Cel mai simplu număr prim dintr-o singură cifră. Formule pentru numere prime
În acest articol vom studia numere prime și compuse. În primul rând, oferim definiții ale numerelor prime și compuse și, de asemenea, dăm exemple. După aceea, demonstrăm că există infinit de numere prime. În continuare, scriem un tabel de numere prime și luăm în considerare metodele de întocmire a unui tabel de numere prime, ne vom opri în mod deosebit cu atenție asupra metodei numite sita lui Eratosthenes. În concluzie, evidențiem principalele puncte care trebuie luate în considerare atunci când se demonstrează că un anumit număr este prim sau compus.
Navigare în pagină.
Numere prime și compuse - Definiții și exemple
Conceptele de numere prime și numere compuse se referă la cele care sunt mai mari decât unu. Astfel de numere întregi, în funcție de numărul divizorilor lor pozitivi, sunt împărțite în numere prime și numere compuse. Deci sa inteleg definițiile numerelor prime și compuse, trebuie să aveți o idee bună despre ce sunt divizorii și multiplii.
Definiție.
numere prime sunt numere întregi, mai mari decât unu, care au doar doi divizori pozitivi, și anume ei înșiși și 1 .
Definiție.
Numerele compuse sunt numere întregi mai mari decât unul care au cel puțin trei divizori pozitivi.
Separat, observăm că numărul 1 nu se aplică nici numerelor prime, nici numerelor compuse. Unitatea are un singur divizor pozitiv, care este numărul 1 însuși. Acest lucru distinge numărul 1 de toate celelalte numere întregi pozitive care au cel puțin doi divizori pozitivi.
Având în vedere că numerele întregi pozitive sunt , și că unitatea are un singur divizor pozitiv, pot fi date alte formulări ale definițiilor vocale ale numerelor prime și compuse.
Definiție.
numere prime sunt numere naturale care au doar doi divizori pozitivi.
Definiție.
Numerele compuse sunt numere naturale care au mai mult de doi divizori pozitivi.
Rețineți că fiecare număr întreg pozitiv mai mare decât unu este fie un număr prim, fie un număr compus. Cu alte cuvinte, nu există un singur întreg care să nu fie nici prim, nici compus. Aceasta rezultă din proprietatea de divizibilitate, care spune că numerele 1 și a sunt întotdeauna divizori ai oricărui număr întreg a.
Pe baza informațiilor din paragraful anterior, putem da următoarea definiție a numerelor compuse.
Definiție.
Se numesc numere naturale care nu sunt prime constitutiv.
Să aducem exemple de numere prime și compuse.
Ca exemple de numere compuse, dăm 6 , 63 , 121 și 6697 . Această afirmație necesită și o explicație. Numărul 6, pe lângă divizorii pozitivi 1 și 6, are și divizori 2 și 3, deoarece 6 \u003d 2 3, prin urmare, 6 este cu adevărat un număr compus. Divizorii pozitivi ai lui 63 sunt numerele 1 , 3 , 7 , 9 , 21 și 63 . Numărul 121 este egal cu produsul lui 11 11 , deci divizorii săi pozitivi sunt 1 , 11 și 121 . Și numărul 6697 este compus, deoarece divizorii săi pozitivi, pe lângă 1 și 6697, sunt și numerele 37 și 181.
În încheierea acestui paragraf, aș dori să atrag atenția și asupra faptului că numerele prime și numerele coprime sunt departe de același lucru.
Tabelul numerelor prime
Numerele prime, pentru comoditatea utilizării lor ulterioare, sunt înregistrate într-un tabel, care se numește tabelul numerelor prime. Mai jos este tabelul numerelor prime până la 1 000.
Apare o întrebare logică: „De ce am completat tabelul numerelor prime doar până la 1.000, nu este posibil să facem un tabel cu toate numerele prime existente”?
Să răspundem mai întâi la prima parte a acestei întrebări. Pentru majoritatea problemelor care implică numere prime, numerele prime până la o mie vor fi suficiente. În alte cazuri, cel mai probabil, va trebui să recurgeți la niște tehnici speciale de soluție. Deși, desigur, putem tabele numere prime până la un număr întreg pozitiv finit arbitrar mare, fie că este 10.000 sau 1.000.000.000 , în paragraful următor vom vorbi despre metode de compilare a tabelelor de numere prime, în special, vom analiza metoda numit.
Acum să ne uităm la posibilitatea (sau mai degrabă, imposibilitatea) de a compila un tabel cu toate numerele prime existente. Nu putem face un tabel cu toate numerele prime pentru că există infinit de numere prime. Ultima afirmație este o teoremă pe care o vom demonstra după următoarea teoremă auxiliară.
Teorema.
Cel mai mic divizor pozitiv al unui număr natural mai mare decât 1, altul decât 1, este un număr prim.
Dovada.
Lasa a este un număr natural mai mare decât unu, iar b este cel mai mic divizor non-un pozitiv al lui a. Să demonstrăm că b este un număr prim prin contradicție.
Să presupunem că b este un număr compus. Apoi există un divizor al numărului b (să-l notăm b 1 ), care este diferit atât de 1 cât și de b . Dacă mai ținem cont de faptul că valoarea absolută a divizorului nu depășește valoarea absolută a dividendului (știm acest lucru din proprietățile divizibilității), atunci condiția 1
Deoarece numărul a este divizibil cu b prin condiție și am spus că b este divizibil cu b 1 , atunci conceptul de divizibilitate ne permite să vorbim despre existența unor astfel de numere întregi q și q 1 care a=b q și b=b 1 q 1 , de unde a= b 1 ·(q 1 ·q) . Din aceasta rezultă că produsul a două numere întregi este un număr întreg, atunci egalitatea a=b 1 ·(q 1 ·q) indică faptul că b 1 este un divizor al numărului a . Luând în considerare inegalitățile de mai sus 1
Acum putem demonstra că există infinit de numere prime.
Teorema.
Există infinit de numere prime.
Dovada.
Să presupunem că nu este. Adică, să presupunem că există numai n numere prime, iar aceste numere prime sunt p 1 , p 2 , …, p n . Să arătăm că putem găsi întotdeauna un număr prim diferit de cele indicate.
Se consideră un număr p egal cu p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Este clar că acest număr este diferit de fiecare dintre numerele prime p 1 , p 2 , …, p n . Dacă numărul p este prim, atunci se demonstrează teorema. Dacă acest număr este compus, atunci, în virtutea teoremei anterioare, există un divizor prim al acestui număr (să-l notăm p n+1 ). Să arătăm că acest divizor nu coincide cu niciunul dintre numerele p 1 , p 2 , …, p n .
Dacă nu ar fi așa, atunci după proprietățile divizibilității, produsul p 1 ·p 2 ·…·p n ar fi divizibil cu p n+1 . Dar numărul p este și divizibil cu p n+1, egal cu suma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Aceasta implică faptul că al doilea termen al acestei sume, care este egal cu unu, trebuie să fie divizibil cu p n+1, iar acest lucru este imposibil.
Astfel, se demonstrează că întotdeauna se poate găsi un nou număr prim, care nu este cuprins între niciun număr de numere prime date în prealabil. Prin urmare, există infinit de numere prime.
Deci, datorită faptului că există infinit de numere prime, atunci când alcătuiesc tabele cu numere prime, ele se limitează întotdeauna de sus la un număr, de obicei 100, 1.000, 10.000 etc.
Sita lui Eratosthenes
Acum vom discuta modalități de compilare a tabelelor de numere prime. Să presupunem că trebuie să facem un tabel cu numere prime până la 100.
Cea mai evidentă metodă de rezolvare a acestei probleme este verificarea secvenţială a numerelor întregi pozitive, începând cu 2 şi terminând cu 100 , pentru prezenţa unui divizor pozitiv care este mai mare decât 1 şi mai mic decât numărul verificat (din proprietăţile divizibilităţii, avem să știți că valoarea absolută a divizorului nu depășește valoarea absolută a dividendului, diferită de zero). Dacă nu se găsește un astfel de divizor, atunci numărul verificat este prim și este introdus în tabelul numerelor prime. Dacă se găsește un astfel de divizor, atunci numărul care se verifică este compus, NU este introdus în tabelul numerelor prime. După aceea, există o tranziție la următorul număr, care este verificat în mod similar pentru prezența unui divizor.
Să descriem primii pași.
Începem cu numărul 2. Numărul 2 nu are alți divizori pozitivi decât 1 și 2. Prin urmare, este prim, prin urmare, îl introducem în tabelul numerelor prime. Aici trebuie spus că 2 este cel mai mic număr prim. Să trecem la numărul 3. Posibilul său divizor pozitiv, altul decât 1 și 3, este 2. Dar 3 nu este divizibil cu 2, prin urmare, 3 este un număr prim și, de asemenea, trebuie introdus în tabelul numerelor prime. Să trecem la numărul 4. Divizorii săi pozitivi, alții decât 1 și 4, pot fi 2 și 3, să-i verificăm. Numărul 4 este divizibil cu 2, prin urmare, 4 este un număr compus și nu trebuie să fie introdus în tabelul numerelor prime. Rețineți că 4 este cel mai mic număr compus. Să trecem la numărul 5. Verificăm dacă cel puțin unul dintre numerele 2 , 3 , 4 este divizorul său. Deoarece 5 nu este divizibil nici cu 2, nici cu 3, nici cu 4, este prim și trebuie scris în tabelul numerelor prime. Apoi, există o tranziție la numerele 6, 7 și așa mai departe până la 100.
Această abordare pentru compilarea unui tabel de numere prime este departe de a fi ideală. Într-un fel sau altul, el are dreptul să existe. Rețineți că, cu această metodă de construire a unui tabel de numere întregi, puteți utiliza criterii de divizibilitate, care vor accelera ușor procesul de găsire a divizorilor.
Există o modalitate mai convenabilă de a compila un tabel de numere prime numite . Cuvântul „sită” prezent în nume nu este întâmplător, deoarece acțiunile acestei metode ajută, parcă, la „cernerea” prin sita numerelor întregi din Eratosthenes, unități mari, pentru a separa cele simple de cele compuse.
Să arătăm sita lui Eratostene în acțiune atunci când alcătuim un tabel cu numere prime până la 50.
În primul rând, notăm numerele 2, 3, 4, ..., 50 în ordine.
Primul număr scris 2 este prim. Acum, de la numărul 2, ne deplasăm succesiv la dreapta cu două numere și tăiem aceste numere până ajungem la sfârșitul tabelului de numere compilat. Deci, toate numerele care sunt multipli de doi vor fi tăiate.
Primul număr netașat după 2 este 3. Acest număr este prim. Acum, de la numărul 3, ne deplasăm succesiv la dreapta cu trei numere (ținând cont de numerele deja tăiate) și le tăiem. Deci, toate numerele care sunt multipli de trei vor fi tăiate.
Primul număr netașat după 3 este 5. Acest număr este prim. Acum, de la numărul 5, ne deplasăm succesiv la dreapta cu 5 numere (luăm în considerare și numerele tăiate mai devreme) și le barăm. Deci, toate numerele care sunt multipli de cinci vor fi tăiate.
Apoi, tăiem numerele care sunt multiplii lui 7, apoi multiplii lui 11 și așa mai departe. Procesul se termină când nu mai sunt numere de tăiat. Mai jos este un tabel completat al primelor până la 50 obținute folosind sita lui Eratosthenes. Toate numerele neîncrucișate sunt prime și toate numerele tăiate sunt compuse.
Să formulăm și să demonstrăm o teoremă care va grăbi procesul de compilare a unui tabel de numere prime folosind sita lui Eratostene.
Teorema.
Cel mai mic divizor non-unic pozitiv al unui număr compus a nu depășește , unde este de la a .
Dovada.
Fie b cel mai mic divizor al numărului compus a care diferă de unitate (numărul b este prim, ceea ce decurge din teorema demonstrată chiar la începutul paragrafului precedent). Atunci există un număr întreg q astfel încât a=b q (aici q este un număr întreg pozitiv, care rezultă din regulile înmulțirii numerelor întregi) și (când b>q, condiția ca b este cel mai mic divizor al lui a este încălcată, întrucât q este și divizor al lui a datorită egalității a=q b ). Înmulțind ambele părți ale inegalității cu un pozitiv și mai mare decât un întreg b (ne este permis să facem acest lucru), obținem , de unde și .
Ce ne oferă teorema demonstrată cu privire la sita lui Eratostene?
În primul rând, ștergerea numerelor compuse care sunt multipli ai unui număr prim b ar trebui să înceapă cu un număr egal cu (asta rezultă din inegalitatea ). De exemplu, tăierea numerelor care sunt multipli de doi ar trebui să înceapă cu numărul 4, multiplii de trei - cu numărul 9, multiplii de cinci - cu numărul 25 și așa mai departe.
În al doilea rând, compilarea unui tabel de numere prime până la numărul n folosind sita lui Eratostene poate fi considerată completă atunci când toate numerele compuse care sunt multipli de numere prime care nu depășesc sunt tăiate. În exemplul nostru, n=50 (pentru că tabulăm numere prime până la 50 ) și , deci sita lui Eratostene trebuie să elimine toți multiplii compuși ai primelor 2 , 3 , 5 și 7 care nu depășesc rădăcina pătrată aritmetică a lui 50 . Adică, nu mai trebuie să căutăm și să tăiem numerele care sunt multipli de numere prime 11 , 13 , 17 , 19 , 23 și așa mai departe până la 47 , deoarece acestea vor fi deja tăiate ca multipli ai numerelor prime mai mici 2 , 3 , 5 și 7 .
Acest număr este prim sau compus?
Unele sarcini necesită a afla dacă un anumit număr este prim sau compus. În cazul general, această sarcină este departe de a fi simplă, mai ales pentru numerele a căror înregistrare constă dintr-un număr semnificativ de caractere. În cele mai multe cazuri, trebuie să căutați o modalitate specifică de a o rezolva. Cu toate acestea, vom încerca să dăm direcție trenului de gândire pentru cazuri simple.
Fără îndoială, se poate încerca să folosească criterii de divizibilitate pentru a demonstra că un anumit număr este compus. Dacă, de exemplu, un criteriu de divizibilitate arată că numărul dat este divizibil cu un număr întreg pozitiv mai mare decât unu, atunci numărul inițial este compus.
Exemplu.
Demonstrați că numărul 898 989 898 989 898 989 este compus.
Decizie.
Suma cifrelor acestui număr este 9 8+9 9=9 17 . Deoarece numărul egal cu 9 17 este divizibil cu 9, atunci după criteriul divizibilității cu 9 se poate susține că numărul inițial este și divizibil cu 9. Prin urmare, este compozit.
Un dezavantaj semnificativ al acestei abordări este că criteriile de divizibilitate nu ne permit să dovedim simplitatea unui număr. Prin urmare, atunci când verificați un număr dacă este prim sau compus, trebuie să procedați diferit.
Cea mai logică abordare este de a enumera toți divizorii posibili ai unui număr dat. Dacă niciunul dintre divizorii posibili nu este un divizor adevărat al unui număr dat, atunci acel număr este prim; în caz contrar, este compus. Din teoremele demonstrate în paragraful anterior rezultă că divizorii unui număr dat a trebuie căutați între numerele prime care nu depășesc . Astfel, numărul dat a poate fi împărțit succesiv la numere prime (care sunt convenabile de luat din tabelul numerelor prime), încercând să găsim divizorul numărului a. Dacă se găsește un divizor, atunci numărul a este compus. Dacă printre numerele prime care nu depășesc , nu există niciun divizor al numărului a, atunci numărul a este prim.
Exemplu.
Număr 11 723 simplu sau compus?
Decizie.
Să aflăm la ce număr prim pot fi divizorii numărului 11 723. Pentru aceasta, estimam.
Este destul de evident că 
, din 200 2 \u003d 40 000 și 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью compararea numerelor). Astfel, posibilii divizori primi ai lui 11.723 sunt mai mici de 200. Acest lucru ne simplifică deja mult sarcina. Dacă nu am ști asta, atunci ar trebui să sortăm toate numerele prime nu până la 200, ci până la numărul 11 723 .
Dacă doriți, puteți estima mai precis. Din moment ce 108 2 \u003d 11 664 și 109 2 \u003d 11 881, apoi 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Astfel, oricare dintre numerele prime mai mici de 109 este potențial un divizor prim al numărului dat 11.723.
Acum vom împărți succesiv numărul 11 723 în numere prime 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 47 , 53 , 6 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Dacă numărul 11 723 este împărțit în întregime la unul dintre numerele prime scrise, atunci va fi compus. Dacă nu este divizibil cu niciunul dintre numerele prime scrise, atunci numărul inițial este prim.
Nu vom descrie întreg acest proces monoton și monoton de divizare. Să spunem doar că 11 723
Lista divizorilor. Prin definiție, numărul n este prim numai dacă nu este divizibil egal cu 2 și orice numere întregi, altele decât 1 și el însuși. Formula de mai sus elimină pașii inutile și economisește timp: de exemplu, după ce ați verificat dacă un număr este divizibil cu 3, nu este nevoie să verificați dacă este divizibil cu 9.
- Funcția floor(x) rotunjește x la cel mai apropiat număr întreg mai mic sau egal cu x.
Aflați despre aritmetica modulară. Operația „x mod y” (mod este prescurtarea cuvântului latin „modulo”, care înseamnă „modul”) înseamnă „împarte x la y și găsiți restul”. Cu alte cuvinte, în aritmetica modulară, la atingerea unei anumite valori, care se numește modul, numerele „se întorc” înapoi la zero. De exemplu, un ceas măsoară timpul în modulul 12: arată ora 10, 11 și 12 și apoi revine la 1.
- Multe calculatoare au o cheie mod. Sfârșitul acestei secțiuni arată cum se calculează manual această funcție pentru numere mari.
Aflați despre capcanele Micii Teoreme a lui Fermat. Toate numerele pentru care nu sunt îndeplinite condițiile de testare sunt compuse, dar numerele rămase sunt doar probabil sunt considerate simple. Dacă doriți să evitați rezultatele incorecte, căutați nîn lista „numerelor Carmichael” (numerele compuse care îndeplinesc acest test) și „numerelor Fermat pseudo-prime” (aceste numere îndeplinesc condițiile testului doar pentru unele valori A).
Dacă este convenabil, utilizați testul Miller-Rabin. Deși această metodă este destul de greoaie pentru calculele manuale, este adesea folosită în programele de calculator. Oferă viteză acceptabilă și dă mai puține erori decât metoda Fermat. Un număr compus nu va fi luat ca număr prim dacă se fac calcule pentru mai mult de ¼ de valori A. Dacă selectați aleatoriu valori diferite A iar pentru toate testul va da un rezultat pozitiv, putem presupune cu un grad destul de ridicat de încredere că n este un număr prim.
Pentru numere mari, utilizați aritmetica modulară. Dacă nu aveți un calculator de mod la îndemână sau dacă calculatorul dvs. nu este conceput pentru a gestiona numere atât de mari, utilizați proprietățile puterii și aritmetica modulară pentru a vă ușura calculele. Mai jos este un exemplu pentru 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:
- Rescrieți expresia într-o formă mai convenabilă: mod 50. Când se calculează manual, pot fi necesare simplificări suplimentare.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Aici am luat în considerare proprietatea înmulțirii modulare.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\displaystyle=49).
M. Gardner povestește plin de culoare cum a fost făcută această observație în Mathematical Leisure (M., Mir, 1972). Iată această piesă (pp. 413-417):
În funcție de aranjarea numerelor întregi, numerele prime pot forma un model sau altul. Odată, matematicianul Stanislav M. Ulam a trebuit să participe la un raport foarte lung și foarte plictisitor, în cuvintele sale. Ca să se distreze cumva, a tras pe o foaie de hârtie linii verticale și orizontale și a vrut să înceapă să întocmească studii de șah, dar apoi s-a răzgândit și a început să numere intersecțiile, punând 1 în centru și mișcându-se în sens invers acelor de ceasornic în spirală. . Fără niciun motiv ascuns, a înconjurat toate numerele prime. Curând, spre surprinderea lui, cercurile au început să se alinieze de-a lungul liniilor drepte cu o tenacitate uimitoare. Pe fig. 203 arată cum arăta spirala cu o sută de primele numere (de la 1 la 100). [ Aceasta este o versiune trunchiată în două rânduri a figurii 1 de mai sus, așa că nu o includ aici. — E.G.A.] Pentru comoditate, numerele sunt înscrise în celule și nu stau la intersecția liniilor.
Aproape de centru, alinierea primelor de-a lungul liniilor drepte ar putea fi încă așteptată, deoarece densitatea primelor este inițial mare și toate, cu excepția numărului 2, sunt impare. Dacă celulele tablei de șah sunt numerotate în spirală, atunci toate numerele impare vor cădea pe celulele de aceeași culoare. Luând 17 pioni (corespunzând la 17 numere prime care nu depășesc 64) și așezându-i la întâmplare pe pătrate de aceeași culoare, veți constata că pionii sunt aliniați de-a lungul liniilor diagonale. Cu toate acestea, nu exista niciun motiv să ne așteptăm ca în regiunea numerelor mari, unde densitatea numerelor prime este mult mai mică, acestea să se alinieze și de-a lungul liniilor drepte. Ulam era interesat de cum ar arăta spirala lui dacă ar fi extinsă la câteva mii de numere prime.
În departamentul de calcul al laboratorului Los Alamos, unde lucra Ulam, era o bandă magnetică pe care erau înregistrate 90 de milioane de numere prime. Ulam, împreună cu Myron L. Stein și Mark B. Wells, au scris un program pentru computerul MANIAC care permitea tipărirea în spirală a numerelor întregi consecutive de la 1 la 65.000. Este afișat modelul rezultat (uneori numit „fața de masă Ulam”). în fig. 204. [ Și aceasta este o versiune extinsă a figurii 2 de mai sus, așa că o aduc. — E.G.A.] Acordați atenție faptului că, chiar și la marginea imaginii, numerele prime continuă să se potrivească cu ascultare pe linii drepte.
În primul rând, grupurile de numere prime de pe diagonale sunt izbitoare, dar o altă tendință a numerelor prime este destul de remarcabilă - alinierea de-a lungul liniilor verticale și orizontale, pe care toate celulele fără numere prime sunt ocupate de numere impare. Numerele prime care se încadrează pe linii extinse dincolo de un segment care conține numere consecutive situate pe o tură a spiralei pot fi considerate valori ale unor expresii pătratice începând cu termenul 4 X². De exemplu, succesiunea numerelor prime 5, 19, 41, 71, aflate pe una dintre diagonalele din fig. 204, sunt valorile luate de trinomul pătratic 4 X² + 10 X+ 5 la X egal cu 0, 1, 2 şi 3. Din fig. 204 se poate observa că expresiile pătratice care iau valori prime sunt „sărace” (dând puține numere prime) și „bogate” și că „placeri” întregi de numere prime sunt observate pe liniile „bogate”.
Începând spirala nu de la 1, ci de la un alt număr, obținem alte expresii pătratice pentru numere prime aliniate de-a lungul liniilor drepte. Luați în considerare o spirală care începe cu numărul 17 (Fig. 205, stânga). Numerele de-a lungul diagonalei principale care merg de la „nord-est” la „sud-vest” sunt generate de trinomul pătratic 4 X² + 2 X+ 17. Înlocuirea valorilor pozitive X, obținem jumătatea inferioară a diagonalei prin înlocuirea valorilor negative - partea de sus. Dacă luăm în considerare întreaga diagonală și rearanjam numerele prime în ordine crescătoare, se dovedește (și aceasta este o surpriză plăcută) că toate numerele sunt descrise printr-o formulă mai simplă X² + X+ 17. Aceasta este una dintre numeroasele formule „generatoare” pentru numere prime descoperite în secolul al XVIII-lea de marele matematician Leonhard Euler. La X, care ia valori de la 0 la 15, dă numai numere prime. Prin urmare, extinzând diagonala până umple pătratul de 16x16, vedem că întreaga diagonală este umplută cu numere prime.
Cel mai faimos trinom pătratic al lui Euler, care produce numere prime, X² + X+ 41, se va dovedi dacă începeți spirala cu numărul 41 (Fig. 205, dreapta). Acest trinom vă permite să obțineți 40 de numere prime consecutive care umple întreaga diagonală a pătratului 0 de 40 × 4! Se știe de mult că dintre primele 2398 de valori luate de acest trinom, exact jumătate sunt simple. După ce au trecut prin toate valorile celebrului trinom, care nu depășește 10.000.000, Ulam, Stein și Wells au descoperit că proporția numerelor prime dintre ele este 0,475... . Matematicienii ar dori foarte mult să descopere o formulă care să vă permită să ajungeți la toata lumeaîn general X diverse numere prime, dar până acum nu a fost descoperită o astfel de formulă. Poate că nu există.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Orez. 205. Diagonale umplute cu numere prime generate de trinoame pătratice X² + X+ 17 (stânga) și X² + X+ 41 (dreapta). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Spirala Ulam a ridicat multe întrebări noi despre tipare și aleatorie în distribuția numerelor prime. Există linii care conțin infinit de numere prime? Care este densitatea maximă de distribuție a numerelor prime de-a lungul liniilor? Distribuțiile de densitate ale numerelor prime din cadranele feței de masă ale lui Ulam diferă semnificativ, dacă presupunem că aceasta continuă la infinit? Spirala Ulam este distractivă, dar ar trebui luată în serios.
Un număr prim este un număr natural care este divizibil doar cu el însuși și unul.
Restul numerelor se numesc compuse.
Numere naturale simple
Dar nu toate numerele naturale sunt prime.
Numerele naturale simple sunt doar acelea care sunt divizibile numai prin ele însele și cu unul.
Exemple de numere prime:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
numere întregi simple
Rezultă că numai numerele naturale sunt numere prime.
Aceasta înseamnă că numerele prime sunt în mod necesar naturale.
Dar toate numerele naturale sunt și numere întregi.
Astfel, toate numerele prime sunt numere întregi.
Exemple de numere prime:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Chiar și numere prime
Există un singur număr prim par și acesta este doi.
Toate celelalte numere prime sunt impare.
De ce un număr par mai mare de doi nu poate fi număr prim?
Dar pentru că orice număr par mai mare de doi va fi divizibil prin el însuși, nu cu unu, ci cu doi, adică un astfel de număr va avea întotdeauna trei divizori și, eventual, mai mulți.