Relativ la o axă fixă ​​(„momentul axial de inerție”) se numește valoare J a egală cu suma produselor maselor tuturor n punctele materiale ale sistemului în pătratele distanțelor lor față de axă:

• m i- greutate i- al-lea punct,
• r i- distanta de la i-al-lea punct către axă.

Axial moment de inerție corp J a este o măsură a inerției unui corp în mișcare de rotație în jurul unei axe, la fel cum masa unui corp este o măsură a inerției sale în mișcare de translație.

Dacă corpul este omogen, adică densitatea lui este aceeași peste tot, atunci

Teorema Huygens-Steiner

Moment de inerție a unui corp solid față de orice axă depinde nu numai de masa, forma și dimensiunea corpului, ci și de poziția corpului față de această axă. Conform teoremei Steiner (teorema Huygens-Steiner), moment de inerție corp J relativ la o axă arbitrară este egală cu suma moment de inerție acest corp Jc raportat la axa care trece prin centrul de masă al corpului paralel cu axa considerată și produsul masei corporale m pe distanță pătrată d intre axe:

unde este masa totală a corpului.

De exemplu, momentul de inerție al unei tije în jurul unei axe care trece prin capătul acesteia este:

Momentele axiale de inerție ale unor corpuri

Corp	Descriere	Poziția axei A	Moment de inerție J a
	Punctul de masă material m	La distanta r dintr-un punct, fix
	Cilindru gol cu ​​pereți subțiri sau inel de rază r si masele m	Axa cilindrului
	Cilindru solid sau raza discului r si masele m	Axa cilindrului
	Cilindru de masă gol cu ​​pereți groși m cu raza exterioară r2și raza interioară r1	Axa cilindrului
	Lungimea cilindrului solid l, raza r si masele m
	Lungimea cilindrului (inel) cu pereți subțiri l, raza r si masele m	Axa este perpendiculară pe cilindru și trece prin centrul său de masă
	Lungimea tijei drepte subțiri l si masele m	Axa este perpendiculară pe tijă și trece prin centrul său de masă
	Lungimea tijei drepte subțiri l si masele m	Axa este perpendiculară pe tijă și trece prin capătul acesteia
	Sferă de rază cu pereți subțiri r si masele m	Axa trece prin centrul sferei
	raza bilei r si masele m	Axa trece prin centrul mingii
	Raza conului r si masele m	axa conului
	Triunghi isoscel cu înălțime h, baza A si greutate m	Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin vârf
	Triunghi dreptunghic cu latura A si greutate m	Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin centrul de masă
	Patrat cu latura A si greutate m	Axa este perpendiculară pe planul pătratului și trece prin centrul de masă

Derivarea formulelor

Cilindru cu pereți subțiri (inel, cerc)

Derivarea formulei

Momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale constitutive. Împărțirea unui cilindru cu pereți subțiri în elemente cu o masă dmși momente de inerție DJ i. Apoi

Deoarece toate elementele unui cilindru cu pereți subțiri sunt la aceeași distanță de axa de rotație, formula (1) este convertită în forma

Cilindru cu pereți groși (inel, cerc)

Derivarea formulei

Să existe un inel omogen cu raza exterioară R, raza interioara R 1, gros h iar densitatea ρ. Să-l spargem în inele subțiri cu o grosime dr. Masa și momentul de inerție al unui inel subțire de rază r va fi

Găsim momentul de inerție al unui inel gros ca integrală

Deoarece volumul și masa inelului sunt egale

obţinem formula finală pentru momentul de inerţie al inelului

Disc omogen (cilindru solid)

Derivarea formulei

Considerând cilindrul (discul) ca un inel cu raza interioară zero ( R 1 = 0), obținem formula momentului de inerție al cilindrului (discului):

con solid

Derivarea formulei

Împărțiți conul în discuri subțiri de grosime dh, perpendicular pe axa conului. Raza unui astfel de disc este

Unde R este raza bazei conului, H este înălțimea conului, h este distanța de la vârful conului până la disc. Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi

Integrarea, obținem

Minge solidă uniformă

Derivarea formulei

Împărțiți mingea în discuri subțiri dh, perpendicular pe axa de rotație. Raza unui astfel de disc situat la o înălțime h din centrul sferei, găsim prin formula

Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi

Găsim momentul de inerție al sferei integrând:

sferă cu pereți subțiri

Derivarea formulei

Pentru derivare, folosim formula pentru momentul de inerție al unei bile omogene cu rază R:

Să calculăm cât de mult se va schimba momentul de inerție al mingii dacă, la o densitate constantă ρ, raza acesteia crește cu o valoare infinitezimală dR.

Tijă subțire (axa trece prin centru)

Derivarea formulei

Împărțiți tija în fragmente mici de lungime dr. Masa și momentul de inerție al unui astfel de fragment este

Integrarea, obținem

Tijă subțire (axa trece prin capăt)

Derivarea formulei

Când deplasați axa de rotație de la mijlocul tijei până la capătul acesteia, centrul de greutate al tijei se mișcă față de axă cu o distanță l/2. Conform teoremei Steiner, noul moment de inerție va fi egal cu

Momente de inerție fără dimensiuni ale planetelor și sateliților lor

De mare importanță pentru studiile structurii interne a planetelor și a sateliților lor sunt momentele lor de inerție fără dimensiuni. Momentul de inerție adimensional al unui corp cu rază r si masele m este egal cu raportul dintre momentul său de inerție în jurul axei de rotație și momentul de inerție al unui punct material de aceeași masă față de o axă fixă ​​de rotație situată la distanță r(egal cu Domnul 2). Această valoare reflectă distribuția masei în adâncime. Una dintre metodele de măsurare a acestuia pe planete și sateliți este de a determina deplasarea Doppler a semnalului radio transmis de AMS care zboară în jurul unei planete sau satelit dat. Pentru o sferă cu pereți subțiri, momentul de inerție adimensional este egal cu 2/3 (~0,67), pentru o bilă omogenă - 0,4 și, în general, cu cât este mai mică, cu atât masa corpului este mai mare concentrată în centrul său. De exemplu, Luna are un moment de inerție adimensional apropiat de 0,4 (egal cu 0,391), deci se presupune că este relativ omogenă, densitatea ei se modifică puțin cu adâncimea. Momentul de inerție adimensional al Pământului este mai mic decât cel al unei bile omogene (egal cu 0,335), ceea ce este un argument în favoarea existenței unui nucleu dens în el.

moment de inerție centrifugal

Momentele de inerție centrifuge ale unui corp față de axele unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare sunt următoarele mărimi:

Unde X, yși z- coordonatele unui element mic al corpului cu volum dV, densitate ρ si greutate dm.

Se numește axa OX axa principală de inerție a corpului dacă momentele de inerţie centrifuge Jxyși Jxz sunt simultan zero. Prin fiecare punct al corpului pot fi trasate trei axe principale de inerție. Aceste axe sunt reciproc perpendiculare între ele. Momente de inerție ale corpului raportat la cele trei axe principale de inerție desenate într-un punct arbitrar O corpurile sunt numite principalele momente de inerție ale corpului.

Se numesc axele principale de inerție care trec prin centrul de masă al corpului principalele axe centrale de inerție ale corpului, iar momentele de inerție despre aceste axe sunt ale sale principalele momente centrale de inerție. Axa de simetrie a unui corp omogen este întotdeauna una dintre principalele sale axe centrale de inerție.

Momentul de inerție geometric

Momentul de inerție geometric - caracteristică geometrică a secțiunii vederii

unde este distanța de la axa centrală la orice zonă elementară în raport cu axa neutră.

Momentul geometric de inerție nu este legat de mișcarea materialului, ci reflectă doar gradul de rigiditate al secțiunii. Este folosit pentru a calcula raza de rotație, deviația fasciculului, selecția secțiunii grinzilor, stâlpilor etc.

Unitatea de măsură SI este m 4 . În calculele de construcție, literatură și sortimente de metal laminat, în special, este indicat în cm 4.

Din aceasta se exprimă modulul de secțiune:

Momentul central de inerție

Momentul central de inerție(sau momentul de inerție în jurul punctului O) este mărimea

Momentul central de inerție poate fi exprimat în termenii principalelor momente de inerție axiale sau centrifuge: .

Tensor de inerție și elipsoid de inerție

Momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe arbitrare care trece prin centrul de masă și având o direcție dată de un vector unitar poate fi reprezentat sub formă pătratică (bilineară):

unde este tensorul de inerție. Matricea tensorului de inerție este simetrică, are dimensiuni și constă din componente de moment centrifugal:

Prin alegerea unui sistem de coordonate adecvat, matricea tensorului de inerție poate fi redusă la o formă diagonală. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați problema cu valori proprii pentru matricea tensorală:
,
unde este matricea de tranziție ortogonală la propria bază a tensorului de inerție. În propria bază, axele de coordonate sunt direcționate de-a lungul axelor principale ale tensorului de inerție și, de asemenea, coincid cu semiaxele principale ale elipsoidului tensorului de inerție. Mărimile sunt principalele momente de inerție. Expresia (1) în propriul sistem de coordonate are forma:

de unde vine ecuația

Luați în considerare acum problema determinarea momentului de inerție diverse corpuri. General formula pentru determinarea momentului de inerție obiectul relativ la axa z are forma

Cu alte cuvinte, trebuie să adăugați toate masele, înmulțind fiecare dintre ele cu pătratul distanței sale de la axă (x 2 i + y 2 i). Rețineți că acest lucru este valabil chiar și pentru un corp tridimensional, chiar dacă distanța are un astfel de „aspect bidimensional”. Cu toate acestea, în cele mai multe cazuri, ne vom restrânge la corpuri bidimensionale.

Ca exemplu simplu, luați în considerare o tijă care se rotește în jurul unei axe care trece prin capătul său și perpendiculară pe aceasta (Fig. 19.3). Acum trebuie să însumăm toate masele înmulțite cu pătratele distanței x (în acest caz, toți y sunt zero). Prin suma, desigur, mă refer la integrala lui x 2 înmulțită cu „elementele” masei. Dacă împărțim tija în bucăți de lungime dx, atunci elementul de masă corespunzător va fi proporțional cu dx, iar dacă dx ar fi lungimea întregii tije, atunci masa acesteia ar fi egală cu M. Prin urmare

Dimensiunea momentului de inerție este întotdeauna egală cu masa înmulțită cu pătratul lungimii, deci singura valoare semnificativă pe care am calculat-o este factorul 1/3.

Și care va fi momentul de inerție I dacă axa de rotație trece prin mijlocul tijei? Pentru a o găsi, trebuie să luăm din nou integrala, dar deja în intervalul de la -1/2L la +1/2L. Rețineți, totuși, o caracteristică a acestui caz. O astfel de tijă cu o axă care trece prin centru poate fi gândită ca două tije cu o axă care trece prin capăt, fiecare având o masă de M/2 și o lungime de L/2. Momentele de inerție a două astfel de tije sunt egale între ele și se calculează prin formula (19.5). Prin urmare, momentul de inerție al întregii tije este

Astfel, tija este mult mai ușor de răsucit la mijloc decât la capăt.

Este posibil, desigur, să continuăm calculul momentelor de inerție ale altor corpuri care ne interesează. Dar, deoarece astfel de calcule necesită multă experiență în calcularea integralelor (ceea ce este foarte important în sine), ele, ca atare, sunt de puțin interes pentru noi. Cu toate acestea, există câteva teoreme foarte interesante și utile aici. Să existe un corp și vrem să-l știm moment de inerție în jurul unor axe. Aceasta înseamnă că dorim să-i găsim inerția atunci când ne rotim în jurul acestei axe. Dacă mișcăm corpul de tija care îi susține centrul de masă, astfel încât acesta să nu se rotească în timpul rotației în jurul axei (în acest caz, nu acționează niciun moment de forță de inerție asupra lui, astfel încât corpul nu se va întoarce când începem să-l mișcăm) , atunci căci pentru a o întoarce, aveți nevoie de exact aceeași forță ca și când toată masa ar fi concentrată în centrul de masă și momentul de inerție ar fi pur și simplu egal cu I 1 = MR 2 c.m. , unde R c.m este distanța de la centrul de masă la axa de rotație. Cu toate acestea, această formulă este, desigur, incorectă. Nu oferă momentul corect de inerție al corpului. La urma urmei, în realitate, la întoarcere, corpul se rotește. Nu numai centrul de masă se rotește (ceea ce ar da valoarea I 1), corpul însuși trebuie să se rotească și în raport cu centrul de masă. Astfel, la momentul de inerție I 1 trebuie să adăugați I c - momentul de inerție în jurul centrului de masă. Răspunsul corect este că momentul de inerție față de orice axă este

Această teoremă se numește teorema de translație a axei paralele. Se dovedeste foarte usor. Momentul de inerție în jurul oricărei axe este egal cu suma maselor înmulțită cu suma pătratelor lui x și y, adică I \u003d Σm i (x 2 i + y 2 i). Acum ne vom concentra atenția asupra x, dar același lucru se poate spune despre y. Fie coordonata x distanța unui anumit punct de la origine; să vedem, totuși, cum se schimbă lucrurile dacă măsurăm distanța x` de la centrul de masă în loc de x de la origine. Pentru a afla, trebuie să scriem
x i = x` i + X c.m.
Pătratând această expresie, găsim
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 c.m.

Ce se întâmplă dacă îl înmulți cu m i și însumezi tot r? Luând constantele din semnul de însumare, găsim

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Σm i

A treia sumă este ușor de calculat; este doar MX 2 ts.m. . Al doilea termen este format din doi factori, dintre care unul este Σm i x` i ; este egală cu coordonata x` a centrului de masă. Dar acesta trebuie să fie zero, deoarece x` este măsurat de la centrul de masă, iar în acest sistem de coordonate, poziția medie a tuturor particulelor, ponderate cu masele lor, este zero. Primul termen, evident, este o parte a lui x din I c. Astfel, ajungem la formula (19.7).

Să verificăm formula (19.7) cu un exemplu. Să verificăm doar dacă va fi aplicabil pentru tijă. Am constatat deja că momentul de inerție al tijei față de capătul său trebuie să fie egal cu ML 2 /3. Și centrul de masă al tijei, desigur, este la o distanță de L/2. Deci ar trebui să obținem că ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Întrucât o pătrime + o doisprezecea = o treime, nu am făcut nicio gafă.

Apropo, pentru a găsi momentul de inerție (19.5), nu este deloc necesar să se calculeze integrala. Se poate presupune pur și simplu că este egală cu valoarea ML 2 înmulțită cu un coeficient γ necunoscut. După aceea, se poate folosi raționamentul despre două jumătăți și se obține coeficientul 1/4γ pentru momentul de inerție (19.6). Folosind acum teorema translației axelor paralele, demonstrăm că γ=1/4γ + 1/4, de unde γ=1/3. Puteți găsi oricând un ocol!

Când se aplică teorema axei paralele, este important să ne amintim că axa I trebuie să fie paralelă cu axa în jurul căreia dorim să calculăm momentul de inerție.

Poate că merită menționată încă o proprietate, care este adesea foarte utilă în găsirea momentului de inerție al unor tipuri de corpuri. Constă în următoarele: dacă avem o figură plată și un triplu de axe de coordonate cu originea situată în acest plan și axa z îndreptată perpendicular pe aceasta, atunci momentul de inerție al acestei figuri în jurul axei z este egal. la suma momentelor de inerție în jurul axelor x și y . Se dovedește destul de simplu. observa asta

Momentul de inerție al unei plăci dreptunghiulare omogene, de exemplu, cu masa M, lățimea ω și lungimea L în jurul unei axe perpendiculare pe aceasta și care trece prin centrul ei, este pur și simplu

întrucât momentul de inerție în jurul unei axe situate în planul plăcii și paralel cu lungimea acesteia este egal cu Mω 2 /12, adică exact același ca pentru o tijă de lungime ω, iar momentul de inerție în jurul unei alte axe în același plan este egal cu ML 2 / 12, la fel ca pentru o tijă de lungime L.

Deci, să enumerăm proprietățile momentului de inerție despre o axă dată, pe care o vom numi axa z:

1. Momentul de inerție este

2. Dacă un obiect este format din mai multe părți, iar momentul de inerție al fiecăreia dintre ele este cunoscut, atunci momentul total de inerție este egal cu suma momentelor de inerție ale acestor părți.
3. Momentul de inerție în jurul oricărei axe date este egal cu momentul de inerție în jurul unei axe paralele prin centrul de masă, plus produsul masei totale cu pătratul distanței acelei axe față de centrul de masă.
4. Momentul de inerție al unei figuri plane în jurul unei axe perpendiculare pe planul ei este egal cu suma momentelor de inerție în jurul oricăror alte două axe reciproc perpendiculare situate în planul figurii și care se intersectează cu axa perpendiculară.

În tabel. 19.1 prezintă momentele de inerție ale unor figuri elementare care au o densitate de masă uniformă, iar în tabel. 19.2 - momentele de inerție ale unor figuri, care pot fi obținute din tabel. 19.1 folosind proprietățile enumerate mai sus.

Corpurile pe orice axă pot fi găsite prin calcul. Dacă substanța din corp este distribuită continuu, atunci calculul momentului său de inerție se reduce la calculul integralei

în care r- distanta fata de elementul de masa dm faţă de axa de rotaţie.

Momentul de inerție al unei tije omogene subțiri în jurul unei axe perpendiculare. Lăsați axa să treacă prin capătul tijei DAR(Fig. 4.4).

Pentru momentul de inerție, putem scrie I A = kml 2, unde l- lungimea tijei, k- coeficient de proporţionalitate. Centrul tijei DIN este centrul său de masă. Conform teoremei Steiner I A = I C + m(l/2) 2 . valoarea IC poate fi reprezentat ca suma momentelor de inerție a două tije, SAși SW, lungimea fiecăruia dintre ele este l/2, masa m/2 și, prin urmare, momentul de inerție este Astfel, I C = km(l/ 2) 2 . Înlocuind aceste expresii în formula pentru teorema Steiner, obținem

,

Unde k = 1/3. Ca urmare, găsim

(4.16)

Momentul de inerție al unui inel circular infinit de subțire(cercuri). Moment de inerție față de axă Z(Fig. 4.5) este egal cu

I Z = mR 2 , (4.17)

Unde R este raza inelului. Din cauza simetriei I X = I Y.

Formula (4.17) oferă în mod evident și momentul de inerție al unui cilindru omogen gol cu ​​pereți infinit de subțiri în jurul axei sale geometrice.

Orez. 4.5 Fig. 4.6

Momentul de inerție al unui disc infinit de subțire și al unui cilindru solid. Se presupune că discul și cilindrul sunt omogene, adică substanța este distribuită în ele cu o densitate constantă. Lasă axa Z trece prin centrul discului DIN perpendicular pe planul său (fig. 4.6). Luați în considerare un inel infinit subțire cu rază interioară rși raza exterioară r + dr. Zona unui astfel de inel dS = 2 p rdr. Momentul său de inerție se găsește prin formula (4.17), este egal cu dIz = r 2 dm. Momentul de inerție al întregului disc este determinat de integrală Datorită uniformității discului dm= , Unde S= p R 2 este aria întregului disc. Introducând această expresie sub semnul integral, obținem

(4.18)

Formula (4.18) dă și momentul de inerție al unui cilindru solid omogen în jurul axei geometrice longitudinale.

Calculul momentului de inerție al unui corp în jurul unei axe poate fi adesea simplificat prin calcularea mai întâi moment de inerție a lui relativ la punct. În sine, momentul de inerție al corpului față de punct nu joacă niciun rol în dinamică. Este pur și simplu un concept auxiliar care servește la simplificarea calculelor. Momentul de inerție al corpului față de punctul O numit suma produselor maselor punctelor materiale din care este format corpul, cu pătratele distanțelor lor R la punctul O: q = Σ mR 2. În cazul unei distribuții continue de masă, această sumă se reduce la integrala q = ∫R 2 dm. Este de la sine înțeles că momentul θ nu trebuie confundat cu momentul de inerție eu despre axa. În caz de moment eu mase dm sunt înmulțite cu pătratele distanțelor față de această axă, iar în cazul momentului θ - până la un punct fix.

Luați în considerare mai întâi un punct material cu masă m si cu coordonate X, la,z raportat la sistemul de coordonate dreptunghiular (Fig. 4.7). Pătratele distanțelor sale față de axele de coordonate X,Y,Z egal, respectiv y 2 + z 2,z2 + x2,x 2 + y 2, iar momentele de inerție în jurul acelorași axe

eu X= m(y 2 + z 2), eu = m(z 2 + X 2),

eu Z = m(X 2 + y 2).

Adăugând aceste trei egalități, obținem I X + I Y + I Z = 2m(X 2 + y 2 +z 2).

Dar X 2 + y 2 +z 2 = R 2, unde R- distanta punctului m de la origine O. De aceea

I X + I Y + I Z = 2θ . (4.19)

Acest raport este valabil nu numai pentru un punct material, ci și pentru un corp arbitrar, deoarece corpul poate fi considerat ca un set de puncte materiale. În acest fel, suma momentelor de inerție ale unui corp în jurul a trei axe reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct O este egală cu dublul momentului de inerție al aceluiași corp în jurul acestui punct.

Moment de inerție al unei sfere goale cu pereți infinit de subțiri.

În primul rând, găsim momentul de inerție θ în jurul centrului mingii. Evident, este egal cu θ = mR 2 . Apoi aplicăm formula (4.19). Presupunând în ea având în vedere simetria I X = I Y = I Z = I. Ca urmare, găsim momentul de inerție al bilei goale în raport cu diametrul acesteia

Moment de inerție
Pentru a calcula momentul de inerție, trebuie să împărțim mental corpul în elemente suficient de mici, ale căror puncte pot fi considerate ca fiind situate la aceeași distanță de axa de rotație, apoi să găsim produsul masei fiecărui element cu pătratul. a distanței sale față de axă și, în final, însumați toți produsele rezultate. Evident, aceasta este o sarcină foarte intensivă în muncă. Pentru numărare
momentele de inerție ale corpurilor de formă geometrică regulată, în unele cazuri, pot fi utilizate metodele de calcul integral.
Aflarea sumei finite a momentelor de inerție ale elementelor corpului va fi înlocuită cu însumarea unui număr infinit de momente de inerție calculate pentru elemente infinit de mici:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (la ∆m → 0).
Să calculăm momentul de inerție al unui disc omogen sau al unui cilindru solid cu o înălțime h despre axa sa de simetrie

Să împărțim discul în elemente sub formă de inele concentrice subțiri cu centre pe axa de simetrie. Inelele rezultate au un diametru interior rși externă r + dr, și înălțimea h. pentru că dr<< r , atunci putem presupune că distanța tuturor punctelor inelului față de axă este r.
Pentru fiecare inel individual, momentul de inerție
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Unde ΣΔm este masa întregului inel.
Volumul soneriei 2prhdr. Dacă densitatea materialului discului ρ , apoi masa inelului
ρ2prhdr.
Momentul de inerție al inelului
i = 2πρhr 3dr.
Pentru a calcula momentul de inerție al întregului disc, este necesar să se însumeze momentele de inerție ale inelelor din centrul discului ( r = 0) până la marginea sa ( r = R), adică calculați integrala:
I = 2πρh 0 R ∫r 3dr,
sau
I = (1/2)πρhR 4.
Dar masa discului m = ρπhR 2, Prin urmare,
I = (1/2)mR 2.
Prezentăm (fără calcul) momentele de inerție pentru unele corpuri de formă geometrică regulată, realizate din materiale omogene.


 1. Momentul de inerție al unui inel subțire în jurul unei axe care trece prin centrul său perpendicular pe planul său (sau al unui cilindru gol cu ​​pereți subțiri în jurul axei sale de simetrie):
I = mR 2.
 2. Momentul de inerție al unui cilindru cu pereți groși în jurul axei de simetrie:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
Unde R1− interne şi R2− razele exterioare.
 3. Momentul de inerție al discului în jurul unei axe care coincide cu unul dintre diametrele sale:
I = (1/4)mR 2.
 4. Momentul de inerție al unui cilindru solid în jurul unei axe perpendiculare pe generatrice și care trece prin mijlocul acesteia:
I \u003d m (R 2 / 4 + h 2 / 12)
Unde R− raza bazei cilindrului, h este înălțimea cilindrului.
 5. Momentul de inerție al unei tije subțiri în jurul unei axe care trece prin mijlocul acesteia:
I = (1/12) ml 2,
Unde l este lungimea tijei.
 6. Momentul de inerție al unei tije subțiri în jurul unei axe care trece printr-unul dintre capete:
I = (1/3) ml 2
7. Momentul de inerție al bilei în jurul unei axe care coincide cu unul dintre diametrele acesteia:
I = (2/5)mR 2.

Dacă se cunoaște momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe care trece prin centrul său de masă, atunci momentul de inerție față de orice altă axă paralelă cu prima poate fi găsit pe baza așa-numitei teoreme Huygens-Steiner.
momentul de inerție al corpului eu faţă de orice axă este egală cu momentul de inerţie al corpului Este aproximativ o axă paralelă cu cea dată și care trece prin centrul de masă al corpului, plus masa corpului m ori pătratul distanței l intre axe:
I \u003d I c + ml 2.
Ca exemplu, calculăm momentul de inerție al unei bile cu rază R si greutate m suspendat pe un fir de lungime l, raportat la axa care trece prin punctul de suspensie O. Masa firului este mică în comparație cu masa mingii. Din momentul de inerție al mingii în jurul axei care trece prin centrul de masă Ic = (2/5)mR 2, și distanța
între axe ( l + R), apoi momentul de inerție în jurul axei care trece prin punctul de suspensie:
I = (2/5)mR2 + m(l + R)2.
Dimensiunea momentului de inerție:
[I] = [m] × = ML 2.

Aplicație. Momentul de inerție și calculul acestuia.

Lăsați corpul rigid să se rotească în jurul axei Z (Figura 6). Poate fi reprezentat ca un sistem de diferite puncte materiale m i , neschimbate în timp, fiecare dintre ele mișcându-se de-a lungul unui cerc cu o rază. r i situate într-un plan perpendicular pe axa Z. Vitezele unghiulare ale tuturor punctelor materiale sunt aceleași. Momentul de inerție al corpului față de axa Z este valoarea:

Unde - momentul de inerție al unui punct material separat în jurul axei OZ. Din definiție rezultă că momentul de inerție este cantitate de aditiv, adică momentul de inerție al unui corp format din părți separate este egal cu suma momentelor de inerție ale părților.

Figura 6

Evident, [ eu] = kg × m2. Importanța conceptului de moment de inerție este exprimată în trei formule:

; ; .

Prima dintre ele exprimă momentul unghiular al unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe Z (este util să comparăm această formulă cu expresia pentru impulsul unui corp P = mV c, Unde Vc este viteza centrului de masă). A doua formulă se numește ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație a unui corp în jurul unei axe fixe, adică, cu alte cuvinte, a doua lege a lui Newton pentru mișcarea de rotație (comparați cu legea mișcării centrului de masă: ). A treia formulă exprimă energia cinetică a unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe (comparați cu expresia pentru energia cinetică a unei particule ). Compararea formulelor ne permite să concluzionăm că momentul de inerție în mișcarea de rotație joacă un rol similar cu masa în sensul că cu cât este mai mare momentul de inerție al corpului, cu atât mai puțină accelerație unghiulară capătă, toate celelalte lucruri fiind egale ( corpul, la figurat vorbind, este mai greu de rotit). În realitate, calculul momentelor de inerție se reduce la calculul integralei triple și poate fi efectuat doar pentru un număr limitat de corpuri simetrice și numai pentru axele de simetrie. Numărul de axe în jurul cărora corpul se poate roti este infinit de mare. Dintre toate axele se remarcă unul care trece printr-un punct minunat al corpului - centrul de greutate (un punct, pentru a descrie mișcarea căruia este suficient să ne imaginăm că întreaga masă a sistemului este concentrată în centrul de masă și în acest punct se aplică o forță egală cu suma tuturor forțelor). Dar există și o infinitate de axe care trec prin centrul de masă. Se pare că pentru orice corp rigid de formă arbitrară, există trei axe reciproc perpendiculare C x, C y, Cz, numit axele de rotație liberă , care au o proprietate remarcabilă: dacă corpul este răsucit în jurul oricăreia dintre aceste axe și aruncat în sus, atunci în timpul mișcării ulterioare a corpului, axa va rămâne paralelă cu ea însăși, adică. nu se va prăbuși. Răsucirea în jurul oricărei alte axe nu are această proprietate. Valoarea momentelor de inerție ale corpurilor tipice față de axele indicate este dată mai jos. Dacă axa trece prin centrul de masă, dar face unghiuri a, b, g cu axele C x, C y, Czîn consecință, momentul de inerție în jurul unei astfel de axe este egal cu

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Luați în considerare pe scurt calculul momentului de inerție pentru cele mai simple corpuri.

1.Momentul de inerție al unei tije lungi și subțiri omogene în jurul unei axe care trece prin centrul de masă al tijei și perpendicular pe acesta.

Lăsa t - masa tijei, l - lungimea acestuia.

,

Index " Cu» în momentul de inerţie ICînseamnă că acesta este momentul de inerție în jurul axei care trece prin punctul centrului de masă (centrul de simetrie al corpului), C(0,0,0).

2. Momentul de inerție al unei plăci dreptunghiulare subțiri.

; ;

3. Momentul de inerție al unui paralelipiped dreptunghiular.

, t. C(0,0,0)

4. Momentul de inerție al unui inel subțire.

;

, t. C(0,0,0)

5. Momentul de inerție al unui disc subțire.

Din cauza simetriei

; ;

6. Momentul de inerție al unui cilindru solid.

;

Din cauza simetriei:

7. Momentul de inerție al unei bile solide.

, t. C(0,0,0)

8. Momentul de inerție al unui con solid.

, t. C(0,0,0)

Unde R este raza bazei, h este înălțimea conului.

Reamintim că cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. În cele din urmă, dacă axa O nu trece prin centrul de masă, atunci momentul de inerție al corpului poate fi calculat folosind teorema Huygens Steiner

I o \u003d I c + md 2, (**)

Unde eu o este momentul de inerție al corpului față de o axă arbitrară, Este- momentul de inerție în jurul unei axe paralele cu aceasta, care trece prin centrul de masă,
m- masa corpului, d- distanta dintre osii.

Procedura de calcul a momentelor de inerție pentru corpurile de formă standard față de o axă arbitrară este următoarea.