Să facem un desen

În problema noastră, funcția U(x) are o formă specială, discontinuă: este egală cu zero între pereți, iar la marginile puțului (pe pereți) devine infinită:

Scriem ecuația Schrödinger pentru stările staționare ale particulelor în punctele situate între pereți:

sau, dacă luăm în considerare formula (1.1)

Ecuația (1.3) trebuie completată cu condiții la limită pe pereții puțului. Să luăm în considerare faptul că funcția de undă este legată de probabilitatea de a găsi particule. În plus, în funcție de condițiile problemei, o particulă nu poate fi detectată în afara pereților. Apoi funcția de undă de pe pereți și dincolo trebuie să dispară, iar condițiile la limită ale problemei iau o formă simplă:

Acum să începem să rezolvăm ecuația (1.3). În special, se poate ține cont de faptul că soluția sa sunt undele de Broglie. Dar o undă de Broglie ca soluție în mod clar nu se aplică problemei noastre, deoarece descrie cu siguranță o particulă liberă „curgând” într-o direcție. În cazul nostru, particulele rulează „înainte și înapoi” între pereți. În acest caz, pe baza principiului suprapunerii, soluția dorită poate fi reprezentată ca două unde de Broglie care se îndreaptă una spre alta cu momente p și -p, adică sub forma:

Constantele și pot fi găsite dintr-una dintre condițiile la limită și condiția de normalizare. Acesta din urmă sugerează că, dacă însumați toate probabilitățile, adică găsiți probabilitatea de a găsi un electron între pereți în general în (orice loc), atunci obțineți unul (probabilitatea unui eveniment de încredere este 1), adică:

Conform primei condiții la limită, avem:

Astfel, obținem soluția la problema noastră:

După cum se știe, . Prin urmare, soluția găsită poate fi rescrisă astfel:

Constanta A este determinată din condiția de normalizare. Dar aici nu prezintă un interes deosebit. A doua condiție limită rămâne nefolosită. Ce rezultat oferă? După cum se aplică la soluția găsită (1.5), aceasta conduce la ecuația:

Din aceasta vedem că în problema noastră impulsul p poate lua nu orice valoare, ci doar valorile

Apropo, n nu poate fi egal cu zero, deoarece funcția de undă ar fi atunci egală cu zero peste tot în intervalul (0…l)! Aceasta înseamnă că particulele dintre pereți nu pot fi în repaus! Trebuie să se miște. Electronii de conducere se găsesc în condiții similare într-un metal. Concluzia obținută se aplică și acestora: electronii dintr-un metal nu pot fi staționari.

Cel mai mic impuls posibil al unui electron în mișcare este

Am arătat că impulsul electronilor își schimbă semnul atunci când este reflectat de pereți. Prin urmare, întrebarea care este impulsul unui electron atunci când este blocat între pereți nu poate fi răspuns cu siguranță: fie +p, fie -p. Momentul este nedeterminat. Gradul său de incertitudine este definit în mod evident astfel: =p-(-p)=2p. Incertitudinea coordonatei este egală cu l; dacă încercați să „prindeți” un electron, atunci acesta va fi găsit în limitele dintre pereți, dar unde exact este necunoscut. Deoarece cea mai mică valoare a lui p este , obținem:

Am confirmat relația Heisenberg în condițiile problemei noastre, adică cu condiția ca cea mai mică valoare a lui p să existe. Dacă avem în vedere o valoare posibilă în mod arbitrar a impulsului, atunci relația de incertitudine ia următoarea formă:

Aceasta înseamnă că postulatul inițial al lui Heisenberg-Bohr despre incertitudine stabilește doar limita inferioară a incertitudinilor posibile în măsurători. Dacă la începutul mișcării sistemul era înzestrat cu incertitudini minime, atunci în timp acestea pot crește.

Cu toate acestea, formula (1.6) indică o altă concluzie extrem de interesantă: se dovedește că impulsul unui sistem în mecanica cuantică nu este întotdeauna capabil să se schimbe continuu (cum este întotdeauna cazul în mecanica clasică). Spectrul de impuls al particulelor din exemplul nostru este discret; impulsul particulelor dintre pereți se poate modifica doar în salturi (cuante). Valoarea saltului în problema considerată este constantă și egală cu .

Pe fig. 2. Spectrul valorilor posibile ale impulsului particulei este clar arătat. Astfel, discretitatea modificării mărimilor mecanice, care este complet străină de mecanica clasică, în mecanica cuantică decurge din aparatul ei matematic. Când este întrebat de ce se schimbă impulsul în sărituri, este imposibil să găsești unul clar. Acestea sunt legile mecanicii cuantice; concluzia noastră decurge din ele în mod logic – aceasta este toată explicația.

Să ne întoarcem acum la energia particulei. Energia este legată de impuls prin formula (1). Dacă spectrul de impuls este discret, atunci se dovedește automat că spectrul de valori ale energiei particulelor dintre pereți este, de asemenea, discret. Și el este elementar. Dacă valorile posibile conform formulei (1.6) sunt înlocuite în formula (1.1), obținem:

unde n = 1, 2,... și se numește număr cuantic.

Astfel, am primit niveluri de energie.

orez. 3.

Orez. 3 prezintă dispunerea nivelurilor de energie corespunzătoare condițiilor problemei noastre. Este clar că pentru o altă problemă aranjarea nivelurilor de energie va fi diferită. Dacă particula este încărcată (de exemplu, este un electron), atunci, nefiind la cel mai scăzut nivel de energie, va putea emite în mod spontan lumină (sub formă de foton). În același timp, va merge la un nivel de energie mai scăzut în conformitate cu condiția:

Funcțiile de undă pentru fiecare stare staționară din problema noastră sunt sinusoide, ale căror valori zero cad în mod necesar pe pereți. Două astfel de funcții de undă pentru n = 1,2 sunt prezentate în Fig. unu.

Necesitatea unei abordări probabilistice a descrierii microparticulelor este cea mai importantă trăsătură distinctivă a teoriei cuantice. Undele de Broglie pot fi interpretate ca unde de probabilitate, i.e. considerați că probabilitatea detectării unei microparticule în diferite puncte ale spațiului variază în funcție de legea undelor? O astfel de interpretare a undelor de Broglie este deja incorectă, fie și numai pentru că atunci probabilitatea de a găsi o particule în anumite puncte din spațiu poate fi negativă, ceea ce nu are sens.

Pentru a elimina aceste dificultăți, fizicianul german M. Born în 1926 a sugerat că, conform legii undelor, nu probabilitatea în sine se modifică, ci mărimea numită amplitudinea probabilitățiiși notat ψ(x,y,z,t). Această valoare este numită funcția de undă(sau funcția ψ). Amplitudinea probabilității poate fi complexă, iar probabilitatea W proporțional cu pătratul modulului său:

(|Y| 2 =YY*, Y * - funcția conjugată complexă a lui Y). Astfel, descrierea stării unui microobiect cu ajutorul funcției de undă are caracter statistic, probabilistic: modulul pătrat al funcției de undă (modulul pătrat al amplitudinii undelor de Broglie) determină probabilitatea de a găsi o particulă la un moment dat tîn zona cu coordonate Xși x+dx, yși y+dy, zși z+dz.

În mecanica cuantică, starea microparticulelor este descrisă într-un mod fundamental nou - cu ajutorul funcției de undă, care este principalul purtător de informații despre proprietăţile lor corpusculare şi ondulatorii. Probabilitatea de a găsi o particulă într-un element de volum d V este egal cu

Valoare

(modulul pătrat al funcției Y) are sens probabilitate densitate, adică determină probabilitatea de a găsi o particulă într-o unitate de volum în vecinătatea unui punct cu coordonate x, y, z. Astfel, nu funcția Y în sine are sens fizic, ci pătratul modulului său |Y| 2, care este dat intensitatea undelor de Broglie.

Probabilitatea de a găsi o particulă la un moment dat tîn volumul final V, conform teoremei de adunare a probabilității, este egal cu

Din moment ce |Y| 2d V este definită ca o probabilitate, atunci este necesară normalizarea funcției de undă Y astfel încât probabilitatea unui anumit eveniment să se transforme în unitate, dacă volumul V ia volumul infinit al întregului spațiu. Aceasta înseamnă că în această condiție, particula trebuie să fie undeva în spațiu. Prin urmare, condiția pentru normalizarea probabilităților

unde această integrală este calculată pe întregul spațiu infinit, adică peste coordonate x, y, z de la –¥ la ¥.Astfel, condiția indică existența obiectivă a unei particule în spațiu.

Pentru ca funcția de undă să fie o caracteristică obiectivă a stării microparticulelor, ea trebuie să satisfacă o serie de condiții restrictive. Funcția Y, care caracterizează probabilitatea detectării acțiunii unei microparticule într-un element de volum, ar trebui să fie final(probabilitatea nu poate fi mai mare de unu), lipsit de ambiguitate(probabilitatea nu poate fi ambiguă) și continuu(probabilitatea nu se poate schimba brusc).

Funcția de undă satisface principiul suprapunerii: dacă sistemul poate fi în diferite stări descrise de funcțiile de undă Y 1 , Y 2 ,..., Y n,... atunci poate fi și în starea Y descrisă de o combinație liniară a acestor funcții:

unde C n (n=1, 2, ...) sunt numere complexe, arbitrare. Plus funcții de undă(amplitudini de probabilitate), nu probabilități(determinat de pătratele modulelor funcțiilor de undă) distinge fundamental teoria cuantică de teoria statistică clasică, în care următoarele sunt valabile pentru evenimente independente: teorema de adunare a probabilității.

Funcția de undă Y, fiind principala caracteristică a stării micro-obiectelor, face posibilă în mecanica cuantică calcularea valorilor medii ale mărimilor fizice care caracterizează un micro-obiect dat. De exemplu, distanța medie á rñ a unui electron din nucleu se calculează prin formula

Ecuația Schrödinger pentru stări staționare. Ecuația de bază a mecanicii cuantice nonrelativiste a fost formulată în 1926 de E. Schrödinger. Ecuația Schrödinger, ca toate ecuațiile de bază ale fizicii (de exemplu, ecuațiile lui Newton în mecanica clasică și ecuațiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic), nu este derivată, ci postulată. Corectitudinea acestei ecuații este confirmată de acordul cu experiența rezultatelor obținute cu ajutorul ei, care, la rândul său, îi conferă caracterul unei legi a naturii. Ecuația Schrödinger are forma

unde ћ=h/(2p), masa particulei m, operator D-Laplace i este unitatea imaginară, U(x, y, z, t) este funcția potențială a particulei în câmpul de forță în care se mișcă, Y(x, y, z, t) este funcția de undă necesară a particulei .

Ecuația este valabilă pentru orice particulă (cu spin " propriul moment unghiular mecanic indestructibil al electronului" , fără legătură cu mișcarea unui electron în spațiu, egal cu 0;), deplasându-se cu o viteză mică (comparativ cu viteza luminii), adică cu o viteză v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной 2) производные trebuie să fie continuu; 3) funcția |Y| 2 trebuie să fie integrabil; această condiţie în cele mai simple cazuri se reduce la condiţia normalizării probabilităţilor.

Ecuația

este ecuația generală a lui Schrödinger. Se mai numește și ecuația Schrödinger dependentă de timp. Pentru multe fenomene fizice care au loc în microcosmos, ecuația acestuia poate fi simplificată prin eliminarea dependenței lui Y de timp, cu alte cuvinte, pentru a găsi ecuația Schrödinger pentru stări staționare - stări cu valori energetice fixe. Acest lucru este posibil dacă câmpul de forță în care se mișcă particula este staționar, adică funcția U=U(x, y, z) nu depinde în mod explicit de timp și are semnificația energiei potențiale. În acest caz, soluția ecuației Schrödinger poate fi reprezentată ca un produs a două funcții, dintre care una este doar o funcție a coordonatelor, cealaltă este doar o funcție a timpului, iar dependența de timp este exprimată prin factorul , astfel încât

unde E este energia totală a particulei, care este constantă în cazul unui câmp staționar. Înlocuind în ecuația generală Schrödinger, obținem

de unde, după împărțirea la un factor comun și transformările corespunzătoare, ajungem la o ecuație care definește funcția y:

Această ecuație se numește ecuația Schrödinger pentru stări staționare. Această ecuație include energia totală E a particulei ca parametru. În teoria ecuațiilor diferențiale, se demonstrează că astfel de ecuații au un număr infinit de soluții, dintre care se selectează soluții care au sens fizic prin impunerea unor condiții la limită. Pentru ecuația Schrödinger, astfel de condiții sunt condițiile de regularitate ale funcțiilor de undă: funcțiile de undă trebuie să fie finite, cu o singură valoare și continue împreună cu derivatele lor primare. Astfel, numai soluțiile care sunt exprimate prin funcții regulate ale lui y au o semnificație fizică reală. Dar soluțiile obișnuite nu au loc pentru nicio valoare a parametrului E, ci numai pentru un anumit set al acestora, care este caracteristic problemei date. Aceste valori energetice se numesc valori proprii. Soluțiile care corespund valorilor proprii ale energiei se numesc funcții proprii. Valorile proprii E pot forma fie o serie continuă, fie o serie discretă. În primul caz, se vorbește de un spectru continuu, sau continuu, în al doilea, de un spectru discret.

În aproximarea gazelor ideale, ecuația Clausius-Clapeyron ia forma

A doua ecuație a lui Maxwell este o generalizare a...: legea inducției electromagnetice

Unde a este coeficientul de frecare. Această ecuație poate fi rescrisă ca

Hidrostatică. Proprietățile de bază ale presiunii hidrostatice. Ecuația de bază a hidrostaticii.

Ecuație diferențială. Polinom caracteristic.

În dezvoltarea ideii lui de Broglie despre proprietățile undei ale particulelor, Schrödinger a obținut ecuația în 1926

104. (20)

unde m este masa particulei, este unitatea imaginară, U este energia potențială a particulei, D este operatorul Laplace [vezi (1.10)].

Soluția ecuației Schrödinger permite găsirea funcției de undă Y(x, y, z, t) a particulei, care descrie microstarea particulei și proprietățile sale de undă.

Dacă câmpul de forțe externe este constant în timp (adică, staționar), atunci U nu depinde în mod explicit de t. În acest caz, soluția ecuației (20) se împarte în doi factori

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)

În cazul staționar, ecuația Schrödinger are forma

(22)

unde E, U - energia totală și potențială, m - masa particulelor.

Trebuie remarcat faptul că din punct de vedere istoric denumirea de „funcție de undă” a apărut datorită faptului că ecuația (20) sau (22), care determină această funcție, se referă la forma ecuațiilor de undă.

104. Atomi de hidrogen și „atomi” asemănătoare hidrogenului (He + , Li 2+ și altele) ca cele mai simple sisteme mecanice cuantice: stări cuantice, componente radiale și unghiulare ale funcției de undă, simetria orbitală.

Pe baza cercetărilor sale, Rutherford a propus în 1911 un nuclear (planetar) model atomic. Conform acestui model, electronii se deplasează pe orbite închise în jurul unui nucleu pozitiv, formând învelișul de electroni a unui atom, într-o regiune cu dimensiuni liniare de ordinul a 10 -10 m. Sarcina nucleului este Ze(Z-- numărul de serie al elementului din sistemul Mendeleev, e -.sarcina elementara), dimensiunea 10 -15 - 10 -14 m, masa, aproape egala cu masa unui atom. Deoarece atomii sunt neutri, sarcina nucleului este egală cu sarcina totală a electronilor, adică trebuie să se rotească în jurul nucleului. Z electroni.

un atom de hidrogen și sisteme asemănătoare hidrogenului- acestea sunt sisteme formate dintr-un nucleu cu o sarcină Ze și un electron (de exemplu, ioni He +, Li 2+).

Rezolvarea problemei nivelurilor de energie ale unui electron pentru un atom de hidrogen (precum și sisteme asemănătoare hidrogenului: ion heliu He + , litiu dublu ionizat Li + + etc.) se reduce la problema mișcării electronilor în Câmpul coulombian al nucleului.

Energia potențială de interacțiune a unui electron cu un nucleu cu sarcină Ze(pentru un atom de hidrogen Z=1),

Unde r este distanța dintre electron și nucleu. Funcție grafică U(r) este reprezentată de curba aldină din Fig. 6, în scădere infinită (în creștere. modulo) când scade r, adică atunci când un electron se apropie de nucleu.

Starea unui electron într-un atom de hidrogen este descrisă de funcția de undă Ψ, care satisface ecuația staționară Schrödinger, ținând cont de valoarea (1):"

, (2)

Unde m este masa electronului, E este energia totală a unui electron dintr-un atom.

Aceasta este așa-numita ecuație staționară Schrödinger pentru electronul unui atom asemănător hidrogenului din VDPA.

1. Energie.În teoria ecuațiilor diferențiale, se demonstrează că ecuațiile de tip (2) au soluții care îndeplinesc cerințele de unicitate, finitate și continuitate ale funcției de undă Ψ numai pentru valorile proprii ale energiei.

(n= 1, 2, 3,…), (3)

adică pentru un set discret de valori ale energiei negative.

Astfel, ca și în cazul unei „puțuri cu potențial” cu „pereți” infinit de înalți, soluția ecuației Schrödinger pentru atomul de hidrogen duce la apariția unor niveluri de energie discrete. Valori posibile E 1 , E 2 , E 3, ... sunt prezentate în fig. 6 ca linii orizontale. Cel mai de jos nivel E 1 corespunzător energiei minime posibile, - de bază, alte ( En >E1, n = 2, 3,…) – excitat. La E < 0 движение электрона является legate de se află în interiorul unei „fântâni de potențial” hiperbolice. Din figură rezultă că pe măsură ce numărul cuantic principal crește P nivelurile de energie sunt mai apropiate n=∞ E ∞ = 0. Când E> 0 miscarea unui electron este liber; regiune continuum E >0(umbrite în Fig. 6) corespunde atom ionizat. Energia de ionizare a unui atom de hidrogen este

E i = - E 1 = pe mine 4 / (8h 2 ε 0 2) = 13,55 eV.

2. Numerele cuantice.În mecanica cuantică, se demonstrează că ecuația Schrödinger (2) este satisfăcută de funcțiile proprii , determinat de trei numere cuantice: principalul P, orbital l si magnetice m l .

Numărul cuantic principal n, conform (3), determină nivelurile de energie ale unui electron dintr-un atom și poate lua orice valori întregi, începând de la unul:

Ecuația Schrödinger este numită după fizicianul austriac Erwin Schrödinger. Este principalul instrument teoretic al mecanicii cuantice. În mecanica cuantică, ecuația Schrödinger joacă același rol ca și ecuația mișcării (a doua lege a lui Newton) în mecanica clasică. Ecuația Schrödinger este scrisă pentru așa-numitul y- funcții (psi - funcții). În cazul general, funcția psi este o funcție de coordonate și timp: y = y (x,y,z,t). Dacă microparticula este într-o stare staționară, atunci funcția psi - nu depinde de timp: y= y (x,y,z).

În cel mai simplu caz de mișcare unidimensională a unei microparticule (de exemplu, numai de-a lungul axei X ) ecuația Schrödinger are forma:

Unde y(x)– psi - funcție în funcție de o singură coordonată X ; m – masa particulelor; - constanta lui Planck (= h/2π); E este energia totală a particulei, U - energie potențială. În fizica clasică, cantitatea (EU ) ar fi egală cu energia cinetică a particulei. În mecanica cuantică, datorită relații de incertitudine conceptul de energie cinetică este lipsit de sens. Rețineți că energia potențială U este o caracteristică câmp de forță externîn care particula se mișcă. Această valoare este destul de clară. Este, de asemenea, o funcție a coordonatelor, în acest caz U = U (x,y,z).

În cazul tridimensional, când y = y (x,y,z)în loc de primul termen din ecuația Schrödinger, ar trebui să scrieți suma a trei derivate parțiale ale funcției psi în raport cu trei coordonate.

Pentru ce este folosită ecuația Schrödinger? După cum sa menționat deja, aceasta este ecuația de bază a mecanicii cuantice. Dacă o notăm și o rezolvăm (ceea ce nu este deloc o sarcină ușoară) pentru o anumită microparticulă, atunci vom obține valoarea funcției psi în orice punct din spațiul în care se mișcă particula. Ce dă? Pătratul modulului funcției psi caracterizează probabilitate detectarea unei particule într-o anumită regiune a spațiului. Luați un punct în spațiu cu coordonate X , y , z (Fig. 6). Care este probabilitatea de a găsi o particulă în acest punct? Răspuns: această probabilitate este zero! (un punct nu are dimensiuni, o particulă pur și simplu nu poate lovi fizic un punct). Deci întrebarea este pusă greșit. Să spunem altfel: care este probabilitatea de a găsi o particulă într-o regiune mică a spațiului cu un volum dV = dx dy dz centrat într-un punct dat? Răspuns:

Unde dP este probabilitatea elementară de a detecta o particulă într-un volum elementar dV . Ecuația (22) este valabilă pentru o funcție psi reală (poate fi și complexă, caz în care pătratul modulului funcției psi ar trebui înlocuit în ecuația (22). Dacă o regiune a spațiului are un volum finit V , apoi probabilitatea P pentru a detecta o particulă în acest volum se găsește prin integrarea expresiei (22) peste volum V :

Amintește-ți asta descriere probabilistică a mișcării microparticulelor este ideea de bază a mecanicii cuantice. Astfel, cu ajutorul ecuației Schrödinger, se rezolvă problema principală a mecanicii cuantice: descrierea mișcării obiectului studiat, în acest caz, o particulă de mecanică cuantică.

Remarcăm o serie de alte fapte importante. După cum se poate observa din formula (21), ecuația Schrödinger este o ecuație diferențială de ordinul doi. În consecință, în procesul de rezolvare, vor apărea două constante arbitrare. Cum să le găsesc? Pentru a face acest lucru, utilizați așa-numitul condiţiile de frontieră: din conținutul specific al problemei fizice, ar trebui cunoscută valoarea funcției psi la limitele regiunii de mișcare a microparticulei. În plus, așa-numitul starea de normalizare, pe care trebuie să le satisfacă funcția psi:

Semnificația acestei condiții este simplă: probabilitatea de a detecta o particule cel puțin undeva în interiorul regiunii mișcării sale este un anumit eveniment, a cărui probabilitate este egală cu unul.

Condițiile la limită sunt cele care umplu soluția ecuației Schrödinger cu sens fizic. Fără aceste condiții, rezolvarea unei ecuații este o problemă pur matematică, lipsită de sens fizic. În secțiunea următoare, folosind un exemplu specific, luăm în considerare aplicarea condițiilor la limită și a condiției de normalizare în rezolvarea ecuației Schrödinger.

funcția psi

funcția de undă (functie de stat, funcția psi, amplitudinea probabilității) - funcţie cu valori complexe folosit in mecanica cuantică pentru descriere probabilistică state sistem mecanic cuantic. În sens larg, la fel ca vector de stare.

O variantă a numelui „amplitudinea probabilității” este asociată interpretare statistică funcția de undă: densitatea de probabilitate de a găsi o particule într-un punct dat din spațiu la un moment dat este egală cu pătratul valorii absolute a funcției de undă a acestei stări.

Semnificația fizică a pătratului modulului funcției de undă

Funcția de undă depinde de coordonatele (sau coordonatele generalizate) ale sistemului și, în general, de timp și este formată în așa fel încât pătrat a ei modul a fost densitatea probabilități(pentru spectre discrete - doar probabilitatea) pentru a detecta sistemul în poziția descrisă de coordonatele la momentul de timp:

Apoi, într-o stare cuantică dată a sistemului, descrisă de funcția de undă, se poate calcula probabilitatea ca o particulă să fie detectată în orice regiune a spațiului de volum finit: .

Ansamblul de coordonate care acționează ca argumente ale funcției, reprezintă set complet de mărimi fizice care pot fi măsurate în sistem. În mecanica cuantică, este posibil să alegeți mai multe seturi complete de mărimi, astfel încât funcția de undă a aceleiași stări poate fi scrisă din argumente diferite. Setul complet de mărimi alese pentru înregistrarea funcției de undă determină reprezentarea funcţiei de undă. Da, posibil coordona performanţă, impulsiv prezentare, în teoria câmpului cuantic folosit a doua cuantizareși reprezentarea numărului de umplere sau Reprezentare Fock si etc.

Dacă funcția de undă, de exemplu, a unui electron dintr-un atom, este dată în reprezentare în coordonate, atunci pătratul modulului funcției de undă este densitatea probabilității de a găsi un electron într-un anumit punct din spațiu. Dacă aceeași funcție de undă este dată în reprezentarea momentului, atunci pătratul modulului său este densitatea probabilității de a găsi unul sau altul impulscu.

Introducere

Se știe că cursul mecanicii cuantice este unul dintre cele mai greu de înțeles. Acest lucru este legat nu atât de noul și „neobișnuit” aparat matematic, ci în primul rând de dificultatea de a înțelege revoluționarul, din punctul de vedere al fizicii clasice, ideile care stau la baza mecanicii cuantice și complexitatea interpretării rezultatelor.

În majoritatea manualelor de mecanică cuantică, prezentarea materialului se bazează, de regulă, pe analiza soluțiilor ecuației staționare Schrödinger. Totuși, abordarea staționară nu permite compararea directă a rezultatelor rezolvării unei probleme de mecanică cuantică cu rezultate clasice analoge. În plus, multe procese studiate în cursul mecanicii cuantice (cum ar fi trecerea unei particule printr-o barieră de potențial, dezintegrarea unei stări cvasi-staționare etc.) sunt, în principiu, de natură non-staționară și, prin urmare, pot să fie înțeles integral doar pe baza soluțiilor ecuației nestaționare Schrödinger. Deoarece numărul de probleme rezolvabile analitic este mic, utilizarea unui computer în procesul de studiere a mecanicii cuantice este deosebit de relevantă.

Ecuația Schrödinger și semnificația fizică a soluțiilor sale

Ecuația de undă Schrödinger

Una dintre ecuațiile de bază ale mecanicii cuantice este ecuația Schrödinger, care determină schimbarea stărilor sistemelor cuantice în timp. Este scris sub forma

unde H este Hamiltonianul sistemului, care coincide cu operatorul energetic dacă acesta nu depinde de timp. Tipul de operator este determinat de proprietățile sistemului. Pentru mișcarea nerelativistă a unei particule de masă într-un câmp potențial U(r), operatorul este real și este reprezentat de suma operatorilor energiei cinetice și potențiale a particulei

Dacă particula se mișcă într-un câmp electromagnetic, atunci operatorul Hamilton va fi complex.

Deși ecuația (1.1) este o ecuație de ordinul întâi în timp, datorită prezenței unei unități imaginare, are și soluții periodice. Prin urmare, ecuația Schrödinger (1.1) este adesea numită ecuația de undă Schrödinger, iar soluția ei este numită funcție de undă dependentă de timp. Ecuația (1.1), cu o formă cunoscută a operatorului H, face posibilă determinarea valorii funcției de undă în orice moment de timp ulterior, dacă această valoare este cunoscută la momentul inițial de timp. Astfel, ecuația de undă Schrödinger exprimă principiul cauzalității în mecanica cuantică.

Ecuația de undă Schrödinger poate fi obținută pe baza următoarelor considerații formale. În mecanica clasică se știe că dacă energia este dată în funcție de coordonate și momente

apoi trecerea la ecuația clasică Hamilton--Jacobi pentru funcția de acțiune S

se poate obţine din (1.3) prin transformarea formală

În același mod, ecuația (1.1) se obține din (1.3) la trecerea de la (1.3) la ecuația operatorului printr-o transformare formală

dacă (1.3) nu conține produse de coordonate și momente, sau conține astfel de produse ale acestora care, după trecerea operatorilor (1.4), fac naveta între ele. Echivalând după această transformare rezultatele acțiunii asupra funcției operatorilor părților din dreapta și din stânga egalității operatorului rezultat, ajungem la ecuația de undă (1.1). Cu toate acestea, nu ar trebui să luăm aceste transformări formale ca pe o derivație a ecuației Schrödinger. Ecuația Schrödinger este o generalizare a datelor experimentale. Nu este derivat în mecanica cuantică, la fel cum ecuațiile lui Maxwell nu sunt derivate în electrodinamică, principiul acțiunii minime (sau ecuațiile lui Newton) nu este derivat în mecanica clasică.

Este ușor de verificat dacă ecuația (1.1) este satisfăcută pentru funcția de undă

descriind mișcarea liberă a unei particule cu o anumită valoare a impulsului. În cazul general, validitatea ecuației (1.1) este dovedită prin acordul cu experiența tuturor concluziilor obținute cu ajutorul acestei ecuații.

Să arătăm că ecuația (1.1) implică egalitatea importantă

indicând păstrarea normalizării funcţiei de undă în timp. Înmulțim (1.1) din stânga cu funcția *, și înmulțim complexul de ecuații conjugați la (1.1) cu funcție și scădem a doua ecuație din prima ecuație obținută; atunci găsim

Integrând această relație peste toate valorile variabilelor și ținând cont de auto-adițiunea operatorului, obținem (1.5).

Dacă în relația (1.6) înlocuim expresia explicită a operatorului Hamilton (1.2) pentru mișcarea unei particule într-un câmp potențial, atunci ajungem la o ecuație diferențială (ecuația de continuitate)

unde este densitatea de probabilitate și vectorul

poate fi numit vector de densitate de curent de probabilitate.

Funcția de undă complexă poate fi întotdeauna reprezentată ca

unde și sunt funcții reale de timp și coordonate. Deci densitatea de probabilitate

și probabilitatea densității curentului

Din (1.9) rezultă că j = 0 pentru toate funcțiile a căror funcție Φ nu depinde de coordonate. În special, j= 0 pentru toate funcțiile reale.

Soluțiile ecuației Schrödinger (1.1) sunt în general reprezentate prin funcții complexe. Utilizarea funcțiilor complexe este foarte convenabilă, deși nu este necesară. În loc de o funcție complexă, starea sistemului poate fi descrisă prin două funcții reale și satisfacând două ecuații cuplate. De exemplu, dacă operatorul H este real, atunci înlocuind funcția în (1.1) și separând părțile reale și imaginare, obținem un sistem de două ecuații

în acest caz, densitatea de probabilitate și densitatea de curent de probabilitate iau forma

Funcțiile de undă în reprezentarea impulsului.

Transformata Fourier a funcției de undă caracterizează distribuția momentelor într-o stare cuantică. Este necesar să se obțină o ecuație integrală pentru cu transformata Fourier a potențialului ca nucleu.

Decizie. Există două relaţii reciproc inverse între funcţiile şi.

Dacă relația (2.1) este utilizată ca definiție și i se aplică o operație, atunci, ținând cont de definiția unei funcții tridimensionale,

ca urmare, după cum este ușor de observat, obținem relația inversă (2.2). Considerații similare sunt folosite mai jos în derivarea relației (2.8).

apoi pentru imaginea Fourier a potenţialului pe care îl avem

Presupunând că funcția de undă satisface ecuația Schrödinger

Înlocuind aici în loc de și, respectiv, expresiile (2.1) și (2.3), obținem

În integrala dublă, trecem de la integrare peste o variabilă la integrare peste o variabilă și apoi notăm din nou această nouă variabilă prin. Integrala peste dispare la orice valoare numai dacă integrandul însuși este egal cu zero, dar atunci

Aceasta este ecuația integrală dorită cu transformata Fourier a potențialului ca nucleu. Desigur, ecuația integrală (2.6) poate fi obținută numai cu condiția ca transformata Fourier a potențialului (2.4) să existe; pentru aceasta, de exemplu, potenţialul trebuie să scadă pe distanţe mari, cel puţin ca, unde.

De remarcat că din starea de normalizare

urmează egalitatea

Acest lucru poate fi demonstrat prin înlocuirea expresiei (2.1) pentru funcție în (2.7):

Dacă aici efectuăm mai întâi integrarea, atunci vom obține cu ușurință relația (2.8).