Rezolvarea fundamentală a unui sistem omogen de ecuații liniare. Rezolvarea sistemelor omogene de ecuații liniare

Sistem omogen de ecuații liniare pe un câmp

DEFINIȚIE. Sistemul fundamental de soluții ale sistemului de ecuații (1) este un sistem nevid liniar independent al soluțiilor sale, al cărui interval liniar coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).

Rețineți că un sistem omogen de ecuații liniare care are doar o soluție zero nu are un sistem fundamental de soluții.

PROPUNEREA 3.11. Oricare două sisteme fundamentale de soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare constau din același număr de soluții.

Dovada. Într-adevăr, oricare două sisteme fundamentale de soluții ale sistemului omogen de ecuații (1) sunt echivalente și liniar independente. Prin urmare, prin Propunerea 1.12, rangurile lor sunt egale. Prin urmare, numărul de soluții incluse într-un sistem fundamental este egal cu numărul de soluții incluse în orice alt sistem fundamental de soluții.

Dacă matricea principală A a sistemului omogen de ecuații (1) este zero, atunci orice vector din este o soluție a sistemului (1); în acest caz, orice colecție de vectori liniar independenți din este un sistem fundamental de soluții. Dacă rangul coloanei matricei A este , atunci sistemul (1) are o singură soluție - zero; prin urmare, în acest caz, sistemul de ecuații (1) nu are un sistem fundamental de soluții.

TEOREMA 3.12. Dacă rangul matricei principale a sistemului omogen de ecuații liniare (1) este mai mic decât numărul de variabile , atunci sistemul (1) are un sistem fundamental de soluții format din soluții.

Dovada. Dacă rangul matricei principale A a sistemului omogen (1) este egal cu zero sau , atunci s-a arătat mai sus că teorema este adevărată. Prin urmare, se presupune mai jos că Presupunând , vom presupune că primele coloane ale matricei A sunt liniar independente. În acest caz, matricea A este echivalentă pe rând cu matricea cu trepte reduse, iar sistemul (1) este echivalent cu următorul sistem de ecuații în trepte reduse:

Este ușor de verificat că orice sistem de valori ale variabilelor libere ale sistemului (2) corespunde uneia și unei singure soluții a sistemului (2) și, prin urmare, a sistemului (1). În special, numai soluția zero a sistemului (2) și a sistemului (1) corespunde sistemului de valori zero.

În sistemul (2), vom atribui o valoare egală cu 1 uneia dintre variabilele libere, iar celorlalte variabile valori zero. Ca rezultat, obținem soluții ale sistemului de ecuații (2), pe care le scriem ca șiruri ale următoarei matrice C:

Sistemul de rânduri al acestei matrice este liniar independent. Într-adevăr, pentru orice scalari din egalitate

urmează egalitatea

și deci egalitate

Să demonstrăm că intervalul liniar al sistemului de rânduri al matricei C coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).

Soluție arbitrară a sistemului (1). Apoi vectorul

este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1) și

Lăsa M 0 este mulțimea soluțiilor sistemului omogen (4) de ecuații liniare.

Definiția 6.12. Vectori Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p, care sunt soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare, se numesc set fundamental de soluții(abreviat FNR) dacă

1) vectori Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p liniar independent (adică niciunul dintre ele nu poate fi exprimat în termenii celorlalte);

2) orice altă soluție a unui sistem omogen de ecuații liniare poate fi exprimată în termeni de soluții Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p.

Rețineți că dacă Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p este oarecare f.n.r., apoi prin expresia k 1× Cu 1 + k 2× Cu 2 + … + kp× cu p poate descrie întregul set M 0 soluții la sistemul (4), așa că se numește vedere generală a soluției sistemului (4).

Teorema 6.6. Orice sistem omogen nedefinit de ecuații liniare are un set fundamental de soluții.

Modul de a găsi setul fundamental de soluții este următorul:

Aflați soluția generală a unui sistem omogen de ecuații liniare;

Construi ( n – r) soluții parțiale ale acestui sistem, în timp ce valorile necunoscutelor libere trebuie să formeze o matrice de identitate;

Scrieți forma generală a soluției incluse în M 0 .

Exemplul 6.5. Găsiți setul fundamental de soluții ale următorului sistem:

Soluţie. Să găsim soluția generală a acestui sistem.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Acest sistem are cinci necunoscute ( n= 5), dintre care există două necunoscute principale ( r= 2), trei necunoscute libere ( n – r), adică setul fundamental de soluții conține trei vectori soluție. Să le construim. Avem X 1 și X 3 - principalele necunoscute, X 2 , X 4 , X 5 - necunoscute libere

Valorile necunoscutelor gratuite X 2 , X 4 , X 5 formează matricea de identitate E ordinul al treilea. Am acei vectori Cu 1 ,Cu 2 , Cu 3 forma f.n.r. acest sistem. Atunci setul de soluții al acestui sistem omogen va fi M 0 = {k 1× Cu 1 + k 2× Cu 2 + k 3× Cu 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Să aflăm acum condițiile de existență a soluțiilor nenule ale unui sistem omogen de ecuații liniare, cu alte cuvinte, condițiile de existență a unui set fundamental de soluții.

Un sistem omogen de ecuații liniare are soluții diferite de zero, adică este nedefinit dacă

1) rangul matricei principale a sistemului este mai mic decât numărul de necunoscute;

2) într-un sistem omogen de ecuații liniare, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute;

3) dacă într-un sistem omogen de ecuații liniare numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar determinantul matricei principale este egal cu zero (adică | A| = 0).

Exemplul 6.6. La ce valoare a parametrului A sistem omogen de ecuații liniare are soluții diferite de zero?

Soluţie. Să compunem matricea principală a acestui sistem și să găsim determinantul acestuia: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinantul acestei matrice este egal cu zero atunci când A = –4.

Răspuns: –4.

7. Aritmetica n-spațiu vectorial dimensional

Noțiuni de bază

În secțiunile anterioare, am întâlnit deja conceptul de mulțime de numere reale dispuse într-o anumită ordine. Aceasta este o matrice de rând (sau matrice de coloană) și o soluție a unui sistem de ecuații liniare cu n necunoscut. Aceste informații pot fi rezumate.

Definiție 7.1. n-vector aritmetic dimensional se numește un set ordonat de n numere reale.

Mijloace A= (a 1, a 2, …, a n), unde un iО R, i = 1, 2, …, n este vederea generală a vectorului. Număr n numit dimensiune vector, iar numerele a i l-am sunat coordonatele.

De exemplu: A= (1, –8, 7, 4, ) este un vector cu cinci dimensiuni.

Toate gata n vectorii -dimensionali se notează de obicei ca R n.

Definiție 7.2. Doi vectori A= (a 1, a 2, …, a n) și b= (b 1 , b 2 , …, b n) de aceeași dimensiune egal dacă și numai dacă coordonatele lor respective sunt egale, adică a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definiție 7.3.sumă Două n-vectori dimensionali A= (a 1, a 2, …, a n) și b= (b 1 , b 2 , …, b n) se numește vector A + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Definiție 7.4. muncă numar real k pe vector A= (a 1, a 2, …, a n) se numește vector k× A = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Definiție 7.5. Vector despre= (0, 0, …, 0) se numește zero(sau vector nul).

Este ușor de verificat că acțiunile (operațiile) de adunare a vectorilor și de înmulțire a acestora cu un număr real au următoarele proprietăți: A, b, c Î R n, " k, lОR:

1) A + b = b + A;

2) A + (b+ c) = (A + b) + c;

3) A + despre = A;

4) A+ (–A) = despre;

5) 1× A = A, 1 О R;

6) k×( l× A) = l×( k× A) = (l× k)× A;

7) (k + l)× A = k× A + l× A;

8) k×( A + b) = k× A + k× b.

Definiție 7.6. Multe R n cu operatiile de adunare a vectorilor si inmultirea lor cu un numar real dat pe acesta se numeste spațiu vectorial n-dimensional aritmetic.

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

Pentru a înțelege ce este sistem fundamental de decizie puteți urmări tutorialul video pentru același exemplu făcând clic pe . Acum să trecem la descrierea tuturor lucrărilor necesare. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți esența acestei probleme mai detaliat.

Cum se găsește sistemul fundamental de soluții al unei ecuații liniare?

Luați de exemplu următorul sistem de ecuații liniare:

Să găsim o soluție la acest sistem liniar de ecuații. Pentru început, noi notează matricea de coeficienți a sistemului.

Să transformăm această matrice într-una triunghiulară. Rescriem prima linie fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(11)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(21)$, trebuie să scădeți primul din a doua linie și să scrieți diferența pe a doua linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul din al treilea rând și să scrieți diferența în al treilea rând. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(41)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, scădeți primul înmulțit cu 2 din a cincea linie și scrieți diferența pe a cincea linie.

Rescriem primul și al doilea rând fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(22)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(32)$, este necesar să scădem al doilea înmulțit cu 2 din al treilea rând și să scrieți diferența în al treilea rând. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(42)$, este necesar să scădem al doilea înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(52)$, scădeți al doilea înmulțit cu 3 din a cincea linie și scrieți diferența pe a cincea linie.

Vedem asta ultimele trei rânduri sunt aceleași, deci dacă scadeți a treia din a patra și a cincea, atunci acestea vor deveni zero.

Pentru această matrice scrieți un nou sistem de ecuații.

Vedem că avem doar trei ecuații liniar independente și cinci necunoscute, deci sistemul fundamental de soluții va consta din doi vectori. Deci noi mutați ultimele două necunoscute la dreapta.

Acum, începem să exprimăm acele necunoscute care sunt pe partea stângă prin cele care sunt pe partea dreaptă. Începem cu ultima ecuație, mai întâi exprimăm $x_3$, apoi substituim rezultatul obținut în a doua ecuație și exprimăm $x_2$, iar apoi în prima ecuație și aici exprimăm $x_1$. Astfel, am exprimat toate necunoscutele care sunt pe partea stângă prin necunoscutele care sunt pe partea dreaptă.

După aceea, în loc de $x_4$ și $x_5$, puteți înlocui orice numere și puteți găsi $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Fiecare dintre aceste cinci numere va fi rădăcinile sistemului nostru original de ecuații. Pentru a găsi vectorii care sunt incluși în FSR trebuie să înlocuim 1 în loc de $x_4$ și să înlocuim 0 în loc de $x_5$, să găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$ și apoi invers $x_4=0$ și $x_5=1$.

Metoda Gaussiană are o serie de dezavantaje: este imposibil să știm dacă sistemul este consistent sau nu până când nu au fost efectuate toate transformările necesare în metoda Gauss; metoda Gaussiană nu este potrivită pentru sistemele cu coeficienți de litere.

Luați în considerare alte metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. Aceste metode folosesc conceptul de rang al unei matrice și reduc soluția oricărui sistem comun la soluția unui sistem căruia i se aplică regula lui Cramer.

Exemplul 1 Găsiți soluția generală a următorului sistem de ecuații liniare folosind sistemul fundamental de soluții al sistemului omogen redus și o soluție particulară a sistemului neomogen.

1. Facem o matrice Ași matricea augmentată a sistemului (1)

2. Explorați sistemul (1) pentru compatibilitate. Pentru a face acest lucru, găsim rândurile matricelor Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Dacă se dovedește că , atunci sistemul (1) incompatibil. Dacă primim asta , atunci acest sistem este consistent și îl vom rezolva. (Studiul de consistență se bazează pe teorema Kronecker-Capelli).

A. Găsim rA.

A găsi rA, vom lua în considerare succesiv minori non-zero ale primului, al doilea, etc. ordine ale matricei Ași minorii din jurul lor.

M1=1≠0 (1 este luat din colțul din stânga sus al matricei DAR).

învecinat M1 al doilea rând și a doua coloană a acestei matrice. . Continuăm la graniță M1 a doua linie și a treia coloană..gif" width="37" height="20 src=">. Acum marginim minorul diferit de zero М2′ a doua comanda.

Avem: (pentru că primele două coloane sunt aceleași)

(deoarece a doua și a treia linie sunt proporționale).

Vedem asta rA=2, și este baza minoră a matricei A.

b. Găsim .

Suficient de bază minoră М2′ matrici A chenar cu o coloană de membri liberi și toate liniile (avem doar ultima linie).

. De aici rezultă că М3′′ rămâne baza minoră a matricei https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

pentru că М2′- baza minoră a matricei A sisteme (2) , atunci acest sistem este echivalent cu sistemul (3) , constând din primele două ecuații ale sistemului (2) (pentru М2′ se află în primele două rânduri ale matricei A).

(3)

Deoarece minorul de bază este https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

În acest sistem, două necunoscute gratuite ( x2 și x4 ). De aceea FSR sisteme (4) constă din două soluții. Pentru a le găsi, le atribuim necunoscute gratuite (4) valorile mai întâi x2=1 , x4=0 , și apoi - x2=0 , x4=1 .

La x2=1 , x4=0 primim:

.

Acest sistem are deja singurul lucru soluție (se poate găsi prin regula lui Cramer sau prin orice altă metodă). Scăzând prima ecuație din a doua ecuație, obținem:

Decizia ei va fi x1= -1 , x3=0 . Având în vedere valorile x2 și x4 , pe care am dat-o, obținem prima soluție fundamentală a sistemului (2) : .

Acum punem (4) x2=0 , x4=1 . Primim:

.

Rezolvăm acest sistem folosind teorema lui Cramer:

.

Obținem a doua soluție fundamentală a sistemului (2) : .

Soluții β1 , β2 si machiaza FSR sisteme (2) . Atunci soluția sa generală va fi

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Aici C1 , C2 sunt constante arbitrare.

4. Găsiți unul privat soluţie sistem eterogen(1) . Ca în paragraful 3 , în loc de sistem (1) luați în considerare sistemul echivalent (5) , constând din primele două ecuații ale sistemului (1) .

(5)

Transferăm necunoscutele gratuite în partea dreaptă x2și x4.

(6)

Să dăm necunoscute gratuite x2 și x4 valori arbitrare, de exemplu, x2=2 , x4=1 și conectați-le la (6) . Să luăm sistemul

Acest sistem are o soluție unică (deoarece determinantul său М2′0). Rezolvând-o (folosind teorema Cramer sau metoda Gauss), obținem x1=3 , x3=3 . Având în vedere valorile necunoscutelor libere x2 și x4 , primim soluție particulară a unui sistem neomogen(1)α1=(3,2,3,1).

5. Acum rămâne de scris soluţia generală α a unui sistem neomogen(1) : este egal cu suma decizie privată acest sistem şi soluţie generală a sistemului său omogen redus (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Acest lucru înseamnă: (7)

6. Examinare. Pentru a verifica dacă ați rezolvat corect sistemul (1) , avem nevoie de o soluție generală (7) înlocuire în (1) . Dacă fiecare ecuație devine o identitate ( C1 și C2 ar trebui distrus), atunci soluția este găsită corect.

Vom înlocui (7) de exemplu, numai în ultima ecuație a sistemului (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Se obține: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Unde -1=-1. Avem o identitate. Facem acest lucru cu toate celelalte ecuații ale sistemului (1) .

Cometariu. Verificarea este de obicei destul de greoaie. Vă putem recomanda următoarea „verificare parțială”: în soluția generală a sistemului (1) atribuiți anumite valori constantelor arbitrare și înlocuiți soluția particulară rezultată numai în ecuațiile aruncate (adică în acele ecuații din (1) care nu sunt incluse în (5) ). Dacă obțineți identități, atunci cel mai probabil, soluția sistemului (1) găsit corect (dar o astfel de verificare nu oferă o garanție deplină a corectitudinii!). De exemplu, dacă în (7) a pune C2=- 1 , C1=1, atunci obținem: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Inlocuind in ultima ecuatie a sistemului (1), avem: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , adică –1=–1. Avem o identitate.

Exemplul 2 Găsiți o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare (1) , exprimând principalele necunoscute sub aspectul celor libere.

Soluţie. Ca în exemplu 1, compune matrice Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ale acestor matrici. Acum lăsăm doar acele ecuații ale sistemului (1) , ai căror coeficienți sunt incluși în acest minor de bază (adică avem primele două ecuații) și considerăm sistemul format din ei, care este echivalent cu sistemul (1).

Să transferăm necunoscutele libere în partea dreaptă a acestor ecuații.

sistem (9) rezolvăm prin metoda gaussiană, considerând părțile potrivite drept membri liberi.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opțiunea 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opțiunea 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opțiunea 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opțiunea 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Ecuația liniară se numește omogen dacă interceptarea sa este zero, iar neomogenă în caz contrar. Un sistem format din ecuații omogene se numește omogen și are forma generală:

Evident, orice sistem omogen este consistent și are o soluție zero (trivială). Prin urmare, în raport cu sistemele omogene de ecuații liniare, de multe ori trebuie să căutați un răspuns la întrebarea existenței soluțiilor nenule. Răspunsul la această întrebare poate fi formulat ca următoarea teoremă.

Teorema . Un sistem omogen de ecuații liniare are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă rangul său este mai mic decât numărul de necunoscute .

Dovada: Să presupunem că un sistem al cărui rang este egal are o soluție diferită de zero. Evident, nu depășește . În cazul în care sistemul are o soluție unică. Deoarece sistemul de ecuații liniare omogene are întotdeauna o soluție zero, tocmai soluția zero va fi această soluție unică. Astfel, soluțiile diferite de zero sunt posibile numai pentru .

Corolarul 1 : Un sistem omogen de ecuații, în care numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, are întotdeauna o soluție diferită de zero.

Dovada: Dacă sistemul de ecuații are , atunci rangul sistemului nu depășește numărul de ecuații , i.e. . Astfel, condiția este îndeplinită și, prin urmare, sistemul are o soluție diferită de zero.

Consecința 2 : Un sistem omogen de ecuații cu necunoscute are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă determinantul său este zero.

Dovada: Să presupunem un sistem de ecuații liniare omogene a cărui matrice cu determinant are o soluție diferită de zero. Apoi, conform teoremei dovedite, , ceea ce înseamnă că matricea este degenerată, adică .

Teorema Kronecker-Capelli: SLE este consecvent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a acestui sistem. Un sistem ur-th se numește compatibil dacă are cel puțin o soluție.

Sistem omogen de ecuații algebrice liniare.

Un sistem de m ecuații liniare cu n variabile se numește sistem de ecuații liniare omogene dacă toți termenii liberi sunt egali cu 0. Un sistem de ecuații liniare omogene este întotdeauna compatibil, deoarece are întotdeauna cel puțin o soluție zero. Un sistem de ecuații liniare omogene are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă rangul matricei sale de coeficienți la variabile este mai mic decât numărul de variabile, i.e. pentru rangul A (n. Orice combinație liniară

soluții ale sistemului de linii. omogen ur-ii este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

Un sistem de soluții liniar independente e1, e2,…,ek se numește fundamental dacă fiecare soluție a sistemului este o combinație liniară de soluții. Teoremă: dacă rangul r al matricei de coeficienți la variabilele sistemului de ecuații liniare omogene este mai mic decât numărul de variabile n, atunci orice sistem fundamental de soluții al sistemului este format din n-r soluții. Prin urmare, soluția generală a sistemului de linii. singur ur-th are forma: c1e1+c2e2+…+ckek, unde e1, e2,…, ek este orice sistem fundamental de soluții, c1, c2,…,ck sunt numere arbitrare și k=n-r. Soluția generală a unui sistem de m ecuații liniare cu n variabile este egală cu suma

soluţia generală a sistemului corespunzător acestuia este omogenă. ecuații liniare și o soluție particulară arbitrară a acestui sistem.

7. Spații liniare. Subspații. Baza, dimensiunea. Înveliș liniar. Se numește spațiu liniar n-dimensională, dacă conține un sistem de vectori liniar independenți și orice sistem de mai mulți vectori este dependent liniar. Numărul este sunat dimensiune (numar de dimensiuni) spațiu liniar și se notează cu . Cu alte cuvinte, dimensiunea unui spațiu este numărul maxim de vectori liniar independenți din acel spațiu. Dacă un astfel de număr există, atunci se spune că spațiul este de dimensiune finită. Dacă pentru orice număr natural n în spațiu există un sistem format din vectori liniar independenți, atunci un astfel de spațiu se numește infinit-dimensional (scris: ). În cele ce urmează, dacă nu se specifică altfel, vor fi luate în considerare spațiile cu dimensiuni finite.

Baza unui spațiu liniar n-dimensional este un set ordonat de vectori liniar independenți ( vectori de bază).

Teorema 8.1 privind expansiunea unui vector în termeni de bază. Dacă este o bază a unui spațiu liniar n-dimensional, atunci orice vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
si, mai mult, intr-un mod unic, i.e. coeficienții sunt determinați în mod unic. Cu alte cuvinte, orice vector spațial poate fi extins într-o bază și, în plus, într-un mod unic.

Într-adevăr, dimensiunea spațiului este de . Sistemul de vectori este liniar independent (aceasta este baza). După unirea oricărui vector la bază, obținem un sistem dependent liniar (deoarece acest sistem este format din vectori într-un spațiu n-dimensional). Prin proprietatea a 7 vectori liniar dependenți și liniar independenți, obținem concluzia teoremei.