Евклид - биография. Евклид: краткая биография, открытия, факты, видео

Трудно представить, что науки, в частности – математика, какой мы ее знаем ныне, зародились более двух тысяч лет назад. Эпоха эллинизма стала благодатной почвой для развития отраслей знаний естественного направления: землеведение, астрономия, физика, а также математика и ее производные. Из учения об измерении земель и выросла наука геометрия (греч. γεωμετρία).

К когорте наиболее прославленных математиков той эпохи можно смело отнести ученого Евклида, которого многие зовут отцом всей нынешней математической теории. Шло время, народы сменяли друг друга, целые цивилизации уходили в небытие, города теряли свои очертания, а его «Начала», начертанные на хрупком и недолговечном папирусе, прошли сквозь века. Давайте попытаемся разобраться, кем был этот человек на самом деле и какие выдающиеся заслуги заставляют нас помнить о нем.

Содержние

Разносторонний Евклид: биография первого математика–подвижника

Это имя наверняка слышал каждый человек старше семи лет, вне зависимости от пола и вероисповедания. Научная деятельность древнего мыслителя развивалась бурно и стремительно: он заложил основы целой области знаний, а также возвел ее на должный уровень. Такой плодотворной карьере может позавидовать любой наш современник. Законы одной из самых сложных дисциплин того времени он, играя, открыл обществу, тем самым указывая совершенно новые пути развития, ранее скрытые пеленой загадок и тайн.

Интересно

Считается, что именно этот ученый подвел итоги развития древнегреческой математики, при этом давая ей направление новых витков движения. Его основополагающий труд содержит колоссальные знания в области теории чисел, планиметрии и стереометрии. Вклад Евклида в науку неоценим, ведь, кроме вышеозначенного, существуют его работы и в иных областях знаний: музыке, оптике и астрономии.

Кратко об отце геометрии

Несмотря на прошедшие столетия с момента его смерти, этот великий греческий ученый недаром считается светилом мировой науки даже в наши дни. Он умудрился значительно опередить свое время и создать стройную систему аксиом, а ко всему еще и изложить собственное видение и понимание в фундаментальном труде под названием «Начала». Он оказался настолько высоким по уровню, что многие века преподавание основ геометрии велось именно по разработанной им системе. Да и сегодня евклидова геометрия злободневна и популярна.

Суть теории проста: ученый приводит предпосылки, не требующие доказательств, разделяя их при этом на постулаты и аксиомы. Первых он предлагает пять, а вторых – семь. Основываться они должно исключительно на непредубеждённой логике. К примеру, один из постулатов гласит: через две произвольные точки на плоскости или в пространстве можно провести прямую (одну), тем самым соединив их. В полном произведении тринадцать книг (томов), посвященных различным разделам геометрии.

Если кратко, Евклидовы научные трактаты переведены на большинство мировых языков, а его система общепринята и концептуальна. Они издавались более двух с половиной тысяч раз в разных странах, только начиная с пятнадцатого века нашей эры. По праву «Начала» занимают второе место после Библии по распространенности, хотя ни одного античного экземпляра до наших дней не дошло. Однако и другие его творения не были забыты потомками.

Влияние теорий древнего грека испытал на себе каждый более или менее прославленный ученый, совершающий открытия в областях знаний, тесно связанных с геометрией в частности, и математикой – в целом. Открытия Евклида по заслугам оценивал Галилео Галилей. Они дали толчок для логических умозаключений Николая Коперника, а Исаак Ньютон даже дал собственной работе тождественное название. Альберт Эйнштейн считал труды грека гениальными, называл их «настолько точным чудом человеческой мысли, что не вызывают у изучающих никаких вопросов».

Детство и ранние годы Евклида

О ранних годах этого человека известно совсем мало, так как прошло очень длительное время, а многие документы были безнадежно утрачены. Наиболее достоверными для нас представляются факты, приведенные античным философом Проклом Диадохом в его комментариях к «Началам». Однако ничего конкретного нельзя ожидать даже и от этих кратких отрывков, ведь сам последователь неоплатонизма жил через добрых восемь сотен лет после Евклида. Потому знать о нем мог только понаслышке, следовательно – делать на основе этих записок какие-либо выводы будет неправильно.

Прокл считал, что отец геометрии был старше Эратосфена и Архимеда, потому что в их сочинениях имеются отсылки на его труды. По всей видимости, он родился примерно в 350-320 годах до нашей эры во время правления сатрапа, а затем и царя Египта – Птолемея I Сотера, славящегося как поклонника наук и искусств.

Древние арабские источники говорят, что он появился на свет в Александрии или Тире, был из состоятельного семейства, что и позволило ему получить блестящее образование. Существует версия, что предки его проживали в Нократе, а в дальнейшем перебрались в Дамаск.

Стоит узнать

Сведения и исторические данные о древнегреческом ученом математике и родоначальнике геометрии настолько скудны, а также разрозненны, что у многих закрадываются сомнения в их достоверности. Существует версия, будто спорить, кто такой Евклид, абсолютно бесполезно, ведь это вовсе не один человек, а целая группа. Многие считают, что это своего рода собирательный образ всех ученых тех времен, внесших свой колоссальный вклад в дальнейшее развитие учений.

Некоторые документы свидетельствуют, что талантливый грек проходил обучение в центре науки того времени – Афинах, у самого мэтра Платона. Дополнительные данные о личности ученого дает математик и инженер эпохи позднего эллинизма Папп Александрийский, а также виртуозный византийский писатель-компилятор Иоанн Стобей, несмотря на то, что жили они намного позже. Вполне вероятно, что имелись документы, подтверждающие указанные ими факты, а у нас нет оснований не доверять их словам. Математик Евклид большую часть времени проводил в Александрийской библиотеке, основанной еще великим Птолемеем, что «проторил путь, идущему за ним».

Научная деятельность основателя геометрии

Самый основной, фундаментальный труд Евклида носит название «Начала». Однако этот древнегреческий ученый был далеко не первым, кто именно так назвал свое сочинение. До него подобным образом именовали работы Февдий из Магнесии, Леонт, а также Гиппократ Хиосский. Следует учитывать только, что умозаключения грека вытеснили более ранние исследования прославленных деятелей науки и более двух тысяч лет оставались актуальными. До нынешнего времени их смело можно называть базовыми, с которых начинают свой путь в изучении геометрии и математики те, кто только делает первые шаги.

«Начала»

Сочинения Евклида разделены им самим ровно на тринадцать томов (книг). В первой и парочке других предварительно дается список сокращений и определений, которые использовал ученый. Также в изначальном труде имеется список аксиом и постулатов, о которых мы уже упоминали. Постулаты изначально определяют направления логических построений, а аксиомы представляют собой правила оперирования различными величинами.

• В первой книге трактата геометр изучает свойства различных параллелограммов и треугольников. Венцом ее можно назвать знаменитую Теорему Пифагора, на которой основана чуть ли не вся современная математика. Вторая книга посвящается «геометрической алгебре» и тоже восходит опять же к пифагорейцам.
• В третьей, а также четвертой книге «Начал» рассказывается с пояснениями теория окружностей. В этом же разделе рассматриваются описанные и вписанные многогранники. При создании этой части сочинения ученый использовал знания, представленные Гиппократом Хиосским.
• Пятая книга полностью освещает сложные теории пропорций, основанные на выводах Евдокса Книдского, древнегреческого механика и математика. В шестом разделе она на практике прилагается к расчетам подобных фигур.
• С седьмой по девятую книги снова посвящаются и восходят к пифагорейцам. Они содержат простейшую теорию чисел, сведения о геометрических прогрессиях и пропорциях. Вероятно, что одним из авторов, а может, просто вдохновителем этой работы стал философ Архит Тарентский.
• Наиболее объемной по количеству поданного материала считается десятый том «Начал». По совместительству он считается еще и наиболее сложным для понимания, ведь в нем выстраивается классификация разнообразных иррациональностей.
• В одиннадцатом разделе труда речь идет о стереометрии.
• Двенадцатая книга посвящена методу исчерпывания в поиске доказательств теорем об отношениях площадей конусов, пирамид и окружностей. Общепринятой считается точка зрения, будто авторство ее принадлежит все тому же знаменитому Евдоксу Книдскому.
• Последняя тринадцатая книга полностью рассматривает вопрос построения правильных пяти многогранников. Возможно, в работе над ней математик опирался на знания, полученные математиком Теэтетом Афинским.

Древние манускрипты на этом не завершаются: известны еще четырнадцатая, а также пятнадцатая книги, однако авторство их уже достоверно известно. Первую из них составил геометр Гипсикл Александрийский, а вторую – византийский архитектор Исидор Милетский. Это произведение сыграло огромную роль в дальнейшем развитии науки, а также в качестве примера для будущих поколений, как излагать свои мысли четко, понятно и доступно.

Другие произведения

Благодаря «Началам» про Евклида узнал весь мир. Но у него имелись и иные сочинения, которые тоже заслуживают немалого внимания. Они написаны все в той же лаконичной и сухо-информативной манере, имеют хорошо ощущаемую структуру, что значительно облегчает процесс осмысления.

• Дошли до наших дней трактаты «О делении», «Данные», «Явления» и «Оптика».
• Только по описаниям известны такие работы, как «Псевдария», «Конические сечения», «Поризмы» и «Поверхностные места».
• Существуют еще и приписываемые Евклиду труды: «Деление канона» о музыке и Катоптрика – теория зеркал и преломления солнечных лучей (света).

Какие произведения действительно имеют отношение к самому ученому, а какие принадлежат кому-то другому, доподлинно неизвестно.

Аксиомы как метод познания

История Евклида чрезвычайно туманна ввиду ее древности. Но совершенно точно известно, что метод познания, называемый аксиоматическим, придумал именно он. Суть его довольно проста – это совокупность развития, классификации и построения научно-теоретических данных в форме умозаключений, в которых определенные утверждения принимаются в качестве совершенных исходных положений (аксиом).

Именно из них при помощи логических размышлений и выводятся впоследствии все остальные утверждения (теоремы). Цепочка выводов не может продолжаться бесконечно, она должна где-то иметь начало, для этого и потребовалось создание подобной концепции. В своих рассуждениях подобного рода Евклид опирался на знания, даваемые древним ученым Аристотелем (могу перелинковать на статью о нем).

Геометрия - допуск к философии

Еще в шестом веке до нашей эры в Греции сложилось течение пифагорейцев, которые считали, что музыка, арифметика, астрономия и геометрия – это основа, образец систематического мышления. Даже Платон высказывал мнение, что эти науки являются первой ступенькой перед переходом к изучению более сложной философии. Неслучайно история Евклида обычно иллюстрируется преданием, будто перед входом в платоновскую Академию, где он и обучался, была приколочена табличка с надписью: «Да не сможет войти в это здание тот, кто не знает основ геометрии».

Основа таких выводов понятна – в геометрии при помощи вспомогательных линий на чертеже неявная истина становится вполне очевидной. Это можно использовать для иллюстрации припоминания скрытых (завуалированных) фактов в философских рассуждениях, при которых для постижения нужно взирать на мысленную схему не глазами, а «очами разума». Фактически все это можно свести к единственной фразе: «Мы воспринимаем (видим) чертеж (фигуру), производим определенные логические рассуждения, делаем из них выводы и заключения не только относительно этого конкретного частного случая, а сразу для множества фигур подобного плана».

Изучение геометрической оптики

Стоит сказать несколько слов о текстах, которые условно считаются принадлежащими перу нашего персонажа. В первую очередь это основы оптики и преломления света, которые были изложены в сочинении «Катоптрика», датируемом приблизительно трехсотым годом до нашей эры. Автор придерживается мнения, что зрение осуществляется (реализуется) при помощи так называемых зрительных лучей, что недалеко от истины (световые волны).

Однако в те времена предполагалось, что лучи эти испускает не светило, а человеческий глаз, как бы ощупывая окружающие его предметы. Забавная теория, не правда ли? Именно на ней основывал свои наработки о перспективе Евклид. Оригинальный текст трактата, к большому сожалению потомков, не сохранился, потому разобраться с деталями довольно сложно.

В этом труде давалось определение основному закону отражения света. Он устанавливает направление движения луча, который сталкивается с зеркальной поверхностью. Отражаемые и падающие лучи лежат в одной плоскости с нормалью (перпендикулярной к отражающей поверхности прямой), при этом она делит угол меж лучами на две равные части. Каждый школьник знает этот закон в несколько иной интерпретации, не полностью отражающей картину формулировке: «Угол падения равен углу отражения».

Не стоит забывать, что от различных типов поверхностей световые лучи могут отражаться по-разному. Потому принято разделять зеркальное и диффузное отражение. В первом случае речь идет о стремящемуся к идеалу зеркалу, а во втором – о шероховатой и неровной плоскости, когда лучи отражаются хаотично в различных направлениях.

Наследие Евклида

Знания, получаемые об этом древнем ученом, настолько скудны, что о нем мало что известно, в особенности относительно его повседневных занятий, расписания дня и прочих бытовых мелочей. Совершенно непонятно, как сложилась личная жизнь Евклида, был ли он женат, имел ли потомков. Существует предположение, что он организовал и открыл собственную частную школу при богатой Александрийской библиотеке, что может свидетельствовать о его состоятельности. Считается, что и после завершения обучения в этом заведении, наставник всегда помогал своим подопечным с разработкой теорий и написанием собственных научных трактатов.

Внешность его тоже остаётся загадкой, а все портреты и скульптуры созданы через много десятков лет после смерти. Разобраться, чем известен Евклид, несложно, но вот точных дат в событиях его жизни или определенности в дне рождения или смерти тоже нет. Считается, что он мог скончаться уже к двести шестидесятому году до нашей эры.

Богатое научное наследие, которое после себя оставил этот воистину великий грек, в разы превосходит интерес к тому впечатлению, которое он производил при жизни. Работы математика и философа пережили его на более, чем двести веков, а это колоссальная цифра. Его трудами зачитывались и вдохновлялись многие известные личности, к примеру, Карл Ян или Авраам Линкольн. Говорят, что шестнадцатый президент Соединенных Штатов повсюду носил с собой томик Евклида и в свои речи любил вставлять цитаты из его произведений.

Античный математик и философ Евклид жил в 3 веке до нашей эры. И математиком он был действительно выдающимся – не только для своего времени, но и для современности. Ведь та самая геометрия, которую сегодня изучают школьники всего мира, носит название евклидовой. Она базируется на пяти аксиомах, выведенных именно им. Без преувеличения, этот ученый заложил фундамент современной геометрии и во многом – математики как науки.

И наверняка многим будет интересно узнать некоторые занимательные факты из жизни Евклида.

Откуда и когда

Примечательно, что доподлинно не известно, когда именно и в каком месте родился Евклид. По скудным записям из арабских книг 12-го века можно судить, что отца его звали Наукрат, а сам будущий великий математик родился в Греции.

Предполагается, что свое образование он начал получать Академии Платона, при входе в которую, кстати, была надпись: «Никогда не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».

Впрочем, и обстоятельства и даже точная дата смерти Евклида также покрыты тайной: предполагается, что это печальное событие произошло не позднее 265 года до нашей эры.

Царские пути

Одна из самых известных легенд о Евклиде дошла до нас со слов самого Архимеда. Тот поведал, что однажды сам царь Птолемей решил начать изучать геометрию по «Началам» Евклида. Однако наука показалась царской особе весьма трудной и никак не давалась. И тогда Птолемей поинтересовался, нет ли способа как-нибудь попроще и побыстрее все освоить… На что Евклид произнес сегодня уже ставшую крылатой фразу: «В геометрии нет царских путей».

Выгодная наука

Также известен случай, когда один ученик поинтересовался у знаменитого математика, чем ему может оказаться выгодной геометрия в жизни. На что Евклид подозвал слугу и велел дать ученику три обола (денежная единица), сказав при этом:

— Дай ему денег, раз ему хочется только прибыли от науки.

Множество Начал

Интересно, что «Начала» Евклида не были единственными «Началами» и до него. Прежде многие ученые писали научные труды, и носили они название именно «Начала». Однако только Евклидовы стали знамениты в веках.

Но великий геометр не строил свои труда на абсолютно пустом месте. Справедливости ради, стоит отметить, что многие из его теорем строились на базе уже имевшихся в то время знаний. Но Евклид собрал их воедино, классифицировал и смог обосновать с научной точки зрения.

По строгой логической цепочке

Именно в своих «Началах» Евклид сделал то, что сегодня кажется само собой разумеющимся: он стал основывать все свои выводы на цепочке строгих логических выводов. При этом он считал важным, что цепочка должна где-то начинаться, а не вырастать из пустого места, поскольку при этом она может никогда и не закончиться. Должно быть, с этим связано и само название его научного труда. Но, поскольку добраться до самого начального суждения было весьма трудно, Евклид сам сформулировал свои знаменитые аксиомы – утверждения, не требующие доказательств. И только на этих аксиомах ему удалось вывести все остальные доказательства и теоремы.

Платон мне друг

Как уже было сказано, Евклид обучался в школе у самого Платона. Не удивительно, что и по философским своим суждениям он относился к так называемым платоником. В частности, он полагал, что в основе всего лежат четыре элемента – вода, воздух, земля и огонь.

Недоказанные труды Евклида

Арабы – да и не только они – часто приписывают Евклиду и прочие труды во многих областях знаний, начиная от музыки и заканчивая медициной. Например, фундаментальный труд по теории музыки «Гармоника», а также «Деление канонов». Однако уже в наше время было доказано, что никакого отношения математик к данным трудам не имеет. Скорее всего, автором их был пифагореец Клеонид. Хотя и это доподлинно не известно.

Добрая математика

Другой древний математик – Папп – сообщает, что Евклид был необычайно мягок и добр по отношению к тем, кто, во-первых, мог бы помочь в распространении математики как науки, а во-вторых, если видел, что человек действительно испытывает тягу к геометрии. Он был способен даже изменить свое мнение о том или ином человеке, если вдруг узнавал, что того интересует или наоборот – не интересует – математика.

И музей, и библиотека

Также известно, что Евклид на рубеже третьего столетия до нашей эры организовывал открытие музея и библиотеки в городе Александрии. Здесь же он совершил впоследствии множество своих открытий. Кроме того, и музей, и библиотека при Евклиде играли роль древних научных центров.

«Вечная» книга

Подчиняясь школе Платона, Евклид полагал, что все, что он излагает в своих «Началах» не только не подвергается сомнению, но и будет существовать вечно. Как бы то ни было, но более 2 тысяч лет именно по трудам Евклида ученики осваивают премудрости геометрии.

Неевклидова геометрия

И только через 2 с лишним тысячи лет российский математик Лобачевский усомнился в безраздельной справедливости геометрии Евклида. Он вывел «свою собственную» геометрию, которая базировалась не на плоскости, а на псевдосфере. Интересно, что все Аксиомы, выведенные Евклидом, сохранялись. Кроме одной – о параллельных прямых.

Кроме Лобачевского, «свою» геометрию вывел и немецкий математик Риман. В настоящее время три геометрии странным образом сосуществуют в мире – Евклидова, Римана и Лобачевского.

Так ли это было, как описывают некоторые истории о Евклиде, а, может, и вовсе ничего подобного не было – не столь уж важно. Автор «Математических начал» навечно вписал свое имя в анналы науки, там он и останется – наряду с такими гениями, как Ньютон, Галилей, Сократ или Пифагор.

Особенно плодотворно развивались отрасли знаний естественного направления: физика, астрономия, землеведение, тесно связанные с математикой и геометрией. К числу самых прославленных эллинистических геометров и математиков относился знаменитый Евклид.

Биография Евклида известна очень плохо. В молодости он, возможно, обучался в афинской Академии, которая была не только философской, но и математической и астрономической школой (к Академии примыкал Евдокс Книдский). Затем Евклид жил в Александрии при Птолемеях I и II. Так что биография Евклида проходила преимущественно в первой половине III в. до н. э. Живший много веков позднее неоплатоник Прокл рассказывает, что когда Птолемей I спросил Евклида, заглянув в его главный труд, нет ли более короткой дороги к геометрии, то Евклид якобы гордо ответил царю, что науке нет царского пути.

Евклиду принадлежат такие фундаментальные исследования, как «Оптика» и «Диоптрика». В своей оптике Евклид исходил из пифагорейской теории, согласно которой лучи света – прямые линии, простирающиеся от глаза к воспринимаемому предмету.

«Начала» Евклида

Главный труд Евклида – «Начала» (или «Элементы», в оригинале «Стойхейа»). «Начала» Евклида состоят из 13 книг. Позднее к ним были прибавлены еще две книги.

Первые шесть книг «Начал» посвящены геометрии на плоскости – планиметрии. В философско-теоретическом отношении, в плане философии математики особенно интересна первая книга, которая начинается с определений, постулатов и аксиом, учение о которых было заложено Аристотелем.

Евклид определяет точку как то, что не имеет частей. Линия – длина без ширины. Концы линии – точки. Прямая линия равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Концы поверхности – линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. И так далее. Таковы определения Евклида.

Статуя Евклида в музее Оксфордского университета

Далее следуют постулаты, т. е. то, что допускается. Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из любой точки, принятой за центр, можно всяким раствором циркуля описать круг, что все прямые углы равны между собой и что если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, будучи продолженными, эти две прямые рано или поздно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Аксиомы Евклида говорят о том, что величины, равные третьей величине, равны между собой, что если к равным прибавить равные, то и целые будут равными, и т. д.

Далее, в первой же книге «Начал» Евклида, рассматриваются треугольники, параллельные линии, параллелограммы. Вторая книга «Начал» содержит геометрическую алгебру: числа и отношения чисел выражаются в пространственных величинах и в их пространственных же отношениях. Третья книга «Начал» исследует геометрию круга и окружности, четвертая – многоугольники. Пятая книга дает теорию пропорций как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. В книге VI Евклид прилагает эти теории к планиметрии. Книги VII – X содержат теорию чисел, причем X книга трактует иррациональные линии. XI, XII и XIII книги «Начал» посвящены стереометрии, при этом в XII книге применяется метод исчерпания.

В строгом смысле слова Евклида нельзя считать «отцом геометрии». Свои «Начала» были у Гиппократа Хиосского в V в. до н. э. В IV в. до н. э. «Начала» были у Леона, и у Феудия Магнесийского. Метод исчерпания применял Евдокс Книдский, возможный учитель Евклида по Академии. Проблемой иррациональности занимались пифагореец Гиппас Метапонтский, Феодор Киренский, Теэтет Афинский... Однако Евклид – не простой передатчик сделанного до него математиками. В «Началах» Евклида мы видим завершение математики как стройной науки, исходящей из определений, постулатов и аксиом и построенной дедуктивно. Математика Евклида – вершина древнегреческой дедуктивной науки. Она резко отличается от ближневосточной математики с ее практической приблизительной рецептурностью. Не случайно «Начала» Евклида по их логической стройности, ясности, изяществу и законченности сравнивают с афинским Парфеноном .

Правда, существовала легенда, что сам Евклид – не единственный автор дошедших до нас «Начал», что он сам дал лишь догматическое изложение материала, без доказательств, что доказательства были добавлены вышеупомянутым Теоном Александрийским. Теон Александрийский действительно занимался проблематикой «Начал». Но не он один. Этим же занимались и Прокл, и Симплиций. «Начала» Евклида были частично переведены на латинский язык Цензорином и Боэцием. Но эти их переводы затерялись. На Западе вплоть до конца XII в. находились в обращении тезисы Евклида без доказательств.

Что касается Ближнего Востока, то там Евклид был известен в переводах с греческого на сирийский, а с сирийского – на арабский. Первым арабским философом, который заинтересовался Евклидом, был, по-видимому, аль-Кинди (IX в.). Его интерес ограничивался евклидовой «Оптикой». Однако затем последовала масса переводов и комментариев на «Начала». Эти арабские тексты были переведены в XIII в. на латинский язык. Первый латинский перевод с греческого оригинала был делан в Европе в 1493 г. и отпечатан в 1505 г. в Венеции. Но до 1572 г., когда Федерико Коммандино в своем латинском переводе исправил эту ошибку, Евклида-математика путали с Евклидом Мегариком.

Постулаты Евклида

Из постулатов Евклида видно, что Евклид представлял пространство как пустое, безграничное, изотропное и трехмерное. Бесконечность и безграничность пространства предполагается такими постулатами Евклида, как тезисы о том, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из всякого центра и всяким раствором циркуля может быть описан круг.

Особенно знаменит пятый постулат Евклида, который буквально звучит так (выше мы дали пересказ): «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Позднее Прокл выразил этот постулат так: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных линий, то она пересечет также и вторую параллельную». Более привычная для нас формула: «Через данную точку можно провести лишь одну параллельную к данной прямой» – принадлежит Джону Плейферу.

Не раз делались попытки доказать пятый постулат Евклида (Птолемей, Насир аль-Дин, Ламберт, Лежандр). Наконец, Карл Гаусс высказал в 1816 г. гипотезу, что этот постулат может быть заменен другим. Эта догадка была реализована в параллельных исследованиях независимо друг от друга Н. И. Лобачевским (1792–1856) и Яношем Больяем (1802–1866). Однако оба эти исследователя (и русский, и венгерский) не получили признания других математиков, особенно тех, кто стоял на позициях кантовского априоризма в понимании пространства, который допускал только одно пространство – евклидово. Только Бернхард Риман (1826–1866) своей теорией многообразий (1854) доказал возможность существования многих видов неевклидовой геометрии. Сам Б. Риман заменил пятый постулат Евклида на постулат, согласно которому вообще нет параллельных линий, а внутренние углы треугольника больше двух прямых. Феликс Клейн (1849–1925) показал соотношение неевклидовых и евклидовой геометрий. Евклидова геометрия относится к поверхностям с нулевой кривизной, геометрия Лобачевского – к поверхностям с положительной кривизной, а геометрия Римана – к поверхности с отрицательной кривизной.

Евклид (ок. 300 г. до н. э.) - древнегреческий математик, который является автором первого трактата по математике, дошедшего до нашего времени.

Жизненный путь и научные достижения

Биографических сведений об Евклиде не много. Достоверно известно только то, что его научная деятельность протекала в 3 в. до н. э в Александрии.

Евклид был первым математиком Александрийской школы. Главный труд ученого известный под названием «Начала» посвящен стереометрии, планиметрии и вопросам теории чисел. Фактически Евклид создал фундамент для развития математики. Также сохранилось его сочинение «О делении фигур», 4 книги о «Конических сечениях» и «Поризмы». Кроме того, Евклид писал об оптике, астрономии и музыке.

«Начала» Евклида в течение 2-х тысячелетий были базовым учебником по геометрии. Работая над этим учебником, Евклид обработал и свел воедино материал своих предшественников. Данный учебник состоит из 13 книг. Отличительной чертой учебника является наличие списка постулатов и аксиом. Рассмотрим содержание «Начал»:

• 1-я книга – свойства параллелограммов и треугольников (здесь была и теорема Пифагора);
• 3-я и 4-я книги – геометрия окружностей, описанных и вписанных многоугольников;
• 5-я книга – теория пропорций;
• 6-я книга – теория подобных фигур;
• 7-я и 9-я книги – теория чисел, теоремы о геометрических прогрессиях и о пропорциях;
• 10-я книга – классификация иррациональностей;
• 11-я книга – основы стереометрии;
• 12-я книга – теоремы об объёмах пирамид и конусов и об отношениях площадей кругов;
• 13-я книга – особенности построения правильных многогранников.

«Начала» стали общей основой для трактатов Архимеда и других античных авторов. Предложения, доказанные в них, являются общеизвестными. Кроме того, этот учебник сыграл не малую роль в развитии математики Нового времени.

Папп сообщает, что древнегреческий математик был мягок и всегда любезен с теми, кто мог поспособствовать развитию математики.

Стобей рассказывает, что однажды ученик спросил у Евклида: «Какую выгоду я получу от науки?». В ответ Евклид позвал раба и приказал: «Дай этому человеку 3 обола, раз ему хочется извлекать прибыль из учебы».

По философским взглядам первый теоретик математики был платоником.

В жизни Евклида произошел один забавный случай. Однажды царь Птолемей захотел изучать геометрию, и спросил у Евклида, существует ли более быстрый путь, чем тот, что описан в «Началах». На это ученый ответил: «В геометрии нет царских дорог».

К концу 16 в. «Начала» Евклида перевели даже на китайский язык.

ЕВКЛИД (Eukleides)

III век до н. э.

Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона , а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы.

Главная работа Архимеда – "Начала" (лат. Elementa ) – содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида ); состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому. В "Началах" он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. На протяжении более двух тысячелетий евклидовы "Начала" оставались основным трудом по элементарной математике.

Из других математических сочинений Евклида надо отметить "О делении фигур", сохранившееся в арабском переводе, четыре книги "Конические сечения", материал которых вошёл в одноимённое произведение Аполлония Пергского, а также "Поризмы", представление о которых можно получить из "Математического собрания" Паппа Александрийского.

В трудах Евклида дано систематическое изложение т. н. евклидовой геометрии , система аксиом которой опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: "точка лежит на прямой на плоскости", "точка лежит между двумя другими". В современном изложении систему аксиом евклидовой геометрии разбивают на следующие пять групп.

I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).

III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 2) Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 3) Если даны точки А, A" и полуплоскости a , a ", ограниченные продолженными полупрямыми а, а" , которые исходят из точек А, A" , то существует движение, и притом единственное, переводящее А , а , a в A" , a ", a" (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а , можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а .

Возникновение евклидовой геометрии тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии – натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. Открытие Н. И. Лобачевским геометрии, отличной от евклидовой, показало, что наши представления о пространстве не являются априорными. Иными словами, евклидова геометрия не может претендовать на роль единственной геометрии, описывающей свойства окружающего нас пространства. Развитие естествознания (главным образом физики и астрономии) показало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего нас пространства лишь с определённой степенью точности и не пригодна для описания свойств пространства, связанных с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Т. о., евклидова геометрия может рассматриваться как первое приближение для описания структуры реального физического пространства.