長方形の台形：すべての式と問題の例。 台形の特性を記憶して適用する台形の鋭角を見つける方法
空中ブランコは、ベースである2つの平行な辺と、側面である2つの非平行な辺を持つ四角形です。
次のような名前もあります 二等辺三角形また 二等辺三角形.
側面が直角の台形です。
空中ブランコの要素
a、b 台形のベース（bに平行）、
m、n — 側面空中ブランコ、
d 1、d 2 — 対角線空中ブランコ、
h- 身長台形（ベースを接続し、同時にベースに垂直なセグメント）、
MN- 中線（辺の中点を結ぶセグメント）。
台形エリア
- 底辺a、bと高さhの合計の半分まで：S = \ frac（a + b）（2）\ cdot h
- 正中線MNと高さhを介して：S = MN \ cdot h
- 対角線d1、d 2とそれらの間の角度（\ sin \ varphi）を通して： S = \ frac（d_（1）d_（2）\ sin \ varphi）（2）
台形のプロパティ
台形の中央線
中線底辺に平行で、それらの半分の合計に等しく、底辺（たとえば、図の高さ）を半分に含む直線上にある端で各セグメントを分割します。
MN || a、MN || b、 MN = \ frac（a + b）（2）
台形の角度の合計
台形の角度の合計、各側に隣接して、180 ^（\ circ）に等しい：
\ alpha + \ beta = 180 ^（\ circ）
\ gamma + \ delta = 180 ^（\ circ）
台形の等面積三角形
同じサイズ、つまり、等しい面積を持つのは、対角線のセグメントと、辺によって形成される三角形AOBとDOCです。
形成された台形三角形の類似性
同様の三角形 AODとCOBであり、それらのベースと対角セグメントによって形成されます。
\ Triangle AOD \ sim \ Triangle COB
類似係数 kは次の式で求められます。
k = \ frac（AD）（BC）
さらに、これらの三角形の面積の比率はk ^（2）に等しくなります。
セグメントとベースの長さの比率
台形の対角線の交点を通過し、ベースを接続する各セグメントは、次の点でこのポイントによって分割されます。
\ frac（OX）（OY）= \ frac（BC）（AD）
これは、対角線自体の高さにも当てはまります。
台形は水平対向4気筒です 四角その2つの反対側は平行です。 それらは基地と呼ばれます。 空中ブランコ、および他の2つの側面-側面 空中ブランコ.
命令
で任意の角度を見つける問題 空中ブランコ十分な量の追加データが必要です。 2つの底角がわかっている例を考えてみましょう 空中ブランコ。 角度＆ang-BADと＆ang-CDAを認識させ、角度＆ang-ABCと＆ang-BCDを見つけます。 台形には、両側の角度の合計が180°-であるという特性があります。 次に、＆ang-ABC = 180°-＆ang-BADおよび＆ang-BCD = 180°-＆ang-CDA。
台形"class=" lightbx "data-lightbox =" article-image"> 
別の問題では、辺の平等を示すことができます 空中ブランコといくつかの追加のコーナー。 たとえば、図のように、辺AB、BC、およびCDが等しく、対角線が下底と角度＆ang-CAD=α-をなすことがわかっている場合があります。 四角 ABC、AB = BCなので、二等辺三角形です。 次に、＆ang-BAC =＆ang-BCA。 略してxと呼び、＆ang-ABC-yと呼びましょう。 任意の三角形の角度の合計 四角そして180°-に等しい場合、2x + y = 180°-、次にy=180°---2xとなります。 同時に、プロパティから 空中ブランコ：y +x+α-=180°-したがって180°---2x+x+α-=180°-。 したがって、x=α-。 2つのコーナーが見つかりました 空中ブランコ：＆ang-BAC = 2x =2α-および＆ang-ABC = y=180°---2α-。条件によりAB=CDであるため、台形は二等辺三角形または二等辺三角形になります。 意味、
台形は幾何学的図形であり、2本の平行線を持つ四角形です。 他の2本の線は平行にすることはできません。その場合、平行四辺形になります。
台形の種類
台形には3つのタイプがあります。台形の2つの角度がそれぞれ90度の場合の長方形。 正三角形。2本の側線が等しい。 サイドラインの長さが異なる多用途。
台形を使用すると、台形の面積、高さ、線のサイズを計算する方法を学び、台形の角度を見つける方法を理解することもできます。
長方形台形
長方形の台形には2つの90度の角度があります。 他の2つの角度の合計は180度です。 したがって、角の1つのサイズを知って、長方形の台形の角を見つける方法があります。 たとえば、26度とします。 台形の角度の合計（360度）から、既知の角度の合計を差し引く必要があるだけです。 360-（90 + 90 + 26）=154。必要な角度は154度になります。 より単純なものと見なすことができます。2つの角度が正しいため、合計で180度、つまり360度の半分になります。 非直角の合計も180に等しくなるため、180 -26=154をより簡単かつ迅速に計算できます。
二等辺台形
二等脚台形には、底辺ではない2つの等しい辺があります。 二等辺台形の角度を見つける方法を説明する式があります。
台形の辺の寸法が与えられている場合、計算1
それらは文字A、B、およびCで示されます。A-側面の寸法、BおよびC-ベースの寸法、それぞれ小さいおよび大きい。 台形はABCDとも呼ばれる必要があります。 計算には、角度Bから高さHを描く必要があります。直角三角形BHAが形成されました。ここで、AHとBHは脚、ABは斜辺です。 これで、脚ANのサイズを計算できます。 これを行うには、台形の大きい方の底から小さい方を引き、それを半分に分割する必要があります。 （c-b）/2。
三角形の鋭角を見つけるには、cos関数を使用します。 目的の角度（β）のCosはa /（（c-b）/ 2）に等しくなります。 角度βのサイズを見つけるには、arcos関数を使用する必要があります。 β=アルコス2а/с-b。 なぜなら 正三角形の台形の2つの角度が等しい場合、次のようになります。角度BAD\u003d角度CDA\u003dアルコス2a/c-b。
計算2.台形の底の寸法が与えられている場合。
台形の底の値が\u200b\ u200b（aとb）であるため、前のソリューションと同じ方法を使用できます。 コーナーbから高さhを下げる必要があります。 新しく作成された三角形の2つの脚の寸法を考えると、同様の三角関数を使用できますが、この場合のみtgになります。 角度を変換してその値を取得するには、arctg関数を使用する必要があります。 式に基づいて、目的の角度の寸法を取得します。
β\u003dアークタン2h/s-b、および角度α\u003d180-アークタン2h/s-b /
通常の用途の広い台形
台形のより大きな角度を見つける方法があります。 これを行うには、両方の鋭角の寸法を知る必要があります。 それらを知り、台形の任意の底辺の角度の合計が180度であることを知っているので、望ましい鈍角は、鋭角のサイズである180の差で構成されると結論付けます。 台形の別の鈍角も見つけることができます。
二等辺台形の角度。 こんにちは！ この記事では、台形の問題の解決に焦点を当てます。 このグループのタスクは試験の一部であり、タスクは単純です。 台形の角度、底辺、高さを計算します。 彼らが言うように、多くの問題の解決は解決に帰着します：私たちはピタゴラスの定理なしでどこにいますか？
二等辺台形を使用します。 それは、ベースで等しい側面と角度を持っています。 台形についてのブログ記事があります。
小さくて重要なニュアンスに注意しますが、タスク自体を解決するプロセスでは詳しく説明しません。 2つのベースがある場合、大きい方のベースは、それに下げられた高さによって3つのセグメントに分割されます。1つは小さい方のベースに等しく（これらは長方形の反対側です）、他の2つは互いに等しくなります（これらは等しい直角三角形の脚です）：
簡単な例：等脚台形25と65の2つのベースがあるとします。大きい方のベースは、次のようにセグメントに分割されます。
*そしてさらに！ 文字の指定はタスクに入力されません。 これは、ソリューションが代数的なフリルで過負荷にならないように意図的に行われます。 これは数学的に無学であることに同意しますが、目標は本質を伝えることです。 また、頂点やその他の要素をいつでも自分で指定して、数学的に正しい解を書き留めることができます。
タスクを検討してください。
27439.等脚台形の底辺は51と65です。辺は25です。台形の鋭角の正弦を求めます。
角度を見つけるには、高さをプロットする必要があります。 スケッチでは、サイズ条件でデータを示しています。 下のベースは65で、高さによってセグメント7、51、7に分割されています。
直角三角形では、斜辺と脚がわかっています。2番目の脚（台形の高さ）を見つけて、角度の正弦を計算できます。
ピタゴラスの定理によれば、指定された脚は次のようになります。
したがって：
回答：0.96
27440.等脚台形の底は43と73です。台形の鋭角の正弦は5/7です。 側を見つけます。
高さを作成し、マグニチュード条件でデータをマークしましょう。下部のベースはセグメント15、43、および15に分割されます。
27441.等脚台形の大きい方の底は34です。側面は14です。鋭角の正弦は（2√10）/7です。 小さいベースを見つけます。
高さを作りましょう。 より小さなベースを見つけるには、直角三角形（青で示されている）の脚であるセグメントが次の値に等しいものを見つける必要があります。
台形の高さを計算して、脚を見つけることができます。
ピタゴラスの定理により、脚を計算します。
したがって、小さいベースは次のとおりです。
27442.等脚台形の底辺は7と51です。鋭角の接線は5/11です。 台形の高さを見つけます。
高さをプロットし、マグニチュード条件でデータをマークしてみましょう。 下のベースはセグメントに分割されています：
何をすべきか？ 底辺でわかっている角度の接線を直角三角形で表します。
27443.等脚台形の小さい方の底は23です。台形の高さは39です。鋭角の接線は13/8です。 より大きな基盤を見つけてください。
高さを作成し、脚が何に等しいかを計算します。
したがって、より大きなベースは次のようになります。
27444.等脚台形の底辺は17と87です。台形の高さは14です。鋭角の接線を見つけます。
高さを作成し、スケッチに既知の値をマークします。 下部ベースはセグメント35、17、35に分割されています。
接線の定義による：
77152.等脚台形の底は6と12です。台形の鋭角の正弦は0.8です。 側を見つけます。
スケッチを作成し、高さを作成し、既知の値に注意してみましょう。大きい方のベースはセグメント3、6、3に分割されます。
xで表される斜辺を、コサインで表現します。
基本的な三角法のアイデンティティから、cosαが見つかります
したがって：
27818.反対の角度の差が500であることがわかっている場合、等脚台形の最大角度はどれくらいですか。 度で答えてください。
幾何学の過程から、2本の平行線と1つの割線がある場合、内部の片側の角度の合計は1800であることがわかります。 私たちの場合、これ
条件は、反対の角度の差が50 0である、つまり
台形は水平対向4気筒です 四角その2つの反対側は平行です。 それらは基地と呼ばれます。 空中ブランコ、および他の2つの側面-側面 空中ブランコ .
命令
1. で任意の角度を見つける問題 空中ブランコかなりの量の追加データが必要です。 ベースで2つのコーナーがわかっている例を考えてみましょう。 空中ブランコ。 角度∠BADと∠CDAを知っておくと、角度∠ABCと∠BCDが見つかります。 台形には、任意の辺の角度の合計が180°であるという特性があります。 次に、∠ABC=180°-∠BADおよび∠BCD=180°-∠CDA。
2. 別の問題では、辺の平等を示すことができます 空中ブランコおよび追加のコーナー。 たとえば、図のように、辺AB、BC、CDが等しく、対角線が下底と角度∠CAD=αを成していることがわかります。 四角 ABC、AB = BCなので、二等辺三角形です。 次に、∠BAC=∠BCA。 簡潔にするためにxと表記し、∠ABC--yと表記します。 任意の三角形の角度の合計 四角 aは180°であり、2x + y = 180°、y = 180°–2xとなります。 同時に、プロパティから 空中ブランコ：y + x+α=180°、したがって180°– 2x +x+α=180°。 したがって、x=αです。 2つのコーナーが見つかりました 空中ブランコ：∠BAC=2x=2αおよび∠ABC=y = 180°–2α。 したがって、対角線は等しく、底辺の角度は等しくなります。 したがって、∠CDA=2α、および∠BCD= 180°–2αです。
対角ロット 四角-セグメント、図の2つの隣接していない頂点（つまり、隣接していない頂点または同じ側に属していない多くの頂点）を接続するセグメント 四角）。 平行四辺形では、対角線の長さと辺の長さがわかれば、間の角度を計算することができます。 対角線 .
命令
1. 情報をわかりやすくするために、任意の平行四辺形ABCDを1枚の紙に描きます（平行四辺形は、反対側が等しく、ペアで平行な四辺形です）。 反対側の頂点を線分で結合します。 結果のACとBDは対角線です。 対角線の交点を文字Oでマークします。角度BOC（AOD）とCOD（AOB）を見つける必要があります。
2. 平行四辺形には、いくつかの数学的特性があります。-交点の対角線は半分に分割されます。 平行四辺形の対角線は、平行四辺形を2つの等しい三角形に分割します 四角;-平行四辺形のすべての角度の合計は360度です;-平行四辺形の片側に隣接する角度の合計は180度です;-対角線の二乗の合計は二乗の二乗の合計に等しいその隣接する側面の。
3. 間の角度を見つけるには 対角線、基本幾何学（ユークリッド）の理論からの余弦定理を使用します。 余弦定理によれば、三角形の辺の正方形 四角（A）は、他の2つの辺（BとC）の二乗を加算し、結果の合計からこれらの辺（BとC）の2倍の積をそれらの間の角度の正弦で減算することによって取得できます。
4. 平行四辺形ABCDの三角形BOCに関して、余弦定理は次のようになります。正方形BC\u003d正方形BO+正方形OS-2* BO * OS*cos角度BOCここからcos角度BOC\u003d（正方形BC-正方形BO-正方形OS）/（2 * BO * OS）
5. 角度BOC（AOD）の値を見つけたら、間に囲まれた別の角度の値を簡単に計算できます。 対角線-代金引換（AOB）。 これを行うには、180度から角度BOC（AOD）の値を引きます。 隣接する角度の合計は180度であり、角度BOCとCODおよび角度AODとAOBは隣接しています。
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ベクトル代数法を使用してこの問題を解決するには、次の表現を知る必要があります。幾何学的ベクトルの合計とベクトルの内積。また、四角形の内角の合計の品質も覚えておく必要があります。
必要になるだろう
- - 論文;
- - ペン;
- -定規。
命令
1. ベクトルは有向セグメントです。つまり、特定の軸に対する長さと方向（角度）が指定されている場合、完全に指定されていると見なされる値です。 大きい方のベクトルの位置は何にも制限されません。 2つのベクトルが同じ長さで同じ方向である場合、それらは等しいと見なされます。 したがって、座標を適用する場合、ベクトルはその端の点の半径ベクトルで表されます（序文は原点にあります）。
2. 定義によると、ベクトルの幾何学的合計の結果のベクトルは、最初のベクトルの終わりが2番目の始まりと整列している場合、最初のベクトルの始まりから始まり、2番目の終わりに終わりを持つベクトルです。 これをさらに続けて、同様に配置されたベクトルのチェーンを構築することができます。 図に従って、ベクトルa、b、c、およびdを使用して指定された四辺形ABCDを描画します。 1.どうやら、この配置では、結果のベクトルはd = a + b+cです。
3. この場合、ベクトルaとdに基づいて内積を決定する方が誰にとっても便利です。 （a、d）= | a ||d|cosφ1で表される内積。 ここで、f1はベクトルaとdの間の角度です。 座標によって与えられるベクトルの内積は、次の式で定義されます。（a（ax、ay）、d（dx、dy））= axdx + aydy、| a | ^ 2 = ax ^ 2 + ay ^ 2、| d | ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2、次にcosФ1=（axdx + aydy）/（sqrt（ax ^ 2 + ay ^ 2）sqrt（dx ^ 2 + dy ^ 2））。
4. 提起された問題に関連するベクトル代数の基本的な表現は、この問題の明確なステートメントの場合、おそらくAB、BC、およびCDにある3つのベクトル、つまりa、bを指定するだけで十分であるという事実につながります。 、c。 最終的に点A、B、C、Dの座標を設定することはできますが、この方法は冗長です（3つではなく4つのパラメーター）。
5. 例。 四辺形ABCDは、その辺AB、BC、CD a（1,0）、b（1,1）、c（-1,2）のベクトルによって与えられます。 その側面の間の角度を見つけます。 決断。 上記に関連して、4番目のベクトル（ADの場合）d（dx、dy）= a + b + c =（ax + bx + cx、ay + by + cy）=（1,3）。 ベクトル間の角度を計算する方法に従って、acosφ1=（axdx + aydy）/（sqrt（ax ^ 2 + ay ^ 2）sqrt（dx ^ 2 + dy ^ 2））= 1 / sqrt（10）、f1 = arcos （1 / sqrt（10））.-cosφ2=（axbx + ayby）/（sqrt（ax ^ 2 + ay ^ 2）sqrt（bx ^ 2 + by ^ 2））= 1 / sqrt2、φ2= arcos（- 1 / sqrt2）、f2 = 3p / 4.-cosf3 =（bxcx + bycy）/（sqrt（bx ^ 2 + by ^ 2）sqrt（cx ^ 2 + cy ^ 2））= 1 /（sqrt2sqrt5）、f3 = arcos（-1 / sqrt（10））=p-f1。 注2-f4=2p- f1-f2- f3 = p/4に従います。
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ノート！
注1：内積の定義では、ベクトル間の角度を使用します。 ここで、たとえば、f2はABとBCの間の角度であり、aとbの間の与えられた角度はp-f2です。 cos（p- f2）=-cosf2。 φ3についても同様です。注2.四辺形の角度の合計が2nであることはよく知られています。 したがって、f4 = 2p-f1-f2-f3。