Cum să desenezi o bisectoare perpendiculară într-un triunghi dreptunghic. Proprietăți ale bisectoarei perpendiculare pe un segment de dreaptă

Există așa-numitele patru puncte remarcabile într-un triunghi: punctul de intersecție al medianelor. Punctul de intersecție al bisectoarelor, punctul de intersecție al înălțimilor și punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare. Să luăm în considerare fiecare dintre ele.

Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi

Teorema 1

La intersecția medianelor unui triunghi: Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și împart punctul de intersecție într-un raport de $2:1$ începând de la vârf.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ este mediana acestuia. Deoarece medianele împart laturile în jumătate. Luați în considerare linia de mijloc $A_1B_1$ (Fig. 1).

Figura 1. Medianele unui triunghi

După teorema 1, $AB||A_1B_1$ și $AB=2A_1B_1$, deci $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Prin urmare, triunghiurile $ABM$ și $A_1B_1M$ sunt similare conform primului criteriu de asemănare a triunghiului. Apoi

În mod similar, se dovedește că

Teorema a fost demonstrată.

Punct de intersecție al bisectoarelor unui triunghi

Teorema 2

La intersecția bisectoarelor unui triunghi: Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $AM,\ BP,\ CK$ sunt bisectoarele sale. Fie punctul $O$ punctul de intersecție al bisectoarelor $AM\ și\ BP$. Desenați din acest punct perpendicular pe laturile triunghiului (Fig. 2).

Figura 2. Bisectoarele unui triunghi

Teorema 3

Fiecare punct al bisectoarei unui unghi neexpandat este echidistant de laturile sale.

Prin teorema 3, avem: $OX=OZ,\ OX=OY$. Prin urmare, $OY=OZ$. Prin urmare, punctul $O$ este echidistant de laturile unghiului $ACB$ și, prin urmare, se află pe bisectoarea sa $CK$.

Teorema a fost demonstrată.

Punct de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi

Teorema 4

Bisectoarele perpendiculare ale laturilor unui triunghi se intersectează într-un punct.

Dovada.

Fie dat un triunghi $ABC$, $n,\ m,\ p$ bisectoarele sale perpendiculare. Fie punctul $O$ punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare $n\ și\ m$ (Fig. 3).

Figura 3. Bisectoare perpendiculare ale unui triunghi

Pentru demonstrație avem nevoie de următoarea teoremă.

Teorema 5

Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele segmentului dat.

Prin teorema 3, avem: $OB=OC,\ OB=OA$. Prin urmare, $OA=OC$. Aceasta înseamnă că punctul $O$ este echidistant de capetele segmentului $AC$ și, prin urmare, se află pe bisectoarea sa perpendiculară $p$.

Teorema a fost demonstrată.

Punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului

Teorema 6

Înălțimile unui triunghi sau prelungirile lor se intersectează într-un punct.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ este înălțimea acestuia. Desenați o linie prin fiecare vârf al triunghiului paralel cu latura opusă vârfului. Obținem un nou triunghi $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).

Figura 4. Înălțimile unui triunghi

Deoarece $AC_2BC$ și $B_2ABC$ sunt paralelograme cu o latură comună, atunci $AC_2=AB_2$, adică punctul $A$ este punctul de mijloc al laturii $C_2B_2$. În mod similar, obținem că punctul $B$ este punctul de mijloc al laturii $C_2A_2$, iar punctul $C$ este punctul de mijloc al laturii $A_2B_2$. Din construcție avem că $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Prin urmare, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sunt bisectoarele perpendiculare ale triunghiului $A_2B_2C_2$. Apoi, prin teorema 4, avem că înălțimile $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se intersectează într-un punct.

Perpendiculară mijlocie (perpendiculară mediană sau mijlocitoare) - Drept , perpendicular la acest segment si trecand prin ea mijloc.

Proprietăți

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ unde indicele indică partea pe care este trasată perpendiculara, $S$ este aria triunghiului și, de asemenea, se presupune că laturile sunt legate prin inegalități $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$și $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ Cu alte cuvinte, pentru un triunghi, cea mai mică bisectoare perpendiculară se referă la segmentul din mijloc.

Scrieți o recenzie la articolul „Middle Perpendicular”

Note

Un fragment care caracterizează bisectoarea perpendiculară

Kutuzov, oprindu-se să mestece, se uită mirat la Wolzogen, de parcă n-ar fi înțeles ce i se spune. Wolzogen, observând entuziasmul lui des alten Herrn, [bătrânul domn (german)], spuse zâmbind:
- Nu m-am considerat îndreptățit să ascund domniei tale ceea ce am văzut... Trupele sunt în dezordine completă...
- Ai vazut? Ai văzut? .. - strigă Kutuzov încruntat, ridicându-se repede și înaintând spre Wolzogen. „Cum îndrăznești... cum îndrăznești...!” strigă el, făcând gesturi amenințătoare cu mâinile tremurând și sufocându-se. - Cum îndrăznești, dragul meu domn, să-mi spui asta. Nu știi nimic. Spune-i generalului Barclay de la mine că informațiile lui sunt incorecte și că mie, comandantul șef, mie, comandantul șef, știu mai bine decât el.
Wolzogen a vrut să obiecteze ceva, dar Kutuzov l-a întrerupt.
- Inamicul este respins pe stânga și înfrânt pe flancul drept. Dacă nu ați văzut bine, stimate domnule, atunci nu vă permiteți să spuneți ceea ce nu știți. Vă rugăm să mergeți la generalul Barclay și să-i transmiteți intenția mea indispensabilă de a ataca inamicul mâine ”, a spus Kutuzov cu severitate. Toată lumea a tăcut și se auzea o respirație grea a bătrânului general slăbit. - Respins pretutindeni, pentru care îi mulțumesc lui Dumnezeu și bravei noastre armate. Inamicul este învins, iar mâine îl vom alunga din pământul sacru rusesc, - spuse Kutuzov, făcându-și cruce; și deodată a izbucnit în lacrimi. Wolzogen, ridicând din umeri și răsucindu-și buzele, se dădu în tăcere într-o parte, întrebându-se de uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [pe această tiranie a bătrânului domn. (Limba germana)]
„Da, iată-l, eroul meu”, i-a spus Kutuzov generalului plinuț și frumos cu părul negru, care în acel moment intra în movilă. Era Raevski, care petrecuse toată ziua în punctul principal al câmpului Borodino.
Raevski a raportat că trupele erau ferm la locul lor și că francezii nu mai îndrăzneau să atace. După ce l-a ascultat, Kutuzov a spus în franceză:
– You ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous pensionar? [Deci nu crezi, ca ceilalți, că ar trebui să ne retragem?]

Instruire

Desenați o linie prin punctele de intersecție ale cercurilor. Ați primit bisectoarea perpendiculară pe segmentul dat.

Acum să ni se dea un punct și o dreaptă. Este necesar să se deseneze o perpendiculară din acest punct spre.Puneți acul în punct. Desenați un cerc cu rază (raza trebuie să fie de la un punct la o dreaptă, astfel încât cercul să poată intersecta linia în două puncte). Acum ai două puncte pe linie. Aceste puncte creează o linie. Construiți bisectoarea perpendiculară pe segment, capetele sunt punctele obținute, conform algoritmului discutat mai sus. Perpendiculara trebuie să treacă prin punctul de plecare.

Construirea liniilor drepte este baza desenului tehnic. Acum acest lucru se face din ce în ce mai mult cu ajutorul editorilor grafici, care oferă designerului oportunități mari. Cu toate acestea, unele principii de construcție rămân aceleași ca în desenul clasic - folosind un creion și o riglă.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - creion;
• - rigla;
• - calculator cu software AutoCAD.

Instruire

Începeți cu o construcție clasică. Determinați planul în care veți trage linia. Să fie acesta planul unei foi de hârtie. În funcție de condițiile problemei, aranjați . Ele pot fi arbitrare, dar este posibil să fie dat un sistem de coordonate. Puncte arbitrare puse acolo unde vă place mai mult. Etichetați-le A și B. Folosiți o riglă pentru a le conecta. Conform axiomei, este întotdeauna posibil să se tragă o linie dreaptă prin două puncte și doar unul.

Desenați un sistem de coordonate. Să vi se acorde punctele A (x1; y1). Pentru a le obține, este necesar să lăsați deoparte numărul necesar de-a lungul axei x și să trasați o linie dreaptă paralelă cu axa y prin punctul marcat. Apoi trasați o valoare egală cu y1 de-a lungul axei corespunzătoare. Desenați o perpendiculară din punctul marcat până când se intersectează cu. Locul intersecției lor va fi punctul A. În același mod, găsiți punctul B, ale cărui coordonate pot fi notate ca (x2; y2). Conectați ambele puncte.

În AutoCAD, o linie dreaptă poate fi construită cu mai multe . Funcția „de” este de obicei setată implicit. Găsiți fila „Acasă” în meniul de sus. Veți vedea panoul Desen în fața dvs. Găsiți butonul cu linia dreaptă și faceți clic pe el.

AutoCAD vă permite, de asemenea, să setați coordonatele ambelor. Introduceți linia de comandă de mai jos (_xline). Apasa Enter. Introduceți coordonatele primului punct și apăsați, de asemenea, enter. Definiți al doilea punct în același mod. Poate fi specificat și printr-un clic de mouse, plasând cursorul în punctul dorit de pe ecran.

În AutoCAD, puteți construi o linie dreaptă nu numai după două puncte, ci și după unghiul de înclinare. Din meniul contextual Desenare, selectați o linie dreaptă și apoi opțiunea Unghi. Punctul de pornire poate fi setat prin clic de mouse sau prin , ca în metoda anterioară. Apoi setați dimensiunea colțului și apăsați Enter. În mod implicit, linia va fi poziționată la unghiul dorit față de orizontală.

Videoclipuri asemănătoare

Pe un desen complex (diagrama) perpendicularitate directă şi avion determinată de prevederile de bază: dacă o latură a unui unghi drept este paralelă avion proiecții, apoi un unghi drept este proiectat pe acest plan fără distorsiuni; dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează avion, este perpendicular pe aceasta avion.

Vei avea nevoie

• Creion, riglă, raportor, triunghi.

Instruire

Exemplu: prin punctul M trageți o perpendiculară pe avion A desena o perpendiculară pe avion, există două linii care se intersectează în aceasta avion, și construiți o dreaptă perpendiculară pe acestea. Frontalul și orizontalul sunt alese ca aceste două linii care se intersectează. avion.

Frontul f(f₁f₂) este o linie dreaptă situată în interior avion si paralel cu fata avion proiecții П₂. Deci f₂ este valoarea sa naturală și f₁ este întotdeauna paralelă cu x₁₂. Din punctul A₂ trageți h₂ paralel cu x₁₂ și obțineți punctul 1₂ pe B₂C₂.

Cu ajutorul unei linii de proiecție a punctului de comunicare 1₁ pe В₁С₁. Conectați-vă cu A₁ - aceasta este h₁ - dimensiunea naturală a orizontalei. Din punctul B₁ trageți f₁‖x₁₂, pe A₁C₁ obțineți punctul 2₁. Găsiți punctul 2₂ pe A₂C₂ folosind linia de conectare a proiecției. Conectați-vă cu punctul B₂ - acesta va fi f₂ - dimensiunea completă a față.

Construite orizontale naturale h₁ și frontale f₂ ale proiecțiilor perpendicularei pe avion. Din punctul M₂, desenați proiecția sa frontală a₂ la un unghi de 90