Investigați un sistem omogen pentru existența unei soluții netriviale. Sisteme de ecuații algebrice liniare

Se numește un sistem de ecuații liniare în care toți termenii liberi sunt egali cu zero omogen :

Orice sistem omogen este întotdeauna consistent, din moment ce a fost întotdeauna zero (banal ) soluție. Se pune întrebarea în ce condiții un sistem omogen va avea o soluție nebanală.

Teorema 5.2.Un sistem omogen are o soluție netrivială dacă și numai dacă rangul matricei de bază este mai mic decât numărul necunoscutelor sale.

Consecinţă. Un sistem omogen pătrat are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.

Exemplul 5.6. Determinați valorile parametrului l pentru care sistemul are soluții netriviale și găsiți următoarele soluții:

Decizie. Acest sistem va avea o soluție netrivială atunci când determinantul matricei principale este egal cu zero:

Astfel, sistemul este netrivial când l=3 sau l=2. Pentru l=3, rangul matricei principale a sistemului este 1. Apoi, lăsând o singură ecuație și presupunând că y=Ași z=b, primim x=b-a, adică

Pentru l=2, rangul matricei principale a sistemului este 2. Apoi, alegând ca minor de bază:

obținem un sistem simplificat

De aici aflăm că x=z/4, y=z/2. Presupunând z=4A, primim

Setul tuturor solutiilor unui sistem omogen are o foarte importanta proprietate liniară : dacă X coloane 1 și X 2 - soluții ale sistemului omogen AX = 0, apoi orice combinație liniară a acestora A X 1+b X 2 va fi si solutia acestui sistem. Într-adevăr, pentru că TOPOR 1 = 0 și TOPOR 2 = 0 , apoi A(A X 1+b X 2) = a TOPOR 1+b TOPOR 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Datorită acestei proprietăți, dacă un sistem liniar are mai multe soluții, atunci vor exista infinite dintre aceste soluții.

Coloane liniar independente E 1 , E 2 , E k, care sunt soluții ale unui sistem omogen, se numește sistem fundamental de decizie sistem omogen de ecuații liniare dacă soluția generală a acestui sistem poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor coloane:

Dacă un sistem omogen are n variabile, iar rangul matricei principale a sistemului este egal cu r, apoi k = n-r.

Exemplul 5.7. Găsiți sistemul fundamental de soluții al următorului sistem de ecuații liniare:

Decizie. Aflați rangul matricei principale a sistemului:

Astfel, mulțimea de soluții a acestui sistem de ecuații formează un subspațiu liniar de dimensiune n - r= 5 - 2 = 3. Alegem ca minor de bază

.

Apoi, lăsând doar ecuațiile de bază (restul va fi o combinație liniară a acestor ecuații) și variabilele de bază (transferăm restul, așa-numitele variabile libere în dreapta), obținem un sistem simplificat de ecuații:

Presupunând X 3 = A, X 4 = b, X 5 = c, găsim

, .

Presupunând A= 1, b=c= 0, obținem prima soluție de bază; presupunând b= 1, a = c= 0, obținem a doua soluție de bază; presupunând c= 1, a = b= 0, obținem a treia soluție de bază. Ca rezultat, sistemul fundamental normal de soluții ia forma

Folosind sistemul fundamental, soluția generală a sistemului omogen poate fi scrisă ca

X = aE 1 + fi 2 + cE 3 . A

Să notăm câteva proprietăți ale soluțiilor sistemului neomogen de ecuații liniare AX=Bși relația lor cu sistemul omogen de ecuații corespunzător AX = 0.

Soluție generală a unui sistem neomogeneste egală cu suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător AX = 0 și a unei soluții particulare arbitrare a sistemului neomogen. Într-adevăr, să Y 0 este o soluție particulară arbitrară a unui sistem neomogen, adică AY 0 = B, și Y este soluția generală a unui sistem neomogen, adică. AY=B. Scăzând o egalitate din cealaltă, obținem
A(A-Y 0) = 0, adică A-Y 0 este soluția generală a sistemului omogen corespunzător TOPOR=0. Prin urmare, A-Y 0 = X, sau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Fie ca un sistem neomogen să aibă forma AX = B 1 + B 2 . Atunci soluția generală a unui astfel de sistem poate fi scrisă ca X = X 1 + X 2 , unde AX 1 = B 1 și AX 2 = B 2. Această proprietate exprimă proprietatea universală a oricăror sisteme liniare în general (algebric, diferențial, funcțional etc.). În fizică, această proprietate se numește principiul suprapunerii, în inginerie electrică și radio - principiul suprapunerii. De exemplu, în teoria circuitelor electrice liniare, curentul din orice circuit poate fi obținut ca o sumă algebrică a curenților provocați de fiecare sursă de energie separat.

Sistem omogen de ecuații liniare pe un câmp

DEFINIȚIE. Sistemul fundamental de soluții ale sistemului de ecuații (1) este un sistem nevid liniar independent al soluțiilor sale, al cărui interval liniar coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).

Rețineți că un sistem omogen de ecuații liniare care are doar o soluție zero nu are un sistem fundamental de soluții.

PROPUNEREA 3.11. Oricare două sisteme fundamentale de soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare constau din același număr de soluții.

Dovada. Într-adevăr, oricare două sisteme fundamentale de soluții ale sistemului omogen de ecuații (1) sunt echivalente și liniar independente. Prin urmare, prin Propunerea 1.12, rangurile lor sunt egale. Prin urmare, numărul de soluții incluse într-un sistem fundamental este egal cu numărul de soluții incluse în orice alt sistem fundamental de soluții.

Dacă matricea principală A a sistemului omogen de ecuații (1) este zero, atunci orice vector din este o soluție a sistemului (1); în acest caz, orice colecție de vectori liniar independenți din este un sistem fundamental de soluții. Dacă rangul coloanei matricei A este , atunci sistemul (1) are o singură soluție - zero; prin urmare, în acest caz, sistemul de ecuații (1) nu are un sistem fundamental de soluții.

TEOREMA 3.12. Dacă rangul matricei principale a sistemului omogen de ecuații liniare (1) este mai mic decât numărul de variabile , atunci sistemul (1) are un sistem fundamental de soluții format din soluții.

Dovada. Dacă rangul matricei principale A a sistemului omogen (1) este egal cu zero sau , atunci s-a arătat mai sus că teorema este adevărată. Prin urmare, se presupune mai jos că Presupunând , vom presupune că primele coloane ale matricei A sunt liniar independente. În acest caz, matricea A este echivalentă pe rând cu matricea cu trepte reduse, iar sistemul (1) este echivalent cu următorul sistem de ecuații în trepte reduse:

Este ușor de verificat că orice sistem de valori ale variabilelor libere ale sistemului (2) corespunde uneia și unei singure soluții a sistemului (2) și, prin urmare, a sistemului (1). În special, numai soluția zero a sistemului (2) și a sistemului (1) corespunde sistemului de valori zero.

În sistemul (2), vom atribui o valoare egală cu 1 uneia dintre variabilele libere, iar celorlalte variabile valori zero. Ca rezultat, obținem soluții ale sistemului de ecuații (2), pe care le scriem ca șiruri ale următoarei matrice C:

Sistemul de rânduri al acestei matrice este liniar independent. Într-adevăr, pentru orice scalari din egalitate

urmează egalitatea

și deci egalitate

Să demonstrăm că intervalul liniar al sistemului de rânduri al matricei C coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).

Soluție arbitrară a sistemului (1). Apoi vectorul

este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1) și

Sistem m ecuații liniare c n necunoscut este numit sistem de omogen liniar ecuații dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero. Un astfel de sistem arată astfel:

Unde şi ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numere date; x i- necunoscut.

Sistemul de ecuații liniare omogene este întotdeauna consistent, deoarece r(A) = r(). Are întotdeauna cel puțin zero ( banal) soluție (0; 0; ...; 0).

Să considerăm în ce condiții sistemele omogene au soluții diferite de zero.

Teorema 1. Un sistem de ecuații liniare omogene are soluții diferite de zero dacă și numai dacă rangul matricei sale principale r mai putine necunoscute n, adică r < n.

□ unu). Fie că sistemul de ecuații liniare omogene are o soluție diferită de zero. Deoarece rangul nu poate depăși dimensiunea matricei, este evident că r ≤ n. Lasa r = n. Apoi unul dintre minorii de mărime n n diferit de zero. Prin urmare, sistemul corespunzător de ecuații liniare are o soluție unică: , , . Prin urmare, nu există alte soluții decât cele banale. Deci, dacă există o soluție non-trivială, atunci r < n.

2). Lasa r < n. Atunci un sistem omogen, fiind consistent, este nedefinit. Prin urmare, are un număr infinit de soluții, adică are și soluții diferite de zero. ■

Luați în considerare un sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscut:

(2)

Teorema 2. sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscute (2) are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul său este egal cu zero: = 0.

□ Dacă sistemul (2) are o soluție diferită de zero, atunci = 0. Pentru la , sistemul are doar o soluție unică zero. Dacă = 0, atunci rangul r matricea principală a sistemului este mai mică decât numărul de necunoscute, adică r < n. Și, prin urmare, sistemul are un număr infinit de soluții, adică. are și soluții diferite de zero. ■

Indicați soluția sistemului (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ca o sfoară .

Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

1. Dacă sfoara este o soluție pentru sistemul (1), atunci șirul este și o soluție pentru sistemul (1).

2. Dacă liniile și - soluții ale sistemului (1), apoi pentru orice valori cu 1 și cu 2 combinația lor liniară este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1).

Puteți verifica validitatea acestor proprietăți prin înlocuirea lor directă în ecuațiile sistemului.

Din proprietățile formulate rezultă că orice combinație liniară de soluții la un sistem de ecuații liniare omogene este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

Sistem de soluții liniar independente e 1 , e 2 , …, e r numit fundamental, dacă fiecare soluție a sistemului (1) este o combinație liniară a acestor soluții e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Dacă rang r matricea de coeficienți pentru variabilele sistemului de ecuații liniare omogene (1) este mai mică decât numărul de variabile n, atunci orice sistem fundamental de soluții la sistemul (1) constă din n–r solutii.

Asa de decizie comună sistemul de ecuații liniare omogene (1) are forma:

Unde e 1 , e 2 , …, e r este orice sistem fundamental de soluții pentru sistemul (9), cu 1 , cu 2 , …, cu p- numere arbitrare, R = n–r.

Teorema 4. Soluție generală de sistem m ecuații liniare c n necunoscute este egală cu suma soluției generale a sistemului corespunzător de ecuații liniare omogene (1) și a unei soluții particulare arbitrare a acestui sistem (1).

Exemplu. Rezolvați sistemul

Decizie. Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are doar o soluție trivială: X = y = z = 0.

Exemplu. 1) Găsiți soluții generale și particulare ale sistemului

2) Găsiți un sistem fundamental de soluții.

Decizie. 1) Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are soluții diferite de zero.

Deoarece există o singură ecuație independentă în sistem

X + y – 4z = 0,

apoi din ea exprimam X =4z- y. De unde obținem un set infinit de soluții: (4 z- y, y, z) este soluția generală a sistemului.

La z= 1, y= -1, obținem o soluție particulară: (5, -1, 1). Punând z= 3, y= 2, obținem a doua soluție particulară: (10, 2, 3), etc.

2) În soluția generală (4 z- y, y, z) variabile yși z sunt libere, iar variabila X- dependent de ele. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, atribuim valori variabilelor libere: mai întâi y = 1, z= 0, atunci y = 0, z= 1. Obținem soluții particulare (-1, 1, 0), (4, 0, 1), care formează sistemul fundamental de soluții.

Ilustrații:

Orez. 1 Clasificarea sistemelor de ecuații liniare

Orez. 2 Studiul sistemelor de ecuații liniare

Prezentari:

Rezolvarea metodei SLAE_matrix

Soluție Metoda SLAU_Cramer

Soluție Metoda SLAE_Gauss

· Pachete pentru rezolvarea problemelor matematice Mathematica: căutarea soluției analitice și numerice a sistemelor de ecuații liniare

întrebări de testare:

1. Definiți o ecuație liniară

2. Ce fel de sistem face m ecuații liniare cu n necunoscut?

3. Ce se numește soluția sistemelor de ecuații liniare?

4. Ce sisteme se numesc echivalente?

5. Ce sistem se numește incompatibil?

6. Ce sistem se numește articulație?

7. Ce sistem se numește definit?

8. Ce sistem se numește nedefinit

9. Enumeraţi transformările elementare ale sistemelor de ecuaţii liniare

10. Enumeraţi transformările elementare ale matricelor

11. Formulați o teoremă privind aplicarea transformărilor elementare la un sistem de ecuații liniare

12. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda matricei?

13. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda lui Cramer?

14. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda Gauss?

15. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss

16. Descrieţi metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare

17. Descrieți metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

18. Descrieți metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

19. Ce sisteme pot fi rezolvate folosind matricea inversă?

20. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer

Literatură:

1. Matematică superioară pentru economiști: Manual pentru universități / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 p.

2. Curs general de matematică superioară pentru economiști: Manual. / Ed. IN SI. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 p.

3. Culegere de probleme de matematică superioară pentru economiști: Manual / Editat de V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 p.

4. V. E. Gmurman, Ghid pentru rezolvarea problemelor în teoria probabilității și statistica magmatică. - M.: Liceu, 2005. - 400 p.

5. Gmurman. VE Teoria Probabilității și Statistica Matematică. - M.: Liceu, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematică superioară în exerciții și sarcini. Partea 1, 2. - M .: Onix secolul XXI: Lumea și educația, 2005. - 304 p. Partea 1; – 416 p. Partea 2

7. Matematică în economie: Manual: În 2 ore / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Finanțe și statistică, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematică superioară: manual pentru elevi. universități - M .: Liceu, 2007. - 479 p.

Informații similare.

Exemplul 1. Găsiți o soluție generală și un sistem fundamental de soluții pentru sistem

Decizie găsiți cu un calculator. Algoritmul de soluție este același ca pentru sistemele de ecuații liniare neomogene.
Operând numai cu rânduri, găsim rangul matricei, minorul de bază; declarăm necunoscute dependente și libere și găsim soluția generală.

Primul și al doilea rând sunt proporționale, unul dintre ele va fi șters:

.
Variabile dependente - x 2, x 3, x 5, libere - x 1, x 4. Din prima ecuație 10x 5 = 0 găsim x 5 = 0, atunci
; .
Soluția generală arată astfel:

Găsim sistemul fundamental de soluții, care constă din (n-r) soluții. În cazul nostru, n=5, r=3, prin urmare, sistemul fundamental de soluții este format din două soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente. Pentru ca rândurile să fie liniar independente este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elementele rândurilor să fie egal cu numărul de rânduri, adică 2. Este suficient să se dea necunoscutele libere x 1 și x 4 valori din rândurile determinantului de ordinul doi, care este diferit de zero, și calculați x 2 , x 3 , x 5 . Cel mai simplu determinant diferit de zero este .
Deci prima soluție este: , al doilea - .
Aceste două decizii constituie sistemul fundamental de decizie. Rețineți că sistemul fundamental nu este unic (alții determinanți decât zero pot fi alcătuiți câte doriți).

Exemplul 2 . Aflați soluția generală și sistemul fundamental de soluții ale sistemului
Decizie.



,
rezultă că rangul matricei este 3 și este egal cu numărul de necunoscute. Aceasta înseamnă că sistemul nu are necunoscute gratuite și, prin urmare, are o soluție unică - una trivială.

Exercițiu . Explorează și rezolvă un sistem de ecuații liniare.
Exemplul 4

Exercițiu . Găsiți soluții generale și particulare pentru fiecare sistem.
Decizie. Scriem matricea principală a sistemului:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Aducem matricea într-o formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând dintr-o matrice cu un număr diferit de zero și adăugarea lui la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia la o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția. a sistemului.
Înmulțiți al 2-lea rând cu (-5). Să adăugăm a doua linie la prima:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Înmulțiți al 2-lea rând cu (6). Înmulțiți al treilea rând cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:
Aflați rangul matricei.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Minorul evidențiat are cel mai mare ordin (dintre minorii posibili) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala reciprocă), deci rang(A) = 2.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscut x 1, x 2, ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1, x 2 sunt dependente (de bază) și x 3, x 4, x 5 sunt libere.
Transformăm matricea, lăsând doar minorul de bază în stânga.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Prin metoda eliminării necunoscutelor, găsim soluție nebanală:
Am obținut relații care exprimă variabile dependente x 1 ,x 2 prin liber x 3 ,x 4 ,x 5 , adică am găsit decizie comună:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Găsim sistemul fundamental de soluții, care constă din (n-r) soluții.
În cazul nostru, n=5, r=2, prin urmare, sistemul fundamental de soluții este format din 3 soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente.
Pentru ca rândurile să fie liniar independente, este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elementele rândurilor să fie egal cu numărul de rânduri, adică 3.
Este suficient să dați necunoscutele libere x 3 ,x 4 ,x 5 valori din rândurile determinantului de ordinul 3, diferit de zero, și să calculați x 1 ,x 2 .
Cel mai simplu determinant diferit de zero este matricea de identitate.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Sarcina . Găsiți un set fundamental de soluții pentru un sistem omogen de ecuații liniare.

Lasa M 0 este mulțimea soluțiilor sistemului omogen (4) de ecuații liniare.

Definiția 6.12. Vectori cu 1 ,cu 2 , …, cu p, care sunt soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare, se numesc set fundamental de soluții(abreviat FNR) dacă

1) vectori cu 1 ,cu 2 , …, cu p liniar independent (adică niciunul dintre ele nu poate fi exprimat în termenii celorlalte);

2) orice altă soluție a unui sistem omogen de ecuații liniare poate fi exprimată în termeni de soluții cu 1 ,cu 2 , …, cu p.

Rețineți că dacă cu 1 ,cu 2 , …, cu p este oarecare f.n.r., apoi prin expresia k 1× cu 1 + k 2× cu 2 + … + kp× cu p poate descrie întregul set M 0 soluții la sistemul (4), așa că se numește vedere generală a soluției sistemului (4).

Teorema 6.6. Orice sistem omogen nedefinit de ecuații liniare are un set fundamental de soluții.

Modul de a găsi setul fundamental de soluții este următorul:

Aflați soluția generală a unui sistem omogen de ecuații liniare;

Construi ( n – r) soluții parțiale ale acestui sistem, în timp ce valorile necunoscutelor libere trebuie să formeze o matrice de identitate;

Scrieți forma generală a soluției incluse în M 0 .

Exemplul 6.5. Găsiți setul fundamental de soluții ale următorului sistem:

Decizie. Să găsim soluția generală a acestui sistem.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Acest sistem are cinci necunoscute ( n= 5), dintre care există două necunoscute principale ( r= 2), trei necunoscute libere ( n – r), adică setul fundamental de soluții conține trei vectori soluție. Să le construim. Noi avem X 1 și X 3 - principalele necunoscute, X 2 , X 4 , X 5 - necunoscute libere

Valorile necunoscutelor gratuite X 2 , X 4 , X 5 formează matricea de identitate E ordinul al treilea. Am acei vectori cu 1 ,cu 2 , cu 3 forma f.n.r. acest sistem. Atunci setul de soluții al acestui sistem omogen va fi M 0 = {k 1× cu 1 + k 2× cu 2 + k 3× cu 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Să aflăm acum condițiile de existență a soluțiilor nenule ale unui sistem omogen de ecuații liniare, cu alte cuvinte, condițiile de existență a unui set fundamental de soluții.

Un sistem omogen de ecuații liniare are soluții diferite de zero, adică este nedefinit dacă

1) rangul matricei principale a sistemului este mai mic decât numărul de necunoscute;

2) într-un sistem omogen de ecuații liniare, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute;

3) dacă într-un sistem omogen de ecuații liniare numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar determinantul matricei principale este egal cu zero (adică | A| = 0).

Exemplul 6.6. La ce valoare a parametrului A sistem omogen de ecuații liniare are soluții diferite de zero?

Decizie. Să compunem matricea principală a acestui sistem și să găsim determinantul acestuia: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinantul acestei matrice este egal cu zero atunci când A = –4.

Răspuns: –4.

7. Aritmetica n-spațiu vectorial dimensional

Noțiuni de bază

În secțiunile anterioare, am întâlnit deja conceptul de mulțime de numere reale dispuse într-o anumită ordine. Aceasta este o matrice de rând (sau matrice de coloană) și o soluție a unui sistem de ecuații liniare cu n necunoscut. Aceste informații pot fi rezumate.

Definiție 7.1. n-vector aritmetic dimensional se numește un set ordonat de n numere reale.

Mijloace A= (a 1, a 2, …, a n), unde un iО R, i = 1, 2, …, n este vederea generală a vectorului. Număr n numit dimensiune vector, iar numerele a i l-am sunat coordonate.

De exemplu: A= (1, –8, 7, 4, ) este un vector cu cinci dimensiuni.

Toate gata n vectorii -dimensionali se notează de obicei ca R n.

Definiție 7.2. Doi vectori A= (a 1, a 2, …, a n) și b= (b 1 , b 2 , …, b n) de aceeași dimensiune egal dacă și numai dacă coordonatele lor respective sunt egale, adică a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definiție 7.3.sumă Două n-vectori dimensionali A= (a 1, a 2, …, a n) și b= (b 1 , b 2 , …, b n) se numește vector A + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Definiție 7.4. muncă numar real k pe vector A= (a 1, a 2, …, a n) se numește vector k× A = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Definiție 7.5. Vector despre= (0, 0, …, 0) se numește zero(sau vector nul).

Este ușor de verificat că acțiunile (operațiile) de adunare a vectorilor și de înmulțire a acestora cu un număr real au următoarele proprietăți: A, b, c Î R n, " k, lОR:

1) A + b = b + A;

2) A + (b+ c) = (A + b) + c;

3) A + despre = A;

4) A+ (–A) = despre;

5) 1× A = A, 1 О R;

6) k×( l× A) = l×( k× A) = (l× k)× A;

7) (k + l)× A = k× A + l× A;

8) k×( A + b) = k× A + k× b.

Definiție 7.6. O multime de R n cu operatiile de adunare a vectorilor si inmultirea lor cu un numar real dat pe acesta se numeste spațiu vectorial n-dimensional aritmetic.