Când nu există rădăcini într-o ecuație pătratică. Ecuații cuadratice

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea unui trinom pătrat. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factorizării.

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile ecuației pătratice sunt cunoscute, atunci polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

În plus, presupunem că sunt numere reale.
Considera discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătrat are forma:
.
Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă graficăm funcția
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul intersectează axa (axa) absciselor în două puncte.
Când , graficul atinge axa x la un moment dat.
Când , graficul nu traversează axa x.

Mai jos sunt exemple de astfel de grafice.

Formule utile legate de ecuația cuadratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru polinomul de gradul doi sub forma:
.
Din aceasta se poate observa că ecuația

efectuat la
și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

Decizie

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem descompunerea trinomului pătrat în factori:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 traversează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa x (axa) în două puncte:
și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

Răspuns

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Decizie

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește multiplu. Adică, ei consideră că există două rădăcini egale:
.

Răspuns

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Decizie

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi


.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu traversează abscisa (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Răspuns

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Să lucrăm cu ecuații pătratice. Acestea sunt ecuații foarte populare! În forma sa cea mai generală, ecuația pătratică arată astfel:

De exemplu:

Aici A =1; b = 3; c = -4

Aici A =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici A =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, ai înțeles ideea...

Cum se rezolvă ecuații pătratice? Dacă aveți o ecuație pătratică în această formă, atunci totul este simplu. Amintește-ți cuvântul magic discriminant . Un elev de liceu rar nu a auzit acest cuvânt! Expresia „decide prin discriminant” este liniștitoare și liniștitoare. Pentru că nu este nevoie să așteptați trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat. Deci, formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii este aceeași discriminant. După cum puteți vedea, pentru a găsi x, folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienții din ecuația pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și cîn această formulă și luați în considerare. Substitui cu semnele tale! De exemplu, pentru prima ecuație A =1; b = 3; c= -4. Aici scriem:

Exemplu aproape rezolvat:

Asta e tot.

Ce cazuri sunt posibile când se utilizează această formulă? Sunt doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că puteți extrage rădăcina din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Este important ce se extrage in principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci ai o soluție. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, dar două identice. Dar acest lucru joacă un rol în inegalități, unde vom studia problema mai detaliat.

3. Discriminantul este negativ. Un număr negativ nu ia rădăcina pătrată. Ei bine, bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Totul este foarte simplu. Și ce crezi, nu poți greși? Ei bine, da, cum...
Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de valori a, b și c. Sau, mai degrabă, nu cu semnele lor (unde trebuie confundat?), Ci cu înlocuirea valorilor negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici, o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice salvează. Dacă există probleme cu calculele, atunci, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici a = -6; b = -5; c=-1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să pictezi atât de atent. Dar doar pare. Incearca-l. Ei bine, sau alege. Care este mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să pictezi totul atât de atent. Va funcționa exact. Mai ales dacă aplicați tehnici practice, care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri va fi rezolvat ușor și fără erori!

Asa de, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ne-am amintit. Sau învățat, ceea ce este și bine. Poți să identifici corect a, b și c. Știi cum atentînlocuiți-le în formula rădăcină și atent numărați rezultatul. Ai înțeles că cuvântul cheie aici este: atent?

Cu toate acestea, ecuațiile pătratice arată adesea ușor diferit. De exemplu, așa:

Aceasta este ecuații pătratice incomplete . Ele pot fi rezolvate și prin discriminant. Trebuie doar să vă dați seama corect ce este egal aici a, b și c.

Realizat? În primul exemplu a = 1; b = -4; A c? Nu există deloc! Ei bine, da, așa este. În matematică, asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. Înlocuiți zero în formulă în loc de c,și totul se va rezolva pentru noi. La fel și cu al doilea exemplu. Numai zero nu avem aici cu, A b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără nicio discriminare. Luați în considerare prima ecuație incompletă. Ce se poate face pe partea stângă? Puteți scoate X-ul din paranteze! Hai să-l scoatem.

Și ce din asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu crezi? Ei bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu funcționează? Ceva...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x = 0, sau x = 4

Tot. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele se potrivesc. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât prin discriminant.

A doua ecuație poate fi, de asemenea, rezolvată cu ușurință. Ne deplasăm cu 9 în partea dreaptă. Primim:

Rămâne să extragem rădăcina din 9 și atât. Obține:

de asemenea două rădăcini . x = +3 și x = -3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie scoțând X dintre paranteze, fie pur și simplu transferând numărul la dreapta, urmat de extragerea rădăcinii.
Este extrem de dificil să confundăm aceste metode. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina din X, ceea ce este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Chiar acelea care se datorează neatenției... Pentru care apoi este dureros și jignitor...

Prima recepție. Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică pentru a o aduce la o formă standard. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după orice transformări, obțineți următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcinilor! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți exemplul corect. Mai întâi, x pătrat, apoi fără pătrat, apoi un membru liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Minusul dinaintea x pătratului te poate supăra foarte mult. A uita este ușor... Scăpați de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul. Decide pe cont propriu. Ar trebui să ajungeți cu rădăcinile 2 și -1.

A doua recepție. Verifică-ți rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu vă faceți griji, vă explic totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cea prin care am notat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificați ușor rădăcinile. Este suficient să le înmulțim. Ar trebui să obțineți un termen gratuit, de ex. în cazul nostru -2. Atenție, nu 2, ci -2! membru liber cu semnul tău . Dacă nu a funcționat, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați o eroare. Dacă a funcționat, trebuie să îndoiți rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Ar trebui să fie un raport b cu opus semn. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui x, este egal cu -1. Deci, totul este corect!
Este păcat că este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Vor fi mai puține greșeli.

Recepția a treia. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu numitorul comun, așa cum este descris în secțiunea anterioară. Când lucrați cu fracții, erori, din anumite motive, urcați...

Apropo, am promis un exemplu rău, cu o grămadă de minusuri de simplificat. Cu plăcere! Iată-l.

Pentru a nu ne confunda în minusuri, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta e tot! A decide este distractiv!

Deci, să recapitulăm subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul pentru acesta este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată prin teorema lui Vieta. Fă-o!

Ecuații fracționale. ODZ.

Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ramane ultima vedere ecuații fracționale. Sau sunt numite și mult mai solide - ecuații raționale fracționale. Asta e lafel.

Ecuații fracționale.

După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:

Permiteți-mi să vă reamintesc, dacă numai în numitori numerele, acestea sunt ecuații liniare.

Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceea, ecuația, cel mai adesea, se transformă într-una liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri, se poate transforma într-o identitate, gen 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Mai jos o voi aminti.

Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând toate aceleași transformări identice.

Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Ca să scadă toți numitorii! Totul va deveni imediat mai ușor. explic cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația:

Cum au fost predate în școala elementară? Transferăm totul într-o singură direcție, îl reducem la un numitor comun etc. Uită cât de urât vis! Acesta este ceea ce trebuie să faceți atunci când adăugați sau scădeți expresii fracționale. Sau lucrează cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți printr-o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și care este această expresie?

În partea stângă, pentru a reduce numitorul, trebuie să înmulțiți cu x+2. Și în dreapta este necesară înmulțirea cu 2. Deci, ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Înmulțim:

Aceasta este înmulțirea obișnuită a fracțiilor, dar voi scrie în detaliu:

Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid paranteza. (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:

Pe partea stângă, este redusă în întregime (x+2), iar în dreapta 2. După cum este necesar! După reducere obținem liniar ecuația:

Oricine poate rezolva această ecuație! x = 2.

Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:

Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1 se poate scrie:

Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - din fracții.

Vedem că pentru a reduce numitorul cu x, este necesar să înmulțim fracția cu (x - 2). Și unitățile nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stângă și toate partea dreapta:

Din nou paranteze (x - 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg, de parcă ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.

Cu un sentiment de profundă satisfacție, tăiem (x - 2)și obținem ecuația fără fracții, într-o riglă!

Și acum deschidem parantezele:

Dăm altele similare, transferăm totul în partea stângă și obținem:

Ecuație pătratică clasică. Dar minusul din față nu este bun. Puteți scăpa oricând de el înmulțind sau împărțind cu -1. Dar dacă te uiți cu atenție la exemplu, vei observa că cel mai bine este să împărțiți această ecuație la -2! Dintr-o lovitură, minusul va dispărea, iar coeficienții vor deveni mai frumoși! Împărțim la -2. În partea stângă - termen cu termen, iar în dreapta - împărțiți zero la -2, zero și obțineți:

Rezolvăm prin discriminant și verificăm conform teoremei Vieta. Primim x=1 și x=3. Două rădăcini.

După cum puteți vedea, în primul caz, ecuația după transformare a devenit liniară, iar aici este pătratică. Se întâmplă ca, după ce scăpați de fracții, toate x-urile să fie reduse. A mai rămas ceva, cum ar fi 5=5. Înseamnă că x poate fi orice. Orice ar fi, tot va fi redus. Și obțineți adevărul pur, 5=5. Dar, după ce scăpați de fracții, se poate dovedi a fi complet neadevărat, cum ar fi 2=7. Și asta înseamnă că fara solutii! Cu orice x, se dovedește a fi fals.

A realizat principala modalitate de a rezolva ecuații fracționale? Este simplu și logic. Schimbăm expresia originală, astfel încât tot ceea ce nu ne place să dispară. Sau interveniți. În acest caz, este vorba de fracții. Vom face același lucru cu tot felul de exemple complexe cu logaritmi, sinusuri și alte orori. Noi mereu vom scăpa de toate acestea.

Cu toate acestea, trebuie să schimbăm expresia originală în direcția de care avem nevoie conform regulilor, da... A cărui desfășurare este pregătirea pentru examenul la matematică. Aici învățăm.

Acum vom învăța cum să ocolim unul dintre principalele ambuscade la examen! Dar mai întâi, să vedem dacă cazi în ea sau nu?

Să luăm un exemplu simplu:

Problema este deja familiară, înmulțim ambele părți cu (x - 2), primim:

Amintiți-vă, cu paranteze (x - 2) lucrăm ca cu o expresie una, integrală!

Aici nu l-am mai scris pe cel la numitori, nedemn... Si nu l-am tras paranteze la numitori, cu exceptia x - 2 nu există nimic, nu poți desena. Scurtăm:

Deschidem parantezele, mutam totul spre stânga, dăm altele similare:

Rezolvăm, verificăm, obținem două rădăcini. x = 2și x = 3. Amenda.

Să presupunem că sarcina spune să scrieți rădăcina sau suma lor, dacă există mai multe rădăcini. Ce vom scrie?

Dacă decizi că răspunsul este 5, tu au fost pândiți în ambuscadă. Și sarcina nu va fi luată în considerare pentru tine. Au lucrat degeaba... Răspunsul corect este 3.

Ce s-a întâmplat?! Și încerci să verifici. Înlocuiți valorile necunoscutului în original exemplu. Și dacă la x = 3 totul crește împreună minunat, obținem 9 = 9, apoi cu x = 2 imparti la zero! Ceea ce absolut nu se poate face. Mijloace x = 2 nu este o soluție și nu este luată în considerare în răspuns. Aceasta este așa-numita rădăcină străină sau suplimentară. O aruncăm doar. Există o singură rădăcină finală. x = 3.

Cum așa?! Aud exclamații revoltate. Am fost învățați că o ecuație poate fi înmulțită cu o expresie! Aceasta este aceeași transformare!

Da, identic. Sub o condiție mică - expresia prin care înmulțim (împărțim) - diferit de zero. DAR x - 2 la x = 2 este egal cu zero! Deci totul este corect.

Și acum ce pot face?! Nu înmulți prin expresie? Verifică de fiecare dată? Din nou neclar!

Calm! Fara panica!

În această situație dificilă, trei litere magice ne vor salva. Știu la ce te gândeai. Corect! Aceasta este ODZ . Zona de Valori Valabile.

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcția de structuri și chiar sport. Ecuațiile au fost folosite de om din cele mai vechi timpuri și de atunci utilizarea lor a crescut. Discriminantul vă permite să rezolvați orice ecuație pătratică folosind formula generală, care are următoarea formă:

Formula discriminantă depinde de gradul polinomului. Formula de mai sus este potrivită pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de următoarea formă:

Discriminantul are următoarele proprietăți pe care trebuie să le cunoașteți:

* „D” este 0 când polinomul are rădăcini multiple (rădăcini egale);

* „D” este un polinom simetric în raport cu rădăcinile polinomului și, prin urmare, este un polinom în coeficienții săi; mai mult, coeficienții acestui polinom sunt numere întregi, indiferent de extensia în care sunt luate rădăcinile.

Să presupunem că ni se oferă o ecuație pătratică de următoarea formă:

1 ecuație

După formula avem:

Deoarece \, atunci ecuația are 2 rădăcini. Să le definim:

Unde pot rezolva ecuația prin rezolvatorul online discriminant?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să vă introduceți datele în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.

Sarcinile pentru o ecuație pătratică sunt studiate atât în ​​programa școlară, cât și în universități. Ele sunt înțelese ca ecuații de forma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, unde X- variabilă, a,b,c – constante; A<>0 . Problema este de a găsi rădăcinile ecuației.

Sensul geometric al ecuației pătratice

Graficul unei funcții care este reprezentată printr-o ecuație pătratică este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Rezultă că există trei cazuri posibile:
1) parabola nu are puncte de intersecție cu axa x. Aceasta înseamnă că se află în planul superior cu ramurile în sus sau cel inferior cu ramurile în jos. În astfel de cazuri, ecuația pătratică nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe).

2) parabola are un punct de intersecție cu axa Ox. Un astfel de punct se numește vârful parabolei, iar ecuația pătratică din el își dobândește valoarea minimă sau maximă. În acest caz, ecuația pătratică are o rădăcină reală (sau două rădăcini identice).

3) Ultimul caz este mai interesant în practică - există două puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că există două rădăcini reale ale ecuației.

Pe baza analizei coeficienților la puterile variabilelor se pot trage concluzii interesante despre amplasarea parabolei.

1) Dacă coeficientul a este mai mare decât zero, atunci parabola este îndreptată în sus, dacă este negativă, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

2) Dacă coeficientul b este mai mare decât zero, atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng, dacă ia o valoare negativă, atunci în dreapta.

Derivarea unei formule pentru rezolvarea unei ecuații pătratice

Să transferăm constanta din ecuația pătratică

pentru semnul egal, obținem expresia

Înmulțiți ambele părți cu 4a

Pentru a obține un pătrat complet în stânga, adăugați b ^ 2 în ambele părți și efectuați transformarea

De aici găsim

Formula discriminantului și rădăcinilor ecuației pătratice

Discriminantul este valoarea expresiei radicalului.Dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale, calculate prin formula Când discriminantul este zero, ecuația pătratică are o soluție (două rădăcini care coincid), care sunt ușor de obținut din formula de mai sus pentru D=0. Când discriminantul este negativ, nu există rădăcini reale. Cu toate acestea, pentru a studia soluțiile ecuației pătratice în plan complex, iar valoarea lor este calculată prin formula

teorema lui Vieta

Luați în considerare două rădăcini ale unei ecuații pătratice și construiți o ecuație pătratică pe baza lor.Teorema Vieta însăși rezultă ușor din notația: dacă avem o ecuație pătratică de forma atunci suma rădăcinilor sale este egală cu coeficientul p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber q. Formula pentru cele de mai sus va arăta ca Dacă constanta a din ecuația clasică este diferită de zero, atunci trebuie să împărțiți întreaga ecuație la ea și apoi să aplicați teorema Vieta.

Schema ecuației pătratice pe factori

Să fie stabilită sarcina: să descompunem ecuația pătratică în factori. Pentru a o realiza, mai întâi rezolvăm ecuația (găsește rădăcinile). Apoi, înlocuim rădăcinile găsite în formula de expansiune pentru ecuația pătratică.Această problemă va fi rezolvată.

Sarcini pentru o ecuație pătratică

Sarcina 1. Aflați rădăcinile unei ecuații pătratice

x^2-26x+120=0 .

Rezolvare: Notați coeficienții și înlocuiți în formula discriminantă

Rădăcina acestei valori este 14, este ușor să o găsiți cu un calculator sau să o amintiți cu o utilizare frecventă, totuși, pentru comoditate, la sfârșitul articolului vă voi oferi o listă de pătrate de numere care pot fi adesea găsite în astfel de sarcini.
Valoarea găsită este înlocuită în formula rădăcină

și primim

Sarcina 2. rezolva ecuația

2x2+x-3=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă, scriem coeficienții și găsim discriminantul


Folosind formule binecunoscute, găsim rădăcinile ecuației pătratice

Sarcina 3. rezolva ecuația

9x2 -12x+4=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă. Determinați discriminantul

Avem cazul când rădăcinile coincid. Găsim valorile rădăcinilor prin formula

Sarcina 4. rezolva ecuația

x^2+x-6=0 .

Soluție: În cazurile în care există coeficienți mici pentru x, este indicat să se aplice teorema Vieta. Prin condiția sa, obținem două ecuații

Din a doua condiție, obținem că produsul trebuie să fie egal cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcini este negativă. Avem următoarea pereche posibilă de soluții(-3;2), (3;-2) . Ținând cont de prima condiție, respingem a doua pereche de soluții.
Rădăcinile ecuației sunt

Sarcina 5. Aflați lungimile laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul acestuia este de 18 cm și aria este de 77 cm 2.

Rezolvare: Jumătate din perimetrul unui dreptunghi este egal cu suma laturilor adiacente. Să notăm x - partea mai mare, apoi 18-x este latura sa mai mică. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul acestor lungimi:
x(18x)=77;
sau
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Aflați discriminantul ecuației

Calculăm rădăcinile ecuației

În cazul în care un x=11, apoi 18x=7 , viceversa este de asemenea adevărată (dacă x=7, atunci 21-x=9).

Problema 6. Factorizați ecuația pătratică 10x 2 -11x+3=0.

Rezolvare: Calculați rădăcinile ecuației, pentru aceasta găsim discriminantul

Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcinilor și calculăm

Aplicam formula de extindere a ecuatiei patratice in termeni de radacini

Extindem parantezele, obținem identitatea.

Ecuație pătratică cu parametru

Exemplul 1. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 are o rădăcină?

Rezolvare: Prin înlocuirea directă a valorii a=3, vedem că nu are soluție. În plus, vom folosi faptul că, cu un discriminant zero, ecuația are o rădăcină a multiplicității 2. Să scriem discriminantul

simplificați-l și echivalați cu zero

Am obținut o ecuație pătratică față de parametrul a, a cărei soluție este ușor de obținut folosind teorema Vieta. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul lor este 12. Prin simpla enumerare, stabilim ca numerele 3.4 vor fi radacinile ecuatiei. Deoarece am respins deja soluția a=3 la începutul calculelor, singura corectă va fi - a=4. Astfel, pentru a = 4, ecuația are o rădăcină.

Exemplul 2. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 are mai multe rădăcini?

Soluție: Luați în considerare mai întâi punctele singulare, acestea vor fi valorile a=0 și a=-3. Când a=0, ecuația va fi simplificată la forma 6x-9=0; x=3/2 și va fi o singură rădăcină. Pentru a= -3 obținem identitatea 0=0 .
Calculați discriminantul

și găsiți valorile lui a pentru care este pozitiv

Din prima condiție obținem a>3. Pentru al doilea, găsim discriminantul și rădăcinile ecuației


Să definim intervalele în care funcția ia valori pozitive. Inlocuind punctul a=0 obtinem 3>0 . Deci, în afara intervalului (-3; 1/3) funcția este negativă. Nu uitați punctul a=0 care ar trebui exclus, deoarece ecuația originală are o rădăcină în ea.
Ca rezultat, obținem două intervale care satisfac condiția problemei

Vor exista multe sarcini similare în practică, încercați să vă ocupați singur de sarcini și nu uitați să țineți cont de condiții care se exclud reciproc. Studiați bine formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice, ele sunt destul de des necesare în calcule în diverse probleme și științe.

Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! * Mai departe în textul „KU”. Prieteni, s-ar părea că la matematică poate fi mai ușor decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii oferă Yandex pe cerere pe lună. Iată ce s-a întâmplat, aruncați o privire:

Ce înseamnă? Asta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, iar aceasta este vară, și ce se va întâmpla în timpul anului școlar - vor fi de două ori mai multe solicitări. Acest lucru nu este surprinzător, pentru că acei băieți și fete care au absolvit de mult școala și se pregătesc de examen caută aceste informații, iar școlarii încearcă și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care spun cum să rezolv această ecuație, am decis să contribu și eu și să public materialul. În primul rând, doresc ca vizitatorii să vină pe site-ul meu la această solicitare; în al doilea rând, în alte articole, când apare discursul „KU”, voi da un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Continutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși cu numere arbitrare, cu a≠0.

În cursul școlar, materialul este dat în următoarea formă - împărțirea ecuațiilor în trei clase se face condiționat:

1. Au două rădăcini.

2. * Au o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Este demn de remarcat aici că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Aceste formule trebuie cunoscute pe de rost.

Puteți nota imediat și puteți decide:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

Cu această ocazie, când discriminantul este zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Așa este, este, dar...

Această reprezentare este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, rezultă două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci două rădăcini ar trebui să fie scrise în răspuns:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală, poți scrie și spune că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu este extrasă, deci nu există o soluție în acest caz.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Iată cum arată geometric soluția. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole, vom analiza în detaliu soluția unei inegalități pătratice).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c sunt numere date, unde a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) sau niciunul (discriminantul este negativ). Mai multe despre funcția pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Luați în considerare exemple:

Exemplul 1: Decide 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = -12

* Puteți împărți imediat părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificați-o. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Avem că x 1 \u003d 11 și x 2 \u003d 11

În răspuns, este permis să scrieți x = 11.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numerele complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică, acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Un pic de teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obțineți două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Luați în considerare cazuri speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Se rezolvă cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația ia forma:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația ia forma:

Transformați, factorizați:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care permit rezolvarea ecuațiilor cu coeficienți mari.

AX 2 + bx+ c=0 egalitate

A + b+ c = 0, apoi

— dacă pentru coeficienții ecuației AX 2 + bx+ c=0 egalitate

A+ cu =b, apoi

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma coeficienților este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, deci

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitate A+ cu =b, mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c \u003d 0 coeficientul „b” este (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 - bx + c \u003d 0, coeficientul „b” este (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în ecuaţie ax 2 + bx - c = 0 coeficient "b" este egal (a 2 – 1), și coeficientul „c” egal numeric cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 - bx - c \u003d 0, coeficientul „b” este egal cu (a 2 - 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema Vieta, se poate exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În concluzie, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice oral.

În plus, teorema lui Vieta. convenabil deoarece după rezolvarea ecuației pătratice în mod obișnuit (prin discriminant), se pot verifica rădăcinile rezultate. Recomand să faci asta tot timpul.

METODA DE TRANSFER

Prin această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, parcă „transferat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda de transfer. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

În cazul în care un A± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Conform teoremei Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Rădăcinile obținute ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Care este rațiunea? Vezi ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, atunci se obțin numai numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul de la x 2:

A doua rădăcină (modificată) este de 2 ori mai mare.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă aruncăm trei de un fel, atunci împărțim rezultatul la 3 și așa mai departe.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp ur-ie și examenul.

Voi spune pe scurt despre importanța ei - TREBUIE SĂ POȚI DECIDE rapid și fără să stai pe gânduri, trebuie să cunoști pe de rost formulele rădăcinilor și discriminantului. Multe dintre sarcinile care fac parte din sarcinile USE se reduc la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv a celor geometrice).

Ce este de remarcat!

1. Forma ecuației poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o valoare necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.