Puncte ale extremului posibil al funcției. Creșterea, descreșterea și extremele unei funcții

Luați în considerare doi dinți ai unui profil de ferăstrău binecunoscut. Să direcționăm axa de-a lungul părții plate a ferăstrăului, iar axa - perpendiculară pe aceasta. Să obținem un grafic al unei funcții, prezentată în Fig. unu.

Este destul de evident că atât la punct, cât și la punct, valorile funcției se dovedesc a fi cele mai mari în comparație cu valorile din punctele vecine din dreapta și din stânga, iar la punctul - cel mai mic în comparație cu punctele învecinate. Punctele se numesc punctele extreme ale funcției (din latinescul extremum - „extrem”), punctele și sunt punctele maxime, iar punctul este punctul minim (din latinescul maxim și minim - „cel mai mare” și „cel mai mic". ”).

Să rafinăm definiția unui extremum.

Se spune că o funcție într-un punct are un maxim dacă există un interval care conține punctul și aparține domeniului funcției, astfel încât pentru toate punctele acestui interval se dovedește a fi . În consecință, funcția într-un punct are un minim dacă condiția este îndeplinită pentru toate punctele dintr-un anumit interval.

Pe fig. Figurile 2 și 3 prezintă grafice ale funcțiilor care au un extremum într-un punct.

Să acordăm atenție faptului că, prin definiție, punctul extremum trebuie să se afle în intervalul de setare a funcției, și nu la sfârșitul acesteia. Prin urmare, pentru funcția prezentată în Fig. 1, nu se poate presupune că are un minim la punct.

Dacă în această definiție a maximului (minimului) unei funcții, înlocuim inegalitatea strictă cu una nestrictă , atunci obținem definiția unui maxim nestrict (minimum nestrict). Luați în considerare, de exemplu, profilul unui vârf de munte (Fig. 4). Fiecare punct al unei zone plane - un segment este un punct maxim nestrict.

În calculul diferențial, studiul unei funcții pentru extrema este foarte eficient și destul de simplu efectuat folosind o derivată. Una dintre principalele teoreme ale calculului diferenţial, care stabileşte o condiţie necesară pentru extremul unei funcţii diferenţiabile, este teorema lui Fermat (vezi teorema lui Fermat). Fie ca funcția dintr-un punct să aibă un extrem. Dacă există o derivată în acest punct, atunci aceasta este egală cu zero.

În limbajul geometric, teorema lui Fermat înseamnă că în punctul extremum tangenta la graficul funcției este orizontală (Fig. 5). Afirmația inversă, desigur, nu este adevărată, ceea ce este arătat, de exemplu, de graficul din Fig. 6.

Teorema este numită după matematicianul francez P. Fermat, care a fost unul dintre primii care a rezolvat o serie de probleme extreme. Încă nu avea la dispoziție conceptul de derivată, dar în investigația sa a folosit o metodă a cărei esență este exprimată în enunțul teoremei.

O condiție suficientă pentru extremul unei funcții diferențiabile este o modificare a semnului derivatei. Dacă la un moment dat derivata își schimbă semnul din minus în plus, i.e. scăderea sa este înlocuită cu o creștere, atunci punctul va fi punctul minim. Dimpotriva, punctul va fi punctul maxim daca derivata isi schimba semnul din plus in minus, i.e. trece de la ascendent la descendent.

Punctul în care derivata funcției este egală cu zero se numește staționar. Dacă o funcție diferențiabilă este investigată pentru un extremum, atunci toate punctele sale staționare ar trebui găsite și semnele derivatei trebuie luate în considerare la stânga și la dreapta acestora.

Investigăm funcția pentru un extremum.

Să-i găsim derivata: .

Găsim valorile funcției la punctele extreme: , . Graficul funcției este prezentat în Fig. opt.

Rețineți că există cazuri când extremul este atins într-un punct în care derivata nu există. Acestea sunt punctele extreme ale profilului ferăstrăului; un exemplu de astfel de funcție este dat și în Fig. unu.

Problemele maxime și minime sunt de mare importanță în fizică, mecanică și diverse aplicații ale matematicii. Ele au fost problemele care au condus matematica la crearea calculului diferențial, iar calculul diferențial a oferit o metodă generală puternică pentru rezolvarea problemelor extremum folosind derivata.

Extreme ale funcției

Definiția 2

Un punct $x_0$ se numește punct de maxim al funcției $f(x)$ dacă există o vecinătate a acestui punct astfel încât pentru toți $x$ din această vecinătate inegalitatea $f(x)\le f(x_0). )$ este mulțumit.

Definiția 3

Un punct $x_0$ se numește punct maxim al funcției $f(x)$ dacă există o vecinătate a acestui punct astfel încât pentru toți $x$ din această vecinătate inegalitatea $f(x)\ge f(x_0) $ este mulțumit.

Conceptul de extremum al unei funcții este strâns legat de conceptul de punct critic al unei funcții. Să introducem definiția lui.

Definiția 4

$x_0$ se numește punct critic al funcției $f(x)$ dacă:

1) $x_0$ - punct intern al domeniului de definire;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ sau nu există.

Pentru conceptul de extremum, se pot formula teoreme asupra condițiilor suficiente și necesare pentru existența acestuia.

Teorema 2

Condiție extremum suficientă

Fie punctul $x_0$ critic pentru funcția $y=f(x)$ și se află în intervalul $(a,b)$. Fie pe fiecare interval $\left(a,x_0\right)\ și\ (x_0,b)$ derivata $f"(x)$ și păstrați un semn constant. Atunci:

1) Dacă pe intervalul $(a,x_0)$ derivata $f"\left(x\right)>0$, iar pe intervalul $(x_0,b)$ derivata $f"\left(x\ dreapta)

2) Dacă derivata $f"\left(x\right)0$ este pe intervalul $(a,x_0)$, atunci punctul $x_0$ este punctul minim pentru această funcție.

3) Dacă atât pe intervalul $(a,x_0)$ cât și pe intervalul $(x_0,b)$ derivata $f"\left(x\right) >0$ sau derivata $f"\left(x \dreapta)

Această teoremă este ilustrată în figura 1.

Figura 1. Condiție suficientă pentru existența extremei

Exemple de extreme (Fig. 2).

Figura 2. Exemple de puncte extreme

Regula pentru examinarea unei funcții pentru un extremum

2) Aflați derivata $f"(x)$;

7) Trageți concluzii despre prezența maximelor și minimelor pe fiecare interval, folosind teorema 2.

Funcția Crescător și Descrescător

Să introducem mai întâi definițiile funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Definiția 5

O funcție $y=f(x)$ definită pe un interval $X$ se numește crescător dacă pentru orice puncte $x_1,x_2\in X$ pentru $x_1

Definiția 6

O funcție $y=f(x)$ definită pe un interval $X$ se numește descrescătoare dacă pentru orice puncte $x_1,x_2\in X$ pentru $x_1f(x_2)$.

Examinarea unei funcții pentru creștere și scădere

Puteți investiga funcțiile de creștere și scădere folosind derivata.

Pentru a examina o funcție pentru intervale de creștere și scădere, trebuie să faceți următoarele:

1) Aflați domeniul funcției $f(x)$;

2) Aflați derivata $f"(x)$;

3) Găsiți punctele în care egalitatea $f"\left(x\right)=0$;

4) Găsiți puncte în care $f"(x)$ nu există;

5) Marcați pe linia de coordonate toate punctele găsite și domeniul funcției date;

6) Să se determine semnul derivatei $f"(x)$ pe fiecare interval rezultat;

7) Concluzi: la intervalele în care $f"\left(x\right)0$ funcția crește.

Exemple de probleme pentru studiul funcțiilor de creștere, descreștere și prezența punctelor extreme

Exemplul 1

Investigați funcția de creștere și scădere și prezența punctelor de maxime și minime: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Deoarece primele 6 puncte sunt aceleași, le vom extrage mai întâi.

1) Domeniul definiției - toate numerele reale;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ există în toate punctele domeniului de definiție;

5) Linia de coordonate:

Figura 3

6) Determinați semnul derivatei $f"(x)$ pe fiecare interval:

\ \.

Soluţie

Găsiți derivata funcției inițiale prin formula pentru derivata produsului y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\stanga(e^x\dreapta)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Să calculăm zerourile derivatei: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Să plasăm semnele derivatei și să determinăm intervalele de monotonitate ale funcției originale pe un interval dat.

Din figură se poate observa că pe intervalul [-3; 0] funcția inițială crește și scade pe segment. Astfel, cea mai mare valoare pe intervalul [-3; 2] se realizează la x=0 și este egal cu y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Răspuns

Condiție

Găsiți cea mai mare valoare a funcției y=12x-12tg x-18 pe segment \stânga.

Soluţie

y"= (12x)"-12(tgx)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Aceasta înseamnă că funcția inițială este necrescătoare pe intervalul luat în considerare și ia cea mai mare valoare la capătul din stânga segmentului, adică la x=0. Cea mai mare valoare este y(0)= 12\cdot 0-12tg(0)-18= -18.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Aflați punctul minim al funcției y=(x+8)^2e^(x+52).

Soluţie

Vom găsi punctul minim al funcției folosind derivata. Să găsim derivata funcției date folosind formulele pentru derivata produsului, derivata lui x^\alpha și e^x:

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Să aranjam semnele derivatei și să determinăm intervalele de monotonitate ale funcției originale. e^(x+52)>0 pentru orice x . y"=0 când x=-8, x=-10.

Figura arată că funcția y=(x+8)^2e^(x+52) are un singur punct minim x=-8.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Găsiți punctul maxim al funcției y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Soluţie

ODZ: x \geqslant 0. Aflați derivata funcției inițiale:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Să calculăm zerourile derivatei:

8-\sqrtx=0;

\sqrtx=8;

x=64.

Să aranjam semnele derivatei și să determinăm intervalele de monotonitate ale funcției originale.

Din figură se poate observa că punctul x=64 este singurul punct maxim al funcției date.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Găsiți cea mai mică valoare a funcției y=5x^2-12x+2\ln x+37 pe segment \left[\frac35; \frac75\dreapta].

Soluţie

ODZ: x>0.

Găsiți derivata funcției inițiale:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Să definim zerourile derivatei: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\dreapta],

x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\dreapta].

Aranjam semnele derivatei și determinăm intervalele de monotonitate ale funcției originale pe intervalul luat în considerare.

Din figură se vede că pe segment \left[\frac35; 1\dreapta] funcția inițială este în scădere, iar pe interval \stânga crește. Astfel, cea mai mică valoare de pe segment \left[\frac35; \frac75\dreapta] este atins la x=1 si este egal cu y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Aflați cea mai mare valoare a funcției y=(x+4)^2(x+1)+19 pe segmentul [-5; -3].

Soluţie

Găsiți derivata funcției inițiale folosind formula pentru derivata produsului.

Intervalele crescătoare și descrescătoare oferă informații foarte importante despre comportamentul unei funcții. Găsirea acestora face parte din procesul de explorare a funcțiilor și de trasare. În plus, punctelor extreme, la care există o schimbare de la creștere la scădere sau de la scădere la creștere, li se acordă o atenție deosebită atunci când se găsesc cele mai mari și mai mici valori ale funcției pe un anumit interval.

În acest articol, vom da definițiile necesare, vom formula un criteriu suficient pentru creșterea și scăderea unei funcții pe un interval și condiții suficiente pentru existența unui extremum și vom aplica toată această teorie la rezolvarea de exemple și probleme.

Navigare în pagină.

Funcția crescătoare și descrescătoare pe un interval.

Definiția unei funcții crescătoare.

Funcția y=f(x) crește pe intervalul X dacă pentru oricare și inegalitatea este satisfăcută. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.

Descreșterea definiției funcției.

Funcția y=f(x) scade pe intervalul X dacă pentru oricare și inegalitatea . Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

OBSERVAȚIE: dacă funcția este definită și continuă la capetele intervalului de creștere sau scădere (a;b) , adică la x=a și x=b , atunci aceste puncte sunt incluse în intervalul de creștere sau scădere. Acest lucru nu contrazice definițiile unei funcții crescătoare și descrescătoare pe intervalul X .

De exemplu, din proprietățile funcțiilor elementare de bază, știm că y=sinx este definit și continuu pentru toate valorile reale ale argumentului. Prin urmare, din creșterea funcției sinus pe interval, putem afirma creșterea pe interval .

Puncte extreme, funcția extremă.

Punctul se numește punct maxim funcția y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul maxim functia maximași notează .

Punctul se numește punct minim funcția y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul minim funcția minimăși notează .

Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.

Se numesc punctele minime și maxime puncte extremum, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite funcția extremă.

Nu confundați extremele unei funcții cu valorile maxime și minime ale funcției.

În prima figură, valoarea maximă a funcției de pe segment este atinsă în punctul maxim și este egală cu maximul funcției, iar în a doua figură, valoarea maximă a funcției este atinsă în punctul x=b , care nu este punctul maxim.

Condiții suficiente pentru creșterea și scăderea funcțiilor.

Pe baza unor conditii (semne) suficiente pentru cresterea si scaderea functiei se gasesc intervalele de crestere si scadere a functiei.

Iată formulările semnelor funcțiilor crescătoare și descrescătoare pe interval:

• dacă derivata funcției y=f(x) este pozitivă pentru orice x din intervalul X , atunci funcția crește cu X ;
• dacă derivata funcției y=f(x) este negativă pentru orice x din intervalul X , atunci funcția este descrescătoare pe X .

Astfel, pentru a determina intervalele de creștere și scădere a unei funcții, este necesar:

Luați în considerare un exemplu de găsire a intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare pentru a clarifica algoritmul.

Exemplu.

Aflați intervalele de creștere și scădere ale funcției.

Soluţie.

Primul pas este să găsiți domeniul de aplicare al funcției. În exemplul nostru, expresia din numitor nu ar trebui să dispară, prin urmare, .

Să trecem la găsirea derivatei funcției:

Pentru a determina intervalele de creștere și scădere ale unei funcții după un criteriu suficient, rezolvăm inegalitățile și pe domeniul definiției. Să folosim o generalizare a metodei intervalului. Singura rădăcină reală a numărătorului este x = 2 , iar numitorul dispare la x=0 . Aceste puncte împart domeniul definiției în intervale în care derivata funcției își păstrează semnul. Să notăm aceste puncte pe linia numerică. Prin plusuri și minusuri, notăm condiționat intervalele la care derivata este pozitivă sau negativă. Săgețile de mai jos arată schematic creșterea sau scăderea funcției pe intervalul corespunzător.

În acest fel, și .

La punctul x=2 functia este definita si continua, deci trebuie adaugata atat intervalului ascendent cat si descendent. La punctul x=0, funcția nu este definită, deci acest punct nu este inclus în intervalele necesare.

Prezentăm graficul funcției pentru a compara rezultatele obținute cu aceasta.

Răspuns:

Funcția crește la , scade pe intervalul (0;2] .

Condiții suficiente pentru extremul unei funcții.

Pentru a găsi maximele și minimele unei funcții, puteți folosi oricare dintre cele trei semne extreme, desigur, dacă funcția le îndeplinește condițiile. Cel mai comun și convenabil este primul dintre ele.

Prima condiție suficientă pentru un extremum.

Fie funcția y=f(x) să fie diferențiabilă într-o vecinătate a punctului și să fie continuă în punctul însuși.

Cu alte cuvinte:

Algoritm pentru găsirea punctelor extremum după primul semn al funcției extremum.

• Găsirea domeniului de aplicare al funcției.
• Găsim derivata funcției pe domeniul definiției.
• Determinăm zerourile numărătorului, zerourile numitorului derivatei și punctele domeniului în care derivata nu există (toate punctele enumerate se numesc puncte de extremum posibil, trecând prin aceste puncte, derivata doar își poate schimba semnul).
• Aceste puncte împart domeniul funcției în intervale în care derivata își păstrează semnul. Determinăm semnele derivatei pe fiecare dintre intervale (de exemplu, calculând valoarea derivatei funcției în orice punct dintr-un singur interval).
• Selectăm puncte în care funcția este continuă și, trecând prin care, derivata își schimbă semnul - sunt punctele extreme.

Prea multe cuvinte, să luăm în considerare câteva exemple de găsire de puncte extreme și extreme ale unei funcții folosind prima condiție suficientă pentru extremul unei funcții.

Exemplu.

Aflați extremele funcției.

Soluţie.

Domeniul de aplicare al funcției este întregul set de numere reale, cu excepția x=2 .

Găsim derivata:

Zerurile numărătorului sunt punctele x=-1 și x=5 , numitorul merge la zero la x=2 . Marcați aceste puncte pe dreapta numerică

Determinăm semnele derivatei pe fiecare interval, pentru aceasta calculăm valoarea derivatei în oricare dintre punctele fiecărui interval, de exemplu, în punctele x=-2, x=0, x=3 și x= 6 .

Prin urmare, derivata este pozitivă pe interval (în figură punem semnul plus peste acest interval). În mod similar

Prin urmare, punem un minus peste al doilea interval, un minus peste al treilea și un plus peste al patrulea.

Rămâne de ales punctele în care funcția este continuă și derivata ei își schimbă semnul. Acestea sunt punctele extreme.

La punctul x=-1 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, conform primului semn al extremului, x=-1 este punctul maxim, corespunde maximului funcției .

La punctul x=5 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul din minus în plus, prin urmare, x=-1 este punctul minim, corespunde minimului funcției .

Ilustrație grafică.

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți: primul semn suficient al unui extremum nu necesită ca funcția să fie diferențiabilă în punctul însuși.

Exemplu.

Găsiți punctele extreme și extremele unei funcții .

Soluţie.

Domeniul funcției este întregul set de numere reale. Funcția în sine poate fi scrisă ca:

Să găsim derivata funcției:

La punctul x=0 derivata nu există, deoarece valorile limitelor unilaterale nu coincid atunci când argumentul tinde spre zero:

În același timp, funcția inițială este continuă în punctul x=0 (vezi secțiunea privind investigarea unei funcții pentru continuitate):

Găsiți valorile argumentului la care derivata dispare:

Marcam toate punctele obtinute pe dreapta reala si determinam semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Pentru a face acest lucru, calculăm valorile derivatei în puncte arbitrare ale fiecărui interval, de exemplu, când x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Acesta este,

Astfel, conform primului semn al unui extremum, punctele minime sunt , punctele maxime sunt .

Calculăm minimele corespunzătoare ale funcției

Calculăm maximele corespunzătoare ale funcției

Ilustrație grafică.

Răspuns:

.

Al doilea semn al extremului funcției.

După cum puteți vedea, acest semn al extremului funcției necesită existența unei derivate cel puțin până la ordinul doi în punctul .