Intrări etichetate „găsește cea mai mică perioadă pozitivă a unei funcții”. Cum să găsiți cea mai mică perioadă pozitivă a unei funcții
Minim pozitiv perioadă funcțiiîn trigonometrie notată cu f. Se caracterizează prin cea mai mică valoare a unui număr pozitiv T, adică valoarea sa mai mică T nu va mai fi perioadă ohm funcții .
Vei avea nevoie
- - carte de referinta matematica.
Instruire
1. Vă rugăm să rețineți că perioadă funcția ică nu are invariabil un minim corect perioadă. Deci, de exemplu, ca perioadă dar continuu funcții poate fi necondiționat orice număr, ceea ce înseamnă că este posibil să nu aibă cel mai mic pozitiv perioadă A. Există și instabile perioadă ical funcții, care nu au cel mai mic regulat perioadă A. Cu toate acestea, în cele mai multe cazuri, minimul corect perioadă la perioadă funcțiile ice sunt încă acolo.
2. Minim perioadă sinusul este 2?. Consultați acest exemplu pentru confirmare. funcții y=sin(x). Fie T arbitrară perioadă ohm al sinusului, în acest caz sin(a+T)=sin(a) pentru orice valoare a lui a. Dacă a=?/2, se dovedește că sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Totuși, sin(x)=1 numai dacă x=?/2+2?n, unde n este un număr întreg. De aici rezultă că T=2?n, ceea ce înseamnă că cea mai mică valoare pozitivă a lui 2?n este 2?.
3. Corect minim perioadă cosinusul este, de asemenea, egal cu 2?. Consultați acest exemplu pentru confirmare. funcții y=cos(x). Dacă T este arbitrară perioadă cosinus, atunci cos(a+T)=cos(a). În cazul în care a=0, cos(T)=cos(0)=1. Având în vedere acest lucru, cea mai mică valoare pozitivă a lui T pentru care cos(x)=1 este 2?.
4. Având în vedere faptul că 2? - perioadă sinus și cosinus, aceeași valoare va fi perioadă ohm al cotangentei, precum și tangentei, totuși, nu minimul, din faptul că, după cum se știe, minimul corect perioadă tangenta si cotangenta este egala?. Veți putea verifica acest lucru privind următorul exemplu: punctele corespunzătoare numerelor (x) și (x +?) de pe cercul trigonometric au o locație diametral opusă. Distanța de la punctul (x) la punctul (x + 2?) corespunde cu jumătate de cerc. Prin definiția tangentei și cotangentei, tg(x+?)=tgx și ctg(x+?)=ctgx, ceea ce înseamnă că minimul corect perioadă cotangenta si tangenta este egala?.
O funcție periodică este o funcție care își repetă valorile după o perioadă diferită de zero. Perioada unei funcții este un număr a cărui adăugare la argumentul funcției nu modifică valoarea funcției.
Vei avea nevoie
- Cunoștințe de matematică elementară și începuturile anchetei.
Instruire
1. Să notăm perioada funcției f(x) cu numărul K. Sarcina noastră este să găsim această valoare a lui K. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă că funcția f(x), folosind definiția unei funcții periodice, echivalează f (x+K)=f(x).
2. Rezolvăm ecuația rezultată pentru K necunoscut, ca și cum x ar fi o constantă. În funcție de valoarea lui K, vor exista mai multe opțiuni.
3. Dacă K>0, atunci aceasta este perioada funcției dvs. Dacă K=0, atunci funcția f(x) nu este periodică. Dacă soluția ecuației f(x+K)=f(x) nu există pentru orice K nu este egal cu zero, atunci o astfel de funcție se numește aperiodă și, de asemenea, nu are perioadă.
Videoclipuri asemănătoare
Notă!
Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, iar toate funcțiile polinomiale cu grad mai mare de 2 sunt aperiodice.
Sfaturi utile
Perioada unei funcții formată din 2 funcții periodice este cel mai mic multiplu comun al perioadelor acestor funcții.
Dacă luăm în considerare punctele dintr-un cerc, atunci punctele x, x + 2π, x + 4π etc. se potrivesc între ele. Deci trigonometric funcții pe o linie dreaptă periodic repetă sensul lor. Dacă perioada este celebră funcții, este permis să construiți o funcție pe această perioadă și să o repetați pe altele.
Instruire
1. Perioada este un număr T astfel încât f(x) = f(x+T). Pentru a găsi perioada, rezolvați ecuația corespunzătoare, înlocuind x și x + T ca argument. În acest caz, se folosesc perioade mai cunoscute pentru funcții. Pentru funcțiile sinus și cosinus, perioada este 2π, iar pentru tangentă și cotangentă, este π.
2. Fie dată funcția f(x) = sin^2(10x). Se consideră expresia sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Utilizați formula pentru a reduce gradul: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Apoi obțineți 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) sau cos 20x = cos (20x+20T). Știind că perioada cosinusului este 2π, 20T = 2π. Prin urmare, T = π/10. T este perioada minimă corectă, iar funcția se va repeta după 2T, și după 3T, iar în cealaltă direcție de-a lungul axei: -T, -2T etc.
Sfaturi utile
Folosiți formule pentru a reduce gradul unei funcții. Dacă sunteți mai familiarizat cu perioadele unor funcții, încercați să reduceți funcția existentă la cele celebre.
O funcție ale cărei valori se repetă după ce este apelată un anumit număr periodic. Adică, indiferent de câte perioade adăugați la valoarea lui x, funcția va fi egală cu același număr. Orice căutare de funcții periodice începe cu căutarea celei mai mici perioade, pentru a nu face muncă suplimentară: este suficient să investighezi toate proprietățile pe un segment egal cu perioada.
Instruire
1. Utilizați definiția periodic funcții. Toate valorile x în funcțiiînlocuiți cu (x+T), unde T este perioada minimă funcții. Rezolvați ecuația rezultată, considerând T ca un număr necunoscut.
2. Ca rezultat, veți obține o anumită identitate, încercați să găsiți cea mai mică perioadă din ea. Să zicem, dacă se obține egalitatea sin (2T) = 0,5, deci, 2T = P / 6, adică T = P / 12.
3. Dacă egalitatea se dovedește a fi corectă numai la T=0 sau parametrul T depinde de x (să zicem, a rezultat egalitatea 2T=x), trageți concluzia că funcția nu este periodică.
4. Pentru a găsi perioada minimă funcții conţinând o singură expresie trigonometrică, folosiţi regula. Dacă expresia conține sin sau cos, perioada pentru funcții va fi 2P, iar pentru funcțiile tg, ctg setează perioada minimă P. Vă rugăm să rețineți că funcția nu trebuie ridicată la nicio putere, ci variabila de sub semn funcții nu trebuie înmulțit cu un număr bun de la 1.
5. Dacă cos sau păcat înăuntru funcții construit la o putere uniformă, reduceți perioada 2P la jumătate. Grafic, îl puteți vedea astfel: grafic funcții, situat sub axa x, va fi reflectat simetric în sus, în consecință funcția se va repeta de două ori mai des.
6. Pentru a găsi perioada minimă funcțiiîn ciuda faptului că unghiul x este înmulțit cu un număr, procedați după cum urmează: determinați perioada tipică a acesteia funcții(să zicem, pentru că este 2P). Apoi împărțiți-l la factorul înainte de variabilă. Aceasta va fi perioada minimă dorită. Scăderea perioadei este perfect vizibilă pe grafic: se micșorează exact de câte ori se înmulțește unghiul de sub semnul trigonometric. funcții .
7. Vă rugăm să rețineți că dacă x este precedat de un număr fracționar mai mic decât 1, perioada crește, adică graficul, dimpotrivă, este întins.
8. Dacă expresia ta are două periodice funcțiiînmulțit unul cu celălalt, găsiți perioada minimă pentru fiecare separat. După aceea, determinați multiplicatorul total minim pentru ei. Să presupunem că pentru perioadele P și 2/3P factorul comun minim va fi 3P (se împarte fără rest atât la P, cât și la 2/3P).
Calculul salariului mediu al angajaților este necesar pentru a calcula beneficiile de invaliditate temporară, pentru a plăti călătoriile de afaceri. Salariul mediu al experților se calculează pe baza orelor efective lucrate și depinde de salariul, indemnizațiile și bonusurile specificate în tabelul de personal.
Vei avea nevoie
- - personal;
- - calculator;
- - dreapta;
- - calendar de productie;
- - o fișă de pontaj sau un act de muncă efectuat.
Instruire
1. Pentru a calcula salariul mediu al unui angajat, stabiliți mai întâi perioada pentru care trebuie să îl calculați. Ca de obicei, această perioadă este de 12 luni calendaristice. Dar dacă angajatul lucrează la întreprindere mai puțin de un an, de exemplu, 10 luni, atunci trebuie să găsiți câștigul mediu pentru timpul în care expertul își îndeplinește funcția de muncă.
2. Acum determinați suma salariilor care i-au fost efectiv acumulate pentru perioada de facturare. Pentru a face acest lucru, utilizați statul de plată, conform căruia angajatului i s-au acordat toate plățile cuvenite. Dacă este de neconceput să folosiți aceste documente, atunci înmulțiți salariul lunar, bonusurile, indemnizațiile cu 12 (sau numărul de luni în care angajatul lucrează la întreprindere dacă este înregistrat în companie de mai puțin de un an).
3. Calculați câștigul mediu zilnic. Pentru a face acest lucru, împărțiți suma salariului pentru perioada de facturare la numărul mediu de zile dintr-o lună (în prezent este de 29,4). Împărțiți totalul rezultat la 12.
4. După aceea, determinați numărul de ore efectiv lucrate. Pentru a face acest lucru, utilizați foaia de pontaj. Acest document trebuie completat de un cronometru, ofițer de personal sau alt angajat care are acest lucru specificat în responsabilitățile lor de muncă.
5. Înmulțiți numărul de ore efectiv lucrate cu câștigul mediu zilnic. Suma primită este salariul mediu al unui expert pe an. Împărțiți rezultatul la 12. Acesta va fi venitul mediu lunar. Acest calcul este utilizat pentru angajații al căror salariu depinde de orele efective lucrate.
6. Atunci când salariatului i se acordă salariu la bucată, atunci se înmulțește tariful (indicat în tabelul de personal și determinat prin contractul de muncă) cu numărul de produse produse (se folosește actul de muncă efectuat sau alt document în care acesta este consemnat).
Notă!
Nu confundați funcțiile y=cos(x) și y=sin(x) - având o perioadă identică, aceste funcții sunt afișate diferit.
Sfaturi utile
Pentru o mai mare claritate, desenați o funcție trigonometrică pentru care se calculează perioada corectă minimă.
Instruire
Vă rugăm să rețineți că perioadă ic nu are întotdeauna cel mai mic pozitiv perioadă. Deci, de exemplu, ca perioadă dar constantă funcții poate fi absolut orice număr și , este posibil să nu aibă cel mai mic pozitiv perioadă A. Există și instabile perioadă ical funcții, care nu au cel mai mic pozitiv perioadă A. Cu toate acestea, în cele mai multe cazuri, cel mai mic pozitiv perioadă la perioadă ic este încă acolo.
Cel mai puţin perioadă sinusul este 2?. Luați în considerare acest lucru cu un exemplu funcții y=sin(x). Fie T arbitrară perioadă ohm al sinusului, în acest caz sin(a+T)=sin(a) pentru orice valoare a lui a. Dacă a=?/2, se dovedește că sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Totuși, sin(x)=1 numai dacă x=?/2+2?n, unde n este un număr întreg. Rezultă că T=2?n și, prin urmare, cea mai mică valoare pozitivă 2?n 2?.
Cel mai puțin pozitiv perioadă cosinusul este, de asemenea, egal cu 2?. Luați în considerare dovada acestui lucru cu un exemplu funcții y=cos(x). Dacă T este arbitrară perioadă cosinus, atunci cos(a+T)=cos(a). În cazul în care a=0, cos(T)=cos(0)=1. Având în vedere acest lucru, cea mai mică valoare pozitivă a lui T, la care cos(x)=1, este 2?.
Având în vedere faptul că 2? - perioadă sinus și cosinus, va fi la fel perioadă ohm al cotangentei, precum și tangentei, dar nu minimul, deoarece, ca , cel mai mic pozitiv perioadă tangenta si cotangenta este egala?. Puteți verifica acest lucru luând în considerare următoarele: punctele corespunzătoare lui (x) și (x +?) de pe un cerc trigonometric au o locație diametral opusă. Distanța de la punctul (x) la punctul (x + 2?) corespunde cu jumătate de cerc. Prin definiția tangentei și cotangentei, tg(x+?)=tgx și ctg(x+?)=ctgx, ceea ce înseamnă că cel mai puțin pozitiv perioadă cotangentă și ?.
Notă
Nu confundați funcțiile y=cos(x) și y=sin(x) - având aceeași perioadă, aceste funcții sunt afișate diferit.
Sfaturi utile
Pentru o mai mare claritate, desenați o funcție trigonometrică pentru care se calculează cea mai mică perioadă pozitivă.
Surse:
- Manual de matematica, matematica scolara, matematica superioara
O funcție periodică este o funcție care își repetă valorile după o perioadă diferită de zero. Perioada unei funcții este un număr a cărui adăugare la argumentul funcției nu modifică valoarea funcției.
Vei avea nevoie
- Cunoașterea matematicii elementare și începuturile analizei.
Instruire
Videoclipuri asemănătoare
Notă
Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, iar toate funcțiile polinomiale cu grad mai mare de 2 sunt aperiodice.
Sfaturi utile
Perioada unei funcții formată din două funcții periodice este cel mai mic multiplu comun al perioadelor acestor funcții.
Dacă luăm în considerare punctele dintr-un cerc, atunci punctele x, x + 2π, x + 4π etc. se potrivesc între ele. Deci trigonometric funcții pe o linie dreaptă periodic repetă sensul lor. Dacă perioada este cunoscută funcții, puteți construi o funcție pe această perioadă și o puteți repeta pe altele.
Instruire
Fie dată funcția f(x) = sin^2(10x). Se consideră sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Utilizați formula de reducere: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Apoi obțineți 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) sau cos 20x = cos (20x+20T). Știind că perioada cosinusului este 2π, 20T = 2π. Prin urmare, T = π/10. T este cea mai mică perioadă, iar funcția se va repeta prin 2T și prin 3T și în lateral de-a lungul axei: -T, -2T etc.
Sfaturi utile
Folosiți formule pentru a reduce gradul unei funcții. Dacă știți deja perioadele oricăror funcții, încercați să reduceți funcția existentă la cele cunoscute.
Se numește o funcție ale cărei valori se repetă după un anumit număr periodic. Adică, indiferent de câte perioade adăugați la valoarea lui x, funcția va fi egală cu același număr. Orice studiu al funcțiilor periodice începe cu căutarea celei mai mici perioade pentru a nu face muncă suplimentară: este suficient să studiezi toate proprietățile pe un segment egal cu perioada.
Instruire
Ca urmare, veți obține o anumită identitate, încercați să găsiți perioada minimă de la ea. De exemplu, dacă obțineți egalitatea sin (2T) = 0,5, prin urmare, 2T = P / 6, adică T = P / 12.
Dacă egalitatea se dovedește a fi adevărată numai atunci când T = 0 sau parametrul T depinde de x (de exemplu, a rezultat egalitatea 2T = x), asigurați-vă că funcția nu este periodică.
Pentru a găsi cea mai scurtă perioadă funcții conţinând o singură expresie trigonometrică, utilizaţi . Dacă expresia conține sin sau cos, perioada pentru funcții va fi 2P, iar pentru funcțiile tg, ctg setează cea mai mică perioadă P. Vă rugăm să rețineți că funcția nu trebuie ridicată la nicio putere, iar variabila sub semnul funcții nu trebuie înmulțit cu un alt număr decât 1.
Dacă cos sau păcat înăuntru funcții ridicată la o putere uniformă, înjumătățiți perioada de 2P. Grafic, puteți vedea așa: funcții, sub axa x, se va reflecta simetric în sus, astfel încât funcția se va repeta de două ori mai des.
Pentru a găsi cea mai mică perioadă funcții dat fiind că unghiul x este înmulțit cu un număr, procedați astfel: determinați perioada standard a acesteia funcții(de exemplu, pentru cos este 2P). Apoi împărțiți-l înainte de variabilă. Aceasta va fi perioada minimă necesară. Scăderea perioadei este clar vizibilă pe grafic: este exact de câte ori este înmulțit unghiul de sub semnul trigonometric. funcții.
Dacă expresia ta are două periodice funcțiiînmulțit unul cu altul, găsiți cea mai mică perioadă pentru fiecare separat. Apoi determinați cel mai puțin factor comun pentru ei. De exemplu, pentru perioadele P și 2/3P, cel mai mic factor comun va fi 3P (este fără rest atât pe P, cât și pe 2/3P).
Calculul salariului mediu al angajaților este necesar pentru calcularea indemnizațiilor pentru invaliditate temporară, plata pentru călătorii de afaceri. Salariul mediu al specialiștilor se calculează pe baza orelor efective lucrate, și depinde de salariul, indemnizațiile, sporurile indicate în tabelul de personal.
La cererea Dumneavoastră!
7. Aflați cea mai mică perioadă pozitivă a funcției: y=2cos(0,2x+1).
Sa aplicam regula: dacă funcția f este periodică și are o perioadă T, atunci funcția y=Af(kx+b) unde A, k și b sunt constante și k≠0, este și ea periodică, în plus, perioada sa T o = T: |k|. Avem T \u003d 2π - aceasta este cea mai mică perioadă pozitivă a funcției cosinus, k \u003d 0,2. Găsim T o = 2π:0,2=20π:2=10π.
9. Distanța de la un punct echidistant de vârfurile pătratului la planul său este de 9 dm. Aflați distanța de la acest punct la laturile pătratului dacă latura pătratului este de 8 inchi.
10. Rezolvați ecuația: 10=|5x+5x 2 |.
Deoarece |10|=10 și |-10|=10, sunt posibile 2 cazuri: 1) 5x 2 +5x=10 și 2) 5x 2 +5x=-10. Împărțiți fiecare dintre egalități la 5 și rezolvați ecuațiile pătratice rezultate:
1) x 2 +x-2=0, rădăcini conform teoremei Vieta x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1. 2) x2 +x+2=0. Discriminantul este negativ - nu există rădăcini.
11. Rezolvați ecuația:
Aplicăm identitatea logaritmică de bază în partea dreaptă a egalității:
Obținem egalitatea:
Rezolvăm ecuația pătratică x 2 -3x-4=0 și găsim rădăcinile: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 4.
13. Rezolvați ecuația și găsiți suma rădăcinilor sale pe intervalul specificat.
22. Rezolvați inegalitatea:
Atunci inegalitatea ia forma: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. Linie dreaptă y= A x+b este perpendicular pe dreapta y=2x+3 și trece prin punctul C(4; 5). Scrieți ecuația ei. Directy=k 1 x+b 1 și y=k 2 x+b 2 sunt reciproc perpendiculare dacă este îndeplinită condiția k 1 ∙k 2 =-1. De aici rezultă că A 2=-1. Linia dorită va arăta astfel: y=(-1/2) x+b. Vom găsi valoarea lui b dacă în ecuația dreptei noastre în loc de Xși laÎnlocuiți coordonatele punctului C.
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Apoi obținem ecuația: y \u003d (-1/2) x + 7.
25. Patru pescari A, B, C și D s-au lăudat cu captura lor:
1. D a prins mai mult C;
2. Suma capturilor lui A și B este egală cu suma capturilor lui C și D;
3. A și D împreună au prins mai puțin decât B și C împreună. Înregistrați captura pescarilor în ordine descrescătoare.
Noi avem: 1)
D>C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D