Derivarea formulei de așteptare matematică. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de familiarizare cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare discrete? Atunci acest subiect va fi de mare interes pentru tine. Să ne familiarizăm cu unele dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei secțiuni a științei.
Să ne amintim elementele de bază
Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Faptul este că, fără o înțelegere clară a elementelor de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.
Deci, există un eveniment aleatoriu, un experiment. Ca urmare a acțiunilor efectuate, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele sunt mai frecvente, altele mai puțin frecvente. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv obținute de un tip și numărul total de rezultate posibile. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept, puteți începe să studiați așteptările matematice și dispersia variabilelor aleatoare continue.
In medie
Înapoi la școală, la lecțiile de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi în acest moment este că îl vom întâlni în formulele pentru așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare.
Avem o succesiune de numere și vrem să aflăm media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ceea ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din succesiune. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi 45, iar această valoare o vom împărți la 9. Răspuns: - 5.
Dispersia
În termeni științifici, varianța este pătratul mediu al abaterilor valorilor caracteristicilor obținute de la media aritmetică. Unul este notat cu litera latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul disponibil și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, rezumăm totul primit și împărțim la numărul de elemente din secvență. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.
Varianta are, de asemenea, proprietăți pe care trebuie să le rețineți pentru a o aplica atunci când rezolvați probleme. De exemplu, dacă variabila aleatoare este mărită de X ori, varianța crește de X ori pătratul (adică, X*X). Nu este niciodată mai mic de zero și nu depinde de deplasarea valorilor cu o valoare egală în sus sau în jos. De asemenea, pentru încercările independente, varianța sumei este egală cu suma variațiilor.
Acum trebuie să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.
Să presupunem că rulăm 21 de experimente și obținem 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele, respectiv, de 1,2,2,3,4,4 și, respectiv, de 5 ori. Care va fi variația?
Mai întâi, calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. O împărțim la 7, obținând 3. Acum scădem 3 din fiecare număr din șirul inițial, pătram fiecare valoare și adunăm rezultatele împreună. . Se dovedește 12. Acum ne rămâne să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm.
Dependența de numărul de experimente
Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate fi unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde?
Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem la numitor N. Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece de-a lungul numărului 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți cantitatea cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.
Sarcină
Să ne întoarcem la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor. Am obținut un număr intermediar de 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2 = 2.
Valorea estimata
Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Așteptările matematice sunt rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important de înțeles că valoarea obținută, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pentru întreaga sarcină, indiferent de câte rezultate sunt luate în considerare în ea.
Formula de așteptare matematică este destul de simplă: luăm rezultatul, îl înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept este ușor de calculat. De exemplu, suma așteptărilor matematice este egală cu așteptările matematice ale sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Nu orice mărime din teoria probabilității permite efectuarea unor astfel de operații simple. Să luăm o sarcină și să calculăm valoarea a două concepte pe care le-am studiat simultan. În plus, am fost distrași de teorie – este timpul să exersăm.
Încă un exemplu
Am efectuat 50 de studii și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilitățile, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0,1 etc. Să prezentăm un exemplu de rezolvare a problemei pentru varianța unei variabile aleatoare și așteptarea matematică.
Calculăm media aritmetică folosind formula pe care o amintim din școala elementară: 50/10 = 5.
Acum să transpunem probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a face mai convenabil numărarea. Obținem 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Scădem media aritmetică din fiecare valoare obținută, după care punem la pătrat fiecare dintre rezultatele obținute. Vedeți cum să faceți acest lucru cu primul element ca exemplu: 1 - 5 = (-4). Mai mult: (-4) * (-4) = 16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul bine, atunci după ce ați adăugat totul obțineți 90.
Să continuăm calcularea varianței și a mediei împărțind 90 la N. De ce alegem N și nu N-1? Așa este, pentru că numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10 = 9. Am obținut dispersia. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o eroare banală în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și, cu siguranță, totul va fi la locul său.
În sfârșit, să ne amintim formula de așteptare matematică. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar răspunsul cu care puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor solicitate. Valoarea așteptată va fi 5,48. Ne amintim doar cum să efectuăm operațiuni, folosind exemplul primelor elemente: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.
Deviere
Un alt concept strâns legat de dispersie și așteptările matematice este abaterea standard. Se notează fie prin literele latine sd, fie prin literele grecești „sigma”. Acest concept arată cum, în medie, valorile se abat de la caracteristica centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați rădăcina pătrată a varianței.
Dacă trasați o distribuție normală și doriți să vedeți abaterea pătratului direct pe ea, acest lucru se poate face în mai mulți pași. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului (valoarea centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât zonele figurilor rezultate să fie egale. Valoarea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va fi abaterea standard.
Software
După cum se poate observa din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai ușoară procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, are sens să folosești programul folosit în învățământul superior – se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.
De exemplu, definiți un vector de valori. Aceasta se face astfel: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
In cele din urma
Dispersia și așteptările matematice sunt fără de care este dificil să calculezi ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt luate în considerare deja în primele luni de studiu a materiei. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note slabe în sesiune, ceea ce îi privează de burse.
Exersează cel puțin o săptămână timp de o jumătate de oră pe zi, rezolvând sarcini similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teorie a probabilităților, vei face față exemplelor fără sfaturi străine și foi de cheat.
Așteptarea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare.Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora:
Exemplu.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Soluție: așteptarea matematică este egală cu suma produselor tuturor valorilor posibile ale lui X și probabilitățile acestora:
M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Pentru a calcula așteptările matematice, este convenabil să efectuați calcule în Excel (mai ales când există multe date), vă sugerăm să utilizați un șablon gata făcut ().
Un exemplu pentru o soluție independentă (puteți folosi un calculator).
Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X dată de legea distribuției:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Așteptările matematice au următoarele proprietăți.
Proprietatea 1. Aşteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăşi: М(С)=С.
Proprietatea 2. Din semnul așteptării poate fi scos un factor constant: М(СХ)=СМ(Х).
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor matematice ale factorilor: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).
Problema 189. Aflați așteptarea matematică a unei variabile aleatoare Z dacă sunt cunoscute așteptările matematice X și Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Rezolvare: Folosind proprietățile așteptării matematice (așteptările matematice ale sumei este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor; factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice), obținem M(Z)= M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Folosind proprietățile așteptării matematice, demonstrați că: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) așteptarea matematică a abaterii X-M(X) este zero.
191. Variabila aleatoare discretă X ia trei valori posibile: x1= 4 Cu probabilitatea p1 = 0,5; x3 = 6 Cu probabilitatea P2 = 0,3 și x3 cu probabilitatea p3. Aflați: x3 și p3, știind că M(X)=8.
192. O listă de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete X este dată: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, așteptările matematice ale acestei cantități și pătratul ei sunt, de asemenea, cunoscute: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,nouă. Găsiți probabilitățile p1, p2, p3 corespunzătoare valorilor posibile xi
194. Un lot de 10 părți conține trei părți nestandard. Două articole au fost selectate la întâmplare. Găsiți așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X - numărul de părți non-standard dintre două dintre cele selectate.
196. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X-număr de astfel de aruncări de cinci zaruri, în fiecare dintre care un punct va apărea pe două zaruri, dacă numărul total de aruncări este douăzeci.
Așteptarea matematică a distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare:
Caracteristicile numerice de bază ale variabilelor aleatoare discrete și continue: așteptări matematice, varianță și abatere standard. Proprietățile și exemplele lor.
Legea distribuției (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descrie pe deplin comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale mărimii studiate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Luați în considerare principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare discrete.
Definiție 7.1.așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor valorilor sale posibile și probabilitățile lor corespunzătoare:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p(7.1)
Dacă numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare este infinit, atunci dacă seria rezultată converge absolut.
Observație 1. Uneori se numește așteptarea matematică medie ponderată, deoarece este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare pentru un număr mare de experimente.
Observația 2. Din definiția așteptării matematice, rezultă că valoarea acesteia nu este mai mică decât cea mai mică valoare posibilă a unei variabile aleatoare și nu mai mult decât cea mai mare.
Observația 3. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este Nu la nimereală(constant. Mai târziu vom vedea că același lucru este valabil și pentru variabile aleatoare continue.
Exemplul 1. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numarul de piese standard dintre trei selectate dintr-un lot de 10 piese, inclusiv 2 defecte. Să compunem o serie de distribuție pentru X. Din starea problemei rezultă că X poate lua valorile 1, 2, 3. Apoi
Exemplul 2. Definiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numărul aruncărilor de monede până la prima apariție a stemei. Această cantitate poate lua un număr infinit de valori (mulțimea de valori posibile este mulțimea numerelor naturale). Seria sa de distribuție are forma:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (la calcul, formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare a fost folosită de două ori: , de unde ).
Proprietățile așteptărilor matematice.
1) Așteptările matematice ale unei constante este egală cu constanta însăși:
M(Cu) = CU.(7.2)
Dovada. Dacă luăm în considerare Cu ca o variabilă aleatoare discretă care ia o singură valoare Cu cu probabilitate R= 1, atunci M(Cu) = Cu?1 = Cu.
2) Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării:
M(SH) = CM(X). (7.3)
Dovada. Dacă variabila aleatoare X dat de seria de distribuţie
Apoi M(SH) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = Cu(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).
Definiție 7.2. Sunt numite două variabile aleatorii independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori a luat celălalt. Altfel variabile aleatorii dependent.
Definiție 7.3. Hai sa sunăm produsul variabilelor aleatoare independente Xși Y variabilă aleatorie X Y, ale căror valori posibile sunt egale cu produsele tuturor valorilor posibile X pentru toate valorile posibile Y, iar probabilitățile corespunzătoare acestora sunt egale cu produsele probabilităților factorilor.
3) Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
M(X Y) = M(X)M(Y). (7.4)
Dovada. Pentru a simplifica calculele, ne limităm la cazul când Xși Y luați doar două valori posibile:
Prin urmare, M(X Y) = X 1 y 1 ?p 1 g 1 + X 2 y 1 ?p 2 g 1 + X 1 y 2 ?p 1 g 2 + X 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (X 1 p 1 + X 2 p 2) + + y 2 g 2 (X 1 p 1 + X 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (X 1 p 1 + X 2 p 2) = M(X)?M(Y).
Observație 1.În mod similar, se poate demonstra această proprietate pentru mai multe valori posibile ale factorilor.
Observația 2. Proprietatea 3 este valabilă pentru produsul oricărui număr de variabile aleatoare independente, ceea ce este demonstrat prin metoda inducției matematice.
Definiție 7.4. Să definim suma variabilelor aleatoare Xși Y ca variabilă aleatoare X + Y, ale căror valori posibile sunt egale cu sumele fiecărei valori posibile X cu toate valorile posibile Y; probabilitățile unor astfel de sume sunt egale cu produsele probabilităților termenilor (pentru variabile aleatoare dependente - produsele probabilității unui termen prin probabilitatea condiționată a celui de-al doilea).
4) Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare (dependente sau independente) este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Dovada.
Luați în considerare din nou variabilele aleatoare date de seria de distribuție dată în demonstrația proprietății 3. Apoi valorile posibile X+Y sunteți X 1 + la 1 , X 1 + la 2 , X 2 + la 1 , X 2 + la 2. Notați probabilitățile lor, respectiv ca R 11 , R 12 , R 21 și R 22. Sa gasim M(X+Y) = (X 1 + y 1)p 11 + (X 1 + y 2)p 12 + (X 2 + y 1)p 21 + (X 2 + y 2)p 22 =
= X 1 (p 11 + p 12) + X 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).
Să demonstrăm asta R 11 + R 22 = R unu . Într-adevăr, evenimentul care X+Y va prelua valorile X 1 + la 1 sau X 1 + la 2 și a cărui probabilitate este R 11 + R 22 coincide cu evenimentul care X = X 1 (probabilitatea sa este R unu). În mod similar, se dovedește că p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Mijloace,
M(X+Y) = X 1 p 1 + X 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
cometariu. Proprietatea 4 implică faptul că suma oricărui număr de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor așteptate ale termenilor.
Exemplu. Găsiți așteptarea matematică a sumei numărului de puncte aruncate când aruncați cinci zaruri.
Să aflăm așteptările matematice ale numărului de puncte care au căzut la aruncarea unui zar:
M(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Același număr este egal cu așteptarea matematică a numărului de puncte care au căzut pe orice zar. Prin urmare, prin proprietatea 4 M(X)=
Dispersia.
Pentru a avea o idee despre comportamentul unei variabile aleatoare, nu este suficient să cunoaștem doar așteptarea ei matematică. Luați în considerare două variabile aleatorii: Xși Y, dat de seria de distribuție a formei
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| p | 0,5 | 0,5 |
Sa gasim M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) \u003d 0? 0,5 + 100? 0,5 \u003d 50. După cum puteți vedea, așteptările matematice ale ambelor mărimi sunt egale, dar dacă pentru HM(X) descrie bine comportamentul unei variabile aleatoare, fiind valoarea ei cea mai probabilă posibilă (mai mult, valorile rămase diferă ușor de 50), apoi valorile Y abate semnificativ de la M(Y). Prin urmare, împreună cu așteptările matematice, este de dorit să se știe cât de mult se abat de la aceasta valorile variabilei aleatoare. Dispersia este utilizată pentru a caracteriza acest indicator.
Definiție 7.5.Dispersare (împrăștiere) variabila aleatoare se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea sa matematică:
D(X) = M (X-M(X))². (7,6)
Aflați varianța unei variabile aleatoare X(numărul de părți standard dintre cele selectate) în exemplul 1 al acestei prelegeri. Să calculăm valorile abaterii pătrate a fiecărei valori posibile de la așteptarea matematică:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Prin urmare,
Observație 1.În definiția varianței, nu abaterea de la medie în sine este evaluată, ci pătratul acesteia. Acest lucru se face astfel încât abaterile diferitelor semne să nu se compenseze reciproc.
Observația 2. Din definiția dispersiei rezultă că această cantitate ia doar valori nenegative.
Observația 3. Există o formulă mai convenabilă pentru calcularea varianței, a cărei validitate este dovedită în următoarea teoremă:
Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Dovada.
Folosind ce M(X) este o valoare constantă, iar proprietățile așteptării matematice, transformăm formula (7.6) în forma:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), ceea ce urma să fie dovedit.
Exemplu. Să calculăm variațiile variabilelor aleatoare Xși Y discutat la începutul acestei secțiuni. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) \u003d (0 2? 0,5 + 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Deci, dispersia celei de-a doua variabile aleatoare este de câteva mii de ori mai mare decât dispersia primei. Astfel, chiar și fără a cunoaște legile de distribuție a acestor mărimi, conform valorilor cunoscute ale dispersiei, putem afirma că X se abate puțin de la așteptările sale matematice, în timp ce pentru Y această abatere este foarte semnificativă.
Proprietăți de dispersie.
1) Constanta de dispersie Cu este egal cu zero:
D (C) = 0. (7.8)
Dovada. D(C) = M((CM(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Dovada. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor lor:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Dovada. D(X+Y) = M(X² + 2 X Y + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Consecința 1. Varianța sumei mai multor variabile aleatoare reciproc independente este egală cu suma varianțelor acestora.
Consecința 2. Varianța sumei unei constante și a unei variabile aleatoare este egală cu varianța variabilei aleatoare.
4) Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora:
D(X Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Dovada. D(X Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Varianta dă valoarea medie a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la medie; pentru a evalua abaterea în sine este o valoare numită abatere standard.
Definiție 7.6.Deviație standardσ variabilă aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței:
Exemplu. În exemplul anterior, abaterile standard Xși Y egal, respectiv
Așteptările și varianța matematică sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția sa și gradul de dispersie. În multe probleme de practică, o descriere completă, exhaustivă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu poate fi obținută deloc, fie nu este deloc necesară. În aceste cazuri, ele sunt limitate la o descriere aproximativă a unei variabile aleatorii folosind caracteristici numerice.
Așteptările matematice sunt adesea denumite pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatorii. Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersiei, dispersia unei variabile aleatoare în jurul așteptării sale matematice.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Să abordăm conceptul de așteptare matematică, pornind mai întâi de la interpretarea mecanică a distribuției unei variabile aleatoare discrete. Fie ca unitatea de masă să fie distribuită între punctele axei x X1 , X 2 , ..., X n, iar fiecare punct material are o masă corespunzătoare din p1 , p 2 , ..., p n. Este necesar să alegeți un punct pe axa x, care caracterizează poziția întregului sistem de puncte materiale, ținând cont de masele acestora. Este firesc să luăm ca un astfel de punct centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Aceasta este media ponderată a variabilei aleatoare X, în care abscisa fiecărui punct Xi intră cu o „pondere” egală cu probabilitatea corespunzătoare. Valoarea medie a variabilei aleatoare astfel obţinută X se numește așteptarea sa matematică.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori:
Exemplul 1 A fost organizată o loterie win-win. Există 1000 de câștiguri, dintre care 400 sunt câte 10 ruble fiecare. 300 - 20 de ruble fiecare 200 - 100 de ruble fiecare. și 100 - 200 de ruble fiecare. Care este câștigul mediu pentru o persoană care cumpără un bilet?
Decizie. Vom găsi câștigul mediu dacă suma totală de câștiguri, care este egală cu 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 de ruble, este împărțită la 1000 (suma totală a câștigurilor). Apoi obținem 50000/1000 = 50 de ruble. Dar expresia pentru calcularea câștigului mediu poate fi reprezentată și în următoarea formă:
Pe de altă parte, în aceste condiții, valoarea câștigurilor este o variabilă aleatorie care poate lua valori de 10, 20, 100 și 200 de ruble. cu probabilități egale cu 0,4, respectiv; 0,3; 0,2; 0,1. Prin urmare, câștigul mediu așteptat este egal cu suma produselor mărimii plăților și probabilitatea de a le primi.
Exemplul 2 Editura a decis să publice o nouă carte. El va vinde cartea cu 280 de ruble, din care 200 îi vor fi date lui, 50 librăriei și 30 autorului. Tabelul oferă informații despre costul publicării unei cărți și probabilitatea de a vinde un anumit număr de exemplare ale cărții.
Găsiți profitul așteptat al editorului.
Decizie. Variabila aleatoare „profit” este egală cu diferența dintre venitul din vânzare și costul costurilor. De exemplu, dacă se vând 500 de exemplare ale unei cărți, atunci venitul din vânzare este de 200 * 500 = 100.000, iar costul publicării este de 225.000 de ruble. Astfel, editorul se confruntă cu o pierdere de 125.000 de ruble. Următorul tabel rezumă valorile așteptate ale variabilei aleatoare - profit:
| Număr | Profit Xi | Probabilitate pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Astfel, obținem așteptarea matematică a profitului editorului:
.
Exemplul 3Șansa de a lovi cu o lovitură p= 0,2. Determinați consumul de obuze care oferă așteptarea matematică a numărului de lovituri egal cu 5.
Decizie. Din aceeași formulă de așteptare pe care am folosit-o până acum, ne exprimăm X- consumul de scoici:
.
Exemplul 4 Determinați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X numărul de lovituri cu trei lovituri, dacă probabilitatea de a lovi cu fiecare lovitură p = 0,4 .
Sugestie: găsiți probabilitatea valorilor unei variabile aleatoare prin formula Bernoulli .
Proprietăți de așteptare
Luați în considerare proprietățile așteptărilor matematice.
Proprietatea 1. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu această constantă:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale sumei (diferenței) variabilelor aleatoare sunt egale cu suma (diferenței) așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 5. Dacă toate valorile variabilei aleatoare X scade (creste) cu acelasi numar Cu, atunci așteptarea sa matematică va scădea (crește) cu același număr:
Când nu poți fi limitat doar la așteptări matematice
În cele mai multe cazuri, doar așteptarea matematică nu poate caracteriza în mod adecvat o variabilă aleatoare.
Să fie variabile aleatoare Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| Sens X | Probabilitate |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Sens Y | Probabilitate |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Așteptările matematice ale acestor mărimi sunt aceleași - egale cu zero:
Cu toate acestea, distribuția lor este diferită. Valoare aleatoare X poate lua doar valori care sunt puțin diferite de așteptările matematice și de variabila aleatoare Y poate lua valori care se abat semnificativ de la așteptările matematice. Un exemplu asemănător: salariul mediu nu permite judecarea proporției lucrătorilor cu plăți mari și prost plătite. Cu alte cuvinte, prin așteptarea matematică nu se poate judeca ce abateri de la ea, cel puțin în medie, sunt posibile. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți varianța unei variabile aleatoare.
Dispersia unei variabile aleatoare discrete
dispersie variabilă aleatoare discretă X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică:
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X este valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței sale:
.
Exemplul 5 Calculați variațiile și abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y, ale căror legi de distribuție sunt date în tabelele de mai sus.
Decizie. Așteptări matematice ale variabilelor aleatoare Xși Y, așa cum a fost găsit mai sus, sunt egale cu zero. Conform formulei de dispersie pentru E(X)=E(y)=0 obținem:
Apoi abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y constitui
.
Astfel, cu aceleași așteptări matematice, varianța variabilei aleatoare X foarte mici și aleatorii Y- semnificativă. Aceasta este o consecință a diferenței de distribuție a acestora.
Exemplul 6 Investitorul are 4 proiecte alternative de investiții. Tabelul rezumă datele privind profitul așteptat în aceste proiecte cu probabilitatea corespunzătoare.
| Proiectul 1 | Proiectul 2 | Proiectul 3 | Proiectul 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Găsiți pentru fiecare alternativă așteptările matematice, varianța și abaterea standard.
Decizie. Să arătăm cum se calculează aceste cantități pentru a treia alternativă:
Tabelul rezumă valorile găsite pentru toate alternativele.
Toate alternativele au aceeași așteptare matematică. Asta înseamnă că, pe termen lung, toată lumea are același venit. Abaterea standard poate fi interpretată ca o măsură a riscului - cu cât este mai mare, cu atât riscul investiției este mai mare. Un investitor care nu dorește riscuri mari va alege proiectul 1 deoarece are cea mai mică abatere standard (0). Dacă investitorul preferă riscul și randamentele mari într-o perioadă scurtă, atunci va alege proiectul cu cea mai mare abatere standard - proiectul 4.
Proprietăți de dispersie
Să prezentăm proprietățile dispersiei.
Proprietatea 1. Dispersia unei valori constante este zero:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
.
Proprietatea 3. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu așteptarea matematică a pătratului acestei valori, din care se scade pătratul așteptării matematice a valorii în sine:
,
Unde 
.
Proprietatea 4. Varianta sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (diferenței) varianțelor acestora:
Exemplul 7 Se știe că o variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori: −3 și 7. În plus, așteptarea matematică este cunoscută: E(X) = 4 . Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete.
Decizie. Notează prin p probabilitatea cu care o variabilă aleatoare ia o valoare X1 = −3 . Apoi probabilitatea valorii X2 = 7 va fi 1 − p. Să derivăm ecuația pentru așteptările matematice:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
de unde obținem probabilitățile: p= 0,3 și 1 − p = 0,7 .
Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calculăm varianța acestei variabile aleatoare folosind formula de la proprietatea 3 a varianței:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Găsiți singur așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și apoi vedeți soluția
Exemplul 8 Variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori. Se ia valoarea mai mare de 3 cu o probabilitate de 0,4. În plus, este cunoscută varianța variabilei aleatoare D(X) = 6 . Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii.
Exemplul 9 O urna contine 6 bile albe si 4 negre. Se iau 3 bile din urna. Numărul de bile albe dintre bilele extrase este o variabilă aleatorie discretă X. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Decizie. Valoare aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3. Probabilitățile corespunzătoare pot fi calculate din regula înmulțirii probabilităților. Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
De aici așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varianta unei variabile aleatoare date este:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Așteptările matematice și dispersia unei variabile aleatoare continue
Pentru o variabilă aleatoare continuă, interpretarea mecanică a așteptării matematice va păstra același sens: centrul de masă pentru o unitate de masă distribuită continuu pe axa x cu densitate. f(X). Spre deosebire de o variabilă aleatorie discretă, pentru care argumentul funcției Xi se modifică brusc, pentru o variabilă aleatoare continuă, argumentul se schimbă continuu. Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, legată de valoarea medie a acesteia.
Pentru a găsi așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare continue, trebuie să găsiți integrale definite . Dacă este dată o funcție de densitate a unei variabile aleatoare continue, atunci aceasta intră direct în integrand. Dacă este dată o funcție de distribuție a probabilității, atunci prin diferențierea acesteia, trebuie să găsiți funcția de densitate.
Media aritmetică a tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue se numește ea așteptări matematice, notat cu sau .
Așteptarea matematică este, definiția
Mat așteptare este unul dintre cele mai importante concepte din statistica matematică și teoria probabilității, care caracterizează distribuția valorilor sau probabilități variabilă aleatorie. De obicei exprimată ca o medie ponderată a tuturor parametrilor posibili ai unei variabile aleatorii. Este utilizat pe scară largă în analiza tehnică, studiul seriilor de numere, studiul proceselor continue și pe termen lung. Este important în evaluarea riscurilor, prezicerea indicatorilor de preț atunci când se tranzacționează pe piețele financiare și este utilizat în dezvoltarea de strategii și metode de tactici de joc în teoria jocurilor de noroc.
șahmat în așteptare- Acest valoarea medie a unei variabile aleatoare, distribuție probabilități variabila aleatoare este considerata in teoria probabilitatii.
Mat așteptare este măsură a valorii medii a unei variabile aleatoare în teoria probabilității. Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X notat M(x).
Așteptările matematice (Media populației) este
Mat așteptare este
Mat așteptare esteîn teoria probabilității, media ponderată a tuturor valorilor posibile pe care le poate lua această variabilă aleatorie.
Mat așteptare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare cu probabilitățile acestor valori.
Așteptările matematice (Media populației) este
Mat așteptare este beneficiul mediu dintr-o anumită decizie, cu condiția ca o astfel de decizie să poată fi luată în considerare în cadrul teoriei numerelor mari și a distanței lungi.
Mat așteptare esteîn teoria jocurilor de noroc, suma de câștiguri pe care un speculator le poate câștiga sau pierde, în medie, pentru fiecare pariu. În limbajul jocurilor de noroc speculatorii acesta este uneori numit „avantaj speculant” (dacă este pozitiv pentru speculator) sau „marginea casei” (dacă este negativ pentru speculator).
Așteptările matematice (Media populației) este
Mat așteptare este profit pe câștig înmulțit cu medie profit, minus pierderea înmulțită cu pierderea medie.
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare în teoria matematică
Una dintre caracteristicile numerice importante ale unei variabile aleatoare este așteptarea. Să introducem conceptul de sistem de variabile aleatoare. Luați în considerare un set de variabile aleatoare care sunt rezultatele aceluiași experiment aleatoriu. Dacă este una dintre valorile posibile ale sistemului, atunci evenimentul corespunde unei anumite probabilități care satisface axiomele lui Kolmogorov. O funcție definită pentru orice valori posibile ale variabilelor aleatoare se numește lege de distribuție comună. Această funcție vă permite să calculați probabilitățile oricăror evenimente din. În special, articulație lege distribuția variabilelor aleatoare și, care iau valori din mulțime și, este dată de probabilități.
Termenul „mat. expectation” a fost introdus de Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) și provine din conceptul de „valoare așteptată a plății”, care a apărut pentru prima dată în secolul al XVII-lea în teoria jocurilor de noroc în lucrările lui Blaise Pascal și Christian Huygens. Cu toate acestea, prima înțelegere și evaluare teoretică completă a acestui concept a fost dată de Pafnuty Lvovich Cebyshev (mijlocul secolului al XIX-lea).
Lege distribuțiile variabilelor numerice aleatoare (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descriu complet comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale mărimii studiate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare sunt așteptarea, varianța, modul și mediana.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete sunt suma produselor valorilor posibile ale acesteia și probabilitățile lor corespunzătoare. Uneori mat. așteptarea se numește medie ponderată, deoarece este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare pe un număr mare de experimente. Din definiția covorașului de așteptare, rezultă că valoarea sa nu este mai mică decât cea mai mică valoare posibilă a unei variabile aleatoare și nu mai mult decât cea mai mare. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt o variabilă non-aleatorie (constantă).
Așteptările matematice au o semnificație fizică simplă: dacă o unitate de masă este plasată pe o linie dreaptă, plasând o anumită masă în anumite puncte (pentru o distribuție discretă) sau „untând-o” cu o anumită densitate (pentru o distribuție absolut continuă), atunci punctul corespunzător așteptării covorașului va fi coordonatele „centrul de greutate” drept.
Valoarea medie a unei variabile aleatoare este un anumit număr, care este, așa cum ar fi, „reprezentantul” ei și îl înlocuiește în calcule aproximative aproximative. Când spunem: „timpul mediu de funcționare a lămpii este de 100 de ore” sau „punctul mediu de impact este deplasat față de țintă cu 2 m la dreapta”, indicăm prin aceasta o anumită caracteristică numerică a unei variabile aleatorii care îi descrie amplasarea pe axa numerică, adică descriere a pozitiei.
Dintre caracteristicile situației din teoria probabilității, cel mai important rol îl joacă așteptarea unei variabile aleatoare, care uneori se numește pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatoare.
Luați în considerare o variabilă aleatoare X, care are valori posibile x1, x2, …, xn cu probabilităţi p1, p2, …, pn. Trebuie să caracterizăm printr-un anumit număr poziția valorilor variabilei aleatoare pe axa x cu luând în considerare că aceste valori au probabilități diferite. În acest scop, este firesc să folosim așa-numita „medie ponderată” a valorilor xi, iar fiecare valoare xi în timpul medierii ar trebui luată în considerare cu o „pondere” proporțională cu probabilitatea acestei valori. Astfel, vom calcula media variabilei aleatoare X, pe care o vom nota M|X|:
Această medie ponderată se numește așteptarea mat a variabilei aleatoare. Astfel, am introdus în considerare unul dintre cele mai importante concepte ale teoriei probabilităților - conceptul de mat. așteptări. Mat. Așteptarea unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.
Mat. așteptarea unei variabile aleatoare X datorită unei dependențe deosebite de media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii cu un număr mare de experimente. Această dependență este de același tip ca și dependența dintre frecvență și probabilitate, și anume: cu un număr mare de experimente, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare se apropie (converge în probabilitate) de stratul său. aşteptare. Din prezența unei relații între frecvență și probabilitate, se poate deduce ca o consecință existența unei relații similare între media aritmetică și așteptarea matematică. Într-adevăr, luați în considerare o variabilă aleatoare X, caracterizată printr-o serie de distribuții:
Lasă-l să fie produs N experimente independente, în fiecare dintre ele valoarea X capătă o anumită valoare. Să presupunem că valoarea x1 a apărut m1 ori, valoare x2 a apărut m2 ori, sens general xi a aparut de mie ori. Să calculăm media aritmetică a valorilor observate ale lui X, care, spre deosebire de covorașele de așteptare M|X| vom nota M*|X|:
Cu o creștere a numărului de experimente N frecvente pi va aborda (converge în probabilitate) probabilitățile corespunzătoare. Prin urmare, media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare M|X| cu o creștere a numărului de experimente, se va apropia (converge în probabilitate) de așteptările sale. Relația formulată mai sus între media aritmetică și mat. așteptarea este conținutul uneia dintre formele legii numerelor mari.
Știm deja că toate formele legii numerelor mari afirmă faptul că anumite medii sunt stabile pe un număr mare de experimente. Aici vorbim despre stabilitatea mediei aritmetice dintr-o serie de observații de aceeași valoare. Cu un număr mic de experimente, media aritmetică a rezultatelor lor este aleatorie; cu o creștere suficientă a numărului de experimente, devine „aproape deloc aleatoriu” și, stabilizându-se, se apropie de o valoare constantă - mat. aşteptare.
Proprietatea de stabilitate a mediilor pentru un număr mare de experimente este ușor de verificat experimental. De exemplu, cântărind orice corp din laborator pe cântare precise, ca urmare a cântăririi obținem de fiecare dată o nouă valoare; pentru a reduce eroarea de observare, cântărim corpul de mai multe ori și folosim media aritmetică a valorilor obținute. Este ușor de observat că odată cu o creștere suplimentară a numărului de experimente (cântăriri), media aritmetică reacționează la această creștere din ce în ce mai puțin, iar cu un număr suficient de mare de experimente practic încetează să se mai schimbe.
Trebuie remarcat faptul că cea mai importantă caracteristică a poziției unei variabile aleatoare este mat. așteptare - nu există pentru toate variabilele aleatoare. Este posibil să se facă exemple de astfel de variabile aleatoare pentru care mat. nu există nicio așteptare, deoarece suma sau integrala corespunzătoare diverge. Cu toate acestea, pentru practică, astfel de cazuri nu prezintă un interes semnificativ. De obicei, variabilele aleatoare cu care ne ocupăm au o gamă limitată de valori posibile și, desigur, au o așteptare mat.
Pe lângă cele mai importante caracteristici ale poziției unei variabile aleatoare - valoarea așteptării - alte caracteristici ale poziției sunt uneori folosite în practică, în special, modul și mediana variabilei aleatoare.
Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă. Termenul „valoare cea mai probabilă”, strict vorbind, se aplică doar cantităților discontinue; pentru o cantitate continuă, modul este valoarea la care densitatea de probabilitate este maximă. Figurile arată modul pentru variabile aleatoare discontinue și, respectiv, continue.
Dacă poligonul de distribuție (curba de distribuție) are mai mult de un maxim, se spune că distribuția este „polimodală”.
Uneori există distribuții care au la mijloc nu un maxim, ci un minim. Astfel de distribuții sunt numite „antimodale”.
În cazul general, modul și așteptarea unei variabile aleatoare nu coincid. În cazul special când distribuția este simetrică și modală (adică are un mod) și există un covor. așteptare, atunci coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.
O altă caracteristică a poziției este adesea folosită - așa-numita mediană a unei variabile aleatoare. Această caracteristică este de obicei folosită numai pentru variabile aleatoare continue, deși poate fi definită formal și pentru o variabilă discontinuă. Geometric, mediana este abscisa punctului în care aria delimitată de curba de distribuție este bisectată.
În cazul unei distribuții modale simetrice, mediana coincide cu mat. așteptări și modă.
Așteptarea matematică este o valoare medie, o variabilă aleatoare - o caracteristică numerică a distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare. În modul cel mai general, așteptarea mat a unei variabile aleatoare X(w) este definită ca integrala Lebesgue în raport cu măsura probabilității Rîn spațiul de probabilitate inițial:
Mat. așteptarea poate fi calculată și ca integrală Lebesgue a X prin distribuție de probabilitate px cantități X:
Într-un mod natural, se poate defini conceptul de variabilă aleatoare cu așteptări infinite. Un exemplu tipic este timpul de repatriere în unele plimbări aleatorii.
Cu ajutorul mat. așteptările sunt definite de multe caracteristici numerice și funcționale ale distribuției (ca așteptarea matematică a funcțiilor corespunzătoare ale unei variabile aleatoare), de exemplu, funcție generatoare, funcție caracteristică, momente de orice ordin, în special varianță, covarianță.
Așteptările matematice (Media populației) este
Așteptarea matematică este o caracteristică a locației valorilor unei variabile aleatoare (valoarea medie a distribuției sale). În această calitate, așteptarea matematică servește ca un parametru de distribuție „tipic” și rolul său este similar cu rolul momentului static - coordonata centrului de greutate al distribuției de masă - în mecanică. Din alte caracteristici ale locației, cu ajutorul cărora distribuția este descrisă în termeni generali - mediane, moduri, așteptare diferă prin valoarea mai mare pe care aceasta și caracteristica de împrăștiere corespunzătoare - varianța - o au în teoremele limită ale teoriei probabilităților. Cu cea mai mare completitudine, semnificația maturilor de așteptare este dezvăluită de legea numerelor mari (inegalitatea lui Cebișev) și legea întărită a numerelor mari.
Așteptările matematice (Media populației) este
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Să existe o variabilă aleatorie care poate lua una dintre mai multe valori numerice (de exemplu, numărul de puncte dintr-o aruncare de zar poate fi 1, 2, 3, 4, 5 sau 6). Adesea, în practică, pentru o astfel de valoare, se pune întrebarea: ce valoare ia „în medie” cu un număr mare de teste? Care va fi randamentul nostru mediu (sau pierderea) din fiecare dintre tranzacțiile riscante?
Să presupunem că există un fel de loterie. Vrem să înțelegem dacă este sau nu profitabil să participăm la el (sau chiar să participăm în mod repetat, în mod regulat). Să presupunem că fiecare al patrulea bilet câștigă, premiul va fi de 300 de ruble și orice bilet - 100 de ruble. Cu un număr infinit de participări, așa se întâmplă. În trei sferturi din cazuri, vom pierde, fiecare trei pierderi va costa 300 de ruble. În fiecare al patrulea caz, vom câștiga 200 de ruble. (premiul minus costul), adică pentru patru participări, pierdem în medie 100 de ruble, pentru una - o medie de 25 de ruble. În total, rata medie a ruinei noastre va fi de 25 de ruble pe bilet.
Aruncăm un zar. Dacă nu este înșelăciune (fără a deplasa centrul de greutate etc.), atunci câte puncte vom avea în medie la un moment dat? Deoarece fiecare opțiune este la fel de probabilă, luăm media aritmetică stupidă și obținem 3,5. Deoarece aceasta este MEDIE, nu trebuie să vă indignați că nicio aruncare anume nu va da 3,5 puncte - ei bine, acest cub nu are o față cu un astfel de număr!
Acum să rezumam exemplele noastre:
Să aruncăm o privire la poza de mai sus. În stânga este un tabel cu distribuția unei variabile aleatoare. Valoarea lui X poate lua una dintre n valori posibile (date în rândul de sus). Nu pot exista alte valori. Sub fiecare valoare posibilă, probabilitatea acesteia este semnată mai jos. În dreapta este o formulă, unde M(X) se numește mat. aşteptare. Semnificația acestei valori este că, cu un număr mare de încercări (cu un eșantion mare), valoarea medie va tinde spre această așteptare.
Să revenim la același cub de joc. Mat. așteptarea numărului de puncte la aruncare este de 3,5 (calculați-vă folosind formula dacă nu credeți). Să presupunem că ai aruncat-o de câteva ori. Au căzut 4 și 6. În medie, a ieșit 5, adică departe de 3,5. L-au aruncat din nou, au căzut 3, adică în medie (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Cumva departe de covoraș. așteptări. Acum fă un experiment nebun - rostogolește cubul de 1000 de ori! Și dacă media nu este exact 3,5, atunci va fi aproape de asta.
Să numărăm mat. în așteptarea loteriei descrise mai sus. Tabelul va arăta astfel:
Atunci șah-mat așteptările va fi, așa cum am stabilit mai sus.:
Alt lucru este că este și „pe degete”, fără formulă, ar fi greu dacă ar fi mai multe opțiuni. Ei bine, să presupunem că au fost 75% bilete pierdute, 20% bilete câștigătoare și 5% bilete câștigătoare.
Acum câteva proprietăți ale covorașului așteptării.
Mat. așteptarea este liniară. Este ușor de demonstrat:
Multiplicatorul constant este permis să fie scos din semnul șahmat. așteptări, adică:
Acesta este un caz special al proprietății de liniaritate a covorașelor de așteptare.
O altă consecință a liniarității mat. așteptări:
adica mat. așteptarea sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale variabilelor aleatoare.
Fie X, Y variabile aleatoare independente, apoi:
Acest lucru este, de asemenea, ușor de dovedit) X Yîn sine este o variabilă aleatorie, în timp ce valorile inițiale ar putea lua nși m valori, respectiv, atunci X Y poate lua valori nm. fiecare dintre valori este calculată pe baza faptului că probabilitățile de evenimente independente sunt înmulțite. Ca rezultat, obținem asta:
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue
Variabilele aleatoare continue au o astfel de caracteristică precum densitatea distribuției (densitatea probabilității). De fapt, caracterizează situația în care o variabilă aleatorie ia mai des unele valori din mulțimea numerelor reale, unele - mai rar. De exemplu, luați în considerare această diagramă:
Aici X- de fapt o variabilă aleatoare, f(x)- densitatea distribuţiei. Judecând după acest grafic, în timpul experimentelor, valoarea X va fi adesea un număr apropiat de zero. sanse de a depasi 3 sau să fie mai puțin -3 mai degrabă pur teoretic.
Dacă densitatea de distribuție este cunoscută, atunci covorașul de așteptare este căutat după cum urmează:
Să fie, de exemplu, o distribuție uniformă:
Să găsim un covoraș. asteptare:
Acest lucru este destul de în concordanță cu înțelegerea intuitivă. Să spunem dacă obținem o mulțime de numere reale aleatoare cu o distribuție uniformă, fiecare dintre segmente |0; 1| , atunci media aritmetică ar trebui să fie de aproximativ 0,5.
Proprietățile matelor de așteptare - liniaritate etc., aplicabile pentru variabile aleatoare discrete, se aplică și aici.
Relația așteptărilor matematice cu alți indicatori statistici
LA statistic analiză, alături de așteptările mat, există un sistem de indicatori interdependenți care reflectă omogenitatea fenomenelor și stabilitatea proceselor. Adesea, indicatorii de variație nu au o semnificație independentă și sunt utilizați pentru analiza ulterioară a datelor. Excepție este coeficientul de variație, care caracterizează omogenitatea date ceea ce este valoros statistic caracteristică.
Gradul de variabilitate sau stabilitate proceselorîn știința statistică poate fi măsurată folosind mai mulți indicatori.
Cel mai important indicator care caracterizează variabilitate variabilă aleatoare, este Dispersia, care este cel mai strâns și direct legat de covoraș. aşteptare. Acest parametru este utilizat activ în alte tipuri de analiză statistică (testarea ipotezelor, analiza relațiilor cauză-efect etc.). La fel ca deviația liniară medie, varianța reflectă și măsura răspândirii dateîn jurul mediei.
Este util să traducem limbajul semnelor în limbajul cuvintelor. Rezultă că varianța este pătratul mediu al abaterilor. Adică, mai întâi se calculează valoarea medie, apoi se ia diferența dintre fiecare valoare inițială și cea medie, se pune la pătrat, se adună și apoi se împarte la numărul de valori din această populație. Diferențăîntre o singură valoare și medie reflectă măsura abaterii. Este pătrat pentru a se asigura că toate abaterile devin numere exclusiv pozitive și pentru a evita anularea reciprocă a abaterilor pozitive și negative atunci când sunt însumate. Apoi, având în vedere abaterile pătrate, pur și simplu calculăm media aritmetică. Medie - pătrat - abateri. Abaterile sunt pătrate și se ia în considerare media. Răspunsul la cuvântul magic „dispersie” este doar trei cuvinte.
Cu toate acestea, în forma sa pură, cum ar fi, de exemplu, media aritmetică sau , dispersia nu este utilizată. Este mai degrabă un indicator auxiliar și intermediar care este utilizat pentru alte tipuri de analiză statistică. Ea nici măcar nu are o unitate de măsură normală. Judecând după formulă, acesta este pătratul unității de date originale.
Așteptările matematice (Media populației) este
Să măsurăm o variabilă aleatoare N de ori, de exemplu, măsurăm viteza vântului de zece ori și dorim să găsim valoarea medie. Cum este valoarea medie legată de funcția de distribuție?
Sau vom arunca zarurile de un număr mare de ori. Numărul de puncte care vor cădea pe zar în timpul fiecărei aruncări este o variabilă aleatorie și poate lua orice valoare naturală de la 1 la 6. N tinde spre un număr foarte specific - mat. așteptare Mx. În acest caz, Mx = 3,5.
Cum a apărut această valoare? Lăsa să intre Nîncercări n1 odată ce s-a scăpat 1 punct, n2 ori - 2 puncte și așa mai departe. Apoi numărul de rezultate în care a scăzut un punct:
În mod similar, pentru rezultatele când 2, 3, 4, 5 și 6 puncte au căzut.
Să presupunem acum că știm distribuțiile variabilei aleatoare x, adică știm că variabila aleatoare x poate lua valorile x1, x2,..., xk cu probabilități p1, p2,... , pk.
Așteptarea mat Mx a unei variabile aleatoare x este:
Așteptările matematice nu sunt întotdeauna o estimare rezonabilă a unei variabile aleatorii. Deci, pentru a estima salariul mediu, este mai rezonabil să folosim conceptul de mediană, adică o astfel de valoare încât numărul de persoane care primesc mai puțin decât mediana salariuși mare, potrivire.
Probabilitatea p1 ca variabila aleatoare x să fie mai mică decât x1/2 și probabilitatea p2 ca variabila aleatoare x să fie mai mare decât x1/2 sunt aceleași și egale cu 1/2. Mediana nu este determinată în mod unic pentru toate distribuțiile.
Abatere standard sau standardîn statistică se numește gradul de abatere a datelor observaționale sau a seturilor de la valoarea MEDIE. Notat cu literele s sau s. O abatere standard mică indică faptul că datele sunt grupate în jurul mediei, iar o abatere standard mare indică faptul că datele inițiale sunt departe de aceasta. Abaterea standard este egală cu rădăcina pătrată a unei mărimi numită varianță. Este media sumei diferențelor pătrate ale datelor inițiale care se abate de la medie. Abaterea standard a unei variabile aleatoare este rădăcina pătrată a varianței:
Exemplu. În condiții de testare, când trageți la o țintă, calculați varianța și abaterea standard a unei variabile aleatorii:
Variație- fluctuaţia, variabilitatea valorii atributului în unităţi ale populaţiei. Valorile numerice separate ale unei caracteristici care apar în populația studiată se numesc variante de valoare. Insuficiența valorii medii pentru o caracterizare completă a populației face necesară completarea valorilor medii cu indicatori care să permită evaluarea tipicității acestor medii prin măsurarea fluctuației (variației) trăsăturii studiate. Coeficientul de variație se calculează prin formula:
Variație de interval(R) este diferența dintre valorile maxime și minime ale trăsăturii în populația studiată. Acest indicator oferă cea mai generală idee despre fluctuația trăsăturii studiate, așa cum arată diferență numai între valorile limită ale variantelor. Dependența de valorile extreme ale atributului conferă intervalului de variație un caracter instabil, aleatoriu.
Abaterea liniară medie este media aritmetică a abaterilor absolute (modulo) ale tuturor valorilor populației analizate față de valoarea medie a acestora:
Așteptări matematice în teoria jocurilor de noroc
Mat așteptare este suma medie de bani pe care un speculator de jocuri de noroc o poate câștiga sau pierde la un anumit pariu. Acesta este un concept foarte semnificativ pentru un speculator, deoarece este fundamental pentru evaluarea majorității situațiilor de joc. Așteptarea matelui este, de asemenea, cel mai bun instrument pentru analizarea aspectului de bază a cărților și a situațiilor de joc.
Să presupunem că joci monedă cu un prieten, făcând un pariu egal de 1 USD de fiecare dată, indiferent de ce se întâmplă. Cozi - ai câștigat, capete - ai pierdut. Șansele ca acesta să apară cozi sunt unu la unu și pariați de la 1 USD la 1 USD. Astfel, așteptarea ta de șah-mat este zero, pentru că matematic vorbind, nu poți ști dacă vei conduce sau vei pierde după două aruncări sau după 200.
Câștigul tău orar este zero. Plata orară este suma de bani pe care vă așteptați să o câștigați într-o oră. Puteți arunca o monedă de 500 de ori într-o oră, dar nu veți câștiga sau pierde pentru că șansele tale nu sunt nici pozitive, nici negative. Dacă te uiți, din punctul de vedere al unui speculator serios, un astfel de sistem de rate nu este rău. Dar este doar o pierdere de timp.
Dar să presupunem că cineva dorește să parieze 2 USD împotriva 1 USD în același joc. Atunci ai imediat o așteptare pozitivă de 50 de cenți de la fiecare pariu. De ce 50 cenți? În medie, câștigi un pariu și pierzi al doilea. Pariați pe primul și pierdeți 1 USD, pariați pe al doilea și câștigați 2 USD. Ai pariat 1 dolar de două ori și ai avans cu 1 dolar. Deci, fiecare dintre pariurile de un dolar ți-a dat 50 cenți.
Dacă moneda cade de 500 de ori într-o oră, câștigul tău orar va fi deja de 250 USD, deoarece. în medie ai pierdut unul dolar De 250 de ori și a câștigat două dolar de 250 de ori. 500 $ minus 250 $ este egal cu 250 $, care este câștigul total. Rețineți că valoarea așteptată, care este suma pe care o câștigați în medie la un singur pariu, este de 50 de cenți. Ați câștigat 250 USD punând un dolar de 500 de ori, ceea ce înseamnă 50 de cenți din pariul dvs.
Așteptările matematice (Media populației) este
Mat. așteptările nu au nimic de-a face cu rezultatele pe termen scurt. Adversarul tău, care a decis să parieze 2$ împotriva ta, te-ar putea învinge la primele zece aruncări consecutive, dar tu, cu un avantaj la pariuri 2-la-1, toate celelalte fiind egale, câștigi 50 de cenți la fiecare pariu de 1$ la orice pariu. circumstanțe. Nu contează dacă câștigi sau pierzi un pariu sau mai multe pariuri, ci doar cu condiția să ai suficienți bani pentru a compensa cu ușurință costurile. Dacă continuați să pariați în același mod, atunci, pe o perioadă lungă de timp, câștigurile dvs. se vor apropia de suma valorilor așteptate în role individuale.
De fiecare dată când faci un cel mai bun pariu (un pariu care poate fi profitabil pe termen lung) când cotele sunt în favoarea ta, ești obligat să câștigi ceva la el, indiferent dacă îl pierzi sau nu într-o mână dată. Dimpotrivă, dacă ai făcut un pariu mai rău (un pariu care este neprofitabil pe termen lung) când cotele nu sunt în favoarea ta, pierzi ceva, indiferent dacă câștigi sau pierzi mâna.
Așteptările matematice (Media populației) este
Pariezi cu cel mai bun rezultat dacă așteptările tale sunt pozitive și este pozitiv dacă șansele sunt în favoarea ta. Pariând cu cel mai prost rezultat, ai o așteptare negativă, care se întâmplă atunci când șansele sunt împotriva ta. Speculatorii serioși pariază doar cu cel mai bun rezultat, cu cel mai rău - ei renunță. Ce înseamnă șansele în favoarea ta? S-ar putea să ajungi să câștigi mai mult decât aduc șansele reale. Şansele reale de a lovi cozile sunt 1 la 1, dar obţii 2 la 1 datorită raportului de pariere. În acest caz, șansele sunt în favoarea ta. Cu siguranță obțineți cel mai bun rezultat cu o așteptare pozitivă de 50 de cenți per pariu.
Iată un exemplu mai complex. așteptări. Prietenul notează numerele de la unu la cinci și pariază 5 USD pe 1 USD că nu vei alege numărul. Sunteți de acord cu un astfel de pariu? Care este așteptarea aici?
În medie, vei greși de patru ori. Pe baza acestui lucru, șansele împotriva ta să ghicești numărul va fi de 4 la 1. șansele sunt că vei pierde un dolar într-o singură încercare. Cu toate acestea, câștigi 5 la 1, cu posibilitatea de a pierde 4 la 1. Prin urmare, cotele sunt în favoarea ta, poți lua pariul și spera la cel mai bun rezultat. Dacă faci acest pariu de cinci ori, în medie vei pierde de patru ori 1 USD și vei câștiga 5 USD o dată. Pe baza acestui fapt, pentru toate cele cinci încercări, veți câștiga 1 USD cu o așteptare matematică pozitivă de 20 de cenți per pariu.
Un speculator care va câștiga mai mult decât a pariat, ca în exemplul de mai sus, prinde șansele. În schimb, el strica șansele atunci când se așteaptă să câștige mai puțin decât a pariat. Speculatorul de pariuri poate avea așteptări pozitive sau negative, în funcție de faptul că prinde sau distruge cotele.
Dacă pariezi 50 USD pentru a câștiga 10 USD cu o șansă de 4 la 1 de câștig, vei obține o așteptare negativă de 2 USD, deoarece în medie, vei câștiga de patru ori 10 USD și vei pierde 50 USD o dată, ceea ce arată că pierderea pe pariu va fi de 10 USD. Dar dacă pariezi 30$ pentru a câștiga 10$, cu aceleași șanse de a câștiga 4 la 1, atunci în acest caz ai o așteptare pozitivă de 2$, deoarece câștigi din nou de patru ori 10$ și pierzi 30$ o dată, adică profit la 10 USD. Aceste exemple arată că primul pariu este rău, iar al doilea este bun.
Mat. așteptarea este centrul oricărei situații de joc. Când o casă de pariuri încurajează fanii fotbalului să parieze 11 USD pentru a câștiga 10 USD, ei au o așteptare pozitivă de 50 de cenți pentru fiecare 10 USD. Dacă cazinoul plătește chiar bani din linia de trecere Craps, atunci așteptarea pozitivă a casei este de aproximativ 1,40 USD pentru fiecare 100 USD; acest joc este structurat astfel încât toți cei care pariază pe această linie pierd în medie 50,7% și câștigă 49,3% din timp. Fără îndoială, această așteptare pozitivă aparent minimă este cea care aduce profituri uriașe proprietarilor de cazinouri din întreaga lume. După cum a remarcat proprietarul cazinoului Vegas World, Bob Stupak, „O miime la sută probabilitatea negativă pe o distanță suficient de lungă va falimenta pe cel mai bogat om din lume.
Așteptări matematice când joci poker
Jocul de Poker este cel mai ilustrativ și mai ilustrativ exemplu în ceea ce privește utilizarea teoriei și proprietăților saltelei de așteptare.
Mat. Valoarea așteptată în poker - beneficiul mediu dintr-o anumită decizie, cu condiția ca o astfel de decizie să poată fi luată în considerare în cadrul teoriei numerelor mari și la distanță lungă. Pokerul de succes înseamnă acceptarea întotdeauna a mișcărilor cu o așteptare matematică pozitivă.
Așteptările matematice (Media populației) este
Sensul matematic. așteptarea când jucăm poker constă în faptul că întâlnim adesea variabile aleatorii atunci când luăm o decizie (nu știm ce cărți are adversarul în mână, care cărți vor veni în rundele ulterioare comerţul). Trebuie să luăm în considerare fiecare dintre soluții din punctul de vedere al teoriei numerelor mari, care spune că la un eșantion suficient de mare, valoarea medie a unei variabile aleatoare va tinde spre medie.
Dintre formulele particulare pentru calcularea covorașelor de așteptare, următoarele sunt cele mai aplicabile în poker:
Când joci covorașul de poker. așteptările pot fi calculate atât pentru pariuri, cât și pentru apeluri. În primul caz, fold equity trebuie luat în considerare, în al doilea, cotele proprii ale potului. La evaluarea mat. așteptarea cutare sau cutare mișcare, trebuie amintit că pliul are întotdeauna o așteptare zero. Astfel, aruncarea cărților va fi întotdeauna o decizie mai profitabilă decât orice mișcare negativă.
Așteptările matematice (Media populației) este
Așteptarea îți spune la ce te poți aștepta (sau să pierzi) pentru fiecare risc pe care ți-l asumi. Cazinourile câștigă bani deoarece așteptarea șahmat de la toate jocurile care se practică în ele este în favoarea cazinoului. Cu o serie de jocuri suficient de lungă, se poate aștepta ca clientul să-l piardă pe a lui bani deoarece „probabilitatea” este în favoarea cazinoului. Cu toate acestea, speculatorii profesioniști de cazinou își limitează jocurile la perioade scurte de timp, crescând astfel șansele în favoarea lor. Același lucru este valabil și pentru investiții. Dacă așteptările tale sunt pozitive, poți câștiga mai mulți bani făcând multe tranzacții într-o perioadă scurtă de timp. perioadă timp. Așteptările reprezintă procentul de profit pe câștig înmulțit cu profitul mediu minus probabilitatea de pierdere înmulțită cu pierderea medie.
Pokerul poate fi văzut și în termeni de șah-mat. Puteți presupune că o anumită mișcare este profitabilă, dar în unele cazuri poate să nu fie cea mai bună, deoarece o altă mutare este mai profitabilă. Să presupunem că ați lovit un full în pokerul cu cinci cărți. Adversarul tău pariază. Știi că dacă crești, el va suna. Așa că ridicarea pare cea mai bună tactică. Dar dacă ridicați pariul, cei doi speculatori rămași vor renunța cu siguranță. Dar dacă dai call la pariu, vei fi complet sigur că ceilalți doi speculatori după tine vor face la fel. Când ridicați pariul, obțineți o unitate și, pur și simplu, sunând - două. Deci, apelarea vă oferă o valoare așteptată pozitivă mai mare și este cea mai bună tactică.
Mat. așteptarea poate oferi și o idee despre care tactici de poker sunt mai puțin profitabile și care sunt mai profitabile. De exemplu, dacă joci o anumită mână și crezi că pierderea ta medie este de 75 de cenți, inclusiv ante-urile, atunci ar trebui să joci acea mână deoarece acest lucru este mai bine decât plierea atunci când ante este de $1.
Un alt motiv important pentru înțelegerea esenței mat. așteptarea este că îți oferă un sentiment de liniște, indiferent dacă ai câștigat pariul sau nu: dacă ai făcut un pariu bun sau ai renunțat la timp, vei ști că ai câștigat sau ai economisit o anumită sumă de bani pe care speculatorul mai slab ar putea-o. nu salva. Este mult mai greu să renunți dacă ești frustrat că adversarul tău are o mână mai bună la remiză. Cu toate acestea, ceea ce economisești nejucând, în loc să pariezi, se adaugă la câștigurile tale pe noapte sau pe lună.
Amintiți-vă doar că, dacă ați schimbat mâna, adversarul dvs. v-ar apela și, așa cum veți vedea în articolul Teorema fundamentală a pokerului, acesta este doar unul dintre avantajele dvs. Ar trebui să te bucuri când se întâmplă asta. Poți chiar să înveți să te bucuri de o mână pierdută, pentru că știi că alți speculatori în locul tău ar pierde mult mai mult.
După cum s-a menționat în exemplul jocului de monede de la început, raportul profitului orar este legat de așteptările mat, iar acest concept este deosebit de important pentru speculatorii profesioniști. Când ai de gând să joci poker, trebuie să estimi mental cât de mult poți câștiga într-o oră de joc. În cele mai multe cazuri, va trebui să te bazezi pe intuiția și experiența ta, dar poți folosi și niște calcule matematice. De exemplu, dacă joci draw lowball și vezi că trei jucători pariază 10 USD și apoi trag două cărți, ceea ce este o tactică foarte proastă, poți calcula singur că de fiecare dată când pariază 10 USD pierd aproximativ 2 USD. Fiecare dintre ei face acest lucru de opt ori pe oră, ceea ce înseamnă că toți trei pierd aproximativ 48 de dolari pe oră. Sunteți unul dintre cei patru speculatori rămași, care sunt aproximativ egali, așa că acești patru speculatori (și voi dintre ei) trebuie să împartă 48 USD și fiecare va obține un profit de 12 USD pe oră. Tariful tău orar în acest caz este pur și simplu partea ta din suma de bani pierdută de trei speculatori răi într-o oră.
Așteptările matematice (Media populației) este
Pe o perioadă lungă de timp, profitul total al speculatorului este suma așteptărilor sale matematice în distribuții separate. Cu cât joci mai mult cu așteptări pozitive, cu atât câștigi mai mult și, invers, cu cât joci mai multe mâini cu așteptări negative, cu atât pierzi mai mult. Ca rezultat, ar trebui să acordați prioritate unui joc care vă poate maximiza așteptările pozitive sau să o anulați pe cea negativă, astfel încât să vă puteți maximiza câștigul orar.
Așteptări matematice pozitive în strategia de joc
Dacă știi să numeri cărțile, s-ar putea să ai un avantaj față de cazinou dacă nu observă și te dau afară. Cazinourile iubesc speculatorii beți și urăsc contoarele de cărți. Avantajul îți va permite să câștigi de mai multe ori decât pierzi în timp. O bună gestionare a banilor folosind calcule de șah-mat vă poate ajuta să profitați mai mult de marginea dvs. și să vă reduceți pierderile. Fără un avantaj, ar fi mai bine să dai banii unor organizații de caritate. În jocul de la bursă, avantajul este dat de sistemul jocului, care creează mai mult profit decât pierdere, diferența preturi si comisioane. Nici unul managementul capitalului nu va salva un sistem de joc prost.
O așteptare pozitivă este definită de o valoare mai mare decât zero. Cu cât acest număr este mai mare, cu atât așteptările statistice sunt mai puternice. Dacă valoarea este mai mică decât zero, atunci așteptarea va fi și ea negativă. Cu cât modulul unei valori negative este mai mare, cu atât situația este mai proastă. Dacă rezultatul este zero, atunci așteptarea este prag de rentabilitate. Poți câștiga doar atunci când ai o așteptare matematică pozitivă, un sistem de joc rezonabil. Jocul pe intuiție duce la dezastru.
Aşteptarea matematică şi
Așteptările matematice sunt un indicator statistic destul de solicitat și popular în implementarea tranzacționării bursiere pe piețele financiare. piețe. În primul rând, acest parametru este utilizat pentru a analiza succesul comerţul. Nu este greu de ghicit că, cu cât această valoare este mai mare, cu atât mai mult motiv pentru a considera comerțul studiat cu succes. Desigur, analiză muncă trader nu poate fi realizat doar cu ajutorul acestui parametru. Cu toate acestea, valoarea calculată împreună cu alte metode de evaluare a calității muncă, poate îmbunătăți semnificativ acuratețea analizei.
Așteptările Mat este adesea calculată în serviciile de monitorizare a contului de tranzacționare, ceea ce vă permite să evaluați rapid munca depusă la depozit. Ca excepții, putem cita strategiile care folosesc „depășirea” tranzacțiilor pierdute. Comerciant norocul îl poate însoți de ceva timp și, prin urmare, este posibil să nu existe deloc pierderi în munca lui. În acest caz, nu se va putea naviga doar după așteptare, deoarece riscurile folosite în lucrare nu vor fi luate în considerare.
În tranzacționarea pe piaţă aşteptările mat este folosită cel mai adesea atunci când se prezică profitabilitatea unei strategii de tranzacţionare sau când se prognozează veniturile comerciant pe baza statisticilor anterioare licitare.
Așteptările matematice (Media populației) este
În ceea ce privește gestionarea banilor, este foarte important să înțelegeți că atunci când faceți tranzacții cu o așteptare negativă, nu există nicio schemă management bani, care cu siguranță pot aduce profituri mari. Dacă vei continua să joci bursa de valoriîn aceste condiţii, indiferent de metodă management bani, îți vei pierde întregul cont, oricât de mare a fost la început.
Această axiomă nu este valabilă numai pentru jocurile cu așteptări negative sau tranzacții, este valabilă și pentru jocurile cu cote par. Prin urmare, singurul caz în care aveți șansa de a beneficia pe termen lung este atunci când faceți tranzacții cu o așteptare matematică pozitivă.
Diferența dintre așteptarea negativă și așteptarea pozitivă este diferența dintre viață și moarte. Nu contează cât de pozitivă sau cât de negativă este așteptarea; ceea ce contează este dacă este pozitiv sau negativ. Prin urmare, înainte de a lua în considerare problemele de management capital trebuie să găsești un joc cu o așteptare pozitivă.
Dacă nu ai acel joc, atunci nicio sumă de gestionare a banilor din lume nu te va salva. Pe de altă parte, dacă aveți o așteptare pozitivă, atunci este posibil, printr-un management adecvat al banilor, să o transformați într-o funcție de creștere exponențială. Nu contează cât de mică este așteptarea pozitivă! Cu alte cuvinte, nu contează cât de profitabil este un sistem de tranzacționare bazat pe un singur contract. Dacă aveți un sistem care câștigă 10 USD per contract pentru o singură tranzacție (după comisioane și derapaj), pot fi utilizate tehnici de management capitalîntr-un fel de a-l face mai profitabil decât un sistem care arată un profit mediu de 1.000 USD per tranzacție (după comisioane și derapaj).
Ceea ce contează nu este cât de profitabil a fost sistemul, ci cât de sigur se poate spune că sistemul va arăta măcar un profit minim în viitor. Prin urmare, cea mai importantă pregătire care poate fi făcută este să vă asigurați că sistemul prezintă o valoare așteptată pozitivă în viitor.
Pentru a avea o valoare așteptată pozitivă în viitor, este foarte important să nu limitezi gradele de libertate ale sistemului tău. Acest lucru se realizează nu numai prin eliminarea sau reducerea numărului de parametri care trebuie optimizați, ci și prin reducerea cât mai multor reguli de sistem. Fiecare parametru pe care îl adăugați, fiecare regulă pe care o faceți, fiecare modificare mică pe care o faceți sistemului reduce numărul de grade de libertate. În mod ideal, doriți să construiți un sistem destul de primitiv și simplu, care va aduce în mod constant un mic profit pe aproape orice piață. Din nou, este important să înțelegeți că nu contează cât de profitabil este un sistem, atâta timp cât este profitabil. pe care le câștigați în tranzacționare va fi câștigat printr-un management eficient al banilor.
Așteptările matematice (Media populației) este
Un sistem de tranzacționare este pur și simplu un instrument care vă oferă o așteptare matematică pozitivă, astfel încât gestionarea banilor să poată fi utilizată. Sistemele care funcționează (afișează cel puțin un profit minim) doar pe una sau câteva piețe, sau au reguli sau parametri diferiți pentru piețe diferite, cel mai probabil nu vor funcționa în timp real pentru mult timp. Problema majorității comercianților tehnici este că ei petrec prea mult timp și efort optimizând diferitele reguli și parametri ai unui sistem de tranzacționare. Acest lucru dă rezultate complet opuse. În loc să irosești energie și timp computerizat pe creșterea profiturilor sistemului de tranzacționare, direcționează-ți energia către creșterea nivelului de fiabilitate a obținerii profitului minim.
Știind că managementul capitalului- acesta este doar un joc de numere care necesită utilizarea așteptărilor pozitive, comerciantul poate înceta să caute „sfântul graal” al tranzacționării pe bursă. În schimb, poate începe să-și testeze metoda de tranzacționare, să afle cât de logică este această metodă, dacă dă așteptări pozitive. Metodele adecvate de gestionare a banilor aplicate oricărei metode de tranzacționare, chiar și foarte mediocre, vor face restul muncii.
Pentru ca orice comerciant să aibă succes în munca sa, el trebuie să rezolve cele mai importante trei sarcini: Pentru a se asigura că numărul de tranzacții reușite depășește greșelile și calculele greșite inevitabile; Configurați-vă sistemul de tranzacționare astfel încât oportunitatea de a câștiga bani să fie cât mai des posibil; Obțineți un rezultat pozitiv stabil al operațiunilor dumneavoastră.
Și aici, pentru noi, comercianții care lucrează, șah-mat poate fi de un bun ajutor. așteptare. Acest termen din teoria probabilității este unul dintre cheie. Cu el, puteți oferi o estimare medie a unei valori aleatorii. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt similare cu centrul de greutate, dacă ne imaginăm toate probabilitățile posibile ca puncte cu mase diferite.
În legătură cu o strategie de tranzacționare, pentru evaluarea eficienței acesteia, cel mai des este folosită așteptarea de profit (sau pierdere). Acest parametru este definit ca suma produselor nivelurilor date de profit și pierdere și probabilitatea apariției acestora. De exemplu, strategia de tranzacționare dezvoltată presupune că 37% din toate operațiunile vor aduce profit, iar restul - 63% - vor fi neprofitabile. În același timp, media sursa de venit dintr-o tranzacție reușită va fi de 7 dolari, iar pierderea medie va fi egală cu 1,4 dolari. Să calculăm mat. așteptări de tranzacționare pe un astfel de sistem:
Ce înseamnă acest număr? Se spune că, urmând regulile acestui sistem, în medie, vom primi 1.708 de dolari din fiecare tranzacție încheiată. Deoarece scorul de eficiență rezultat este mai mare decât zero, un astfel de sistem poate fi utilizat pentru muncă reală. Dacă, ca urmare a calculului covorașului, așteptarea se dovedește a fi negativă, atunci aceasta indică deja o pierdere medie și aceasta va duce la ruină.
Suma profitului pe tranzacție poate fi exprimată și ca valoare relativă sub formă de %. De exemplu:
Procentul de venit la 1 tranzacție - 5%;
Procentul operațiunilor de tranzacționare reușite - 62%;
Procentul de pierdere la 1 tranzacție - 3%;
Procentul tranzacțiilor nereușite - 38%;
În acest caz, mat. asteptarea va fi:
Adică tranzacția medie va aduce 1,96%.
Este posibil să se dezvolte un sistem care, în ciuda predominării tranzacțiilor în pierdere, va da un rezultat pozitiv, deoarece MO>0.
Cu toate acestea, așteptarea singură nu este suficientă. Este dificil să câștigi bani dacă sistemul oferă foarte puține semnale de tranzacționare. În acest caz, va fi comparabilă cu dobânda bancară. Fiecare operațiune să aducă în medie doar 0,5 dolari, dar dacă sistemul presupune 1000 de tranzacții pe an? Aceasta va fi o sumă foarte serioasă într-un timp relativ scurt. De aici rezultă în mod logic că un alt semn distinctiv al unui sistem de tranzacționare bun poate fi considerat o perioadă scurtă de deținere.
Surse și link-uri
dic.academic.ru - dicționar academic online
mathematics.ru - site educațional despre matematică
nsu.ru - site-ul web educațional al Universității de Stat din Novosibirsk
webmath.ru - un portal educațional pentru studenți, solicitanți și școlari.
site-ul de matematică educațional exponenta.ru
ru.tradimo.com - școală de comerț online gratuită
crypto.hut2.ru - resursă de informare multidisciplinară
poker-wiki.ru - enciclopedie liberă a pokerului
sernam.ru - Biblioteca științifică a publicațiilor selectate de științe naturale
reshim.su - site web
unfx.ru - Forex la UNFX: instruire, semnale de tranzacționare, management al încrederii
- - așteptare matematică Una dintre caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare, numită adesea media ei teoretică. Pentru o variabilă aleatoare discretă X, matematică ...... Manualul Traducătorului TehnicVALOREA ESTIMATA- (valoare așteptată) Valoarea medie a distribuției variabilei economice pe care o poate lua. Dacă pt este prețul bunului la momentul t, așteptarea sa matematică este notată de Ept. Pentru a indica momentul în care ...... Dicționar economic
Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare. Aşteptarea matematică este o mărime deterministă. Media aritmetică a realizărilor unei variabile aleatoare este o estimare a așteptărilor matematice. In medie… … Terminologia oficială este (valoarea medie) a unei variabile aleatoare o caracteristică numerică a unei variabile aleatoare. Dacă o variabilă aleatoare dată într-un spațiu de probabilitate (vezi Teoria probabilității), atunci M. o. MX (sau EX) este definit ca integrala Lebesgue: unde... Enciclopedia fizică
VALOREA ESTIMATA- o variabilă aleatoare este caracteristica sa numerică. Dacă o variabilă aleatoare X are o funcție de distribuție F(x), atunci M. o. voi: . Dacă distribuția lui X este discretă, atunci М.о.: , unde x1, x2, ... sunt valori posibile ale variabilei aleatoare discrete X; p1... Enciclopedia Geologică
VALOREA ESTIMATA- Engleză. valorea estimata; limba germana Erwartung mathematische. Media stocastică sau centrul de dispersie al unei variabile aleatoare. antinazi. Enciclopedia de Sociologie, 2009... Enciclopedia Sociologiei
Valorea estimata- Vezi și: Așteptare condiționată Așteptarea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare, distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare, este considerată în teoria probabilității. În literatura engleză și în matematică ... ... Wikipedia
Valorea estimata- 1.14 Așteptările matematice E (X) unde xi valorile unei variabile aleatoare discrete; p = P (X = xi); f(x) este densitatea unei variabile aleatoare continue * Dacă această expresie există în sensul convergenței absolute Sursa... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice
Cărți
Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. Bine