを複製します（" fr1"）あと2回。

次に、最後のレイヤーに切り替える必要があります (fr3）そしてそれを前のものと2回マージします（ ctrl + e）。 レイヤーの明るさを下げる（ 画像>調整>明るさ/コントラスト 、明るさセット 50% ）。 繰り返しますが、前のレイヤーとマージし、図面全体の端を切り取って、非表示の部分を削除します。

最後のステップとして、この画像をコピーして、サイズを小さくして回転させて貼り付けました。 これが最終結果です。

結論

この作品はフラクタルの世界への入門書です。 フラクタルがどのような原理で構築されているかに基づいて、フラクタルのごく一部のみを検討しました。

フラクタルグラフィックスは、単なる自己反復画像のセットではなく、あらゆる存在の構造と原理のモデルです。 私たちの人生はフラクタルによって表されます。 私たちの周りのすべての自然はそれらで構成されています。 フラクタルはコンピュータゲームで広く使用されており、地形は複雑なセットの3次元モデルに基づくフラクタル画像であることが多いことに注意してください。 フラクタルはコンピュータグラフィックスの描画を非常に容易にします。フラクタルの助けを借りて、多くの特殊効果、さまざまな素晴らしい素晴らしい写真などが作成されます。 また、フラクタルジオメトリの助けを借りて、木、雲、海岸、その他すべての自然が描かれます。 フラクタルグラフィックスはどこでも必要であり、「フラクタルテクノロジー」の開発は今日最も重要なタスクの1つです。

将来、複素数をより詳細に研究するときに、代数フラクタルを構築する方法を学ぶ予定です。 また、サイクルを使用してPascalプログラミング言語でフラクタルイメージを構築してみたいと思います。

コンピュータ画面上に美しい画像を単に構築することに加えて、コンピュータ技術におけるフラクタルの使用に注意する必要があります。 コンピューター技術のフラクタルは、次の分野で使用されています。

1.画像と情報を圧縮する

2.画像​​、音声、..に情報を隠す

3.フラクタルアルゴリズムを使用したデータ暗号化

4.フラクタル音楽の作成

5.システムモデリング

私たちの仕事では、フラクタルの理論がその応用を見つけた、人間の知識のすべての分野が与えられているわけではありません。 理論が登場してから3世紀も経っていないと言いたいのですが、この間、多くの研究者のフラクタルが夜に突然明るい光になり、これまで知られていなかった事実やパターンを具体的に照らしました。データ領域。 フラクタルの理論の助けを借りて、彼らは銀河の進化と細胞の発達、山の出現と雲の形成、証券取引所の価格の動きと社会と家族の発展を説明し始めました。 おそらく、最初は、このフラクタルへの情熱はあまりにも嵐であり、フラクタルの理論を使用してすべてを説明しようとする試みは不当でした。 しかし、間違いなく、この理論は存在する権利があり、最近、それがどういうわけか忘れられ、エリートの多くのままになっていることを残念に思います。 この作品を準備するにあたり、実践における理論の応用を見つけることは私たちにとって非常に興味深いものでした。 なぜなら、理論的な知識は人生の現実とは一線を画しているという感覚があるからです。

したがって、フラクタルの概念は、「純粋な」科学の一部であるだけでなく、人間の文化の要素にもなります。 フラクタル科学はまだ非常に若く、その先に素晴らしい未来があります。 フラクタルの美しさは尽きることがなく、目を楽しませてくれるものから、心に本当の喜びをもたらすものまで、多くの傑作を私たちに与えてくれます。

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フラクタルはほぼ1世紀前から知られており、よく研究されており、生活の中で多くの用途があります。 この現象は非常に単純な考えに基づいています。コピーとスケーリングの2つの操作を使用するだけで、比較的単純な構造から無限の数の美しさと多様性のある図形を取得できます。

この概念には厳密な定義はありません。 したがって、「フラクタル」という言葉は数学的な用語ではありません。 これは通常、次の1つ以上のプロパティを満たす幾何学的図形の名前です。

• どんな倍率でも複雑な構造をしています。
• （ほぼ）自己相似です。
• 位相幾何学的次元よりも大きいフラクタルハウスドルフ（フラクタル）次元を持っています。
• 再帰的な手順で構築できます。

19世紀と20世紀の変わり目に、初期の数学者は主に一般的な方法と理論を使用して研究できる「良い」オブジェクトを研究したため、フラクタルの研究は体系的というよりも一時的なものでした。 1872年、ドイツの数学者カールワイエルシュトラスは、どこにも微分できない連続関数の例を作成しました。 しかし、その構造は完全に抽象的で理解するのが困難でした。 したがって、1904年に、スウェーデンのヘルゲフォンコッホはどこにも接線のない連続曲線を思いつき、それを描くのは非常に簡単です。 フラクタルの性質を持っていることがわかりました。 この曲線の1つのバリエーションは、コッホスノーフレークと呼ばれます。

人物の自己相似性のアイデアは、ブノワ・マンデルブロの将来のメンターであるフランス人のポール・ピエール・レヴィによって取り上げられました。 1938年に、彼の記事「全体に類似したパーツで構成される平面と空間の曲線と表面」が公開されました。この記事では、別のフラクタルであるレヴィC曲線が説明されています。 上記のフラクタルはすべて、条件付きで1つのクラスの建設的（幾何学的）フラクタルに起因する可能性があります。

別のクラスは、マンデルブロ集合を含む動的（代数）フラクタルです。 この方向での最初の研究は20世紀の初めにさかのぼり、フランスの数学者ガストンジュリアとピエールファトゥの名前に関連付けられています。 1918年に、ジュリア集合が記述されている複雑な有理関数の反復に捧げられた、ジュリアの作品のほぼ200ページが公開されました。これは、マンデルブロ集合に密接に関連するフラクタルのファミリー全体です。 この作品はフランスアカデミー賞を受賞しましたが、イラストが1枚も含まれていなかったため、発見されたオブジェの美しさを鑑賞することはできませんでした。 この作品がジュリアを当時の数学者の間で有名にしたという事実にもかかわらず、それはすぐに忘れられました。

わずか半世紀後、コンピューターの出現により、ジュリアとファトウの作品に注目が集まりました。フラクタルの世界の豊かさと美しさを目に見えるようにしたのは彼らでした。 結局のところ、必要な数の計算を手動で行うことができないため、Fatouは現在マンデルブロ集合の画像として知られている画像を見ることができませんでした。 このためにコンピューターを最初に使用したのはブノワ・マンデルブロでした。

1982年に、マンデルブロの著書「フラクタル幾何学」が出版されました。この本では、著者は当時入手可能なフラクタルに関するほぼすべての情報を収集して体系化し、簡単にアクセスできる方法で提示しました。 マンデルブロは、彼のプレゼンテーションで、膨大な式や数学的構造ではなく、読者の幾何学的な直観に主な重点を置いた。 作者がモノグラフの科学的要素を巧みに薄めたコンピューターで生成されたイラストと歴史的物語のおかげで、この本はベストセラーになり、フラクタルは一般に知られるようになりました。 非数学者の間での彼らの成功は、主に高校生でさえ理解できる非常に単純な構造と公式の助けを借りて、驚くべき複雑さと美しさの画像が得られるという事実によるものです。 パーソナルコンピュータが十分に強力になると、アートのトレンド全体、つまりフラクタルペインティングが登場し、ほとんどすべてのコンピュータ所有者がそれを行うことができました。 今インターネット上であなたはこのトピックに捧げられた多くのサイトを簡単に見つけることができます。

みなさん、こんにちは！ 私の名前は、 リベネクヴァレリア、ウリヤノフスクと今日、私はLCIのウェブサイトに私の科学記事のいくつかを投稿します。

このブログの私の最初の科学論文はに捧げられます フラクタル。 私の記事はほとんどすべての聴衆のために設計されているとすぐに言います。 それらの。 学童にも生徒にも興味を持ってもらえるといいですね。

最近、フラクタルのような数学の世界の興味深いオブジェクトについて学びました。 しかし、それらは数学だけに存在するのではありません。 彼らはどこでも私たちを取り囲んでいます。 フラクタルは自然です。 フラクタルとは何か、フラクタルの種類、これらのオブジェクトの例とそのアプリケーションについて、この記事で説明します。 まず、フラクタルとは何かを簡単に説明します。

フラクタル（lat。fractus-押しつぶされた、壊れた、壊れた）は、自己相似性の特性を持つ複雑な幾何学的図形です。つまり、それぞれが全体として全体に似ているいくつかの部分で構成されています。 広い意味では、フラクタルは、ユークリッド空間内で、分数のメトリック次元（MinkowskiまたはHausdorffの意味で）またはトポロジカル以外のメトリック次元を持つ点のセットとして理解されます。 たとえば、4つの異なるフラクタルの写真を挿入します。

フラクタルの歴史について少しお話ししましょう。 70年代後半に登場したフラクタルとフラクタル幾何学の概念は、80年代半ば以降、数学者やプログラマーの日常生活の中でしっかりと確立されてきました。 「フラクタル」という言葉は、1975年にブノワ・マンデルブロによって導入され、彼が研究した不規則であるが自己相似の構造を指しています。 フラクタル幾何学の誕生は、通常、1977年にマンデルブロの著書「フラクタル幾何学」の出版に関連しています。 彼の作品は、1875-1925年に同じ分野で働いた他の科学者（ポアンカレ、ファトウ、ジュリア、カントール、ハウスドルフ）の科学的結果を使用していました。 しかし、私たちの時代にのみ、彼らの仕事を単一のシステムに統合することが可能でした。

フラクタルの例はたくさんあります。なぜなら、私が言ったように、フラクタルは私たちのいたるところを取り囲んでいるからです。 私の意見では、私たちの宇宙全体でさえ、1つの大きなフラクタルです。 結局のところ、原子の構造から宇宙自体の構造まで、その中のすべてが正確に繰り返されます。 しかし、もちろん、さまざまな領域からのフラクタルのより具体的な例があります。 たとえば、フラクタルは複素力学に存在します。 そこで、それらは非線形の研究に自然に現れます 動的システム。 最も研究されているケースは、動的システムが反復によって指定されている場合です。 多項式または正則 変数の複合体の関数表面に。 このタイプの最も有名なフラクタルのいくつかは、ジュリア集合、マンデルブロ集合、ニュートン盆地です。 以下に、順番に、写真は上記の各フラクタルを示しています。

フラクタルの別の例はフラクタル曲線です。 フラクタル曲線の例を使用して、フラクタルを作成する方法を説明するのが最善です。 そのような曲線の1つは、いわゆるコッホスノーフレークです。 平面上のフラクタル曲線を取得するための簡単な手順があります。 ジェネレータと呼ばれる、有限数のリンクを持つ任意の破線を定義します。 次に、その中の各セグメントをジェネレーター（より正確には、ジェネレーターに似た破線）に置き換えます。 結果の破線では、各セグメントをジェネレーターに置き換えます。 無限大に進むと、限界でフラクタル曲線が得られます。 以下に示すのは、コッホスノーフレーク（または曲線）です。

フラクタルカーブもたくさんあります。 それらの中で最も有名なのは、すでに述べたコッホスノーフレーク、レヴィ曲線、ミンコウスキー曲線、壊れたドラゴン、ピアノ曲線、ピタゴラスの木です。 これらのフラクタルとその歴史の画像は、必要に応じて、ウィキペディアで簡単に見つけることができると思います。

3番目の例または種類のフラクタルは確率的フラクタルです。 このようなフラクタルには、平面上および空間内のブラウン運動の軌跡、Schramm-Löwner進化、さまざまなタイプのランダム化フラクタル、つまり、各ステップでランダムパラメーターが導入される再帰的手順を使用して取得されたフラクタルが含まれます。

純粋に数学的なフラクタルもあります。 これらは、たとえば、カントール集合、メンガースポンジ、シェルピンスキーの三角形などです。

しかし、おそらく最も興味深いフラクタルは自然なものです。 自然のフラクタルは、フラクタル特性を持つ自然界のオブジェクトです。 そして、すでに大きなリストがあります。 おそらくすべてをリストすることはできないので、すべてをリストするわけではありませんが、いくつかについて説明します。 たとえば、生きている自然の中で、そのようなフラクタルには私たちの循環器系と肺が含まれます。 そしてまた木の冠と葉。 また、ここには、ヒトデ、ウニ、サンゴ、貝殻、キャベツやブロッコリーなどの植物を含めることができます。 以下に、野生生物からのそのようないくつかの自然なフラクタルがはっきりと示されています。

無生物の自然を考えると、生きている自然よりもはるかに興味深い例があります。 稲妻、雪片、雲、誰もが知っている、凍るような日の窓のパターン、結晶、山脈-これらはすべて、無生物の自然からの自然なフラクタルの例です。

フラクタルの例と種類を検討しました。 フラクタルの使用に関しては、さまざまな知識分野で使用されています。 物理学では、フラクタルは、乱流流体の流れ、複雑な拡散吸着プロセス、炎、雲などの非線形プロセスをモデル化するときに自然に発生します。フラクタルは、石油化学などの多孔質材料をモデル化するときに使用されます。 生物学では、それらは人口をモデル化し、内臓のシステム（血管のシステム）を説明するために使用されます。 コッホ曲線の作成後、海岸線の長さの計算に使用することが提案されました。 また、フラクタルは、無線工学、コンピューターサイエンス、コンピューターテクノロジー、電気通信、さらには経済学でも積極的に使用されています。 そしてもちろん、フラクタルビジョンは現代美術や建築で積極的に使用されています。 フラクタルアートの一例を次に示します。

それで、これで私はフラクタルのような珍しい数学的現象についての私の話を完成させると思います。 今日、私たちはフラクタルとは何か、それがどのように見えるか、フラクタルの種類と例について学びました。 また、それらのアプリケーションについて話し、フラクタルのいくつかを明確に示しました。 驚くべき魅力的なフラクタルオブジェクトの世界へのこの短い遠足を楽しんでいただけたと思います。